高数2-8微分在近似计算中的应用
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第四节 微分在近似计算中的应用
一、求函数增量的近似值
二、计算函数的近似值 三、误差估计
四、小结
一、求函数增量的近似值
若y f ( x )在点x0处的导数f ( x0 ) 0, 且 x 很小时 ,
y
x x0
dy
x x0
f ( x0 ) x .
例1 半径为10 厘米的金属圆片加热后半径 伸长了0.05厘米, 问面积增大了多少? 解 设A r 2 , r 10厘米, r 0.05厘米.
值为 a , 那末| A a |叫做 a 的绝对误差.
而绝对误差与| a |的比值 叫做a 的 相对误差. 问题:在实际工作中,绝对误差与相对误 差无法求得? 办法:将误差确定在某一个范围内. 如果某个量的精度值是 A , 测得它的近似 值是 a , 又知道它的误差不超过 A , 即
| A a | A ,
当x 2.41时, y (2.41) 5.8081(m ).
2 2
y x 2.41 2 x x 2.41 4.82.
边长的绝对误差为 x 0.005,
面积的绝对误差为 y 4.82 0.005
0.0241 0.4%. 面积的相对误差为 y 5.8081
,
1 3 f ( ) , f ( ) . 3 2 3 2
1 3 0.4924. 2 2 360
2.求f ( x )在点x 0附近的近似值;
令 x0 0, x x .
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x ,
二、 利 用 微 分 计 算 当 x 由 45 变 到 45 10 时， 函数 y cosx的增量的近似 值(1 0 . 017453 弧度).
,
三、
l 已知单摆的振动周期T 2 g ，
g 980厘米/秒 2， 为摆长 l 其中 （单
位为厘米） ，设原摆长为 20 厘米， T 为使周期 增大 0.05 秒， 摆长约需 加长多少？
o
例1 计算 cos 60 30的近似值 . 解 设 f ( x ) cos x , f ( x ) sin x , ( x为弧度 )
x0
cos60 30 cos( ) cos sin 3 3 360 3 360
o
3
, x
360
三、约需加长 2.23 厘米. 30o 47 ；3、 四、 -0.96509,2、 1、 9.9867. 五、1.9953. 六、3%. 七、 0.00056(弧度)=1 55 .
| Aa| |a|
通常把绝对误差限与相对误差限简称为 绝对误差与相对误差.
那末 A叫做测量 A 的绝对误差限 A 而 | a | 叫做测量 A 的相对误差限
例3 正方形边长为 2.41 0.005米, 求出它
的面积, 并估计绝对误差与相对 误差. y x2 . 解 设正方形边长为 x , 面积为y , 则
四、 求近似值： 1、 tan 136 ；2、
arcsin 0.5002 ；
n
3、
3
996 .
五、 A 0 ， B A n ， 设 且 证明
10
An B A
B ， n 1 nA
并计算 1000 的近似值 . 六、已知测量球的直径D 有 1%的相对误 3 差，问用公式V D 计算球的体积时，相
n
证明
1 (1) 设 f ( x ) 1 x , f ( x ) (1 x ) n 1 f (0) 1, f (0) . n
n
1 1 n
,
x f ( x ) f (0) f (0) x 1 . n
例2 计算下列各数的近似值 .
(1) 3 998.5; (2) e 0.03 .
y
0.0241 (m 2 ).
四、小结
近似计算的基本公式
当x 很小时,
y
x x0
dy
x x0
f ( x 0 ) x .
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ),
当x 0时, f ( x ) f (0) f (0) x.
练习题
一、 填空题： 1、 利 用 公 式 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 计算 f (x)时，要求______很小. 2、 当 x 0时，由公式y dy可近似计 算ln(1 x) _______ tanx ________ ； ， 由 此 得 tan 45 _______ ； ln 1.002 ________ .
f ( x ) f (0) f (0) x .
常用近似公式 ( x 很小时)
1 (1) 1 x 1 x; ( 2) sin x x ( x为弧度 ); n x ( 3) tan x x ( x为弧度 ); (4) e 1 x; (5) ln(1 x ) x .
6
对误差有多大？
七、某厂生产（教材
2-18 图）所示的 扇形板，半径R =200 毫米，要求中心 角 为 55 产品检验时，一般用测量弦 长 L 的办法来间接测量中心角 ，如果 测量弦长L 时的误差 =0.1 毫米，问由 此而引起的中心角测量误差 是多少？
L
练习题答案
一、1、 x x 0 ； 2、 x, x, 0.01309, 0.002 . 2 二、 0.0021. 2160
解 (1) 3 998.5 3Leabharlann Baidu1000 1.5
1.5 1000(1 ) 10 3 1 0.0015 1000 1 10(1 0.0015) 9.995. 3
3
(2) e
0.03
1 0.03 0.97.
三、误差估计
由于测量仪器的精度、测量的条件和测 量的方法等各种因素的影响，测得的数 据往往带有误差，而根据带有误差的数 据计算所得的结果也会有误差， 我们把它叫做间接测量误差. 定义： 如果某个量的精度值为 A, 它的近似
A dA 2 r r 2 10 0.05 2 (厘米 ).
