材料力学第五章
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材料力学课件第5章
M
zM
x
等截面梁
y
注意 当梁为变截面梁时, max 并不一定
发生在|M|max 所在面上.
22
5.3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 弯曲正应力强度条件
h
常用图y形Wz
c b
Wz =Iz /ymax
z
Wz
Iz h
bh3 2 12 h
bh2 6
2
h2
h1
y
c
z
Wz
Iz h1
1 ( b1h13 h1 6
z
于是
M
E
Iz
M
得
1 M
EIz
y
x
代入
E
y得
My
Iz
15
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
常用图形y、Iz
h
y
1.矩形
dy
c
y z
Iz
Ay2 d A
h 2
y2b d y bh3
h 2
12
b
y
同理：
Iy
hb3 12
z
Iz
b1h13 12
b2h23 12
c
b2 b1
同理： I y
h1b13 12
y
12 rp
mn
x2
x
x1
12
dx
'=
x2 FN1
FN2
'=
38
5.4 横力弯曲时梁横截面上的切应力 弯曲切应力强度条件
F
Fx 0
FN 2 FN1 dx b
x1
y
12 rp mn
x2
x
12
dx
《材料力学》第五章
按集中力P和自重 共同作用时校核。 和自重q共同作用时校核 (2) 按集中力 和自重 共同作用时校核。 a.内力分析，画内力图，确定危险截面； a.内力分析，画内力图，确定危险截面； 内力分析 q单独作用时，
1 2 1 M q＝ ql ＝ × 801 × 9.52＝9.04(kNm ) 8 8
危险截面在中间截面
W z=
Iz =
πd 4
64
πd 3
32
对于各种型钢，其惯性矩和抗弯模量可查型钢表
例5.1 螺栓压板夹紧装置如图5.5a所示。已知板长3a=150mm， 压板材料的弯曲许用应力[σ]=140MPa。试计算压板传给工件的最 大允许压紧力F。 解：(1)外力分析，画力学简图； 外力分析，画力学简图； 外力分析 (2)内力分析，画内力图，确定危险截面； 内力分析，画内力图，确定危险截面； 内力分析 M max = M B = Fa 截面B (3)根据强度条件，进行计算。 根据强度条件，进行计算。 根据强度条件 根据强度条件
FRA = 2.5kN , FRB = 10.5kN ,
(2)内力分析，画内力图，确定危险截面； 内力分析，画内力图，确定危险截面； 内力分析 最大正弯矩在截面C上，
mC = 2.5kNm
最大负弯矩在截面B上， mB = −4kNm (3)求σmax，根据强度条件，进行校核。 求 根据强度条件，进行校核。 截面B:
σ max
161.5 × 106 = ＝135.7(MPa ) 1190 × 103
考虑自重与不考虑自重梁内应力相差(143.3-135.7)／143.3×100％ =5.3％。因此，计算应力时一般可忽略杆自重的影响。
例5.3 T形截面铸铁梁。已知 [σt]=30MPa， [σc]=160MPa。 Iz=763 cm4，y1 = 52mm 。试校核梁的强度。 外力分析， 解：(1)外力分析，求支座反力 外力分析 求支座反力;
材料力学第五章
C
x
边界条件
ω =0 B x=a+L ω =0 C
x=a
连续条件
y
x=a
ω 1 =ω 2 B B
θB1 =θB2
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
挠曲线方程应分两段AB,BC. 共有四个积分常数
例题 5.10
多跨静定梁如图示，试求力作用点E处的挠度ωE.
F b E zω =− x3 +Cx+D I 1 1 1 6 L D =00 =0 x=L ω L =0 ( ) 1 ω ) (
F b b Eω′=− ( xx2 +C x Izθ =− ) =−F 1 ′1 ML Ez 1 I 1 2 L
(
)
(
)
(
)
例题 5.3
求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。
A
两根梁由中间铰连接，挠曲线在 中间铰处，挠度连续，但转角不 连续。
ω =ω 1 2
θ ≠θ2 1
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
挠曲线方程应分两段AB,BC.
