多元函数微分学习题

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多元函数微分学练习题及答案

三. 设Lx, y, z, ln x ln y 3ln z (x2 y2 z2 5R2 )
求得此函数定义域内唯一的稳定点R，，R 3R ，也是所求函数的最大值点，所求最大值为f R, R, 3R ln 3 3R5 .
ln x ln y 3ln z ln 3 3R5
u y xf2 ( xz xyz y ) f 3
.
3、f x ( x, y)
(
x
2 xy 3 2 y2
)2
,
x
2
0, x 2 y 2 0
y2
0 ,
f y (x,
y)
x2(x2 (x2
y2 y2 )2
)
,
x2
o, x 2 y 2 0
y2
0
五、(
f1
f2 )dx
y (z) 1
f2 (z) dy. y (z) 1
六、 xe2 y fuu e y fuy xe y f xu f xy e y fu.
4、1； 5、必要条件,但不是充分条件； 6、可微；
7、 2 f (v )2 f 2v ； v 2 y v y 2
8、
9 2
a
3
；
9、(1,2)；10、 1 ； 8
二、(1)当 x y 0时,在点( x, y)函数连续；
(2)当 x y 0时,而( x, y)不是原点时,
则( x, y)为可去间断点,(0,0)为无穷间断点.
4、lim( x 2 y )2 x2 y2 ( ). x0 y0
5、函数 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续,且两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )存在是 f ( x, y)在该点可微

