弹性体的应力和应变
弹性体的应变与应力特性
弹性体的应变与应力特性弹性体是一种特殊的材料，具有独特的应变和应力特性。
在应用中，了解弹性体的应变和应力特性对于设计和制造具有弹性特性的产品至关重要。
首先，了解什么是应变。
应变是弹性体在受力作用下发生的形变量。
它通常以变形体积与初始体积之比来表示。
当施加外力时，弹性体内的分子或原子之间的相对位置会发生变化，从而引起材料的形变。
应变是弹性体发生的可逆性变形，即当外力消失时，弹性体会恢复到原始形态。
而应力则是弹性体内部由于外界施加力而产生的内部力。
应力和力的大小成正比，与受力点附近的弹性体横截面积成反比。
应力可以分为拉伸应力、压缩应力和剪切应力等。
在材料的应变-应力曲线中，通常可以观察到不同阶段的特征。
首先是线性弹性阶段，这个阶段的特点是应变与应力成正比。
当外力移除时，弹性体会回到原始状态，没有留下永久变形。
接着是屈服点之后的塑性变形阶段。
在这个阶段，应变增加，但材料没有完全失去可逆性。
当外力移除后，材料会部分恢复，但仍然存在永久塑性变形。
最后是断裂阶段，材料无法恢复原状，会发生破裂。
这时，应变和应力之间的关系失去线性关系，也就是材料的断裂点。
弹性体的应变和应力特性对于产品设计和材料选择至关重要。
学习和预测这些特性可以帮助工程师选择恰当的材料，并了解产品在受力时的行为。
例如，汽车制造业中常用的悬挂系统。
这些悬挂系统需要具有弹性特性，以吸收和缓解车辆在不平路面上的震动和冲击。
由于弹性体的应变和应力特性，悬挂系统可以使车辆在行驶过程中保持稳定性和驾驶舒适度。
另一个例子是运动鞋的制造。
在设计运动鞋的缓震系统时，工程师必须考虑弹性体的应变和应力特性。
优秀的缓震系统可以缓解由于跑步等运动产生的震动和冲击，为运动员提供更加舒适和安全的体验。
除了产品设计，了解弹性体的应变和应力特性还有助于研究材料的性能和改进材料的制造工艺。
利用工程分析和模拟方法，可以精确地预测弹性体在不同受力情况下的行为，进而优化产品的设计和生产过程。
弹性力学课后习题及答案
弹性力学课后习题及答案弹性力学课后习题及答案弹性力学是力学的一个重要分支，研究物体在受力作用下的形变和应力分布规律。
在学习弹性力学的过程中，课后习题是巩固所学知识、提高解题能力的重要环节。
本文将为大家提供一些常见的弹性力学课后习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、弹性体的应力与应变1. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下产生了长度为ΔL的形变。
求该弹性体的应变。
答案：根据胡克定律，应变ε等于形变ΔL与原始长度L的比值，即ε = ΔL / L。
2. 一个弹性体的应变为ε，如果该弹性体的截面积为A，求该弹性体在受力F作用下的应力。
答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。
二、弹性体的应力分布1. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下，其应力沿着截面的分布是否均匀？答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。
由此可知，应力与截面积成反比，即截面积越大，应力越小；截面积越小，应力越大。
因此，弹性体受力作用下的应力分布是不均匀的。
2. 一个长为L，截面为A的弹性体，在受力F作用下，其应力是否与截面的形状有关？答案：根据胡克定律，应力σ等于受力F与截面积A的比值，即σ = F / A。
