配套学案：导数的计算
高中数学《导数的计算》学案1 新人教A版选修
高中数学《导数的计算》学案1 新人教A版选修3、2 导数的计算【成功细节】张玥谈导数的计算的方法（xx年，北京文9)已知是的导函数，则的值是＿＿＿＿、本节内容公式和法则比较多，以公式的推导、记忆以及应用为主，重点是基本初等函数导数公式以及导数的四则运算法则的灵活运用，公式的形式多样，容易引起混淆，并且公式中往往会有一些条件容易忽略，导致遗漏错误、所以在学习时，我认为应注意以下几个方面：（1）要牢记常数函数和幂函数的求导公式，能用定义法求这些函数的导数的方法，注意四种常见函数实际上就是四种特殊的幂函数；（2）要熟记基本初等函数的导数公式，特别是对数函数和指数函数的导函数的形式，；（3）熟练掌握导数的四则运算法则，注意公式的形式以及前提条件，两个函数的和与差的导数与两个函数积的导数的形式是不同的；（4）和（或差）、积的函数的导数运算法则可以推广到两个以上函数的和（差）、积的求导；（5）在求函数的导数时，一定要先化简函数的表达式，尽量不使用积的函数的导数的法则；（6）若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导。
如，这个题主要考查基本初等函数的导数公式以及函数和的导数的计算法则，是一个简单的小题，但计算时要细心，可先求出导函数，然后再求导数值，显然有公式可得，，所以、【高效预习】（核心栏目）“要养成学生阅读书籍的习惯就非教他们预习不可”。
叶圣陶【关注、思考】1、阅读课本第8182页，总结四个常用函数的导数公式，认真阅读导数公式的推导过程，这四个常用函数有什么共同的特征，其导数有什么意义？细节提示：利用导数的定义求解四种函数的导数，对照函数图象，把握住导数的物理意义和几何意义；四种常用函数实际上都是幂函数，探讨规律时，应把导函数的系数与幂指数与原函数进行对比、【领会、感悟】1、这四种函数实质上都是特殊的幂函数，它们的导函数的系数为幂函数的指数，指数为幂函数的指数减去1所的数值；函数的导数的几何意义是函数图象在该点处的切线的斜率【领会感悟】2、基本初等函数的导数公式是我们求解函数导数的基础，要记准确，记牢，才可能在运算过程中不出现错误。
导数的概念及运算--附答案
3.1导数的概念及运算(学案） 姓名【一.导数的意义】1.函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 0000()()limlimx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 称为函数()y f x =在0x x =处的导数.其几何意义为：【二.导数的运算公式】①()c '= ；②()nx '= ；③(sin )x '= ；④(cos )x '= ；⑤()xa '= ；⑥()x e '= ;⑦(log )a x '= ；⑧(ln )x '= ；⑨1()x'=；⑩'= ； 【三.导数的运算法则】①.和差的导数：[()()]f x g x '±= ；②.[()]C f x '⋅= ；其中C 为常数。
③.积的导数：[()()]f x g x '= ；④.商的导数：()()f x g x '⎛⎫ ⎪⎝⎭=(()0)g x ≠。
【四.复合函数的导数】设函数()u g x =在点x 处有导数x u '，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数u y '，则复合函数(())y f g x =在点x 处也有导数，且x y '＝__ ______， 【五.求导】1.求导：①)5'⋅xa x （=5x 4·a x ＋x 5·a x ln a；② sin(2)3x π'⎛⎫+ ⎪⎝⎭=③2ln 1x x '⎛⎫ ⎪+⎝⎭=2．已知 f (x )＝x 2＋3x (2)f '，则(2)f '＝__-2___.3.求函数y ＝(x －1)(x －2)·…·(x －100) (x >100)的导数.解析：两边取对数得ln y ＝ln(x －1)＋ln(x －2)＋…＋ln(x －100)．两边对x 求导：y ′y ＝1x －1＋1x －2＋…＋1x －100.∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x －1＋1x －2＋…＋1x －100·(x －1)(x －2)·…·(x －100)．【六.导数的几何意义】4.已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．解 (1)∵y ＝13x 3＋43，∴y ′＝x 2，∴曲线在点(2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4 由y －4＝4(x －2)，得4x －y －4＝0.∴曲线在点(2,4)处的切线方程为 4x －y －4＝0(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43 则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20. ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20x －23x 30＋43∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝05.