3.2导数的计算学案1

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人教版高中数学1-1选修3.2导数的计算教案

导数的计算【知识要点】一．导数概念：(1)平均变化率：对于函数y ＝f (x )，定义1212)()(x x x f x f --为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率．换言之，如果自变量x 在x 0处有增量∆x ，那么函数f (x )相应地有增量f (x 0＋∆x )－f (x 0)，则比值xx f x x f ∆-∆+)()(00就叫做函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋∆x 之间的平均变化率． (2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)，即x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0000. (3)函数y ＝f (x )的导函数(导数)：当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，我们称它为函数y ＝f (x )的导函数(简称导数)，即xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0.二．导数的几何意义：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f '(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f '(x 0)．三．导数的运算：(1)几种常见函数的导数：①(C )′＝0(C 为常数)；②(x n )′＝nx n －1(x ＞0，n ∈Q *)；③(sin x )′＝cos x ；④(cos x )′＝－sin x ；⑤(e x )′＝e x ；⑥(a x )′＝a x ln a (a ＞0，且a ≠1)； ⑦xx 1)(ln =； ⑧e x x a a log 1)(log =(a ＞0，且a ≠1)． (2)导数的运算法则：①[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )；②[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )； ③)0)(()()()()()(])()([2=/'-'='⋅x v x v x v x u x v x u x v x u .(3)简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b ))的导数：设函数y ＝f (u )，u ＝g (x )，则函数y ＝f (u )＝f [g (x )]称为复合函数．其求导步骤是：x y '＝u f '·x g '，其中u f '表示f 对u 求导，x g '表示g 对x 求导．f 对u 求导后应把u 换成g (x )．【典型例题】例1 求曲线122+=x x y 在点)1,1(处的切线方程. 回顾导数的几何意义:函数)(x f y =在0x 处的导数就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率. 解: 略例2 曲线运动方程为2221t tt s +-=,求3=t 时的速度. 回顾导数的物理意义:瞬时速度是位移函数)(t s 对时间t 的导数:)(')(t s t v =.解: 略例3已知抛物线c bx ax y ++=2通过点)1,1(,且在点)1,2(-处与直线3-=x y 相切,求c b a ,,的值.【随堂练习】1 求下列函数的导数：(1)y ＝(x ＋1)(x 2－1)； (2)11+-=x x y ；(3)y ＝sin2x ； (4)y ＝e x ·ln x ．2．求下列函数的导数：(1)y ＝x －e x ；(2)y ＝x 3＋cos x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (4)⋅=x x y ln3．(tan x )′等于( ) (A)x 2sin 1 (B)x 2sin 1- (C)x 2cos 1 (D)x2cos 1-4．设f (x )＝x ln x ，若f '(x 0)＝2，则x 0等于( )(A)e 2(B)e (C)22ln (D)ln25．f '(x )是1231)(3++=x x x f 的导函数，则f '(－1)＝______．6．若函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝x ＋2，则f (1)＋f '(1)＝______．7．过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为______；切线的斜率为______．8．设函数f (x )＝xe kx (k ≠0)，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是______．9设函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a ≠0)为奇函数，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线x －6y －7＝0垂直，导函数f '(x )的最小值为－12．求a ，b ，c 的值．10．曲线x y 21e在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) (A)2e 29 (B)4e 2 (C)2e 2 (D)e 2 6 (1)求曲线y ＝x 2在点(1，1)处的切线方程.(2)过点(1，－3)作曲线y ＝x 2的切线，求切线的方程．10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (1，1)，B (2，－1)，且该曲线在点B 处的切线方程为y ＝x －3，求a 、b 、c 的值。

