2011年 湖北省高考数学试卷(理科)
湖北高考理科数学试卷及答案详解WORD版(答案超级详细)
2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学（理工农医类）本试卷共4页，三大题21小题。
满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试卷卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷卷上无效。
3. 填空题和解答题用0.5毫M 黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试卷卷上无效。
4. 考试结束，请将本试卷卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。
1.i 为虚数单位，则201111i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭(A) -1 (B)-i (C)1 （D)i解读：选B 。
()()()()2111121112i i i i i i i i i +++++===--+，故2011201111i i i i +⎛⎫==- ⎪-⎝⎭2.已知{}21log ,1,,2U y y x x P y y x x ⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭，则U P =ð(A)(]1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ (B)10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(C) ()0,+∞(D)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭解读：选D{}{}2log ,10U y y x x y y ==>=>，11,202P y y x y y x ⎧⎫⎧⎫==>=<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，故U P =ð12y y ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭，即为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3.已知函数()3sin cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为(A) 22,3P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(B)522,66P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(C),3P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(D)5,66P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭解读：选A.()3sin cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令()1f x ≥得：1sin 62x π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，于是522,666k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解之即得A 。
2011年湖北高考数学理科试卷(带详解)
2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数 学(理工农医类)一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.1.i 为虚数单位，则20111i 1i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭( )A.i -B.1-C.iD.1 【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出复数的代数式，根据四则运算化简求解. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】因为()221i 1i i 1i 1i ++==--，所以201120114502331i i i i i 1i ⨯++⎛⎫====- ⎪-⎝⎭，故选A.2.已知{}1,log 2>==x x y y U ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>==2,1x x y y P ，则U P =ð ( )A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21B.⎪⎭⎫⎝⎛21,0 C.()+∞,0 D. ()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∞-,210,【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】给出全集和一个子集，根据反函数和对数函数性质化简，再利用集合的基本运算求解. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由已知()+∞=,0U ，⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,0P ，所以1,2U P ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭ð,故选A.3.已知函数()x x x f cos sin 3-=，x ∈R ，若()1f x …，则x 的取值范围为 ( ) A.ππππ,3x k x k k ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭Z 剟B.π2π2ππ,3x k x k k ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭Z 剟C.π5πππ,66x k x k k ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭Z 剟 D.π5π2π2π,66x k x k k ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭Z 剟 【测量目标】两角和与差的正弦，三角函数的定义域和周期性.【考查方式】给出三角函数的解析式，利用两角和与差的正弦化简，再根据三角函数的值域求解定义域.【难易程度】中等 【参考答案】Bcos 1x x -…得π1sin 62x ⎛⎫- ⎪⎝⎭…，（步骤1） 则ππ5π2π2π666k x k +-+剟，解得π2π2ππ3k x k ++剟，k ∈Z ，所以选B.（步骤2）4.将两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n ，则 ( )A. 0=nB. 1=nC. 2=nD. 3n … 【测量目标】直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单几何性质. 【考查方式】给出含未知系数的抛物线函数，根据抛物线的对称性，得到过焦点的两条直线的斜率，从而判断求解. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】根据抛物线的对称性，正三角形的两个 顶点一定关于x 轴对称，且过焦点的两条直线 倾斜角分别为30和150，（步骤1）这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形 的个数记为n ，2=n ，所以选C.(步骤2)第4题图5.已知随机变量ξ服从正态分布()2,2σN ，且()8.04=<ξP ，则()=<<20ξP ( )A. 6.0B. 4.0C. 3.0D. 2.0 【测量目标】随机变量的正态分布，离散型随机变量的概率.