大一高等数学第二章第三节函数的微分讲解
微分详细讲解课件
例8 正方体的棱长x0 10cm,若棱长增加0.1cm,求正方体 体积增加的近似值,精确值.
例9 证当x很小时,ex 1 x.
例10 求5 31的近似值.
(一) 、微分的定义
1.引例 2.微分的定义 3.可微的条件 4.微分的几何意义
1.引例
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
正方形面积 s x02 ,
s (x0 x)2 x02 2x0 x (x)2 .
x0
x0x
x (x)2
x
A x02
x0x x0
解 (1) y' 3x2 dy 3x2dx
(2)dy |x2 3 x2 |x2 dx 12dx
(3) dy x2 3x2x x2 0.24.
x 0.02
x 0.02
4.微分的几何意义
tan f(x) PQ x
PQ f (x)x dy y NQ ,dy PQ NP o(x)
2. 函数和、差、积、商的微分法则
d(f (x) g(x)) df (x) dg(x)
d(Cf (x)) Cdf (x)
d(f (x)g(x)) g(x)df (x) f (x)dg(x)
d(f (x)) g(x)
g(x)df
(x) f (x)dg(x) g(x)2
例2 设 y ln( x e x2 ), 求dy. 例3 设 y e13x cosx, 求dy及dy(0). 例4 y f(e-x ),求dy 例5 :由x y2 exy确定y f (x),求dy
y
T
N
P
o(x)
M
dy y
y f (x)
x Q
）
o
函数微分的定义
函数微分的定义：设函数在某区间内有定义，X0及X o+A x在这区间内，若函数的增量可表示为几1‘宀，其中A是不依赖于△x 的常数，-:-」是厶X的高阶无穷小，则称函数：丁;在点X o可微的。
心丁叫做函数」J—在点x o相应于自变量增量△ x的微分，记作dy，即：「二」—通过上面的学习我们知道：微分：是自变量改变量△x的线性函数，dy与厶y的差宀是关于A x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。
于是我们又得出：当△ x宀0时，△ y~dy.导数的记—=广⑴号为：一'，现在我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值（把厶x看成dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分），还可表示为：由此我们得出：若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。
导数的定义：设函数1■-'在点X0的某一邻域内有定义，当自变量X在X0处有增量厶X（X+ △X也在该邻域内）时，相应地函数有增量' '■ - ' - ?■-，若△y与厶x之比当△x-0时极限存在，则称这个极限值为""⑴在X o处的导数。
记为：还可记为：必 f , 八心）函数在点X o处存在导数简称函数」八在点X o处可导，否则不可导。
若函数在区间（a,b）内每一点都可导，就称函数在区间（a,b）内可导。
这时函数」「对于区间佝b）内的每一个确定的X 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数' ';的导函数。
拉格朗日中值定理如果函数'〜'在闭区间［a,b］上连续，在开区间（a,b）内可导，那末在（a,b）内至少有一点c,使这个定理的特殊情形，即：-的情形，称为罗尔定理。
描述如下：若在闭区间［a,b］上连续，在开区间（a,b）内可导，且"1： ' ：「•’」，那末在（a,b）内至少有一点6使v「成立。
《函数的微分》PPT课件
(mm) A 的相对误差限约为
第二十页，共24页。
练习
(liànxí)
1.
第二十一页，共24页。
4. 设 求
由方程
(fāngchéng)
解: 方程两边(liǎngbiān)求微得
分,
当
时
由上式得
确定 , (quèdìng)
第二十二页，共24页。
作业(zuòyè)：p- P123 习题2-4
3 (4) , (7) , (8) , (9) , ; 4 ; 8(1) ; 9(2)
1.函数(hánshù)的近似计算
当 很小时 得近似等式:
, (xiǎoshí)
使用原则:
第十四页，共24页。
特别(tèbié) 当
很小时 , (xiǎoshí)
常用近似(jìn sì)公式: 很小)
证明: 令 得
第十五页，共24页。
例7. 求 解: 设 取
则
的近似值 .
