经验公式和临界应力总图
第二十二讲-临界应力总图、稳定设计
Fw2 F EIw2
l x1
w2 A2 sin kx 2 B2 cos kx 2
15
w1 A1 sin kx1 B1 cos kx1
l
x1
(a)
w2 A2 sin kx2 B2 cos kx2 x1 0 , w1 0 (1) x2 0 , w2 (2) x1 l , w1 0 (3) x1 x 2 l , w1 w2 (4) w2 (5) x1 x2 l , w1
钢与合金钢： E (200 ~ 220) GPa 铝 合 金：E (70 ~ 72) GPa
对于中柔度压杆
强度 较高的材料， cr 也高
对于小柔度压杆 按强度 要求选择材料
28
合理选择截面 对于细长与中柔度压杆, 愈小, cr 愈高
l
i l A I
选择惯性矩较大的截面形状
p
p
欧拉公式的适用范围：
p p 的压杆－大柔度杆或细长杆
例如，Q235钢，E＝200 GPa, p196 MPa
p 100
20
中柔度杆临界应力与临界应力总图
< p 的压杆－非细长杆，属于非弹性稳定问题
1. 直线型经验公式
cr a b
( 0 < < p )
17
§4 中小柔度杆的临界应力
临界应力与柔度
欧拉公式适用范围
中柔度杆临界应力与 临界应力总图 例题
18
临界应力与柔度
Fcr cr －临界应力 压杆处于临界状态时 横截面上的平均应力 A EI 2 EI 2E I Fcr cr 2 2 2 ( l ) ( l ) A ( l ) A 2E I i 2 －截面惯性半径 cr A l i
压杆的临界应力
a
1和b
是与材料有关的常数，可从有关的手册中查到。
1
2、scr=sS时，不存在失稳问题，应考虑强度问题强度破
坏，采用强度公式：
scr s s
三、临界应力总图
例1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ三根材料、长度均相同、两端均为球铰支座的细 长杆结构，各自的截面形状如图，求三根杆的临界应力 之比以及临界力之比。
解：
s cr a :s cr b :s cr c
②柔度(细长比)： l L
i
2.欧拉公式应用范围：
①线弹性状态下的大柔度杆：slj≤sp，即
p 2E l2
≤s
p
说明： 在推导欧拉公式时,使用了挠曲线的近似微分方程，
在推导该方程时, 应用了胡克定律。因此，欧拉公式也 只有在满足胡克定律时才能适用。
∴
l≥
p 2E sp
lp
3.注意 对于A3钢，E=200GPa，sp=200MPa：
A
E BC
[FNC ] 245kN
F2
[Nc ] 1.36
180kN
a
a
F D a
10-5 提高压杆稳定性的措施
一、从材料方面考虑 1.细长压杆：提高弹性模量E
2.中粗压杆和粗短压杆：提高屈服强度ss
二、从柔度方面考虑 1.采用合理的截面形状： （1）各方向约束相同时：
1)各方向惯性矩I相等—采用正方形、圆形截面； 2)增大惯性矩I—采用空心截面； （2）压杆两方向约束不同时：使两方向柔度接近相等， 可采用两个主惯性矩不同的截面，如矩形、工字形等。
p2E
l
2 1
p2E : l22
p2E
:
l
欧拉公式的适用范围经验公式
解：在正视图平面内弯 曲时，截面将绕z轴转动，
A、B二处视为铰支约束；
bh3 μ = 1, Iz = 12 ,iz =
Iz A
=
h 23
λz
=
μl iz
= 132.6
在俯视图平面内弯曲时，截面将绕y轴转动，A、
B二处视为固定端约束；
μ
=
0.5, I y
=
b3h 12
,iy
=
Iy A
=
b 23
λy
=
欧拉公式的适用范围 及经验公式
当轴向压力F 等于临界压力Fcr时，压杆才可能 由直线平衡过渡到微弯状态保持平衡。
临界压力的双重性： 1、细长压杆保持直线平衡的最大载荷； 2、细长压杆保持微弯平衡的最小载荷。
细长压杆的临界压力（欧拉公式）
π 2 EI Fcr = (μl)2
注意：欧拉公式是在线弹性的条件下建立，只有材料 服从胡克定律，即杆内的应力不超过材料的比例极限， 才能用欧拉公式计算压杆的临界压力。
μl iy
= 99.5
