第五节函数的微分74953
函数的微分与微分的应用
函数的微分与微分的应用在微积分中，函数的微分是一个重要的概念。
微分的应用则是将微分应用于实际问题的数学方法。
本文将围绕函数的微分及其应用展开详细讨论。
一、函数的微分函数的微分是函数在某一点上的变化率的近似。
具体而言，设函数f(x)在点x=a处是可导的，那么x=a处的微分表示为df，定义如下：df = f'(a)dx其中，f'(a)是函数f(x)在点x=a处的导数，dx表示自变量x的增量。
函数的微分可通过导数乘以自变量的增量获得。
二、微分的应用微分的应用广泛存在于数学、物理、经济等领域。
以下列举几个常见的应用。
1. 切线与法线函数的微分可用于求解函数图像上某一点的切线和法线。
设函数f(x)在点x=a处可导，则切线的斜率为f'(a)，求解切线方程可根据点斜式或一般式进行。
法线的斜率为-1/f'(a)，同样可根据点斜式或一般式求解。
2. 极值点与拐点函数的微分也可用于确定函数的极值点和拐点。
设函数f(x)的导数为f'(x)，极值点的横坐标可通过解方程f'(x)=0求得。
通过判别式和导数的符号变化，可以判断极值点的类型（极大值或极小值）。
拐点则是函数图像由凸变凹或由凹变凸的点，可通过求解二阶导数f''(x)的零点来确定。
3. 近似计算微分的近似性质可应用于计算函数的近似值。
对于函数f(x)在某一点x=a附近，可以使用微分df作为函数f(x)的近似值。
当自变量的变化量较小时，误差较小，从而可以得到较为精确的计算结果。
4. 最优化问题微分可以应用于最优化问题的求解。
例如，求解函数f(x)在一定范围内的最大值或最小值。
根据函数的导数和临界点的性质，可以得到最优解。
5. 物理运动问题微分在物理学中有着广泛的应用。
例如，求解物体在某一时刻的速度、加速度等。
通过将位移函数或速度函数微分，可以得到物体在不同时刻的速度、加速度等物理量。
综上所述，函数的微分在数学和实际应用中扮演着重要的角色。
导数与微第五节函数的微分培训课件
Tuesday, July 28, 2020
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特别当 x00, x很小时, f(x ) f(0 ) f(0 )x
常用近似公式: ( x 很小)
(1) (1x)1x
证明: 令 f(x)(1x)
得 f(0)1, f(0)
当x 很小,时 (1x)1x
(2) sixnx
(3) e x 1x
第五节 函数的微分
一、微分的概念 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 *四、微分在估计误差中的应用
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一、微分的概念
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由x 0 变到 x0x,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x2, 当 x 在 x 0 取
所以 x 0时 y 与 d y 是等价无穷小, 故当 x
很小时, 有近似公式
ydy
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微分的几何意义
切线纵坐标的增量
dyf(x0) xtanx
当 x 很小时, ydy 当y x时，
记
yx dx 称x为自变量的微分,
y
T
M
yf(x)
N
P
o(x)
dy y
x
x2 x2
dx
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例2. 设 y sx i c nx o y ) s 0 , (求 d y .
解: 利用一阶微分形式不变性 , 有
d (y sx i) n d(x c y )o )0 s(
sixd n y ycx o d x ssixn(y)(x ddy)0 dy y scix o x n y s (s ) ix s n ix y n )(dx
函数的微分学
函数的微分学函数的微分学是微积分中的一个重要分支，涉及到函数的变化率、导数以及微分等概念和性质。
在本文中，我们将探讨函数的微分学的基本概念、公式以及应用。
一、函数的变化率函数的变化率描述了函数在某一点附近的变化趋势。
对于函数$f(x)$来说，其在$x=a$处的变化率可以通过求取函数在该点的导数$f'(a)$来获得。
导数表示的是函数在该点的瞬时变化率，也可以理解为函数曲线在该点处的切线斜率。
二、导数的定义与性质导数可以通过两种方法定义：极限定义和函数差商的极限。
根据导数的定义，我们可以得到一系列导数的性质，包括：1. 可微性：若函数在某一点处存在导数，则称该函数在该点处可微。
2. 导数的线性性质：$(cf(x))' = cf'(x)$，$(f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pmg'(x)$。
3. 乘法法则：$(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$。
4. 除法法则：$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) -f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$，其中$g(x) \neq 0$。
5. 链式法则：$(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$。
