量子统计(统计力学部分)
量子统计系综的基本原理[整理]
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一．量子统计系综的基本原理1．近点统计系综理论统计力学研究的对象是大量粒子组成的系统。
它的目的是一物质微观结构的动力学行为作为依据，应用统计的方法，解释物体在宏观上、整体上表现出来的物理性质。
物质微观粒子的动力学状态遵从量子力学的规律，在此基础上建立的统计力学称为量子统计力学。
近点统计力学是量子统计力学的经典极限。
引进系综和系综平均的概念是系综理论主要内容。
我们知道统计力学区别于力学的主要点在于：它不像力学那样，追求系统在一定初始条件下任何时刻所处的确切的动力学状态；而认为系统的动力学状态准从统计规律。
大量处于相同宏观条件下,性质完全相同而各处于某一微观运动状态、并各自独立的系统的集合称为统计系综。
系综理论中重要的物理量是密度函数。
密度函数对于整个像空间的积分应是一个与时间无关的常数，等于相点的总数。
因此引进几率密度函数()t p q ,,ρ是很方便的。
几率密度函数()t p q ,,ρ随时间的变化满足方程{}0,=+∂∂H t ρρ这个方程称为刘伟方程。
它表明，只要给出某一时刻的几率密度函数就可以确定以后任意时刻的几率密度。
容易看出，()t p q ,,ρ的函数形式与系统的宏观状态有关。
如果系统处于平衡态，则几率密度函数必不显含时间，只能()p q ,是的函数。
在平衡态的系综理论中，经常用到微正则系综、正则系综、巨正则系综和等温等压系综。
组成微正则系综的系统的特征是系统的能量、体积和总粒子数恒定，满足()E H p q <=,0,ρ和E E H ∆+>与温度恒定的大热源相接触，具有确定粒子数和体积的系统组成的统计系综称为正则系综。
正则系综的宏观状态的特征是系统的体积、粒子数和温度恒定；与温度恒定的大热源和化学势恒定的大粒子源接触，体积一定的系统组成的统计系统系综称为巨正则系统，巨正则系统的宏观状态的特征是系统的体积、化学势和温度恒定巨正则分配函数由下式决定()()[]γβμβμβd N p q H V N ⎰⎰+-∑=Ξ≥,exp ,,0与温度恒定的热源相接触，并通过无摩擦的活塞与恒压强源相接触，粒子数恒定的系统所组成的统计系综称为等温等压系综。
量子力学中的统计力学基本概念
量子力学中的统计力学基本概念量子力学是现代物理学中一门重要的学科，研究微观粒子的行为和性质。
而统计力学则是研究大量粒子的集体行为和性质的学科。
在量子力学中，统计力学有着其独特的基本概念和原理。
本文将介绍量子力学中的统计力学基本概念，并探讨其在物理学和其他领域的应用。
一、量子力学基本概念回顾在深入讨论量子力学中的统计力学基本概念之前，我们先回顾一下量子力学的基本概念。
1. 波粒二象性：量子力学认为微观粒子既具有波动性又具有粒子性，即波粒二象性。
这一概念是量子力学的基石，也是了解统计力学的重要前提。
2. 不确定性原理：根据不确定性原理，无法同时准确测量一个粒子的位置和动量。
这是由于测量过程的干扰和观测装置的局限性所导致的。
3. 波函数：波函数是量子力学中描述粒子行为的数学函数。
它可以描述粒子的位置、动量、能量等物理量。
二、统计力学的基本概念统计力学是描述大量微观粒子集体行为的一种物理学方法。
在量子力学中，统计力学有着自己独特的基本概念和原理。
1. 玻尔兹曼分布：玻尔兹曼分布是描述单原子气体中粒子分布的统计力学概念。
根据玻尔兹曼分布，粒子的分布与粒子的能量有关，能量越高的粒子越少。
2. 统计系综：统计系综是对系统的一种全面描述的方法。
