三年级第5讲《逻辑推理》
逻辑学 逻辑学导论第5讲 逻辑谬误(明水)
预先假设的谬误
前提中假设了所需要的证明
乞求论题：论证者通过遗漏一个可能假的、
关键性的前提，通过在结论中重述一个可能假的 前提，制造错觉。
谋杀是违反道义的行为。既然如此，那么堕胎也是 违反道义的。
假二择一：当可能存在不止两个选择时，却
假定仅存两个选择。
国会议员霍恩：“我想我们今年又不得不再次削减社会工 程方面的支出了。” 西蒙：“为什么？” 霍恩：“嗯，因为我们要么削减支出，要么接受现在的巨额赤 字，而巨额赤字是我们不能允许的。“
必要条件假言推理的无效式-肯定前件：
只有p，才q
p
所以，q
例如：只有夏闯不循规蹈矩，他才能有大作为；夏闯不循规 蹈矩，所以，夏闯一定有大作为。
必要条件假言推理的无效式-否定后件：
只有p，才q
非q
所以，非p
例如：只有老王不畏劳苦，他才能有所成就；老王一生谈不 上有什么成就，因此老王必定是怕苦怕累之人。
主项
周延 周延 不周延 不周延
谓项
不周延 周延 不周延 周延
三段论的基本规则
规则3：不允许两个个前提都否定。 谬误：不相容前提
没有鱼是哺乳动物， 有狗不是鱼， 有狗不是哺乳动物。
三段论的基本规则
规则4：否定的前提需要否定的结论，而否定的结论需要 否定的前提。 谬误：从一个否定的前提得出否定的结论，或者从肯定的 前提得出否定的结论 所有的乌鸦是鸟， 有狼不是乌鸦， 有狼是鸟。 所有三角形是具有三个角的多边形， 所有具有三个角的多边形是具有三个边的多边形， 有具有三个边的多边形不是三角形。
肯定一个选言支，不能否定另一个选言支。
A∨B A —— ¬B
A∨B B —— ¬A
实例：
或者李某是嫌疑犯，或者王某是嫌疑犯(或者二者都是)；李某是嫌疑犯； 所以，王某不是嫌疑犯。
逻辑学第三第五章
逻辑学第三第五章第三章、第五章简单判断及其演绎推理⼀、下列语句是否表达判断？为什么？1．没有耕耘，哪来收获？2．教学⼤楼内严禁吸烟！3．李⽟安的事迹是多么感⼈啊！4．普通逻辑是否应该送进历史博物馆？⼆、下列语句各预设了什么判断？1．为何植绿不见绿？2．应该说明平反的何时能真正减下去？3．请将马路让出来！4．国有资产流⼊了谁的腰包？5．反腐败的任务有多重啊！6．请不要再⽤假种⼦、假农药坑害善良的农民了！三、分析下列性质判断的结构。
（指出是什么判断；若⾮标准形式，请换成标准形式；标出主、谓项，联项，量项；指出主、谓项周延情况。
）1．我国有的少数民族是⽩种⼈。
2．凡是搞阴谋诡计的⼈都是没有好下场的。
3．鱼⽬岂能混珠！4．⽆论什么困难都不是不可克服的。
5．没有任何物体不在运动。
6．难道领导⼲部是特殊公民？四、设下列判断形式为真,请指出主项S和谓项P外延间可能具有何种关系。
1.没有S是P。
2.没有S不是P。
3.不是所有S是P。
4.有S不是⾮P。
五、下列判断是A、E、I、O中的哪⼀种？请写出主谓项与之相同的其他三个判断。
假定原判断为真,请根据判断间的对当关系指出其他三个判断的真假情况。
假如原判断为假,情况⼜怎样？1．甲班有的同学是⽂学爱好者。
2．⼩王庄不是所有⼈家都有彩电。
3．这个城市所有公园都是免费开放的。
4．⼗⽉份放映的影⽚全都是进⼝⼤⽚。
六、对下列判断换位、换质、换质位,并写出推理的逻辑形式。
⑴换质：1.所有知识分⼦都是劳动者。
2.有些外国的经验不是不符合我国国情的。
⑵换位：1.所有抢劫犯罪都不是过失犯罪。