二、计算函数的近似值
1.求f ( x )在点x x0附近的近似值;
y f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x . f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x . ( x 很小时 )
一、求函数增量的近似值
二、计算函数的近似值 三、误差估计
四、小结
一、求函数增量的近似值
若y f ( x )在点x0处的导数f ( x0 ) 0, 且 x 很小时 ,
y
x x0
dy
x x0
f ( x0 ) x .
例1 半径为10 厘米的金属圆片加热后半径 伸长了0.05厘米, 问面积增大了多少? 解 设A r 2 , r 10厘米, r 0.05厘米.
值为 a , 那末| A a |叫做 a 的绝对误差.
而绝对误差与| a |的比值 叫做a 的 相对误差. 问题:在实际工作中,绝对误差与相对误 差无法求得? 办法:将误差确定在某一个范围内. 如果某个量的精度值是 A , 测得它的近似 值是 a , 又知道它的误差不超过 A , 即
| A a | A ,
当x 2.41时, y (2.41) 5.8081(m ).
2 2
y x 2.41 2 x x 2.41 4.82.
边长的绝对误差为 x 0.005,
面积的绝对误差为 y 4.82 0.005
0.0241 0.4%. 面积的相对误差为 y 5.8081
,
1 3 f ( ) , f ( ) . 3 2 3 2
1 3 0.4924. 2 2 360
2.求f ( x )在点x 0附近的近似值;
令 x0 0, x x .
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x ,
二、 利 用 微 分 计 算 当 x 由 45 变 到 45 10 时， 函数 y cosx的增量的近似 值(1 0 . 017453 弧度).
,
三、
l 已知单摆的振动周期T 2 g ，
g 980厘米/秒 2， 为摆长 l 其中 （单
位为厘米） ，设原摆长为 20 厘米， T 为使周期 增大 0.05 秒， 摆长约需 加长多少？
o
例1 计算 cos 60 30的近似值 . 解 设 f ( x ) cos x , f ( x ) sin x , ( x为弧度 )
x0
cos60 30 cos( ) cos sin 3 3 360 3 360
o
3
, x
360
三、约需加长 2.23 厘米. 30o 47 ；3、 四、 -0.96509,2、 1、 9.9867. 五、1.9953. 六、3%. 七、 0.00056(弧度)=1 55 .
| Aa| |a|
通常把绝对误差限与相对误差限简称为 绝对误差与相对误差.
那末 A叫做测量 A 的绝对误差限 A 而 | a | 叫做测量 A 的相对误差限
例3 正方形边长为 2.41 0.005米, 求出它
的面积, 并估计绝对误差与相对 误差. y x2 . 解 设正方形边长为 x , 面积为y , 则
四、 求近似值： 1、 tan 136 ；2、
arcsin 0.5002 ；
n
3、
3
996 .
五、 A 0 ， B A n ， 设 且 证明
10
An B A
B ， n 1 nA
并计算 1000 的近似值 . 六、已知测量球的直径D 有 1%的相对误 3 差，问用公式V D 计算球的体积时，相
n
证明
1 (1) 设 f ( x ) 1 x , f ( x ) (1 x ) n 1 f (0) 1, f (0) . n
n
1 1 n
,
x f ( x ) f (0) f (0) x 1 . n
例2 计算下列各数的近似值 .
(1) 3 998.5; (2) e 0.03 .
y
0.0241 (m 2 ).
四、小结
近似计算的基本公式
当x 很小时,
y
x x0
dy
x x0
f ( x 0 ) x .
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ),
当x 0时, f ( x ) f (0) f (0) x.
练习题
一、 填空题： 1、 利 用 公 式 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 计算 f (x)时，要求______很小. 2、 当 x 0时，由公式y dy可近似计 算ln(1 x) _______ tanx ________ ； ， 由 此 得 tan 45 _______ ； ln 1.002 ________ .
f ( x ) f (0) f (0) x .
常用近似公式 ( x 很小时)
1 (1) 1 x 1 x; ( 2) sin x x ( x为弧度 ); n x ( 3) tan x x ( x为弧度 ); (4) e 1 x; (5) ln(1 x ) x .
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对误差有多大？
七、某厂生产（教材
2-18 图）所示的 扇形板，半径R =200 毫米，要求中心 角 为 55 产品检验时，一般用测量弦 长 L 的办法来间接测量中心角 ，如果 测量弦长L 时的误差 =0.1 毫米，问由 此而引起的中心角测量误差 是多少？
L
练习题答案
一、1、 x x 0 ； 2、 x, x, 0.01309, 0.002 . 2 二、 0.0021. 2160
解 (1) 3 998.5 3Leabharlann Baidu1000 1.5
1.5 1000(1 ) 10 3 1 0.0015 1000 1 10(1 0.0015) 9.995. 3
3
(2) e
0.03
1 0.03 0.97.
三、误差估计
由于测量仪器的精度、测量的条件和测 量的方法等各种因素的影响，测得的数 据往往带有误差，而根据带有误差的数 据计算所得的结果也会有误差， 我们把它叫做间接测量误差. 定义： 如果某个量的精度值为 A, 它的近似
A dA 2 r r 2 10 0.05 2 (厘米 ).
二、计算函数的近似值
1.求f ( x )在点x x0附近的近似值;
y f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x . f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x . ( x 很小时 )