三、微分的定义和应用微分是导数的一个重要应用，它描述了函数在某一点附近的线性逼近。
函数$f(x)$在$x=a$处的微分为$df = f'(a)dx$。
微分的几何意义是函数曲线在该点处的切线方程。
微分的应用有两个主要方面：1. 极大值和极小值的判断：通过求取函数的导数，可以判断函数在某一区间上的极值情况。
当导数为零或不存在时，函数可能取得极大值或极小值。
另外，利用导数的符号变化也可以确定函数在某一区间上的增减性。
2. 泰勒展开：泰勒展开是将一个具有连续导数的函数在某一点附近展开成无穷级数的形式。
函数的微分课件
函数的微分课件函数的微分课件在数学领域中，微分是一个非常重要的概念。
它是微积分的基础，也是应用数学中的关键概念之一。
通过微分，我们可以研究函数的变化率、极值以及曲线的切线方程等问题。
在这篇文章中，我们将探讨函数的微分，并介绍一些与微分相关的基本概念和定理。
一、导数的定义在微分学中，导数是函数变化率的度量。
如果函数f(x)在某一点x处的导数存在，那么我们可以用f'(x)来表示这个导数。
导数的定义如下：f'(x) = lim (h→0) (f(x+h) - f(x))/h这个定义可以解释为函数在x处的切线的斜率。
也就是说，当h趋近于0时，函数在x处的切线的斜率就是函数在x处的导数。
二、常见函数的导数对于一些常见的函数，我们可以通过一些基本的导数公式来求导。
下面是一些常见函数的导数：1. 常数函数：f(x) = c，其中c为常数，导数为0。
2. 幂函数：f(x) = x^n，其中n为正整数，导数为f'(x) = nx^(n-1)。
3. 指数函数：f(x) = e^x，导数为f'(x) = e^x。
4. 对数函数：f(x) = ln(x)，导数为f'(x) = 1/x。
5. 三角函数：f(x) = sin(x)，导数为f'(x) = cos(x)；f(x) = cos(x)，导数为f'(x) = -sin(x)。
通过这些基本的导数公式，我们可以求出更复杂函数的导数。
例如，对于多项式函数、指数函数和三角函数的组合函数，我们可以使用链式法则来求导。
三、微分的应用微分在实际问题中有着广泛的应用。
下面我们将介绍一些微分的应用。
1. 最值问题：通过求函数的导数，我们可以确定函数的极值点。
当导数等于零或不存在时，函数可能达到极值。
通过求解导数为零的方程，我们可以找到函数的极值点。
2. 切线与曲线的关系：函数的导数可以用来求解曲线的切线方程。
在某一点上，曲线的切线的斜率等于函数在该点的导数。
高等数学 第五节 函数的微分
提倡使用下面的方法计 算复合函数的微分 : dy = f ′(u)du= f ′(u)ϕ′(x)dx .
8
例 . y = ln cos arc tan sh x
1 dy = d (cos arc tan sh x ) cos arc tan sh x
可表示为
∆ y = A⋅ ∆ x +o(∆ x)
其中 A 是与 ∆ x 无关的常数 .
则称函数 y = f ( x ) 在点 x0 可微 ,
A⋅ ∆ x 为 y = f ( x ) 在点 x0 的微分 .
记作 :
dy
x=x0 = A∆ x
或
d f (x0) = A∆ x .
微分 d y 叫做函数增量 ∆ y 的线性主部 . 定理 . y = f ( x ) 在 x0 点可微 ⇐⇒ y = f ( x ) 在 x0 点可导 . 可 ←可 微→ 导
当 y = f ( x ) 在 x0 点可微时 , d y = f ′( x0 ) ∆ x .
当 y = f ( x ) 可微时 ,
∴
( f (x)可 ) 微
#
d y = f ′(x) ∆ x .
自变量 x 的微分 : d x = ( x )′∆ x = ∆ x .
d y = f ′(x) d x .
(1) 式表明 , ∆ y 由两部分构成 :
其 lim α =0. 中
0 ∆ x→
(1 )
f ′(x) ∆ x −−− ∆ x 的线性函数 ,
(∆ x的 数, 系 f ′(x) 与∆ x 无 .) 倍 数 关
函数的微分
微分与增量的关系
定理：当f ( x0 ) 0 时，微分是增量的线性 主部。
主部：设 ， 均为无穷小，若 o
则称 是 的主部，有 o 结论： 若 o ，则 ~ 。
。
证： 若 f ( x 0 ) 0 ，则 Δy f ( x 0 Δx ) f ( x 0 ) 0
得
当
3 x 2 d x 3 y 2 d y 3 cos 3 x d x 6 d y 0 1 由上式得 d y x 0 d x x 0 时 y 0, 2
返回
称为a 的相对误差
若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限
误差传递公式 :
若直接测量某量得 x , 按公式 已知测量误差限为 计算 y 值时的误差
x ,
d y f ( x) x
故 y 的绝对误差限约为
y f ( x) x
y
f ( x) x y f ( x)
整理并移项即得： x (dy dx ) y (dy dx ) #
思考： 若 y＝e
sin x
dy ，怎样求 ？ d cos x
返回
三、 微分在近似计算中的应用
y f ( x0 )x o( x)
当
x
很小时,
得近似等式:
y f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )x f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x
y 2 2 例 3 推证等式 arctan ＝ln x ＋y 满足 x 关系式 x dy－dx ＝ y dy＋dx .