F A
a
q
B
EIz
L
共有四个积分常数
挠曲线方程应分两段AB,BC.
M e
共有四个积分常数 x 边界条件
A
EI z
a
B
C
L
x=0
ω =0 A
y 连续条件
θA =0 x=a+L ω =0 C
材料力学第五章 弯曲应力分析
B
D
1m
1m
1m
y2
20
120
FRA
F1=9kN FRB F2=4kN
A C
BD
1m
1m
1m
2.5 Fs
+
+
4 kN
-
6.5 2.5
M
kNm
-
+
4
解： FRA 2.5kN FRB 10.5kN
88
52
-
+
C 2.5
4 B 80
z
20
120
20
B截面
σ t max
M B y1 Iz
4 • 52 763
20
+
-
+
10
Fs
kN
10
20
30
30
25
25
M
kNm
max
M max W
[ ]
W Mmax 30 187.5cm3
[ ] 160
1)圆 W d 3 187.5
32
d 12.4cm
A d 2 121cm2
4
2）正方形
a3 W 187.5
6
3）矩形
a 10.4cm
A a2 108cm2
压，只受单向拉压. （c）同一层纤维的变形相同。 （d）不同层纤维的变形不相同。
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
中性轴
中性轴⊥横截面对称轴
中性层
横截面对称轴
二、变形几何关系
dx
dx
图（a）
O
O
zb
O yx b
y
图（b）
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
材料力学第5章-剪力图与弯矩图
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
建立剪力方程和弯矩方程的方法与过程，实际上与前面所 介绍的确定指定横截面上的剪力和弯矩的方法和过程是相似的 ，所不同的，现在的指定横截面是坐标为x的横截面。
需要特别注意的是，在剪力方程和弯矩方程中，x是变量， 而FQ(x)和M(x)则是x的函数。
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
例题2
MO=2FPl
FP
B
A
C
l
l
悬臂梁在B、C两处分别承受集中力FP和集中力偶M＝2FPl
的作用。梁的全长为2l。 试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
y
MO=2FPl
O
A
C
l
FP
B l
解：1．确定控制面和分段
本例将通过考察截开截面的右
边部分平衡建立剪力方程和弯矩方 程，因此可以不必确定左端的约束 力。
本章首先介绍如何建立剪力方程和弯矩方程；讨论载荷、 剪力、弯矩之间的微分关系；怎样根据载荷、剪力、弯矩之间 的微分关系绘制剪力图与弯矩图；然后应用平衡、变形协调以 及物性关系，建立确定弯曲的应力和变形公式；最后介绍弯曲 强度设计方法。
第5章 梁的强度问题
工程中的弯曲构件 梁的内力及其与外力的相互关系 剪力方程与弯矩方程 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 剪力图与弯矩图 刚架的内力与内力图 结论与讨论(1)
根据以上分析，不难得到结论： 杆件各截面上内力变化规律随着外力的 变化而改变。
第5章 梁的强度问题
梁的内力及其与外力的相互关系
所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩变 化的函数或变化的图线。这表明，如果在两个外力 作用点之间的梁上没有其他外力作用，则这一段梁 所有横截面上的剪力和弯矩可以用同一个数学方程 或者同一图线描述。
材料力学第五章
l
F l a x
l
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
梁的横截面上位于横截面 内的内力FS是与横截面左右两 侧的两段梁在与梁轴相垂直方 向的错动(剪切)相对应，故称 为剪力；梁的横截面上作用在 纵向平面内的内力偶矩是与梁 的弯曲相对应，故称为弯矩。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横
截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号
要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如下图。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
