湖北省黄冈市2020届高三上学期第五届高考测评活动元月调考(期末)数学(理)试题

2020年湖北省第五届高考测评活动高三元月调考数学试卷（理科）2020.1.7本试题卷共4页，22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合}1|{x y x A -==，集合}0|{2<-=x x x B ，则=B AA.∅B.}1|{<x xC.}10|{<<x xD.}0|{<x x答案：D 2. 复数iiz 2134++=的虚部为 A.i B.i - C.1 D.1-答案：D3. 若直线0=++a y x 平分圆014222=++-+y x y x 的面积，则a 的值为A.1B.1-C.2D.2- 答案：A4. 已知向量)2,1(-=AB ，)5,(-=x BC ，若7-=⋅BC AB ，则=||ACA.5B.24C.6D.25答案：A5. 图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若5=AD ，3=BD ，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正三角形（阴影部分）的概率为A.649B.494C.252 D.72 答案：B6. 设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+≤+01212y x y x y x ，则y x z 23-=的最小值为A.5-B.5C.31D.31-答案：A7. 将甲、乙、丙、丁四人分配到A ，B ，C 三所学校任教，每所学校至少安排1人，则甲不去A 学校的不同分配方法有 A.18种 B.24种 C.32种 D.36种答案：B8. 已知实数0>x ，0>y ，则“1≤xy ”是“422≤+y x ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B9. 将函数)62sin(2)(π-=x x f 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到)(x g 的图象.若⋅)(1x g )(2x g 9=，且]2,2[,21ππ-∈x x ，则21x x -的最大值为A.πB.π2C.π3D.π4答案：C 10. 关于函数)121(1)(-+=x e x x f 有下列结论： ①图像关于y 轴对称；②图像关于原点对称；③在)0,(-∞上单调递增；④)(x f 恒大于0. 其中所有正确结论的编号是 A.①③ B.②④ C.③④ D.①③④答案：D11. 已知抛物线C :py x 22=的焦点为F ，定点)0,32(M ，若直线FM 与抛物线C 相交于A ，B 两点（点B 在F ，M 中间），且与抛物线C 的准线交于点N ，若||7||BF BN =，则AF 的长为A.87B.1C.67 D.3答案：C12. 如图，在ABC ∆中，41cos =∠BAC ，点D 在线段BC 上，且DC BD 3=，215=AD ，则ABC ∆的面积的最大值为A.23B.4C.15D.32答案：C二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13. 在2.0log 2，2.02，3.02.0三个数中，则最大的数为___________.答案：2.0214. 已知F 是双曲线C :1322=-y x 的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若||||OF OP =，则OPF ∆的面积为___________. 答案：23 15. 设数列}{n a 满足a a =1，n n n a a a 2)1)(1(1=--+)(*N n ∈，若数列}{n a 的前2019项的乘积为3，则=a ___________. 答案：216. 已知函数x x x x f cos sin )1()(++=，若对于任意的]2,0[,21π∈x x )(21x x ≠，均有|||)()(|2121x x e e a x f x f -<-成立，则实数a 的取值范围为___________. 答案：1≥a三、解答题：本大题有6小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分10分）已知函数23)3cos(sin 2)(++=πx x x f . （1）求)125(πf 的值； （2）求)(x f 的最小正周期及单调增区间.【解析】（Ⅰ）因为()12sin cos 222f x x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭11c o s 23s i n 23s i n 22223x x x -π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 所以551sin 12632f πππ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………5分 （2）()f x 的最小正周期2ππ2T ==. …………………………7分 令ππ2π22π+232k x k π-≤+≤，解得5ππππ+1212k x k -≤≤ 所以()f x 的单调增区间为5ππ[π,π+]()1212k k k Z -∈ ………………………10分18.（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足11=a ，141-=++n a a n n ，3,2,1=n …， （1）求数列}{n a 的通项；（2）设12221254433221+--++-+-=n n n n n a a a a a a a a a a a a S ，求n S . 【解析】（1）141,1,2,3n n a a n n ++=-=⋅⋅⋅ ①14(1)1,2,3,4n n a a n n -∴+=--=⋅⋅⋅ ② ………………2分 ①－ ②得114,2,3n n a a n +--==⋅⋅⋅当n 为奇数，1141212n n a n +⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭, 当n 为偶数，241222n n a n ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭所以 21,22,n n n a n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数………………6分 （2）21343522121()()()n n n n S a a a a a a a a a -+=-+-+⋅⋅⋅+-()()22462242(4)()482n n n a a a a n +-=-+++⋅⋅⋅+=-=- ………………12分19. （本小题满分12分）已知x a x kx x f sin 2sin )(+-=（a k ,为实数).（1）当0=k ，2=a 时，求)(x f 在],0[π上的最大值； （2）当4=k 时，若)(x f 在R 上单调递增，求a 的取值范围. 【解析】（1）当0k =，2a =时，()sin 22sin f x x x =-+'()2cos22cos f x x x =-+24cos 2cos 2x x =-++2(2cos 1)(1cos )x x =+-()f x ∴=最大值（2）()f x 在R 上单调递增，则'22()42(cos sin )cos 0f x x x a x =--+≥对x R ∀∈恒成立.得24cos cos 60x a x --≤，设cos t x =[]1,1∈-，2()46g t t at =--，则()0g t ≤在[]1,1-上恒成立，由二次函数图象(1)0(1)0g g -≤⎧⎨≤⎩， 得22a -≤≤. ………12分20. （本小题满分12分）已知椭圆Γ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，点A 为该椭圆的左顶点，过右焦点)0,(c F 的直线l 与椭圆交于B ，C 两点，当x BC ⊥轴时，三角形ABC 的面积为18. （1）求椭圆Γ的方程；（2）如图，当动直线BC 斜率存在且不为0时，直线c x =分别交直线AB ，AC 于点M 、N ,问x 轴上是否存在点P ，使得PN PM ⊥，若存在求出点P 的坐标；若不存在说明理由.