证：
利用微分的形式不变性 对等式两边求微分 1 xdy ydx 1 1 2 (2 xdx 2 ydy ) 2 2 2 2 x y x y 1 x
高数二章课件05函数的微分
导数与极值的关系：导数为0 的点可能是极值点
极值的判定：利用导数判断函 数的单调性，从而确定极值
极值的求解：利用导数求解函 数的极值
极值的应用：在工程、经济等 领域中，利用极值求解最优解
利用导数研究曲线的凹凸性
导数是函数在某一点的切线斜率
导数小于0，曲线在该点为凹
导数的正负决定了曲线在该点的凹凸性 导数大于0，曲线在该点为凸
隐函数求导：通过 隐函数方程，求解 出隐函数的导数
隐函数微分应用：在 物理、工程等领域广 泛应用，如求解运动 方程、优化问题等
微分的应用
利用微分近似计算函数值
微分近似计算函 数值的原理
微分近似计算函 数值的步骤
微分近似计算函 数值的应用实例
微分近似计算函 数值的优缺点
利用微分解决实际问题
微分在工程学中的应用：如 流体力学、热力学等
微分在经济学中的应用：如 边际分析、弹性分析等
微分在物理学中的应用：如牛 顿第二定律、能量守恒定律等
微分在生物学中的应用：如种 群增长模型、生态平衡模型等
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微分是函数在某一点的切线斜率
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微分是函数在某一点的切线斜率
微分是函数在某一点的切线斜率
微分的物理意义
微分是函数在某一点的瞬时速度
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微分是函数在某一点的变化率
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微分是函数在某一点的加速度
微分的计算
微分的基本公式
微分基本公式：dy/dx = f'(x) 导数的定义：f'(x) = lim (h->0) [f(x+h) - f(x)]/h 导数的性质：f'(x) = f'(x+h) - f'(x) 导数的计算方法：直接代入法、求导公式法、导数表法等
第五节----函数的微分
当r 10厘米、r 0.05厘米时，
A dA 2πr r 2 10 0.05 (厘米2 ). 答：面积增大了约π 平方厘米。
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2. 求 f ( x) 在点 x x0 附近的近似值:
果 y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x) 成立(其中 A 与 x 无关)，则称 y f ( x) 在 x0可微，并称 A x 为 y f ( x) 在 x0 ( 相应于x )的微分，记作 dy x x0 或 df ( x) x x0 .
注：(1) 绝对误差 | y - A x | o(x) ;
__________.
2、若 y=f(x) 是可微函数，则当 x0 时，y-dy 是关于x
的________无穷小.
3、 d
=sec23xdx.
4、 d(arctan e2x ) 2
de x
dx. .
二、 求下列函数的微分： 1、 y arcsin 1 x 2 ; 2、 y e3x cos 3x ，求 dy x .
d(cos x) sin xdx
d(tan x) sec2 xdx
d(cot x) csc2 xdx
d(secx) secx tan xdx d(csc x) csc x cot xdx
d(a x ) a x ln adx
d(e x ) e xdx
d(loga
x)
1 dx x lna
eaxd(ax) sinbx eax cos bx d(bx) eax (adx) sinbx eax cos bx (bd x) eax (bcos bx asinbx)dx.
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1 2xex2 x ex2
dx .
13
例4 设 y sin(2x 1), 求dy.
x)
dx x lna
d(ex ) ex dx d( x ) 1 dx 2x
d(ln x) 1 dx x
d(sin x) cos x dx d(cos x) sin x dx
d(tan x) sec2 x dx d(cot x) csc2 x dx
d(secx) secx tan x dx d(cscx) csc x cot x dx
dy f ( x)dx
dy f ( x). dx
所以导数也称为“微商”.