高中数学 3.2 导数的计算教案选修1-1

3.2导数的计算3．2.1 几个常用函数的导数3．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)熟练掌握基本初等函数的导数公式；(2)掌握导数的四则运算法则．2．过程与方法能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．3．情感、态度与价值观通过学习本节课，培养学生对问题的认知能力．由于利用定义求函数的导数非常复杂，本节课直接给出了几个基本初等函数的导数公式表和导数的运算法则．学生不用推导而直接去求一些简单函数的导数，认识事物之间的普遍联系，达到学有所用，在训练中也有加深了学生对学习数学的兴趣，激发学生将所学知识应用于实际的求知欲，培养浓厚的学习兴趣．●重点、难点重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则．难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用．(教师用书独具)●教学建议本节内容是应用导数公式和四则运算法则解决求导数问题，记住公式和法则是应用的前提，通过出示不同类型的例题与习题，进行反复的训练与强化是突破重点、难点的关键．●教学流程创设问题情境，引出问题：有没有更简洁的求导方法？⇒引导学生通过导数的定义推导出几个常用函数的导数公式.⇒通过引导学生回答所提问题导出导数的运算法则.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握用求导公式求初等函数的导数.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握用求导公式和导数的运算法则求导.⇒复习回顾导数的几何意义，完成例3及其变式训练，解决导数的应用问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第52页)课标解读1.了解导数公式的推导过程、理解导数的四则运算法则．(难点)2．掌握几种常见函数的导数公式．(重点) 3．能够运用导数公式和求导法则进行求导运算．(重点)基本初等函数的导数公式【问题导思】1．用导数的定义求导数的步骤是怎样的？【提示】 ①求函数值的变化量； ②求平均变化率； ③取极值，得导数．2．我们发现，用导数的定义求导数很复杂，能不能总结出常用函数的求导公式呢？【提示】能．基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝α·x α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos xf ′(x )＝－sin_x续表原函数导函数f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a (a >0且a ≠1)f (x )＝e x f ′(x )＝e xf (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln a(a >0且a ≠1)f (x )＝ln xf ′(x )＝1x导数的运算法则一个函数可以求其导数，那么两个函数加、减、乘、除能求导吗？【提示】能．设两个函数f (x )，g (x )可导，则和的导数 [f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x )差的导数 [f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x )积的导数 [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )商的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0) (对应学生用书第53页)用求导公式求函数的导数求下列函数的导数 (1)y ＝x 8(2)y ＝1x4 (3)y ＝3x(4)y ＝2x(5)y ＝log 2x (6)y ＝cos x【思路探究】 (1)以上函数分别是什么类型的函数？ (2)这种函数的求导公式是怎样的？【自主解答】 (1)y ′＝(x 8)′＝8x8－1＝8x 7.(2)y ′＝(1x4)′＝(x －4)′＝－4x －5.(3)y ′＝(3x )′＝(x 13)′＝13x 13－1＝13x －23.(4)y ′＝(2x)′＝2xln 2. (5)y ′＝(log 2x )′＝1x ln 2. (6)y ′＝(cos x )′＝－sin x .1．基本初等函数的求导公式是求导数基本依据，一定要记清形式，学会使用公式求导． 2．对于形如y ＝1xp ，y ＝nx 的函数一般先转化为幂函数的形式，再用幂函数的求导公式求导．3．要区分指数函数、对数函数的求导公式，以免在运用时混淆．求下列函数的导数； (1)y ＝10；(2)y ＝x 10；(3)y ＝3x 2；(4)y ＝13x2；(5)y ＝3x；(6)y ＝log 3x . 【解】 (1)y ′＝(10)′＝0 (2)y ′＝(x 10)′＝10x10－1＝10x 9.(3)y ′＝(x 23)′＝23x 23－1＝23x －13＝233x.(4)y ′＝(x －23)′＝－23x －23－1＝－23x －53＝－233x 5.(5)y ′＝(3x)′＝3xln 3. (6)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.用求导公式和导数运算法则求导求下列函数的导数：(1)f (x )＝(x ＋2)(x －3)；(2)f (x )＝lg x －3x； (3)f (x )＝11－x ＋11＋x ；(4)f (x )＝sin x1＋sin x .【思路探究】【自主解答】 (1)∵f (x )＝x 2－x －6， ∴f ′(x )＝(x 2－x －6)′＝2x －1. (2)f ′(x )＝(lg x )′－(3x)′＝1x ·ln 10－3xln 3.(3)y ＝11－x ＋11＋x ＝1＋x ＋1－x1－x 1＋x ＝21－x， ∴y ′＝(21－x )′＝－21－x ′1－x 2＝21－x 2.(4)∵f (x )＝sin x 1＋sin x ＝1－11＋sin x ，∴f ′(x )＝1′－(11＋sin x )′＝－－1＋sin x ′1＋sin x2＝cos x 1＋sin x2.1．应用导数运算法则求函数的导数的技巧：(1)求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，又可少出错．(2)利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导．(3)在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，再求导．