高等数学函数基本公式
大学高等数学公式大全
大学高等数学公式大全第一部分：微积分基础一、导数1. 导数的定义：导数是一个函数在某一点上的瞬时变化率，表示为f'(x)或dy/dx。
2. 导数的运算法则：常数函数的导数为0。
幂函数的导数为指数乘以底数的指数减1，即d/dx(x^n) =nx^(n1)。
指数函数的导数为指数函数乘以指数，即d/dx(a^x) = a^xln(a)。
对数函数的导数为1除以x乘以底数的对数，即d/dx(ln(x)) =1/x。
三角函数的导数：d/dx(sin(x)) = cos(x)，d/dx(cos(x)) =sin(x)，d/dx(tan(x)) = sec^2(x)。
3. 高阶导数：函数的导数可以继续求导，得到高阶导数。
例如，f''(x)表示二阶导数。
二、积分1. 定积分的定义：定积分是一个函数在某个区间上的累积和，表示为∫[a,b]f(x)dx。
2. 积分的运算法则：常数函数的积分为其乘以区间长度，即∫[a,b]c dx = c(ba)。
幂函数的积分为其指数加1除以指数加1乘以区间长度，即∫[a,b]x^n dx = (b^(n+1)a^(n+1))/(n+1)。
指数函数的积分为其指数函数除以指数，即∫[a,b]a^x dx = (a^ba^a)/ln(a)。
对数函数的积分为其对数函数乘以区间长度，即∫[a,b]ln(x) dx = (xln(x)x)。
三角函数的积分：∫[a,b]sin(x) dx = cos(x) + C，∫[a,b]cos(x) dx = sin(x) + C，∫[a,b]tan(x) dx = ln|cos(x)| + C。
3. 积分的性质：积分与导数互为逆运算，即d/dx(∫f(x)dx) = f(x)。
积分区间可以改变顺序，即∫[a,b]f(x)dx = ∫[b,a]f(x)dx。
积分可以分解为多个区间上的积分，即∫[a,c]f(x)dx =∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx。
高等数学第一章公式
高等数学公式与定理（第六版上册）第一章 函数与极限第一节：初等函数幂函数：a x y =(是常数）R a ∈ 指数函数：x a y =（a >0且)1≠a对数函数：y=x a log (a>0且a ≠1，特别当a=e 时，记为y=lnx) 三角函数: 如y=x sin 等 反三角函数：如y=arctan x 等第二节：数列的极限收敛数列的性质：定理1 (极限的唯一性)如果数列{x n }收敛，那么它的极限唯一。
定理2 (收敛数列的有界性)如果数列{x n }收敛，那么数列{x n }一定有界。
定理3 (收敛数列的保号性)如果,lima x n n =∞→且a>0(或a<0),那么存在正整数N>0，当n>N 时，都有.n x >0(.n x <0)定理 4 (收敛数列与其子数列的关系)如果数列{.n x }收敛于a,那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a.第三节 函数的极限函数极限的性质定理1 (函数极限的唯一性) 如果)(limx f xx →存在，那么这极限唯一.定理2 （函数极限的局部有界性）如果)(limx f xx →=A 存在，那么存在常数M>0和δ>0,使得当0<{0x x - }<δ时，有)(x f M≤.定理 3 （函数极限的局部保号性）如果)(limx f xx →=A ，且A>0(或A<0),那么存在常数δ>0，使得δ<-<00x x 时，有0)(>x f （或0)(<x f ）定理3′ 如果)0()(lim 0≠=→A A x f xx ,那么就存在着n x 的某一去心邻域),(00x U 当)(00x U x ∈时，就有2)(0A x f >.推论 如果在0x 的某去心邻域内)0)x 0)(0≤≥（或（f x f ，而且A x f x x =→)(lim 0，那么）或（00≤≥A A定理4 （函数极限与数列极限的关系） 如果极限)(limx f xx →存在，{n x }为函数)(x f 的定义域内任一收敛于0x 的数列，且满足：)(*0N n x x n ∈≠,那么相应的函数数列)(n x f 必收敛，且).(lim )(lim 0x f x f x x n →∞→=第四节 无穷小与无穷大定理 1 在自变量的同义一变化过程0x x →)x (∞→或中，函数)(x f 具有极限A 的充分必要条件是,)(a A x f +=其中a是无穷小。
高数公式大全
高等数学公式汇总第一章一元函数的极限与连续1、一些初等函数公式：sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot ()()sh sh ch ch sh ch ch ch sh sh αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββααβαβαβαβαβαβ±=±±=±±=⋅⋅±=±±=±±=± 和差角公式：sin sin 2sincos 22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin 22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式：1sin cos [sin()sin()]21cos sin [sin()sin()]21cos cos )cos()]21sin sin )cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式：2222222222sin 22sin cos cos 22cos 112sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1cot 