2019级第15次课第五节函数的微分与应用
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函数的微分与微分的应用
函数的微分与微分的应用在微积分中，函数的微分是一个重要的概念。
微分的应用则是将微分应用于实际问题的数学方法。
本文将围绕函数的微分及其应用展开详细讨论。
一、函数的微分函数的微分是函数在某一点上的变化率的近似。
具体而言，设函数f(x)在点x=a处是可导的，那么x=a处的微分表示为df，定义如下：df = f'(a)dx其中，f'(a)是函数f(x)在点x=a处的导数，dx表示自变量x的增量。
函数的微分可通过导数乘以自变量的增量获得。
二、微分的应用微分的应用广泛存在于数学、物理、经济等领域。
以下列举几个常见的应用。
1. 切线与法线函数的微分可用于求解函数图像上某一点的切线和法线。
设函数f(x)在点x=a处可导，则切线的斜率为f'(a)，求解切线方程可根据点斜式或一般式进行。
法线的斜率为-1/f'(a)，同样可根据点斜式或一般式求解。
2. 极值点与拐点函数的微分也可用于确定函数的极值点和拐点。
设函数f(x)的导数为f'(x)，极值点的横坐标可通过解方程f'(x)=0求得。
通过判别式和导数的符号变化，可以判断极值点的类型（极大值或极小值）。
拐点则是函数图像由凸变凹或由凹变凸的点，可通过求解二阶导数f''(x)的零点来确定。
3. 近似计算微分的近似性质可应用于计算函数的近似值。
对于函数f(x)在某一点x=a附近，可以使用微分df作为函数f(x)的近似值。
当自变量的变化量较小时，误差较小，从而可以得到较为精确的计算结果。
4. 最优化问题微分可以应用于最优化问题的求解。
例如，求解函数f(x)在一定范围内的最大值或最小值。
根据函数的导数和临界点的性质，可以得到最优解。
5. 物理运动问题微分在物理学中有着广泛的应用。
例如，求解物体在某一时刻的速度、加速度等。
通过将位移函数或速度函数微分，可以得到物体在不同时刻的速度、加速度等物理量。
综上所述，函数的微分在数学和实际应用中扮演着重要的角色。
《函数的微分》PPT课件
(mm) A 的相对误差限约为
第二十页，共24页。
练习
(liànxí)
1.
第二十一页，共24页。
4. 设 求
由方程
(fāngchéng)
解: 方程两边(liǎngbiān)求微得
分,
当
时
由上式得
确定 , (quèdìng)
第二十二页，共24页。
作业(zuòyè)：p- P123 习题2-4
3 (4) , (7) , (8) , (9) , ; 4 ; 8(1) ; 9(2)
1.函数(hánshù)的近似计算
当 很小时 得近似等式:
, (xiǎoshí)
使用原则:
第十四页，共24页。
特别(tèbié) 当
很小时 , (xiǎoshí)
常用近似(jìn sì)公式: 很小)
证明: 令 得
第十五页，共24页。
例7. 求 解: 设 取
则
的近似值 .
例8. 计算(jì
suàn)
例4
解
第十二页，共24页。
例5. 设
求
解: 利用(lìyòng)一阶微分形式不变性 , 有
例6. 在下列括号中填入适当(shìdàng)的函数使等式成 立:
说明: 上述微分的反问题(wèntí)是不定积分要研究的内容.
注意: 数学中的反问题往往出现多值性.
第十三页，共24页。
四、微分(wēi fēn)在近似计算中的应用
解:
的近似值 .
第十六页，共24页。
例9. 有一批半径(bànjìng)为1cm 的球 ,为了(wèi le)提高球面的光洁
要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm 度, , 估计一下, 每只球需
函数的微分及其应用
是曲线 y = f (x) 的纵坐
标在点 x 处的增量 .