《多元函数微分学》word版

第十七章多元函数微分学一、证明题1. 证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,2222222 在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微.2. 证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0y x 0,0y x ,y x 1)sin y (x y)f(x,22222222在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而f 在原点(0,0)可微.3. 证明: 若二元函数f 在点p(x 0,y 0)的某邻域U(p)内的偏导函数f x 与f y 有界,则f 在U(p)内连续.4. 试证在原点(0,0)的充分小邻域内有x y1y x arctg ++≈x+y. 5. 试证:(1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和;(2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和.6.设Z=()22y x f y -,其中f 为可微函数,验证 x 1x Z ∂∂+y 1y Z ∂∂=2yZ . 7.设Z=sin y+f(sin x-sin y),其中f 为可微函数,证明:x Z ∂∂ sec x + y Z ∂∂secy=1. 8.设f(x,y)可微,证明:在坐标旋转变换x=u cos θ-v sin θ, y=u sin θ+v cos θ之下.()2x f +()2y f 是一个形式不变量,即若 g(u,v)=f(u cos θ-v sin θ,u sin θ+v cos θ).则必有()2x f +()2y f =()2u g +()2vg .(其中旋转角θ是常数) 9.设f(u)是可微函数,F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t),试求:F x (0,0)与F g (0,0)10..若函数u=F(x,y,z)满足恒等式F(tx,ty,tZ)=t k (x,y,z)(t>0)则称F(x,y,x)为K 次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F(x,y,z)为K 次齐次函数的充要条件是:()z ,y ,x x F x +()z ,y ,x yF y +()z ,y ,x ZF x =KF(x,y,z).并证明:Z=xy y x xy 222-+为二次齐次函数.11..设f(x,y,z)具有性质f ()Z t ,y t ,tx m k =f t n (x,y,z)(t>0) 证明: (1) f(x,y,z)=⎪⎭⎫ ⎝⎛m k n x Z ,x y ,1f x ; (2) ()z ,y ,x x f x +()z ,y ,x kyf y +()z ,y ,x m zf z =nf(x,y,z).12.设由行列式表示的函数D(t)=()()()()()()()()()t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n21n 2n 22211n 1211⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅其中()t a ij (i,j=1,2,…,n)的导数都存在,证明()dt t dD =∑=n 1k ()()()()()()()()()t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n21n k n k 21k 1n 1211⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅''⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 13.证明:(1) grad(u+c)=grad u(c 为常数);(2) graqd(αu+βv)=αgrad u+βgrad v(α,β为常数);(3) grsdu v=u grad v+v grsd u;(4) grad f(u)=f '(u)grad u.14.设f(x,y)可微,L 1与L 2是R 2上的一组线性无关向量,试证明;若()0,≡y x f i λ(i=1,2)则f(x,y)≡常数.15.通过对F(x,y)=sin x cos y 施用中值定理,证明对某∈θ (0,1),有43=6cos 3cos 3πθπθπ6sin 3sin 6πθπθπ-. 16.证明:函数 u=()t a 4b x 22e t a 21--π(a,b 为常数)满足热传导方程:tu ∂∂=222x u a ∂∂ 17.证明:函数u=()()22b y a x ln -+-(a,b 为常数)满足拉普拉斯方程:22x u ∂∂+22y u ∂∂=0. 18.证明:若函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程: 22x u ∂∂+22y u ∂∂=0.则函数V=f(22y x x +,22y x y +)也满足此方程. 19.设函数u=()()y x φ+ϕ,证明:⋅∂∂xu y x u 2∂∂∂=⋅∂∂y u 22x u ∂∂. 20.设f x ,f y 和f yx 在点(x 0,y 0) 的某领域内存在,f yx 在点(x 0,y 0)连续,证明f xy (x 0,y 0)也存在,且f xy (x 0,y 0)= f yx (x 0,y 0),21.设f x ,f y 在点(x 0,y 0)的某邻域内存在且在点(x 0,y 0)可微,则有f xy (x 0,y 0)= f yx (x 0,y 0)二、计算题1.求下列函数的偏导数:(1) Z=x 2y; (2) Z=ycosx; (3) Z=22y x 1+;(4) Z=ln(x+y 2); (5) Z=e xy ; (6) Z=arctgx y ; (7) Z=xye sin(xy); (8) u=zx y Z x y -+; (9) u=(xy)z ; (10) u=z y x .2. 设f(x,y)=x+(y-1)arcsinyx ; 求f x (x,1). 3. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x 1ysin y)f(x,222222考察函数f 在原点(0,0)的偏导数.4. 证明函数Z=22y x +在点(0,0)连续但偏导数不存在.5. 考察函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x 1xysin y)f(x,222222在点(0,0)处的可微性.6. 求下列函数在给定点的全微分;(1) Z=x 4+y 4-4x 2y 2在点(0,0),(1,1); (2) Z=22y x x+在点(1,0),(0,1).7. 求下列函数的全微分;(1) Z=ysin(x+y);(2) u=xe yx +e -z +y8. 求曲面Z=arctgx y 在点⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1,1π处的切平面方程和法线方程. 9. 求曲面3x 2+y 2-Z 2=27在点(3,1,1)处的切平面方程与法线方程.10. 在曲面Z=xy 上求一点,使这点的切平面平行于平面x+3y+Z+9=0,并写出这切平面方程和法线方程.11. 计算近似值:(1) 1.002×2.0032×3.0043;(2) sin29°×tg46°.12. 设园台上下底的半径分别为R=30cm, r=20cm 高h=40cm. 若R,r,h 分别增加3mm,4mm,2mm.求此园台体积变化的近似值.13. 设二元函数f 在区域D=[a,b]×[c,d]上连续(1) 若在intD 内有f x ≡0,试问f 在D 上有何特性?(2) 若在intD 内有f x =f y ≡0,f 又怎样?(3) 在(1)的讨论中,关于f 在D 上的连续性假设可否省略?长方形区域可否改为任意区域?14. 求曲面Z=4y x 22+与平面y=4的交线在x=2处的切线与OZ 轴的交角. 15. 测得一物体的体积v=4.45cm 3,其绝对误差限为0.01cm 3,又测得重量W=30.80g,其绝对误差限为0.018,求由公式d=vw 算出的比重d 的相对误差限和绝对误差限. 16.求下列复合函数的偏导数或导数: (1) 设Z=arc tg(xy),y=e x ,求xdZ α; (2) 设Z=xy y x 2222e xyy x ++,求x Z ∂∂,y Z ∂∂; (3) 设Z=x 2+xy+y 2,x=t 2,y=t,求dtZ ∂; (4) 设Z=x 2lny,x=v u ,y=3u-2v,求u Z ∂∂，v Z ∂∂； (5) 设u=f(x+y,xy),求x u ∂∂,yu ∂∂; (6) 设u=f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z y ,y x ,求x u ∂∂,y u ∂∂,Z u ∂∂. 17.求函数u=xy 2+z 3-xyz 在点(1,1,2)处沿方向L(其方向角分别为60,°45°,60°)的方向导数.18.求函数u=xyz 在点A(5,1,2)处沿到点B(9,4,14)的方向AB 上的方向导数.19.求函数u=x 2+2y 2+3z 2+xy-4x+2y-4z 在点A(0,0,0)及点B(5,-3,3z )处的梯度以及它们的模.20.设函数u=ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛r 1,其中r=()()()222c z 0y a x -+-+- 求u 的梯度;并指出在空间哪些点上成立等式gradu =1.21设函数u=222222by a x c z --,求它在点(a,b,c)的梯度. 22.设r=222z y r ++,试求:(1)grad r; (2)grad r1.23.设u=x 3+y 3+z 3－3xyz,试问在怎样的点集上grad u 分加满足:(1)垂直于Z 轴,(2)平行于Z 轴(3)恒为零向量.24.设f(x,y)可微,L 是R 2上的一个确定向量,倘若处处有f L (x,y)≡0,试问此函数f 有何特征?25.求下列函数的高阶偏导数:(1) Z=x 4+y 4－4x 2y 2,所有二阶偏导数;(2) Z=e x (cos y+x sin y),所有二阶偏导数; (3) Z=xln(xy),y x z 23∂∂∂,23y x z ∂∂∂; (4) u=xyze x+y+z ,r q p z q p zy x u ∂∂∂∂++; (5) Z=f(xy 2,x 2y),所有二阶偏导数; (6) u=f(x 2+y 2+x 2),所有二阶偏导数；(7)Z=f(x+y,xy,yx ),z x , z xx , Z xy . 26.求下列函数在指定点处的泰勒公式:(1) f(x,y)=sin(x 2+y 2)在点(0,0)(到二阶为止);(2) f(x,y)=yx 在点(1,1)(到三阶为止); (3) f(x,y)=ln(1+x+y)在点(0,0);(4) f(x,y)=2x 2―xy ―y 2―6x ―36+5在点(1,－2).27.求下列函数的极值点:(1) Z=3axy ―x 3―y 3 (a>0);(2) Z=x 2+5y 2―6x+10y+6;(3) Z=e 2x (x+y 2+2y).28.求下列函数在指定范围内的最大值与最小值.(1) Z=22y x -,(){2x y ,x +}4y 2≤； (2) Z=22y x y x +-,(){}1y x y ,x ≤+; (3) Z=sinx+sing －sin(x+y),()(){}π≤+≥2y x ,0x y ,x y ,x29.在已知周长为2P 的一切三角形中,求出面积为最大的三角形.30.在xy 平面上求一点,使它到三直线x=0,y=0,及x+2y －16=0的距离平方和最小.31.已知平面上n 个点的坐标分别是 ()111y ,x A ,()222y ,x A ,…()n n n y ,x A .试求一点,使它与这n 个点距离的平方和最小.32.设 u=222z y x z y x1 1 1求(1)u x +u y +u z ; (2)xu x +yu x +zu z ; (3)u xx +u yy +u zz .33.设f(x,y,z)=Ax 2+By 2+Cz 2+Dxy+Eyz+Fzx,试按h,k,L 的下正整数幂展开f(x+h,y+k,z+L).三、三、考研复习题1. 设f(x,y,z)=x 2y+y 2z+z 2x,证明f x +f y +f z =(x+y+z)2.2. 求函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,22222233在原点的偏导数f x (0,0)与f y (0,0),并考察f(x,y)在(0,0)的可微性.3. 设 1nn1n 21n 12n 2221n21 x x x x x x x x x 11 1u ---=证明: (1)∑==∂∂n1k k 0;x u (2) ∑=-=∂∂n 1k k k u 21)n(n x u x . 4. 设函数f(x,y)具有连续的n 阶偏导数:试证函数g(t)=f (a+ht,b+kt)的n 阶导数 kt)b ht,f(a y k xh dt g(t)d n n n ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=. 5. 设 22x 求xk z h y g y f x e z d z c y b x a z)y,(x,∂∂+++++++++=ϕϕ. 6. 设 (z)h (z)h (z)h (y)g (y)g (y)g (x)f (x)f (x)f z)y,Φ(x,321321321=求z y x Φ3∂∂∂∂. 7. 设函数u=f(x,y)在R 2上有u xy =0,试求u 关于x,y 的函数式.8. 设f 在点p 0(x 0,y 0)可微,且在p 0给定了n 个向量L i (i=1,2,…n).相邻两个向量之间的夹角为n2π，证明 ∑==n 1i 0Li 0)(p f.9. 设f(x,y)为n 次齐次函数,证明 1)f m (n 1)n(n f y y x x m +--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂ . 10. 对于函数f(x,y)=sin xy ,试证 my y x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂f=0. 欢迎您的下载，资料仅供参考！。