由此可知，应力与截面积成正比，即截面积越大，应力越小；截面积越小，应力越大。
因此，弹性体受力作用下的应力与截面的形状有关。
三、弹性体的弹性模量1. 一个弹性体的应力为σ，应变为ε，求该弹性体的弹性模量E。
答案：根据胡克定律，应力σ等于弹性模量E与应变ε的乘积，即σ = E * ε。
由此可得，弹性模量E等于应力σ与应变ε的比值，即E = σ / ε。
2. 一个弹性体的弹性模量为E，如果该弹性体的截面积为A，求该弹性体在受力F作用下的形变。
答案：根据胡克定律，形变ΔL等于弹性模量E与受力F的乘积再除以截面积A，即ΔL = (E * F) / A。
弹性体力学中的应变与应力关系
弹性体力学中的应变与应力关系弹性体力学是研究物体在力的作用下变形和恢复原状的力学分支学科，研究的对象主要是固体物质。
在弹性体力学中，应变与应力是两个重要的概念，它们描述了物体的变形和受力状态。
应变和应力之间的关系在弹性体力学中具有重要意义，它们可以通过材料力学模型来描述。
应变是物体在受力作用下发生形变的程度。
一般来说，我们可以将应变分为线性应变和非线性应变。
线性应变是指物体的形变与受力成正比。
例如，当我们拉伸一根弹簧时，弹簧的长度会发生变化，而这种形变与拉力之间是线性相关的。
用数学的语言来表达，线性应变可以用应变量ε表示，其与外力F之间存在着关系ε=ΔL/L，其中ΔL为物体长度的增量，L为物体的原始长度。
非线性应变则是指物体的形变与受力不成比例。
在高强度材料的情况下，非线性应变是不可忽视的。
非线性应变与材料的本构关系有关，常用的本构关系模型包括背应变率本构关系、黏弹性本构关系等。
这些模型可以更准确地描述材料的力学行为，使得我们能够更准确地计算应变。
与应变相对应的是应力。
应力可以看作是物体单位面积的受力情况。
一般来说，应力可以分为正应力和剪应力。
正应力是指垂直于物体内部某一面的力的作用情况。
例如，当我们用一把剪刀剪断一根木棍时，剪刀的受力情况可以被描述为正应力。
剪应力则是指平行于物体内部某一面的力的作用情况。
例如，当我们剪断一个绳索时，绳索的受力情况可以被描述为剪应力。
应变与应力之间的关系又可以通过应力-应变曲线来描述。
应力-应变曲线是弹性体力学研究中的一个重要工具，它可以体现材料的力学性质。
一般来说，应力-应变曲线可以分为弹性阶段、屈服阶段、塑性阶段和断裂阶段。
在弹性阶段，应力与应变成正比。
这个阶段的曲线是一个直线，斜率即为弹性模量，用来描述材料的刚度。
当应力超过一定值时，物体进入屈服阶段。
在屈服阶段，物体的应变不再与应力成正比，而是呈现出非线性关系。
此时物体会发生塑性变形，形成剩余应变。
当应力进一步增加时，物体可能发生断裂。
弹性体的应力与应变
弹性体的应力与应变弹性体是一种在受力作用下可以发生形变，但当受力停止时，能够恢复原来形状和大小的材料。
了解弹性体的应力与应变关系对于工程设计和材料科学具有重要意义。
在本文中，我们将探讨弹性体的应力与应变之间的关系，分析材料的弹性性质以及应力与应变的计算方法。
1. 应力的概念与计算方法应力是指单位面积上作用的力，合理地计算应力是分析弹性体性质的关键。
在计算应力时，常用到两种基本的力学概念：张力和压力。
张力是指沿一维方向的受力情况，通常用F表示，单位为牛顿。
而压力是指在一个平面上均匀分布的力，用P表示，单位是帕斯卡。
应力的计算公式如下：应力 = 受力 / 横截面积2. 应变的概念与计算方法应变是指材料在受力作用下发生的形变，一般用ΔL / L表示。
其中，ΔL是材料长度的变化量，L是材料的初始长度。
应变可以分为线性弹性应变和非线性应变。
线性弹性应变是指材料在受力作用下，形变与受力成正比的状态。