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x (x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是___max 11()2t e e=+_____． 解析：设00(,),xP x e 则00000:(),(0,(1))x x x l y ee x x M x e -=-∴-，过点P 作l 的垂线000000(),(0,)x x x x y e e x x N e x e ---=--+，00000000011[(1)]()22x x x x x x t x e e x e e x e e --=-++=+-00'01()(1)2x x t e e x -=+-，所以，t 在(0,1)上单调增，在(1,)+∞单调减，max 11()2t e e=+。
导数的计算教案
导数的计算教案教案标题：导数的计算教案目标：1. 理解导数的概念和意义；2. 学会使用基本的导数计算法则；3. 掌握导数的计算方法；4. 能够应用导数计算解决实际问题。
教学重点：1. 导数的定义和意义；2. 导数计算的基本法则；3. 导数计算的方法；4. 导数在实际问题中的应用。
教学难点：1. 掌握导数计算的基本法则；2. 理解导数在实际问题中的应用。
教学准备：1. 教师准备：黑板、白板、彩色粉笔或白板笔、教学PPT；2. 学生准备：教科书、笔记本。
教学过程：Step 1: 导入与概念解释（5分钟）- 教师通过引入实际问题，引发学生对导数的思考，例如：速度的变化率、曲线的切线等。
- 教师解释导数的定义和意义，导数表示函数在某一点的变化率。
Step 2: 导数计算的基本法则（10分钟）- 教师介绍导数计算的基本法则，包括常数法则、幂法则、和差法则以及乘积法则。
- 教师通过示例演示如何使用这些基本法则计算导数。
Step 3: 导数计算的方法（15分钟）- 教师介绍导数计算的方法，包括用定义法计算导数和使用基本法则计算导数。
- 教师通过示例演示如何使用这些方法计算导数。
Step 4: 导数在实际问题中的应用（15分钟）- 教师引入一些实际问题，如最速下降问题、最大值最小值问题等，并解释如何使用导数解决这些问题。
- 教师通过示例演示如何应用导数计算解决实际问题。
Step 5: 练习与巩固（15分钟）- 学生进行导数计算的练习，包括基本法则的运用和实际问题的应用。
- 教师逐个解答学生的问题，并给予指导和反馈。
Step 6: 总结与拓展（5分钟）- 教师对本节课的内容进行总结，强调导数的概念、计算方法和应用。
- 教师鼓励学生进行更多的练习和拓展，深化对导数的理解和应用。
教学延伸：1. 学生可以进一步学习高阶导数和导数的应用，如泰勒展开、微分方程等；2. 学生可以进行更多的导数计算练习，提高计算能力和应用能力；3. 学生可以尝试使用计算机软件或在线工具进行导数计算和绘制函数图像。
大学导数的计算教案
课时：2课时教学目标：1. 让学生理解导数的概念，掌握导数的定义和计算方法。
2. 使学生能够熟练运用导数公式和导数的运算法则求解简单函数的导数。
3. 培养学生运用导数解决实际问题的能力。
教学重点：1. 导数的定义和计算方法。
2. 常用函数的导数公式和导数的运算法则。
教学难点：1. 导数的定义和计算方法的理解。
2. 导数公式的记忆和应用。
教学准备：1. 多媒体课件2. 导数公式和导数运算法则的表格3. 练习题教学过程：第一课时一、导入1. 复习极限的概念，引入导数的概念。
2. 举例说明导数在物理学、经济学等领域的应用。
二、新课讲授1. 导数的定义：介绍导数的定义，让学生理解导数的概念。
2. 导数的计算方法：讲解导数的计算方法，包括导数的定义法和导数的公式法。
3. 常用函数的导数公式：介绍常用函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
三、例题讲解1. 利用导数的定义法求导数的例题。
2. 利用导数公式法求导数的例题。
3. 利用导数的运算法则求导数的例题。
四、课堂练习1. 让学生独立完成课后练习题，巩固所学知识。
第二课时一、复习1. 回顾导数的定义和计算方法。
2. 回顾常用函数的导数公式和导数的运算法则。
二、新课讲授1. 导数的几何意义：讲解导数的几何意义，让学生理解导数与函数图像的关系。
2. 导数的物理意义：讲解导数的物理意义，让学生理解导数在物理学中的应用。
三、例题讲解1. 利用导数的几何意义和物理意义求解例题。
2. 利用导数求解实际问题。
四、课堂练习1. 让学生独立完成课后练习题，巩固所学知识。
五、总结1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点。
2. 鼓励学生在课后复习，加强巩固。
教学评价：1. 通过课堂练习和课后作业，了解学生对导数的掌握程度。
2. 通过课堂提问和课堂讨论，评估学生对导数的理解和应用能力。
教学反思：1. 根据学生的反馈，调整教学方法和教学内容。
2. 注重培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.2导数的计算(教学设计)