22cot 22212 21sh sh ch ch sh ch ch sh αααααααααααααααααααααα==-=-=-=--===+==-=+倍角公式：22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1sin2cos 21cos sin tan 2sin 1cos 1cos sin cot2sin 1cos x x x x ch x sh x αααααααααααααα+=+=+=-===-===++===-半角公式：::ln(2::ln(211::ln21x x x xx x x x e e shx arshx x e e chx archx x shx e e xthx arthx chx e e x -----==++==±+-+===+-双曲正弦双曲余弦；反双曲余弦双曲正切3322()()()a b a b a ab b ±=±+ ，222(1)(21)126n n n n +++++= 22333(1)124n n n ++++=2、极限常用极限：1,lim 0n n q q →∞<=;1,lim 1n a >=;lim 1n →∞=ln(1())limln(1())~()()lim[()()]1/()()0,(),lim[1()]f x f x f x g x f x g x g x f x g x f x ee ++±→→∞±=−−−−−−→若则 两个重要极限100sin sin 1lim 1,lim 0;lim(1)lim(1)x x x x x x x x e x x x x→→∞→∞→==+==+:常用等价无穷小2111cos ~; ~sin ~arcsin ~arctan ;1~;2 1~ln ; ~1;(1)~1; ln(1)~x x a x x x x x x na x a e x x ax x x--++++3、连续：定义：00lim 0;lim ()()x x x y f x f x ∆→→∆==00lim ()lim ()()()x x x x f x f x f x f x -+-+→→⇔==极限存在或第二章导数与微分1、基本导数公式：00000000()()()()()limlim lim tan x x x x f x x f x f x f x yf x x x x x α∆→∆→→+∆--∆'====∆∆-_0+0()()f x f x -+''⇔=导数存在1220; (); (sin )cos ; (cos )sin ; (tan )sec ; (co t )csc ;(sec )sec tan ; (csc )csc ; ()ln ;();11(log ); (ln ) (arcsin ) (arccos )ln a a x x x x a C x ax x x x x x x x x x x x x x ctgx a a a e e x x x x x a x -''''''======-''''=⋅=-⋅==''''====-222211(arctan ); (cot ); ();();1111(); () ())1x arc x shx hx chx shx x x thx arshx archx arthx ch x x ''''==-==++''''====-2、高阶导数：()()()()!()()!; ()ln ()()!n k n k n n x n x n x n xn x x x n a a a e e n k -=⇒==⇒=-()()()1111(1)!1(1)!1!(); (); ()()()n n n n n n n n n n n x x x a x a a x a x +++--===++-- ()()(sin )sin(); (cos )cos();22n n n n kx k kx n kx k kx n ππ=⋅+⋅=⋅+⋅()1()(1)1(1)!1(1)[ln()]()(1)()n n n n n n nn n a x x a x x x -----+=-⇒==-+ 牛顿-莱布尼兹公式：()()()0()(1)(2)()()()()(1)(1)(1)2!!nn k n k k n k n n n n k k n uv C u v n n n n n k u v nu v u v u v uv k -=---=---+'''=++++++∑ 3、微分：0()()(); =()();y f x x f x dy o x dy f x x f x dx ''∆=+∆-=+∆∆=⇒⇔⇒连续极限存在收敛有界;=⇔⇔⇒可微可导左导右导连续；⇒不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用1、基本定理()()()(),(,)()()(),(,)()()()F()f b f a f b a a b f b f a f a b F b F a F x x ξξξξξ'-=-∈'-=∈'-=拉格朗日中值定理：柯西中值定理：当时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
高等数学常用公式总结
(2) 在点 x0 的某去心邻域内,f'(x) 及 g'(x) 都存在且 g'(x) ≠ 0;
(3) lim f'(x) = A(A 可为实数,也可为 士ｏ 或ｏ), x→x0 g'(x)
则 lim f(x) = lim f'(x) = A. x→x0 g(x) x→x0 g'(x)
若将洛必达法则中 x →x0 换 →x0 → x0 →士 →ｏ,只要相应地修正(2)
y = f(x) 的反函数 也可记为 dy
x
=
9(y )
的导数为
9'(y )
=
1
f'(x)
8. 常用高阶导数公 式:
, =1.
