材料力学 第四章_5
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《材料力学》课程讲解课件第四章弯曲内力
x
∴ 弯曲构件内力：Fs －剪力，M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
Y 0, Fs F FBY 0.
mC 0,
FBY
FBY (l x) F(a x) M 0.
Fs
F (l a) l
,
M F (l a) x 18 l
1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上
存在垂直于截面的内力偶矩 （弯矩）。
由 Fy 0, 得到：
A
FAy
a
Mc
C FSc
FAy q 2a FSc 0
FSc FAy q 2a qa
（剪力FS 的实际方向与假设方
向相反，为负剪力）
由 MC 0, 得到：
MC FAy 2a 2qa a M1 0
MC FAy 2a 2qa a M1 2qa2
F
M (x) FAY x M A
F(x L) (0 x l)
x
③根据方程画内力图
FL
x
41
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
例题4-2
悬臂梁受均布载荷作用。
x
试写出剪力和弯矩方程，并
q
l
x
FS
M x
FS x
画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
剪力和弯矩方程
ql FS x＝qx
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
P
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
q
M
二、平面弯曲的概念：
RA
NB
3
F1
q
F2
M
纵向对称面
平面弯曲 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在
材料力学 第四章 本构关系
W t
ijij
(9)
其中 ij 为应变张量对时间的变化率，称为应变率张量。
§4-1 热力学定律与应变能
令初始状态的应变能W=0，则
W Wdt d t
ij (t )
t0
ij (t0 ) ij ij
(10)
W
ij
ij
(11)
此式给出了弹性物质的应力-应变关系，称之为格林公式。
§4-2 各向异性材料的本构关系
y C12 x C22 y C23 z
具有这种应力-应变关系的 材料称为正交各向异性弹
z C13 x C23 y C33 z
性材料，这时独立的弹性 常数只有9个。
yz C44 yz zx C55 zx
xy C66 xy
(17)
§4-3 具有弹性对称面的弹性材料的本构关系
x ' y, y ' x, z ' z
由应力分量和应变分量之间的坐标变换得 'x y , 'y x, 'z z 'yz zx , 'zx yz , 'xy xy 'x y , 'y x, 'z z 'yz zx , 'zx yz , 'xy xy
§4-3 具有弹性对称面的弹性材料的本构关系
（四）完全弹性对称与各向同性材料
其中kk xx yy zz ， 和 称为拉梅系数。
（20）称为各向同性线性弹性介质的广义胡克定律。 各向同性线性弹性材料只有2个独立的弹性常数； 伴随正应变只有正应力，同时伴随切应变也只有切 应力。 由（20）可得
第四章 本构关系
静力学问题和运动学问题是通过物体的材 料性质联系起来的。力学量（应力，应力 速率等）和运动学量（应变，应变速率等） 之间的关系式称之为本构关系或本构方程。 本章仅讨论不考虑热效应的线弹性本构关 系——广义胡克定律。
工程材料力学第四章轴向拉压杆的变形
§4-5 轴向拉(压)杆的变形·胡克定律
拉(压)杆的纵向变形 （轴向变形） 基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：
纵向总变形Δl = l1-l （反映绝对变形量）
l 纵向线应变 （反映变形程度） l
1
fl
f ( x x)
x
f
l
x
x
沿杆长均匀分布 的荷载集度为 f 轴力图
fx
微段的分离体
y
pbd 2b 0
pd 2
13
所以
pd (2 10 Pa)(0.2m) -3 2 2(510 m)
6
4010 Pa 40 MPa
6
14
2.
如果在计算变形时忽略内压力的影响，则可认为
薄壁圆环沿圆环切向的线应变e(周向应变)与径向截面上
的正应力s 的关系符合单轴应力状态下的胡克定律，即
ν
亦即
- n
低碳钢(Q235)：n = 0.24~0.28。
7
思考：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积A和材料的 弹性模量E。
1.列出各段杆的纵向总变形ΔlAB，ΔlBC，ΔlCD以及整个 杆纵向变形的表达式。
2.横截面B, C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变
形是什么关系？
uB L1
22
作业：4-7,4-91 Pa ~ 2.101011 Pa 200GPa ~ 210GPa
l 1 FN 胡克定律的另一表达形式： l E A
E
←单轴应力状态下的胡克定律
6
横向变形因数(泊松比)(Poisson’s ratio)
单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，
拉(压)杆的纵向变形 （轴向变形） 基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：
纵向总变形Δl = l1-l （反映绝对变形量）
l 纵向线应变 （反映变形程度） l
1
fl
f ( x x)
x
f
l
x
x
沿杆长均匀分布 的荷载集度为 f 轴力图
fx
微段的分离体
y
pbd 2b 0
pd 2
13
所以
pd (2 10 Pa)(0.2m) -3 2 2(510 m)
6
4010 Pa 40 MPa
6
14
2.
