高二数学学案二面角及其度量(一)
学案6：二面角及其度量
一、学习目标：1、理解二面角的平面角的概念2、会求二面角 二、学习重点：求二面角的大小。
学习难点：找二面角的平面角 三、学习过程：
学习活动一：定义法求二面角 【问题1】二面角的定义
平面内的一条直线将平面分成两部分，其中每一部分叫做 。
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 ，这条直线叫做 ，每个半平面叫做 。
棱为l ，两个面分别为α，β的二面角，记为________． 【问题2】二面角的平面角
在二面角α—l —β的棱上任取一点O ，在两个半平面内分别作射线OA ⊥l 、OB ⊥l ，则________叫做二面角α—l —β的平面角． 【问题3】直二面角
平面角是________的二面角叫做直二面角，相交成直二面角的两个平面就是 的平面．
注意：二面角的大小可以用它的 来度量
小试牛刀1：
1．如图，在正方体ABCD —A 'B 'C 'D '中， (1) 平面ABC 'D '与底面ABCD 所成二面角的棱是 ，平面角是 ，大小是 ； (2) 平面ABC 'D '与后面DCC 'D '所成二面角的棱是 ，平面角是 ，大小是 (3) 平面ABC 'D '与侧面B 'BCC '所成二面角的棱是 ，平面角是 ，大小是 ；
(4)二面角C '-BD-C 的棱是 ，平面角是 ，二面角的正切值是 .
2．如图，将边长为a 的正三角形ABC ，沿BC 边上的高线AD 将△ABC 折起，若折起后B 、C 间距离为a
2，则二面角B —AD —C 的平面角是 大小为____．
学习活动二：向量法求二面角
【方法一】分别在二面角α-l-β的面α，β内，作向量n 1⊥l ，n 2⊥l ，则可用 度量这个二面角. 小试牛刀2：
一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为（0,1,2）和（1,2,2），则这个二面角的余弦值为 ． 【方法二】法向量法
设m 1⊥α，m 2⊥β，则〈m 1，m 2〉与该二面角 ． 注意：此方法的运用适宜于：
①在空间直角坐标系下，平面α，β的法向量便于确定．
②二面角的大小便于定性(锐角、钝角)．从图中便于直观获得二面角为锐角或钝角．
小试牛刀3：
已知两平面的法向量分别为m=（0,1,0），n=（0,1,1），且两平面所
成的二面角为钝角，则两平面所成的二面角为 ．
学习活动三：射影面积法求二面角
【方法】已知二面角α-l -β的度数为θ（0≤θ≤2
π
），在α面内有△ABC,它在β内的射影为△A ’B ’C ’,且它们的面积分别为S 、S ’则
有 即cos θ=
小试牛刀4：
在正方体AC 1中，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，若截面EFDB
与侧面BCC 1B 1所成的锐二面角为θ，则cos θ＝________.
四、整体建构
五、应用学习
1．如图，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为2的正方形，其他四
个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，试画出二面角P —AB —C
的平面角并求它的度数．
2、二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角
的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝2，AC ＝3，BD ＝3，CD ＝13，求该二面角的大小
3、如图，四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD .底面ABCD 为边
长是1的正方形，PA ＝1，求平面PCD 与平面PAB 夹角的大小．
4、△ABC 是边长为1的正三角形，CD ⊥平面ABC ，且CD=1，求二面角B-AD-C 的大小。
六、当堂检测 A 组
P
A B C D
1．在二面角的一个面内有一点A，它到棱的距离等于到另一个面
的距离的2倍,
则二面角的度数是．
2．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝6，那么二面角P—BC—A的大小为________．
3．在90°二面角的棱上有两个点A,B，AC，BD分别是在这个二面角的两个面内，且都垂直于棱AB。
已知AB=5，AC=3，BD=8，则CD长为
4．如图，山坡的倾斜度(坡面与水平面所成二面角的度数)是60º，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线
AB的夹角是30º，沿这条路上山，行走100米
后升高了米
5．已知正三棱锥S-ABC的棱长都为1，则侧面与底面的二面角的余弦值为
6．如图，三棱锥V—ABC中，
V A=VC=AB=BC=2，AC=23，VB=1，
试画出二面角V—AC—B的平面角，并求它的度数.
7．(2009·上海)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝BC＝AB
＝2，AB⊥BC，求二面角B1－A1C－C1的大小．
B组
如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中AD∥BC，∠ABC
＝90°，PA⊥平面ABC，PA＝4，AD＝2，AB＝3
2，BC＝6，
求二面角A－PC－D的余弦值．
A
C D B。
高中数学教案二面角
二面角一、素质教育目标(一）知识教学点1．二面角的有关概念．2．二面角的平面角的定义及作法．（二）能力训练点1．利用类比的方法理解和掌握二面角的有关概念;掌握二面角的平面角的定义．2．用转化的思维方法将二面角问题转化为其平面角问题,进一步培养学生的空间想象能力和分析、解决问题的能力．3．通过练习，归纳总结作二面角的平面角的三种方法．(三）德育渗透点让学生认识到研究二面角的问题是人类生产实践的需要，进一步培养学生实践第一的观点．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：二面角、二面角的平面角的概念．2．教学难点：如何选取恰当的位置作出二面角的平面角来解题．3．教学疑点：二面角的平面角必须满足下列两个条件:一是平面角的顶点必在棱上；二是平面角的两边分别在二面角的两个面内．三、课时安排1课时．四、教与学过程设计（一)二面角师:我们知道,两个平面的位置关系有两种：一种是平行，另一种是相交．两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的．在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角．如:修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久,必须使水坝面和水平面成适当的角度;发射人造地球卫生时,也要根据需要,使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度(图看课本P．