计算线性弹性应变的方法如下：应变 = 形变 / 初始长度而非线性应变则需要更复杂的计算方法来进行分析，涉及到材料的本构关系等。
3. 应力与应变的关系应力与应变之间存在一定的关系，即应力-应变曲线。
弹性体的应力-应变曲线通常可以分为三个阶段：弹性阶段、屈服点和塑性阶段。
在弹性阶段，材料受力时会产生应变，但当受力停止时，材料会完全恢复到原来的状态。
这是因为材料内部的原子或分子只发生了相对位移，而没有发生永久性的结构变化。
当应力超过材料的屈服点时，就进入了屈服点阶段。
在这个阶段中，材料开始发生塑性变形，不再能够完全恢复到原来的状态，具有一定的永久性形变。
塑性阶段是材料的应力与应变不再成正比，继续增加应力会导致更大的应变。
这是由于材料的内部结构发生了永久性的改变，无法恢复原状。
4. 弹性模量和刚度弹性模量是描述材料抵抗形变的能力，可以用来评估材料的刚度。
弹性模量越大，表示材料越难发生形变，具有较高的刚度。
常用的弹性模量有三种：杨氏模量、剪切模量和体积模量。
关于弹性体受力后某一方向的应力与应变关系
弹性力学中应力与应变为线性关系，应力与应变的比例常数E 被称为弹性系数或扬氏模量，不同的材料有其固定的扬氏模量。
虽然无法对应力进行直接的测量但是通过测量由外力影响产生的应变可以计算出应力的大小。
应力是应变的原因，应变是应力的结果。
应力概念解释：物体由于外因(受力、湿度、温度场变化等)而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并力图使物体从变形后的位置回复到变形前的位置。
在所考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力。
同截面垂直的称为正应力或法向应力，同截面相切的称为剪应力或切应力。
拓展资料
应力会随着外力的增加而增长，对于某一种材料，应力的增长是有限度的，超过这一限度，材料就要破坏。
对某种材
料来说，应力可能达到的这个限度称为该种材料的极限应力。
极限应力值要通过材料的力学试验来测定。
将测定的极限应力作适当降低，规定出材料能安全工作的应力最大值，这就是许用应力。
材料要想安全使用，在使用时其内的应力应低于它的极限应力，否则材料就会在使用时发生破坏。
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，通常“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始，因此，有必要区别并定义应力概念。
弹性力学中的应力与应变关系
弹性力学中的应力与应变关系弹性力学是力学的一个重要分支，研究物体在外力的作用下产生的形变与应力的关系。
在弹性力学理论中，应力与应变关系是最为核心的概念之一。
本文将探讨弹性力学中的应力与应变关系的基本原理，并从不同角度对其进行分析。
一、基本概念在弹性力学中，应力是描述物体内部单位面积受力情况的物理量。
它可以分为正应力和剪应力。
正应力表示物体在垂直于某一平面上的受力情况，剪应力表示物体在平行于某一平面上的受力情况。
应力的大小一般采用希腊字母σ表示。
应变是描述物体形变情况的物理量。
它可以分为线性应变和体积应变。
线性应变表示物体中某一方向上的长度相对变化，体积应变表示物体在各个方向上的体积变化。
应变的大小可以用希腊字母ε表示。
二、胡克定律胡克定律是描述弹性体材料中应力与应变关系最基本的定律。
其数学表达式为σ = Eε，即应力等于弹性模量与应变之积。
其中，弹性模量E是描述物体对应变的抵抗能力的物理量。
