第五节 函数的微分与近似计算
微分及其在近似计算中的应用
x0 x
x0
按微分的定义 , 知 f ( x)在x0处可微.
这表明:函数 f ( x) 在点 x0可导 , 则函数在点 x0必可微.
由此可见 ,函数 f ( x) 在点 x0处可导与可微是等价的.
由上面推导可以看出 A f ( x0 ) 所以函数 f ( x) 在 x0 处的微分 dy xx0 f ( x0 ) x ………………………… (1) 由 (1) 式可知，自变量微分 dx x x x 所以函数 f ( x) 在 x0 处微分 , 又可写成
当边长从x0变到x0 x时，面积A有相应的改变量 A （x0 x）2 x02 2x0x (x)2
这个 A 2x0x (x)2 由两部分组成 第一部分 : 2x0 x 是 x 的线性函数 第二部分 :(x)2是比 x 高阶的无穷小 (当x 0时)
NT MN tanq f ( x0 ) . x dy
即 dy NT
y
于是 , 函数 y f ( x) 在点 x0 处的
微分就是曲线 y f ( x)在点M ( x0 , y0 )
处的切线MT, 当横坐标由 x0 变到 x0 x时, 其对应的纵坐标
q
o
的改变量.
P
T
M N
x 0 x0
x
x
二、微分的运算法则
1. 基本初等函数的微分公式 dy f ( x)dx
d(C) 0
d( x ) x 1 dx
d(a x ) a x lna dx 1
d(log a x) x ln a dx d(sin x) cos x dx
d(tan x) sec2 x dx d(sec x) sec x tan x dx
微分运算法则
( lim 0 )
x0
故 y f ( x0 ) x x f ( x0 ) x o( x)
即 d y f ( x0 ) x
说明: y f ( x0 ) x o( x)
d y f ( x0 )x
当 f ( x0 ) 0 时 , y y lim lim x 0 f ( x0 ) x x 0 d y 1 y lim 1 f ( x0 ) x 0 x 所以 x 0 时 y 与 d y 是等价无穷小, 故当 x
x
d y f ( x) dx
dy f ( x) dx
导数也叫作微商
x0 x
例如, y x 3 ,
dy
x2 dx 0.02
3x 2 dx
0.24 x2 dx 0.02
又如, y arctan x , 1 dy dx 2 1 x
基本初等函数的微分公式 (见 P116表)
很小时, 有近似公式
y dy
微分的几何意义
切线纵坐标的增量
d y f ( x0 )x tan x
当 x 很小时, y d y
dy
y
y f ( x)
当 y x 时，
y
y x dx
称 x 为自变量的微分, 记作 dx
则有 从而
记
O
x0
y o(x) lim lim ( A )A x 0 x x 0 x
故 在点 可导, 且
定理 : 函数
在点
在点 x0 可微的充要条件是 处可导, 且 即
d y f ( x0 )x
已知 “充分性” 在点 可导, 则
y lim f ( x0 ) x 0 x y f ( x0 ) x
函数的微分与微分近似计算
函数的微分与微分近似计算函数的微分是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点上的局部变化率。
在实际应用中，我们经常需要计算函数在某一点上的微分，以便进行问题的求解和分析。
本文将介绍函数的微分的概念、计算方法以及微分近似计算的方法。
一、函数的微分概念函数的微分是指函数在某一点上的局部变化率。
对于一元函数来说，函数的微分可以通过函数的导数来计算。
设函数y=f(x)，若在点x处存在函数的导数f'(x)，则函数在点x处的微分记为dy，满足以下关系式：dy = f'(x)·dx其中，dx表示自变量x的微小增量。
函数的微分dy表示了函数y在点x处的微小变化量。
二、函数的微分计算方法对于已知的函数，我们可以通过求导的方式计算函数在某一点处的微分。
以常见的函数类型为例，介绍函数微分的计算方法。
1. 常数函数的微分计算对于常数函数y=c，其中c为常数，它的导数f'(x)恒为0，因此其微分dy也恒为0。