2．应用导数运算法则求函数的导数的原则：结合函数解析式的特点先进行恒等变形，把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、乘、除运算，再套运算法则．求下列函数的导数：(1)y ＝x 5－3x 3－5x 2＋6； (2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)； (3)y ＝x －1x ＋1； (4)y ＝－sin x 2(1－2cos 2x 4)．【解】 (1)y ′＝(x 5－3x 3－5x 2＋6)′ ＝(x 5)′－(3x 3)′－(5x 2)′＋6′ ＝5x 4－9x 2－10x .(2)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －2)＋(2x 2＋3)(3x －2)′ ＝4x (3x －2)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－8x ＋9.法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －2)＝6x 3－4x 2＋9x －6， ∴y ′＝18x 2－8x ＋9. (3)法一 y ′＝(x －1x ＋1)′＝x －1′x ＋1－x －1x ＋1′x ＋12＝x ＋1－x －1x ＋12＝2x ＋12.法二 ∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴y ′＝(1－2x ＋1)′＝(－2x ＋1)′ ＝－2′x ＋1－2x ＋1′x ＋12＝2x ＋12.(4)y ＝－sin x 2(1－2cos 2x 4)＝－sin x 2(－cos x 2)＝12sin x ，y ′＝(12sin x )′＝12(sin x )′＝12cos x .导数的应用在抛物线y ＝－x 2上求一点，使之到直线4x ＋3y －8＝0的距离最小．【思路探究】 (1)平行于直线4x ＋3y －8＝0且与抛物线相切的直线与抛物线y ＝－x 2的切点是否满足题意？(2)该切点的坐标如何求出？【自主解答】如图所示，由题意知作与4x ＋3y －8＝0平行的直线l ，当l 与y ＝－x 2相切时，切点P 到直线4x ＋3y －8＝0的距离最小．设切点为(x 0，－x 20)，又y ′＝(－x 2)′＝－2x ， ∴－2x 0＝－43，∴x 0＝23，y 0＝－x 20＝－49，∴点P (23，－49)，即抛物线y ＝－x 2上的点(23，－49)到直线的距离最小．利用导数的四则运算法则和基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义，可以求解一些与距离、面积有关的几何问题，解题的关键是正确运用曲线的切线．已知点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上一点，求点P 到直线y ＝x －2的最小距离．【解】过p 作y ＝x －2的平行直线，且与曲线y ＝x 2－ln x 相切，设P (x 0，x 20－ln x 0)，则k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12(舍去)，∴p 的坐标为(1,1)，∴d min ＝|1－1－2|1＋1＝ 2. (对应学生用书第54页) 因公式记忆不准确致误求函数y ＝sin x －cos x 的导数．【错解】 y ′＝(sin x )′－(cos x )′＝cos x －sin x 【错因分析】 (cos x )′＝－sin x ，错解中因漏掉负号致误．【防范措施】应熟记基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，以防因记忆不牢而致误．【正解】 y ′＝(sin x )′－(cos x )′＝cos x ＋sin x .本堂课的主要内容是利用基本初等函数的求导公式和导数的运算法则求导数的运算．在运算中，熟记有关的求导公式是关键，但对运算法则更应熟练掌握，特别是对商的运算，应与积的运算予以区别记忆，同时也要注意它们之间的联系.(对应学生用书第54页)1．已知函数f (x )＝1x，则f ′(－3)等于( )A ．4 B.19 C ．－14 D ．－19【解析】 ∵(1x )′＝－1x2，∴f ′(－3)＝－1－32＝－19. 【答案】 D2．下列各式中正确的是( ) A ．(ln x )′＝x B ．(cos x )′＝sin x C ．(sin x )′＝cos xD ．(x －5)′＝－15x －6【解析】 ∵(ln x )′＝1x ，(cos x )′＝－sin x ，(x －5)′＝－5x －5－1＝－5x6，∴A 、B 、D 均不正确；C 正确．【答案】 C3．下列求导正确的是( ) A ．(x ＋1x )′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x ＋ln 3)′＝3x·ln 3＋13D ．(x 2cos x )′＝－2x sin x【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1－1x2，A 不正确．(3x ＋ln 3)′＝(3x )′＋(ln 3)′＝3xln 3，C 不正确． (x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，D 不正确．【答案】 B 4．求曲线y ＝xx －2在点(1，－1)处的切线方程．【解】 y ′＝(xx －2)′＝－2x －22.∴k ＝y ′|x ＝1＝－2∴切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即2x ＋y －1＝0.(对应学生用书第107页)一、选择题1．(2013·普宁高二检测)设函数f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 2【解析】 ∵f ′(x )＝ln x ＋1，∴f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2. ∴ln x 0＝1，x 0＝e. 【答案】 B2．(2013·广元高二检测)曲线y ＝x e x＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －3＝0 B ．3x －y ＋1＝0 C ．3x ＋y －1＝0D ．x －3y ＋3＝0【解析】 y ′＝e x＋x e x＋2，∴y ′|x ＝0＝3＝k .∴曲线在点(0,1)处的切线方程为y －1＝3x ，即3x －y ＋1＝0. 【答案】 B3．