根据胡克定律，应力与应变之间的关系是线性的，即若应变增大，则应力也会相应增大。
胡克定律适用范围有限，对于非线性应力-应变关系的材料，需要采用其他力学模型进行描述。
例如，当外力作用超出一定范围时，弹性体会发生塑性变形，此时应力和应变之间的关系就无法再用胡克定律来描述。
三、材料力学模型由于胡克定律的局限性，研究者们提出了各种各样的材料力学模型来描述应力与应变之间的关系。
其中，最常用的有线性弹性模型、非线性弹性模型和本构模型。
线性弹性模型是胡克定律的拓展，它适用于应力与应变关系呈线性关系的情况。
在这种模型中，应力与应变之间的关系是单一的、唯一的。
当外力作用停止后，物体能够完全恢复到初始状态。
非线性弹性模型适用于应力与应变关系不再呈线性关系的情况。
它可以更好地描述材料的实际变形情况。
在这种模型中，应力与应变之间的关系可以是非线性的、曲线状的。
本构模型是一种综合考虑多种因素的力学模型，它可以更全面地描述材料的应力与应变关系。
弹性体的应力和应变
弹性体的应力和应变应力和应变是弹性体力学中重要的概念。
弹性体是指在受力作用下能够发生形变，但在去除力后能够恢复原状的物质。
应力是表示物体内部各点在力作用下的应对程度的物理量，而应变则是表示物体形变程度的物理量。
在本文中，我们将探讨弹性体的应力和应变之间的关系，以及弹性体在不同应力条件下的行为。
首先，我们来介绍应力的概念。
应力是由于外部力作用于物体而引起的内部应力，即单位面积上作用的力。
通常情况下，应力可以分为三种类型：拉应力、压应力和剪应力。
拉应力是指沿物体的长度方向作用的力，压应力则是指作用于物体表面的垂直方向力，而剪应力则是作用于物体表面的平行于其平面的力。
这些应力可以通过数学计算来求得。
对于拉伸或压缩情况下的应力，一般可以通过应力=外力/截面积来计算。
而对于剪切情况下的应力，则可以通过应力=外力/接触面积来计算。
接着，我们来谈谈应变的概念。
应变是指物体由于受到外力作用而产生的形变程度。
同样，应变也可以分为三种类型：线性应变、体积应变和剪切应变。
线性应变是指物体沿作用力方向的长度变化与未受力前的原始长度之比，体积应变则是物体单位体积的变化量与未受力前的原始体积之比，剪切应变是物体平行于受力平面上的平面与未受力前的原始平面之间的夹角变化。
这些应变可以通过数学计算来求得。
通常情况下，线性应变可以通过应变=位移/原始长度来计算，体积应变可以通过应变=体积变化/原始体积来计算，而剪切应变可以通过应变=变形角度/90度来计算。
在了解了应力和应变的概念后，我们可以进一步讨论弹性体在不同应力条件下的行为。
根据背景和材料性质的不同，弹性体在应力作用下会出现不同的应变情况。
当应力作用于弹性体时，弹性体会发生形变，但在去除应力后，弹性体又会恢复到原来的形状。
这种恢复力就是弹性体的回弹力，是由于弹性体内部的分子结构和键的特性所决定的。
此外，弹性体还有一个重要的性质，即背应力。
背应力是指在弹性体内部的不同位置上，由于力的传递产生的相对应力差。
弹性体的应力应变分析
弹性体的应力应变分析弹性体是指在受到外部力的作用下可以发生弹性形变并随着外力的消失而回复原状的物体。
弹性体的应力应变分析研究的是弹性体在受到外力作用下，应力和应变的变化规律，为弹性体结构设计和材料选择提供依据。
弹性体的应力弹性体受到外力作用后，内部会出现应力。
应力是指单位面积内的力，通常用σ表示。
弹性体的应力分为三种：张应力、剪应力和压应力。
张应力是指物体受到拉伸作用时，单位面积内的拉力大小。
例如，拉伸一条钢杆时，钢杆内部会出现张应力。
剪应力是指物体受到剪切作用时，单位面积内的切力大小。
例如，用剪刀剪断一张纸时，纸内部会出现剪应力。