如果在计算变形时忽略内压力的影响，则可认为
薄壁圆环沿圆环切向的线应变e(周向应变)与径向截面上
的正应力s 的关系符合单轴应力状态下的胡克定律，即
ν
亦即
- n
低碳钢(Q235)：n = 0.24~0.28。
7
思考：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积A和材料的 弹性模量E。
1.列出各段杆的纵向总变形ΔlAB，ΔlBC，ΔlCD以及整个 杆纵向变形的表达式。
2.横截面B, C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变
形是什么关系？
uB L1
22
作业：4-7,4-91 Pa ~ 2.101011 Pa 200GPa ~ 210GPa
l 1 FN 胡克定律的另一表达形式： l E A
E
←单轴应力状态下的胡克定律
6
横向变形因数(泊松比)(Poisson’s ratio)
单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，
材料力学第四章 扭转
则上式改写为
max
T GI p
180
(/m)
×
例５ 图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC
=2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；[]=60MPa，[ ]=0.3°/m，
G=80GPa；试选择该轴的直径。
mA
mB mC 解： ⑴按强度条件
A
l1
B l2 C
max
9.55
200 300
6.37
(kN m)
×
n D
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B 2 C 3D
②求扭矩（扭矩按正方向假设）
m 0 , T1 m2 0, T1 m2 4.78kN m m 0; T2 m1 m2 0
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T
2 r02
t
T 2 A0
t
T
A0为平均半径所作圆的面积。
×
三、切应力互等定理：
´
a
b
dy
´
c
z
dx
d t
mz 0; t dxdy t dxdy
'
这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面
上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平
面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。
垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
BO
m
m
——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称切应变。
×
§4–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成
结果为一合力偶，合力偶的力偶 矩称为截面的扭矩，用T 表示之。 m
max
T GI p
180
(/m)
×
例５ 图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC
=2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；[]=60MPa，[ ]=0.3°/m，
G=80GPa；试选择该轴的直径。
mA
mB mC 解： ⑴按强度条件
A
l1
B l2 C
max
9.55
200 300
6.37
(kN m)
×
n D
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B 2 C 3D
②求扭矩（扭矩按正方向假设）
m 0 , T1 m2 0, T1 m2 4.78kN m m 0; T2 m1 m2 0
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T
2 r02
t
T 2 A0
t
T
A0为平均半径所作圆的面积。
×
三、切应力互等定理：
´
a
b
dy
´
c
z
dx
d t
mz 0; t dxdy t dxdy
'
这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面
上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平
面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。
垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
BO
m
m
——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称切应变。
×
§4–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成
结果为一合力偶，合力偶的力偶 矩称为截面的扭矩，用T 表示之。 m
《材料力学》课程讲解课件第四章第五节载荷集度、剪力和弯矩间的关系
