【精品课件】第三章3.2.4二面角及其度量
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3.2.4二面角及其度量
注：二面角的平面角取值范围是: [ 00,1800]
思02考:00 ?? ∠ A`P`B` 与∠ APB是否相等? 相等(利用等角定理)
注： 二面角的平面角的特点：
A
O
1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的边都要垂直于二面角的棱
l
B
A
O B
(1) 02:00
(2)
10
二. 求找二面角的平面角的常用方法(1)
βB
ιO
P Aα
∴ι⊥平面PAB
∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角
又∵PA=5，PB=8，AB=7 由余弦定理得 cosP 1
2
∴∠P= 60º ∴∠AOB=120º
∴这二面角的度数为120º
02:00
二面角
基础练 习
1、如图，AB是圆的直径，PA垂 P
直圆所在的平面，C是圆上任一点，
则二面角P-BC-A的平面角为:
二面角 一、 二面角及二面角的平面角
1、二面角的定义
从空间一直线出发的两个半
α
平面所组成的图形叫做二面角
ι
β
记作：
2、二面角的平面角
一个平面垂直于二面角 的棱，并与两半平 面 分 别 相 交 于 射 线 PA 、 P B
γ` P`ι
β
B` A`
γP
B
αA
垂足为P，则∠APB叫做二面
角 的平面角
①、点P在棱上 —定义法 ②、点P在一个半平面上 —三垂线定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法
ι
α
β
p
A
B
B
ι
pβ
α
A
β
B
p
3.2.4二面角及其度量(共40张)
D1
①证明：以 DA、DC、DD1为正交基底， A1 建立空间直角坐标系如图。则可得
M
所以MA (2，0，1)，MC (0，2，1)，
B1O (1，1， 2)
D O
A(2，0，0)，C(0，2，0)，M (0，0，1)， A
B1(2，2，2)，O(1，1，0)。
x
B1O MA 2 0 2 0，B1O MC 0 2 2 0
二面角的大小用它的平面角来度量
∠A O B
？ ∠A1O1B1
B1
B
平面角是直角的二面 角叫做直二面角
l
O1 O
A A1
9
第5页，共40页。
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个 面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射 线所成的角叫做二面角的平面角。
A
O
二面角的平面角必须(bìxū)满足：
1）角的顶点在棱上
B
FA
M
C 第21页，共40页。
射影(shèyǐng) 法是不找平面角求二面角的一种方法:
A
B
O
D
C
第22页，共40页。
已知：如图⊿ABC的顶点A在平面M上的射 影(shèyǐng)为点A`， ⊿ABC的面积是S， ⊿A`BC的 面积是S`，设二面角A-BC-A`为
求证：COS = S` ÷ S
切(zhèngqiē)值是_______.
2
No
Image
第8页，共40页。
小结 ： (xiǎojié)
1.异面直线所成角：
cos | cos a,b |
C
D
a
a
A
D1
bB
2.直线与平面所成角：
sin | cos n, AB |
3、2、4二面角及其度量
Y
B
（ 2）证明：依题意得
B (1,1, 0 ), PB (1,1, 1)
1 1 1 1 又 DE ( 0 , , ), 故 PB DE 0 0 2Βιβλιοθήκη 2 2 2所以 PB DE
Z
由已知 EF PB , 且 EF DE E ,
所以 PB 平面 EFD
所 以 ( x , y , z 1) k (1, 1, 1) (k , k , k )
Z
即x k, y k, z 1 k
因为 PB DF 0
P F
D A X B
所以 (1,1, 1) ( k , k ,1 k ) k k 1 k 3k 1 0 1 所以 k 3
L
若二面角 l 的大小为 (0 , 则 )
注意法向量的方向：同进 同出，二面角等于法向量 夹角的补角；一进一出， 二面角等于法向量夹角
uv cos . u v
例4 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方 形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点， 作EF⊥PB交PB于点F. (1)求证：PA//平面EDB (2)求证：PB⊥平面EFD (3)求二面角C-PB-D的大小。
P F
D A
E
C B
解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点， 设DC=1 (1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG
依 题 意 得 A (1, 0, 0 ), P (0, 0, 1), 1 1 E (0, , ) 2 2
因为底面 ABCD 是正方形， 所以点 G 是此正方形的中心， 1 1 故点 G 的坐标为 ( , ，) 0 2 2
课件1：3.2.4二面角及其度量
∴AE⊥VB，CE⊥VB.