(完整版)多元函数微分学测试题及答案

第8章测试题1.),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数且在),(00y x 处有极值是 0),(00=y x f x 及0),(00=y x f y 的（）条件．A ．充分B ．充分必要C ．必要D ．非充分非必要2.函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂及z y ∂∂在点(,)x y 存在且连续是 (,)f x y 在该点可微分的（）条件．A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件3. 设(,)z f x y =的全微分dz xdx ydy =+，则点（0，0）是（）A 不是(,)f x y 连续点B 不是(,)f x y 的极值点C 是(,)f x y 的极大值点D 是(,)f x y 的极小值点4. 函数22224422,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在（0，0）处（ C ）A 连续但不可微B 连续且偏导数存在C 偏导数存在但不可微D 既不连续，偏导数又不存在5.二元函数22((,)(0,0),(,)0,(,)(0,0)⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩x y x yf x y x y 在点(0,0)处( A). A ．可微,偏导数存在 B ．可微,偏导数不存在C ．不可微,偏导数存在D ．不可微,偏导数不存在6.设),(),,(y x v v v x f z ==其中v f ,具有二阶连续偏导数. 则=∂∂22y z( ). (A)222y v v f y v y v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂； (B)22y vv f∂∂⋅∂∂；(C)22222)(y v v fy v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂； (D)2222y v v f y v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂.7.二元函数33)(3y x y x z --+=的极值点是( ).(A) (1,2)； (B) (1.-2)； (C) (-1,2)； (D) (-1,-1). 8.已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且223(,)(0,0)(,)lim 1()x y f x y xy x y →-=+，则下述四个选项中正确的是（）.A ．点(0,0)是(,)f x y 的极大值点B ．点(0,0)是(,)f x y 的极小值点C ．点(0,0)不是(,)f x y 的极值点D ．根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点10.设函数(,)z z x y =由方程z y z x e -+=所确定，求2z y x ∂∂∂ 11.设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求 z z x y x y ∂∂-∂∂ 12.设222x y z u e ++=，而2sin z x y =，求u x ∂∂11.设(,,)z f x y x y xy =+-，其中f 具有二阶连续偏导数，求 2,z dz x y ∂∂∂.13.求二元函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值14.22在椭圆x +4y =4上求一点，使其到直线2360x y +-=的距离最短.第8章测试题答案1.A2.A3.D4.C5.A6.C7.D8.C 8. ()()3(1)z y z y e e ---9. 2122z z x y x y f f x y y x∂∂-=-∂∂ 10.2222(12sin )x y z u xe z y x++∂=+∂11.123123231113223233 ()(),()()dz f f yf dx f f xf dyzf f x y f f x y f xyf x y=+++-+∂=+++-+-+∂∂12.极小值11(0,)f ee-=-13. r h==14. 83(,)55。

第八章多元函数微分练习题

5、已知函数 z f (sin x, y 2 ) ，其中 f (u, v) 有二阶连续偏导数，求 z 、 2 z 。 x xy
6、设
z
xf
(x2,
xy)
其中
f
(u, v)
的二阶偏导数存在，求
z y
、
2z yx
。
7、设 z f (2x 3y, xy) 其中 f 具有二阶连续偏导数，求 2 z 。 xy
z x
三、计算题
1、设 z f (x2 , x ) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 z 、 2 z 。
y
x xy
2、已知 z ln x x2 y 2 ，求 z ， 2 z 。 x xy
3、求函数 z tan x 的全微分。 y
4、设 z f (x y, xy) ，且具有二阶连续的偏导数，求 z 、 2 z 。 x xy
x1 （
y0
)
A、-1
B、 0
C、 1
D、 2
8、函数 z ( x y)2 ，则 dz x1, y0 =（
）
A、 2dx 2dy B、 2dx 2dy
C、 2dx 2dy D、 2dx 2dy
二、填空题
1、函数 z x y 的全微分 dz 2、设 u e xy sin x ，则 u
y
xy
17、设 z f (x2 y, y2 x) ,其中 f 具有二阶连续偏导数,求 2 z 。 xy
18、设
z
z(x,
y)
是由方程
z
ln
z
xy
0
确定的二元函数，求
2z x2
19、设 z yf ( y2, xy) ,其中函数 f 具有二阶连续偏导数，求 2z 。 xy