剪力图及轴力图：与平面刚架相同。
平面刚架的内力
例题4-6
B
已知平面刚架上的均布载荷集度q,长度l。
ql
试：画出刚架的内力图。
y
2
解：1、确定约束力
2、写出各段的内力方程
ql 2
B FN(y)
ql
M(y)
FS(y) q
y
ql
ql
2
竖杆AB：A点向上为y
Fx 0 FS y qy ql 0
FS y ql qy 0 y l
2
FN y ql / 2 FS y ql qy M y qly qy2 / 2
ql
2
ql
－
2
横杆CB：
FN x 0 FS x ql / 2 M x qlx / 2
ql 2 2
＋
FS
M
ql
目录
例4-6-1 作出该曲杆的内力图。
F
F 解：写出曲杆的内力方程
m
FS
FN F sin
a
a
qa
FBy
qa/2
qa
MA FAy
FDy
q
（+）
（+）
（-）
Fs
qa/2 M
（-）
（-）
FDy FBy
FDy qa / 2 FBy 3qa / 2
FAy qa / 2 M A qa2 / 2
qa2/2
qa2/2
平面刚架和曲杆的内力图
1、刚架
用刚性接头连接的杆系结构
刚性接头的特点： 约束－限制相连杆端截面间的相对线位移与角位移 受力－既可传力，也可传递力偶矩
q(x) 0 q C 0 q C 0 F 载荷
平面刚架的内力
例题4-6
B
已知平面刚架上的均布载荷集度q,长度l。
ql
试：画出刚架的内力图。
y
2
解：1、确定约束力
2、写出各段的内力方程
ql 2
B FN(y)
ql
M(y)
FS(y) q
y
ql
ql
2
竖杆AB：A点向上为y
Fx 0 FS y qy ql 0
FS y ql qy 0 y l
2
FN y ql / 2 FS y ql qy M y qly qy2 / 2
ql
2
ql
－
2
横杆CB：
FN x 0 FS x ql / 2 M x qlx / 2
ql 2 2
＋
FS
M
ql
目录
例4-6-1 作出该曲杆的内力图。
F
F 解：写出曲杆的内力方程
m
FS
FN F sin
a
a
qa
FBy
qa/2
qa
MA FAy
FDy
q
（+）
（+）
（-）
Fs
qa/2 M
（-）
（-）
FDy FBy
FDy qa / 2 FBy 3qa / 2
FAy qa / 2 M A qa2 / 2
qa2/2
qa2/2
平面刚架和曲杆的内力图
1、刚架
用刚性接头连接的杆系结构
刚性接头的特点： 约束－限制相连杆端截面间的相对线位移与角位移 受力－既可传力，也可传递力偶矩
q(x) 0 q C 0 q C 0 F 载荷
材料力学-第四章 弯曲内力
7 . 线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲
(Internal forces in beams)
纵向对称面
F1
F2
梁的轴线
A B
FRB
FRA
梁变形后的轴线与 外力在同一平面内
8
(Internal forces in beams)
4.梁的力学模型的简化(Representing a real structure by an idealized model) （1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
m dx
15
+
FS
m
FS
m
-
dx
m
FS
(Internal forces in beams)
2.弯矩符号
(Sign convention for bending moment)
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
12
(Internal forces in beams)
§4-2 梁的剪力和弯矩 (Shear- force and bending- moment in beams)
一、内力计算(Calculating internal force)
[举例] 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
3
(Internal forces in beams)
§4-1 基本概念及工程 (Basic concepts and example problems)
(Internal forces in beams)
纵向对称面
F1
F2
梁的轴线
A B
FRB
FRA
梁变形后的轴线与 外力在同一平面内
8
(Internal forces in beams)
4.梁的力学模型的简化(Representing a real structure by an idealized model) （1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
m dx
15
+
FS
m
FS
m
-
dx
m
FS
(Internal forces in beams)
2.弯矩符号
(Sign convention for bending moment)
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
12
(Internal forces in beams)
§4-2 梁的剪力和弯矩 (Shear- force and bending- moment in beams)