它将系统看作是大量完全相同的个体的集合，在统计系综中，我们可以通过统计方法研究系统的性质和行为。
3. 热力学势函数：热力学势函数是描述系统平衡状态的一种函数，包括自由能、内能和熵等。
通过定义和计算热力学势函数，我们可以分析系统的平衡性质和稳定性。
三、统计力学的应用统计力学不仅在物理学中有着重要的应用，还在其他科学领域中有着广泛的应用。
1. 热力学：热力学是研究热能转化和宏观物质性质的学科。
统计力学为热力学提供了微观粒子的统计规律，通过统计方法可以解释宏观物质的热力学性质。
2. 凝聚态物理学：凝聚态物理学研究凝聚态物质的性质和行为。
统计力学是凝聚态物理学的重要基础，可以解释和预测凝聚态物体的相变、性质和结构等问题。
量子统计力学中的巨正则系综
量子统计力学中的巨正则系综量子统计力学是研究微观粒子的统计行为的物理学分支，它描述了由大量粒子组成的系统的性质。
在量子统计力学中，我们通常使用系综来描述这些系统。
巨正则系综是量子统计力学中的一种重要的系综，它描述了与外界热库和粒子库交换粒子和能量的系统。
本文将介绍巨正则系综的基本概念和数学表达式，并讨论其在研究物理系统中的应用。
巨正则系综是一种描述粒子数和能量都可以变化的系统的统计系综。
在巨正则系综中，系统与外界热库和粒子库交换粒子和能量，从而使得系统的粒子数和能量可以发生变化。
这种交换使得巨正则系综在描述开放系统中的粒子统计行为时非常有用。
巨正则系综的基本概念可以通过巨正则配分函数来描述。
巨正则配分函数是巨正则系综的核心概念，它描述了系统在给定温度、化学势和体积下的统计行为。
巨正则配分函数可以通过对系统的能量本征态进行求和得到，每个能量本征态的权重由玻尔兹曼因子决定。
巨正则配分函数的数学表达式如下：\[\Xi = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{i} e^{-\beta(E_i-\mu N_i)}\]其中，$\Xi$是巨正则配分函数，$n$是粒子数，$i$是能量本征态的标记，$E_i$是能量本征态的能量，$N_i$是能量本征态的粒子数，$\beta=1/kT$是玻尔兹曼因子，$T$是系统的温度，$\mu$是系统的化学势。
巨正则系综的基本概念和数学表达式为我们研究物理系统提供了一个强大的工具。
通过巨正则系综，我们可以计算系统的各种热力学量，如平均粒子数、平均能量和熵等。
这些热力学量可以通过巨正则配分函数的导数来计算，例如：\[\langle N \rangle = \frac{1}{\beta} \frac{\partial \ln \Xi}{\partial \mu}\]\[\langle E \rangle = -\frac{\partial \ln \Xi}{\partial \beta}\]\[S = k(\ln \Xi - \beta \frac{\partial \ln \Xi}{\partial \beta} - \mu \frac{\partial \ln\Xi}{\partial \mu})\]其中，$\langle N \rangle$是平均粒子数，$\langle E \rangle$是平均能量，$S$是熵，$k$是玻尔兹曼常数。
量子统计学
量子统计学
量子统计学：
1. 什么是量子统计学？
量子统计学是一个新兴的研究领域，它融合了量子物理学、统计力学和信息论，研究非常复杂的量子体系动态变化，量化研究系统的动荡状态。
它可以帮助我们更好地理解量子系统和量子现象，从而探索新物质、新能源和新能量。
2. 量子统计学的重要性