综上所述可知： (1) 横截面上的剪力——使截开部分梁产生顺时针方向
转动为正；产生逆时针方向转动为负。
(2) 横截面上的弯矩——作用在左侧面上使截开部分 逆时针方向转动，或者作用在右侧截面上使截开部分顺时 针方向转动者为正；反之为负。
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定， 称为超静定梁。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
§5.2 梁的内力及其与外力的相互关系
Ⅰ. 梁的剪力和弯矩(梁的横截面上的两种内力)
图a所示跨度为l的简支梁其
约束力为：
FA
Fl
l
a,
FB
Fa l
梁的左段内任一横截面m－
m上的内力，由m－m左边分离
杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。 杆的可能变形为：
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。
扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。
(轴)
弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
材料力学
梁的分类
F
q
第五章 梁的剪力图与弯矩图
F l a x
l
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
梁的横截面上位于横截面 内的内力FS是与横截面左右两 侧的两段梁在与梁轴相垂直方 向的错动(剪切)相对应，故称 为剪力；梁的横截面上作用在 纵向平面内的内力偶矩是与梁 的弯曲相对应，故称为弯矩。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横
截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号
要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如下图。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
综上所述可知： (1) 横截面上的剪力——使截开部分梁产生顺时针方向
转动为正；产生逆时针方向转动为负。
(2) 横截面上的弯矩——作用在左侧面上使截开部分 逆时针方向转动，或者作用在右侧截面上使截开部分顺时 针方向转动者为正；反之为负。
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定， 称为超静定梁。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
§5.2 梁的内力及其与外力的相互关系
Ⅰ. 梁的剪力和弯矩(梁的横截面上的两种内力)
图a所示跨度为l的简支梁其
约束力为：
FA
Fl
l
a,
FB
Fa l
梁的左段内任一横截面m－
m上的内力，由m－m左边分离
杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。 杆的可能变形为：
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。
扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。
(轴)
弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
材料力学
梁的分类
F
q
第五章 梁的剪力图与弯矩图
材料力学第五章
y
= ∫ y dA
2 A
1 1 π ⋅ d4 π ⋅ d4 I y = Iz = I ρ = ⋅ = z 2 2 32 64
1 π ⋅ (D4 − d 4 ) 对空心圆截面： 对空心圆截面： I = I = I = y z ρ 2 64
第五章 弯曲应力
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力
M⋅ y 二、弯曲正应力一般公式： 弯曲正应力一般公式： σ= Iz
Ip
弯曲 剪力Q 剪力
？
第五章 弯曲应力
§5-1 引言 y
梁段
M τ Q
z
σ
横截面上剪应力 横截面上正应力
横截面上内力
Q = ∫τdA
剪应力造成剪力
M = ∫σydA
正应力造成弯矩
剪应力和正应力的分布规律是什么？ 剪应力和正应力的分布规律是什么？
超静定问题
第五章 弯曲应力
§5-1 引言