《微积分(下)》第2章多元函数微分学--练习题

第2章多元函数微分学一、二元函数的极限专题练习：1.求下列二元函数的极限: (1) ()211(,)2,2lim2;y xy x y xy +⎛⎫→- ⎪⎝⎭+ (2)()()2222(,),3limsin ;x y x yxy→∞∞++(3) ()(,)0,1sin lim;x y xy x→ (4)()(,)0,0limx y →2．证明：当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x yf x y xy=+的极限不存在。

二、填空题3. 若 22(,)f x y y x y +=-，则 (,)f x y = ；4.函数22(,)ln(1)f x y x y =+-的定义域是D = ； 5. 已知 2(,)x y f x y e = ，则 '(,)x f x y = ； 6. 当 23(,)5f x y x y =,则 '(0,1)x f = ； 7. 若 2xy Z e yx =+，则 Z y∂=∂ ；8. 设 (,)ln()2y f x y x x=+，则 '(1,0)y f =；9. xyZ xe Z ==二元函数全微分d ； 10. arctan()Z xy =设，则dz= .11.1,0xyx y Z e Z====二元函数全微分d三、选择题12.设函数 ln()Z xy =，则Z x∂=∂ ( )A1yBx yC 1xDy x13.设 2sin(),Z xy = 则Z x∂=∂ ( )A 2cos()xy xyB 2cos()xy xy -C 22cos()y xy -D 22cos()y xy14.设 3xy Z =，则Z x∂=∂ ( )A 3xy yB 3ln 3xyC 13xy xy - D3ln 3xyy四、计算与应用题15. (1) 22e x yz +=, 求(0,1),(1,0)xy z z ''； (2) arctan y z x=, 求(1,1),(1,1)xy z z ''--；16.2(,),(,)(,)xy x y f x y e yx f x y f x y ''=+已知求和17.已知 2242(3),x y Z Z Z x y xy+∂∂=+∂∂设求和18.22exyz x y=+，求y xz z '';。

多元函数微分学练习题

第五章（多元函数微分学）练习题一、填空题1. (,)(0,0)sin()limx y xy y →= ． 2. 22(,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1(,)(0,0)lim [1sin()]xyx y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩则(0,1)x f = ．5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ．6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ．7.设u =d u = ．8.若(,)f a a x ∂=∂，则x a →= ． 9.设函数ln u =，则它在点0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为．10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-v 的方向导数为． 11. 设2z xy =，3l i j =+v v v ，则21x y z l ==∂=∂v ．12. 曲线cos ,sin ,tan 2t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是．14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为．15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是．16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是．17. 曲线2226,2x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点(1,2,1)-处切线的方向向量s = ．18. 设2),,(yz e z y x f x =，其中),(y x z z =是由方程z y x e z y x --+=+确定的隐函数，则=)1,1,0(x f ．二、选择题1. 设0x 是n R ⊂E 的孤立点，则0x 是E 的（）(A)聚点； (B)内点； (C)外点； (D)边界点．2. 设0x 是n R ⊂E 的内点，则0x 是E 的（）(A)孤立点； (B)边界点； (C)聚点； (D)外点．3. 设222, (,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩，则(0,0)y f =( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 1-4. 若),(y x f 在),(00y x =0x 的两个偏导数)(0x xf ∂∂，)(0x y f ∂∂存在，则 ( ） (A)f 在0x 可微； (B)f 在0x 连续；(C)f 在0x 存在任何方向的方向导数； (D)f 在0x 关于x 与y 皆连续．5. 二元实值函数),(y x f 的两个偏导数xf ∂∂，y f ∂∂在),(00y x =0x 连续是f 在0x 可微的( ) (A) 充分条件 (B) 必要条件(C) 充要条件 (D) 既不是充分也不是必要的条件6. 函数22223u x y xz y =+-+-在点(1,1,2)-处的方向导数的最大值为（）(A) (B) (C)；7. 函数332233z x y x y =+--的极小值点是( )(A) (0,0) (B) (2,2) (C) (2,0) (D) (0,2)8. 设),(y x f z =在),(00y x =0x 可微,z ∆是f 在0x 的全增量,则在0x 处有 ( ）(A)dz z =∆； (B)y x f x f z y x ∆'+∆'=∆)()(00x ；(C)dy f dx f z y x )()(00x x '+'=∆； (D)))()((),(22y x dz z ∆+∆=+=∆ρρο．9. 设)(22z x yf z x -=+（其中f 可微），且能确定隐函数),(y x f z =，则=∂∂+∂∂y z y x z z（）(A) )()(22z x f z y y x -'++； (B) x ；(C) )()2(22z x f xz y y x -'++； (D) z ．10. 设方程)()(22y x F y x F y +++=能确定隐函数)(x f y =（其中F 可微），且1)4(,21)2(,2)0(='='=F F f ，则=')0(f （） (A) 71； (B)71-； (C)41-； (D)31-． 11. 曲面1=xyz 上平行于平面03=+++z y x 的切平面方程是（）(A)03=-++z y x ； (B)02=-++z y x ；(C)01=-++z y x ； (D)0=++z y x ．三、计算与证明题1. 设(,)w f x y z xyz =++，f 具有二阶连续偏导数，求2,w w x x z∂∂∂∂∂． 2. 设函数(,)z z x y =是由方程2222(,)0F z x z y --=所确定的隐函数，其中(,)F u v 具有一阶连续偏导数，试求表达式11z z x x y y∂∂+∂∂． 3. 设函数(,)()x y z f xy g y x =+，f 具有二阶连续偏导数，g 二阶连续可导，求2z x y∂∂∂． 4. 设函数(), ()y y x z z x ==由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+=确定，其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dz dx． 5. 设(,,)u u x y z =由方程222222(,,)0F u x u y u z ---=所确定，求证： 1111u u u x x y y z z u∂∂∂++=∂∂∂． 6. 设方程222()z x y z yf y++=能确定隐函数(,)z z x y =，求证： 222()22z z x y z xy xz x y∂∂--+=∂∂． 7. 求函数23z x y y =+-的极值．8. 求函数22(2)x z e x y y =++的极值．9. 在平面320x z -=上求一点，使它与点(1,0,1)A ，(2,2,3)B 的距离平方和为最小．10. 求原点到曲线221z x y x y z ⎧=+⎨++=⎩的最长和最短距离． 11. 设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f ，证明：),(y x f 在点(0? 0)并不连续，但存在两个偏导数．12.设函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++= 0, 0, 0 , ),(222222y x y x y x xy y x f 证明：f 在(0,0)连续但不可微.13.设函数2222322222, 0 ,(,)()0 ,0x yx yf x y x yx y⎧+≠⎪⎪=⎨+⎪+=⎪⎩证明：f在(0,0)连续但不可微.14.设函数2222222, 0 ,(,)0 ,0x yx yx yf x yx y⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩证明：f在(0,0)连续，偏导数存在但不可微．。