由于 z>y 压杆将在正视图平面内失稳。
且有： λz = 132.6 > λp = 100
故，根据欧拉公式计算临界应力
cr
2E 2
2 205109
132.62
115.07MPa
临界载荷为
Fcr cr A cr (bh)
115.07 106 40 60 106 276.17kN
σcr
=
π2E λ2
σp
或者
λ
π2E σp
=
λp
p—仅与材料的弹性模量 E 及比例极限p有关。 即： ≥p 时，欧拉公式才成立。压杆称为大柔度杆。
临界应力定义课件
有限元法
有限元法是一种数值计算方法，通过将连续的物体离散成有限个小的单 元（如三角形、四边形等），并对每个单元进行受力分析，再综合所有 单元的受力情况来求解临界应力。
有限元法可以处理复杂形状和边界条件的问题，并且可以模拟非线性应 力-应变关系。
有限元法的计算精度取决于离散的单元数量和形状，以及所选择的材料 模型和边界条件。
材料性质
金属材料
金属材料的临界应力受其晶体结构、纯度、合金元素、微观 组织等因素影响。例如，纯金属的临界应力通常低于合金， 因为合金中的杂质和第二相粒子可以阻碍位错的运动。
非金属材料
对于非金属材料，如陶瓷和聚合物，其临界应力受材料成分 、颗粒大小、纤维方向和基体与增强相之间的关系等因素影 响。
温度
深入探究复杂加载条件下材料的应力状态和失效机制。
多因素影响下的临界应力研究
03
综合考虑各种影响因素，提高临界应力预测的准确性和可靠性
。
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临界应力定义课件
CONTENTS 目录
• 临界应力的定义 • 临界应力的计算方法 • 临界应力的影响因素 • 临界应力的应用场景 • 临界应力的研究现状与展望
CHAPTER 01
临界应力的定义
物理意义
临界应力是材料在某 个特定温度下开始屈 服并发生塑性变形的 应力值。
临界应力的大小取决 于材料的种类、温度 、加载速率和晶粒度 等因素。
加载条件
临界应力与加载速度、温 度等条件密切相关，准确 模拟这些条件具有挑战性 。
多因素耦合
临界应力受到多种因素的 影响，如内部缺陷、环境 因素等，多因素耦合分析 难度较大。
未来研究方向
新材料临界应力研究
工程力学28-压杆的临界应力
——重点
（1） P cr S时： cr 临界a应力总b图
cr
a b
s
a s b
s
s p称为中柔度杆，用经验公式求其临界应力。
（2） S 时： cr S
S 称为小柔度杆，其临界应力为屈服极限。
目录
4
总结：
•压杆柔度
l μ的四种取值情况
i
i
I A
•临界柔度
P
2E P
9-
与长度、截面性质、约束条件有关
目录
4
2
2.欧拉公式的适用范围 着眼点——临界应力在线弹性内（小于比例极限）
cr
2E 2
P
2E P
P
P 时称为大柔度杆（或长细杆），用欧拉公式求临界力；
P 时称为中、小柔度杆,不能用欧拉公式求临界力。
3 目录
3.经验公式、临界应力总图
直线型经验公式
32. 压杆的临界应力
1.临界应力和柔度
（1）临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力
Fcr cr A （2）细长压杆的临界应力：
cr
Fcr A
2EI (E 2
即： cr
（3）柔度：
l i
2E 2
i I — 惯性半径
A
— —杆的柔度（或长细比）
P 比例极限
•临界应力
s
a s b
s 屈服极限
P
(大柔度杆) cr
2E 2
欧拉公式
S P (中柔度杆)cr a b直线公式
s (小柔度杆) cr s 强度问题
临界应力的经验公式包括
临界应力的经验公式包括摘要：一、临界应力经验公式的概述二、临界应力经验公式的具体内容正文：一、临界应力经验公式的概述临界应力经验公式是工程力学中一个重要的概念，它用于预测材料在受到一定载荷作用下，何时会开始发生塑性变形。
这种变形通常发生在材料内部的微小缺陷处，并随着载荷的增加而不断扩大。
临界应力经验公式可以帮助工程师在设计结构时，确保材料在使用过程中不会因超过其承载能力而出现塑性变形。