2. 幂函数的微分计算对于幂函数y=x^n，其中n为常数，该函数的导数为f'(x)=n·x^(n-1)，因此它的微分dy可以表示为：dy = n·x^(n-1)·dx3. 指数函数的微分计算对于指数函数y=a^x，其中a为常数且a>0且a≠1，该函数的导数为f'(x)=a^x·ln(a)，因此它的微分dy可以表示为：dy = a^x·ln(a)·dx4. 对数函数的微分计算对于对数函数y=log_a(x)，其中a为常数且a>0且a≠1，该函数的导数为f'(x)=1/(x·ln(a))，因此它的微分dy可以表示为：dy = 1/(x·ln(a))·dx很多其他类型的函数，例如三角函数、反三角函数、双曲函数等，也都有对应的微分计算方法，可以通过求导的方式进行计算。
数学分析5.5微分(含习题详解)
第五章导数和微分5 微分一、微分的概念定义1：设函数y=f(x)定义在点x0的某邻域U(x0)内. 当给x0一个增量△x，x0+△x∈U(x0)时，相应地得到函数的增量为△y=f(x0+△x)-f(x0). 如果存在常数A，使得△y能表示为△y=A△x +o(△x)，则称函数f在点x0可微，并称上式中的第一项A△x为f在点x0的微分，记作：dy=A△x，或df(x)=A△x.当A≠0时，微分dy称为增量△y的线性主部。
定理5.10：函数f在点x0可微的充要条件是函数f在点x0可导，而且定义中的A=f’(x0).证：先证必要性：若f在点x0可微，则△y=A△x +o(△x)，即=A+o(1)，两边取极限得：f’(x0)==(A+o(1))=A.再证充分性：若f在点x0可导，则f在点x0的有限增量公式为：△y=f’(x0)△x+o(△x)，根据微分的定义，f在点x0可微且有dy=f’(x0)△x.微分的几何意义：(如图)当自变量由x0增加到x0+△x时，函数增量△y= f(x0+△x)-f(x0)=RQ，而微分则是在点P处的切线上与△x所对应的增量，即dy=f’(x0)△x=RQ’，且==f’(x0)=0，所以当f ’(x 0)≠0时，=0. 即当x →x 0时线段Q ’Q 远小于RQ ’。
若函数y=f(x)在区间I 上每一点都可微，则称f 为I 上的可微函数.函数y=f(x)在I 上任一点x 处的微分记作dy=f ’(x)△x ，x ∈I. 特别地，当y=x 时，dy=dx=△x ，则微分也可记为dy=f ’(x)dx ，即 f ’(x)=，可见函数的导数等于函数微分与自变量微分的商。
因此导数也常称为微商。
二、微分的运算法则1、d[u(x)±v(x)]=du(x)±dv(x)；2、d[u(x)v(x)]=v(x)du(x)+u(x)dv(x)；3、d=；4、d(f ◦g(x))=f ’(u)g ’(x)dx ，其中u=g(x)，或dy=f ’(u)du.例1：求y=x 2lnx+cosx 2的微分。
D2_5微分
y y f (x) y
o
x0
x
x0 x
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二、 微分运算法则
（一）四则运算法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
(1) d(u v) du dv (2) d(Cu) Cdu (C 为常数)
(3) d(uv) vdu udv
(4)
d(
u v
)
vdu udv v2
d x x x x
故以后我们把x 记为d x, 称为自变量的微分。则有
dy f (x)x f (x) dx
即有
f (x)
dy dx
函数关某个变量的导数等函数的微分与该变量微分的商
故导数也叫微商。
比较 f (x) dy , f (x) lim y lim y
dx
x dx x0
x0
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注 (1)可导能得可微，可微能得可导。但导数与微分
含义完全不同！导数反映的是函数值变化快慢，而微分是
反映的是函数值变化了多少的线性近似值。相当于速度与 路程的关系
(2) 故当f (x0 ) 0 时 , lim y lim y 1 lim y 1
x0 dy x0 f (x0 )x f (x0 ) x0 x
)
1
y 1 ex2
ex2
2xex2 1 ex2
1 1 ex2
(
d1
dex2
)
1 1 ex2
0
e x 2d
(x2 )
故
dy
2 xe x 2 1 ex2
dx
1
1 e
x
2
ex2
2xdx
经济数学微积分-第二版第三章-第五节函数的微分
(1)
(2)
当 x 很小时, (2)是x的高阶无穷小o(x),
y
3
x
2 0
x
.