多元函数微分习题

∂z 答案： = 1 + 2 3 ∂l 3 答案： cos φ = 22
33、求函数 z = x 2 + y 2 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点 ( 2, 2 + 3 ) 的方向的方向导数。 34、求函数 z = ln( x + y ) 在抛物线 y 2 = 4 x 上的点(1,2)处沿着这抛物线在该点处偏向 x 轴正向的切线方向的方向导数.
11、验证 y = e
− kn 2 t
sin nx 满足:
∂y ∂2 y =k 2 . ∂t ∂x
12、求下列函数的全微分： (1) z =
y x2 + y2
;(2) u =
y z x + − x y z
答案：（1） .dz =
− x ( ydx − dy ) (x 2 + y 2 )3
;
(3).df (1,1,1) = dx − dy ( 2).dz = −(
答案: ∆z = −0.119, dz = −0.125. 14、求下列复合函数的一阶偏导数或全导数: （1）设 z = u 2 + v 2 , 而 u = x + y , v = x − y , 求 : （2）设 z = u 2 ln v ，而 u =
∂z ∂z , ∂x ∂y
x ∂z ∂z . , v = 3 x − 2 y ，求 , y ∂x ∂y
答案:
π . 4
9、设 T=2 π
l , g
y x
求证:
l
∂T ∂T +g = 0. ∂l ∂g
∂2z ; ∂x∂y
10、(1) z = arctan ，求:
∂2z 1 − 2 xy 答案： 2 = 2 ∂x (x + y 2 )2