dx dx dy
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模拟真题
.5 .
(1)(ex )(n) = ex;
(2)(sinx)(n) = sin(x ＋2 n . r );
(3)(cosx )(n)cos(x ＋n . r );
x→x0
x→x0
x→x0
(2) lim[f(x) .g(x)] = lim f(x) .lim g(x ) = A .B;
x→x0
x→x0
x→x0
(3)
当 x→Bx≠ 0 0
时 ,有 lim
f(x )
lim f(x)
=
=
A;
x→x0 g(x)
(4) lim f(g(x )) = f(B ). x → x0
1
dx;
(14)d(arccotx) = 一 1
1 ＋x2
dx. 1 ＋x2
15. 微分在近似计算中的应用
△y = f(x0 ＋ △x ) 一 f(x0 ) ≈ f'(x0 )△x ,
高数积分公式大全
高数积分公式大全高等数学中的积分是数学分析的重要内容之一，它是求函数面积、定积分、不定积分等的方法，被广泛应用于科学和工程领域。
下面是高等数学中常用的积分公式大全，供大家参考和学习。
一、基本积分公式：1. 常数函数积分公式：∫c dx = cx + C（其中c为常数，C为积分常数）2. 幂函数积分公式：∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C（其中n不等于-1，C 为积分常数）3. 指数函数积分公式：∫e^x dx = e^x + C4. 三角函数积分公式：∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C5. 乘方函数积分公式：∫(a^x) dx = (1/log(a)) * (a^x) + C（其中a为正数且不等于1，C为积分常数）6. 对数函数积分公式：∫(1/x) dx = ln|x| + C二、常用积分公式：1. 三角函数的复合积分：∫sin(ax) dx = - (1/a) * cos(ax) + C∫cos(ax) dx = (1/a) * sin(ax) + C2. 反三角函数的积分：∫1/(√(1-x^2)) dx = arcsin(x) + C∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C3. 指数函数的积分：∫e^(ax) dx = (1/a) * e^(ax) + C4. 对数函数的积分：∫(1/x) dx = ln|x| + C5. 分式函数的积分：∫(1/(x-a)) dx = ln|x-a| + C（其中a不等于0）∫(1/(x^2+a^2)) dx = (1/a) * arctan(x/a) + C（其中a不等于0）6. 三角函数的积分：∫sin^n(x) cos^m(x) dx7. 部分分式的积分：∫(p(x)/q(x)) dx8. 具体函数的特殊积分：∫e^x sin(x) dx∫e^x cos(x) dx∫(sin(x))^n (cos(x))^m dx（其中n和m为正整数）三、数列求和公式：1. 等差数列求和公式：S_n = (n/2)(a_1 + a_n)（其中S_n为前n项和，a_1为首项，a_n为末项）2. 等比数列求和公式：S_n = (a_1(1-q^n))/(1-q)（其中S_n为前n项和，a_1为首项，q为公比）以上是高等数学中一些常见的积分公式，通过掌握和灵活运用这些公式，可以帮助我们更好地解决数学中的问题。
(完整版)大学高数公式大全
a b c cos , 为锐角时，
4 / 12
高等数学公式
平面的方程：
1、点法式： A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0，其中 n { A, B, C}, M 0 (x0, y0 , z0 ) 2、一般方程： Ax By Cz D 0
3、截距世方程： x
y
z 1
abc
平面外任意一点到该平 面的距离： d
x ( x, y)d
D
, y M y
( x, y) d
M
D
y ( x, y)d
D
( x, y)d
D
平面薄片的转动惯量： 对于 x轴 I x
y2 ( x, y)d , 对于 y轴 I y
x 2 ( x, y)d
D
D
平面薄片（位于 xoy平面）对 z轴上质点 M (0,0, a), (a 0)的引力： F { Fx , Fy , Fz}，其中：
隐函数 F ( x, y) 0， dy dx
F F
x y
d2 ，
dx
y
2
( x
隐函数 F ( x, y, z) 0， z Fx ， z Fy
x Fz
y Fz
Fx )＋ (
Fy
y
Fx ) dy Fy dx
5 / 12
高等数学公式
F (x, y,u, v) 0
隐函数方程组：
J
( F ,G)
·半角公式：
sin 2
1 cos cos
2
2
1 cos 2
1 cos 1 cos
sin
1 cos 1 cos
sin
tg
ctg
2
高等数学公式必背大全