2.有些担任⾼级职务的领导⼲部是腐败分⼦。
⑶换质位(先换质,再换位,只要求推两步)：1.真理是不怕批评的。
2.所有犯罪⾏为都不是合法⾏为。
七、下列推理属于何种推理？是否有效？为什么？1．反侵略战争都不是正义战争，所以，所有⾮侵略战争都是正义战争。
2．凡是正确的思想都是来源于实践的，所以，凡是来源于实践的思想都是正确的思想。
第5讲--逻辑推理
第五讲逻辑推理【教学目标】1.掌握逻辑推理的解题思路与基本方法；2.能够解决较复杂的逻辑推理问题。
【学习方法】逻辑推理问题是一类很少进行计算的数学问题，它主要运用严密的逻辑推理来解决问题。
所谓逻辑推理，就是依据逻辑规律，从已知的结论为出发点，推出新的结论的过程。
在解决这类问题时，必须依据事情的逻辑关系进行合情的推理，最后作出正确的判断。
逻辑推理题的特点是条件繁杂交错，必须仔细分析，选择突破口，并且借助于图表，步步深入，这样才能使问题得到较快的解决。
【例1】甲、乙、丙每人有两个外号，人们有时以“数学博士”、“短跑健将”、“跳高冠军”、“小画家”、“大作家”和“歌唱家”称呼他们。
此外：⑴数学博士夸跳高冠军跳得高；⑵跳高冠军和大作家常与甲一起去看电影；⑶短跑健将请小画家画贺年卡；⑷数学博士和小画家很要好；⑸乙向大作家借过书；⑹丙下象棋常赢乙和小画家。
你知道甲、乙、丙各有哪两个外号吗？【分析】由⑵知，甲不是跳高冠军和大作家；由⑸知，乙不是大作家；由⑹知，丙、乙都不是小画家。
由此可得到下表：因为甲是小画家，所以由⑶、⑷知甲不是短跑健将和数学博士，推知甲是歌唱家。
因为丙是大作家，所以由⑵知丙不是跳高冠军，推知乙是跳高冠军。
因为乙是跳高冠军，所以由⑴知乙不是数学博士。
将上面的结论依次填入上表，便得到下表：所以，甲是小画家和歌唱家，乙是短跑健将和跳高冠军，丙是数学博士和大作家。
需要注意的是：①第一步应将题目条件给出的关系画在表上，然后再依次将分析推理出的关系画在表上；②每行每列只能有一个“√”，如果出现了一个“√”，它所在的行和列的其余格中都应画“×”。
[例题2] 小王、小张和小李一位是工人，一位是农民，一位是教师，现在只知道：小李比教师年龄大；小王与农民不同岁；农民比小张年龄小。
问：谁是工人？谁是农民？谁是教师？[分析] 由题目条件可以知道：小李不是教师，小王不是农民，小张不是农民。
由此得到左下表。
逻辑学 逻辑学导论第5讲 逻辑谬误
第5讲 逻辑谬误
山东财经大学
形式谬误
充分条件假言推理的无效式-肯定后件式： 如果p，那么q q 所以，p
例如：如果小张患肺炎，则他会发烧；小张发烧了，所以 他一定患了肺炎。
充分条件假言推理的无效式-否定前件式： 如果p，那么q 非p 所以，非q
例如：如果我想当外语翻译，我就必须学好外语；我不想 当外语翻译，所以我不必学好外语。
“约翰逊这个人有某种不良品性；因此，他的判断 （信念、观点、理论、建议等）是可以一驳的。”
“目前的经济政策导致这个国家的经济在迅速的下滑。 这主要是由于一些前政府顾问和前政府官员以及一些 仍在掌权的自以为有学问的知识分子相互勾结在一起。 这些人自私自利，自以为是，完全不受人民和议会的 监控。”
在诗人艾伦·金斯堡去世前，他曾经为支持色情作品的 合法化而进行论证。然而，金斯堡的论证除了谬误之外 全是废话。金斯堡不仅是一位有毒瘾的同性恋者，还是 一位彻头彻尾的毒品文化的倡导者。
7.1 寻找和评价推理谬误的线索（谬误清单）