O
dy
x
x
三、微分的基本公式及其运算法则
1.基本初等函数的微分公式
dc = 0. dex = exdx. 1 dln x dx . x dsin x = cos xdx.
dtan x = sec2 xdx. dsec x = sec xtan xdx. dx
所以其全增量可表示为：
z Ax B y , 其中 A，B 与 x，y 无关， lim 0 . 0
上式对任意的 x，y 都成立， 则当 y = 0 时也成立， 这时全增量转化为偏增量
x z f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) A x ,
所以
二、微分的几何意义
如图所示， PN = dx，NM = y，NT = PNtan
= f (x)dx， 所以 dy = NT， 即函数 y = f (x) 的微分 dy
就是曲线 y = f (x) 在点
y
P 处切线的纵坐标在相
应处 x 的增量，而 y 就
y=f (x) M P T N x + x
2 2
A x B y
为函数 z = f(x , y) 在点 (x0 , y0) 处的全微分， 记为dz ，
即
dz A x B y
这时，也称函数 z = f (x , y)在点(x0 , y0)处可微.
如果函数 z = f (x , y)在区域 D 内每一点都可
微，则称函数 z = f (x , y)在区域 D 内可微.
1 1 x2
dx .
1 dx . darctan x 2 1 x
高等数学函数的微分及其应用
dy
x x0
x x0
，即
A x
一般来说，如果 y f ( x ) 在点 x0 可微，则存在常数A使
y f ( x0 x ) f ( x0 ) Ax ( x )
y (x ) 这样就有 A x x
y (x ) A lim lim A x 0 x x 0 x
可导，且 dy
x x0
f ( x0 )x.
f ( x ) x 时，函数在 x0 点的微分
dx ( x)
x x0
x x
x dx
x 可看成自变量本身的微分，函数
f ( x ) 在 x0 点微分又可写成 dy
x x0
f ( x0 )dx.
x x0
高等数学多媒体课件
§2.5 函数的微分及其应用
一、微分的定义
函数的微分是对函数局部变化的一种线性描述.
微分可以近似地描述当函数自变量改变量足够小时
函数值的改变情况. 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 设边长由x0变到x0 x, x
0
x
( x ) 2
x
正方形面积 A x0 2 ,
x 1
3dx
3 y x 在 x 2 点处微分 函数 dБайду номын сангаас x 2 ( x 3 ) x 2 dx 3 x 2 x 2 dx 12dx
dy
x 2
12dx
函数 y f ( x ) 在定义域上任意点的微分，称为 函数的微分，记为 dy 或 df ( x )
x ， y tan x ， y sin x y e 的微分. 例2 求函数
解 函数 y sin x 的微分
x x0
x x0
，即
A x
一般来说，如果 y f ( x ) 在点 x0 可微，则存在常数A使
y f ( x0 x ) f ( x0 ) Ax ( x )
y (x ) 这样就有 A x x
y (x ) A lim lim A x 0 x x 0 x
可导，且 dy
x x0
f ( x0 )x.
f ( x ) x 时，函数在 x0 点的微分
dx ( x)
x x0
x x
x dx
x 可看成自变量本身的微分，函数
f ( x ) 在 x0 点微分又可写成 dy
x x0
f ( x0 )dx.
x x0
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§2.5 函数的微分及其应用
一、微分的定义
函数的微分是对函数局部变化的一种线性描述.
微分可以近似地描述当函数自变量改变量足够小时
函数值的改变情况. 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 设边长由x0变到x0 x, x
0
x
( x ) 2
x
正方形面积 A x0 2 ,
x 1
3dx
3 y x 在 x 2 点处微分 函数 dБайду номын сангаас x 2 ( x 3 ) x 2 dx 3 x 2 x 2 dx 12dx
dy
x 2
12dx
函数 y f ( x ) 在定义域上任意点的微分，称为 函数的微分，记为 dy 或 df ( x )
x ， y tan x ， y sin x y e 的微分. 例2 求函数
解 函数 y sin x 的微分
函数的微分及其应用
每天的产量从250增加到260，请估计每天的收入增加量．
解 公司每天产量的增加量为 x 10 ，用dR估计每天的
收入增加量，则
2 x R dR 36 x x 20
360 x
x 10
三、 微分的运算
因为函数 y f (x ) 的微分等于导数 f (x ) 乘以 dx ，
dx .
y e sin x ，求 dy ． 练习 设
解 (1)用公式 dy f ( x )dx ，得
dy e
sin x
dx e
sin x
cos xdx,
(2)用一阶微分形式不变性，得
dy de
e
sin x
e
sin x
dsin x
sin x
cos xdx
p44
4.
