21应力应变及弹性形变
材料力学中的应力与应变关系
材料力学中的应力与应变关系材料力学是研究材料在受力作用下的力学行为和性能的学科，应力与应变关系是其中的核心内容之一。
本文将讨论材料力学中的应力与应变的概念及其数学表示，以及应力与应变之间的线性关系与非线性关系。
一、应力的概念及表示应力是指材料单位面积上的内部力，常用符号σ表示。
根据受力情况的不同，可以分为正应力、切应力和体积应力。
正应力是指与作用力方向垂直的内部力，常用符号σ表示；切应力是指与作用力方向平行的内部力，常用符号τ表示；体积应力是指作用在体积内的内部力，常用符号p表示。
正应力的数学表示为σ = F/A，其中F为作用力的大小，A为受力面积。
切应力的数学表示为τ = F/A，其中F为切力的大小，A为受力面积。
体积应力的数学表示为p = F/V，其中F为体积力的大小，V为受力体积。
二、应变的概念及表示应变是指材料在受力作用下产生的形变程度，常用符号ε表示。
根据变形方式的不同，可以分为线性应变和体积应变。
线性应变是指在受力作用下，材料产生的长度或角度发生变化，常用符号ε表示；体积应变是指在受力作用下，材料产生的体积发生变化，常用符号η表示。
线性应变的数学表示为ε = ΔL/L0，其中ΔL为长度变化量，L0为原始长度。
体积应变的数学表示为η = ΔV/V0，其中ΔV为体积变化量，V0为原始体积。
三、应力与应变的线性关系在一定范围内，应力与应变之间可以表现为线性关系。
根据胡克定律（Hooke's Law），线性弹性材料的应力与应变之间满足σ = Eε，其中E为弹性模量。
弹性模量是材料刚度的度量，表示材料单位应力产生的单位应变。
常见的弹性模量有杨氏模量、剪切模量和泊松比。
杨氏模量的数学表示为E = σ/ε，其中σ为应力，ε为线性应变。
剪切模量的数学表示为G = τ/γ，其中τ为切应力，γ为切应变。
泊松比的数学表示为ν = -εv/εh，其中εv为垂直方向的线性应变，εh为水平方向的线性应变。
应力、应变及弹性形变
第二讲
2019年10月13日
第一章 无机材料的受力形变
内容简介：介绍了无机材料的四种形变： 弹性形变、塑性形变、高温 蠕变和粘性形变及其理论描 述、 产生的原因和影响因素。
要 求：从微观的角度来理解宏观性能、 掌握解决问题的关键
受力形变
外力内力
内力－变形引起的物体内部附加力
作用力与位移呈线性变化，后逐渐偏离，
达到r时，合力最大，此后又减小。合力
r
有一最大值，该值相当于材料断裂时的作
用力。
＋
断裂时的相对位移：r－ro=
r
把合力与相对位移的关系看作线性关系， 则弹性常数：
－
Um
K F/=tg
结论：K是在作用力曲线r=ro时的斜率，因此K的大小 反映了原子间的作用力曲线在r=ro处斜率的大小.
E0是气孔率为零时的E值，p为气孔率,b为
与陶瓷制备工艺有关的常数 ,常数f1、f2取
决于气孔的形状和取向。
一些无机材料弹性模量的数值
材料
E(Gpa)
材料
E(Gpa)ห้องสมุดไป่ตู้
氧化铝晶体
380
烧结氧化铝（P=5 % ） 366
高铝瓷（P=90－95 % ） 366
烧结氧化铍（ P=5 % ） 310
热压BN（ P=5 % ） 83
F1
F3
F1
F3
F2
Fn
假想截面
F2
分布内力
Fn
受力与变形特点
内力与变形有关
F
小单元
F
F FN（内力）=F
受力与变形特点
内力与变形有关
M0
M0
M0
M＝ M0
材料的弹性变形
47
1.2.2 广义胡克定律（各向异性体）
❖各向异性材料的各个方向的弹性模量都不相同； ❖当各向异性材料同时受到三向应力作用时，各个方向的形
C B A
D K
O
29
三、应力与应变曲线
C
B A
D K
➢ A（A点）：比例极限；E（B点）：弹性极限；P（C点 ）：屈服极限；U（D点）：断裂极限。
➢ 应力E，可逆线性正比例关系，当应力在E和P之间， 外力去除后有一定程度的永久变形，即发生塑性变形。
➢ 陶瓷材料一般没有塑性变形，发生脆性断裂。
力不能是任意的，内力与变形有关，必须满足 平衡条件。
12
3.工程构件受力模型 拉伸
压缩
13
3.工程构件受力模型 剪切
14
3.工程构件受力模型
扭转
15
3.工程构件受力模型 弯曲