设曲线y ＝ax 2在(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B.12 C ．－12D ．－1【解析】 y ′＝2ax ，∴在点(1，a )处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝2a . 由题意可得2a ＝2，∴a ＝1.故选A. 【答案】 A4．函数y ＝x1－cos x 的导数是( ) A.1－cos x －sin x 1－cos x B.1－cos x －x sin x1－cos x 2C.1－cos x －sin x 1－cos x 2 D.1－cos x ＋x sin x1－cos x2【解析】 y ′＝x ′1－cos x －x 1－cos x ′1－cos x 2＝1－cos x －x sin x1－cos x2. 【答案】 B5．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]【解析】 f ′(x )＝x 2sin θ＋3x cos θ， ∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin(θ＋π3)，∵θ∈[0，5π12]，∴sin(θ＋π3)∈[22，1]，∴f ′(1)∈[2，2]．【答案】 D二、填空题6．设函数f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，∴f ′(1)＝3×12－4×1＋1＝0. 【答案】 07．(2013·张家港高二检测)设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )，(a ，b ，c 是两两不等的常数)，则af ′a＋bf ′b＋cf ′c＝________.【解析】 ∵f ′(x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )，代入即得a f ′a＋b f ′b ＋cf ′c＝a a －ba －c＋b b －cb －a＋c c －ac －b＝－a b －c －b c －a －c a －ba －b b －c c －a＝－ab ＋ac －bc ＋ab －ac ＋bca －b b －c c －a ＝0.【答案】 08．(2013·重庆高二检测)设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．【解析】 ∵f ′(1)＝n ＋1，∴y ＝x n ＋1在点(1,1)处的切线方程为y ＝(n ＋1)(x －1)＋1.令y ＝0，得x n ＝nn ＋1，∴a n ＝lg n －lg(n ＋1)，∴a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg 1－lg 100＝－2. 【答案】－2 三、解答题9．求下列函数的导数． (1)y ＝x －sin x 2·cos x2；(2)y ＝1x·cos x .【解】 (1)∵y ＝x －sin x 2·cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x .(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·cos x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′cos x ＋1x(cos x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12′cos x －1x sin x ＝－12x －32cos x －1x sin x＝－cos x 2x 3－1x sin x ＝－cos x ＋2x sin x2x x . 10．已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，求a ，b 的值．【解】 (1)f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x x ＋12－bx2.由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝1，f ′1＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.所以a ＝1，b ＝1.11．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)求证曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【解】 (1)7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)【证明】设点P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2可知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)，即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)．令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0·|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 围成的三角形的面积为定值，此定值为6.(教师用书独具)设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 011(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x【解析】 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )，f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4.∴f 2 011(x )＝f 3(x )＝－cos x .【答案】 D已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n∈N *，n ≥2)，则f 1(π2)＋f 2(π2)＋…＋f 2 011(π2)＝________. 【解析】 f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )．又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1(π2)＋f 2(π2)＋…＋f 2 011(π2) ＝f 1(π2)＋f 2(π2)＋f 3(π2)＝－f 4(π2) ＝cos π2－sin π2＝－1. 【答案】－1。