∴∠AEC 是二面角 A－VB－C 的平面角．
设 AB＝a，连接 AC，在 AEC 中，AE＝
EC＝ 23a，AC＝ 2a，由余弦定理可知：
（ cos∠AEC＝
23a）2＋（
23a）2－（
33
2a）2＝－1， 3
2×2 a×2 a
∴所求二面角 A－VB－C 的余弦值为－13.
第三章 空间向量与立体几何
§3.2.4二面角及其度量
高中数学选修2-1·同步课件
山体滑坡是一种常见的自然灾害．甲、 乙两名科技人员为了测量一个山体的倾斜程 度，甲站在水平地面上的A处，乙站在山坡 斜面上的B处，A、B两点到直线l(水平地面 与山坡的交线)的距离AC和BD分别为30 m和40 m，CD的 长为60 m，AB的长为80 m.
∴A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0， 0，1)． ∴ PB＝(2，0，－1)，BC ＝(0，2，0)，BD＝(－2，2，0)． 设平面 PBC 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，则 n·PB ＝0，
n·BC ＝0， 即20··xx＋＋02··yy－＋z0＝·z＝0，0， ∴zy＝＝20x，，
(1)证明：BD⊥平面PAC； (2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值．
解：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， ∴PA⊥BD. 同理由PC⊥平面BDE可证得PC⊥BD. 又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC. (2)如图，分别以射线AB，AD， AP为x轴，y轴，z轴的正半轴建 立空间直角坐标系． 由(1)知BD⊥平面PAC， 又AC⊂平面PAC，∴BD⊥AC. 故矩形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2.
2021年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.4二面角及其度量课件3新人教B版选修2_1
问题3： 法向量的夹角与二面角的大小什么时候相等，什么 时候互补？
二、探究方法
n1,n2
coscosn1,n2n1•n2
n1 n2
二、探究方法
n1,n2 coscosn1,n2nn11•nn22
二、探究方法
当法向量 n1 ， n2 一个指向二面角内，另一个指向二面角外时，
二面角的大小 n1, n2 ；
3.2.4二面角及其度量〔面面角〕
一、温故知新
如何度量二面角α—l—β的大小
B O
A
l
一、温故知新 异面直线所成的角
v1
v2
v1
v2
v1,v2
v1,v2
l,m的夹角为， cos | v1 v2 |
| v1 || v2 |
一、温故知新 直线与平面所成的角
n 直线的方向向量为 a ，平面的法向量为
A1A 平 面 A B C D
A1A是 平 面 A B C D 的 一 个 法 向 量 A 1 ( 2 ，0 ，2 ) A ( 2 ，0 ，0 ) D ( 0 ，0 ，0 ) Q ( 1 ，2 ，0 )
A 1 A ( 0 ，0 , 2 ) D A 1 ( 2 ，0 ，2 ) D Q ( 1 ，2 ，0 )
当法向量 n1 ， n2 同时指向二面角内或二面角外时，
二面角的大小 n1, n2 ．
三、实践操作
例1.ABCD 是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,
SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，
AD，
1 2
求平面SAB与SCD 所成二面角的余弦值．
三、实践操作
总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤： 1〕建立坐标系，写出点与向量的坐标； 2〕求出平面的法向量，进展向量运算求出法向量的
二、探究方法
n1,n2
coscosn1,n2n1•n2
n1 n2
二、探究方法
n1,n2 coscosn1,n2nn11•nn22
二、探究方法
当法向量 n1 ， n2 一个指向二面角内，另一个指向二面角外时，
二面角的大小 n1, n2 ；
3.2.4二面角及其度量〔面面角〕
一、温故知新
如何度量二面角α—l—β的大小
B O
A
l
一、温故知新 异面直线所成的角
v1
v2
v1
v2
v1,v2
v1,v2
l,m的夹角为， cos | v1 v2 |
| v1 || v2 |
一、温故知新 直线与平面所成的角
n 直线的方向向量为 a ，平面的法向量为
A1A 平 面 A B C D
A1A是 平 面 A B C D 的 一 个 法 向 量 A 1 ( 2 ，0 ，2 ) A ( 2 ，0 ，0 ) D ( 0 ，0 ，0 ) Q ( 1 ，2 ，0 )
A 1 A ( 0 ，0 , 2 ) D A 1 ( 2 ，0 ，2 ) D Q ( 1 ，2 ，0 )
当法向量 n1 ， n2 同时指向二面角内或二面角外时，
二面角的大小 n1, n2 ．
三、实践操作
例1.ABCD 是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,
SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，
AD，
1 2
求平面SAB与SCD 所成二面角的余弦值．
三、实践操作
总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤： 1〕建立坐标系，写出点与向量的坐标； 2〕求出平面的法向量，进展向量运算求出法向量的
3.2.4 二面角及其度量
解：(1)在等腰梯形ABCD中，AB //CD，∠DAB＝60°, CB = CD, 由余弦定理可知
2 2 BD＝CD + CB2 - 2CD×CB×cos 180° -∠DAB ＝3CD2 ,
即BD＝ 3CD = 3AD,在ΔABD中，∠DAB＝60°, BD = 3AD,则ΔABD为直角三角形，且AD⊥ DB, 又AE⊥BD,AD 平面AED，AE 平面AED,且 AD∩AE = A,故BD⊥ 平面AED.