16
3.工程构件受力模型 弯曲
17
3.工程构件受力模型 组合受力
18
4.强度、刚度和稳定性问题
强度—不因发生断裂或塑性变形而失效； 刚度—不因发生过大的弹性变形而失效； 稳定性—不因发生因平衡形式的突然转变而失效。
材料物理性能
第一部分：材料的力学性能
1
高温蠕变
2
第一章：材料的弹性变形
主要内容：
一.应力和应变； 二.胡克定律； 三.弹性模量； 四.滞弹性。
要求：
从微观的角度来理解宏观性能、掌握解决问题的 关键。
3
1. 基本概念
变形：材料在受到外力作用时产生的形状和体积 的变化；
弹性体的应力与应变
弹性体的应力与应变弹性体是一种在受力作用下可以发生形变，但当受力停止时，能够恢复原来形状和大小的材料。
了解弹性体的应力与应变关系对于工程设计和材料科学具有重要意义。
在本文中，我们将探讨弹性体的应力与应变之间的关系，分析材料的弹性性质以及应力与应变的计算方法。
1. 应力的概念与计算方法应力是指单位面积上作用的力，合理地计算应力是分析弹性体性质的关键。
在计算应力时，常用到两种基本的力学概念：张力和压力。
张力是指沿一维方向的受力情况，通常用F表示，单位为牛顿。
而压力是指在一个平面上均匀分布的力，用P表示，单位是帕斯卡。
应力的计算公式如下：应力 = 受力 / 横截面积2. 应变的概念与计算方法应变是指材料在受力作用下发生的形变，一般用ΔL / L表示。
其中，ΔL是材料长度的变化量，L是材料的初始长度。
应变可以分为线性弹性应变和非线性应变。
线性弹性应变是指材料在受力作用下，形变与受力成正比的状态。
计算线性弹性应变的方法如下：应变 = 形变 / 初始长度而非线性应变则需要更复杂的计算方法来进行分析，涉及到材料的本构关系等。
3. 应力与应变的关系应力与应变之间存在一定的关系，即应力-应变曲线。
弹性体的应力-应变曲线通常可以分为三个阶段：弹性阶段、屈服点和塑性阶段。
在弹性阶段，材料受力时会产生应变，但当受力停止时，材料会完全恢复到原来的状态。
这是因为材料内部的原子或分子只发生了相对位移，而没有发生永久性的结构变化。
当应力超过材料的屈服点时，就进入了屈服点阶段。
在这个阶段中，材料开始发生塑性变形，不再能够完全恢复到原来的状态，具有一定的永久性形变。
塑性阶段是材料的应力与应变不再成正比，继续增加应力会导致更大的应变。
这是由于材料的内部结构发生了永久性的改变，无法恢复原状。
4. 弹性模量和刚度弹性模量是描述材料抵抗形变的能力，可以用来评估材料的刚度。
弹性模量越大，表示材料越难发生形变，具有较高的刚度。
常用的弹性模量有三种：杨氏模量、剪切模量和体积模量。
应力应变公式
应力应变公式应力应变公式是描述物体受力后产生形变的数学关系，它是工程力学中的重要概念。
在本文中，我将详细介绍应力应变公式及其在工程实践中的应用。
应力应变公式可以用来描述物体在受到外力作用下的形变情况。
在弹性力学中，应力是指物体受到的单位面积上的力，通常用σ表示。
应变是物体在受到应力作用后发生的形变，通常用ε表示。
应力应变公式则描述了应力和应变之间的关系。
应力应变公式可以表示为σ = Eε，其中E为材料的弹性模量。
这个公式告诉我们，在给定的弹性模量下，应力和应变成正比。
当一个物体受到力的作用时，它会发生形变，形变的大小与受力的大小成正比。
而弹性模量则是材料特性的一个重要参数，它描述了材料在受力后恢复原状的能力。
应力应变公式在工程实践中有广泛的应用。
首先，它可以用来计算材料的应变。
通过测量物体在受力后的形变，可以根据应力应变公式计算出材料的应变。
这对于材料的设计和性能评估非常重要。
其次，应力应变公式可以用来计算材料的应力。
通过测量物体受力后的变形情况，可以根据应力应变公式计算出材料所受的应力，从而判断材料在不同条件下的强度和稳定性。
此外，应力应变公式还可以用来分析材料的变形和破坏机制，为工程师提供设计和改进材料的依据。
然而，需要注意的是，应力应变公式只适用于弹性变形情况。
当材料受到超过其弹性极限的应力时，会发生塑性变形或破坏，此时应力应变关系不再成立。
此外，不同材料的弹性模量不同，因此应力应变公式只适用于特定材料，并且在不同材料之间不能直接比较。
在实际应用中，工程师需要根据具体情况选择合适的材料和适当的应力应变公式。