(完整版)多元函数微分学复习题及答案

第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答一、选择题1. 极限lim x y x yx y→→+00242= （提示：令22y k x =）（ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0或12 2、设函数f x y x y y xxy xy (,)sin sin=+≠=⎧⎨⎪⎩⎪1100，则极限lim (,)x y f x y →→0= （ C ）（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于23、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪222222000，则(,)f x y （ A ）（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，200(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ） (A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件5、设u y x =arctan ，则∂∂u x = （ B ）(A)xx y 22+(B) -+y x y 22 (C) yx y 22+(D)-+xx y 226、设f x y yx(,)arcsin=，则f x '(,)21= （ A ）（A ）-14（B ）14 （C ）-12 （D ）127、设yxz arctan=，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）（A ）22v u v u -- （B ）22v u u v -- （C ）22v u v u +- （D ）22v u uv +-8、若f x x x x f x x x x (,),(,)'232612=+=+，则f x x y '(,)2= （ D ） (A) x +32(B) x -32(C) 21x + (D) -+21x 9、设z y x =，则()(,)∂∂∂∂z x zy+=21 （ A ） (A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 110、设z xye xy =-，则z x x x'(,)-= （ D ） (A)-+2122x x e x () (B)2122x x e x ()- (C)--x x e x ()122 (D)-+x x e x ()12211、曲线x t y t z t ===24sin ,cos ,在点(,,)202π处的法平面方程是（C ）(A) 242x z -=-π (B) 224x z -=-π (C) 42y z -=-π (D) 42y z -=π12、曲线45x y y z ==,,在点(,,)824处的切线方程是（A ）(A)842204x z y --=-= (B)x y z +==+122044 (C) x y z -=-=-85244 (D)x y z -=-=351413、曲面x z y x z cos cos +-=ππ22在点ππ2120,,-⎛⎝ ⎫⎭⎪处的切平面方程为（D ）（A ）x z -=-π1 （B ）x y -=-π1 （C ）x y -=π2 （D ）x z -=π214、曲面x yz xy z 2236-=在点(,,)321处的法线方程为（A ）（A ）x y z +=--=--58531918 （B ）x y z -=-=--3823118（C ）83180x y z --= （D ）831812x y z +-=15、设函数z x y =-+122，则点 (,)00是函数 z 的（ B ）（A ）极大值点但非最大值点（B ）极大值点且是最大值点（C ）极小值点但非最小值点（D ）极小值点且是最小值点 16、设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在P x y 000(,)处，有2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（ C ）（A ）点P 0是函数z 的极大值点（B ）点P 0是函数z 的极小值点（C ）点P 0非函数z 的极值点（D ）条件不够，无法判定 17、函数f x y z z (,,)=-2在222421x y z ++=条件下的极大值是（ C ）(A) 1 (B) 0 (C)-1 (D) -2 二、填空题 1、极限limsin()x y xy x→→0π= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：π 2、极限limln()x y x y e x y→→++01222=⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：ln23、函数z x y =+ln()的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：x y +≥14、函数z xy=arcsin 的定义域为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-≤≤11x ，y ≠0 5、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++⎛⎝ ⎫⎭⎪22，则f kx ky (,)= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：k f x y 2⋅(,)6、设函数f x y xy x y (,)=+，则f x y x y (,)+-= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：222x y x-（22()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x+--+-==++-Q ）7、设f x y x y x y A x y (,)ln()//=-⋅+<+≥⎧⎨⎩11212222222，要使f x y (,)处处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：-ln28、设f x y x y x y x y Ax y (,)tan()(,)(,)(,)(,)=++≠=⎧⎨⎪⎩⎪22220000，要使f x y (,)在（0，0）处连续，则A= ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：1 9、函数221x y z x +=-的间断点是 .答：直线10x -=上的所有点10、函数f x y x y yx (,)cos =-122的间断点为 ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ .答：直线y x =±及x =011、设z x y y =-+sin()3，则∂∂z xx y ===21_________ .答：3cos512、设f x y x y (,)=+22，则f y (,)01= _________ .答：113、设u x y z x y z(,,)=⎛⎝ ⎫⎭⎪，则)3,2,1(d u =_________ .答：38316182d d ln d x y z --14、设u x x y =+22，则在极坐标系下，∂∂ur= _________ .答：0 15、设u xy y x =+，则∂∂22u x = _________.答：23yx16、设u x xy =ln ，则∂∂∂2u x y = ___________ .答：1y17、函数y y x =()由12+=x y e y 所确定，则d d y x = ___________ .答：22xye xy - 18、设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，则∂∂zy= _______ .答：2112xyz xy --19、由方程xyz x y z +++=2222所确定的函数z z x y =(,)在点（1，0，－1）处的全微分d z = _________ .答：d d x y -220、曲线x t y t z t ===23213,,在点(,,)1213处的切线方程是_________.答：x y z -=-=-12221321、曲线x te y e z t e t t t ===232222,,在对应于 t =-1点处的法平面方程是___________. 答：01132=+--e y x 22、曲面xe y e z e ey z x ++=+223321在点(,,)210-处的法线方程为_________ . 答：e ze y x 22212=-+=- 23、曲面arctan y xz 14+=π在点(,,)-210处的切平面方程是_________.答：y z +=2124、设函数z z x y =(,)由方程123552422x xy y x y e z z +--+++=确定，则函数z的驻点是_________ .答：（－1，2） 27、函数z x y x y =----2346122的驻点是_________.答：（1，1）25、若函数f x y x xy y ax by (,)=+++++22236在点 (,)11-处取得极值，则常数a =_________， b =_________.答：a =0，b =426、函数f x y z x (,,)=-22在x y z 22222--=条件下的极大值是_______答：-4 三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z = (2)ln()z x y =+ (3)1ln()z x y =+ (4)ln(1)z xy =-解：(1)要使函数z =有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2(3)要使函数1ln()z x y =+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且1x y +≠.故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为{(,)|1}D x y xy =>，图形为图3.4图3.1 图3.2图3.3 图3.42、求极限limsin x y y xxy →→+-0211.解：lim sin x y y xxy →→+-0211=⋅++→→lim sin ()x y y x xy xy 00211= 43、求极限lim sin()x y x y x yxy →→-+0023211. 解：原式=lim ()sin()x y x y x y x y xy →→-++0232211=-++⋅→→limsin()x y x y xy xy 002111=-124、求极限lim x y xxye xy→→-+0416 . 解：lim x y xxye xy→→-+00416=++-→→lim ()x y x xye xy xy 00416= -85、设u x y y x =+sin cos ，求 u u x y ,. 解：u y y x x =-sin sinu x y x y =+cos cos6、设z xe ye y x =+-，求z z x y ,. 解：z e ye x y x =--z xe e y y x =+-7、设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，试求∂∂∂∂z x zy,（其中x y +≠0）. 解一：原式两边对x 求导得yz x x zxz y ∂∂∂∂+++=0，则∂∂z x z y y x =-++同理可得：∂∂z y z x y x =-++ 解二：xy xz F F y z xy y z F F x z x y y x ++-=-=++-=-=∂∂∂∂, 8、求函数z x xy y x y =-++-+23243122的极值.解：由z x y z x y x y=-+==-+-=⎧⎨⎩43403430，得驻点(,)-10074334>=--==yy yxxy xx z z z z D z xx =>40，函数z 在点(,)-10处取极小值z (,)-=-101.9、设z e x y =+32，而x t y t ==cos ,2，求d d z t. 解：d d (sin )()zte t e t x y x y =-+++3223232=-++(sin )3432t t e x y10、设z y xy x =ln()，求∂∂∂∂z x z y,. 解：z y y xy xy x x x =⋅+ln ln 1 z xy xy yy y x x =+-11ln() 11、设u a x a x yz a =->+ln ()0，求d u . 解：∂∂u x a a ax x yz =-+-ln 1，∂∂u y a z a x yz =⋅+ln ，∂∂u zya a x yz =+ln d (ln )d ln (d d )u a a ax x a a z y y z x yz x yz =-+++-+112、求函数z x y e xy =++ln()22的全微分.解：∂∂∂∂z x x ye x y e z y y xe x y e xyxyxyxy=+++=+++222222,[]d ()d ()d z x y ex ye x y xe y xyxy xy =+++++12222 四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？解：设水池的长、宽、高分别为x y z ,,米.水池底部的单位造价为a .则水池造价()S xy xz yz a =++44 且 xyz =128令 ()L xy xz yz xyz =+++-44128λ由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=01280440404xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ得 x y z ===82由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数22128),(y xy x y x C +-=（元）.商品的限额为42=+y x ，求最小成本. 解：约束条件为042),(=-+=y x y x ϕ，构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-，解方程组160240420x y F x y F x y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-++=⎨⎪'=+-=⎩，得唯一驻点)17,25(),(=y x ，由实际情况知，)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点，最小成本为8043)17,25(=C （元）.3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是)33(01.03240022y xy x y x +++++元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=)0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，令⎩⎨⎧=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L yx，解得唯一驻点（120，80）.又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得0105.332>⨯=--B AC .得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元. 五、证明题 1、设)11(yx e z +-=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂.证明：因为2)11(1x e xzy x ⋅=∂∂+-, 2)11(1ye y z y x ⋅=∂∂+-, 所以 z e e yz y x z x y x y x 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+-+-2、证明函数nx ey tkn sin 2-=满足关系式22x y k t y ∂∂=∂∂ 证明：因为nx e kn kn nx e ty tkn t kn sin )(sin 2222⋅-=-⋅⋅=∂∂--, nx nex y tkn cos 2-=∂∂, nx e n xy t kn sin 2222--=∂∂, nx e kn xyk t kn sin 2222--=∂∂,所以22x y k t y ∂∂=∂∂.3、设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=∂∂+∂∂⋅.证明：y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([yu u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .。