39中图1—43）,等等．这些事实都说明了研究两个平面所成的“角”是十分必要的，我们就把这样的“角"叫二面角，那么如何定义二面角呢?阅读课本P．39-40，回答下列问题．师:我们先来回忆：什么是角?如何表示？生:从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形叫做角（如图1-117）,表示为∠AOB．师：根据角的定义，我们可以类似地定义二面角．先给出半平面的定义．生：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面（如图1—119）．师：那么如何表示二面角呢？生:棱为AB，面为α、β的二面角记作二面角α—AB—β，如果棱用a表示，则记作二面角α—a—β．师：二面角的画法通常有哪几种？生：第一种是卧式法，也称为平卧式(如图1－120）．第二种是立式法，也称为直立式．（二）平面角师：为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，有必要研究二面角的大小问题．如门和墙所在的平面是相交的,但门可以在关上、开一点小缝、开一半、全开等各种位置上,也就是说两平面虽处于相交的位置关系，但相互之间的位置关系还是应当讨论的．为了表示二面角的大小，我们必须引入平面角的定义．定义:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．师：二面角的大小可以用它的平面角来度量，即二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度．现在我们来思考：问题1:这样用平面角的度数来表示二面角的度数是否合理？为什么？生：是合理的．如图1-121,在二面角α—a—β的棱a上任取一点O，在半平面α和β内，从点O分别作垂直于棱a的射线OA、OB,射线OA和OB组成∠AOB，在棱上另取任意一点O＇，按同样的方法作∠A＇O＇B＇，因为OA和OA＇、OB和OB＇都垂直于棱a，所以∠AOB和∠A＇O＇B＇的两边分别平行且方向相同,根据等角定理，得：∠AOB＝∠A＇O＇B＇，即∠AOB的大小是一定的．由于这个唯一性，从而说明这样定义二面角的平面角是合理的，且与点O在棱上的位置无关．问题2：二面角的平面角必须满足哪几个条件？生：两个条件．一是平面角的顶点必在棱上；二是平面角的两边分别在二面角的两个面内．师：平面角是直角的二面角叫直二面角．在实际生活中，木工用活动角尺测量工件的两个面所成的角时，就是测量这两个角所成二面角的平面角（图见P．40中图1—45）．我国发射的第一颗人造地球卫星的倾角是68.5°，就是说卫生轨道平面与地球赤道平面所成的二面角的平面角是68。
学案2：3.2.4二面角及其度量
3.2.4二面角及其度量学习目标：理解二面角的概念及二面角平面角定义,会利用向量知识求二面角的大小. 自主学习一、自学课本P 108--109的内容，完成下面的问题： 1．二面角的有关概念。
平面内的一条直线把平面分成 部分，其中的每一部分都叫做_________,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做____________.这条直线叫做二面角的________,每个半平面叫做二面角的_____,2.二面角的平面角定义：在二面角βα--l 的 上 O ，在两____内分别作 ，则AOB ∠叫做 .3. 直二面角定义:_____________________________.4. 二面角的范围_______________________________.5.二面角的求法：（1）几何法： ； （2）向量法 .二、※自学第109页例1，110页例2、例3理解向量的方法求二面角，并完成下列问题： 例1 如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A ，B ，线段AC ，BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，AB ＝4 cm ，AC ＝6 cm ，BD ＝8 cm ，CD ＝217cm ， 求这个二面角的度数.)，在α内有△ABC，它在β内的射影为△A′BC，例2 已知：二面角α—l—β的大小为θ (0≤θ≤ π2它们的面积分别为S，S′，则有S`=S cosθ.例3 已知ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，SA垂直平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD= 1，2求平面SAB与SCD的夹角的正切（如图）.合作探究1.如图：ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角A—VB—C的大小．2.如图，四棱锥P—ABCD中，P A⊥底面ABCD.底面ABCD为边长是1的正方形，P A＝1，求平面PCD与平面P AB夹角的大小．参考答案自主学习一、自学课本P 108--109的内容，完成下面的问题：1． 两 半平面 二面角 二面角的棱 二面角的面2.棱 任取一点 半平面 射线OA ⊥l ，OB ⊥l 二面角α－l －β的平面角3. 平面角是直角的二面角叫做直二面角，互相垂直的平面也就是相交成直二面角的两个 平面．4. [0，π]5.（1）①作(找)出二面角的平面角； ②写出(或证明)作(找)平面角的过程； ③计算：利用解三角形知识求解．（2）方法一：分别在二面角α—l —β的面α，β内，并且沿α，β延伸的方向作向量n 1⊥l ，n 2⊥l ，则可用〈n 1，n 2〉度量这个二面角的大小． cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|，n 1，n 2的选取建立在现有图形中的已知或构图论证上． 方法二：通过法向量求解设m 1⊥α，m 2⊥β，〈m 1，m 2〉与该二面角相等或互补． 此方法的运用适宜于：①在空间直角坐标系下，平面α，β的法向量便于待定．②二面角的大小便于定性(锐角、钝角)．从图中便于直观获得二面角为锐角或钝角． ③具体求解过程中，先求m 1与m 2所成的锐角θ，cos θ＝|m 1·m 2||m 1||m 2|. 若二面角为锐角，则为θ. 若二面角为钝角，则为π－θ.二、※自学第109页例1，110页例2、例3理解向量的方法求二面角，并完成下列问题： 例1 解 设〈AC →，BD →〉＝x . 由已知CA ⊥AB ，AB ⊥BD ，得AC →·AB →＝BD →·AB →＝0，〈CA →，BD →〉＝180°－x ， 因此|CD →|2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2|CA →||BD →|cos(180°－x ). 代入已知线段的长度，得(217)2＝62＋42＋82＋2×6×8×(－cos x )， 即cos x ＝36＋16＋64－6896＝4896＝12，得x ＝60°.因此，所求二面角的度数为60°.例2 证明：不妨假设△ABC 的边BC 在l 上，作BC 边上的高AD ，AD 在β内的射影为A`D.