高等数学必背公式说明：这里有你想要的东西，高等数学必备公式一应俱全。
导数公式：a = sec" x (cfgx)f = -csc 2 x (secx)f = secx-^x (cscx/ = -cscx-ctgx {a x y = a x \na(arcsinx)'=〔——=vl-x 2 (arc COSY )"=1 x\na基本积分表：j tgxdx = -In |c osx| + C j ctgxdx = In |sin x| + C j secxdx = ln|secx ++ Cj c scxdx = In |cscx - ctg^ + C r dx1 x -I —一 =-arctg-+C J^r+对 aaf —2— = f sec 2 xdx = tgx+ C Jcos" x 」| ] *'、— = jcsc 2 xdx = -ctgx + C J secx ・ tgxclx = secx + C J c sex ・ ctgxdx = - c sex + Cjshxdx = chx + C f chxdx = shx + C72]I n = jsin ，xdx =jcos" xdx =-——on_______ _____________ 2 ______________ j* ylx 2 +a 2dx =扌 \/x 2 +a 2 + 牛ln(x + >Jx 2 +a~) + Cf y/x 2 -erdx =丄yjx 2 -a 2 J2 2-x 2+ —arcsin —+ C 2 a. 2u 1-M 2 Xsin x = ------- , cosx = -------- - , u =tQ —9\ + u 2 1 + M 2 2Per -；r= arcsin —+ C =ln(x + 土/ ) + C+ C- — In x + yjx 2 -a 2 +Cj* yja 1 -x 2dx = y 三角函数的有理式积分：1 + w2 a + x一些初等函数: 两个重要极限:双曲正弦皿r -X-x双曲余弦:C/2X =匚丄2双曲正切:〃X=—=chx e x +e ']・ sinxlim ------ = 1lim (1 + 丄)x=e = 2.718281828459045...xX->Xarshx = ln(x + V%2 +1)archx = ±\n(x + Jx? _])1 1 + xart hx = —In ----2 1 — x三角函数公式:•诱导公式：数角sin cos tg ctg-a -sina cosa -tga -ctga90°-a cosa sina ctga tga90°+a cosa -sina -ctga -tga180°-a sma -cosa -tga -ctga180°+a -sina ・ cosa tga ctga27O°-a -cosa -sina ctga tga27O°+a -cosa sma -ctga -tga360°-a -sina cosa -tga -ctga360°+a sma cosa tga ctga•和差化积公式：sin(a ±0) = sinacos0 土cosasin 0 sin a + sin 0 = 2sin a + ^cos—―— cos(tz±^)= cosacos/7 + sinasin 03土tg/3•和差角公式:恥±0匕珂"0 亦匕±0）仝曲50期2 2 sin a-sin 0 = 2cos Q "sin ―—2 2q c a + fl a_ 卩cosa + cosp = 2cos ---------- cos ------ —2 2 cosa-cos0 = 2sin ° + " sin ——2 2•倍角公式:•半角公式^叫宀+響宀+…W+…+S,中值定理与导数应用拉格朗日中值定理:f(b) - /(d) = f 《)0 - a)当F(x) = x 时，柯西中值定理就是立格朗日中值定理＜：曲率:sin la = 2sincrcosacos2a = 2cos 2 cr-1 = l-2sin 2 a = cos' a-sin' a ctg2a = ------------2ctga fg2a = 2弋sin 3a = 3sina-4sin 、a cos3a = 4cos a-3cosa1一3妙 a・a sin —= 2a U-cosa l-cosa sin a tg — = ± \ ----------------------- = ----------- = ----------- '2 V 1 + cosa sine? 1 + cosaa , /1 + cosaCOS — =±a ---------2 V 2a ll + cosa 1 + cosa sin er etg — = ±A i---------- = ------------ = ------------ 2 Vl-cosa sin a l-cosa^— = 2RsinC•余弦定理：c 2=«2 +b 2 - labeQsC•反三角函数性质：arcsinx = — -arc COST 2aretgx = —- arcctgx高阶导数公式一莱布尼兹(Leibniz)公式: 柯西中值定理:F(b)-F ⑷广⑷ 陀)-正弦定理:bsinB弧微分公式：ds = y ］\ + y ,2dx,其中y = Fga平均曲率斤彳予卜a:从M 点到M ，点，切线斜率的倾角变化量；As ： MM 弧长。
