函数的微分

从而, 有
dy f ( x)dx. ——微分计算公式 dy 此时, 定理可重述为: dy f ( x)dx f ( x). dx
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dy dy dx. 故导数也称为“微商”. dx 导数的这种定义在某些场合下应用会很方便 .
求函数导数或微分的方法也称为“微分法”. 可微、可导、连续的关系
2
第五节
函数的微分
一、微分的定义 设有函数 y f ( x) , 当 x 在 x0 处有增量 x 时, 函数 y 有对应的增量 y f ( x0 x) f ( x0 ) .
当函数 f ( x ) 较为复杂时, y 的计算就比较麻烦.
例如 y arctan x , 在 x0 1 处有增量 x 0.02 , 求 y .
（保留3位小数）
y arctan1.02 arctan1 计算困难
任务： 为 y 寻求一个既简单（容易计算）又满足一定精度 要求的近似表达式.
3
实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由 x0变到x0 x,
x0
x
( x ) 2
x
正方形面积 A x ,
2 0
2 A ( x0 x)2 x0
y f ( x0 ) , (2) 充分性 设 函数f ( x)在点x0可导, 则 lim x 0 x y f ( x 0 ) x lim 0 , 于是 y f ( x0 )x o(x) , x 0 x
即 y Ax o(x ) , 函数 f ( x )在点x0可微 .
3
求函数的改变量 y .
3 y ( x 0 x ) 3 x 0 2 3 x0 x 3 x 0 ( x ) 2 ( x ) 3 .
(1)
( 2)
当 | x | 很小时 , (2)是x的高阶无穷小 o(x ),
2 y 3 x 0 x .
既容易计算又是较好的近似式
o
y f ( x)
）
M
dy
x
y

x0
当| x | 很小时, 在点M的附近 , 切线段 MP可近似代替曲线段MN .
x0 x
x
以直代曲
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三、微分的计算
计算公式：dy
f ( x) dx , dy|x x0 f ( x0 ) dx
x 例1 设 y ln sin , 求dy. 5 x 1 x 1 x 1 解 y (ln sin ) cos cot , x 5 5 5 5 5
1 例如：d( x ) ( x ) dx x dx ;


1 dx ; d(arctan x) (arctan x)dx 2 1 x d(csc x) (csc x)dx csc x cot xdx
对微分的基本公式, 我们要求大家熟练掌握, 既要会顺 着记,也要回反着记.
因此导数与微分有本质区别,不能混为一谈. (2) y dy|x x0 o(x)是比x高阶无穷小;
(3) 当| x | 很小时, y dy|x x0 (线性主部 ).
(4) 当A 0时,dy|x x0 与y是等价无穷小;
y o ( x ) 1 (x 0). 1 dy|x x0 A x
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x)
其中A是仅依赖于 x0而与x无关的常数, o(x)是比x 高阶的无穷小量， 则称函数 y f ( x ) 在点 x0 处可微，
并称 A x 为 f ( x ) 在点 x0 处相应于自变量 x 的微分,
(5) A是与x无关的常数, 但与f ( x)和x0有关 ;
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遗留的问题：
(1) 定义中的常数A如何求？ (2) 函数可微的条件？ (3) 可导与可微有何联系？ 定理（可导与可微的关系） 函数 f ( x)在点 x0处可微的
充分必要条件是 f ( x)在点 x0处可导, 且 A f ( x0 ).
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例4 运用微分的四则运算法则求下列函数的微分
tan x ; (1) y sin xe arctan x ; (2) y 1 ln x x 解 (1) dy d(sin xe ) d(arctan x )
x
ex d(sin x) sin xd(ex ) d(arctan x ) 1 x x e cos xdx sin x e dx dx 2 1 x 1 x [e (cos x sin x ) ] dx 2 1 x
9
x
x
可微 可导， A f ( x0 ).
由此定理, 可得
dy |xx0 Ax f ( x0 )x.
一般地,有 dy f ( x)x.
特别地, 当y x 时， f ( x) ( x) 1，
此时有 dy dx 1 x x . 即 dx x.
x 0 x
2 A x0
2 x 0 x ( x ) 2 .
(1) ( 2)
x 0 x
x0
2 x0 x. （| x | 很小时）
(1) : x的线性函数, 且为A的主要部分;
(2) : x的高阶无穷小, 当 | x | 很小时可忽略.
4
再如, 设函数y x 在点x0处的改变量为 x时,
2
[ x(1 ln x ) sec x tan x ] dx 2 x(1 ln x )
2
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（2）复合函数的微分法则
若 y f ( x ) 可导，则 dy f ( x ) dx .
又设 x g( t ) , g (t ) 可导，则复合函数 y f [ g( t )]
sin
1 x dy ydx cot dx. 5 5
注意：dx勿丢.
13
5
例2 求函数 y sin x 在点 x 0 和 x 解