1 人身攻击 2 诉诸大众 3 诉诸权威 4 稻草人 5 虚假类比（类比失当） 6 妄求完美 7 移花接木（概念混淆或偷换概念） 8 非白即黑（虚假的两难境地） 9 一厢情愿 10 命名解释 11 偏离主题或转移论题 12 晕轮效应 13 窃取论点（循环论证）
“少数反科学的怪人极力反对氟化水。而我绝不相 信少数人有权阻止多数人实现自己的愿望。在任何一 个城市，只要多数居民同意在水中添加氟化剂，便应 该照此办理；这才是民主的正确途径。“
“死刑有其合理理由。……。第三，可靠的民意调 查显示，全体美国人中有70%赞成死刑。如果有这么 多人赞成它，那么它一定是正当的。”
谓项 不周延 周延 不周延 周延
第五讲逻辑推理
第五讲：简单的逻辑推理课前头脑风暴1、有一种水藻，每天成倍增长，如果在池塘中投入一棵水藻，第二天将有两棵，第三天将有4棵，第四天将有8棵，依次类推，则第25天可长满整个池塘。
如果在池塘中投入4棵水藻，那么多少天可以长满整个池塘？答：2、有一种水藻，每天成倍增长，如果在池塘中投入一棵水藻，第二天将有两棵，第三天将有4棵，第四天将有8棵，依次类推，则第20天长满整个池塘，那么长满整个池塘一半的水藻的时间是第几天？答：3、脑筋急转弯：开车的是坐车的儿子，坐车的却否认是开车的爸爸，这是怎么回事？答：探索乐园逻辑推理题不涉及数据，也没有几何图形，只涉及一些相互关联的条件。
它依据逻辑汇率，从一定的前提出发，通过一系列的推理来获取某种结论。
解决这类问题常用的方法有：直接法、假设法、排除法、图解法和列表法等。
逻辑推理问题的解决，需要我们深入地理解条件和结论，分析关键所在，找到突破口，进行合情合理的推理，最后作出正确的判断。
推理的过程中往往需要交替运用“排除法”和“反正法”。
要善于借助表格，把已知条件和推出的中间结论及时填入表格内。
填表时，对正确的（或不正确的）结果要及时注上“√”（或“×”），也可以分别用“1”或“0”代替，以免引起遗忘或混乱，从而影响推理的速度。
推理的过程，必须要有充足的理由或重复内的根据，并常常伴随着论证、推理，论证的才能不是天生的，而是在不断的实践活动中逐渐锻炼、培养出来的。
例1：四年级有四个班，每个班都有正、副班长各一人。
平时召开年级班长会议时，各班都只有一人参加。
参加第一次回师的是小马、小张、小刘、小林；参加第二次会议的是小刘、小朱、小马、小宋；参加第三次会议的是小宋、小陈、小马、小张，小徐因有病，三次都没有参加。
你知道他们哪两个是同班的吗？由上表可知，小马三次参加会议，而小徐三次都没参加，他们是同一班级的。
小张和小朱是同班的，小刘和小陈是同班的，小林和小宋是同班的。
例2小王、小张和小李一位是工人，一位是农民，一位是教师，现在只知道：小李比教师年龄大；小王与农民不同岁；农民比小张年龄小。
小学三年级奥数：第五讲 找几何图形的规律
小结：对于较复杂的图形来说，有时候需要把图形分开几部分来单独考虑其变化规律，从而把复杂问题简单化。
例5 观察下列各组图的变化规律，并在“？”处画出相关的图形.
分析 我们先来看这样两个图：
（甲）图与（乙）图中，点A、B、C、D的顺序和距离都没有改变，只是每个点的位置发生了变化，如：甲图中，A在左方；而乙图中，A在上方，……我们把这样一种位置的变化称为图形的旋转，乙图可以看作是甲图
解：在上图的“？”处应填如下图形.
例4 下图中的图形是按一定规律排列的，请仔细观察，并在“？”处填上适当的图形.