量子统计学具有重要的数学原理，为解决和研究复杂的物理现象提供了另一种独特的视角。
它被广泛应用于物理系统的稳定性分析、分子动力学，以及细胞生化反应的动力学模拟等领域。
因此，量子统计学的研究对物理、化学、材料科学、生物学、医学等学科都有重要的重大影响。
3. 量子统计学的应用
量子统计学在多种研究领域都有应用。
在材料科学中，它可以用于研究新薄膜、非晶材料、量子点等新材料的性质；在生物医学研究中，它可以发掘大量的相关数据，从而为药物研发、基因疗法研究、再生医学研究、肿瘤治疗研究等fieldsの提
供有力的支持；在金融保险领域，量子统计学还可以应用于金融风控、投资决策和资产管理等领域。
总之，量子统计学在科学研究和产业发展中都扮演着重要的角色。
4. 量子统计学的未来发展
量子统计学正迅速发展着，将成为现代物理学、材料科学、化学和生物科学研究的基础和前沿技术。
同时，随着计算科学发展，量子统计学受到了计算机模拟的支持，它将更全面地改变与量子现象有关的科学研究和产业应用。
未来，应用量子统计学将带来巨大的发展和机遇，为我们更好地理解量子物理现象和量子统计学的奥秘提供有力的支持。
量子力学中的概率与统计解析
量子力学中的概率与统计解析量子力学是一门描述微观世界的物理学理论，它的基本原理是概率性的。
在量子力学中，概率与统计解析起着至关重要的作用，它们帮助我们理解微观粒子的行为以及量子系统的性质。
首先，我们来探讨量子力学中的概率解析。
在经典物理学中，我们可以准确地预测物体的运动轨迹和性质。
然而，当我们进入微观世界，情况就完全不同了。
根据量子力学的原理，粒子的位置、动量、能量等物理量并不具有确定的值，而是具有一定的概率分布。
这就意味着，我们无法准确地预测一个粒子在某一时刻的具体状态，只能给出其出现在某个位置或具有某个动量的概率。
量子力学中的概率解析可以通过波函数来描述。
波函数是一个复数函数，它包含了粒子的全部信息。
根据波函数的模的平方，我们可以得到粒子出现在不同位置的概率分布。
这就是著名的波函数坍缩理论，即当我们对一个量子系统进行测量时，波函数会坍缩成一个确定的状态，而在测量之前，粒子的状态是处于一个叠加态的。
概率解析在量子力学中的应用非常广泛。
例如，薛定谔方程是描述量子系统演化的基本方程，它可以通过求解一维或多维波动方程得到。
薛定谔方程的解就是波函数，通过对波函数进行概率解析，我们可以得到粒子的能量谱、波函数的时间演化等信息。
此外，概率解析还可以用于解释量子隧穿效应、量子纠缠等奇特现象。
接下来，我们来探讨量子力学中的统计解析。
统计解析是指通过对大量粒子的行为进行统计分析，从而得到宏观物理量的平均值和概率分布。
在经典物理学中，统计力学是一门重要的理论，它成功地解释了气体的热力学性质。
然而，在量子力学中，由于粒子的量子性质，统计解析变得更加复杂和深入。
量子统计力学是研究量子系统的统计行为的理论。
它基于玻尔兹曼分布和费米-狄拉克分布、玻色-爱因斯坦分布等统计分布函数，描述了不同类型粒子的行为。
根据不同粒子的统计行为，我们可以得到宏观物理量的平均值和概率分布。
例如，费米子（如电子）遵循费米-狄拉克分布，玻色子（如光子）遵循玻色-爱因斯坦分布。
量子统计力学
量子统计力学介绍量子统计力学是物理学中的一个重要分支，它研究的是微观世界中微观粒子的统计行为。
与经典统计力学不同，量子统计力学考虑了微观粒子的粒子性和波动性，并将其运用于描述原子、分子、固体等复杂系统的性质。
量子力学基础要理解量子统计力学，首先需要掌握一些量子力学的基本概念。