2022-2021年《金版学案》数学·选修1-1(人教A版)习题：3.2导数的计算

第三章导数及其应用 3.2 导数的计算A 级基础巩固一、选择题 1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6′＝cos π6；③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；④⎝⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x.其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：(cos x )′＝－sin x ，所以①错误；sin π6＝12，而⎝ ⎛⎭⎪⎫12′＝0，所以②错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝0－（x 2）′x 4＝－2x x 4＝－2x －3，所以③错误；⎝⎛⎭⎪⎫－1x ′＝0－（x 12）′x ＝12x －12x ＝12x －32＝12x x ，所以④正确．答案：B2．f (x )＝x 3，f ′(x 0)＝6，则x 0等于( ) A. 2 B ．－ 2 C ．± 2 D ．±1解析：f ′(x )＝3x 2，由f ′(x 0)＝6，知3x 20＝6，所以 x 0＝±2. 答案：C3．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x （x ＋3）2B.x 2＋6x x ＋3C.－2x （x ＋3）2D.3x 2＋6x （x ＋3）2解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2x ＋3′＝（x 2）′（x ＋3）－x 2·（x ＋3）′（x ＋3）2＝ 2x （x ＋3）－x 2（x ＋3）2＝x 2＋6x（x ＋3）2. 答案：A4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2 D.e 22解析：由于y ＝e x ，所以 y ′＝e x ，所以 y ′|x ＝2＝e 2＝k ，所以切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2.在切线方程中，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝1，所以 S 三角形＝12×|－e 2|×1＝e 22.答案：D5．若f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 013(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x解析：由于f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ，所以循环周期为4，因此f2 013(x)＝f1(x)＝cos x.答案：C二、填空题6．已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于直线3x－y ＝0，则点P的坐标为________．解析：设点P的坐标为(x0，y0)，由于f′(x)＝4x3－1，所以4x30－1＝3，所以x0＝1.所以y0＝14－1＝0，所以即得P(1，0)．答案：(1，0)7．已知f(x)＝13x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝________．解析：由于f′(0)是一常数，所以f′(x)＝x2＋3f′(0)，令x＝0，则f′(0)＝0，所以f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.答案：18．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程是____________________．解析：y′＝3x2＋6x＋6＝3[(x＋1)2＋1]，所以当x＝－1时，y′取最小值3.此时切点坐标为(－1，－14)．所以切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.答案：3x－y－11＝0三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝(x－2)2；(3)y＝x－sinx2cosx2.解：(1)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9.法二：由于y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3，所以y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.(2)由于y＝(x－2)2＝x－4x＋4，所以y′＝x′－(4x)′＋4′＝1－4×12x－12＝1－2x－12.(3)由于y＝x－sinx2cosx2＝x－12sin x，所以y′＝x′－⎝⎛⎭⎪⎫12sin x′＝1－12cos x.10．已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0，16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程．解：设切点为(x0，y0)．则由导数定义得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x20－3，所以切线方程为y＝(3x20－3)x＋16，又切点(x0，y0)在切线上，所以y0＝3(x20－1)x0＋16，即x30－3x0＝3(x20－1)x0＋16，解得x0＝－2，所以切线方程为9x－y＋16＝0.B 级力量提升1．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)解析：y ′＝－4e x （e x ＋1）2＝－4e xe 2x ＋2e x＋1，设t ＝e x∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t＋2，由于t ＋1t ≥2，所以 y ′∈[－1，0)，α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案：D2．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x 的最小距离为________．解析：依据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图，则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即＝1.由于y ′＝(e x)′＝e x，所以 e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0，1)．利用点到直线的距离公式得距离为22.答案：223．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任意一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解：f ′(x )＝a ＋bx2.由于点(2，f (2))在切线7x －4y －12＝0上，所以 f (2)＝2×7－124＝12.又曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧f ′（2）＝74，f （2）＝12，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b 4＝74，2a －b 2＝12，⇒⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.所以 f (x )的解析式为f (x )＝x －3x.(2)证明：设⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0－3x 0为曲线y ＝f (x )上任意一点，则切线斜率k ＝1＋3x 20，切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，令x ＝0，得y ＝－6x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20（x －x 0），y ＝x得⎩⎨⎧x ＝2x 0，y ＝2x 0.所以曲线y ＝f (x )上任意一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12|2x 0||－6x 0|＝6，为定值．。

