2020高中数学 第二章阶段复习课 第3课 平面向量学案4

第三课 平面向量[核心速填]1．向量的运算(1)加法：①OA →＋AB →＝OB →，②若四边形OABC 为平行四边形，则OA →＋OC →＝OB →. (2)减法：OA →－OB →＝BA →. (3)数乘：|λa |＝|λ||a |.(4)数量积：a·b ＝|a ||b |cos θ(a 与b 的夹角为θ)． 2．两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa .(2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．3．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)b ＝(x 2，y 2)，则： (1)a ∥b ⇔a ＝λb (λ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 4．平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. [体系构建][题型探究]平面向量的线性运算(1)平面上有A (2，－1)，B (1,4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC →＝12BC →，连接DC 延长至E ，使|CE →|＝14|ED →|，则点E 的坐标为________．图2­1(2)如图2­1，在正五边形ABCDE 中，若AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EA →＝e ，求作向量a －c ＋b －d －e . 【导学号：84352275】(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－7 [(1)∵AC →＝12BC →，∴OC →－OA →＝12(OC →－OB →)．∴OC →＝2OA →－OB →＝(3，－6)， ∴点C 坐标为(3，－6)．由|CE →|＝14|ED →|，且E 在DC 的延长线上，∴CE →＝－14ED →.设E (x ，y )，则(x －3，y ＋6)＝－14(4－x ，－3－y )，得⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－1＋14x ，y ＋6＝34＋14y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83，y ＝－7，即E ⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－7.(2)a －c ＋b －d －e ＝(a ＋b )－(c ＋d ＋e ) ＝(AB →＋BC →)－(CD →＋DE →＋EA →) ＝AC →－CA →＝AC →＋AC →.如图，连接AC ，并延长至点F ，使CF ＝AC ，则CF →＝AC →，所以AF →＝AC →＋AC →，即为所求作的向量a －c ＋b －d －e .][规律方法] 1.向量加法是由三角形法则定义的，要点是“首尾相连”，即AB →＋BC →＝AC →.向量加法的平行四边形法则：将两向量移至共起点，分别为邻边作平行四边形，则同起点对角线的向量即为向量的和．加法满足交换律、结合律．2．向量减法实质是向量加法的逆运算，是相反向量的作用．几何意义有两个：一是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量；二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量．注意两向量要移至共起点．3．数乘运算即通过实数与向量的乘积，实现同向或反向上向量长度的伸缩变换． [跟踪训练]1．如图2­2所示，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．图2­2311[设BP →＝λBN →， 则BP →＝BA →＋AP →＝－AB →＋mAB →＋211AC →＝(m －1)AB →＋211AC →.BN →＝BA →＋AN →＝－AB →＋14AC →.∵BP →与BN →共线，∴14(m －1)＋211＝0，∴m ＝311.]平面向量数量积的运算(1)已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( ) A ．322B ．3152C ．－322D ．－3152(2)如图2­3，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM →＝2MD →.若AC →·BM →＝－3，则AB →·AD →＝________. 【导学号：84352276】图2­3(1)A (2)32 [(1)AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，向量AB →＝(2,1)在CD →＝(5,5)上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝|AB→|·AB →·CD →|AB →||CD →|＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.(2)因为AC →·BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－AB →＋23AD →＝－2－23AB →·AD →＝－3，所以AB →·AD →＝32.][规律方法] 向量数量积的求解策略 1利用数量积的定义、运算律求解.在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即a ＋b2＝a 2＋2a·b ＋b 2，a －b2＝a 2－2a·b ＋b 2，上述两公式以及a ＋b·a －b ＝a 2－b 2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用.2借助零向量.即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理地进行向量的移项以及平方等变形，求解数量积.3借助平行向量与垂直向量.即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积，借助a ⊥b ，则a·b ＝0等解决问题.4建立坐标系，利用坐标运算求解数量积. [跟踪训练]2．在边长为1的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 是BC 的中点，则AC →·AE →等于( )A.3＋33B.92C. 3D.94D [建立如图平面直角坐标系，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12.∴E 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫34，－14，∴AC →＝(3，0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫334，－14，∴AC →·AE →＝3×334＝94.]平面向量的平行与垂直问题( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1(2)设A ，B ，C ，D 为平面内的四点，且A (1,3)，B (2，－2)，C (4,1)． ①若AB →＝CD →，求D 点的坐标．②设向量a ＝AB →，b ＝BC →，若k a －b 与a ＋3b 平行，求实数k 的值. (1)B [(1)因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，且(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝－2λ－3－3＝0， 解得λ＝－3. (2)①设D (x ，y )． 