以下是一些重要的基础概念：1. 波粒二象性量子力学中的粒子既可以表现出粒子的特性，也可以表现出波动的特性，这就是波粒二象性。
2. 波函数波函数是描述量子力学体系的状态的数学函数。
它包含了粒子的全部信息，可以用来计算粒子的各种性质。
3. 叠加原理量子力学中的叠加原理指出，如果一个量子系统处于两个（或多个）可能的状态时，它可以同时处于这些状态的叠加态。
4. 测量测量是量子力学中的一个重要概念。
在测量之前，量子系统可以处于叠加态，但测量之后，量子系统会塌缩到一个确定的态上。
统计力学基础在了解了量子力学的基础概念之后，我们可以开始讨论统计力学的基本原理了。
1. 统计系综统计系综是一个由大量相同类型的体系组成的集合。
在统计力学中，我们使用系综平均来描述体系的宏观行为。
2. 统计系综的分类根据统计系综中微观粒子的特性，可以将统计系综分为经典系综和量子系综。
3. 统计物理量统计物理量是一个体系在统计平均意义下的宏观量。
它是分子的宏观表现，可以和体系中的分子数、速度、能量等联系起来。
4. 统计力学的基本假设统计力学建立在一些基本假设上，其中最重要的两个假设是独立粒子假设和等几率假设。
量子统计力学的基本概念有了量子力学和统计力学的基础知识，我们可以开始学习量子统计力学的基本概念了。
1. 玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布描述了一个经典气体中粒子的分布情况。
它是以玻尔兹曼因子为指数衰减的分布。
2. 泡利不可区分原理泡利不可区分原理指出，对于一组全同粒子，交换两个粒子的位置（或自旋、内禀性质等），系统的波函数不发生变化。
3. 统计算符统计算符是描述量子统计体系的数学表达式，它包含了统计力学中的信息，用于计算量子态的概率分布。
非平衡量子统计力学的基本概念与计算方法
非平衡量子统计力学的基本概念与计算方法量子统计力学是研究具有量子特性的系统的统计行为的理论。
在平衡态下，量子统计力学已经得到了充分的发展和应用，但对于非平衡态下的量子系统，研究相对较少。
非平衡量子统计力学研究的是不处于热平衡状态的量子系统，如耗散量子系统、开放系统等。
本文将介绍非平衡量子统计力学的基本概念与计算方法。
一、基本概念1. 非平衡态：非平衡态指的是处于不可逆过程中的系统，其宏观性质发生改变，无法通过热力学平衡态来描述。
非平衡态下的量子系统受到外界驱动或与外部环境发生相互作用，存在能量、粒子等的流动。
2. DLE (Density-Liouville Equation) 方程：密度-李维方程是非平衡量子系统的基本动力学方程。
它描述了密度矩阵随时间的演化，考虑到了非守恒系统的退相干和耗散过程。
3. Master Equation（主方程）：主方程是非平衡量子系统的另一种重要描述方式。
它是描述量子系统密度矩阵时间演化的微分方程，用于计算非平衡态下的量子系统的统计性质。
4. 耗散子：耗散子是指量子系统与外部环境发生相互作用时引起能量和粒子的损耗的算符。
耗散子通过与密度矩阵的对易或者反对易关系，使非平衡态下的量子系统达到动态平衡。
二、计算方法1. 近似方法：由于非平衡量子统计力学的计算非常复杂，通常需要采用近似方法来求解主方程或密度-李维方程。
常见的近似方法有级联截断近似、微扰展开等。
2. Monte Carlo 法：Monte Carlo 法是一种基于随机数的数值计算方法，在非平衡量子系统研究中得到了广泛应用。
通过产生随机数来模拟系统状态的变化，对量子系统的统计行为进行采样。
3. 蒙特卡洛蒙卡罗波方法（Monte Carlo Wavefunction approach）：这种方法通过蒙特卡洛采样量子态，根据轨道波函数的变化，对非平衡态下的量子系统的动力学演化进行模拟。