二、临界应力经验公式的具体内容临界应力经验公式包括以下几个方面：1.莫根堡公式莫根堡公式是最常用的临界应力经验公式之一，它表示为：σc = σs / sqrt(1 - ν)其中，σc 为临界应力，σs 为材料的屈服强度，ν 为材料的泊松比。
2.库仑公式库仑公式是另一种常用的临界应力经验公式，它表示为：σc = 0.5 * σs * sqrt(2 * E / π * (1 - ν))其中，σc 为临界应力，σs 为材料的屈服强度，E 为材料的弹性模量，ν为材料的泊松比。
3.瑞利公式瑞利公式主要用于计算临界应力σc与材料的屈服强度σs之间的关系，它表示为：σc = 0.5 * σs * (1 + ν)其中，σc 为临界应力，σs 为材料的屈服强度，ν 为材料的泊松比。
4.修正莫根堡公式修正莫根堡公式是对莫根堡公式的改进，它考虑了材料内部缺陷的影响，适用于预测材料的疲劳寿命。
修正莫根堡公式表示为：σc = σs * sqrt(1 - (εs / εp))其中，σc 为临界应力，σs 为材料的屈服强度，εs 为材料的屈服应变，εp 为材料的极小偏移应变。
第二十七讲经验公式计算临界力、压杆的稳定性计算
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
Mechanic of Materials
四、临界应力总图
1、直线、欧拉
cr S S
a b
P
C
2E
2
S P
P
2E P
s
a
S
b
当 s时: cr s
当P s时: cr a b
当
P时: cr
2E 2
Q235钢: s 61.6 , P 100
1,
i D 4
1 2 0.1
4
1
80 100
2
0.032m
l
i
1 3.5 0.032
109
P
y
A 2m
3m
z
C
B
120
3P
D=100mm
d=80mm
(2)确定求Fcr的公式：
G
P
2E P
2 (2105 106 ) (200 106 ) 99 109
[nst]=3 n=2
[P1] 340 2.5 136kN
AB杆满足稳定性要求 目录
P. 312 9- 5、14、 15
Mechanic of Materials
§9.5 压杆的稳定校核
安全系数法能否 设计压杆的截面
Mechanic of Materials
§9.5 压杆的稳定校核
二、许用应力折减法——实用计算
1、稳定条件：
工作
F工作 A
[ ]( [ ]w)
259.01kN
60
y z
40
x
F Fcr x x
F Fcr
Mechanic of Materials
材料力学笔记之——欧拉公式适用范围、临界应力总图
材料力学笔记之——欧拉公式适用范围、临界应力总图欧拉公式的适用范围欧拉公式的推导方法是，在服从胡克定律的前提下，得到梁的曲率方程，再由曲率方程推导出挠曲线近似微分方程，挠曲线微分方程积分并根据边界条件确定积分常数，从而确定压杆的临界压力。
综上所述，欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的，杆内的应力小于比例极限。
压杆在临界压力作用下，其在直线平衡位置时横截面上的应力称为临界应力。
其中式中，λ称为柔度（长细比），i为截面的惯性半径。
柔度又称为压杆的长细比，反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形状对临界力的影响。
由欧拉公式的推导过程可知，欧拉公式的适用范围，临界应力小于或等于材料的比例极限可得这类杆件称为大柔度杆，或细长杆。
经验公式、临界应力总图当杆件的柔度小于λp时，临界应力大于材料的比例极限，欧拉公式不再适用。
对于这类杆件工程中一般使用以试验为依据的经验公式：直线公式、抛物线公式。
1. 直线公式这类压杆失稳时，横截面上的应力已超过比例极限，故属于弹塑性稳定问题，直线公式，即临界应力与柔度成线性关系，且临界应力随柔度增大而减小式中，a、b为与材料性能有关的常数。
当应力增大到屈服极限时，材料发生屈服失效，这时不再是稳定问题，而是强度问题，其临界应力最大值为可得直线公式适用的柔度下限值即直线公式适用的柔度范围这类杆件称为中柔度杆件。
当杆件的柔度小于λs时，称为小柔度杆或短粗杆。