根据正射影的性质，知 A`D=AD cos θ.S`= 12BC ×A`D= 12BC ×Ad cos θ= S cos θ.例3 解：令BC⃗⃗⃗⃗⃗ =i ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =j ， AS ⃗⃗⃗⃗⃗ =k ，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系[O ;i ,j ,k ]，则i ,j ,k 为单位正交基底，于是可得 i=（1,0,0）,j =（0,1,0）,k =（0,0,1） SD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12，0，-1)，SC ⃗⃗⃗⃗ =(1，1，-1). 设平面SCD 的法向量为n =(x ,y ,z )，则 n ·SD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， n ·SC ⃗⃗⃗⃗ =0. 换用坐标表示，得 (x ,y ,z )·(12，0，-1)=0，(x ,y ,z )·(1，1，-1)=0. 即12x -z =0 x +y -z=0把z 作为已知数，解此方程组，得x =2z ，y =-z . cos<i ,n >= i·n|i |·|n| =√22+12+(−1)2√02+12+02=√6设平面SAB 与SCD 的夹角为θ，由图形可知θ=<i ，n>为锐角，即 tan θ=√22. 合作探究1. 解 取VB 的中点为E ，连接AE ，CE . ∵VA ＝AB ＝BC ＝VC ，∴AE ⊥VB . ∴CE ⊥VB .∴∠AEC 是二面角A —VB —C 的平面角． 设AB ＝a ，连接AC ，在△AEC 中，AE ＝EC ＝32a ，AC ＝2a ，由余弦定理可知： cos ∠AEC ＝(32a )2＋(32a )2－(2a )22×32a ×32a ＝－13，∴所求二面角A —VB —C 的大小为π－arccos 13.2. 解 如图建立空间直角坐标系．平面P AB 的法向量AD →＝(0,1,0)，DC →＝(1,0,0)， PD →＝(0,1，－1)．设平面PCD 法向量n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DC →＝0n ·PD →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y －z ＝0.令z ＝1，∴n ＝(0,1,1)， ∴cos 〈n ，AD →〉＝12＝22，∴〈n ，AD →〉＝45°.即平面P AB 与平面PCD 的夹角为45°.。
高二数学(人教B)二面角(1)教学设计
教学设计新课一、二面角的相关概念1. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这个直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面.2. 二面角的平面角在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，以O 为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 所成的角称为二面角的平面角.3.二面角的平面角的作法 已知平面α内一点A （1）过A 作β⊥AB 于B ；（2）在平面α内，过A 作l AC ⊥于C ；（3）连接BC .ACB ∠即为所求作的二面角βα--l 的平面角.4. 二面角的大小我们约定，二面角及其平面角的大小为[]︒︒180,0. 5. 直二面角平面角是直角的二面角是指二面角，因此证明两个面垂直可以通过证明所成二面角为直二面角得到.通过两个面相交的图形得到二面角的形象，从而引出二面角的表示.借助二面角与平面角的对比，引出对二面角大小的度量方法的思考，得到二面角的平面角的概念十分自然.借助点是线、面的元素，从已知面内一点，到得到二面角的平面角，作法中应用了线面垂直的性质，三垂线定理及其逆定理，是对垂直证明的回顾和复习.通过运动变化的观点，研究二面角的范围，确定二面角的大小要通过准确的观察，突出了观察在解决立体几何题目的重要作用.例题例1. 如图三棱锥S -ABC 中，面SAC ⊥面ABC , SA =SC =√3，AB =BC =2，且AB ⊥BC ， 求（1）二面角S -AB -C 的大小（2）二面角B -SA -C 的大小三棱锥是立体几何的基本图形，选择这个题目提醒学生注意审。
《二面角》第一课时示范公开课教学设计【高中数学】
《二面角》教学设计第一课时◆教学目标1、掌握二面角的概念，提升学生的数学抽象素养.2、理解二面角的平面角的含义．提升学生的数学抽象素养.3、作二面角并求出二面角的大小，提高逻辑推理、数学运算的数学素养．◆教学重难点◆教学重点：二面角的概念．教学难点：作二面角并求出二面角的大小．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第47-50页，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本节主要学习二面角第一课时二面角及其度量．（2）学生在学习了异面直线所成角的概念及线面角的基础上，对空间角的问题有了一定的经验，二面角的问题，依然按照将空间问题化为平面问题、将立体几何问题化为空间向量运算问题的基本思路展开．为培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养提供舞台．设计意图：通过对本节知识内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、探索新知形成定义问题2：日常生活中，很多场景中都有平面与平面呈一定角度的形象，例如如图（1）所示，在建造大坝时为了加固大坝大巴外侧的平面，一般于水平面呈一定角度，如图（2）所示，很多屋顶都是二面角的形象，你能找到日常生活中更多类似的例子吗？怎样刻画平面与平面所成的角呢？师生活动：学生在教师的指导下写出答案．教师讲解：我们已经知道,平面内的一条直线把一个平面分成两部分,其中的每部分都称为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面．如图所示,在二面角βα-l -的棱上任取一点O ,以O 为垂足,分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA 和OB ,则射线OA 和OB 所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角大小来度量,即二面角大小等于它的平面角大小.特别地,平面角是直角的二面角称为直二面角.比如，我们在地地理学科上学过的黄赤交角，指的就是黄道平面与赤道平面之间的夹角，大小为'2623，如图所示．设计意图：在学生学习了二面角及其平面角的概念之后,教师可以设计变式题引导学生通过动手练习找角,更好地感悟获得知识的体验,拓宽学生的思维,建立良好的思维习惯．黄赤交角是地理学中的名词,在此处主要是举例说明二面角知识在现实中的广泛应用,不必在课上进行过多的探究．