取y = 1,则x = 3,z = 1,则m = 的一个法向量.
3,1,1 为平面BDF
1 5 cos < m,n >= = = ,而二面角F - BD - C 5 5 m n 5 的平面角为锐角，则二面角F - BD - C的余弦值为 . 5
mn
回顾本节课你有什么收获？
1.二面角的定义 2.二面角的求法
在二面角 - l - 的棱上任取一点O，在两半平面 内分别作射线OA l，OB l，则AOB叫做二面角
- l - 的平面角.
二面角的大小是 通过其“平面角” 来度量的.
特别地，当两个平面相互垂直时，它们的平面角是 直角，平面角是直角的二面角叫做直二面角，如 图所示：
探究点2 二面角大小的求法
设平面SAB与平面SCD的夹角为， 2 由图形可知 i, n 为锐角，即 tan . 2
【变式练习】
正方体ABEF - DCE F 中，M , N 分别为AC， BF的中点 如图，求平面MNA与平面MNB 所成锐二面角的余弦值.
E
解：设正方体的棱长为1, 以BA，BE， BC所在直线分别为x轴，y轴, z轴建 立空间直角坐标系. 设平面AMN的法向量n1 x, y, z , 1 1 1 1 由于 AM - , 0, , AN - , , 0 . 2 2 2 2 1 1 x z 0, AM n 0, 2 1 2 即 AN n1 0, 1 x 1 y 0, 2 2 令x 1得y 1, z 1. n1 1,1,1 ,
课件5：3.2.4二面角及其度量
角都是二面角的平面角．
二面角θ的范围为θ∈[0，π]．
直二面角
平面角是直角的二面角叫做直二面角.互相垂直平
面也就是相交成直二面角的两个平面.
我们可用向量的夹角来研究二面角的性质及其度量
(1)如图，分别在二面角α—l—β的面α、β内，并
沿α、β延伸的方向，作向量n1⊥l，n2⊥l，则
〈n1，n2〉等于该二面角的平面角.
36＋16＋64－68 48 1
即 cos x＝
＝ ＝ ，
96
96 2
得x＝60°.
因此，所求二面角的度数为60°.
例2 已知：二面角α—l—β的大小为θ (0≤θ≤
2
)，
在α内有△ABC，它在β内的射影为△A′BC，它
们的面积分别为S，S′，
则有S`=Scosθ.
证明：不妨假设△ABC的边BC在l上（如图），
作BC边上的高AD，AD在β内的射影为A`D.根据
正射影的性质，知
A`D=ADcosθ.
S`=
BC×A`D= BC×Adcosθ=
2
2
Scosθ.
例3 已知ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，
SA垂直平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=
求平面SAB与SCD的夹角的正切（如图）.
换用坐标表示，得
(x,y,z)·( ，0，-1)=0，
2
(x,y,z)·(1，1，-1)=0.