高中数学《导数的计算》学案1 新人教A版选修

高中数学《导数的计算》学案1 新人教A版选修3、2 导数的计算【成功细节】张玥谈导数的计算的方法（xx年，北京文9)已知是的导函数，则的值是＿＿＿＿、本节内容公式和法则比较多，以公式的推导、记忆以及应用为主，重点是基本初等函数导数公式以及导数的四则运算法则的灵活运用，公式的形式多样，容易引起混淆，并且公式中往往会有一些条件容易忽略，导致遗漏错误、所以在学习时，我认为应注意以下几个方面：（1）要牢记常数函数和幂函数的求导公式，能用定义法求这些函数的导数的方法，注意四种常见函数实际上就是四种特殊的幂函数；（2）要熟记基本初等函数的导数公式，特别是对数函数和指数函数的导函数的形式，；（3）熟练掌握导数的四则运算法则，注意公式的形式以及前提条件，两个函数的和与差的导数与两个函数积的导数的形式是不同的；（4）和（或差）、积的函数的导数运算法则可以推广到两个以上函数的和（差）、积的求导；（5）在求函数的导数时，一定要先化简函数的表达式，尽量不使用积的函数的导数的法则；（6）若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导。

如，这个题主要考查基本初等函数的导数公式以及函数和的导数的计算法则，是一个简单的小题，但计算时要细心，可先求出导函数，然后再求导数值，显然有公式可得，，所以、【高效预习】（核心栏目）“要养成学生阅读书籍的习惯就非教他们预习不可”。

叶圣陶【关注、思考】1、阅读课本第8182页，总结四个常用函数的导数公式，认真阅读导数公式的推导过程，这四个常用函数有什么共同的特征，其导数有什么意义？细节提示：利用导数的定义求解四种函数的导数，对照函数图象，把握住导数的物理意义和几何意义；四种常用函数实际上都是幂函数，探讨规律时，应把导函数的系数与幂指数与原函数进行对比、【领会、感悟】1、这四种函数实质上都是特殊的幂函数，它们的导函数的系数为幂函数的指数，指数为幂函数的指数减去1所的数值；函数的导数的几何意义是函数图象在该点处的切线的斜率【领会感悟】2、基本初等函数的导数公式是我们求解函数导数的基础，要记准确，记牢，才可能在运算过程中不出现错误。

3.2导数的计算(教学设计)