分析 本题中，首先可以注意到每个图形都由大、小两部分组成，而且，大、小图形都是由正方形、三角形和圆形组成， 图中的任意两个图形均不相同.因此，我们不妨试着把大、小图形分开来考虑，再一次观察后我们可以发现：对于大图形来说，每行每列的图形决不重复。因此，每行每列都只有一个大正方形，一个大三角形和一个大圆，对于小图形也是如此，这样，“？”处的图形就不难得出。
解：在图5—1的“？”处应是三角形△，在图5—2的“？”处应是
例2 请观察右图中已有的几个图形，并按规律填出空白处的图形。
分析 首先可以看出图形的第一行、第二列都是由一个圆、一个三角形和一个正方形所组成的；其次，在所给出的图形中，我们发现各行、各列均没有重复的图形，而且所给出的图形中，只有圆、三角形和正方形三种图形.由此，我们知道这个图的特点是：
第五讲 找几何图形的规律
找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而规律的找寻既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力.为培养这方面的能力，本讲将从几何图形的问题入手，逐步分析应从哪些方面来观察思考。因此，学习本讲的知识有助于养成全面地、由浅入深、由简到繁观察思考问题的良好习惯，可以逐步掌握通过观察发现规律并利用规律来解决问题的方法。
第5讲 逻辑推理
第5讲逻辑推理知识装备逻辑推理找线索，列表连线可突破；猜想验证相结合，矛盾之处细琢磨。
初级挑战1桌上有排球、足球、篮球各1个。
排球在足球的右边，篮球在足球的左边。
请按从左到右的顺序排列出球的摆放情况。
思维导航画图看一看，你找到结果了吗？能力探索1体育课上，A、B、C、D四人站成一排。
已知A旁边只有一个人，但不是B；C旁边也只有一个人。
你知道他们的排列顺序吗？初级挑战2小亮对小红说：“昨天我把50张草稿纸分给了班上的10名同学，我不是平均分的，而是根据每个同学的需要分的，因此每个同学分到的草稿纸的张数都不相同。
”小红听后马上说：“你说的是谎话，骗人！”那么他俩谁说的是谎话？思维导航小亮说的情况可能吗？能力探索2妈妈去超市买菜，买2斤猪肉，3斤鱼,4斤鸡蛋，付给售货员30元，找回5角钱。
这时妈妈看到鱼的单价是2元4角，就对售货员说：“你把帐算错啦！”妈妈是怎么知道账算错了呢？（猪肉和鸡蛋的价格没有出现分）中级挑战1一个正方体6个面上分别写着1、2、3、4、5、6。
根据下图摆放的三种情况，判断每个数字对面上的数字是几？思维导航与2相邻的数有哪些？能力探索3一个正方体的6个面分别涂着红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色，根据下面的三种摆法，判断哪种颜色的对面涂着哪种颜色。
ABC中级挑战2有8个球编号是①至⑧，其中有6个球一样重，另外两个球都轻1克。
为了找出这两个轻球，用天平称了3次。
结果如下：第一次①+②比③+④重；第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻；第三次①+③+⑤与②+④+⑧一样重，那么，两个轻球分别是几号？思维导航每一次称量你发现了什么？能力探索4某商品编号是一个三位数。
现有五个三位数：874、765、123、364、925。
其中每一个数与商品编号恰好在同一个数位上有一个相同数字。
这个商品的编号是多少？高级挑战1甲、乙、丙、丁四个人同时参加数学竞赛。
赛后，甲说：“丙是第一名，我是第三名。
”乙说：“我是第一名，丁是第四名。
小学奥数题目-三年级-简单逻辑推理类-真假逻辑
真假逻辑在日常生活中，我们有可能会遇到一些人总是不跟你说真话，他们总是说一些假话来骗人，那么我们要如何做才能够辨别谁说的是真话，谁说的是假话呢？本讲我们就会学习如何辨别一个人说的话是真话还是假话，学会辨别谁说的是真话，谁说的是假话。
首先，我们会通过本视频告诉学生三点结论，这三点结论在我们解决辨别真假的问题中会很常用。
三点结论1、所有人都不会承认自己说的话是假话2、判断真假，必定要问已知答案的问题3、说真话的人转述假话，转述的话不是事实；说假话的人转述真话，转述的话也不是事实掌握这三点结论，在解决一些问题时会变得十分简单。
有一个外地人路过一个小镇，此时天色已晚，于是他便去投宿。
当他来到一个十字路口时，他知道肯定有一条路是通向宾馆的，可是路口却没有任何标记，只有三个小木牌。
第一个木牌上写着：这条路上有宾馆。
第二个木牌上写着：这条路上没有宾馆。
第三个木牌上写着：那两个木牌有一个写的是事实，另一个是假的。