一、内力计算(Calculating internal force)
[举例] 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
3
(Internal forces in beams)
§4-1 基本概念及工程 (Basic concepts and example problems)
材料力学 第4章_扭转
z
d x d z d y d y d z d x 0
返回
4. 切应力互等定理
切应力互等定理： 也称切应力双生定理， 指在单元体相互垂直的两 个面上，切应力必成对存 在，且数值相等；两者都 垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或背离这一 交线。
纯剪切
BC B
TCD mB mC 700N m
(b)
TDA mA 1146N m
可见:主动轮与从动轮位置不 同,轴内最大扭矩也不同,显 然(a)方案比(b)方案合理。
返回
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
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一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1. 变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 横截面上应力分析 因纵向纤维无正应变， 有角应变，因此横截面上 无，有， 与圆周相切。 又因壁很薄，可近似认 为沿壁厚应力相等。
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
返回总目录
工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
返回
工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
r
d dx
横截面上任一点的 ⊥半 径，并与该点到轴线的距离 成正比。
返回
4. 应力公式 静力关系
T
dA
横截面上分布内力系对 圆心的矩等于扭矩T。
T d A A d d 2 G d A G d A A dx dx A
d x d z d y d y d z d x 0
返回
4. 切应力互等定理
切应力互等定理： 也称切应力双生定理， 指在单元体相互垂直的两 个面上，切应力必成对存 在，且数值相等；两者都 垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或背离这一 交线。
纯剪切
BC B
TCD mB mC 700N m
(b)
TDA mA 1146N m
可见:主动轮与从动轮位置不 同,轴内最大扭矩也不同,显 然(a)方案比(b)方案合理。
返回
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
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一、薄壁圆筒扭转时的切应力 1. 变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 横截面上应力分析 因纵向纤维无正应变， 有角应变，因此横截面上 无，有， 与圆周相切。 又因壁很薄，可近似认 为沿壁厚应力相等。
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
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工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
返回
工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
r
d dx
横截面上任一点的 ⊥半 径，并与该点到轴线的距离 成正比。
返回
4. 应力公式 静力关系
T
dA
横截面上分布内力系对 圆心的矩等于扭矩T。
T d A A d d 2 G d A G d A A dx dx A
《材料力学》第4章弯曲内力 课后答案
0 ； FS−C
= b F， a+b
M
− C
=
ba a+b
F
FS+C
=
−a a+b
F
，
M
+ C
=
ba a+b
F ； FSB
=
−A a+b
F
,MB
=
0
d解
图（d1）， ∑ Fy
=
0，F
=
1 2
ql
，
∑
M
A
= 0，M A
=
− 3 ql 2 8
仿题 a 截面法得
FSA
=
1 2
ql
，MA
=
−
3 8
ql
2
；
FS−C
FS (x) = −F
⎜⎛ 0 < x < l ⎟⎞
⎝
2⎠
M (x) = −Fx ⎜⎛0 ≤ x ≤ l ⎟⎞
⎝
2⎠
FS (x) = F
⎜⎛ l < x < l ⎟⎞
⎝2
⎠
45
M (x) =
FA x +
FB
⎜⎛ ⎝
x
−
l 2
⎟⎞ ⎠
，
FB
= 2F
M (x) = Fx − Fl ⎜⎛ l ≤ x ≤ l ⎟⎞
( ) 解
∑MB
=
0 ， FA
⋅l
+
ql 2
×
3l 4
− ql 2
=
0
， FA
=
5 ql 8