即 x-z=0
2
x+y-z=0
把z作为已知数，解此方程组，得x=2z，y=-z.
cos<i,n>=
=
·
·||
(,−,)·(,,)
3.2.4二面角及其度量
1 构造法：关键找平面角； 常用三垂线定理作平面角
思考： 为什么平面角与点 O 在 l 上的位置无关？
练习：在长方体 ABC D -A 1 B 1C 1 D 1 中， A B 3, B C 1, C C 1 下列两个平面所成的角: (1)平面 A1 B C 与平面 ABC D ; (2)平面 C 1 A B 与平面 ABC D ; (3) 平面 D1 A B 与平面 A A1 B1 B ;
3 ,求
问题二:向量法求二面角
方法 1:将二面角转化为两个面内垂直于棱的两个向量的夹角。 分别在二面角 l 的面 , 内，并且沿 , 延伸的方向作向量
n1 l , n 2 l , 则我们可以用 n1 , n 2 度量这个二面角的大小
A 、 150 ,30 B 、 90 ,30
C 、 150 , 0
D 、 90 , 0
2.在正三棱柱 ABC - A1 B 1 C 1 中，已知 AB 1, D 在棱 B B1 上，且
BD 1 ，若 A D 与平面 A A1C 1C 所成角为 ，则 sin 的值是（ ）
思考：可用此题结论求 解例 3 吗？
课堂小结 本节综述: 1、二面角及二面角平面角的定义；2、求二面角大小的基本方法(构造法、向量法) 及其步骤 具体总结:（对照问题总结）
练习与巩固
（必做题）课本 111 页练习 A 2. 练习 B 1.(1)
(2)
4
3.
2.
5
高二数学导学案
教学课题 课标要求 主要问题
3.2.4 二面角及其度量
题中的作用。
备课人
李怀春
能用向量方法解决面与面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问
思考： 为什么平面角与点 O 在 l 上的位置无关？
练习：在长方体 ABC D -A 1 B 1C 1 D 1 中， A B 3, B C 1, C C 1 下列两个平面所成的角: (1)平面 A1 B C 与平面 ABC D ; (2)平面 C 1 A B 与平面 ABC D ; (3) 平面 D1 A B 与平面 A A1 B1 B ;
3 ,求
问题二:向量法求二面角
方法 1:将二面角转化为两个面内垂直于棱的两个向量的夹角。 分别在二面角 l 的面 , 内，并且沿 , 延伸的方向作向量
n1 l , n 2 l , 则我们可以用 n1 , n 2 度量这个二面角的大小
A 、 150 ,30 B 、 90 ,30
C 、 150 , 0
D 、 90 , 0
2.在正三棱柱 ABC - A1 B 1 C 1 中，已知 AB 1, D 在棱 B B1 上，且
BD 1 ，若 A D 与平面 A A1C 1C 所成角为 ，则 sin 的值是（ ）
思考：可用此题结论求 解例 3 吗？
课堂小结 本节综述: 1、二面角及二面角平面角的定义；2、求二面角大小的基本方法(构造法、向量法) 及其步骤 具体总结:（对照问题总结）
练习与巩固
（必做题）课本 111 页练习 A 2. 练习 B 1.(1)
(2)
4
3.
2.
5
高二数学导学案
教学课题 课标要求 主要问题
3.2.4 二面角及其度量
题中的作用。
备课人
李怀春
能用向量方法解决面与面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问
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三、面面角： 二面角的范围： [0, ]
②方向向量法：
将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 （在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的 夹角。如图，设二面角 l 的大小为 ， 其中 AB l , AB , CD l , CD
B A
D
C l
AB CD cos cos AB, CD AB CD
所以B1O 平面MAC
② 由①知 B1O 平面MAC 所以B1O是平面MAC的一个法向量 z 且B1O (1 1 2) ，， C1 设平面B1MA的一个法向量为n ( x，y，z) D1 由A(2，0) M (0，1) B1 (2，2)得 0，， 0，， 2， A1 B1 M MA (2， 1)， 1 (2， 0， MB 21) ， 所以n MA 0，n MB1 0
2 x 0 z 0 即 取z =2得x=1，y = - 2 2 x 2 y z 0 A
D O B C
y
所以平面B1MA的一个法向量为 n (1， 2， 2) 1 2 4 6 cos B1O， n 6 6 9
x
6 所以二面角B1 MA C的பைடு நூலகம்弦值为 。 6
①证明：以 DA DC、 1 、 DD为正交基底， A1 建立空间直角坐标系如图。则可得 所以MA (2， 1)， (0， 1)， 0， MC 2， B1O (1， 1， 2)
M
B1
C1
D O B
y
C
A1
B1
mn 3 2 ∴ cos〈 m, n〉= 2 mn 3 2
∴ 即二面角 D BC1 C 的余弦值为
2 2
C x D A
B
y
例.已知正方体ABCD A1 B1C1 D1的边长为2， z O为AC和BD的交点，M为 DD1 的中点 （1）求证： 直线 B1O 面MAC; D1 （2）求二面角 B1 MA C 的余弦值.