相信我，我的话不会有错。
假设你是这个投宿的人，按照第三个木牌的话为依据，你觉得你会找到宾馆吗？如果可以，那条路上有宾馆哪条路上有宾馆？1.1.有一个人在一个森林里迷路了，他想看一下时间，可是又发现自己没带表。
恰好他看到前面有两个小女孩在玩耍，于是他决定过去打听一下。
更不幸的是这两个小女孩有一个毛病，姐姐上午说真话，下午就说假话，而妹妹与姐姐恰好相反。
但他还是走近去他问她们："你们谁是姐姐？"胖的说："我是。
"瘦的也说："我是。
"他又问：现在是什么时候？胖的说："上午。
""不对"，瘦的说："应该是下午。
"这下他迷糊了，到底他们说的话是真是假？_______说的是真的。
（回答“姐姐”或者“妹妹”）2.2.（多项选择题）一个骗子和一个老实人一路同行，骗子总是讲假话，老实人总是讲真话．请提一个尽量简单的问题，使两人的回答相同．这个问题可以是_________。
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逻辑推理练习题
一、必会方法
①列表法——多条件联合
②假设法——条件不确定
二、高端方法
找相同、找矛盾
1.当条件很多，需要对应确定时候用列表法能够非常清晰。
2.当出现话的真假时，可以从话的真假或事实真假入手来假设。
3.当两人的话相同时，必同真同假；当两人的话矛盾时，必一真一假。
4.每讲练习题题量8道，前5道题目难度较低，适合基础巩固；后3道题难度中等，
适合拓展提高。
1、王文、张贝、李丽分别是跳伞、田径、游泳运动员，现在知道：⑴张贝从未上过天；
⑵跳伞运动员已得过两块金牌；⑶李丽还未得过第一名，她与田径运动员同年出生.请
根据上述情况判断王文、张贝、李丽各是什么运动员？
2、某地质学院的学生对一种矿石进行观察和鉴别。
甲判断：不是铁，也不是铜。
乙判断：
不是铁，而是锡。
丙判断：不是锡，而是铁。
经化验证明：有一个人的判断完全正确，有一个人说对了一半，而另一个人完全说错了。
你知道三人中谁是对的，谁是错的，谁是只对一半的吗？
3、一只皮箱的密码是一个三位数。
小光说：“它是954。
”小明说：“它是358。
”小亮
说：“它是214。
”小强说：“你们每人都只猜对了位置不同的一个数字。
”这只皮箱的密码是。
4、四张卡片上分别写着奥、林、匹、克四个字（一张上写一个字），取出三张字朝下放在
桌上，A、B、C三人分别猜每张卡片上是什么字，猜的情况见下表：
结果，有一人一张也没猜中，一人猜中两张，另一人猜中三张.问：这三张卡片上各写着什么字．
5、有六个大小相同的彩球，三个红，三个白，分别放入三个罐子里，一个罐里放两红球，
一个罐里放两白球，另一罐放一红一白．然后将写有“两红”、“两白”、“红白”
的三个标签贴在三个罐子上，由于粗心，三个标签全贴错了．试问此时最少要从罐子中取出几个球，才能确定三个罐分别装的是什么彩球？
6、（太原福布斯迎奥运数学展示活动）4名运动员参加一项比赛，赛前，甲说：“我肯定
是最后一名．”乙说：“我不可能是第一名，也不可能是最后一名．”丙说：“我绝对不会得最后一名．”丁说：“我肯定得第一名．”赛后，发现他们4人的预测中只有一人是错误的．请问谁的预测是错误的？
7、甲、乙、丙三人，一个总说谎，一个从不说谎，一个有时说谎．有一次谈到他们的职
业．甲说：“我是油漆匠，乙是钢琴师，丙是建筑师．”乙说：“我是医生，丙是警察，你如果问甲，甲会说他是油漆匠．”丙说：“乙是钢琴师，甲是建筑师，我是警察．”你知道谁总说谎吗？
8、甲、乙、丙、丁在比较他们的身高，甲说：“我最高．”乙说：“我不最矮．”丙说：“我
没甲高，但还有人比我矮．”丁说：“我最矮．”实际测量的结果表明，只有一人说错了．请将他们按身高次序从高到矮排列出来．
1、为了能清楚地找到所给条件之间的关系，我们不妨运用列表法，列出下表，在表中“√”
表示是，“×”表示不是，在任意一行或一列中，如果一格是“√”，可推出其它两格是“×”
由⑴⑶可知张贝、李丽都不是跳伞运动员，可填出第一行，即王文是跳伞运动员；
由⑶可知，李丽也不是田径运动员，可填出第三列，即李丽是游泳运动员，则张贝
是田径运动员．
2、丙全说对了，甲说对了一半，乙全说错了。
先假设甲全对，推出矛盾后，再设乙全对，
又推出矛盾，则说明丙全对，甲说对了一半，乙全说错了。
3、每个人只猜了位置不同的一个数字，也就是说一样的数字必然不对，“5、4”第一位肯
定是9，第三位是8，第二位是1，密码就是918。
4、A、B有两张猜的相同，必有一人全对，一人对两张，因此，C全错，推知B全对.