压应力是指物体受到压缩作用时，单位面积内的压力大小。
例如，站在地上时，人体脚底就会受到地面的压力。
弹性体的应变当弹性体受到外力作用后，会产生应变。
应变是指物体形变的程度，通常用ε表示。
弹性体的应变分为三种：拉应变、剪应变和压应变。
拉应变是指物体在受到拉伸作用时，单位长度内的形变量。
例如，拉伸一条钢杆时，钢杆内部会出现拉应变。
剪应变是指物体在受到剪切作用时，单位长度内的形变量。
例如，用剪刀剪断一张纸时，纸内部会出现剪应变。
压应变是指物体在受到压缩作用时，单位长度内的形变量。
例如，站在地上时，人体脚底就会出现压应变。
弹性体的本构关系在弹性体应力应变分析中，需要确定弹性体的本构关系，即应力和应变的关系。
钢材、混凝土和木材等材料的本构关系通过试验方法得到，常用的本构关系有胡克定律、泊松比关系和超弹性本构关系。
胡克定律是最简单的弹性体本构关系，表示应力与应变成比例。
在弱应力下，大部分弹性体本构关系均可以近似用胡克定律描述。
泊松比关系描述了单位体积的物体在沿一个方向受到拉伸作用时，会在垂直于这个方向的平面内发生压缩的程度。
该关系常用于描述石材等非金属材料的弹性体本构关系。
超弹性本构关系是指超过胡克定律描述范围的材料本构关系。
在强应力下，一些弹性体本构关系不再遵循简单的线性关系，超弹性本构关系描述了应力与应变之间的复杂关系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
369第八章弹性体的应力和应变8.1.1 一钢杆的横截面积为425.010m -⨯，所受轴向外力如图所示，试计算A 、B ，B 、C 和C 、D 之间的应力.41F 610N =⨯， 42F 810N =⨯，43F 510N =⨯ ，44F 310N =⨯。
[解 答]建立坐标系O-x ，水平向右为正方向，作垂直于Ox 的假想截面123s ,s ,s 于AB 间E 处，BC 间G 处，CD 间H 处. 42123s s s 5.010m -===⨯以杆的全部为隔离体。
受力1234F ,F ,F ,F 杆所受合力1234F=F F F F +++∑X 轴上投影：1234F F F F 0-+-+= 合力为零，杆平衡。
在以杆的AE 部为隔离体，受力1F ，1s 面外侧对它的应力1σ 根据平衡方程8111F ˆ1.210n s σ=-=⨯ 由于1σ与X 轴同向，8211.210(N /m )σ∴=⨯为拉应力。
在以杆的AG 部为隔离体，经过同样分析可得：8220.410(N /m )σ∴=-⨯为压应力最后以杆的AH 部为隔离体，经过同样分析可得：8230.610(N /m )σ∴=⨯为拉应力。
8.1.2利用直径为0.02m 的钢杆CD 固定刚性杆AB.若CD 杆内的应力不得超过7max 1610Pa σ=⨯.问B 处至多能悬挂多大重量（不计杆自重）.[解 答]以杆AB 为隔离体。
受力F,T ，建立坐标系A xy,z -轴如图。
根据刚体平衡时M 0i =∑，在z轴方向投影方程为：1.6F 1.0T 0-=得到F=0.39T对CD ，因72max 1.610(N /m ),σ=⨯故2max max T r σπ=y1.0m0.6m370所以4max max F 0.39T 1.9610(N)==⨯8.1.3图中上半段为横截面等于-424.010m ⨯且杨氏模量为106.910Pa ⨯的铝制杆，下半段是横截面为421.010m -⨯且杨氏模量为1019.610Pa ⨯的钢杆，又知铝杆内允许最大应力为77.810Pa ⨯，钢杆内允许的最大应力为713.710Pa ⨯.不计杆的自重，求杆下端所能承担的最大负荷以及在此负荷下杆的总伸长量.[解 答]对于铅杆允许最大内力为4max1max11F s 3.1210(N)σ==⨯对于钢杆允许最大内力为4max 2max 22F s 1.3710(N)σ==⨯所以杆的最大承受能力是：41.3710(N)⨯根据胡克定律。