D A B
C
E
1 cos CA, BD 2 1 cos AC , BD 2
所以二面角为
3
例2.正三棱柱 ABC A1 B1C1 中，D是AC的中点， 当 AB1 BC1 时，求二面角 D BC1 C的余弦值。
3 3 DB ( , ,0) 4 4
由 C1 D m, DB m 得
z C1 3 1 3 3 2 C1D m x y z 0, DB m x y 0 4 4 4 4 2
6 解得 x 3 y z 所以，可取 m (3, 3, 6 ) 2
PCB 90，PM BC，PM 1，BC 2， 又AC 1，ACB 120，AB PC，直线 AM与直线PC所成的角为 . 60 （1）求证：平面 PAC 平面ABC； （2）求二面角M AC B的大小.
P
C
PCBM是直角梯形， 例 6. 如图，四边形
C1
A1
B1
C D A
B
解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面三 角形的边长为a，侧棱长为b, 则
3 1 3 1 B1 (0, a, b) D( a, a,0) A( a, a,0) B(0, a,0) C1 (0,0, b) 4 4 2 2 故 AB1 ( 3 a, 1 a, b) BC1 (0,a, b) AB1 BC1, 2 2 z 1 2 2 2 AB1 BC1 a b 0 b a C1 B1 2 2 A 2
M
B
A
小结：
1.异面直线所成角： cos | cos a, b |
a
C
A
a b
A
D
D1
B
n
2.直线与平面所成角： sin | cos n, AB |
B
O
n
3.二面角：
B A D
n2
AB CD cos cos AB, CD AB CD
一条直线上的一个点把这条直线分成两
个部分，其中的每一部分都叫做射线。
一个平面内的一条直线把这个平面分成
两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。
2
定义:
B
A
O
A
B
从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。 这两个半平面叫做二面角的面。
3
表示方法：
∠AOB 二面角－AB－
2、证明 1中的角就是所求的角
3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
16
练习
１.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，二面角C1-BD-C 的正切值是_______.
2
三、面面角：
①法向量法
n1，2 n
二面角的范围： [0, ]
n1，2 n
则可设 a =1，b
2 3 1 C1 (0,0, ) D( , ,0) 4 4 2
2
，则B(0,1,0)
1
CC1B 在坐标平面yoz中
∴可取 n ＝(1,0,0)为面 CC B 的法向量
1
C x D A
B
y
设面 C1 BD 的一个法向量为 m ( x, y, z)
3 1 2 ∴ C1 D ( 4 , 4 , 2 )
C
l
n1
l
一进一出， 二面角等于 法向量的夹 角； 同进同出， 二面角等于 法向量夹角 的补角。
n2
n1
l
cos
cos n1, n2
cos
cos n1, n2
A(2，0) C (0， 0) M (0，1) 0，， 2，， 0，， A B1 (2， 2) O(11，。 2，， ，0) x B1O MA 2 0 2 0， O MC 0 2 2 0 B1 所以B1O MA ， B1O MC 即B1O MA ， B1O MC。又MA MC C
例1、已知在一个二面角的棱上有两个点A，B， 线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且 都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm， CD= 2 17 cm，求二面角的度数
2 2 解： CD (CA AB BD) 2 2 2 2 (2 17) 6 4 8 2 CA BD cos CA, BD
n1，2 n
n2
l
n2
n1，2 n
n1
n1
l
cos
cos n1, n2 cos
cos n1, n2
注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角
A O
B
A
C
B
D
l
5
B
A 二面角－ l－
二面角C－AB－ D
以二面角的棱上任意一点为端点，在 度量： 两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的大小用它的平面角来度量
∠A O B
B1 B
？
l
∠A1O1B1 平面角是直角的二 面角叫做直二面角
O1
O
9
A
A1
以二面角的棱上任意一点为端点，在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 二面角的平面角必须满足：
A 1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内
l
O B
3）角的边都要垂直于二面角的棱
范围:[0, ]
10
二面角的计算：
1、找到或作出二面角的平面角