2
的微分 .
dy (sinx ) dx cos x dx , 所以
d y x0 (cos0) dx dx ,
d y x (cos ) dx 0 . 2 2
可微, 且其微分为
dy f ( g (t )) dt f ( x) g (t ) dt f ( x) dx
(而 dx g( t )dt )
结论： 无论 x是自变量还是中间变量 , 函数 y f ( x) 的微分形式总是
dy f ( x ) dx
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此性质称为一阶微分的形式不变性.
记作dy | x x0 或 df | x0 , 即
dy | x x0 A x
6
y A x o(x)， dy | x x A x
0
由定义可知： (1) 微分dy|x x0 是自变量增量x的线性函数;
而导数 f ( x0 )是增量比的极限(值) ;
例3 求函数 y x 3 当 x 2, x 0.02时的微分. 解

dy ( x 3 ) dx 3 x 2 dx ,
d y x2
x 0.02
3 x x x2
2
x 0.02
0.24 .
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由导数的基本公式和运算法则, 结合微分的计算公式
即可得微分的基本公式以及运算法则,详见 P 100 页.
d(Cu) C du u v du u dv d( ) v v2
例如，由函数的商的求导法则
u vu uv ( ) 2 v v
以及 du u dx 和在 dv v dx ，即有
u u vu dx uv dx vdu udv d( ) ( ) dx . 2 2 v v v v
算所构成的复杂函数和幂指函数.
1
3、参数式函数的求导公式
x (t ) , 其中 (t ), (t )二阶可导,则有 y (t )
(t ) dy 2 dy dt (t ) d y (t ) ， . 2 dx dx (t ) dx (t ) 勿丢 dt
即
可微 可导
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可微 可导， A f ( x0 ).
证 (1) 必要性 设f ( x)在点x0可微, 则
y A x o(x), y A o(x) ,
y o(x) A+0=A. 从而， lim A lim x 0 x x 0 x
即函数 f ( x )在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
问题： 是否所有的 y 都能分成两部分：一部分是
x 的线性部分, 其余部分是 x 的高阶无穷小？
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定义 设函数 y f ( x)在x0的某领域U ( x0 )内有定义 ,
当x在x0处有增量x 时( x0 x U ( x0 )), 若对应的函数增量
y当 x 0 时可表示为
一阶微分形式不变性的应用： (1) 计算复合函数的导数或微分 例5 设 y ln( x e ) , 求 y .
x2
解
x x e u 1 1 x2 2 x2 [d x e d( x ) ] ) ] 2 2 [dx d(e x ex x ex x2 1 2 xe 1 x2 dx. [dx e 2xdx ] x2 x2 xe xe x2 1 2 xe y . x2 xe
1、基本初等函数的微分公式（ P100 页）
d(arcsinx ) 1 1 x
2
dx
d(arccosx )
ห้องสมุดไป่ตู้
1 1 x2
dx
1 d(arctanx ) dx 2 1 x
1 d(arccot x ) dx 2 1 x