3．2．2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（导学案）教学目标：知识与技能目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则过程与方法目标：能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．情感、态度与价值观目标：通过学习本节课，培养学生对问题的认知能力，由于利用定义求函数的导数非常复杂，本节课直接给出了八个基本初等函数的导数公式表和导数的运算法则，学生不用推导而直接去求一些简单函数的导数，认识事物之间的普遍联系，达到学有所用，在训练中也加深了学生对学习数学的兴趣，激发学生将所学知识应用于实际的求知欲，培养浓厚的学习兴趣。

教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用学习过程：一．复习回顾，创设情景四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y=的导数公式及应用二．师生互动，新课讲解（一）可以直接使用的基本初等函数的导数公式表（2）推论：[]''()()cf x cf x =（常熟与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）三、公式的初步应用，求下列函数的导数和该点处的导数值题型一、题型二、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．(1)y ＝x 5－3x 3－5x 2＋6 (2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)；(3)y ＝x －1x ＋1； (4)y ＝x·sinx.．四、课堂巩固练习：课本85P 练习2 习题3.2 A 组第4题五、建构总结1、熟记基本初等函数的导数公式、导数的运算法则2、会用简单函数的导数，会用导数法则求导六、课时作业15七、课后思考：如何求函数 )52sin(2+=x x y 的导数?)1(),(,ln )()7()3(),(,log )()6()0(),(,)()5()2(),(,2)(4)6(),(,cos )()3()3(),(,sin )()24(),(,)()1(23f x f x x f f x f x f f x f e x f f x f x f f x f x x f f x f x x f f x f x x f xx x ''=''=''=''=''=''=''=求、求、求、求）、（求、求、（）求、ππ。

3.2 导数的计算教学设计教案

教学准备1. 教学目标知识与技能1.能够用导数的定义求几个常用函数的导数，会利用它们解决简单的问题．2.能根据基本初等函数的求导公式，求简单函数的导数．过程与方法使学生掌握由定义求导数的三个步骤，推导四种常见函数的导数公式．情感、态度与价值观通过本节的学习进一步体会导数与其他知识之间的联系，提高数学的应用意识，注意培养学生归纳类比的能力．2. 教学重点/难点教学重点用定义法求常用函数的导数以及基本初等函数的导数公式教学难点会用基本初等函数的导数公式解决简单的实际问题3. 教学用具多媒体4. 标签教学过程教学过程设计1、温故知新、引入课题【师】求函数在点xo处的导数的方法【师】导函数的概念?当x=x0时, f'（x0)是一个确定的数.那么,当x变化时,f'(x)便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:在不致发生混淆时，导函数也简称导数．【师】如何求函数y=f(x)的导数?【设计意图】复习函数在x0处的导数，和导函数的区别与联系，求导函数的方法和步骤，为学习新课打下基础，自然的进入课题内容。

2、新知探究【合作探究】根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.探究1 函数y=f(x)=c的导数.【师】根据导数定义，因为所以y'=0表示函数y=c图像（图1.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y=c 表示路程关于时间的函数，则y'=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．【活动】师生共同完成y'=1表示函数y=x图像（图1.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y=x 表示路程关于时间的函数，则y'=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．【活动】一生口述老师完成探究3.y=f(x)=x2的导数y'-=2x表示函数y=x2图像（图1.2-3）上点(x,y)处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x<0时，随着x的增加，函数y=x2减少得越来越慢；当x>0时，随着x的增加，函数y=x2增加得越来越快．若y=x2表示路程关于时间的函数，则y'=2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x．【板演/PPT】【活动】学生讨论自主完成。