d ( x) dx； 1 d (log a x) dx; x ln a d(a x ) a x ln adx; d (sin x) cos xdx; d (tan x) sec 2 xdx; d (sec x) sec x tan xdx; 1 d (arcsin x) dx; 2 1 x 1 d (arctan x) dx. 2 1 x
y ( x x )2 x 2 1.12 12 0.21
x1 x x 2 dy x1 y
2x
x1
x 1
x
x 2 0.1 0.2
（2）当 x 1, x 0.01时， y 1.012 12 0.0201
作业
2.（4）（5）（7）
3. 复合函数的微分法则
设函数 y f (u ) ，根据微分的定义，当 u 是自变量时,函数 y f (u ) 的微分是 dy f (u )du ,
函数的微分及其应用
解:
(243 2)
1 5
35 243
2 1 3 (1 )5 243 1 2 3 (1 ) 5 243
3.0048
例6. 有一批半径为1cm 的球 ,为了提高球面的光洁度,
要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm , 估计一下, 每只球需
用铜多少克 .
解: 已知球体体积为
x
d y f ( x) dx
dy f ( x) dx
导数也叫作微商
x0 x
例如, y x 3 ,
dy
x2 dx 0.02
3x 2 dx
0.24 x2 dx 0.02
又如, y arctan x , 1 dy dx 2 1 x
基本初等函数的微分公式
关于△x 的 x 0 时为 高阶无穷小 线性主部
x0
2 A x0
x0 x
故 称为函数在 x0 的微分
定义: 若函数
在点 x0 的增量可表示为
A x o(x)
( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y f ( x) 在点
可微, 而 A x 称为 即
的微分, 记作
d y A x
故 y f ( x0 ) x x f ( x0 ) x o( x)
即 d y f ( x0 ) x
线性主部
说明: y f ( x0 ) x o( x)
d y f ( x0 )x
当 f ( x0 ) 0 时 , y y lim lim x 0 f ( x0 ) x x 0 d y 1 y lim 1 f ( x0 ) x 0 x 所以 x 0 时 y 与 d y 是等价无穷小, 故当 x
(完整版)函数的微分及其应用
微分与导数的本质区别：
1. 导数是切线斜率，微分是切线对 x 的增量； 2. 导数只与 x 有关，而微分不仅与是切 x 有关，
也与 x 有关；
3.导数多用于理论研究，微分多用于近似计算。
利用 dy f ( x)dx 很容易求出基本初等函数的微分：
d(sin x) cos xdx ; d(C) 0 ;
§5 函数的微分及其应用
❖ 微分定义 ❖ 微分与导数 ❖ 微分的几何意义 ❖ 微分公式与运算法则 ❖ 微分的简单应用
一. 微分的概念
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由 x0 变到 x0 x,
正方形面积 A x02 ,
x0
x0x
x (x)2
x
A ( x0 x)2 x02
2x0 x (x)2 .
d ln | x | 1 dx ; x
d(tan x) sec2 xdx ;
d( x ) x1dx ;
d(arcsin x) 1 dx. 1 x2
三. 微分的几何意义
几何意义:(如图)
y
T
当y是曲线的纵 坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
N
P
o(x)
M
dy y
y f (x)
x
(5) 当 x 很小时, y dy (线性主部).
二. 微分与导数( differential & derivative )
定理：函数 y f ( x) 在 x0 可微 f ( x) 在 x0 可导。
可导 可微. 证: “必要性”
已知
在点 可微 , 则
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x)
例4. 设 u( x),v( x) 在 x 处可微，求 y arctan u 的微分;
最新版高等数学教学教案-函数的微分(Word)PPT
x
x
于是 当x0 时 由上式就得到
A lim
x0
y x
f
(x0)
因此 如果函数 f(x)在点 x0 可微 则 f(x)在点 x0 也一定可导 且 Af (x0) 反之 如果 f(x)在点 x0 可导 即
lim
x0
y x
f
(x0)
存在 根据极限与无穷小的关系 上式可写成
y x
f
(x0)
其中0(当x0) 且 Af(x0)是常数 x o(x) 由此又有
讲解方法四
引进实际问题，由研究函数的改变量 y = f（x0+x） f（x0）与自变量改变量 x 之间的关系，计 算函数改变量的大小，引发出微分的根本思想是在局部范围内用线性函数来近似函数的本质.
