n元一次同余方程的解与自由模Z_m_n_

n 元一次同余方程的解与自由模 Z m
段 炼
3
( n)
( 新乡师范高等专科学校 数学系 ,河南 新乡 453000)
摘 要 : 在自由模的理论基础上 ,给出 n 元一次同余方程解的形式 ,解的个数定理和求解方法等结论 . 关键词 : 剩余类环 ;自由模 ;互素 ;同余方程的解 ;标准分解式 中图分类号 : O151 文献标识码 : A
T
η 即η “n 数组” ′= ( c1 , c2 , …, cn ) i ∈ M , i = 2 , 3 , …, n. 由于对于任 有 a1 c1 = - a2 c2 - … - a nc n , 从而取 k i = ( u i c 1 - ci ) v 可得
1
u2
-1
∈M
, i = 2 , 3 , …, n.
a1 ( a2 , a3 , …, an ) ( a′ ″ ′ ″ ′ 2 u 2 + a 3 u 3 + …+ a n u″ n) =
1 - a1 ( a2 , a3 , …, an ) + a1 ( a2 , a3 , …, an ) ・ 1 = 1
由 ( 4) 知 ( u′ ′ 1 , ( a2 , a3 , …, an ) ) = 1 , 由 ( 5) 知 p i | u 1 , i = 1 , 2 , …, l. 所以 p i 8 ( a2 , a2 , …, an ) , i = 1 , 2 , …, l. 所以
133
方程 ( 2) 的一个特解为ξ, 则 ( 2) 的任一解均可表示成 ξ+ k2η ηn k i ∈ Zm i = 2 , 3 , …, n. kn 2 + k 3η 3 + …
( a1 , a2 , …a n ) (δ - ξ ) = ( a1 , a2 , …, a n )δ - ( a1 , a2 , …a n )ξ = b - b = 0 ( 7)
p i 8 u1 = u′ 1 - ( a2 , a3 , …, an ) , i = 1 , 2 , …, l.
α α 又知此时 l = t , 故有 ( u1 , m) = ( u1 , P1 P 22 …P2L ) = 1 . α 1
当 l < t 时 , 取 u1 = u′ ′ ″ 1 - ( a2 , a3 , …, an ) Pl+1 …p t , u j = u j + a1 u j p l+1 …p t , j = 2 , 3 , …, n , 则
a1 u1 + a2 u2 + … + an u n = 1 ( 3) ( 4) ( 5)
证明 因为 a1 , a2 , …, an 互素可知存在 u′ i ∈ Z , i = 1 , 2 , …, n , 使得
a1 u′ ′ 1 + a2 u 2 + … + an u′ n = 1
若 ( u′ ′ 1 , m) = 1 , 即证 . 若 ( u 1 , m) = d ≠1 , 则可令
第 33 卷 第3期 2005 年 8 月
河南师范大学学报 ( 自然科学版)
J ournal of Henan N orm al U ni versit y ( N at ural S cience)
V ol . 33 N o. 3 A u g. 2005
文章编号 :1000 - 2367 ( 2005) 03 - 0131 - 03
3
收稿日期 :2004 - 10 - 15 作者简介 : 段 炼 ( 1949 - ) ,男 ,河南南阳人 ,新乡师范高等专科学校副教授 ,主要从事多边矩阵 、 同余理论等方面的研 究.
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河南师范大学学报 ( 自然科学版) 2005 年
α α α p k 8 u1 = u′ k = 1 , 2 , …, t. 故而 ( u1 , m) = ( u1 , P11 P22 …Pt t ) = 1 . 1 - ( a2 , a3 , …, an ) p l+1 …p t
a1 u1 + a2 u2 + … + an u n = a1 u′ ′ ′ 1 - a1 ( a2 , a3 , …, an ) p l+1 …p t + a2 u 2 + a3 u 3 + … + an u′ n + a1 ( a2 u″ ″ ′ ′ ′ 2 + a3 u 3 + … + an u″ n ) p l+1 …p t = a1 u 1 + a2 u 2 + a3 u 3 + … + an u′ n a1 ( a2 , a3 , …, an ) p l+1 …p t + a1 ( a2 , a3 , …, an ) ( a′ ″ ′ ″ ′ 2 u 2 + a 3 u 3 + …+ a n u″ n ) ・p l+1 …p t = a1 u′ ′ 1 + a2 u 2 + … + an u′ n = 1
i j
显然 ( a′ ′ ′ ″ ′ ″ ′ ″ ′ 2 ,a 3 , …, a n ) = 1 , 从而相应有 u i ∈ Z , i = 2 , 3 , …, n. 使得 a 2 u 2 + a 3 u 3 + …+ a n u″ n = 1 当 l = t 时 , 取 u1 = u′ ′ ″ 1 - ( a2 , a3 , …, an ) , u j = u j + a1 u j , j = 2 , 3 , …, n. 则
0
k2 k3 v = v
-1
1
u2 ( a1 c1 + a2 u2 c1 - … - a n u nc 1 ) u3 -
ηn = ( a2 k2 + … + a n k n ) k2η 2 + … + kn
u3
…
un
…
kn c1 c2 = c3
…
un
0
u2 c1 - c2
-1 = c1 u3 c1 - c3 ・v ・v
证明 由引理 1 可知 , 存在 u′ n. ( u′ g i , m) = 1 , 使得 a1 u′ ′ ′ 1 ∈ Z , i = 1 ,2 , … 1 + a2 u 2 + … + an u′ n ≡1 ( mod m) . 因 ( u 1 ,
m) = 1 , 所以存在 v ∈ Z , 使得 u′ ′ 1 v ≡1 ( mod m) , 取 u j = u 1 v , i = 1 , 2 , …, n , 则 u1 ≡1 ( mod m) 得到 a1 + a2 u2 + a3 u3 + … + an u n ≡ v ( mod m) .