例8. 计算(jì
suàn)
例4
解
第十二页，共24页。
例5. 设
求
解: 利用(lìyòng)一阶微分形式不变性 , 有
例6. 在下列括号中填入适当(shìdàng)的函数使等式成 立:
说明: 上述微分的反问题(wèntí)是不定积分要研究的内容.
注意: 数学中的反问题往往出现多值性.
第十三页，共24页。
四、微分(wēi fēn)在近似计算中的应用
解:
的近似值 .
第十六页，共24页。
例9. 有一批半径(bànjìng)为1cm 的球 ,为了(wèi le)提高球面的光洁
要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm 度, , 估计一下, 每只球需
高等数学第二章：函数的微分
dx
26
注： 由导数的“微商”及一阶微分形式不变性,
(3) 通常把自变量x的增量x 称为自变量的 微分,记作 dx, 即 dx x. 什么意思？
例如： 已知 y x , 求 d y.
解 d y (x)x 1 x x, 由于 y x, 故得 d y d x x.
11
上例表明:
自变量的增量就是自变量的微分：x d x
y A x o(x),
lim y x0 x
lim A o(x)
x0
x
A.
即函数 f ( x)在点 x0可导,且A f ( x0 ).
7
定理 函数 f ( x)在点x0可微 函数 f ( x)
在点 x0处可导,且 A f ( x0 ),即有 dy f ( x0 )x.
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
y lim
x0 x
f ( x0 ),
即 y x
f ( x0 ) , ( x 0,
0)
从而 y f ( x0 ) x (x),
f ( x0 ) x o(x),
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
d(u v) du dv
d(uv) vdu udv
d
u v
vdu udv v2
18
例 设 y ln( x e x2 ), 求dy.
解
y
1
x
2
xe ex
x
2
2
,
dy
1
x
函数的微分
(1)
( 2)
当 Δx 很小时 , ∴ Δy ≈ 3 x Δx .
2 0
( 2 ) 是 Δ x的高阶无穷小 o( Δ x ),
既容易计算又是较好的近似值
3
1、微分的定义
( Δx 很小时 )
20
5、微分的应用：近似计算
（2）计算函数的近似值
( I )求 f ( x ) 在点 x = x 0 附近的近似值
计算 cos 60o 30′的近似值 . 例2 解 设f ( x ) = cos x , ∴ f ′( x ) = sin x , ( x为弧度 )
π π π π 1 3 Q x 0 = , Δx = , ∴ f ( ) = , f ′( ) = . 3 360 3 2 3 2 π π π π π o ∴ cos 60 30′ = cos( + ) ≈ cos sin 3 360 3 3 360 1 3 π ≈ 0.4924. = 2 2 360 21
= 2 x 0 Δx + ( Δx ) 2 .
(Ι )
(II: Δx的线性函数 , 为ΔS的主要部分 ;
(II) : Δx的高阶无穷小 , 当 Δx 很小时可忽略 .
2
1、微分的定义
再如, 设函数 y = x 3 在点 x 0 处的改变量
为 Δ x 时 , 求函数的改变量 Δ y .