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
2. 定义
设函数 y f ( x)在某区间内有定义, x0及 x0 x在这区间内, 如果 y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x) 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 y f ( x)在点 x0可微, 并且称A x为函数 y f ( x)在点 x0相应于自变量增量 x的微分, 记作 dy x x0 或df ( x0 ), 即dy x x0 A x.
dy yxdx f (u)g( x)dx
又因为g( x)dx du,
所以复合函数y f [g( x)]的微分公式也可写成
dy f (u)du 或 dy yu du ;
(对于函数y f (u),当u是自变量时,dy f (u)du ) 结论： 无论u是自变量还是中间变量, 函数
y f (u)的微分形式总是 dy f (u)du
三、基本初等函数的微分公式 与微分运算法则
dy f ( x)dx
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
1.基本初等函数的微分公式
d(C ) 0
d( x ) x1dx
d(sin x) cos xdx
d(cos x) sin xdx
d(tan x) sec2 xdx d(cot x) csc2 xdx
第七节 函数的微分
一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式
与微分运算法则 四、微分在近似计算中的应用 五、小结 思考题
第五节函数的微分与近似计算详解
1.基本初等函数的微分公式
d(C) 0
d ( x ) x1dx
d(sin x) cos xdx
d(cos x) sin xdx
d(tan x) sec2 xdx d(cot x) csc2 xdx
d(sec x) sec x tan xdx d(csc x) csc x cot xdx
d(a x ) a x ln adx
d(e x ) e xdx
d (loga
x)
1 x lna
dx
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
d(ln x) 1 dx x
d(arccos x) 1 dx 1 x2
d
(arctan
x
)
1
1 x
2
dx
d
(arc
cot
x)
1
1 x2
dx
2. 函数和、差、积、商的微分法则
函数的变化率问题
导数的概念
函数的增量问题
微分的概念
解 dy cos x d(e13x ) e13x d(cos x)
(e13x ) 3e13x , (cos x) sin x. dy cos x (3e13x )dx e13x ( sin x)dx
e13x (3cos x sin x)dx.
3. 复合函数的微分 则复合函数
证 (1) 必要性 f ( x)在点x0可微,
y Ax o(x), y A o(x) ,
x
x
则 lim y A lim o(x) A.
x0 x
x0 x
即函数 f ( x)在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
微分与函数的常用近似公式
微分与函数的常用近似公式微分与函数是微积分的基本概念，它们相互关联，相互影响。
在实际问题中，我们经常需要对函数进行近似处理，以简化计算和分析。
为了实现这一目的，我们可以利用一些常用的近似公式。
本文将介绍一些常见的微分与函数的近似公式及其应用。
1. 泰勒展开泰勒展开是一种重要的函数近似方法，它将一个函数在某一点附近展开成无穷级数的形式，使得我们可以用有限项来近似计算。
泰勒展开的一般形式如下：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f(a)表示函数在点a处的函数值，f'(a)、f''(a)等表示函数在点a处的一阶、二阶导数等。
泰勒展开适用于函数具有足够多的可导性质的情况，可以通过增加展开项数来增加近似的精度。
2. 线性近似线性近似是泰勒展开的特殊情况，当我们只保留泰勒展开的前两项时，即取a处的函数值和一阶导数，得到线性近似公式：f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a)线性近似常用于计算简单函数的近似值，特别是在计算微小变化范围内的函数值时，可以快速估算结果。
3. 二次近似当我们保留泰勒展开的前三项时，即取a处的函数值、一阶导数和二阶导数，得到二次近似公式：f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2!二次近似在某些情况下比线性近似更精确，特别是当函数曲线在点a附近呈现凸性或凹性时。
4. 拉格朗日余项在使用泰勒展开进行近似计算时，我们可以通过引入拉格朗日余项来估计近似误差。
拉格朗日余项的一般形式如下：Rn(x) = f^(n+1)(c)(x-a)^(n+1)/(n+1)!其中，Rn(x)表示拉格朗日余项，f^(n+1)(c)表示函数的(n+1)阶导数在a和x之间某一点c的函数值。
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例1 求函数 y x3 当 x 2, x 0.02时的微分.