3.2导数的计算学案

高二数学选修1-1 §3.2导数的计算学案
一、学习目标：1、能根据定义求函数c y =，x y =，2x y =，x
y 1
=
的导数。

2、能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单的函数的导数。

二、自主学习
1、几个常用函数的导数
探究1;在同一平面直角坐标系中，画出函数x y 2=，x y 3=，x y 4=的图像，并根据导数定义，求出他们的导数。

（1）从图像上看，他们的导数分别表示什么？
（2）这三个函数中哪个增加的最快？哪个增加的最慢？
（3）函数kx y =（k ≠0）增（减）的快慢和什么有关？
探究2：画出函数x
y 1
=
的图像，根据图像，描述它的变化情况，并求出曲线在点（1,1）处的切线方程。

2、基本初等函数的导数公式
3、函数x e y =的导数与函数x
a y =的导数有何关系？函数x y ln =的导数与函数x y a log =的导数有什么关
系？
4、若)(/x f =x e ，则)(/x f =x
e 这种说法正确吗？ 5、导数的四则运算法则
6、思考：导数的运算法则成立的条件是什么？
7、能否认为函数2
2
2)(x ax a x f -+=的导数为)(/
x f =2
22x x a -+或)(/
x f =a x 22+-？
8、函数x
x
x f cos )(=，则)(/x f =
三、本节课的收获：。

3.2导数的计算(教学设计)(1)

3.2导数的计算（教学设计）（1）3．2．1几个常用函数的导数教学目标：知识与技能目标：（1）能够用定义求四个常用函数的导数，并熟悉求导数的三个步骤。

（2）使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式；并能运用这四个公式正确求函数的导数．过程与方法目标：通过本节的学习，掌握利用导数的定义求导数的方法。

情感、态度与价值观目标：（1）通过本节的学习，进一步体会导数与物理知识之间的联系，提高数学的应用意识。

（2）通过本节的学习，培养学生对问题的分析能力与认识能力，进一步明白数学在研究整个自然科学中的重要位置。

教学重点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用教学难点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式教学过程：一、复习回顾：1．求f(x)在x 0年的导数的步骤为：1）求增量：∆y=f(x+∆x)-f(x)2)算比值：()()y f x x f x x x∆+∆-=∆∆ 3）求极限：y ’=0limx y x ∆→∆∆ 2．导数的几何意义。

二．创设情景，新课引入我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．三．师生互动，新课讲解：1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x y y ∆→∆→∆'===0y '=表示函数y 0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数()y f x x ==的导数因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00lim lim11x x y y x ∆→∆→∆'===∆1y '=表示函数y 1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00lim lim(2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x==的导数因为11()()y f x x f x x x x x x x -∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x-+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011lim lim()x x y y x∆→∆→∆'==-=-∆5．函数()y f x=因为()()y f x x f x x x x∆+∆-==∆∆∆==所以0lim lim x x y y x ∆→∆→∆'===∆（2）推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=例1（06安微文）若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（A ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= 例2(tb11502702)：（1）求曲线y=f(x)=1x 在点（1，1）年的切线方程。

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3.2导数的计算学案
一、学习目标：1、能根据定义求函数c y =，x y =，2x y =，x
y 1=
的导数。

2、能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单的函数的导数。

二、自主学习 1、几个常用函数的导数
探究1;在同一平面直角坐标系中，画出函数x y 2=，x y 3=，x y 4=的图像，并根据导数定义，求出他们的导数。

（1）从图像上看，他们的导数分别表示什么？
（2）这三个函数中哪个增加的最快？哪个增加的最慢？（3）函数kx y =（k ≠0）增（减）的快慢和什么有关？探究2：画出函数x
y 1=的图像，根据图像，描述它的变化情况，并求出曲线在点（1,1）处
的切线方程。

2、基本初等函数的导数公式
3、函数x e y =的导数与函数x a y =的导数有何关系？函数x y ln =的导数与函数
x y a lo g =的导数有什么关系？
4、若)(/x f =x e ，则)(/x f =x e 这种说法正确吗？
7、能否认为函数2
2
2)(x
ax a x f -+=的导数为)(/x f =2
22x
x a -+或
)(/
x f =a x 22+-？
8、函数x
x x f cos )(=
，则)(/
x f =。