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力 §5-3 对称弯曲切应力 对称弯曲切应力 弯曲 §5-4 梁的强度条件与合理强度设计 梁的强度条件与合理强度设计 §5-5 双对称截面梁的非对称弯曲 双对称截面梁的非对称弯曲 §5-6 弯拉（压）组合 弯拉（ 对称弯曲（平面弯曲）： 对称弯曲（平面弯曲）： 外力作用在纵向对称面内， 外力作用在纵向对称面内，梁轴线变形 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。
(3)
Mz = ∫ σ ⋅ y ⋅ dA = M (5) A E 2 E 2 E (5) M z = ∫ ρ y dA = ∫ y dA = ρ I z = M
A
ρ
A
1 M = ρ EIz
第五章 弯曲应力
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材料力学
Mechanics of Materials 编制：邹思敏 审定：袁海庆
配套教材： 武汉理工大学出版社《材料力学》第三版
（主编 袁海庆）
5
弯曲内力
编制：邹思敏 审定：袁海庆
配套教材： 武汉理工大学出版社《材料力学》第三版 （主编 袁海庆）
5
弯曲内力
5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图 5.2 梁的内力 剪力和弯矩 5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图 5.4 内力与分布荷载间的关系及其应用 5.5 用区段叠加法作梁的弯矩图
y
A
m
n
x B q(x)
x
m n
dx
M(x)+dM(x)
q( x)dx dFQ ( x)
M ( x)
O1
dFQ x q x dx
FQ(x) dx
FQ(x)+dFQ(x) q(x)
5.4.1 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
对n-n截面形心O1取矩，有
y
A
m
n
m
O1
0 ,
x B q(x)
FQ
二、弯曲内力的正负号规定: 剪力FQ :
FQ dl
+
FQ FQ
－
FQ
以使脱离体有顺时针旋转趋势为正
二、弯曲内力的正负号规定:
弯矩M：
+
M M
－
M
M
以使梁下部纤维受拉为正 为了与后续课程结构力学取得一致，规定弯矩 图要画在梁纤维受拉的一面，可以不标正负号。
例5.1 求简支梁C,B截面的内力。
M 直线 (一般为斜直线) 图 特 征
Me
C
利用以上特征
1. 可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确。
2. 利用微分关系确定弯矩出现极值的截面，计算最大最小值。
3. 可以利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图，步骤如下：
（1） 求支座反力；
（2）分段确定剪力图和弯矩图的形状；
（3）计算控制截面内力值，根据微分关系绘剪力图和弯矩图； （4）确定 和 FQ
FQ FAV
F (l a ) l
F (l a ) x l
FBY
M FAV x
一、弯曲内力的确定（截面法）：
梁横截面的内力： 1. 弯矩：M 梁受弯时，在与横截面垂直 的竖向平面内所存在的内力偶矩 （弯矩）。 2. 剪力： FQ 梁受弯时，横截面上所存在 平行于截面的内力（剪力）。 M C FBY A a FAV l x m m FBV F F B
y
A
m
n
x B q(x)
x
m n
dx
M(x)+dM(x)
O1
FQ(x) +d FQ(x)
考虑微段的平衡：
FQ(x) dx
FQ(x)+dFQ(x) q(x)
5.4.1 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
Y 0
FQ ( x) q( x)dx FQ ( x) dFQ ( x) 0
一、弯曲内力的确定（截面法）：
根据截面法，图中梁上距A端 x A a FAV l m m FBV F F B
x 处m-m截面上内力求解：
1.求支座反力 Fa F (l a ) FBV , FAV l l 2.求m-m截面内力
FQ
M C
以m - m 截面的右段为研究对象，
也将得到同样的结果。
例5.5 图示简支梁在C点受矩为M的集中力偶作用。试作梁的 剪力图和弯矩图。 M
A
FAV
a
0
b
C
B
FBV
l
FAV M0 l
解: (1)求支反力
M B 0
剪力方程无需分段： 弯矩方程——两段：
FB
M0 l
(2) 列剪力方程和弯矩方程
Q x FAV M0 l