不同材料的弹性模量和应力应变特性有所差异，因此需要针对具体材料进行实验测量和分析。
此外，应力应变公式只适用于弹性变形情况，对于塑性变形和破坏机制的分析需要使用其他方法和理论。
应力应变公式是工程力学中的重要工具，它描述了物体受力后的形变情况。
通过应力应变公式，工程师可以计算材料的应变和应力，评估材料的性能和稳定性，并为材料的设计和改进提供依据。
我所认识的应力与应变的关系
我所认识的应力与应变的关系我所认识的本构关系可以从三个不同的受力条件下进行分析，第一是在弹性变形下的应力与应变的关系，第二是在屈服条件下的应力与应变的关系，第三是在塑性条件下的应力与应变的关系，而对应力与应变的关系的研究也可以归结为对本构关系的研究。
首先，弹塑性力学分别从静力学和几何学的角度出发，导出了平衡方程的和几何方程，这些方程均与物体的材料性质（物理性质）无关，因而适用于任何连续介质。
但仅仅依靠平衡方程和几何方程来解决实际中的工程问题是不够的。
由于平衡方程仅建立了力学参数（应力分量与外力分量）之间的联系，而几何方程也仅建立了运动学参数（位移分量与应变分量）之间的关系，所以平衡方程与几何方程式两类完全相互独立的方程，他们之间还缺乏必要的联系。
对于所求解的问题来讲，因为您未知量的数目多于任何一类方程的个数，所以无法利用这两类方程求的全部未知量。
平衡方程：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂222222000t w Z z y x t v Y z y x t u X z y x z zy zx yz y yx xz xy x ρσττρτστρττσ （1） 几何方程：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=x w z u z w z v y w y v y u x v x u zx z yz y xy x γεγεγε （2） 为了求解具体的力学问题，还必须引进一些关系式，这些关系式即所谓的本构关系。
本构关系反映可变形体材料的固有特此那个，故也称为物理关系，它实际上是一组联系力学参数和运动学参数的方程式，即所谓的本构方程。
本构方程实际上就是一组反映可变形体材料应力和应变之间关系的方程。
在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系极其简单。
这就是在材料力学中寻出的如下形式的胡克定律：x x E εσ= （3）胡克定律是一个实验定律，在式（1.1）中的E 是材料性质有关的弹性常数，称为弹性模量和杨氏模量。
应力应变关系
应力应变关系我所认识的应力应变关系一在前面两章的分别学习了关于应力与应变的学习，第三章的本构关系讲述了应力与应变的关系从而构成了弹塑性力学的本构关系。
在单向应力状态下，理想的弹塑性材料的应力应变关系及其简单满足胡克定律即,E ,,XX在三维应力状态下需要9个分量，即应力应变需要9个分量，于是可以把单向应力应变关系推广到三维应力状态，及推广到广义的胡克定律本式应该是91个应变分量单由于切应力互等定理，此时后面的三个应力与式中的切应力想等即现在剩余36个应变分量。
(1)具有一个弹性对称面的线弹性体的应力应变公式如下(2)正交各向异性弹性体的弹塑性体公式如下(3)各向同性弹性体的本构方程各向同性弹性体在弹性状态下，主应力方向与主应变方向重合容易证明。
在主应变空间里，由于应变主轴与应力主轴重合，各向同性弹性体体内任意一点的应力和应变之间满足:,,,,,，，CCCxxyz111213,,,,,，，CCCyxyz212223,,,,,，，CCCzxyz313233 (2-3),,,,,,yyxzxz对的影响与对以及对的影响是相同的，即有,CCC==,CC=CC=,y112233x12132123z;和对的影响相同，即，同理有和CC=3132等，则可统一写为:CCCa==,112233CCCCCCb=====,122113312332 (2-4)所以在主应变空间里，各向同性弹性体独立的弹性常数只有2个。
在任意的坐标系中，同样可以证明弹性体独立的弹性参数只有2个。