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6 ．函数在点处具有两个偏导数是函数存在全第五部分多元函数微分学( 1)(x,y) (0,0)在点 (0,0)处 ( )(x,y) (0,0)xuv3．设函数 u u(x, y), v v(x, y) 由方程组 2 2 确定，则当 u y u 2 v 24．设 f (x, y)是一二元函数， (x 0,y 0) 是其定义域的一点，则下列命题中一定正确的是 ( )(A) 若 f (x,y)在点 (x 0,y 0) 连续，则 f (x,y)在点(x 0,y 0)可导。

(B) 若 f(x,y)在点 (x 0,y 0)的两个偏导数都存在，则 f(x,y)在点 (x 0,y 0)连续。

(D) 若 f (x,y)在点 (x 0,y 0) 可微，则 f (x,y)在点(x 0,y 0)连续。

答：D 3 x 2 y 2 z 2 在点 (1, 1,2) 处的梯度是 ( )1 12 1 1 2 1 1 2 (A) ( , , ) (B) 2( , , ) (C) ( , , ) (D)3 3 3 3 3 39 9 9答：A[ 选择题 ] x 3y 2z 1 01．设有直线及平面 2x y 10z 3 0容易题 1— 36，中等题 37—87，难题 88— 99。

。

(B) 在上答：C(D) 与斜交。

(A) 连续，偏导数存在(B) (C) 不连续，偏导数存在(D)答：C连续，偏导数不存在不连续，偏导数不存在(A) x(B)v (C)u (D)uvuvuv答：Byuv2．二元函数 f (x,y)xy,2 2 ,xy0,5．函数 f(x,y,z)x( )答D11．二元函数的几何图象一般是： ( )(A) 一条曲线一个曲面( A). 充分条件( B). 充要条件(C). 必要条件(D). 既不充分也不必要微分的()。

答C 7 ．对于二元函数，下列有关偏导数与全微分关系中正确的命题是( )。

偏导数连续，则全微分必存在则全微分必不存在 (B). (A). 偏导数不连续， 8 ．二元函数在处满足关系()。

(A). 可微(指全微分存在)可导(指偏导数存在) 连续 (B). 可微可导连续(C). 可微可导或可微连续，但可导不一定连续(D).可导连续，但可导不一定可微答 C9．若，则在是( )(A). 连续但不可微 (B) 连续但不一定可微答B可微但不一定连续不一定可微也不一定连续(C).(D).(C). 全微分存在，则偏导数必连续 (D). 全微分存在，而偏导数不一定存在 10．设函数在点处不连续，则在该点处((A). 必无定义(B)极限必不存在(C). 偏导数必不存在 (D).全微分必不存在。

(B)(C) 一个平面区域(D) 一个空间区域12．函数z arcsin 212 1 x2 y 2的定义域为( ) xy(A)空集(B)圆域(C)圆周(D)一个点答C13．设u f (x2y2z2 ), 则u( )x(A) 2xf '(B)(C) 2x 2(x2z2(D) 2x 2(x2u22 y z )14．(x,y l)im(0,0)2xy33 xy=(2x(A) 存在且等于 0 。