6
二、微分的几何意义
几何意义:(如图)
y A x o(x)
y dy y x
T
当y是 曲 线 的 纵
坐 标 增 量 时, dy 就是切线纵坐标 对 应 的 增 量.
y f (x)
）
o
当 x 很小时, 在点M的附近,
解 dy ( x3 ) dx 3 x2 dx ,
d y x2 3x2 x x2 0.24 .
x 0.02
x 0.02
8
三、基本微分公式 dy f ( x) dx
d(C) 0
d( x ) x 1 dx
11
d( ) x
x2
dx
d(a x ) a x ln a dx
1
d(loga
u v du udv
d(uv) v du udv d( ) v
v2
例如，从函数的商的求导法则
( u) v
vu uv v2
以及 du u dx 和在 dv v dx ，即有
d( u) v
( u) dx v
vu dx uv dx v2
vdu udv v2
.
11
2、复合函数的微分法则
设 y f (x) 可导，则dy f (x)dx 。
9
三、基本微分公式 dy f ( x) dx
1
d(arcsin x)
dx
1 x2
1
d(arccos x)
dx
1 x2
1 d(t
x)
1
1 x2
dx
10
四、微分法则
1、函数和、差、积、商的微分法则
d(u v) du dv d(Cu) C du
若又有 x g(t ) ,g 可导，则复合函数y f [ g(t )] 的微分为 dy f ( x)g(t)dt
而 dx g(t)dt , 因此又有 dy f ( x)dx , 结论：无论 x是自变量还是中间变量, 函数 y f ( x) 的微分形式总是
dy f ( x)dx
此性质称为一阶微分的形式不变性.
12
例3 设 y ln(x ex2 ) , 求dy .
分析 dy f ( x) dx
微分的计算：计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
解法1
y
1 2xex2 x ex2
,
1 2xex2 dy x ex2 dx .
也可利用复合函数的微分法则。
解法2
dy
1 x ex2
d( x ex2 )
函数的改变量都有? 它是什么? 如何求?
2
定义 设函数 y f ( x)在某区间内有定义, x0及
x0 x在这区间内, 如果 y f ( x0 x) f ( x0 )
当 x 0时可表示为
y A x o(x)
其中A是仅依赖于x0而与x无关的常数, o(x)是
比x高阶的无穷小量，则称函数 y f ( x) 在点x0 可微， 并称 Ax 为 f ( x) 在点x0 相应于自变量x 的微分,
1
再如, 设函数 y x3在点 x0处的改变量为x时, 求函数的改变量y .
y ( x0 x)3 x03
3x02 x 3x0 (x)2 (x)3 .
(1)
(2)
当x 很小时, (2)是x的高阶无穷小o(x),
y 3x02 x.
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有
y A o(x) , 则 lim y A lim o(x) A.
x
x
x0 x
x0 x
即函数 f ( x)在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
(2) 充分性 设 函数f ( x)在点x0可导,
y lim x0 x
f ( x0 )
lim y f ( x0 )x 0 .
x 0
x
于是 y f (x)x o(x) , 即 y Ax o(x) ,
函数 f ( x)在点 x0可微 .
5
可微 可导
y A x o(x) f ( x0 ) A
函数 y f ( x)的微分为dy f ( x)x .
当 f (x) x 时，f ( x) 1，
所以 dy dx 1 x x .
N
P
o(x)
M
dy y
x
x0 x0 x
x
切线段 MP可近似代替曲线段MN .
以直代曲
7
例1 求函数 y sin x 在点 x 0 和 x 的微分.
2
解 dy (sinx) dx cos x dx , 所以
d y (cos0)dx dx , x0
dy
x 2
(cos
)dx 2
0.
例2 求函数 y x3 当 x 2, x 0.02时的微分.
记作dy
x x0 或 d f
,即
x0
dy x x0 A x
3
y f (x0 x) f (x0 ) A x o(x)
由定义知:
(1) dy是自变量的改变量x的线性函数;
(2) y dy o(x)是比x高阶无穷小;
(3) 当A 0时,dy与y是等价无穷小;
y 1 o(x) 1 (x 0).
dy
A x
(4) A是与x无关的常数, 但与f ( x)和x0有关; (5) 当 x 很 小 时, y dy (线 性 主 部).
4
定理 函数 f ( x)在点 x0可微的充分必要条件是
f ( x)在点 x0处可导, 且 A f ( x0 ). 证 (1) 必要性
设f ( x)在点x0可微, 即 y A x o(x),
第六节 函数的微分
一、微分概念
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
x0
x (x)2
正方形面积 A x02,
x0x
x
A ( x0 x)2 x02
2x0 x (x)2 .
(1)
(2)
A x02
x0x x0
(1) : x的线性函数,且为A的主要部分;
(2) : x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.