6、函数的微分及练习

因此 如果函数 f(x)在点 x0 可微 则 f(x)在点 x0 也一定可导 且 Af (x0) 反之 如果 f(x)在点 x0 可导 即 lim 可写成
x 0 x
y f ( x0 ) 其中 0(当△x0) 且 A=f(x0)是常数 o(△x) 由此又有 x
2 3 例 2 求函数 yx 当 x2x 0.02 时的微分
例 3 求 d sin 3 x

2

和 darctgx.
自变量的微分 因为当 y=x 时 dy=x△x=△x 所以通常把自变量 x 的增量△x 称为自变量的 微分 记作 dx 即 dx△x 于是函数 yf(x)的微分又可记作 dyf (x)dx 从而有
2
o
近似地代替△A
）
x0 x
x
微分定义 设函数 yf(x)在某区间内有定义 x0 及 x0△x 在这区间内 如果函数的增量△y f(x0△ x)f(x0)可表示为△ yA△ xo(△ x) 其中 A 是不依赖于△ x 的常数 那么称函数
yf(x)在点 x0 是可微的 而 A△x 叫做函数 yf(x)在点 x0 相应于自变量增量△x 的微分 记
例 12 利用微分计算 sin 3030的近似值。
例 13 利用微分计算 sin 29 的近似值。

常用的近似公式（假定|x|是较小的数值） (1) n 1 x 1 1 x n (2)sin xx (x 用弧度作单位来表达) (3)tan xx (x 用弧度作单位来表达) x (4)e 1x (5)ln(1x)x 证明(1):取 f ( x) n 1 x 那么 f(0)1 f (0) 1 (1 x) n n 得 n 1 x 1 1 x n 证明(2): 证明(3): 证明(4):
复合函数的微分法则 设 yf(u)及 ug(x)都可导 则复合函数 yf[g(x)]的微分为 dyyx dxf (u)g(x)dx 由于 g (x)dx du 所以 复合函数 y f[g(x)]的微分公式也可以写成 dy f (u)du 或 dyyu du 由此可见 无论 u 是自变量还是另一个变量的可微函数 微分形式 dyf (u)du 保持不 变 这一性质称为微分形式不变性 这性质表示 当变换自变量时 微分形式 dyf (u)du 并 不改变 例 4 y x ln x cos x, 求 dy 和 y .
(loga x) 1 x ln a (ln x) 1 x
(arcsin x) 1 1 x 2 1 1 x 2
d (loga x) 1 dx x ln a d (ln x) 1 dx x
d (arcsin x) d (arccos x) 1 dx 1 x 2 1 dx 1 x 2
微分法则 d(uv)dudv d(Cu)Cdu d(uv)vduudv
uv ( u ) u v (v 0) v v2
udv dx(v 0) d ( u ) vdu v v2
证明乘积的微分法则 根据函数微分的表达式 有 d(uv)(uv)dx 再根据乘积的求导法则 有(uv)uvuv 于是 d(uv)(uvuv)dxuvdxuvdx 由于 udxdu vdxdv 所以 d(uv)vduudv 证明除法的微分法则
作 dy x x 或 df ( x0 ) 即 dy x x Ax 或 df ( x) x x A x 。当 A 0 时，微分 dy 叫做
0 0 0
△y 的线性主部。 由定义知： （1）的线性函数 dy 是自变量的改变量 x 线性其次函数；
（2） y dy o( x) 是比高阶无穷小是比 x 高阶无穷小； （3）当 A 0 时， dy 与 y 是等价无穷小 ； （4） A 是与 x 无关的常数，但与 f ( x)和x0 有关； （5）当 x 很小时， y dy （线性主部） 函数可微的条件 函数 f(x)在点 x0 可微的充分必要条件是函数 f(x)在点 x0 可导 且当函数
1 1
1 代入 f(x)f(0)f (0)x 便 x 0 n
证明(5):
例 9 计算 1.05 ，
0.97 和
3
127 的近似值.
y f ( x0 )x x 因为 f (x0)不依赖于△x 故上式相当于△yA△xo(△x) 所以
f(x)在点 x0 也是可导的 以微分 dy 近似代替函数增量△y 的合理性
当 f (x0)0 时 有 lim
y
x0 dy
lim
x0
y y 1 lim 1 △ydyo(dy) f ( x0)x f ( x0) x0 dx
注意区分符号 dx ( dx) , d x d ( dx)
2 2 2