5、因为所有罐子上的标签都和罐中实物不符，所以在贴有“红白”标签的罐子中只能是两
红或两白．那么只需在“红白”罐子中取出一个彩球，若是红色球，则可知罐中是两红，那么标有“两白”的罐子中就是“一红一白”，标有“两红”的罐子中就是“两白”；若是白色球，则可知罐中是“两白”，那么标有“两红”的罐子中就是“一红一白”，而标有“两白”的罐子中就是“两红”．
6、假设甲的预测是错的，那么其他三人的预测都是对的，那么甲不是最后一名，乙和丙也
不是最后一名，丁是第一名，这样的话没有人是最后一名，矛盾．所以甲的预测是对的，甲是最后一名，那么丙的预测也是对的．如果乙的预测是错的，那么乙是第一名，而丁的预测是对的，丁也是第一名，矛盾．所以乙的预测是对的，丁的预测是错的．
7、甲。
如果甲从不说谎，那么乙的最后一句、丙的第一句都对，没有总说谎的人，矛盾；
同理，如果丙从不说谎，也将推出矛盾．
8、丁不可能说错，否则就没有人最矮了．由此知乙没有说错．若甲也没有说错，则没有人
说错，矛盾．所以只有甲一人说错．所以丁是最矮的，甲不是最高的，丙没甲高，但还有人比他矮，那么只能是甲第二高，丙第三高，乙最高．所以他们的身高次序为乙、甲、丙、丁．
数学家的小故事
高斯的故事（下）
高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。
他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了最小二乘法原理。
十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。
高斯开辟了许多新的数学领域，从最抽象的代数数论到内蕴几何学，都留下了他的足迹。
从研究风格、方法乃至所取得的具体成就方面，他都是18─19世纪之交的中坚人物。
如果我们把18世纪的数学家想象为一系列的高山峻岭，那么最后一个令人肃然起敬的巅峰就是高斯；如果把19世纪的数学家想象为一条条江河，那么其源头就是高斯。
高斯不仅是数学家，还是那个时代最伟大的物理学家和天文学家之一。
在《算术研究》问世的同一年，即1801年的元旦，一位意大利天文学家在西西里岛观察到在白羊座（Aries）附近有光度八等的星移动，这颗现在被称作谷神星（Ceres）的小行星在天空出现了41天，扫过八度角之后，就在太阳的光芒下没了踪影。
当时天文学家无法确定这颗新星是彗星还是行星，这个问题很快成了学术界关注的焦点，甚至成了哲学问题。
黑格尔就曾写文章嘲讽天文学家说，不必那么热衷去找寻第八颗行星，他认为用他的逻辑方法可以证明太阳系的行星，不多不少正好是七颗。
高斯也对这颗星着了迷，他利用天文学家提供的观测资料，不慌不忙地算出了它的轨迹。
不管黑格尔有多么不高兴，几个月以后，这颗最早发现迄今仍是最大的小行星准时出现在高斯指定的位置上。
自那以后，行星、大行星（海王星）接二连三地被发现了。
在物理学方面高斯最引人注目的成就是在1833年和物理学家韦伯发明了有线电报，这使高斯的声望超出了学术圈而进入公众社会。
除此以外，高斯在力学、测地学、水工学、电动学、磁学和光学等方面均有杰出的贡献。
（完）。