3．2．2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（导学案）教学目标：知识与技能目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则过程与方法目标：能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．情感、态度与价值观目标：通过学习本节课，培养学生对问题的认知能力，由于利用定义求函数的导数非常复杂，本节课直接给出了八个基 本初等函数的导数公式表和导数的运算法则，学生不用推导而直接去求一些简单函数的导数，认识事物之间的普遍联系，达到学有所用，在训练中也加深了学生对学习数学的兴趣，激发学生将所学知识应用于实际的求知欲，培养浓厚的学习兴趣。
教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用学习过程：一．复习回顾，创设情景四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y=的导数公式及应用二．师生互动，新课讲解（一）可以直接使用的基本初等函数的导数公式表（2）推论：[]''()()cf x cf x =（常熟与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 三、公式的初步应用，求下列函数的导数和该点处的导数值 题型一 、题型二、根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．(1)y ＝x 5－3x 3－5x 2＋6 (2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)；(3)y ＝x －1x ＋1； (4)y ＝x·sinx.． 四、课堂巩固练习：课本85P 练习2 习题3.2 A 组第4题五、建构总结1、熟记 基本初等函数的导数公式、导数的运算法则2、会用简单函数的导数，会用导数法则求导六、课时作业15七、课后思考：如何求函数 )52sin(2+=x x y 的导数?)1(),(,ln )()7()3(),(,log )()6()0(),(,)()5()2(),(,2)(4)6(),(,cos )()3()3(),(,sin )()24(),(,)()1(23f x f x x f f x f x f f x f e x f f x f x f f x f x x f f x f x x f f x f x x f xx x ''=''=''=''=''=''=''=求、求、求、求）、（求、求、（）求、ππ。
导数的计算教案
导数的计算教案(二)教学目标:1. 了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义． 2．能根据导数的定义求函数的导数3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数. 重点:1.了解导数公式的推导过程、理解导数的四则运算法则.2.掌握几种常见函数的导数公式.3.能够运用导数公式和求导法则进行求导运算. 难点: 能够运用导数公式和求导法则进行求导运算 教学过程创设情景、引入课题 问题1：复习导数定义 新课:1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率Δx Δy＝为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0)＝Δx Δy＝.(2).函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．(3)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(4).曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线.(5)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝为f (x )的导函数．(6)f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，[f ′(x 0)]′＝0.2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝n ·x n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝e xf ′(x )＝e xf (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1) f ′(x )＝xln a 1f (x )＝ln xf ′(x )＝x 13.导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2．熟记以下结论：(1)x 1′＝－x21；(2)(ln|x |)′＝x 1； (3)(f (x )≠0)；(4)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )．例1.求下列函数的导数：(1)y ＝1x 2＋sin x 2cos x 2；(2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－32x －6＋2；(3)y ＝cos x ln x ； (4)y ＝xex . 