多元函数微分学复习题

多元函数微分学补充题

1.已知函数(,)z z x y =满足222z z x

y z x y ∂∂+=∂∂，设1111u x v y x z x ϕ⎧

⎪=⎪

⎪=-⎨⎪

⎪=-

⎪⎩

，对函数(,)u v ϕϕ=， 求证

0u

ϕ

∂=∂。 2.设(,,)u f x y z =，f 是可微函数，若y x z f f f x y z

'''==，证明u 仅为r 的函数，

其中r =

3.设)(2

2

y x u u +=具有二阶连续偏导数，且满足2222221y x u x u

x y

u x u +=+∂∂-∂∂+∂∂，

试求函数u 的表达式。

4.设一元函数()u f r =当0r <<+∞时有连续的二阶导数，且0)1(=f ，(1)1f '=

，又

u f =满足0222222=∂∂+∂∂+∂∂z

u

y u x u ，试求)(r f 的表达式。

5.函数),(y x f 具有二阶连续偏导数,满足

02=∂∂∂y

x f

，且在极坐标系下可表成(,)()f x y h r =

，其中r =),(y x f 。

6.若1)1(,0)0(),(='==f f xyz f u 且

)(2223xyz f z y x z

y x u

'''=∂∂∂∂，求u . 7.设函数)(ln 22y x f u +=满足23

2

22222)(y x y

u x u +=∂∂+∂∂，试求函数f 的表达式.

8.设二元函数(,)||(,)f x y x y x y ϕ=-，其中(,)x y ϕ在点(0,0)的一个邻域内连续。

试证明函数(,)f x y 在(0,0)点处可微的充要条件是(0,0)0ϕ=。 9.已知点)2,1,Q(3),1,0,1(与-P ,在平面122=+-z y x 上求一点M ,使得

||||PQ PM +最小.

10.过椭圆13232

2

=++y xy x 上任意点作椭圆的切线, 试求诸切线与坐标轴所围三角形面积的最小值.

11.从已知ABC ∆的内部的点P 向三边作三条垂线,求使此三条垂线长的乘积为最大的点P 的位置.

12.设函数)(x f 在),1[+∞内有二阶连续导数,1)1(,0)1(='=f f 且

)()(2

2

2

2

y x f y x z ++=满足02222=∂∂+∂∂y

z

x z ,求)(x f 在),1[+∞上的最大值.

13.在椭球面122222=++z y x 求一点，使函数2

22),,(z y x z y x f ++=在该点沿方向

j i l

-=的方向导数最大.

14.设向量j i v j i u

34,43+=-=,且二元可微函数在点P 处有

6-=∂∂p

u

f ,17=∂∂p

v

f

,求p df .

15.设函数),(y x z z =由方程)(2

z xyf z y x =++所确定,其中f 可微,试计算

y

z

y x z x

∂∂+∂∂并化简. 16.设函数),(y x f z =具有二阶连续偏导数,且

0≠∂∂y

f

,证明对任意常数C , C y x f =),(为一直线的充分必要条件是0222='''+''''-'''x xy xy y x xx

y f f f f f f f . 证: 因为C y x f =),(为一直线的充分必要条件为:由C y x f =),(所确定的隐函数

)(x y y =为线性函数,即022=dx

y

d .

必要性:因为C y x f =),(为一直线时,y f x f ∂∂∂∂,均为常数,故022222=∂∂∂=∂∂=∂∂y x f y

f x f ,从而等式成立. 充分性: 因为0≠∂∂y f ,在C y x f =),(两边对x 求导,有 ,0='+'dx

dy

f f y x 两边再对x 求导:

,0)()(22='+''+''+''+''dx

y d f dx dy dx dy f f dx dy f f y yy yx xy xx

又

y x f f dx dy

'

'-=,代入上式,有 ,0)()(2222

2='+''''+'

'''-''dx

y

d f f f f f f f f y y yy x y xy

x xx

由条件0)(2)(2

2

='''+''''-'''x yy xy y x xx

y f f f f f f f 得022=dx

y

d ,所以C y x f =),(为一直线.

17.已知锐角ABC ∆,若取点),(y x P ,令||||||),(CP BP AP y x f ++=.证明:在

),(y x f 取极值的点0P 处矢量0P 0B P 0C P 所夹的角相等.

18.若可微函数),(y x f 对任意t y x ,,满足),(),(2

y x f t ty tx f =,)2,2,1(0-P 是曲面

),(y x f z =上的一点,且4)2,1(=-'x f ,求曲面在0P 处的切平面方程.

19.可微函数),(y x f 满足),(),(y x tf ty tx f =,)2,2,1(0-P 是曲面),(y x f z =上的一点,

且4)2,1(=-'x f ,求曲面z 在0P 处的切平面方程.

20.若)(x f ''不变号，且曲线)(x f y =在点)1,1(处的曲率圆为22

2

=+y x 则函数

)

(x f