F
3
B
1m 1m
FA
6
+ 1 FQ (kN)
FB
MC FA 1 6kN m
M D FA 2 FP 1 7kN m
1 M E FB 2 q 1 6.75kN m 2
6 7
－
4
M (kN· m) 6.75 4
根据微分关系可作出弯矩图
思考：最大弯矩出现在什么位置？如何求出？
0 x l
M0 M x x
M x
AC 段： CB 段：
0 x a
a x l
M x FAV x
M x FAV x M 0
l
M0 l x l
例5.5 图示简支梁在C点受矩为M的集中力偶作用。试作梁的 剪力图和弯矩图。 m
解：(1)求支反力
(2)列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
AC段 0 x a
Fb FQ x l
CB 段
a x l
Fa FQ x l
FQ x VB
Fb M x x l
M x VB (l x )
Fa l x M x l
弯矩图上某点处的切线斜率等 于该点处剪力的大小。
5.4.2. 几种常见荷载下梁的剪力图与弯矩图的特征
无外力段 外 力 均布载荷段 集中力 集中力偶
q=0
FQ 图 特 征 + x FQ > 0
－
F q>0
斜直线
Me C C
无变化
q<0
水平直线
自左向右突变
x －
+
x
+
C
－
x
C
FQ <0 曲线 在C截面有折角 在C截面有突变
x
m n
dx
M(x)+dM(x)
M ( x)
O1
FQ(x) dx
FQ(x)+dFQ(x) q(x)
q、FQ和M三者的微分关系:
dFQ x q x dx
dM ( x ) FQ ( x ) dx
dM 2 ( x) q( x) 2 dx
剪力图上某点处的切线斜率等 于该截面处分布荷载值（以向 上为正）。
2.根据内力方程画剪力图 和弯矩图。 注意：M图画在梁纤维受拉的 一面,可以不标正负号。
－
FQ x －qx
0 x l
x
ql
ql2 2 x
例5.4 图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯 矩图。 F b a
A FAV
x
C l
FAV Fb l
FBV Fa l
B FBV
A
FAV
a
b
C
B
FBV
l
m l
解: (3)画内力图
FQ
mb l ma l
M
5.4 内力与分布荷载间的关系 及应用
5.4.1 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
在梁中取出一长度为 dx 的微段， 其受力情况分析如下： 荷载：q(x) 左截面上的内力（对于微段已 是外力）：M(x), FQ(x) 右截面上的内力（对于微段已 是外力）：M(x)+dM(x), M ( x)
根据简化方法，用1-1截面右边外力来求该截面弯矩：
M E 1kN 1m 1kN m
5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图
反映梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数 式分别称为剪力方程和弯矩方程，即 剪力方程 弯矩方程
FQ FQ ( x)
M M ( x)
显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则分别称为
剪力图和弯矩图。
例5.3 图示悬臂梁受集度为 q 的满布均布荷载作用。试作梁 的剪力图和弯矩图。 q
解：1. 列剪力方程和弯矩方程。 以B端为原点，用距原点任意位 置左面以右外力写出内力表达式：
A
x
l
B
FQ
M x －qx
x qx － 2 2
2
0 x l
M
l/2 ql2 8
5.1.1
梁的平面弯曲概念
工程中常见的梁，通常具
有对称的截面，且荷载均作 用在梁的纵向对称平面内， 均发生平面弯曲。
5.1.2 梁的计算简图
构件的简化 支座的简化 荷载的简化 计算简图
5.1.2 梁的计算简图
常见支座：
固定铰支座 （铰链） 可动铰支座 （支杆） 固定支座
5.1.2 梁的计算简图 常见的简单梁：
max
。
M
max
例5.6 求作梁的内力图。 解：1、支反力
FA 6kN; FB 4kN
FP=2kN1源自2q=2.5kN/m
3
A
C 2D 1
1m 1m
1m
E
F
3
B
1m 1m
2、作剪力图 由微分关系可知，AC、CD、FB段 分别为水平直线，DF段为斜直线
FQ11 FA 6kN FQ22 FA 5 1kN
三、确定梁的内力的简化方法 可以总结出梁的内力与外力一般关系，得到确定
梁内力的简化方法如下：
(1) 梁截面上剪力在数值上等于该截面以左（或以右）所