解: (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＋sin x 2cos x 2′＝(x －2)′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝－2x －3＋12cos x ＝－2x 3＋12cos x .(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－32x 2－6x ＋2′＝(x 3)′－⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2′－(6x )′＋(2)′＝3x 2－3x －6.(3)y ′＝(cos x ln x )′＝(cos x )′ln x ＋cos x (ln x )′＝－sin x ln x ＋cos xx .(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x e x ′＝x ′e x －x e x ′e x2＝e x －x e x e 2x＝1－xe x.练习:课本小结: 于比较复杂的函数，若直接套用求导公式，会使求解的过程繁琐冗长，且易出错.故可先对函数的解析式进行合理的恒等变形，转化为容易求导的结构形式再求导数，尽量回避利用积与商的求导公式. 作业:蓝本。
导数的四则运算教案
导数的四则运算教案
一、教学目标
1. 理解导数的四则运算，掌握导数的加、减、乘、除运算规则。
2. 能够运用导数的四则运算规则解决一些简单的实际问题。
3. 培养学生的数学逻辑思维和运算能力。
二、教学内容
1. 导数的加法运算规则
2. 导数的减法运算规则
3. 导数的乘法运算规则
4. 导数的除法运算规则
三、教学难点与重点
难点：理解导数的四则运算规则，掌握其应用方法。
重点：导数的加、减、乘、除运算规则。
四、教具和多媒体资源
1. 黑板
2. 投影仪
3. 教学软件：几何画板
五、教学方法
1. 激活学生的前知：回顾导数的定义和性质，为学习导数的四则运算做准备。
2. 教学策略：通过讲解、示范、小组讨论等方式进行教学。
3. 学生活动：进行导数的四则运算练习，解决实际问题。
六、教学过程
1. 导入：通过实际问题导入，例如：速度的变化与加速度的关系，曲线的切线斜率等。
2. 讲授新课：讲解导数的四则运算规则，并举例说明。
3. 巩固练习：给出几个实际问题，让学生运用导数的四则运算规则求解。
4. 归纳小结：总结导数的四则运算规则，强调在实际问题中的应用。
七、评价与反馈
1. 设计评价策略：通过课堂小测验或小组报告的方式评价学生的学习效果。
2. 为学生提供反馈：根据学生的测验或报告结果，为学生提供学习建议和指导。
八、作业布置
1. 完成教材上的相关练习题。
2. 自行寻找一些实际问题，运用导数的四则运算规则求解。
导数的运算大学教案
教学对象：大学本科生教学目标：1. 理解导数的概念，掌握导数的定义及求导方法。
2. 掌握导数的四则运算法则，包括导数的加法、减法、乘法和除法法则。
3. 学会运用导数的四则运算法则求解复合函数的导数。
4. 通过实例分析，培养学生运用导数解决实际问题的能力。
教学重点：1. 导数的四则运算法则。
2. 复合函数的导数求解。
教学难点：1. 导数的四则运算法则的推导和应用。
2. 复合函数导数的求解。
教学准备：1. 教学课件2. 练习题教学过程：一、导入1. 复习导数的定义和求导方法。
2. 引入导数的四则运算法则，提出教学目标。
二、新知讲解1. 导数的四则运算法则（1）导数的加法法则：若函数f(x)和g(x)的导数存在，则它们的和的导数为f'(x) + g'(x)。
（2）导数的减法法则：若函数f(x)和g(x)的导数存在，则它们的差的导数为f'(x) - g'(x)。
（3）导数的乘法法则：若函数f(x)和g(x)的导数存在，则它们的积的导数为f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
（4）导数的除法法则：若函数f(x)和g(x)的导数存在，且g'(x)≠0，则它们的商的导数为(f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / [g(x)]^2。
2. 复合函数的导数求解（1）内函数和外函数的导数存在。
（2）根据链式法则，复合函数的导数为外函数导数乘以内函数导数。
三、例题分析1. 举例说明导数的四则运算法则的应用。
2. 举例说明复合函数导数的求解。
四、练习1. 学生独立完成练习题，巩固所学知识。
2. 教师解答学生疑问。
五、总结1. 回顾本节课所学内容，强调导数的四则运算法则和复合函数导数的求解。
2. 强调导数在实际问题中的应用。
六、课后作业1. 完成课后练习题，加深对导数的四则运算法则和复合函数导数的理解。
2. 预习下一节课内容。
教学反思：1. 本节课通过讲解导数的四则运算法则和复合函数导数的求解，帮助学生掌握了导数的运算方法。
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导数的计算（复习课）
【学习目标】
1.掌握基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则；
2.会求含有加、减、乘、除运算的函数导数；
3.会求简单复合函数的倒数.