4. 过渡矩阵法：过渡矩阵法是一种非平衡态下的量子系统计算方法，通过求解转移矩阵的本征值和本征态，获得系统时刻的统计性质，进而计算出系统的稳态和动态行为。
统计物理学的基本原理
统计物理学的基本原理统计物理学是物理学的一个重要分支，它研究的是大量微观粒子的统计规律，通过对微观粒子的统计行为进行分析，揭示了宏观物质的性质和规律。
统计物理学的基本原理包括了热力学统计原理、量子统计原理和统计力学原理。
本文将从这三个方面介绍统计物理学的基本原理。
一、热力学统计原理热力学统计原理是统计物理学的基础，它建立在热力学的基础上，通过对大量微观粒子的统计分析，揭示了宏观系统的热力学性质。
热力学统计原理包括了热力学平衡态和热力学非平衡态两个方面。
1. 热力学平衡态在热力学平衡态下，系统的宏观性质可以用热力学量来描述，如温度、压强、体积等。
根据热力学统计原理，系统的平衡态可以通过微观粒子的状态密度函数来描述，状态密度函数是描述系统中微观粒子状态的函数，通过对状态密度函数的统计分析，可以得到系统的热力学性质。
2. 热力学非平衡态在热力学非平衡态下，系统处于不断变化的状态，无法用热力学量来描述。
热力学统计原理通过对非平衡态下微观粒子的统计分析，揭示了非平衡态下系统的动力学性质，如扩散、输运现象等。
热力学非平衡态的研究对于理解复杂系统的行为具有重要意义。
二、量子统计原理量子统计原理是统计物理学的另一个重要组成部分，它研究的是具有量子性质的微观粒子的统计规律。
量子统计原理包括了玻色-爱因斯坦统计和费米-狄拉克统计两种统计方法。
1. 玻色-爱因斯坦统计玻色-爱因斯坦统计适用于具有玻色子性质的粒子，玻色子是一类自旋为整数的粒子，如光子、声子等。
根据玻色-爱因斯坦统计，玻色子可以处于同一量子态，不受泡利不相容原理的限制，这导致了玻色子的凝聚现象，如玻色-爱因斯坦凝聚和超流体现象。
2. 费米-狄拉克统计费米-狄拉克统计适用于具有费米子性质的粒子，费米子是一类自旋为半整数的粒子，如电子、质子等。
根据费米-狄拉克统计，费米子不能处于同一量子态，受到泡利不相容原理的限制，这导致了费米子的排斥现象，如费米-狄拉克排斥和电子云排斥现象。
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S
(1)
total
= S (T ,V A + V B, N A + N B )
在这种情况下,同样可以严格地得到熵差△S>0(式 (5.40)).然而这是不正确,因为对相同气体,移去中间隔板 后,没有任何宏观的过程发生.在没有任何变化下,我们可以 再放上隔板,让系统又回到了初始状态,因此,对相同的气体, 移去隔板是一个可逆过程,必须有△ S=0. 需要更详细的分析来揭示这个问题.在经典力学中,粒子 是可分辨的,即可以给它们冠以不同数字.例如,在移去隔板 以前,左边的粒子冠有一定的数字,如(1,…,NA),而右边 的粒子的数字为(假定是连续下去的)(NA +1, … . NA +NB). 若把隔板移去,则粒子像微观的台球那样,在整个容器中运动, 再把隔板放回,则两边容器中不再完全是冠以原来数码的粒子, 因而过程是不可逆的.
第5章
微观状态数Ω与嫡S
问题:热力学具有很大的普遍性,是因为唯象地描述物质 宏观性质的方程是从经验中获得的,然而从物理学观点来 看,对这些方程的解释并不能令人满意. 解决方法:统计力学——宏观量是微观性质平均的结果. 统计力学的任务:定义取平均值过程的严格方法,指出微 观与宏观的联系.