d ( x ) = ax
a
a 1
dx
d (e x ) = e x dx 1 d (ln x ) = dx x
10
大一上学期《高等数学》知识整理-第二章 导数与微分
大一上学期《高等数学》知识整理-第二章导数与微分第二章导数与微分1.导数的定义。
对于一个在x0的某个邻域内有定义的函数，当自变量x在x0处取得增量Δx时，相应地函数y取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，如果当Δx→x0时Δy/Δx的极限存在，则称函数y=f(x)在x0点可导，并称这个极限为函数y=f(x)在x0处的导数。
通俗地讲，就是描述某个函数在某点增长或下降的瞬时速度，这个“速度”的单位为y每x，即每变化一个单位的x，y变化多少。
与物理学中定义米/秒是一个性质的。
把函数f(x)的导数看做是关于x的函数，即得到函数f(x)的导函数f'(x)，简称导数。
（以上的“x0”中的“0”都是x 的下标，下同。
）导数也可以用微分的形式记作dy/dx，这个后面会提及。
2.在导数的定义中，如果Δx从左边趋向x0或从右边趋向x0，那么对应的导数被称为左导数和右导数。
只有f(x)在x0处的左导数和右导数相等，才能称f(x)在x0处可导。
举个例子，绝对值函数y=|x|，其在x=0处的左导数是-1（即x每增大1，y减小1），右导数是1，两者不相等，所以该函数在x=0处不可导。
如图所示。
绝对值函数y=|x|的导数是符号函数y=sgn(x)，但是不包含x=0（单独的符号函数y=sgn(x)，当x=0时，y=0）。
3.用定义法可以求初等函数的导数，本质上就是求极限。
比如说求y=x²在x=a处的导数，即就是求Δx→0时((a+Δx)²-a²)/Δx的极限。
求得结果为2a了解即可，还不如求导公式来得快。
下图为求该极限的过程，也就是用定义求y=x²的导数的过程。
4.函数的可导性与连续性的关系。
我们有定理：如果函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在x0处必连续。
但反过来就不一定了。
归纳为一句话：连续不一定可导，可导一定连续。
y=|x|就是一个例子。
该函数在定义域内处处连续但是在x=0时不可导（因为左右极限不一样）。
函数微分的概念解读
上一页
2/16
下一页
返回
2.4.1 函数微分的概念
定义2.3 设函数 y f ( x) 在点 x0 处有 导数 f ( x0 ) ，则称 f ( x0 )x 为 y f ( x) 在点 x0 处的微分，记作 dy，即 dy f ( x0 )x ， (2.4.2) 此时，称 y f ( x) 在点 x0 处是可微的.
上一页
9/16
下一页
返回
2.4.3
微分的形式的不变性
以 u ( x) 为中间变量的复合函数 y f [ ( x)] 的微分 dy ydx f (u ) ( x)dx f (u )[ ( x)dx] f (u )du ， 无论 u 是自变量还是中间变量，y f (u ) 的微分 dy总可以用 f (u )与 du的乘积来表示． 函数微分的这个性质叫做微分形式的不变性．
如果将自变量 x 当作自己的函数 y x ，
则有
dx dy ( x)x x ， 说明自变量的微分 dx就等于它的改变量 x ， 于是函数的微分可以写成
上一页
4/16
下一页
返回
2.4.1 函数微分的概念
dy f ( x)dx ， (2.4.4) dy ， (2.4.5) f ( x) 即 dx 也就是说，函数的微分 dy 与自变量的微 分dx 之商等于该函数的导数，因此，导数又 叫微商．
(10 0.4 x 0.01x ) x 100 x
1 2
0.01 50.1 (0.4 ) 0.05 2 x x 100
50.120 025(十亿元)．
上一页
14/16
下一页
返回
2.4.4 微分的应用
高等数学第二章 一元函数微分学
第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分甲 内容要点一．导数与微分概念 1．导数的定义设函数()x f y =在点0x 的某邻域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量()()00x f x x f y -∆+=∆。
如果极限()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim存在，则称此极限值为函数()x f 在0x 处的导数（也称微商） 记作()0x f '，或0x x y ='，0x x dx dy =，()0x x dx x df =等。
并称函数()x f y =在点0x 处可导。
如果上面的极限不存在，则称函数()x f y =在点0x 处不可导。
导数定义的另一等价形式，令x x x ∆+=0，0x x x -=∆， 则()()()0000limx x x f x f x f x x --='→我们也引进单侧导数概念。
右导数：()()()()()x x f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='++→∆→+000000lim lim 0左导数：()()()()()xx f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='--→∆→-000000lim lim 0则有()x f 在点0x 处可导()x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。
2．导数的几何意义与物理意义如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在，则在几何上()0x f '表示曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率。
切线方程：()()()000x x x f x f y -'=- 法线方程：()()()0001x x x f x f y -'-=-()()00≠'x f 设物体作直线运动时，路程S 与时间t 的函数关系为()t f S =，如果()0t f '存在，则()0t f '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
由定义知:
(1) dy是自变量的改变量x的线性函数;
(2) y dy o(x)是比x高阶无穷小;
(3) 当A 0时, dy与y是等价无穷小;
y dy
1
o(x) A x
1
( x 0).