(B) 存在且等于 1。

15．指出偏导数的正确表达 ( )f (a h,b k) limh,k 0 2 2 hk(C)fy'(0, y) lim f (0,y y) f(0, y)y 0 y(D) f x '(x,0) lim f (x,y) f (x,0) x x 0 x答 C16．设 f (x,y) ln(x x 2 y 2) (其中 x y 0)，则 f (x y,x y) ( )1( A )2ln( x y)；(B )ln(x y)；(C ) (lnx lny)；( D )2ln(x y).答案 A17．函数 f(x,y) sin(x 2 y)在点 (0,0)处()( A )无定义； ( B )无极限； ( C )有极限，但不连续； ( D )连续 . 答案 D18．函数 z f(x,y)在点 P 0 (x 0 , y 0)间断，则()A )函数在点 P 0处一定无定义；B )函数在点 P 0 处极限一定不存在；C )函数在点 P 0 处可能有定义，也可能有极限；f (a,b)(A) f x '(a,b) (B) f x '(0,)l ximf (x,0) xD ）函数在点 P 0 处有定义，也有极限，但极限值不等于该点的函数值3 x 2 y 2 z 2 在点 M 0(1, 1,2) 处的梯度 gradu函数 f (x,y)在(x 0, y 0) 处()（ A ）必有极值，可能是极大，也可能是极小；（ B ）可能有极值，也可能无极值；（ C ）必有极大值；（ D ）必有极小值 . 答案 B(A) 0 (B) 不存在 (C) 1 (D) 119．设函数 u u(x, y) ， vv(x, y) 由方程组 xyu2 v 2 确定， uuvu （）xx v （ A ）；（B ）；uvuv （ C ） u；（D ） xy .uvuv答案 C答案 Bv ，则1 (A )(19, 1 (C )(13, 答案 C 1, 29,9 1,23,3 21．设函数zB )(29 D )(32, 2,4 9,9 2, 43,3 f (x,y) 在点 (x 0,y 0) 处可微，且 f x (x 0 , y 0 )0 ， f y (x 0,y 0) 0，则20． u 22．设 zxy, 则 z =(x(0,0)(c)4 (D) 0答 B 。

24．设 x z yf (x 2 z 2),则z z y z =()xy(A) x(B) y(C)z(D) yf(x 2z 2)答 A23．设 zy sin( xy) (1 y) arctanxe 2y ,则zx =((1,0)(A) (B) 3 2 1 2 12 1 21(B) (C) (D)答D25．设 f ( y , z )0, 确定 z z(x, y)则 z xy z =( )xxxy(A) z(B) z(C) y(D)y答B26．已知 x yz e x ,xe xtant, y cost, 则 dz=( )dt t0(A)227．设 z z(x,y)由方程 e xy 2z e z 0确定,则 2z =( ) x 22 xyye e z 2f 22 y2u2ye xy (e z 2) xy z yee(e z 2)22ye xy (e z2)2 2xy zye(e z 2)22y 2e xy (ez 2)22 2xy z y 2e2xy z(e z2)3(B)(C)(D)(B) 2x 2f 2f 22uv(C) 2x2f2f22u v(A)2u(A)28．设 zf (x,u),u xy ,则2z 2 x =( (A)(B)2fyxy f 2 2y u(C)x 22 x 2f y y xyu 2(D)2fyxyu 229．设f (u,v),u2 y ,v 2y 2,则2z=( ) xy2x222x 2y1, x 1,y 1,z 1 2 2 1切平面方程为 2(x 1) 2(y 1) (z 1) 0.为最小 , 则此点的坐标为答 B32．若函数 z f(x,y)在点 (x 0, y 0 )可微，则在该点( )(A) f 与 f 一定存在。

x(D) 4xy 2uv 230．下列做确的是 (A) . 设方程 z 222xya 2 , F x 2zz x2x,F z 2z, 代入 z xF x x Fx ,得z x 2x z(B) 设方程 z 222xya 2, F x2x,F z 2z, 代入 z xF xF z(C) 求 z x 22y 2 平行于平面 2x2y zxF z,得 z x 0的切平面 , 因为曲面法向量 (D) 求 xyz 8 平行于平面 x y z 1的切平面 , 因为曲面法向量31．设n ( yz, xz, xy)//(1,1,1) ,切平面方程为 (x 1) (yM (x,y,z) 为平面 x yz y1z x 1z x 1y, x y z 11) (z 1) 01上的点 , 且该点到两定点 (1,0,1),(2,0,1) 的距离平方之(A)(B)(C)(D)11 (1,1,1) 22 (1, 1,1) (1,2,2)(1, 1, 1) (1,2,2)(1,21, 12)n (2x,2y, 1) //( 2,2, 1) ,22(B) f 与 f 一定连续。

xy(B) 函数沿任一方向的方向导数都存在，反之亦真。

答 A 章纪 33．在矩形域D :x x 0y y 0， f x (x, y) 0, f y (x, y) 0是 f (x,y) C (常数)的( )(A) 必要条件 (B)充分条件(C) 充要条件 (D)既非充分也非必要条件答Cf(t,x,y),x (s,t),y (s,t) 均具有一阶连续偏导数，答D答D(A) 重合 (B) 平行 (C) 相交 (D) 答：B37．直线x2y00之间的关系是 ( )34．若函数u (A) f 2 32( B) 22 32答B(C) f(D)35．设函数(t), (t) 具有二阶连续导数，则函数z (x y) (x y) 满足关系((A) (B)(C)xyxy2 x 22z 0x 2z2x2z2(D)2z 2 x2 y 22zy 236．二元函数 x 2 y 2 的极大值点是(A) (1,1)(B) (0,1) (C)(1,0)(D) (0,0)异面(C). 偏导数存在且可微(D). 偏导数不存在也不可微38．曲面 x 2 2y 2 3z 2 21的与平面 x 4y 6z 0 平行的切平面方程是 ( )(A) x 4y216z2(C) x 4y6z21答：D39．下列结论中错误的是( ) (A) lim xy0 (B)x y k 0xx y答：2z 2 f 2 f 2 f(C)2 2 2y y 2 xxx v v答：Dx y, 41．设函数 z f(x,y) x 2 y 2,0,确的是 ( )答：D则在原点处( )(A) . 偏导数不存在，也不连续(B) x 4y 6z 21 (D)x 4y 6z 21lim x0y0 xy xylim 1 x 0 1 1 y0yx0 (C)lim x0 2yxxyx x y 1。