广义胡可定律如下式,,xy1,,,,,,,,,,，[()]xy,xxyz,2GE,,,,1,yz, ,,，[()],,,,,,,,yzyyxz2GE,,,1,zx,,,,，[()]zx,,,,,,,zzxy,2GE,,EGv泊松比剪切模量 E:弹性模量/杨氏模量 ,2(1),，,,,E虎克定律 ,G,,对于应变能函数理解有点浅在此就不多做介绍了。
2 屈服条件拉伸与压缩时的应力——应变关系曲线P,,A0,ll0,,lBC:屈服阶段,,CD:强化阶段塑性阶段,,DE:局部变形阶段,弹性变形时应力应变关系的特点1.应力与应变完全成线性关系;即应力主轴与全量应变主轴重合2.弹性变形是可逆的，与应变历史(加载过程)无关，即某瞬时的物体形状、尺寸只与该瞬时的外载有关，而与该瞬时之前各瞬间的载荷情况无关。
弹性体的应力和应变
弹性体的应力和应变应力和应变是弹性体力学中重要的概念。
弹性体是指在受力作用下能够发生形变，但在去除力后能够恢复原状的物质。
应力是表示物体内部各点在力作用下的应对程度的物理量，而应变则是表示物体形变程度的物理量。
在本文中，我们将探讨弹性体的应力和应变之间的关系，以及弹性体在不同应力条件下的行为。
首先，我们来介绍应力的概念。
应力是由于外部力作用于物体而引起的内部应力，即单位面积上作用的力。
通常情况下，应力可以分为三种类型：拉应力、压应力和剪应力。
拉应力是指沿物体的长度方向作用的力，压应力则是指作用于物体表面的垂直方向力，而剪应力则是作用于物体表面的平行于其平面的力。
这些应力可以通过数学计算来求得。
对于拉伸或压缩情况下的应力，一般可以通过应力=外力/截面积来计算。
而对于剪切情况下的应力，则可以通过应力=外力/接触面积来计算。
接着，我们来谈谈应变的概念。
应变是指物体由于受到外力作用而产生的形变程度。
同样，应变也可以分为三种类型：线性应变、体积应变和剪切应变。
线性应变是指物体沿作用力方向的长度变化与未受力前的原始长度之比，体积应变则是物体单位体积的变化量与未受力前的原始体积之比，剪切应变是物体平行于受力平面上的平面与未受力前的原始平面之间的夹角变化。
这些应变可以通过数学计算来求得。
通常情况下，线性应变可以通过应变=位移/原始长度来计算，体积应变可以通过应变=体积变化/原始体积来计算，而剪切应变可以通过应变=变形角度/90度来计算。
在了解了应力和应变的概念后，我们可以进一步讨论弹性体在不同应力条件下的行为。
根据背景和材料性质的不同，弹性体在应力作用下会出现不同的应变情况。
当应力作用于弹性体时，弹性体会发生形变，但在去除应力后，弹性体又会恢复到原来的形状。
这种恢复力就是弹性体的回弹力，是由于弹性体内部的分子结构和键的特性所决定的。
此外，弹性体还有一个重要的性质，即背应力。
背应力是指在弹性体内部的不同位置上，由于力的传递产生的相对应力差。
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同时受三个方向的正应力，在x, y, z方向 的应变为： xx= xx/Ex+S12 yy +S13 zz yy= yy/Ey+S21 yy +S23 zz zz= zz/Ez+S31 yy +S32 zz
正应力对剪应变有影响，剪应力对正应变也有影响，通 式为：
xx= S11xx+S12 yy +S13 zz+S14 yz+S15zx+S16xy
2.1 应力、应变及弹性形变
2.1.1 基本概念 1. 正应力和正应变 正应变 ：单位长度的伸长。 （L－Lo)/Lo=（名义应变）
Lo
So
S
L
真实应变= L dL/L=ln(L/Lo) Lo
1
伸长
正应力 ：作用于单位面积 上的力。P/So=（公称应力 或名义应力）
P
真实应力=P/S
2. 剪切应力和剪切应变
2. 应变
(u/y)dy y (v/y)dy B B
dy
yx
C
C
A 0 dx
xy
(v/x)dx x
A
(u/x)dx XY面上的剪应变
已知：O点沿x,y,z方向的位移分量分别为u,v,w
（1）正应变 应变为：u/x ，
用偏微分表示 ： u/ x 在O点 处沿x方向的正应变 是： xx = u/x 同理： yy= v/y
U A L E F B A D
P
B C
负荷作用在面积为S的ABCD面上，
剪切应力：=P/S; 剪切应变：=U/L=tg.