例 11 y f (u ) sin u , u ( x) x . 求 d y.
2 2
例 12 以例 11 为例,说明高阶微分不具有形式不变性:
微分在近似计算中的应用 函数的近似计算 在工程问题中 经常会遇到一些复杂的计算公式 如果直接用这些公式进行计算 那是 很费力的 利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替 如果函数 yf(x)在点 x 0 处的导数 f (x)0 且|△x|很小时 我们有 ydyf (x0)△x △yf(x0△x)f(x0)dyf (x0)△x f(x0△x)f(x0)f (x0)△x 若令 xx0△x 即△xxx0 那么又有 f(x) f(x 0)f (x0)(xx0) 特别当 x00 时 有 f(x) f(0)f (0)x 这些都是近似计算公式 例 11 有一批半径为 1cm 的球 为了提高球面的光洁度 要镀上一层铜 厚度定为 001cm 估 3 计一了每只球需用铜多少 g(铜的密度是 8.9g/cm )?
(arccos x)
(arctan x) 1 2 1 x (arc cot x) 1 2 1 x
函数和、差、积、商的微分法则 求导法则 (uv)u v (Cu)Cu (uv)uvuv
d (arctan x) 1 2 dx 1 x
d (arc cot x) 1 2 dx 1 x
函数的微分
微分的定义 由导数定义 f ( x 0 ) lim
x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) ， x
上式可写为 y f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x o( x) ， 即函数在 x 0 处的改变量 y 可 表示成两部分： x 的线性部分 f ( x 0 ) x 与 x 的高阶无穷小部分 o( x) 。当 x 充分 小时，函数的改变量可由第一部分近似代替 y f ( x 0 ) x 。 引例 正方形面积的测问题。 设正方形的实际边长为 x 0 ，由于测量不可能绝对准确，设 边长测量的最大误差为 x ， 试问由于边长测量不准造成的面积 误差最多有多大？
2 2
例5 ye
sin( ax b )
, 求 dy 和 y .
例 6 ysin(2x1) 求 dy 例7ye
ax
sin bx 求 dy
例 8 y ln(1 e x 2 ) 求 dy
1 3x 例 9 ye cos x 求 dy
例 10 在括号中填入适当的函数 使等式成立 (1) d( )xdx (2) d( ) cos tdt
结论 在 f (x0)0 的条件下 以微分 dyf (x0)△x 近似代替增量△yf(x0△x)f(x0)时 其 误差为 o(dy) 因此 在|x|很小时 有近似等式△y dy 函数 yf(x)在任意点 x 的微分 称为函数的微分 记作 dy 或 df(x) 即 dyf (x)△x 例如 ：d cos x (cos x)△x sin x △x dex(e x)△xex△x 例 1 求函数 yx 在 x1 和 x3 处的微分
2
(3)( d (sin x ) (
2
)d ( x )
高阶微分的定义： d y d ( dy ) d f ( x) dx
d f ( x) dx
f ( x)dx dx f ( x)(dx) 2 f ( x)dx 2 . n 阶微分定义为 n 1 阶微分的微分，即 d n y d d n 1 y f ( n ) ( x)dx n .
x0
x
2 A x0
x0x
x
A ( x0 x ) x 2 x0 x ( x )
2 2 0
2
2 A x0
x0x
x0
即面积误差由两部分组成： 第一部分： 2 x 0 x 是 x 的线性部分; 第二部分： ( x) 是 x 的高阶无穷小，所以 A 2 x 0 x
f(x)在点 x0 可微时 其微分一定是 dyf (x0)△x
证明 设函数 f(x)在点 x0 可微 则按定义有△yA△xo(△x) 上式两边除以△x 得
y o(x) A x x
于是 当△x0 时 由上式就得到 A lim
y f ( x0 ) x 0 x y f ( x0 ) 存在 根据极限与无穷小的关系 上式
2
y
几何意义
2x0 △ x 表示两个长为 x 0 宽为△ x 的长方形面积
(△x)2 表示边长为△x 的正方形的面积 数学意义 当 x 0 时 ( x ) 是比 x 高阶的无穷小 即(△
2
o(x)
T
y f ( x)

N M
x0
x
dy
y
x) o(△x) 2x0 x 是 x 的线性函数 是△A 的主要部分 可以
dy f ( x) dx
这就是说 函数的微分 dy 与自变量的微分பைடு நூலகம்dx 之商等于该函数的导数 因此 导数也叫做 “微 商” 微分的几何意义:当△y 是曲线 yf(x)上的点 M 的纵坐标的增量时 dy 就是曲线的切线上 点 M 纵坐标的相应增量 当|△x|很小时 |△ydy|比|△x|小得多 因此在点 M 的邻近 我们 可以用切线段来近似代替曲线段 基本初等函数的微分公式与微分运算法则:从函数的微分的表达式 dy f (x)dx 可以看出 要计算函数的微分 只要计算函数的导数 再乘以自变量的微分 因此 可得如果下的微分 公式和微分运算法则 基本初等函数的微分公式 导数公式 n n 1 (x )nx (sin x)cosx (cos x)sinx 2 (tan x)sec x 2 (cot x)csc x (sec x)secx tan x (csc x)cscx cot x x x (a )a lna x x ( e ) e 微分公式 d(x n)nx n1 dx d(sinx)cosx dx d(cosx)sinx dx d(tanx)sec 2x dx d(cotx)csc 2x dx d(secx)secx tanx dx d(csc x)cscx cotx dx d(a x )a x lna dx d(e x)e x dx