问题3：“门开大点”“门开小点”说明了什么问题?平面角可以用量角器进行度量,二面角的大小可以用量角器来度量吗?如何确定二面角唯一的测量结果?哪个角能够表示二面角呢?师生活动：学生在教师的指导下写出答案．预设的答案：“门开大点”“门开小点”说明了门和墙体所形成的二面角的平面角的大小的变化情况，平面角可以用量角器进行度量,二面角的大小无法用量角器来度量．二面角及其平面角的大小不小于0°,不大于180°，而且,两个平面相交时,它们所成角的大小,指的是它们所形成的四个二面角中,不小于0且不大于90°的角的大小.这样约定后,一个二面角的大小及两个相交平面所成的角的大小都是唯一确定的．设计意图：在学生学习了二面角及其平面角的概念之后,教师可以设计变式题引导学生通过动手练习找角,更好地感悟获得知识的体验,拓宽学生的思维,建立良好的思维习惯．追问：根据二面角的平面角的定义，你是否能总结出二面角的平面角的定义的三个主要特征？师生活动：学生在教师的指导下写出答案．预设的答案：二面角的平面角的定义有三个主要特征:①过棱上任意一点;②分别在两个半平面内作射线;③射线垂直于棱.二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关.设计意图：定义过程是求二面角大小的基本思维过程,也充分体现着将空间问题转化为平面问题的转化思想方法．问题4：根据二面角的平面角的定义，你能否总结出如何利用定义法求二面角的平面角的大小？师生活动：学生在教师的指导下写出答案． 教师讲解:步骤如下(1)找到或作出所求的二面角的平面角.(2)证明或说明所作图形为所求的二面角的平面角.(3)计算求解.此时一般为解斜三角形,需要用余弦定理及其变式,教师可以引导学生回顾.(4)明确答案.写出所求问题的结论.设计意图：通过师生共同探究,引导学生总结基本的思维过程与步骤．并为后面例题的求解给出思路．三、初步应用 例1:如图所示,已知二面角βα-l -的棱上有A,B两点，,,,,l BD BD l AC AC ⊥⊂⊥⊂βα若,7,4,3,6====CD BD AC AB 求二面角βα-l -的大小．师生活动：学生根据所学给出解答，由老师指定学生给出答案．预设的答案：如上图所示,在平面内过A 作BD 的平行线AE,且使得AE=BD,连接CE,ED ．因为四边形AEDB 是一个矩形,∠CAE 是二面角βα-l -的一个平面角,且AB⊥面AEC,所以ED⊥面AEC,从而1367222222=-=-=-=AB CD ED CD CE在△AEC 中,由余弦定理可知212cos 222=⨯-+=∠AE AC CE AE AC CAE ,因此3π=∠CAE ，即所求的二面角的大小为.设计意图：通过梳理求解二面角的基本方法和步骤，提升运算速度和准确度，让学生感3π受，用代数方法解问题决立体几何问题．发展学生逻辑推理，数学抽象和数学运算的核心素养．问题5：如图所示，设S 为二面角βα-B -A 的半平面α上一点，过点S 作半平面β的垂线'SS ,设O 为棱AB 上一点.（1）判断AB SO ⊥是AB O S ⊥'的什么条件； （2）由二面角的作法，你能得到什么启发？师生活动：学生自行解答，由老师指定学生给出答案．预设的答案：因为'S 是S 在平面内的射影,所以O S '是SO 在平面β内的射影,从而根据三垂线定理及其逆定理可知,AB SO ⊥是AB O S ⊥'的充要条件;当二面角βα-B -A 是一个锐角时,由此我们能得到作出它的平面角的另种方法:过其中一个半平面内一点S ,作另一个半平面的垂线段'SS ,过S (或'S )作棱的垂线SO (或O S '),连接O S '(或SO )即可.在图中,如果二面角βα-B -A 的大小为θ,则可以看出△AB S '与△SAB 在AB 边上的高之比为θcos ,因此这两个三角形的面积之比也为θcos ．教师讲解:要注意以下几个方面(1)该作法只适用二面角AB --αβ为锐角的情形.当二面角AB --αβ为钝角时,要将其中一个半平面延伸,即作出辅助半平面,先求出二面角AB --αβ的补角,再确定二面角AB --αβ的值.当二面角为直二面角时不作探讨．(2)这种作二面角的平面角的依据是三垂线定理及其逆定理.在学生尝试前或探究过程中,适当为学生提示必备知识,如充要条件、三垂线定理及其逆定理.(3)找垂线注意应用已知的条件以及有关垂直的判定和性质定理,按三垂线定理的条件,一条垂线垂直于二面角的一个面,还有垂直于棱的一条垂线．设计意图：本问题是在二面角βα-B -A 为锐角的前提下进行的,给出了作二面角的平面角的另种方法.教师在引导学生尝试探究．例2：如图所示三棱锥ABC S -中，面ABC SAC 面⊥,3==SC SA ,,2==BC AB 且BC AB ⊥,求二面角C AB S --的大小．师生活动：学生自行解答，由老师指定学生给出答案． 预设的答案：设O ,E 分别为AC ,AB 的中点,连接SO ,OE ,SE ,因为SA =SC ,所以SO ⊥AC ,又因为面SAC ⊥面ABC ,所以SO ⊥面ABC ,又因为OE 为△ABC ,因此SE 在平面ABC 内的射影为OE ,又因为OE 为ABC ∆的中位线,AB ⊥BC ,所以AB ⊥OE ,从而由三垂线定理可知AB ⊥SE ,因此∠SEO 为二面角SABC 的一个平面角由AB =BC =2且AB ⊥BC 可知AC =222222=+，又因为122=-=AO SA SO ,而且,121==BC EO 从而可知,45 =∠SEO 即所求二面角的大小为45．设计意图：引导学生归纳这种方法通常是先求得垂线段长与射影长,再在直角三角形中计算所求二面角的平面角的正切值．通过例2,教师引导学生注意以下方面(1)画图过程中要充分借助题目中的“等长”条件,构造等腰三角形的底边中点,进而应用等腰三角形的“三线合一”结论；(2)对作出的二面角的平面角要证明是所要求的二面角的平面角；(3)注重推理的逻辑性及格式、步骤的规范与完整.四、归纳小结，布置作业问题6：什么是半平面、二面角、二面角的棱、二面角的面、二面角的平面角、直二面角？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：平面内的一条直线把一个平面分成两部分,其中的每部分都称为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面．如图所示,在二面角βα-l-的棱上任取一点O,以O为垂足,分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角大小来度量,即二面角大小等于它的平面角大小.特别地,平面角是直角的二面角称为直二面角.设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加理解二面角的定义．布置作业：教科书第52页练习A1,2题．五、目标检测设计1．(教材P52练习B②改编)在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角A1BCA的余弦值为()A ．12B ．23C ．22D ．33设计意图：考查学生对二面角的应用．