↑
( ) ∑ Fy
= 0 ， FB
材料力学土木类第四章 弯曲应力.ppt
2、这些切应力沿 y方向的分量
ty沿宽度相等。
最大切应力tmax 在中性轴z处
t max
FS
S
* z
Izd
FS
1 2
πd 2 4
2d
3π
πd 4 d
64
4FS 4FS 3 π d 2 3A 4
2d /3p
d
tmax
O
k
k'
O' y
薄壁环形截面梁弯曲切 应力的分布特征：
(1) <<r0→沿壁厚切应 tmax
r0
tmax
力的大小不变；
O
(2) 内、外壁上无切应力 t
→切应力的方向与圆周
y
相切；
(3) y轴是对称轴→切应 力分布与 y轴对称；与 y
最大切应力tmax 仍发生
在中性轴z上。
轴相交的各点处切应力
为零。
薄壁环形截面梁最大切应力的计算
45
45
Wz
Iz ymax
75103 9.5 274.6
28.8MPa [t ]
满足强度条件
例4-20 图示外伸梁，由工字钢制成。已知材料的许 用正应力[σ ]=160MPa,许用剪应力 [τ ]=90MPa。试 选择工字钢的型号。
50kN
80kN
A 150 500
B 500 47.5kN
50kN 7.5kN.m
料均为Q235钢，其[s ]=170MPa，[t ]=100MPa。试校
核该梁的强度。
50kN 50kN 50kN
F1 F2
100 9.5
10 320 10
ty沿宽度相等。
最大切应力tmax 在中性轴z处
t max
FS
S
* z
Izd
FS
1 2
πd 2 4
2d
3π
πd 4 d
64
4FS 4FS 3 π d 2 3A 4
2d /3p
d
tmax
O
k
k'
O' y
薄壁环形截面梁弯曲切 应力的分布特征：
(1) <<r0→沿壁厚切应 tmax
r0
tmax
力的大小不变；
O
(2) 内、外壁上无切应力 t
→切应力的方向与圆周
y
相切；
(3) y轴是对称轴→切应 力分布与 y轴对称；与 y
最大切应力tmax 仍发生
在中性轴z上。
轴相交的各点处切应力
为零。
薄壁环形截面梁最大切应力的计算
45
45
Wz
Iz ymax
75103 9.5 274.6
28.8MPa [t ]
满足强度条件
例4-20 图示外伸梁，由工字钢制成。已知材料的许 用正应力[σ ]=160MPa,许用剪应力 [τ ]=90MPa。试 选择工字钢的型号。
50kN
80kN
A 150 500
B 500 47.5kN
50kN 7.5kN.m
料均为Q235钢，其[s ]=170MPa，[t ]=100MPa。试校
核该梁的强度。
50kN 50kN 50kN
F1 F2
100 9.5
10 320 10
材料力学第4章扭转变形
1 1
T
1 1
T
1
Me
+
B
x
T Me
Me
B
T图 x
例 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输 入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分 别为： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 试作轴的扭矩图。
解： 首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩
M2 1
2 T
1
1 T
1
材料不同），可见在两
杆交界处的切应力是不
同的。
d
D
§4. 7 非圆截面杆扭转的概念
对非圆截面杆的扭转问题，主要介绍矩形截面 杆的扭转。
试验现象
横向线变 成曲线
横截面发生 翘曲不再保 持为平面
平面假设不再 成立，可能产 生附加正应力
自由扭转 翘曲不受限制。 纵向纤维无伸长 横截面上无正应力
T
max
O
max
D
d
T
Ip
max
T Wp
圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp —几何性质 实心圆截面：
d
O
d
O
d D d
Ip
2 d A πd 4
A
32
Wp
Ip d /2
πd 3 16
Ip
2 d A πD4
A
32
1 4
Wp
Ip D /2
πD 3 16
1 4
4-4 圆轴扭转强度条件与合理设计
B 0
按叠加原理：
B BB BM 0
BB、BM分别为MB、Me 引起的在杆端B的扭转角。
线弹性时，物理关系(胡克定理)为
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3 6 3 8 4 3
于是有：
6
Pa 8.6 MPa
和最大切应力相差不大。
第四章 弯曲应力
3. 薄壁环形截面梁 薄壁环形截面梁在竖直平面 内弯曲时，其横截面上切应力 的特征如图a所示： (1) 由于d <<r0，故认为切应 力 的大小和方向沿壁厚 无变 化； (2) 由于梁的内、外壁上无切 应力，故根据切应力互等定理 知，横截面上切应力的方向与 圆周相切；
梁的正应力强度条件
对于中性轴为横截面对称轴的梁，上述强度条件 可写作 M max Wz
由拉、压许用应力[t]和[c]不相等的铸铁等脆 性材料制成的梁 t,max ≤[t] c,max ≤[c] 。
第四章 弯曲应力
例题 4-11