(4) A是与x无关的常数, 但与f ( x)和x0有关;
(e13x ) 3e13x , (cos x) sin x. dy cos x (3e13x )dx e13x ( sin x)dx
e13x (3cos x sin x)dx.
微分形式的不变性
设函数 y f ( x)有导数 f ( x),
y 3x02 x.
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
定义 设函数 y f ( x)在某区间内有定义, x0及 x0 x在这区间内, 如果 y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x) 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 y f ( x)在点 x0可微, 并且称A x为函数 y f ( x)在点 x0相应于自变量增量x的微分, 记作dy xx0 或 df ( x0 ), 即dy xx0 A x.
d(ln x) 1 dx x
d(arccos x) 1 dx 1 x2
d
(arctan
x
)
1
1 x
2
dx
d
(arc
cot
x)
1
1 x2
dx
2. 函数和、差、积、商的微分法则
d(u v) du dv d(uv) vdu udv
d(Cu) Cdu
d
(
u) v
x0 x0 x
x
切线段 MP可近似代替曲线段MN .
三、微分的基本功式及运算法则
dy f ( x)dx
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
1.基本初等函数的微分公式
d(C) 0
d ( x ) x1dx
d(sin x) cos xdx
d(cos x) sin xdx
例1 求函数 y x3 当 x 2, x 0.02时的微分.
解 dy ( x3 )x 3x2x.
dy x2 3 x 2x x2 0.24.
x 0.02
x 0.02
通常把自变量x的即dx x.
dy f ( x)dx.
dy f ( x). dx
即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于
该函数的导数. 导数也叫"微商".
二、微分的几何意义
几何意义:(如图)
y
T
当y是曲线的纵
坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
y f (x)
）
o
当 x 很小时, 在点M的附近,
N
P
o(x)
M
dy y
x
d(tan x) sec2 xdx d(cot x) csc2 xdx
d(sec x) sec x tan xdx d(csc x) csc x cot xdx
d(a x ) a x ln adx
d(e x ) e xdx
d (loga
x)
1 x lna
dx
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
(5) 当x 很小时,y dy (线性主部).
可微的条件
定理 函数 f ( x)在点 x0可微的充要条件是函 数 f ( x)在点 x0处可导, 且 A f ( x0 ).
证 (1) 必要性 f ( x)在点x0可微,
y A x o(x),
y A o(x) ,
从而 y f ( x0 ) x (x), 0 (x 0),
f ( x0 ) x o(x),
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
可导 可微. A f ( x0 ). 函数 y f ( x)在任意点x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或df ( x), 即 dy f ( x)x.
(2) : x的高阶无穷小,当 x 很小时可忽略.
再例如, 设函数 y x3在点 x0处的改变量 为x时, 求函数的改变量y.
y
( x0
x)3
x
3 0
3x02 x 3x0 (x)2 (x)3 .
(1)
(2)
当 x 很小时, (2)是x的高阶无穷小o(x),
x
x
则 lim y A lim o(x) A.
x0 x
x0 x
即函数 f ( x)在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
lim y x0 x
f ( x0 ),
即 y x
f ( x0 ) ,
vdu udv v2
例2 设 y ln( x e x2 ), 求dy.
解
y
1 2 xe x2 x ex2
,
1 2 xe x2 dy x e x2 dx.
例3 设 y e13x cos x, 求dy. 解 dy cos x d(e13x ) e13x d(cos x)
一、微分概念
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
正方形面积 A x02 ,
A
(
x0
x)2
x
2 0
2x0 x (x)2 .
(1)
(2)
x0
x0x
x (x)2
x
A x02
x0x x0
(1) : x的线性函数,且为A的主要部分;
(1) 若x是自变量时, dy f ( x)dx;
(2) 若x是中间变量时, 即另一变量t 的可
微函数 x (t), 则 dy f ( x)(t)dt
(t)dt dx,