【解析】（1）由已知条件得()22221212182c a b a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪⨯+⨯=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得4,a b ==所以椭圆Γ的方程为22:11612x y +=. ………………4分 （2）设动直线BC 的方程为()2y k x =-，()()1122,|,B x y C x y 、，则直线AB 、AC 的方程分别为()1144y y x x =++和()2244y y x x =++， 所以点M 、N 的坐标分别为1212662,2,44y y M N x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭、， ………………6分 联立()22211612y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()2222341616480k x k x k +-+-=，所以22121222161648,3434k k x x x x k k -+==++， ………………7分 于是()()()()22222212122212122216481636243622343466916481644444163434MN k k k k x x k k y y y y k k x x x x k k ⎛⎫--+ ⎪--++⎝⎭====--++++++++，………………10分假设存在点(),0P t 满足PM PN ⊥，则()220M N t y y -+=，所以15t =-或，所以当点P 为()1,0-或()5,0时，有PM PN ⊥. ………………12分21. （本小题满分12分）黄冈“一票通”景区旅游年卡，是由黄冈市旅游局策划，黄冈市大别山旅游公司推出的一项惠民工程，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市19家签约景区.为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如下所示的频数分布表：（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；（2）根据样本数据，可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布)15,45(2N ，若该市总人口为750万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7500元以上；（3）若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该景点游玩现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该景点游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，记总得分为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望.【解析】(1)设样本的中位数为x ，则()40103904000.510001000100020x -++⋅=，解得=45x ，所得样本中位数为45（百元）. …………2分 （2）45μ=，15σ=，275μσ+=，旅游费用支出在7500元以上的概率为()2P x μσ≥+1(22)2P x μσμσ--<<+=10.95440.02282-==， 0.022875017.1⨯=，估计有17.1万市民旅游费用支出在7500元以上. …………6分（3）由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为35, X 可能取值为3，4，5，6 ()32835125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2133236455125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()2233254555125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()332765125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 故其分布列为()83654272434561251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………12分 22. （本小题满分12分）已知函数x e x x a x f )1(ln )(--=，其中a 为非零常数. （1）讨论)(x f 的极值点个数，并说明理由；（2）若e a >，（i ）证明：)(x f 在区间),1(+∞内有且仅有1个零点；（ii ）设0x 为)(x f 的极值点，1x 为)(x f 的零点且11>x ，求证：100ln 2x x x >+.【解析】（1）解：由已知，的定义域为，且()2'x xa a x e f x xe x x -=-=因此①当0a <时，20xa x e -< ，从而()'0f x <，所以在内单调递减，无极值点…2分②当0a >时，令()2x g x a x e =-，则由于()g x 在[)0+∞，上单调递减，()g 0=0a >，()f x (0,)+∞()f x (0,)+∞(g10a a =-=-<，所以存在唯一的()00+x ∈∞，,使得()0g 0x =， 所以当()00,x x ∈时，()0g x >，即()'0f x >；当()0,+x x ∈∞时，()0g x <，即()'0f x <所以当0a >时，()f x 在()0,+∞上有且仅有一个极值点. …………5分（2）证明：（i ）由（1）知()2'xa x e f x x-=.令()2x g x a x e =- ，由a e >得()10g a e =->，所以()g 0x =在()1+∞，内有唯一解，从而在()0+∞，内有唯一解，不妨设为，则()f x 在()01,x 上单调递增，在()0,+x ∞上单调递减, 所以0x 是的唯一极值点. 令，则当时，，故在内单调递减，从而当时， ，所以. 从而当a e >时，ln 1a >，且()()()()()ln ln ln ln ln 1ln 1ln 10a f a a a a e a a a a =--<---=又因为()1=0f ，故()f x 在()1+∞，内有唯一的零点. ………………9分（ii ）由题意，即()0120110ln 10x x a x e a x x e ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，从而()012011e ln 1x x x x x e =-，即1011201ln x x x x e x --=.因为当11x >时，11ln 1x x <- ，又，故 10112011x x x e x x --<-，即1020x x e x -<，两边取对数， 得，于是1002ln x x x -<， 整理得0012ln x x x +>. …………12分()0f x '=0x ()f x ()ln 1h x x x =-+1x >1()10h x x'=-<()h x (1,)+∞1x >()()10h x h <=1lnx x <-()()010,0,f x f x '⎧=⎪⎨=⎪⎩101x x >>1020ln ln x x e x -<。