图a所示为槽形截面铸铁梁，横截面尺寸和形心 C的位置，如图b所示。已知横截面对于中性轴z 的 惯性矩Iz=5493×104 mm4，b=2 m。铸铁的许用拉 应力[t]=30 MPa，许用压应力[c]=90 MPa 。试求 梁的许用荷载[F]。
例题 4-13
第四章 弯曲应力
解: 1. 求max 梁的剪力图如图c所示，由图可见FS,max=75kN。 由型钢表查得56a号工字钢截面的尺寸如图b所示， Iz=65 586 cm4和Iz/S * z,max=47.73cm。d=12.5mm
第四章 弯曲应力
max
* FS ,max S z ,max FS ,max 75 103 N 47.73 102 m 12.5 103 m I zd Iz * d S z ,max
第四章 弯曲应力
d FS b d x
得
* * d M S z FS S z d x I zb I zb
第四章 弯曲应力
根据切应力互等定理可知，梁的横截面上距 中性轴z的距离为y处的切应力 必与 '互等，从 * 而亦有 FS S z I zb
第四章 弯曲应力
第四章 弯曲应力
P1=9kN
A
1m
练习： T 字形截面的铸铁梁受力 C B D 如图，铸铁的[t]=30MPa， [c]=60 MPa，其截面形心位于C 点，y1=52mm， y2=88mm， 1m 1m Iz=763cm4，试画弯矩图并校核 -4kNm 此梁的强度。 x 解：画弯矩图并求危面内力
第四章 弯曲应力
* S z * y1 d A 为面积A*(图b)对中性轴z的静 式中， A 矩；
第四章 弯曲应力
* * 由于 FN 2 FN1 ，故纵截面AA1B1B上有切向内力 dF'S(图b)： * * d FS FN2 FN1 Fx 0
即
dM * d FS Sz Iz
第四章 弯曲应力
例题 4-14
一简易吊车的示意图如图a所示，其中F=30 kN， 跨长 l=5 m。吊车大梁由20a号工字钢制成，许用弯 曲正应力[]=170 MPa，许用切应力[]=100 MPa。 试校核梁的强度。
第四章 弯曲应力
解: 1. 校核正应力强度。吊车梁可简化为简支梁(图b)。
B σ c, max σ c, max
第四章 弯曲应力
解:
t ,max tBmax ,
B σ c, max σ c, max
1. 由t,max ≤[t] 确定[F]。
t ,max
( F / 2 2m )(86 10 3 m ) 30 106 Pa 5493 10-8 m 4
3
158 106 Pa 158 MPa [ ]
第四章 弯曲应力
第四章 弯曲应力
(3) 翼缘上的切应力 翼缘横截面上平行于 剪力FS的切应力在其上、 下边缘处为零(因为翼缘的 上、下表面无切应力)，可 见翼缘横截面上其它各处 平行于FS的切应力不可能 大，故不予考虑。分析表 明，工字形截面梁的腹板 承担了整个横截面上剪力 FS的90%以上。
第四章 弯曲应力
由56a号工字钢制成的简支梁如图a所示，试 求梁的横截面上的最大切应力max和同一横截面上 腹板上a点处(图b)的切应力 a 。不计梁的自重。
第四章 弯曲应力
分析: 1. 铸铁的拉压强度不等，其强度条件为t,max ≤[t] ，c,max≤[c]。 2. 由M图可知，危险截面为C截面。 3. B、C截面上正应力的分布规律如图d所示。
B t ,max
1 / 2Fb 86 Iz
C t ,max
1 / 4Fb 134 tBmax t ,max , Iz
12.6 106 Pa 12.6 MPa
第四章 弯曲应力
2. 求a 其中：
* za
* FS ,max S za a I zd
560 mm 21 mm S 166 mm 21 mm 2 2 940 10 mm
3 3
a
75 10 N 940 10 m 8.6 10 65586 10 m 12.5 10 m
第四章 弯曲应力
(3) 根据与y轴的对称关系 可知： (a) 横截面上与y轴相交的 各点处切应力为零； (b) y轴两侧各点处的切应 力其大小及指向均与y轴对 称。
τ max FS S * FS z 2 I z 2δ A
第四章 弯曲应力
(4) 圆截面梁 圆截面梁在竖直平面内弯曲 时，其横截面上切应力的特征 如图a所示：认为离中性轴z为 任意距离y的水平直线kk'上各 点处的切应力均汇交于k点和 k'点处切线的交点O '，且这些 切应力沿y方向的分量y相等。
* FS S z 因此可先利用公式 y I b 求出kk'上各点的切应 z kk 力竖向分量y ，然后求出各点处各自的切应力。
第四章 弯曲应力
圆截面梁横截面上的 最大切应力max在中性轴z 处，其计算公式为
1 πd 2 2 d FS 2 4 3π * FS S z I zd πd 4 d 64 4 FS 4 FS π 2 3A 3 d 4
第四章 弯曲应力
2. 工字形截面梁 (1) 腹板上的切应力
* FS S z I zd
* z
其中
h h S b y d 2 2 2 h y 2 y 2 2 b d h 2 h y 2 2 2
矩形截面梁横力弯曲时切应力计算公式 * FS S z I zb FS为横截面上的剪力； z Iz 为整个横截面对于中性轴的惯性矩 b为矩形截面的宽度(与剪力FS垂直 的截面尺寸)； Sz*为横截面上求切应力 的点处横 y 线以外部分面积对中性轴的静矩。
y
* S z * y1 d A A
b
O
h
z
y
第四章 弯曲应力
F
* N1
My1 *1 d A * dA A A I z M M * A* y1 d A I z S z Iz