在力4F 1.3710(N)=⨯的作用下铅杆伸长量为111111111F FY s s Y ==故同理钢杆的伸长量为2222F s Y =所以总的伸长量312121122F F 2.8910(m)s Y s Y -=+=+=⨯ 8.1.4 电梯用不在一条直线上的三根钢索悬挂.电梯质量为500kg.最大负载极限5.5kN.每根钢索都能独立承担总负载，且其应力仅为允许应力的70%，若电梯向上的最大加速度为g/5,求钢索的直径为多少？将钢索看作圆柱体，且不计其自重，取钢的允许应力为86.010Pa ⨯.[解 答]以电梯和最大负载为物体系，受力1212W W (m m )g +=+ 由牛顿第二定律：121212g F (m m )g=(m m )56g F (m m )5-++=+371对某根钢索，根据题意82max 2maxmax6.010(N /m )dF ()2σπσ=⨯=max 2max 30.7F F F d()0.72d 6.1510(m)πσ-=∴===⨯8.1.5 (1)矩形横截面杆在轴向拉力作用下拉伸应变为ε.此材料的泊松系数为μ.求证杆体积的相对改变为V V (12).V εμ-=- 0V 表示原来体积，V 表示变形后的体积.（2）上式是否适用于压缩？（3）低碳钢杨氏模量为10Y 19.610Pa =⨯，泊松系数0.3μ=，受到的拉应力为1.37Pa σ=，求杆体积的相对改变.[解 答] （1）设杆长为0，横截面积的二边长为00a ,b 。
1εμε=，（1ε为横向应变，ε为长应变） 拉伸时ε〉0，1ε〈 0 故1εμε=-0010100000000v v (1)(1)a (1)b a b v a b εεε-+++-= 21222(1)(1)1(1)(12)1(2(12)εεεμεμεεεμεεμ=++-=++--=-=-展开略去项)（2）压缩时110,0,εεεμε<>=-仍有 所以上式对压缩时亦适用 （3）根据胡克定律Y σε= 所以Yσε=372故120V V (12) 2.810V Yσμ--=-=⨯ 8.1.6 （1）杆受轴向拉力F ，其横截面为S ，材料的重度（单位体积物质的重量）为γ，试证明考虑材料的重量时，横截面内的应力为F()Sx x σγ=+ （2）杆内应力如上式，实证明杆的总伸长量等于2F SY 2Yγ=+ [解 答]（1）建立坐标系o —x 如图，在x 处作垂直于ox 轴假想截面s,以x 0x=x =到的一段杆为隔离体，ˆF,W=-rsxi,受拉力重力s 面外侧内力 ()()ˆˆP snsi x x σσ== 由平衡方程 F W P 0++= ()F r s s 0x x σ--+=则 F()r sx x σ=+ （2）根据胡克定律:nF (x)Y,Y sσε==则(x)Yxσ=→d (x)dx Yσ=所以2(x)F r d dx Y sY 2Yσ==+⎰⎰（为杆长） 8.2.1 在剪切材料时，由于刀口不快，该钢板发生了切变。
钢板的横截面积为2S 90cm =。
二刀口间的垂直距离为d 0.5cm =。
当剪切力为5F 710N =⨯时，求 （1）钢板中的切应力，（2）钢板的切应变，（3）与刀口相齐的两个截面所发生的相对滑移。
已知钢的剪切模量10N 810Pa =⨯。
[解 答]（1） 2S 90cm =， 剪切力5F 710N =⨯。