解 dy ( x3 )x 3x2x.
dy x2 3 x 2x x2 0.24.
x 0.02
x 0.02
通 常 把 自 变 量 x的 增 量 x称 为 自 变 量 的 微 分,
记作dx, 即dx x.
dy f (x)dx
例6 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使 等式成立.
(1) d( ) cos tdt; (2) d(sin x2 ) ( )d( x).
解 (1)d(sin t) cos tdt,
cos tdt 1 d(sin t) d( 1 sin t);
d
(
1
sin
t
C
)
cos
tdt
.
(2) d(sin x 2 ) 2x cos x 2dx
微分 dy叫做函数增量 y的线性主部.
当 x 很小时, 有近似公式
由定义知:
(1) dy是自变量的改变量x的线性函数;
(2) y dy o(x)是比x高阶无穷小;
(3) 当A 0时, dy与y是等价无穷小;
y 1 o(x) 1 (x 0).
dy
A x
(4) A是与x无关的常数, 但与f ( x)和x0有关;
d(a x ) a x ln adx
d (e x ) e xdx
d (log a
x)
1 dx x ln a
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
d(ln x) 1 dx x
d(arccos x) 1 dx 1 x2
d
(arctan
x
)
1
1 x
2
dx
d
(arc
cot
x
)
1
1 x
2
dx
常用近似公式 ( x 很小时)
(1) (1 x)a 1 ax; (2) sin x x ( x为弧度); (3) tan x x ( x为弧度); (4) e x 1 x; (5) ln(1 x) x.
证明 (1) 设 f ( x) (1 x)a , 则 f ( x) a(1 x)a1,
2. 函数和、差、积、商的微分法则
d(u v) du dv d(uv) vdu udv
d(Cu) Cdu
u vdu udv
d( ) v
v2
例2 设 y ln( x e x2 ), 求dy.
解
y
1 2xe x2 x ex2
,
1 2 xe x2 dy x e x2 dx.
★ 导数与微分的区别:
1. 函数 f ( x) 在点x0处的导数是一个定数 f ( x0 ), 而微分 dy f ( x0 )( x x0 ) 是x x0的线性函数,它 的定义域是R,实际上,它是无穷小.
lim dy x x0
lim
x x0
f ( x0 )( x
x0 )
0.
2. 从几何意义上来看, f ( x0 ) 是曲线 y f ( x) 在 点 ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率,而微分 dy f ( x0 ) ( x x0 )是曲线 y f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切 线方程在点 x0 的纵坐标增量.
2.求 f ( x )在 点 x 0附 近 的 一 次 近 似 式 ;
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x,
令 x0 x x , 则 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
取 x0 0, 得 f ( x ) f (0) f (0) x .
例3 设 y e13x cos x, 求dy.
解 dy cos x d(e13x ) e13x d(cos x)
(e13x ) 3e13x , (cos x) sin x. dy cos x (3e13x )dx e13x ( sin x)dx
e13x (3cos x sin x)dx.
f (0) 1, f (0) a.
f (x) f 计算下列各数的近似值. (1) 3 998.5; (2) e0.03 .