2已知矩形ABCD 的两边AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝45，则二面角A BD P的正切值为________．设计意图：考查学生对二面角的大小求法的应用．3．已知△ABC 和△BCD 均为边长为a 的等边三角形，且AD ＝32a ，则二面角A BC D 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 设计意图：考查二面角的综合应用． 参考答案：1．C [易知∠A 1BA 为二面角A 1 BC A 的平面角， cos ∠A 1BA ＝AB A 1B ＝22．]2．13[过A 作AO ⊥BD ，交BD 于O ，连接PO ，∵矩形ABCD 的两边AB ＝3，AD ＝4， P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝45，∴BD ＝32＋42＝5，PO ⊥BD ，∴∠POA 是二面角A BD P 的平面角， ∵12×BD ×AO ＝12×AB ×AD ， ∴AO ＝AB ×AD BD ＝125，∴tan ∠POA ＝P A AO ＝45125＝13．∴二面角A BD P 的正切值为13．]3．C [如图取BC 的中点为E ，连接AE ，DE ，由题意得AE ⊥BC ，DE ⊥BC ， 且AE ＝DE ＝32a ，又AD ＝32a ， ∴∠AED ＝60°，即二面角A BC D 的大小为60°．]。
《二面角》教案1
《二面角》教案一、目的要求1、认知目标：（1）使学生正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运用它们解决实际问题。
（2）进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的解题思想。
2、能力目标：以培养学生的创新能力和动手能力为重点。
(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。
（2）通过对图形的作图、观察、分析和比较来强化学生的动手操作和动脑的能力。
3、教育目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。
(2)通过揭示面面之间的内在联系，进一步使学生建立“联系”的辩证唯物主义观点。
二、重点、难点：（1）二面角的平面角概念，不同方位二面角的平面角的直观图的画法；（2）寻找二面角的平面角的方法的发现过程。
三、教学过程：（一）、二面角1、提示问题产生的背景：问题情境1、在修筑水库的拦水坝时，为了牢固耐用而又经济，必须考虑拦水坝坡面与地面（平面与平面相交）要组成适当的角度。
（由实例引入二面角的概念），接着又问学生还能举出一些二面角的实例吗？问题情境2、我们应如何定量研究两个相交平面之间的相对位置呢？通过这二个问题，打开了学生的原有认知结构，为知识的创新做好了准备；同时也让学生领会到，二面角这一概念的产生是因为研究两相交平面的相对位置的需要，从而明确新课题研究的必要性，触发学生积极思维活动的展开。
2、展现概念形成过程。
问题情境3、应如何定义两相交平面所构成的角呢？创设这个问题情境，为学生创新思维的展开提供了空间。
结合电脑演示，引导学生回忆平面几何中“角”这一概念的引入过程。
问题情境4、通过类比，同学们能给出二面角的概念吗？引导学生将平面几何中角这一概念的引入过程，通过类比，迁移到两相交平面所成角（二面角）的引入上，从而实现知识的创新。
教师先肯定学生的创新结果，给予积极的评价，强化他们的创新意识。
由教师版书于上图表中右侧。
由教师出示预先准备好的二面角的模型，要求学生画出二面角不同方位不同角度的直观图，为了帮助学生能正确得画出不同方位和不同角度的二面角，教师预先用《数理平台》制作好的“《课件》《不同方位和不同角度》”（点击此处双引号的文字可打开课件《不同方位和不同角度的二面角》）的二面角的直观图。
3.2.4二面角及其度量_李本习
解得 cosx=
1 ，得 x=60° .因此所求的二面角的度数是 60° . 2
[归纳] 1.理解题意，几何问题向量化； 2.构造向量关系； 3.运算。
例 2． 已知： 二面角 α－l－β 的度数为 θ (0≤θ≤
)， 在 α 面内有△ABC， 2
A
它在 β 内的射影为△A’BC，它们的面积分别为 S，S’，求证：S’=Scosθ.
利用两个半平面内分别垂直于棱的向量的夹角：
[结论]：分别在二面角的两个半平面内沿两个半平面的方向作两个向量 n1 l , n2 l , 则可用 n1, n2 作为 二面角的大小。 问题 2：求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个 半平面的法向量有没有关系？
1 ( x, y, z ) ( , 0, 1) 0 ， 2
( x, y, z) (1,1, 1) 0 ，
1 xz 0 即 2 ，把 z 作为未知数， x y z 0
解得 x=2z，y=－z， 令 z=1，得 x=2，y=－1，得 n =(2，－1，1)，
在这两个图中，可以看出二面 角的大小与两法向量夹角的关 系：
在这两个图中， 可以看出二面 角的大小与两法向量夹角的 关系：
[结论]：两个半平面的法向量的夹角与该二面角大小相等或互补。 当法向量 ， 一个指向二面角内，另一个指向二面角外时，二面角的大小 ；
当法向量
，
同时指向二面角内或二面角外时，二面角的大小
构成
表示法
提出问题：如何度量二面角的大小？tml （二）二面角的平面角 在二面角 l 的棱上任取一点 O ，在两半平面内分别作射线 OA l , OB l , 则AOB 叫做二面角
人教B版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第一章 1.2.4 二面角
所成角的余弦值是
5
.
=
8
2√10×2
=
√10
5
,故平面 SAD 与平面 SAB
学以致用•随堂检测全达标
1.已知平面α内有一个以AB为直径的圆,PA⊥α,点C在圆周上(异于点A,B),
点D,E分别是点A在PC,PB上的射影,则(
A.∠ADE是二面角A-PC-B的平面角
B.∠AED是二面角A-PB-C的平面角
则在 Rt△BED
√2
45°=2 × 2
中,ta6,
故二面角 B-PA-C 的平面角的正切值为√6.
√2
4
a,
规律方法 1.本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后,再用
解三角形的方法来求解.
2.二面角的求法
变式训练1
如图,已知二面角α-a-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β,求∠APB的大小.
解设平面PAOB∩α=OA,平面PAOB∩β=OB.∵PA⊥α,a⊂α,∴PA⊥a.
同理PB⊥a,∴a⊥平面PAOB.
又OA⊂平面PAOB,∴a⊥OA.同理a⊥OB,
∴∠AOB是二面角α-a-β的平面角.
在四边形PAOB中,∠AOB=120°,
∠PAO=∠PBO=90°,所以∠APB=60°.
探究点二 利用空间向量求二面角
1
0, 2 ,-1
, =(1,1,-1), =
1
0, 2 ,0
.