有外力在正交于梁轴方向上投影的代数和，截面以左向上
（或以右向下）的外力在该截面上引起正剪力，反之引起 负剪力。 (2) 梁截面上弯矩在数值上等于该截面以左（或以右）所 有外力对截面形心力矩的代数和，向上的外力在该截面上 引起正弯矩，反之引起负弯矩。
5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图
梁
常见的梁的弯曲现象：
以弯曲变形为主的构件称为梁
Mechanics of Materials 编制：邹思敏 审定：袁海庆
配套教材： 武汉理工大学出版社《材料力学》第三版
（主编 袁海庆）
5
弯曲内力
编制：邹思敏 审定：袁海庆
配套教材： 武汉理工大学出版社《材料力学》第三版 （主编 袁海庆）
5
弯曲内力
5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图 5.2 梁的内力 剪力和弯矩 5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图 5.4 内力与分布荷载间的关系及其应用 5.5 用区段叠加法作梁的弯矩图
y
A
m
n
x B q(x)
x
m n
dx
M(x)+dM(x)
q( x)dx dFQ ( x)
M ( x)
O1
dFQ x q x dx
FQ(x) dx
FQ(x)+dFQ(x) q(x)
5.4.1 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
对n-n截面形心O1取矩，有
y
A
m
n
m
O1
0 ,
x B q(x)
FQ
二、弯曲内力的正负号规定: 剪力FQ :
FQ dl
+
FQ FQ
－
FQ
以使脱离体有顺时针旋转趋势为正
二、弯曲内力的正负号规定:
弯矩M：
+
M M
－
M
M
以使梁下部纤维受拉为正 为了与后续课程结构力学取得一致，规定弯矩 图要画在梁纤维受拉的一面，可以不标正负号。
例5.1 求简支梁C,B截面的内力。
M 直线 (一般为斜直线) 图 特 征
Me
C
利用以上特征
1. 可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确。
2. 利用微分关系确定弯矩出现极值的截面，计算最大最小值。
3. 可以利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图，步骤如下：
（1） 求支座反力；
（2）分段确定剪力图和弯矩图的形状；
（3）计算控制截面内力值，根据微分关系绘剪力图和弯矩图； （4）确定 和 FQ
FQ FAV
F (l a ) l
F (l a ) x l
FBY
M FAV x
一、弯曲内力的确定（截面法）：
梁横截面的内力： 1. 弯矩：M 梁受弯时，在与横截面垂直 的竖向平面内所存在的内力偶矩 （弯矩）。 2. 剪力： FQ 梁受弯时，横截面上所存在 平行于截面的内力（剪力）。 M C FBY A a FAV l x m m FBV F F B
y
A
m
n
x B q(x)
x
m n
dx
M(x)+dM(x)
O1
FQ(x) +d FQ(x)
考虑微段的平衡：
FQ(x) dx
FQ(x)+dFQ(x) q(x)
5.4.1 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
Y 0
FQ ( x) q( x)dx FQ ( x) dFQ ( x) 0
一、弯曲内力的确定（截面法）：
根据截面法，图中梁上距A端 x A a FAV l m m FBV F F B
x 处m-m截面上内力求解：
1.求支座反力 Fa F (l a ) FBV , FAV l l 2.求m-m截面内力
FQ
M C
以m - m 截面的右段为研究对象，
也将得到同样的结果。
例5.5 图示简支梁在C点受矩为M的集中力偶作用。试作梁的 剪力图和弯矩图。 M
A
FAV
a
0
b
C
B
FBV
l
FAV M0 l
解: (1)求支反力
M B 0
剪力方程无需分段： 弯矩方程——两段：
FB
M0 l
(2) 列剪力方程和弯矩方程
Q x FAV M0 l
F
3
B
1m 1m
FA
6
+ 1 FQ (kN)
FB
MC FA 1 6kN m
M D FA 2 FP 1 7kN m
1 M E FB 2 q 1 6.75kN m 2
6 7
－
4
M (kN· m) 6.75 4
根据微分关系可作出弯矩图
思考：最大弯矩出现在什么位置？如何求出？
0 x l
M0 M x x
M x
AC 段： CB 段：
0 x a
a x l
M x FAV x