【考查方式】给出限制条件下的随机变量的概率，根据正态分布对称性计算其他限制条件下随机变量的概率.【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于 直线2=x 对称，所以()5.02=<ξP ，（步骤1）并且()()4220<<=<<ξξP P 则()()()2420<-<=<<ξξξP P P3.05.08.0=-=所以选C.（步骤2）第5题图6.已知定义在R 上的奇函数()x f 和偶函数()x g 满足()()2+-=+-x x a a x g x f()1,0≠>a a 且，若()a g =2，则()=2f （ ） A. 2 B.415 C. 417 D. 2a 【测量目标】函数奇偶性的综合应用.【考查方式】给出两个函数间的关系式和一个函数值，求在相同自变量下另一函数值. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】由条件()()22222+-=+-a a g f ，()()22222+-=-+--a a g f ，即 ()()22222+-=+--a a g f ，由此解得()22=g ，()222--=a a f ，（步骤1） 所以2=a ，()41522222=-=-f ，所以选B.（步骤2） 7.如图，用21A A K 、、三类不同的元件连接成一个系统，K 正常工作且21A A 、至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知21A A K 、、正常工作的概率依次为9.0、8.0、8.0，则系统正常工作的概率为 ( )第7题图A. 960.0B. 864.0C. 720.0D. 576.0 【测量目标】对立事件的概率，乘法原理.【考查方式】分别给出3个事件的概率，利用对立事件的概率公式得到两个事件概率，再根据乘法原理得出结果. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】21A A 、至少有一个正常工作的概率为()()211A P A P - ()()110.810.810.040.96=--⨯-=-=，（步骤1）系统正常工作概率为()()()()864.096.09.0121=⨯=-A P A P K P ，所以选B.（步骤2）8.已知向量a ()3,z x +=，b ()z y -=,2，且a ⊥b .若y x ,满足不等式1x y +…，则z 的取值范围为 ( ) A. []2,2- B. []3,2- C. []2,3- D. []3,3-【测量目标】平面向量的数量积运算，向量的坐标运算，二元线性规划求目标函数的最值，判断不等式组表示的平面区域.【考查方式】给出两个相互垂直的向量坐标和不等式方程，画出可行域，再利用向量的数量积运算得出目标函数，根据图象求解. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】因为a ⊥b ，()()032=-++z y z x ， 则y x z 32+=，y x ,满足不等式1x y +…，（步骤1） 则点()y x ,的可行域如图所示,当y x z 32+=经过点()1,0A 时，y x z 32+=取得最大值3. 当y x z 32+=经过点()1,0-C 时，y x z 32+=取得最小值-3. 所以选D .（步骤2）第8题图9.若实数b a ,满足0,0a b厖，且0=ab ，则称a 与b 互补，记()b a b a b a --+=22,ϕ，那么()0,=b a ϕ是a 与b 互补 ( )A . 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件 【测量目标】充分、必要条件，合情推理.【考查方式】给出关于实数的新定义，根据合情推理求解. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】若实数b a ,满足0,0a b厖，且0=ab ，则a 与b 至少有一个为0，不妨设0=b ，则()0,2=-=-=a a a ab a ϕ；（步骤1） 反之，若()0,22=--+=b a b a b a ϕ0a b =+…两边平方得ab b a b a 22222++=+0=⇔ab ，则a 与b 互补，故选C.（步骤2）10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：()3002t M t M -=，其中0M 为0=t 时铯137的含量，已知30=t 时，铯137的含量的变化率．．．是2ln 10-（太贝克/年），则()=60M ( ) A. 5太贝克 B. 2ln 75太贝克 C. 2ln 150太贝克 D. 150太贝克 【测量目标】导数的运算，导数在实际问题中的应用，导数的几何意义.【考查方式】给出含未知系数的函数，利用导数的运算求出含未知系数导函数，再利用导数的几何意义得到导函数，再计算求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】因为()3001ln 2230tM t M -'=-⨯，则()30300130ln 2210ln 230M M -'=-⨯=-，解得6000=M ，所以()302600tt M -⨯=，那么()150416002600603060=⨯=⨯=-M （太贝克），所以选D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11.在1831⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中含15x 的项的系数为 .（结果用数值表示）【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出二项式，根据二项式展开式的通项公式求解特定项的系数. 【难易程度】容易 【参考答案】17【试题解析】二项式展开式的通项公式为18118C r r r r T x -+⎛= ⎝1182181C 3rr r r x--⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2152118=⇒=--r r r ，含15x 的项的系数为22181C 173⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故填17. 12.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为 .（结果用最简分数表示） 【测量目标】对立事件的概率,随机事件与概率.【考查方式】给出问题情境，求出所求事件的对立事件的概率，根据对立事件的概率公式，得到所求事件的概率. 【难易程度】容易 【参考答案】14528 【试题解析】从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，从这30瓶饮料中任取2瓶，没有取到1瓶已过了保质期饮料为事件B ，则A 与B 是对立事件，因为()227230C 2713C 1529P B ⨯==⨯，（步骤1） 所以()()145282915132711=⨯⨯-=-=B P A P ，所以填14528.（步骤2）13.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升. 【测量目标】等差数列的通项公式.【考查方式】给出实际问题，转化为数列求项的问题，从而联立方程求解，并根据通项公式得出结果.【难易程度】容易 【参考答案】6667 【试题解析】：设该数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意⎩⎨⎧=++=+++439874321a a a a a a a ，即⎩⎨⎧=+=+421336411d a d a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+6673471d d a ，（步骤1） 则d d a d a a 374115-+=+=6667662134=-=，所以应该填6667.（步骤2） 14.