⊥ ,
· = 0,
设平面 SCD 的法向量为 n=(x,y,z),则
即
⊥ ,
· = 0,
∴
+ - = 0,
1
高中数学教案《二面角》
高中数学教案《二面角》一、教学目标1.理解二面角的概念，掌握二面角的表示方法。
2.学会应用二面角的性质和定理解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学重难点重点：二面角的概念、表示方法及其性质。
难点：二面角性质的应用。
三、教学过程1.导入新课（1）引导学生回顾空间几何中的基本概念，如平面、直线、角等。
（2）提出问题：在空间几何中，我们学过角，那么什么是二面角呢？2.二面角的概念及表示方法（1）讲解二面角的概念：由两条相交直线与它们所在平面所夹的角叫做二面角。
（2）讲解二面角的表示方法：用两条相交直线表示，或者用它们所在平面表示。
（3）举例说明：展示一个二面角模型，引导学生观察并理解二面角的定义。
3.二面角的性质（1）讲解二面角的性质：二面角的度数范围是0°到180°。
（2）讲解二面角的性质：二面角的大小与两条相交直线的夹角大小无关。
（3）讲解二面角的性质：二面角的两个面可以互换。
4.二面角的应用（1）讲解二面角的应用：求解空间几何问题。
（2）举例说明：展示一个实际问题，引导学生运用二面角的知识解决问题。
5.练习与讨论（1）布置练习题：让学生独立完成一些关于二面角的练习题。
（2）讨论答案：引导学生互相讨论，共同解决问题。
（2）拓展延伸：引导学生思考如何将二面角的知识应用于实际问题。
四、教学反思本节课通过讲解二面角的概念、表示方法、性质及其应用，使学生掌握了二面角的基本知识。
在教学过程中，注重培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
通过练习题和讨论，学生能够灵活运用二面角的知识解决问题。
但部分学生在理解二面角的性质时仍存在困难，需要在今后的教学中加以关注。
五、教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、提问回答情况等。
2.作业完成情况：检查学生作业的完成质量，了解学生对二面角知识的掌握程度。
3.测试成绩：通过测试了解学生对二面角知识的掌握情况。
4.学生反馈：收集学生对本节课教学的意见和建议，以改进教学方法。
学案1：1.2.4 二面角
1.2.4 二面角【新知初探】1．二面角的概念(1)半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分， 都叫做半平面． (2)二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的 ， 叫做二面角的面．棱为l ，两个面分别为α，β的二面角的面，记作 ，若A ∈α，B ∈β，则二面角也可以记作 ，二面角的范围为 ．(3)二面角的平面角：在二面角αl β的棱上 ，以O 为垂足，分别在两半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则 叫做二面角αl β的平面角．提醒：二面角的大小等于它的平面角大小，平面角是直角的二面角称为直二面角． 思考：如何找二面角的平面角？2．用空间向量求二面角的大小如果n 1，n 2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ．则θ＝ 或θ＝ ，sin θ＝ ．【初试身手】1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二面角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2．( )(2)若二面角αl β的两个半平面的法向量分别为n 1，n 2，则二面角的平面角与两法向量夹角〈n 1，n 2〉一定相等．( )(3)二面角的大小通过平面角的大小来度量． ( )2．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，二面角A 1BC A 的余弦值为( ) A ．12 B ．23 C ．22 D ．333．已知二面角αl β，其中平面α的一个法向量m ＝(1,0，－1)，平面β的一个法向量n ＝(0，－1,1)，则二面角αl β的大小可能为________．4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，二面角A 1BD C 1的余弦值是________．【合作探究】类型一用定义法求二面角【例1】 如图，设AB 为圆锥PO 的底面直径，P A 为母线，点C 在底面圆周上，若△P AB 是边长为2的正三角形，且CO ⊥AB ，求二面角P AC B 的正弦值．[规律方法]用定义求二面角的步骤(1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)． (2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角． (3)解三角形求角． [跟进训练]1．已知矩形ABCD 的两边AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝45，则二面角A BD P的正切值为________．类型二用向量法求二面角[探究问题]1．构成二面角的平面角有几个要素？2．二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有何关系？【例2】如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．(1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1OB1D的余弦值．[母题探究]1．(变问法)本例(2)条件不变，求二面角BA1CD的余弦值．2．(变条件、变问法)本例四棱柱中，∠CBA＝60°改为∠CBA＝90°，设E，F分别是棱BC，CD的中点，求平面AB1E与平面AD1F所成锐二面角的余弦值．[规律方法]利用坐标法求二面角的步骤设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图．用坐标法的解题步骤如下：(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系．(2)求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量n1，n2．(3)计算：求n1与n2所成锐角θ，cos θ＝|n1·n2||n1|·|n2|．(4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ．提醒：确定平面的法向量是关键．类型三空间中的翻折与探索性问题【例3】如图甲，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，CD＝2AB＝2BC＝4，过A 点作AE⊥CD，垂足为E，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC．取AD的中点F，连接BF，CF，EF，如图乙．甲乙(1)求证：BC⊥平面DEC；(2)求二面角CBFE的余弦值．[规律方法]1．与空间角有关的翻折问题的解法要找准翻折前后的图形中的不变量及变化的量，再结合向量知识求解相关问题．2．关于空间角的探索问题的处理思路利用空间向量解决空间角中的探索问题，通常不需要复杂的几何作图、论证、推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理．[跟进训练]2．如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥CB，AD＝2CB＝4，∠ABC＝120°，E为AD的中点，现分别沿BE，EC将△ABE和△ECD折起，使得平面ABE⊥平面BCE，平面ECD⊥平面BCE，连接AD，如图2．图1图2(1)若在平面BCE内存在点G，使得GD∥平面ABE，请问点G的轨迹是什么图形？并说明理由．(2)求平面AED与平面BCE所成锐二面角的余弦值．【课堂小结】1．学会利用空间向量求二面角与定义法求二面角的方法．2．利用向量法求二面角的基本思想是把空间角转化为求两个向量之间的关系．首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量，然后运用向量的运算即可，其次要理清要求角与两个向量夹角之间的关系．【学以致用】1．三棱锥A BCD 中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1·n 2，若〈n 1，n 2〉＝π3，则二面角A BD C 的大小为( )A ．π3B ．2π3C ．π3或2π3D ．π6或π32．已知△ABC 和△BCD 均为边长为a 的等边三角形，且AD ＝32a ，则二面角A BC D 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．