这类压杆发生强度失效，而不是稳定失效，临界应力临界应力随柔度变化的关系，可画出曲线如下图所示，称为压杆的临界应力总图。
临界应力总图（直线公式）2. 抛物线公式对于中柔度杆和小柔度杆，不同的工程设计中，也可以采用抛物线公式计算临界应力式中，a1 和b1 也是与材料有关的常数。
临界应力总图（抛物线公式）折减弹性模量理论工程中大部分受压杆件不是大柔度杆件，可以采用折减弹性模量理论分析这类压杆的临界压力。
材料在压缩时的应力-应变曲线如图所示，当应力超过比例极限时，加载时应力应变曲线为非线性，把这部分曲线的切线斜率作为该应力水平的弹性模量，称为切线弹性模量。
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欧拉公式的适用范围
经验公式
一、临界应力
A l EI A F σ22cr cr )(πμ==I i A
=令 ， i ：惯性半径 令 ，λ：压杆的柔度（长细比）。
i l
μλ=()(/)22222ππE E i l l i μμ=⋅=22πE λ
=
二、 欧拉公式的适用范围
或 =≤2
cr p 2πE σσλ=1p
πE σλ≥2p πE σλ令 λ ≥ λ1的杆称为大柔度压杆或细长压杆。
当 λ＜λ1 但大于某一数值 λ2的压杆不能
应用欧拉公式，此时需用经验公式。
Q235钢，取 E =206GPa ，σp =200MPa ，得
9
16p 20610ππ10020010
E σλ⨯==≈⨯
三. 常用的经验公式
式中：a 和b 是与材料有关的常数，可查表。
直线公式 s cr σλ≤-=b a σ 的杆为中柔度杆，其临界应力用
经验公式计算。
12λλλ<≤或 b
a s σλ-≥b
a s σλ-=2令
1λλ≥12λλλ<≤四、压杆的分类及临界应力总图
1.压杆的分类
2
cr 2
πE σλ=λ
b a σ-=cr s
cr σσ=（1）大柔度杆 （2）中柔度杆 （3）小柔度杆 2λλ≤
2.临界应力总图 s cr σσ=λb a σ-=cr 2
2
cr πλE σ=cr
σλ
λ1 λ2 p σs
σ
例题压杆截面如图所示。
两端为柱形铰链约束，若绕
y 轴失稳可视为两端固定，若绕z轴失稳可视为两端铰支。
杆长l=1m，材料的弹性模量E=200GPa，
p
=200MPa。
求压杆的临界应力。
30mm y
z
解： ==1p π99E σλ31(0.030.02)120.0058m 0.030.02y y I i A
=⨯=
=⨯30mm y z m 0087.0==A
I i z z
1
5.0==z y μμ11586====z z z y y y i l i l
μλμλλz > λy ，所以压杆绕 z 轴先失稳， 且 λz =115 > λ1，用欧拉公式计算临界力。
kN 5.89π2
2
cr cr =⋅==z E A A σF λ30mm
y z 欧拉公式的适用范围·经验公式
例题：外径 D = 50 mm ，内径 d = 40 mm 的钢管，两端 铰支，承受轴向压力F 。
材料为 Q235钢，E = 200 GPa ， σp = 200 MPa ， σs = 240 MPa ，a =304MPa ，b =1.12MPa 。
求：（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度；（2）当压 杆长度为上述最小长度的3/4 时，压杆的临界应力。
解：1. 能用欧拉公式时压杆的最小柔度 ==1p
π100E σλ
2
222444
14)(π64)(πd D d D d D A I i +=--==1004122=≥+==
λμμλd D l i l 2222
1min 1000.050.04= 1.6m 441
D d l l λμ++≥==⨯压杆 μ = 1，
2. 用直线公式计算
m 2.14
3min ==l l 122754λμμλ<=+==d
D l i l λλ<=-=-=5712
.1240304s 2b σa kN 5.155)(4
π)(22cr cr =--=⋅=d D b a σA F λ
本讲结束。