因为AB →＝CD →，所以(2，－2)－(1,3)＝(x ，y )－(4,1)， 化为(1，－5)＝(x －4，y －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝1，y －1＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－4，所以D (5，－4)．②因为a ＝AB →＝(2，－2)－(1,3)＝(1，－5)，b ＝BC →＝(4,1)－(2，－2)＝(2,3)， 所以k a －b ＝k (1，－5)－(2,3)＝(k －2，－5k －3)，a ＋3b ＝(1，－5)＋3(2,3)＝(7,4)． 因为k a －b 与a ＋3b 平行， 所以7(－5k －3)－4(k －2)＝0， 解得k ＝－13.所以k ＝－13.]母题探究：1.将例3(2)②中的“BC →”改为“AC →”，“平行”改为“垂直”，求实数k 的值． [解] 因为a ＝AB →＝(1，－5)，b ＝AC →＝(3，－2)， 所以k a －b ＝(k －3，－5k ＋2)，a ＋3b ＝(10，－11)，因为(k a －b )⊥(a ＋3b )，所以(k a －b )·(a ＋3b )＝10(k －3)－11(－5k ＋2) ＝65k －52＝0， 解得k ＝5265.2．在例3(2)中若A ，B ，D 三点共线，且AC ⊥CD ，求点D 的坐标． [解] 设点D 的坐标为(x ，y )，则 AB →＝(1，－5)，AD →＝(x －1，y －3)， AC →＝(3，－2)，CD →＝(x －4，y －1)，由题意得AB →∥AD →，AC →⊥CD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧－5x －1－y －3＝0，3x －4－2y －1＝0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋y ＝8，3x －2y ＝10，解得x ＝2，y ＝－2， 所以点D 的坐标为(2，－2)．[规律方法] 1.证明共线问题常用的方法(1)向量a ，b (a ≠0)共线⇔存在唯一实数λ，使b ＝λa . (2)向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (3)向量a 与b 共线⇔|a ·b |＝|a ||b |.(4)向量a 与b 共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0. 2．证明平面向量垂直问题的常用方法a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).平面向量的模、夹角(1)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.(2)已知c ＝m a ＋n b ，c ＝(－23，2)，a ⊥c ，b 与c 的夹角为2π3，b·c ＝－4，|a |＝22，求实数m ，n 的值及a 与b 的夹角θ. 【导学号：84352278】(1)32 [(1)因为向量a ，b 夹角为45°， 且|a |＝1，|2a －b |＝10， 所以4a 2＋b 2－4a·b ＝10，化为4＋|b |2－4|b |cos 45°＝10，化为|b |2－22|b |－6＝0，因为|b |≥0， 解得|b |＝3 2.(2)∵c ＝(－23，2)，∴|c |＝4.∵a ⊥c ，∴a·c ＝0. ∵b·c ＝|b ||c |cos 2π3＝|b |×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4，∴|b |＝2.∵c ＝m a ＋n b ，∴c 2＝m a·c ＋n b·c ， ∴16＝n ×(－4)，∴n ＝－4. 在c ＝m a ＋n b 两边同乘以a ， 得0＝8m －4a·b .① 在c ＝m a ＋n b 两边同乘以b ，得m a·b ＝12. ②由①②，得m ＝±6， ∴a·b ＝±26，∴cos θ＝±2622×2＝±32，∴θ＝π6或5π6.][规律方法] 1.解决向量模的问题常用的策略 (1)应用公式：|a |＝x 2＋y 2(其中a ＝(x ，y ))． (2)应用三角形或平行四边形法则．(3)应用向量不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. (4)研究模的平方|a ±b |2＝(a ±b )2. 2．求向量的夹角设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，两向量夹角θ(0≤θ≤π)的余弦cos θ＝a·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. [跟踪训练]3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°C [a·b ＝－10，则(c －b )·a ＝c·a －b·a ＝c·a ＋10＝152，所以c·a ＝－52，设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a·c |a |·|c |＝－525×5＝－12，又θ∈[0°，180°]，所以θ＝120°.]平面向量在平面几何和物理中的应用10 N ，则每根绳子的拉力大小是________．图2­4(2)如图2­5所示，在正方形ABCD 中，P 为对角线AC 上任一点，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，连接DP ，EF ，求证：DP ⊥EF . 【导学号：84352279】图2­5(1)10 N [因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10 N ．](2)证明：法一：(基向量法)设正方形ABCD 的边长为1，AE ＝a (0＜a ＜1)，则EP ＝AE ＝a ，PF ＝EB ＝1－a ，AP ＝2a ，∴DP →·EF →＝(DA →＋AP →)·(EP →＋PF →)＝DA →·EP →＋DA →·PF →＋AP →·EP →＋AP →·PF →＝1×a ×cos 180°＋1×(1－a )×cos 90°＋2a ×a ×cos 45°＋2a ×(1－a )×cos 45°＝－a ＋a 2＋a (1－a )＝0，∴DP →⊥EF →，即DP ⊥EF .法二：(坐标法)设正方形边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，x )，则D (0,1)，E (x,0)，F (1，x )，所以DP →＝(x ，x －1)，EF →＝(1－x ，x )， 由DP →·EF →＝x (1－x )＋x (x －1)＝0， 所以DP →⊥EF →，即DP ⊥EF .[规律方法] 平面向量两个方面的应用 (1)平面几何应用向量 几何问题共线向量 点共线问题、直线与直线平行数乘向量 求线段长度之比数量积线段的长度、直线与直线的夹角(2)[跟踪训练]4．已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心C [因为点O 到△ABC 的三个顶点距离相等， 所以点O 是△ABC 的外心．因为NA →＋NB →＋NC →＝0，所以NA →＋NB →＝－NC →， 设线段AB 的中点为M ，则2NM →＝－NC →.由此时可知N 为AB 边中线的三等分点(靠近中点M ) 所以N 是△ABC 的重心．因为PA →·PB →＝PB →·PC →，所以PB →·(PA →－PC →)＝0， 即PB →·CA →＝0，所以PB →⊥CA →.同理由PB →·PC →＝PC →·PA →可证PC →⊥AB →，所以P 是△ABC 的垂心．]。