相空间
对一经典的系统,知道了t时刻所有广义坐标qv(t)与广 义动量pv(t)就已经足够了,这些广义坐标与广义动量唯 一地确定系统的状态,因此,对一力学系统,可以把一 组(qv ,pv)v=1,…,3N理解为系统的微观态,这里我 们简单地对坐标与动量从1到3N记数,只要对坐标与动 量没有限制.一组(qv ,pv)可以理解为6N维空间中的一 个点.这空间称为经典的相空间. 相空间的一个确定点严格对应于整个系统运动的一个 微观态. 系统随时间的演变对应于相空间的一条曲线(qv(t) , pv(t)),称为相空间轨迹.它被哈密顿运动方程所确定:
ν =1
(5.26) 的3N维的球,由于
∑
3N
Pν 2 ≤ (
2m E )2
根据公式有: ω ( E ,V , N ) =
π
3N 2
3N 3N Γ( ) 2 2
(2m E )
3N 2
V
N
(5.32)
应用(5.13)式,我们得
3N 3N 1 1 ω 1 N π 2 2 (E,V,N)= = V (2m) E (5.33) 3N σ 0 E σ 0 Γ( ) 2 故理想气体的熵为:
(1)
V A + V B V A + V B S = S total s total = N Ak ln + N Bk ln VA VB
( 0)
一切看起来都是正确的,正如该不可逆过程所必须的, S>0. 然而,若我们在相同的条件下放入两相同的气体,而 不是不同的气体.(5.38)式表示的初始状态的熵还是正 确.因现在是NA+Nb个粒子的相同气体分布在总体积VA+ VB中,最后的熵则变为:
2
2
= 常数
= 常数 = 常数
d d
d
E V
N
1
1
= d
E V
N
2
2
= - d
1
(5.14)
2
2
= d
即分系统可以交换能量与粒子,或改变它们的体积.然 而,在平衡时, Ei ,vi和Ni将有确定的平均值.若分系 统被考虑为统计独立,则总系统的微观状态数Ω(E,v, N)为分系统的微观状态数的乘积: ( E ,V , N ) = 1 ( E 1,V 1, N 1) 2 ( E 2,V 2, N 2 ) (5.15)
(E,V,N)=
σ ( E ,V , N ) 其中 σ ( E , V , N ) = σ0
∫
E = H ( qν , pν )
d σ (5.8)
然而,因为要对很高维的空间作复杂的曲面积分,根 据(5.8)直接计算在很多情况下是很不方便的,而对这 样空间计算体积还相对容易些,根据卡伐里尔(cMal蛤)原 理,这对于所需的计算已经足够了. ω(E,V,N)为总的相空间体积,其边界被能量曲面 E=H(qv ,pv) 和容器的空间坐标所给出.然后我们有:
(
)
式(5.22)对统计力学具有基本性的意义,它至少在原则 上提供了应用哈密顿H (qv ,pv)去计算一多体系统的所有热 力学性质.由于热力学势S(E,V,N)作为自然变量的函数, 通过以下公式可以计算各状态方程:
1 S = |V , N T E
p S = |E , N T V
S = |E ,V T N
ω ( E ,V , N ) = ∫
H (qν ,pν ) ≤ E
d 3N qd 3N p
(5.9)
对小的△E,在两能量曲面E与E+ △ E之间的体积为:
ω ω = ω ( E + E ) ω ( E ) = E
V ,N
△E
(5.10)
另一方面,根据卡伐里尔原理,在两相邻的曲面间的体积为 (曲面面积σ(E),两曲面距离为△E):
△ω= σ E ) Ε ( △
ω 与(5.10)比较得: σ ( E ) = E
(5.11) (5.12)
利用三维情况下的一个球的例子(图5.3))可以更容易地弄 清楚式(5.12) .半径为R的球的体积为ω(R)=(4π/3)R3, 其面积为σ(R)=δω/δR=4πR2 因此式(5.8)可以被计算 如下: σ ( E , V , N ) 1 ω (E,V,N)= = σ0 σ 0 E (5.13) 这里,ω由(5.9)式给出.