高数公式大全
高等数学公式汇总第一章 一元函数的极限与连续1、一些初等函数公式：sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot ()()sh sh ch ch sh ch ch ch sh sh αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββααβαβαβαβαβαβ±=±±=±±=⋅⋅±=±±=±±=±和差角公式：sin sin 2sincos22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式： 1sin cos [sin()sin()]21cos sin [sin()sin()]21cos cos [cos()cos()]21sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式：2222222222sin 22sin coscos 22cos 1 12sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1cot 22cot 22212 21sh sh ch ch sh ch ch sh αααααααααααααααααααααα==-=-=-=--===+==-=+倍角公式：22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1sin 2cos 21cos sin tan 2sin 1cos 1cos sin cot2sin 1cos x x x x ch x sh x αααααααααααααα+=+=+=-===-===++===-半角公式：::ln(2::ln(211::ln21x xx xx x x x e e shx arshx x e e chx archx x shx e e xthx arthx chx e e x-----==++==±+-+===+-双曲正弦；反双曲正弦双曲余弦；反双曲余弦双曲正切；反双曲正切3322()()()a b a b a ab b ±=±+，222(1)(21)126n n n n +++++=22333(1)124n n n ++++=2、极限➢常用极限：1,lim 0n n q q →∞<=;1n a >=;lim 1n =➢ ln(1())limln(1())~()()lim[()()]1/()()0,(),lim[1()]f x f x f x g x f x g x g x f x g x f x ee ++±→→∞±=−−−−−−→若则➢ 两个重要极限100sin sin 1lim 1,lim 0;lim(1)lim(1)x x x x x x x x e x x x x→→∞→∞→==+==+ ➢:常用等价无穷小2111cos ~; ~sin ~arcsin ~arctan 1~;2 1~ln ; ~1;(1)~1; ln(1)~x x a x x x x x x x n a x a e x x ax x x--++++3、连续：定义：000lim 0;lim ()() x x x y f x f x ∆→→∆==00lim ()lim ()()()x x x x f x f x f x f x -+-+→→⇔==极限存在或 第二章 导数与微分1、 基本导数公式：00000000()()()()()limlim lim tan x x x x f x x f x f x f x yf x x x x x α∆→∆→→+∆--∆'====∆∆-_0+0()()f x f x -+''⇔=导数存在1220; (); (sin )cos ; (cos )sin ; (tan )sec ; (cot )csc ;(sec )sec tan ; (csc )csc ; ()ln ;();11(log ); (ln ); (arcsin ) (arccos )ln a a x x x x a C x ax x x x x x x x x x x x x x ctgx a a a e e x x x x x a x -''''''======-''''=⋅=-⋅==''''====222211(arctan ); (cot ); ();();1111(); () ())1x arc x shx hx chx shx x x thx arshx archx arthx ch x x ''''==-==++''''====-2、高阶导数：()()()()!()()!; ()ln ()()!n k n k n n x n x n x n x n x x x n a a a e e n k -=⇒==⇒=-()()()1111(1)!1(1)!1!