如图所示，在正四棱锥P ABCD 中，若△P AC 的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为6∶8，则侧面与底面所成的二面角为( )A ．π12B ．π4C ．π6D ．π34．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________．5．三棱锥P ABC ，P A ＝PB ＝PC ＝73，AB ＝10，BC ＝8，CA ＝6，求二面角P AC B 的大小．【参考答案】【新知初探】1．二面角的概念 (1)其中的每一部分 (2)两个半平面棱 每个半平面αl βA l B[0，π](3)任取一点O∠AOB思考：[提示] (1)定义法由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点，求解用到的是解三角形的有关知识． (2)垂面法作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就构成了平面角．(3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致．2．用空间向量求二面角的大小 〈n 1，n 2〉π－〈n 1，n 2〉sin 〈n 1，n 2〉 【初试身手】1．[答案] (1)× (2)× (3)√ [提示] (1)× 不是．是[0，π]． (2)× 不一定．可能相等，也可能互补． (3)√2．C [易知∠A 1BA 为二面角A 1 BC A 的平面角，cos ∠A 1BA ＝AB A 1B ＝22．]3．60°或120° [cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝－12·2＝－12，∴〈m ，n 〉＝120°，∴二面角αl β的大小为60°或120°．] 4．13 [如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则D (0,0,0)，B (1,1,0)，A 1(1,0,1)，DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BD 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝0，n ·DB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，∴n ＝(1，－1，－1)． 同理，求得平面BC 1D 的一个法向量m ＝(1，－1,1)， 则cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝13，所以二面角A 1BD C 1的余弦值为13．] 【合作探究】类型一用定义法求二面角【例1】[解] 如图，取AC 的中点D ，连接OD ，PD ，∵PO ⊥底面，∴PO ⊥AC ，∵OA ＝OC ，D 为AC 的中点，∴OD ⊥AC ， 又PO ∩OD ＝O ，∴AC ⊥平面POD ，则AC ⊥PD ， ∴∠PDO 为二面角P AC B 的平面角． ∵△P AB 是边长为2的正三角形，CO ⊥AB ， ∴PO ＝3，OA ＝OC ＝1，OD ＝22， 则PD ＝(3)2＋⎝⎛⎭⎫222＝142．∴sin ∠PDO ＝PO PD ＝3142＝427，∴二面角P AC B 的正弦值为427．[跟进训练]1．13[过A 作AO ⊥BD ，交BD 于O ，连接PO ，∵矩形ABCD 的两边AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝45，∴BD ＝32＋42＝5，PO ⊥BD ，∴∠POA 是二面角A BD P 的平面角，∵12×BD ×AO ＝12×AB ×AD ，∴AO ＝AB ×AD BD ＝125， ∴tan ∠POA ＝P A AO ＝45125＝13，∴二面角A BD P 的正切值为13．]类型二用向量法求二面角[探究问题]1．[提示] (1)角的顶点在二面角的棱上；(2)角的两边分别在表示二面角的两个半平面内；(3)角的两边分别和二面角的棱垂直． 2．[提示]条件平面α，β的法向量分别为u ，v ，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u ，v 〉＝φ图形关系 θ＝φ θ＝π－φ 计算 cos θ＝cos φcos θ＝－cos φ【例2】[解] (1)证明：因为四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形，所以CC 1⊥AC ，DD 1⊥BD ， 又CC 1∥DD 1∥OO 1，所以OO 1⊥AC ，OO 1⊥BD ， 因为AC ∩BD ＝O ，所以O 1O ⊥底面ABCD ．(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 为菱形，AC ⊥BD ， 又O 1O ⊥底面ABCD ，所以OB ，OC ，OO 1两两垂直．如图，以O 为原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设棱长为2，因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1， 所以O (0,0,0)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)， 平面BDD 1B 1的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 设平面OC 1B 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由m ⊥OB 1→，m ⊥OC 1→，所以3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0， 取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，所以m ＝(2,23，－3)， 所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝2319＝25719．由图形可知二面角C 1OB 1D 的大小为锐角， 所以二面角C 1OB 1D 的余弦值为25719．[母题探究]1．[解] 如图建立空间直角坐标系．设棱长为2，则A 1(0，－1,2)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)． 所以BC →＝(－3，1,0)，A 1C →＝(0,2，－2)，CD →＝(－3，－1,0)． 设平面A 1BC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1C →＝0，n 1·BC →＝0，即⎩⎨⎧2y 1－2z 1＝0，－3x 1＋y 1＝0，取x 1＝3，则y 1＝z 1＝3，故n 1＝(3，3,3)． 设平面A 1CD 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1C →＝0，n 2·CD →＝0，即⎩⎨⎧2y 2－2z 2＝0，－3x 2－y 2＝0，取x 2＝3，则y 2＝z 2＝－3，故n 2＝(3，－3，－3)． 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－1521＝－57．由图形可知二面角B A 1C D 的大小为钝角，所以二面角B A 1C D 的余弦值为－57．2．[解] 以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，设此棱柱的棱长为1， 则A (0，0,0)，B 1(1,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0，D 1(0,1,1)，F ⎝⎛⎭⎫12，1，0，AE →＝⎝⎛⎭⎫1，12，0，AB 1→＝(1,0,1)，AF →＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，AD 1→＝(0,1,1)． 设平面AB 1E 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB 1→＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋z 1＝0，x 1＋12y 1＝0， 令y 1＝2，则x 1＝－1，z 1＝1，所以n 1＝(－1,2,1)． 设平面AD 1F 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AD 1→＝0，n 2·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋z 2＝0，12x 2＋y 2＝0.