不幸的是,实际上计算 决不是轻而易举的,只有在 下一章中我们将处理的系综理论,将给我们一个计算更 复杂系统的方法. 例5.2 理想气体的熵的统计计算
理想气体的哈密顿为:
H ( q ν , p ν )=
∑ ν
N
=1
Pν 2m
2
=
∑ ν
3N =1
Pν 2 2m
(5.25)
这里,为了简单,我们已经把坐标与动量从I到3N标号. 首先,根据(5.9)式得出ω (E,V,N)为:
dA A 3 N A A = +∑ qν + pν dt t ν=1 qν pν
(5.3)
利用(5.1),可以改写为: dA A 3 N A H A H A = = +∑ + { A , H } (5.4) dt t v =1 q p p q t v v v v 此处我们用泊松(Poisson)括号{A,H}表达简化的求和.
对于以上系统的熵可以容易地用(5.37)式计算.在隔板 移去前,熵为: ( 0) ( 0) (1) S total = S A T ,V A, N A + S B T ,V B, N B (5.38)
(
)
(
)
移去后为: ( 0) (1) (1) S total = S A (T ,V A +V B, N A ) + S B (T ,V A +V B, N B ) 熵的差别成为
为一粒子相空间,其是由E的值确定的椭圆.椭圆的两半轴 1 2 2E 为 . 椭圆的面积为σ=πab= b= ( ) 和 a= ( 2m E) K 2 π E/ω, ω=(Km)1 2为谐振子的固定频率.随着时间 的演变,系统的相空间点(qv(t) ,pv(t)) 只能沿着椭圆运动.
1 2
在图中,我们画了两个能量相差一点的椭圆.在两椭圆 间的每一点对应于每一瞬间振子能量在E与E+ △ E之间的一具 体运动状态(一个快照).这意思是该超面积也反映很多相 同的系统在某一时刻的相空间分布.这种被一定的宏观性质 (这里是总能量在E与E+ △ E之间)所限制的相空间点(很多系 统)的集合,称为系综.
概率最大的状态,即平衡态,是微观态数目最大的状态, 即 = max以及d =o 若我们将(5.15)表示为全微分, 则有: d = 2 d 1 + 1d 2 (5.16) 再用(5.15)除,得 (5.17) d ln = d ln 1 + d ln 2 平衡条件为: d ln = 0 ln = ln max (5.18) 从纯粹热力学观点来考虑同样的系统.当闭合系 统的内能U与总能量E一致时,熵由下式给: S ( E , V , N ) = S ( E , V , N ) + S ( E , V , N ) (5.19) 全微分为: d S = d S 1 + d S 2 (5.20)
E ≤ H ( q , p )≤ E + E
E ≤ H ( q , p )≤ E + E
dω
(5.6)
同样方法,根据式(5.2),可以将面积
σ (E )= ∫
E = H (q ,p )
dσ
和能量超曲面联系起来,这里dσ表示面积元.
让我们现在考虑一个闭合系统,根据热力学.这样一个 系统可以用自然的状态变量E,V和N来表征.给定的容器的 体积限制了粒子可能的坐标,由于总能量已经给定,只有在 能量曲面上的相空间点是被允许的.应用已经掌握的能量曲 面的面积,并假定Ω(E,v,N)与这面积成正比:
1 1 1 1 2 2 2 2
平衡条件为: S =
(5.21) 比较式(5.17)与(5.20),以及式(5.18)与(5.21),显示出 ln 与熵完全相似.因此两个量必须具有正比关系.我 们定义: S E , V , N = k ln E , V , N (5.22)
m ax
S
dS = 0
(
)
类似于通常的三维空间,我们也可以把高维相空间再 分割成体积元d3Nqd3N p.两维的相空间(一维为坐标 , 一维为动量)的相空间元如图5.2所示. 可以把具有一定大小的相空间元 d3Nqd3N p略称为相格.因此我们可以把 相空间的一定范围与体积联系起来. 通常,相空间体积用ω(不要和频率混淆) 表示,因而相格d3Nqd3N p简单地用d ω 代 替.例如,在椭圆E与△ E之间的相体积 为: ω = ∫ dqdp = ∫