第四章 弯曲应力
F
* N2
(M d M ) * 2 d A * y1 d A A A Iz M dM M dM * A* y1 d A I z S z Iz
P2=4kN
M y1 y2
2.5kNm A3 A1
FA 2.5kN ; FB 10.5kN
M C 2.5kNm (下拉、上压)
M B 4kNm（上拉、下压）
G
画危面应力分布图，找危险点 A2 A4
第四章 弯曲应力
-4kNm
A t
2
M C y2 2.5 88 28.2MPa 8 Iz 763 10
第四章 弯曲应力
b
z h
O y1 y
h2
y
h2 b * 2 S z * y1 d A y1b d y1 y A y 2 4 FS h2 FS b h2 2 2 y 4 2I 4 y I zb 2 z
第四章 弯曲应力
可见腹板上的切应力在与中性轴z垂直的方向 按二次抛物线规律变化。
第四章 弯曲应力
(2) 在腹板与翼缘交界处：
min
FS b h I zd 2
在中性轴处：
max
* FS S z ,max I zd 2 FS b dh h I zd 2 2 2
F1≤19200N=19.2kN
第四章 弯曲应力
2. 由c,max ≤[c] 确定[F]。
c,max
( F / 2 2m )(134 10 3 m ) 90 106 Pa -8 4 5493 10 m
F2≤36893N=36.893kN [F]=19.2kN，可见梁的强度由拉应力确定。
max
第四章 弯曲应力
II. 梁的切应力强度条件 弯矩最大截面的C点和D点 处于单轴应力状态(state of uniaxial stress) (图d及图e)， 按单轴应力状态建立的正 应力强度条件
max
第四章 弯曲应力
最大剪力所在截面的中性 轴上E和F点，处于纯剪切 应力状态 (shearing state of stress ) (图f及图g)，按 纯剪切应力状态建立强度 条件为
dy1
第四章 弯曲应力
FS h2 2 y 2Iz 4 可见：
1. 沿截面高度系按 二次抛物线规律变化； 2. 同一横截面上的最 大切应力max在中性轴 处(y=0):
max
FS h2 FS h2 3 FS 3FS 3 8Iz 8 bh 12 2 bh 2 A
于是有：
6
Pa 8.6 MPa
和最大切应力相差不大。
第四章 弯曲应力
3. 薄壁环形截面梁 薄壁环形截面梁在竖直平面 内弯曲时，其横截面上切应力 的特征如图a所示： (1) 由于d <<r0，故认为切应 力 的大小和方向沿壁厚 无变 化； (2) 由于梁的内、外壁上无切 应力，故根据切应力互等定理 知，横截面上切应力的方向与 圆周相切；
梁的正应力强度条件
对于中性轴为横截面对称轴的梁，上述强度条件 可写作 M max Wz
由拉、压许用应力[t]和[c]不相等的铸铁等脆 性材料制成的梁 t,max ≤[t] c,max ≤[c] 。
第四章 弯曲应力
例题 4-11
图a所示为槽形截面铸铁梁，横截面尺寸和形心 C的位置，如图b所示。已知横截面对于中性轴z 的 惯性矩Iz=5493×104 mm4，b=2 m。铸铁的许用拉 应力[t]=30 MPa，许用压应力[c]=90 MPa 。试求 梁的许用荷载[F]。
例题 4-13
第四章 弯曲应力
解: 1. 求max 梁的剪力图如图c所示，由图可见FS,max=75kN。 由型钢表查得56a号工字钢截面的尺寸如图b所示， Iz=65 586 cm4和Iz/S * z,max=47.73cm。d=12.5mm
第四章 弯曲应力
max
* FS ,max S z ,max FS ,max 75 103 N 47.73 102 m 12.5 103 m I zd Iz * d S z ,max
第四章 弯曲应力
d FS b d x
得
* * d M S z FS S z d x I zb I zb
第四章 弯曲应力
根据切应力互等定理可知，梁的横截面上距 中性轴z的距离为y处的切应力 必与 '互等，从 * 而亦有 FS S z I zb
第四章 弯曲应力
第四章 弯曲应力
P1=9kN
A
1m
练习： T 字形截面的铸铁梁受力 C B D 如图，铸铁的[t]=30MPa， [c]=60 MPa，其截面形心位于C 点，y1=52mm， y2=88mm， 1m 1m Iz=763cm4，试画弯矩图并校核 -4kNm 此梁的强度。 x 解：画弯矩图并求危面内力
第四章 弯曲应力
* S z * y1 d A 为面积A*(图b)对中性轴z的静 式中， A 矩；
第四章 弯曲应力
* * 由于 FN 2 FN1 ，故纵截面AA1B1B上有切向内力 dF'S(图b)： * * d FS FN2 FN1 Fx 0
即
dM * d FS Sz Iz
第四章 弯曲应力
例题 4-14
一简易吊车的示意图如图a所示，其中F=30 kN， 跨长 l=5 m。吊车大梁由20a号工字钢制成，许用弯 曲正应力[]=170 MPa，许用切应力[]=100 MPa。 试校核梁的强度。
第四章 弯曲应力
解: 1. 校核正应力强度。吊车梁可简化为简支梁(图b)。
B σ c, max σ c, max
第四章 弯曲应力
解:
t ,max tBmax ,
B σ c, max σ c, max
1. 由t,max ≤[t] 确定[F]。
t ,max