【知识回顾】
1.基本初等函数的导数公式：
（1）c '=___________（c 为常数）；
（2）)('α
x =________（α为常数）；
（3）)('x a =________（0a ＞且1a ≠）；
（4）)(log 'x a =______（0a ＞且1a ≠）；
（5）)('x e =_____________；
（6）)(ln 'x =_____________；
（7）=')(sin x ___________；
（8）)(cos 'x =____________． 2.设两个函数分别为f(x)和g(x),
（1）=')]([x f c _____________;
（2）[]='±)()(x g x f ___________；
（3）[]='•)()(x g x f __________________;
（4）='⎥⎦
⎤⎢⎣⎡)()(x g x f ____________)0)((>x g ．
3. 复合函数()[]x f y ϕ=，设u φ＝(x ), 则))((x f ϕ'=_________________.
(复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代)
【典例精析】
例1. 求曲线2
y x ＝过下列点的切线方程：（1）P （-1,1）；（2）Q(0，－1).联合例5后置处理
例2.求下列函数的导数：
（1）y=3x ·lnx ；
（2）y=lgx-
2x 1；
（3）y=
x
x -1cos ；
（4）2)2(-=x y .
例3.已知2()2(1)f x x xf '=+，求(0)f '.
例4.设()(1)(2)(3)f x x x x x ＝＋＋＋(4)x ＋，求)2-(f '．
例5.已知曲线y ＝ln x ，则过点 (0，－1)的曲线的切线方程为(
) A ．x －2y －2＝0
B ．x －y －1＝0
C ．x －y －1＝0或x ＋y －1＝0
D ．2x －3y －3＝0
可以与例1的第2问一起处理
【当堂达标】
1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ）
A ．sin α
B ．cos α
C ．sin cos αα+
D ．2sin α
2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（
）
3.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）
A ．430x y --=
B ．450x y +-=
C ．430x y -+=
D ．430x y ++=
4.求函数3(1cos 2)y x =+的导数.
【课时作业】
1.函数2x y e =的导数'y =
2.函数n y mx =的导数为34y x '=，则m = ，n = .
3.()cos f x x x =,则'()3
f π
= .
4.函数2log ()x f x x
=
,则该函数的导数'()f x = .
5.设2()22'(1)f x x f x =-,求)1(f '.
6.函数()f x 的导函数'()f x 是一次函数,且()f x 是偶函数,'(1)2f =,(1)2f =-,求()f x 的函数表达式.
7.设函数x
b ax x f -=)(，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0, （1）求f(x)的解析式；
（2）证明：曲线y=f(x)上任一点出的切线与直线x=0和直线y=x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值.
8.曲线y=e2x cos3x在点(0,1)处的切线与直线l的距离为5，求直线l的方程.。