(); (); ()()()n n n n n n n n n n n x x x a x a a x a x +++--===++-- ()()(sin )sin(); (cos )cos();22n n n n kx k kx n kx k kx n ππ=⋅+⋅=⋅+⋅()1()(1)1(1)!1(1)[ln()]()(1)()n n n n n n nn n a x x a x x x-----+=-⇒==-+ 牛顿-莱布尼兹公式：()()()0()(1)(2)()()()()(1)(1)(1)2!!nn k n k k n k n n n n k k n uv C u v n n n n n k u v nu v u v u v uv k -=---=---+'''=++++++∑3、微分：0()()(); =()();y f x x f x dy o x dy f x x f x dx ''∆=+∆-=+∆∆=⇒⇔⇒连续极限存在收敛有界;=⇔⇔⇒可微可导左导右导连续；⇒不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用1、基本定理()()()(),(,)()()(),(,)()()()F()f b f a f b a a b f b f a f a b F b F a F x x ξξξξξ'-=-∈'-=∈'-=拉格朗日中值定理：柯西中值定理：当时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
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１. 基本初等函数求导公式
(1) 0)(='C (2) 1
)(-='μμμx x
(3) x x cos )(sin ='
(4) x x sin )(cos -='
(5)
x x 2
sec )(tan =' (6)
x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='
(8) x x x cot csc )(csc -='
(9)
a a a x
x ln )(=' (10) (e )e x
x '=
(11)
a x x a ln 1
)(log =
'
(12)
x x 1)(ln =
'，
(13)
211)(arcsin x x -=
' (14)
211)(arccos x x --
=' (15)
21(arctan )1x x '=
+
(16)
21(arccot )1x x '=-
+
函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则
（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）
（3） v u v u uv '+'=')(
（4） 2v v u v u v u '-'='
⎪⎭⎫ ⎝⎛
反函数求导法则
若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应
区间
x
I 内也可导，且
)(1)(y x f ϕ'=
' 或 dy dx dx dy 1=
复合函数求导法则
设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为
dy dy du dx du dx =
或()()y f u x ϕ'''=
２. 双曲函数与反双曲函数的导数.
双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．可以推出下表列出的公式：
三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则
从函数的微分表达式:
d ()d y f x x '=
可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘以自变量的微分．因此，可得如下的微分公式和微分运算法则． 1． 基本初等函数的微分公式
由基本初等函数的导数公式，可以直接写出基本初等函数的微分公式．为了便于对照，列表于下：
2．函数和、差、积、商的微分法则
由于函数和、差、积、商的求导法则，可推得相应的微分法则．为了便于对照，列成下表（表
中
)
(
),
(x
v
v
x
u
u=
=
都可导）．
现在我们仅证明乘积的微分法则.
3. 复合函数的微分法则（一阶微分形式的不变性）
一阶微分形式不变性：设f 是可微函数，)(u f y =，则无论u 是自变量，或是另一个变量
x 的可微函数，都同样有d ()d y f u u '=．
4． 例题
例3 )12sin(+=x y ，求 d y ．
例4
2
ln(1e )x
y =+，求d y ． 例5
13e cos x y x -=，求d y ．
例6 在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立．
(1)
()d d x x =; (2) (
)d cos d t t ω=.。