( F / 2 2m )(86 10 3 m ) 30 106 Pa 5493 10-8 m 4
3
158 106 Pa 158 MPa [ ]
第四章 弯曲应力
第四章 弯曲应力
(3) 翼缘上的切应力 翼缘横截面上平行于 剪力FS的切应力在其上、 下边缘处为零(因为翼缘的 上、下表面无切应力)，可 见翼缘横截面上其它各处 平行于FS的切应力不可能 大，故不予考虑。分析表 明，工字形截面梁的腹板 承担了整个横截面上剪力 FS的90%以上。
第四章 弯曲应力
由56a号工字钢制成的简支梁如图a所示，试 求梁的横截面上的最大切应力max和同一横截面上 腹板上a点处(图b)的切应力 a 。不计梁的自重。
第四章 弯曲应力
分析: 1. 铸铁的拉压强度不等，其强度条件为t,max ≤[t] ，c,max≤[c]。 2. 由M图可知，危险截面为C截面。 3. B、C截面上正应力的分布规律如图d所示。
B t ,max
1 / 2Fb 86 Iz
C t ,max
1 / 4Fb 134 tBmax t ,max , Iz
12.6 106 Pa 12.6 MPa
第四章 弯曲应力
2. 求a 其中：
* za
* FS ,max S za a I zd
560 mm 21 mm S 166 mm 21 mm 2 2 940 10 mm
3 3
a
75 10 N 940 10 m 8.6 10 65586 10 m 12.5 10 m
第四章 弯曲应力
(3) 根据与y轴的对称关系 可知： (a) 横截面上与y轴相交的 各点处切应力为零； (b) y轴两侧各点处的切应 力其大小及指向均与y轴对 称。
τ max FS S * FS z 2 I z 2δ A
第四章 弯曲应力
(4) 圆截面梁 圆截面梁在竖直平面内弯曲 时，其横截面上切应力的特征 如图a所示：认为离中性轴z为 任意距离y的水平直线kk'上各 点处的切应力均汇交于k点和 k'点处切线的交点O '，且这些 切应力沿y方向的分量y相等。
* FS S z 因此可先利用公式 y I b 求出kk'上各点的切应 z kk 力竖向分量y ，然后求出各点处各自的切应力。
第四章 弯曲应力
圆截面梁横截面上的 最大切应力max在中性轴z 处，其计算公式为
1 πd 2 2 d FS 2 4 3π * FS S z I zd πd 4 d 64 4 FS 4 FS π 2 3A 3 d 4
第四章 弯曲应力
2. 工字形截面梁 (1) 腹板上的切应力
* FS S z I zd
* z
其中
h h S b y d 2 2 2 h y 2 y 2 2 b d h 2 h y 2 2 2
矩形截面梁横力弯曲时切应力计算公式 * FS S z I zb FS为横截面上的剪力； z Iz 为整个横截面对于中性轴的惯性矩 b为矩形截面的宽度(与剪力FS垂直 的截面尺寸)； Sz*为横截面上求切应力 的点处横 y 线以外部分面积对中性轴的静矩。
y
* S z * y1 d A A
b
O
h
z
y
第四章 弯曲应力
F
* N1
My1 *1 d A * dA A A I z M M * A* y1 d A I z S z Iz
第四章 弯曲应力
F
* N2
(M d M ) * 2 d A * y1 d A A A Iz M dM M dM * A* y1 d A I z S z Iz
P2=4kN
M y1 y2
2.5kNm A3 A1
FA 2.5kN ; FB 10.5kN
M C 2.5kNm (下拉、上压)
M B 4kNm（上拉、下压）
G
画危面应力分布图，找危险点 A2 A4
第四章 弯曲应力
-4kNm
A t
2
M C y2 2.5 88 28.2MPa 8 Iz 763 10
第四章 弯曲应力
b
z h
O y1 y
h2
y
h2 b * 2 S z * y1 d A y1b d y1 y A y 2 4 FS h2 FS b h2 2 2 y 4 2I 4 y I zb 2 z
第四章 弯曲应力
可见腹板上的切应力在与中性轴z垂直的方向 按二次抛物线规律变化。
第四章 弯曲应力
(2) 在腹板与翼缘交界处：
min
FS b h I zd 2
在中性轴处：
max
* FS S z ,max I zd 2 FS b dh h I zd 2 2 2
F1≤19200N=19.2kN
第四章 弯曲应力
2. 由c,max ≤[c] 确定[F]。
c,max
( F / 2 2m )(134 10 3 m ) 90 106 Pa -8 4 5493 10 m
F2≤36893N=36.893kN [F]=19.2kN，可见梁的强度由拉应力确定。
max
第四章 弯曲应力
II. 梁的切应力强度条件 弯矩最大截面的C点和D点 处于单轴应力状态(state of uniaxial stress) (图d及图e)， 按单轴应力状态建立的正 应力强度条件
max
第四章 弯曲应力
最大剪力所在截面的中性 轴上E和F点，处于纯剪切 应力状态 (shearing state of stress ) (图f及图g)，按 纯剪切应力状态建立强度 条件为
dy1
第四章 弯曲应力
FS h2 2 y 2Iz 4 可见：
1. 沿截面高度系按 二次抛物线规律变化； 2. 同一横截面上的最 大切应力max在中性轴 处(y=0):
max
FS h2 FS h2 3 FS 3FS 3 8Iz 8 bh 12 2 bh 2 A