根据切应力定义：373钢板中的切应力为 72F7.7810(N /m )sτ==⨯ （2）根据剪的胡克定律N τψ=钢板的切应变49.710(rad)Nτψ-==⨯（3）根据剪切应变的定义dψ=，则6d 4.910(m)ψ-==⨯8.3.1 一铝管直径为4cm ，壁厚1mm ，长10m ，一端固定，而另一端作用一力矩50N m ⋅，求铝管的扭转角θ。
对同样尺寸的钢管在计算一遍。
已知铝的剪切模量10N 2.6510Pa =⨯，钢的剪切模量为10N 8.010Pa =⨯[解 答]设管直径为D ，壁厚为d ，管长为，外力矩为M 。
根据切应力的定义，注意到D d 有： 切应力 2M 12MD /2Dd D dτππ=⋅= 根据剪切的胡克定律22MN N D d τψπ==则扭转角 344MD /2D dNθπ== （1）对于铝管取10N 2.6510=⨯得：34M0.376(rad)D dNθπ==（2）对于钢管取10N 810=⨯得：34M0.124(rad)D dNθπ== 8.3.2 矩形横截面长宽比为2:3的梁，在力偶矩作用下发生纯弯曲。
各以横截面的长和宽作为梁的高度，求同样力偶矩作用下曲率半径之比。
[解 答]设梁横截面长为0a 2d,=宽0b 3d =。
根据公式3112M k=R Ybh= 有 31Y 3d (2d )R 12M=32Y2d(3d)R 12M=，374所以12R 4R 9= 8.3.3 某梁发生纯弯曲，两长度为L ，宽度为b ，厚度为h ，弯曲后曲率半径为R ，材料杨氏模量为N ，求其总形变势能。
[解 答]建立坐标系O —z ，竖直向下为z 轴正方向，原点O 位于中性层内。
因压缩拉伸弹性势能密度02P 1E Y 2ε=。
所以对于z d 一层：(R z)R z θθθ=+-=，原长L=R θ则z z L R R θεθ===故 2P 1z dE Y()Lbdz 2R=因此总形变势能为：3h/2h/22P P 2-h/2-h/21z YLbh E =dE Y()Lbdz 2R 24R==⎰⎰ 基本训练填空1， 若杆长为0ι，绝对伸长为ι∆，且各部分长变均匀，则长应变的表达式为（ιι∆=ε ），若杆结构均匀，所受张力均匀分布在横截面上，则正应力的表达式为（SN S F ==σ ），在比例限度内，正应力与长应变的关系为（εY =σ ），长变的弹性势能为（ V 21E 2p εY = ），势能密度为（ U=221εY ）。
2， 通过弹性体内某一个面元的切向内力与该面元的面积之比称为（ 切应力 ），当内力在上下底面上分布均匀时，则切应力可以表示为（ S /F SN==τ ），在一定的限度内，切应力与切应变的关系为（α=τG ），式中α为（ 切375应变 ）。
切变的势能为（V G 21E 2p α=），切变的势能密度为（U=2G 21α ）。
3， 扭转角与母线的倾斜角之间的关系为（ια=θa ）；扭转角与与扭转力矩的关系式为（L Ga 24πι=θ ），最大切应力表达式为（3maxaL 2π=τ ）。
4， 梁的弯曲程度，常用中点下降的距离y 表示，y 被称为（挠度 ），若梁的横截面积为矩形，宽度为b 高度为h ，二支承点之间的距离为ι，则挠度可表示为（33bh4Q y Y ι= ）。
5， 在长变中的胡克定律可表述为（ 在比例限度内，正应力和长应变成正比 ），其表达式为（ εY =σ ），式中σ表示的是（ 正应力 ），式中ε表示的是（ 长应变 ），式中Y 表示的是（ 杨氏模量 ）。
6， 切变的胡克定律可表述为（ 切应力与切应变成正比 ），其表达式为（α=τG ），式中τ表示的是（ 切应力 ），式中G 表示的是（ 切变模量 ），式中α表示的是（ 切应变 ）。