例如：
计算正方形面积增量
S=2xx + (x)2
计算圆面积增量
S=2 rr + (r)2
计算球体积增量 计算自由落体路程增量
V 4πr 2 r 4πr (r)2 4 π (r)3 3
S gt t g (t)2 2
以上实际问题的增量计算都可以被分解成两部分之和，第一部分是函数关于自变量增量的线性函数，
第二部分是关于自变量增量的高阶无穷小，当自变量的增量很微小时，函数的增量可近似地用第一部分代替.
定义：设 y=f（x）在某区向内有定义，x0 及 x0+x 在这区间内. 如果函数的增量 y = f（x0+x）f（x）
作业布置 《高等数学》标准化作业
导数：derivative；连续性：continuity；连续函数：continuous function ；
斜率：slope ；微分：differential calculus；阶：order ；
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d(uv)d udv d(C)u Cdu
u vdudv
d(u)vvdu udv
d( ) v
v2
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例2 设 yln x (ex2)求 , xex2 dy xex2 dx.
例3 设 ye1 3xco x ,求 sd.y
解 d c yx o d (e s 1 3 x ) e 1 3 x d (c x )os
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近似计算的基本公式 当x很小,时 yxx0 dyxx0f(x0) x.
f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) ( x x 0 ), 当x0时, f ( x ) f ( 0 ) f( 0 ) x .
设y 函 f(x )有 数 f导 (x ), 数
(1)若 x是自,变 d yf量 (x)d时 ;x
(2)若 x是中间,变 即量 另时 一 t的 变 可 量
微函 x数 (t),则d yf(x ) (t)dt
(t)d td,x d yf(x)d.x
结论：无论 x是自变量还是中 , 函间数变量
y f(x)的微分形式d总 yf是 (x)dx
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1、计算函数增量的近似值
若 yf(x)在x0处 点的 f(x0 导 )0,且 数 x很小 , 时
yxx0 dyxx0 f(x0) x.
例1 半径 10厘米的金属圆,半 片径 加伸 热长 后了 0.05厘米 ,问面积增大? 了多少
解 设Ar2, r 1厘 0, 米 r0 .0厘 5. 米
微分形式的不变性
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例4 设 y si2 x n 1 ) (求 ,d.y 解 y su i ,u n 2 x 1 .
dycousd uc2 o x 1 ) s d ( 2 ( x 1 )
co 2xs 1 ()2 d x 2co 2xs 1 ()d.x
例5 设 ye as x ibn ,求 xd.y
3 x 0 2 x 3 x 0 ( x ) 2 ( x ) 3 .
(1)
(2)
当x很小,时(2)是x的高阶无 o(穷 x), 小
y3x0 2x.
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
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二、微分的定义
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例3 正方形边 2.41长 0.0为 0米 5,求出它的 , 面 并估计绝对误差 . 与相对
解 设正方形边 x,面 长积 为y为 ,则 y x2. 当 x2.4时 1, y(2.4)2 15.80(m 8 2)1 .
yx2.41 2xx2.41 4.8.2
边长的绝对 x 误 0.0差 0,5为
定义 设函数y f (x)在某区间内有定义, x0及 x0 x在这区间内, 如果 y f (x0 x) f ( x0 ) A x o(x) 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 y f (x)在点x0可微, 并且称A x为函数 y f (x)在点x0相应于自变量增量x的微分, 记作dy xx0 或df ( x0 ), 即dy xx0 A x.
即 f ( x ) 在 函 x 0 可 ,且 点 A 数 f 导 ( x 0 ).
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(2) 充分性 函f(数 x)在x0 点 可,导
lxi m 0 xyf(x0),
即 x yf(x0),
从 y f ( x 而 0 ) x ( x ) , 0( x 0 ),
第五节 函数的微分与应用
一、问题的提出 二、微分的定义 三、可微的条件 四、微分的几何意义 五、微分的求法 六、微分形式的不变性 七、微分在近似计算中的应用
一、问题的提出
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边 x0变 长 x0 到 由 x,
正方形A 面 x积 02, A (x 0 x )2 x 0 2
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d(ax) ax lnadx
d(ex) exdx
d(loga
x)
1 dx xlna
d(arcsixn) 1 dx 1 x2
d(lnx) 1dx x
d(arccoxs) 1 dx 1 x2
d(arctaxn)
1 1 x2
dx
d(arccotx) 11x2 dx
2. 函数和、差、积、商的微分法则
d(1si n tC)co tsd. t
d(sinx2) 2xcoxs2dx
(2)
d( x)
1 dx 4x
xcox2s,
2x
d (s x 2 ) i( 4 n x x cx o 2 ) d (s x ).