解 (1) 3 998.5 3 1000 1.5
10 3 1 0.0015
10(1 1 0.0015) 3
9.995. (2) e0.03 1 0.03 0.97.
(2) : x的 高 阶 无 穷 小,当 x 很 小 时 可 忽 略.
再例如, 设函数 y x3在点 x0处的改变量 为x时, 求函数的改变量y.
y ( x0 x)3 x03
3x02 x 3x0 (x)2 (x)3 .
(1)
(2)
当x 很小时, (2)是 x的 高 阶 无 穷 小 o(x ),
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
y lim
x0 x
f ( x0 ),
即 y x
f ( x0 ) ,
其中 lim 0 , x0
从而y f ( x0 )x x f ( x0 )x o(x), 函数 f ( x)在点x0可微, 且dy f ( x0 )x.
函数 y f ( x)在任意点 x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或 df ( x), 即 dy f ( x)x.
可微的条件
定理 函数 f ( x)在点 x0可微的充要条件是函 数 f ( x)在点 x0处可导, 且 A f ( x0 ).
证 (1) 必要性 f ( x)在点x0可微,
y Ax o(x), y A o(x) ,
x
x
则 lim y A lim o(x) A.
x0 x
x0 x
即函数 f ( x)在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
3. 复合函数的微分 则复合函数
分别可微 , 的微分为
f (u) ( x ) d x
du d y f (u) du
一阶微分形式的不变性
例4 设 y sin( 2x 1), 求dy. 解 y sin u, u 2x 1. dy cos udu cos(2x 1)d(2x 1)
y
3
x
2 0
x.
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否
所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
定义: 若函数
在点 x0 的增量可表示为
A x o(x)
( A 为不依赖于△x 的常数)
则称函数 y f ( x )在点 可微, 而 A x 称为
的微分, 记作
即 dy A x.
例8 计算cos60o30的近似值.
解 设f ( x) cos x, f ( x) sin x, ( x为弧度)
x0
3
,
x , 360
f () 1 , f () 3 .
32
32
cos60o30 cos( ) cos sin
3 360
3
3 360
1 3 0.4924. 2 2 360
1.基本初等函数的微分公式
d(C ) 0
d ( x ) x 1dx
d(sin x) cos xdx
d(cos x) sin xdx
d(tan x) sec2 xdx d(cot x) csc2 xdx
d(sec x) sec x tan xdx d(csc x) csc x cot xdx
解 设A r 2 , r 10厘米, r 0.05厘米. A dA 2r r 2 10 0.05 (厘米2 ).
2.计算函数的近似值
1.求 f
( x )在 点x
x
附
0
近
的
近
似
值;
y f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x. f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) x. ( x 很小时)
注
近似计算的基本公式 当x 很小时, y x x0 dy x x0 f ( x0 ) x. f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ), 当x 0时, f ( x) f (0) f (0) x.
作业
P120习题2_5 1，2(单)，3(单)
思考题
1. 已知
求
解：因为
所以
2. 已知
求
解：方程两边求微分, 得
三、微分的应用 1.计算函数增量的近似值
若y f ( x)在点x0处的导数f ( x0 ) 0,且 x 很小时,
y x x0 dy x x0 f ( x0 )x.
例7 半径10厘米的金属圆片加热后,半径伸长了 0.05厘米,问面积增大了多少?
dy f ( x). dx
即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于
该函数的导数. 导数也叫"微商".
微分的几何意义:
微分 d y f ( x 0 ) x y
T
tan x
N
表示切线纵坐标的增量.
P
o(x)
M
dy y
y f (x)
x
）
o
x0 x0 x
x
二、微分公式与运算法则
dy f ( x)dx 求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
cos(2x 1) 2dx 2cos(2x 1)dx. 例5 设 y eax sin bx, 求dy. 解 dy eax cos bxd(bx) sin bx eaxd(ax)
eax cos bx bdx sin bx eax (a)dx eax (b cos bx a sin bx)dx.
第五节 函数的微分与近似计算 一、微分的定义
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,