正应力引起材料的伸长或缩短，剪应力引起材料的 畸变，并使材料发生转动。
2.1.2 任意的力在任意方向上作用于物体 1. 应力 围绕材料内部一点P， 取一体积单元
(2) 各向异性 作用力对不同方向正应变的影响
各种弹性常数随方向而不同，
即： Ex Ey Ez , xy yz zx 在单向受力x时，在y, z方向的应变为： yy =－ yx x= －yx x/Ex=（ －yx /Ex ） x =S21 x zz =－ zx x= －zx x/Ex=S31 x S21, S31为弹性柔顺系数。1, 2,3分别表示x,y,z
z
zz
zx xz xyyx zy
yz
yy ySຫໍສະໝຸດ xxx应力分量
说明：
下脚标的意义：
每个面上有一个法向应力和两个剪应力，应力分量下标：
第一个字母表示应力作用面的法线方向；
第二个字母表示应力的作用方向。
方向的规定
正应力的正负号规定：拉应力（张应力）为正，压应力 为负。 剪应力的正负号规定：
yy= S22yy+S21 xx +S23 zzS24 yz +S25zx+S26 xy
zz= S33zz+S31 yy +S32 zzS34 yz +S35 zx+S36 xy
yz= S41xx+S42 yy +S43 zz+S44 yz +S45zx+S46 xy
正剪应力 负剪应力
体积元上任意面上的法向应力与坐标轴的正方向相 同，则该面上的剪应力指向坐标轴的正方向者为正；
如果该面上的法向应力指向坐标轴的负方向，则剪 应力指向坐标轴的正方向者为负。
应力间存在以下关系：
根据平衡条件，体积元上相对的两个平行平面上的 法向应力大小相等，方向相反； 剪应力作用在物体上的总力矩等于零。 结论：一点的应力状态有六个分量决定 应力 T1 张量 xx T2 yy T3 zz T4 yz T5 zx T6 xy
模量， 对各向同性体，弹性模量为一常数。
x 应力与应变之间为线性关系，E------弹性
z
当长方体伸长时，横向收缩： y=－c/c
z= － b/b
横向变形系数（泊松比）：=| y / x| =| z / x |
则
y =－ x= － x/E
z= － x/E
如果长方体在x y z的正应力作用下，虎克定律表 示为： x=x/E－ y/E － z/E= [x－ （y＋ z ）] /E y=y/E－ x/E － y/E= [y－ （x＋ z ）] /E z=z/E－ x/E － y/E= [z－ （x＋ y ）] /E
zx=S51xx+S52 yy +S53 zz+S54 yz +S55zx+S56 xy
xy=S61xx+S62 yy +S63 zz+S64 yz +S65zx+S66 xy
线段OA及OB之间的夹角变化 OA与OA间的夹角 =(v/x)dx/dx= v/x
OB与OB间的夹角= (u/y)dy/dy=u/y
线段OA及OB之间的夹角减少了v/x +u/y，
xz平面的剪应变为:
xy= v/x +u/y （xy与yx)
同理可以得出其他两个剪切应变：
yz= v/z+w/y
zx= w/x +u/z 结论： 一点的应变状态可以用六个应变分量来决定，即 三个剪应变分量及三个正应变分量。
2.1.3 弹性形变 1. 广义虎克定律（应力与应变的关系）
（1）各向同性体的虎克定律
x L L x b c c
y
b 长方体在轴向的相对伸长为：x=x/E
x
u O A
u O´ A´
x
zz= w/z.
（2）剪切应变
A点在x方向的位移是：u+(u/x)dx， OA的长 度增加(u/x)dx.
O点在 y方向的应变： v/x, A点在y方向的位 移v +(v/x)dx, A点在y方向相对O点的位移为： (v/x)dx, 同理：B点在x方向相对O点的位移为： (u/y)dy
对于剪切应变，则有如下虎克定律：
xy=xy/G
yz=yz/G
zx=zx/G G ------剪切模量或刚性模量。 G, E, 参数的关系： G=E/2(1+) 如果 x = y = z ，材料的体积模量K------各向同等 的压力与其引起的体积变化率之比。 K=－p/(V/V)=E/[3(1－2 )]