M x FAV x M 0
l
M0 l x l
例5.5 图示简支梁在C点受矩为M的集中力偶作用。试作梁的 剪力图和弯矩图。 m
解：(1)求支反力
(2)列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
AC段 0 x a
Fb FQ x l
CB 段
a x l
Fa FQ x l
FQ x VB
Fb M x x l
M x VB (l x )
Fa l x M x l
弯矩图上某点处的切线斜率等 于该点处剪力的大小。
5.4.2. 几种常见荷载下梁的剪力图与弯矩图的特征
无外力段 外 力 均布载荷段 集中力 集中力偶
q=0
FQ 图 特 征 + x FQ > 0
－
F q>0
斜直线
Me C C
无变化
q<0
水平直线
自左向右突变
x －
+
x
+
C
－
x
C
FQ <0 曲线 在C截面有折角 在C截面有突变
x
m n
dx
M(x)+dM(x)
M ( x)
O1
FQ(x) dx
FQ(x)+dFQ(x) q(x)
q、FQ和M三者的微分关系:
dFQ x q x dx
dM ( x ) FQ ( x ) dx
dM 2 ( x) q( x) 2 dx
剪力图上某点处的切线斜率等 于该截面处分布荷载值（以向 上为正）。
2.根据内力方程画剪力图 和弯矩图。 注意：M图画在梁纤维受拉的 一面,可以不标正负号。
－
FQ x －qx
0 x l
x
ql
ql2 2 x
例5.4 图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯 矩图。 F b a
A FAV
x
C l
FAV Fb l
FBV Fa l
B FBV
A
FAV
a
b
C
B
FBV
l
m l
解: (3)画内力图
FQ
mb l ma l
M
5.4 内力与分布荷载间的关系 及应用
5.4.1 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
在梁中取出一长度为 dx 的微段， 其受力情况分析如下： 荷载：q(x) 左截面上的内力（对于微段已 是外力）：M(x), FQ(x) 右截面上的内力（对于微段已 是外力）：M(x)+dM(x), M ( x)
根据简化方法，用1-1截面右边外力来求该截面弯矩：
M E 1kN 1m 1kN m
5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图
反映梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数 式分别称为剪力方程和弯矩方程，即 剪力方程 弯矩方程
FQ FQ ( x)
M M ( x)
显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则分别称为
剪力图和弯矩图。
例5.3 图示悬臂梁受集度为 q 的满布均布荷载作用。试作梁 的剪力图和弯矩图。 q
解：1. 列剪力方程和弯矩方程。 以B端为原点，用距原点任意位 置左面以右外力写出内力表达式：
A
x
l
B
FQ
M x －qx
x qx － 2 2
2
0 x l
M
l/2 ql2 8
5.1.1
梁的平面弯曲概念
工程中常见的梁，通常具
有对称的截面，且荷载均作 用在梁的纵向对称平面内， 均发生平面弯曲。
5.1.2 梁的计算简图
构件的简化 支座的简化 荷载的简化 计算简图
5.1.2 梁的计算简图
常见支座：
固定铰支座 （铰链） 可动铰支座 （支杆） 固定支座
5.1.2 梁的计算简图 常见的简单梁：
max
。
M
max
例5.6 求作梁的内力图。 解：1、支反力
FA 6kN; FB 4kN
FP=2kN1源自2q=2.5kN/m
3
A
C 2D 1
1m 1m
1m
E
F
3
B
1m 1m
2、作剪力图 由微分关系可知，AC、CD、FB段 分别为水平直线，DF段为斜直线
FQ11 FA 6kN FQ22 FA 5 1kN
三、确定梁的内力的简化方法 可以总结出梁的内力与外力一般关系，得到确定
梁内力的简化方法如下：
(1) 梁截面上剪力在数值上等于该截面以左（或以右）所
有外力在正交于梁轴方向上投影的代数和，截面以左向上
（或以右向下）的外力在该截面上引起正剪力，反之引起 负剪力。 (2) 梁截面上弯矩在数值上等于该截面以左（或以右）所 有外力对截面形心力矩的代数和，向上的外力在该截面上 引起正弯矩，反之引起负弯矩。
5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图
梁
常见的梁的弯曲现象：
以弯曲变形为主的构件称为梁