对模 m 的 n 元一次同余方程的一般形式为
a1 x 1 + a2 x2 + … + an x n ≡ b ( mod m) ( 1) ( 2)
Baidu Nhomakorabea
其中 ai ≠0 ( mod m) , i = 1 , 2 , …, n. 而且 ( 1) 还可以表示成剩余类环 Zm 上的 n 元一次方程
a1 x 1 + a2 x2 + … + a n x n = b
β β β α α α d = P11 P22 …Pl l , m = P11 P22 …Pt t . ( 标准分解式)
其中 l Φ t ,β i Φα i , i = 1 , 2 , …, l , 并设 a j = ( a2 , a3 , …, an ) a , j = 2 , 3 , …, n.
取
a2 a2 u2 - v a3 a3 u2 ,η 3 = a3 u3 - v , …,η n = an an u 2 an u 3 , 则可验证 ( a1 , a2 , …, a n )η i = 2 , 3 , …, n. i = 0
η 2 =
a2 u3
…
a2 u n
…
a3 u n
…
an u n - v
( n) m
.
的一个子模 ,下证其为一
因为 ( a1 , a2 , …, an ) = 1 , 由引理 2 可知存在 u2 , u3 , …, un ∈ Z , 使得 a1 + a2 u2 + a3 u3 + … + an u n ≡ v ( mod m) , 其中 ( v ,
m) = 1 , 亦即在 Zm 上有 a 1 + a2 u2 + a3 u3 + … + a n u n ≡ v , 而且 v - 1 存在 .
1
u2 u3 -
0
u2 c1 - c2 u3 c1 - c3
η η =η ′ , 所以 η 2 , 3 , …, n 为 M 的一组生成元 .
…
u nc 1 - c n
…
un
…
u nc 1 - c n
…
cn
( n) ηn = O 此处 O ∈ Zm ,即 倘若存在 k i ∈ Zm , i = 2 , 3 , …, n. 使得 k2η 2 + k 3η 3 + … + kn
η η 定理 2 设 ai ∈ Z ( a2 , a3 , …, an ) = 1 , 若 Zm 上的一次方程 ( 6) 的解集 M 的一组基为η 2 , 3 , …, n , 同时与 ( 6) 对应的一次
( n) 第 3 期 段 炼 : n 元一次同余方程的解与自由模 Z m
引理 2 设 ai ∈ Z , ( a1 , a2 , a3 , …, an ) = 1 , 则对任 m ( > 0) ∈ Z 均存在 u j ∈ Z , j = 2 , 3 , …, n 和 v ∈ Z , ( v , m) = 1 使得
a1 + a2 u2 + a3 u3 + … + an u n ≡ v ( mod m) .
1
u2 ( a2 k2 + a3 k3 + … + a n k n ) u3 -
0
k2
…
un
…
kn
v = O , 所以 a2 k2 + a3 k3 + … + a n k n = O .
0
k2
0
k2 =O
所以 k3 v = O , 又 v - 1 存在 , 所以 k3 …
kn
…
kn
( n) η η 所以 η 2 , 3 , …, n 线性无关 , 构成 M 的一组基 . M 为 Z m 上一个秩为 n - 1 的 ( Zm ) 的自由 ( 子) 模 .
( 5) 知 由 ( 4) 、
( u′ ′ i = 1 , 2 , …, l. p 8 u′ 1 , ( a2 , a3 , …, an ) ) = 1 , p i | u 1 1 , j = l + 1 , …, t. 从而 Pi 8 ( a2 , a3 , …, an ) . i = 1 , 2 , …, l. 进而有
a1 x 2 + a2 x 2 + … + a n x n = 0 ( 6)
[ 1～2 ]
的解集合 M 做成 ( 对 “n 数组” 的加法和 “n 数组” 与 Zm 中元素的乘法) Zm 上的一个秩为 n - 1 的自由模 证明 显然 M ≠ , 易证明 M 对 “n 数组” 的加法和 Zm 中元素的乘法封闭及 M 构成自由模 Z 个自由模 .
考虑 Zm 上的一次方程 ( 2) , 我们将它的任一个解 x i = c i i = 1 , 2 , …, n , 表成一个 “n 组数” : ( c1 , c2 , …, cn ) T , 那么 ( 2) 所有 的解就构成了一个 “n 数组” 的集合 , 对此有 定理 1 设 ai ∈ Z , ( a1 , a2 , a3 , …, an ) = 1 , 则剩余类环 Zm 上的 n 元一次方程
a1 u1 + a2 u2 + … + an u n = a1 u′ ′ ″ ″ 1 - a1 ( a2 , a3 , …, an ) + a2 u 2 + … + an u′ n + a1 ( a2 u 2 + a3 u 3 + … + an u″ n) = a1 u′ ′ 1 + a2 u 2 + … + an u′ n - a1 ( a2 , a3 , …, a n ) +
其中 a i , b ∈ Zm , a i ≠0 , i = 1 , 2 , …, n. 有时以 ( 2) 代替 ( 1) 来研究是很方便的 . 为指明 ( 1) 的解的构造 , 先给出 引理 1 设 ai ∈ Z , i = 1 , 2 , …, n. ( a1 , a2 , …, an ) = 1 , 则对任 m ( > 0) ∈ Z , 均存在 ui ∈ Z , i = 1 , 2 , …, n. ( u1 , m) = 1 , 使得