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七、微分在近似计算中的应 用
计算函数增量的近似值
计算函数的近似值 误差估计----留作自学
解 d e y a c xb o ( b x ) s s x d b i e n a x d ( x a )x e a c xb o b x s s d b ix e n x a ( x a ) dx
e a(x b cb o x s a sb in )d x .x
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a
问题:在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得?
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办法:将误差确定在某一个范围内.
如果某个量的精度A,值 测是 得它的近似a值, 是 又知道它的误差不A超 ,即过
Aa A, 那末A叫做测A量的绝对误差,而限aA叫做测量 A的相对误差. 限
通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误 差与相对误差.
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例6 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使 等式成立.
( 1 ) d () c t o ; d ( 2 s ) d t (x s 2 ) ( i ) d ( n x ).
解 ( 1 ) d (s t) i n c o t, d st
cotsdt1d(s in t)d(1sint);
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例2 计算下列各数的近似值. (1 )39.5 9 ; 8 (2 )e 0 .0.3
解 (1 )39.9 5 8 3101 0 .50
3 100(01 1.5 ) 13010.0015 1000
10(110.001) 59.99. 5 3
(2)e0.0310.03 0.9.7
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例1 求函 yx 3当 数 x2 , x0 .0时 2 的 .
解 d y(x3)x3x2x.
dyx2 3x2xx2 0.2.4
x0.02
x0.02
通常把自 x的变增量 x量 称为自变量 , 的
记作 dx, 即dxx.
d yf(x)d.x dy f(x).
dx 即函数d的 与 y 微 自分 变量 d之 x的商 微等 分于
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3、误差估计
由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法 等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差， 而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误 差，我们把它叫做间接测量误差.
定义：如果某个量的精 A,它 度的 值近 为似值
为a,那末Aa叫做 a的绝对误 . 差 而绝对 a的 误比 差 Aa 值 叫 与a做 的相对 . 误
例1 计c算 o6so030的近.似值
解 设 f(x)cox,s f(x)six n ,(x为弧 ) 度
x03,
x , 360
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f()1, f()3. 32 3 2
co6so0 30cos()cossin 3 360 3 3 360
1 3 0.49.24 2 2 360
2.求 f(x)在点 x0附近的近 ; 似值 令 x 0 0 , xx . f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x , f ( x ) f ( 0 ) f ( 0 ) x .
面积的绝对 y 误 4.82 差 0.0为 050.024 (m 12).
面积的相对误差y为 0.0241 0.4%.
y 5.8081
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•小结
★ 微分学所要解决的两类问题:
函数的变化率问题
导数的概念
函数的增量问题
微分的概念
求导数与微分的方法,叫做微分法.
研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫 做微分学.
2x 0 x( x)2.
(1)
(2)
x0
x0x
x (x )2
x
Ax02
x0x x 0
(1) : x的线,性 且 函 为 A 的数 主;要部分
(2) : x的高阶,当 无 x很 穷小 小时. 可忽略
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再例如, 设函数 yx3在点x0处x的改变量 为x时, 求函数的改y变 . 量
y (x 0 x )3 x 0 3
A d A 2 r r 2 1 0 0 .05 (厘米 2).
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2、计算函数的近似值
1.求 f(x)在x点 x0附近的;近似值
y f ( x 0 x ) f ( x 0 )f(x0) x. f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x .(x很小时 )
f(x 0 ) x o ( x ),
函 f ( x ) 在 数 x 0 可 , 点 且 f ( 微 x 0 ) A .
可 可 . 导 A 微 f ( x 0 ). 函y数 f(x)在任x的 意微 点 , 称 分 为函数 微,分 记d作 或 yd(fx),即 d yf(x)x.
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