令x 2＝2，则y 2＝－1，z 2＝1．所以n 2＝(2，－1,1)．所以平面AB 1E 与平面AD 1F 所成锐二面角的余弦值为 |n 1·n 2||n 1||n 2|＝|(－1，2，1)·(2，－1，1)|(－1)2＋22＋12·22＋(－1)2＋12＝|(－1)×2＋2×(－1)＋1×1|6×6＝12．类型三空间中的翻折与探索性问题【例3】[解] (1)证明：如图，∵DE ⊥EC ，DE ⊥AE ，AE ∩EC ＝E ， ∴DE ⊥平面ABCE ，又∵BC ⊂平面ABCE ，∴DE ⊥BC ， 又∵BC ⊥EC ，DE ∩EC ＝E ，∴BC ⊥平面DEC ．(2)如图，以点E 为坐标原点，分别以EA ，EC ，ED 为x ，y ，z 轴建立空间坐标系E xyz ，∴E (0,0,0)，C (0,2,0)，B (2,2,0)，D (0,0,2)，A (2,0,0)，F (1,0,1)， 设平面EFB 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由EF →＝(1,0,1)，EB →＝(2,2,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋z 1＝0，2x 1＋2y 1＝0，∴取x 1＝1，得平面EFB 的一个法向量n 1＝(1，－1，－1)， 设平面BCF 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由CF →＝(1，－2,1)，CB →＝(2,0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，x 2－2y 2＋z 2＝0，∴取y 2＝1，得平面BCF 的一个法向量n 2＝(0,1,2)，设二面角C BF E 的大小为α，则cos α＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝|－1－2|5·3＝155．[跟进训练]2．[解] (1)点G 的轨迹是直线MN ．理由如下：如图，分别取BC 和CE 的中点N 和M ，连接DM ，MN ，ND ，则MN ∥BE ，又MN ⊄平面BEA ，BE ⊂平面BEA ，∴MN ∥平面BEA ，依题意有△ABE ，△BCE ，△ECD 均为边长为2的正三角形，∴MD ⊥CE ， 又平面ECD ⊥平面BCE ，则MD ∥平面BEA ， ∴平面NMD ∥平面BEA ，∴点G 的轨迹是直线MN ．(2)如图，以点M 为坐标原点，MB 为x 轴，MC 为y 轴，MD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则E (0，－1,0)，D (0,0，3)，A ⎝⎛⎭⎫32，－12，3，∴EA →＝⎝⎛⎭⎫32，12，3，ED →＝(0,1，3)，设平面AED 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·ED→＝y ＋3z ＝0，n ·EA →＝32x ＋12y ＋3z ＝0，取x ＝3，得n ＝(3，3，－3)， 取平面BCE 的一个法向量m ＝(0,0,1)， 则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝－55，∴平面AED 与平面BCE 所成锐二面角的余弦值为55． 【学以致用】1．C [当二面角A BD C 为锐角时，它等于〈n 1，n 2〉＝π3．当二面角A BD C 为钝角时，它应对等于π－〈n 1，n 2〉＝π－π3＝2π3．]2．C [如图取BC 的中点为E ，连接AE ，DE ，由题意得AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，且AE ＝DE ＝32a ， 又AD ＝32a ，∴∠AED ＝60°，即二面角A BC D 的大小为60°．] 3．D [设正四棱锥的底面边长为a ，侧面与底面所成的二面角为θ，高为h ，斜高为h ′，则12×2ah 4×12ah ′＝68，∴h h ′＝32，∴sin θ＝32，即θ＝π3．]4．23[建系如图，设正方体的棱长为1， 则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，1，12，∴DA 1→＝(1,0,1)，DE →＝⎝⎛⎭⎫1，1，12．设平面A 1ED 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·DA 1→＝0，且n ·DE →＝0． 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＋12z ＝0，令x ＝1，得y ＝－12，z ＝－1．∴n ＝⎝⎛⎭⎫1，－12，－1， 又平面ABCD 的一个法向量为DD 1→＝(0,0,1)．则cos 〈n ，DD 1→〉＝|n ·DD 1→||n ||DD 1→|＝23．]5．[解] 如图在三棱锥P ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝73，AB ＝10，BC ＝8，CA ＝6，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形， ∴P 在底△ABC 的射影D 是△ABC 的外心， 即斜边AB 的中点D 是P 在底△ABC 的射影， 作DE ⊥AC ，交AC 于点E ，连接PE ， 则∠PED 是所求的二面角的平面角，由题意得DE ＝4，PE ＝8，cos ∠PED ＝DE PE ＝12，∴∠PED ＝60°，∴二面角P AC B 的大小为60°．。
山东省德州市武城二中高中数学选修2-1 323 二面角及其度量教案
请同学们回顾直线和平面所成的角的定义，尝试对平面与平面所成的角做出定义，并区别两种角的范围。
【自学导拨】1.平面内的一条直线把平面分成两部分，都叫做半平面。
2.二面角从 图形叫做二面角，这条直线叫做， 叫做二面角的面，棱为l ，两个面分别为α，β的二面角，记作 ，若α∈A ，β∈B ，则二面角也可以记作 ，也可记作。
3.二面角的平面角 在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，在两半平面内分别作射线OA l ，OB l ，则 叫做二面角βα--l 的平面角。
4.二面角的范围设二面角为θ，则∈θ . 【思路与方法技巧】例1.PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝AC ＝1，BC 2=，求二面角A －PB －C 的余弦值。
例2.在底面为直角梯形的四棱锥S －ABCD 中，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝21，求平面SCD 与平面SAB 所成二面角的余弦值。
例3.将一幅三角板按如图的方法拼接，设BC ＝6，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∠BCD ＝90°，∠BDC ＝60°，再把三角板ABC 沿BC 折起，使两块三角板所在的平面互相垂直。
（1）求证：平面ABD ⊥平面ACD ；（2）求二面角A －BD －C 的大小。
【巩固练习】1.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1和DD 1的中点，则平面ECF 与平面ABCD 的夹角的余弦值为（ ） A.33 B.31 C.36 D.232 2.自二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，这两条垂线所成的角与二面角的大小关系是（ ）A.相等B.互为补角C.互为余角D.相等或互为补角3.把矩形ABCD 沿对角线BD 折成二面角A －BD －C ，若AB ＝1，AD ＝3，AC ＝27，则平面ABD 与平面BCD 的夹角为（ ）A.30°B.60°C.120°D.90° 4.二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝172，则该二面角的大小为（ ）A.150°B.45°C.60°D.120° 5.直角三角形ABC 的斜边AB 在平面α内，直角顶点C 在α内的射影是C ′，则C AB '∆是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.各种情况都有可能 6.如图所示，在边长为a 的ABC ∆中，AD ⊥BC ，沿AD 将ABC ∆折起，若折起后B 、C两点间距离为a 21，则二面角B －AD －C 的大小为（ ） A.30° B.45°C.60°D.90°7.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为正三角形，若AA 1＝AB ＝1，E 为棱BB 1的中点，则平面AEC 与平面ABC 所成锐二面角的大小为。