如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系x Oy ''（其中y '轴与y 轴重合）所在的平面为β，45xOx '∠=.（Ⅰ）已知平面β内有一点()P '，则点P '在平面α内的射影P 的坐标为 ； （Ⅱ）已知平面β内的曲线C '的方程是(22220x y ''+-=，则曲线C '在平面α内的射影C 的方程是 .第14题图1【测量目标】曲线与方程，二面角.【考查方式】(1)给出一点的坐标和二面角，根据二面角的定义求解射影点的坐标;(2)给出曲线在一个平面内的方程，根据射影定理求解曲线在另一个平面内的方程. 【难易程度】中等【参考答案】()2,2,()1122=+-y x【试题解析】（Ⅰ）设点P '在平面α内的射影P 的坐标为()y x ,，则点P 的纵坐标和()P '纵坐标相同，所以2=y ，（步骤1） 过点P '作P H Oy '⊥，垂足为H ， 连结PH ，则45P HP '∠=，P 的横坐标cos 45x PH P H '== cos 4522x '=== ， 所以点P '在平面α内的射影P 的坐标为()2,2；（步骤2）（Ⅱ）由（Ⅰ）得cos 452x x x ''==⨯，y y '=，所以x y y⎧'=⎪⎨'=⎪⎩代入曲线C '的方程 (22220x y ''+-=，得()⇒=-+-0222222y x ()1122=+-y x ，所以射影C 的方程填()1122=+-y x .（步骤3）第14图215.给n 个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当4n …时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如下图所示：第15题图由此推断，当6=n 时，黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有 种.（结果用数值表示） 【测量目标】合情推理.【考查方式】给出前四项的图象，根据合情推理归纳出后面项的性质求解. 【难易程度】中等 【参考答案】43,21【试题解析】设n 个正方形时黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案数为n a ，由图可知， 21=a ，32=a ，213325a a a +=+==， 324538a a a +=+==，由此推断5345813a a a =+=+=，21138546=+=+=a a a ，故黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种；（步骤1）由于给6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有6422222226==⨯⨯⨯⨯⨯种方法，由于黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种，所以至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有432164=-种着色方案，故分别填43,21.（步骤2） 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分10分） 设ABC △的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，41cos =C . （Ⅰ）求ABC △的周长； （Ⅱ）求()C A -cos 的值.【测量目标】正弦、余弦定理，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦.【考查方式】给出三角形的两边长，和第三边所对角的余弦值.(1)根据余弦定理求出第三边长，从而求出三角形的周长；（2）利用同角的三角函数的基本公式求出两个角的正、余弦值，利用两角差的余弦求解.【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=c∴ABC △的周长为5221=++=++c b a .（步骤1）（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===cC a A .（步骤2） ∵c a <，∴C A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A ,（步骤3） ∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. （步骤4） 17．（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20200x 剟时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （Ⅰ）当0200x剟时，求函数()x v 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x = 可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时） 【测量目标】求函数的解析式，分段函数，均值不等式求最值，函数的单调性,利用函数单调性求最值.【考查方式】给出实际问题，（1）利用待定系数法求出函数的解析式；（2）运用均值不等式和函数的单调性求出分段函数不同段的最值. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由题意：当020x <…时，()60=x v ；当20200x剟时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得⎩⎨⎧=+=+60200200b a b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=320031b a故函数()x v 的表达式为()x v =()60,020,1200,20200.3x x x <⎧⎪⎨-⎪⎩…剟（步骤1）（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()60,020,1200,20200.3x x x x x <⎧⎪⎨-⎪⎩…剟当020x <…时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=⨯；当20200x剟时，()()()220011100002003323x x f x x x +-⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦…，（步骤2） 当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立．所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值310000． 综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值100003≈3333，（步骤3）即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． 18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱111C B A ABC -的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合．（Ⅰ）当1=CF 时，求证C A EF 1⊥；（Ⅱ）设二面角E AF C --的大小为θ，求θtan 的最小值.第18题图1【测量目标】异面直线垂直的判定，二面角,线面垂直的判定，空间直角坐标系，空间向量的数量积运算，空间向量的夹角问题. 【考查方式】（法一）（Ⅰ）通过面面垂直到线面垂直，在利用射影定理和三垂线定理求证异面直线的垂直；（Ⅱ）找出二面角的平面角，通过解三角形求解二面角.(法二)建立空间直角坐标系，（Ⅰ）利用空间向量的数量积运算求证；(1)先找出两个平面的两个法向量，再利用法向量的数量积运算求出二面角的大小. 【难易程度】较难 【试题解析】．解法1：过E 作EN AC ⊥于N ，连结EF . (Ⅰ)如图，连结NF 、1AC ,由直棱柱的性质知，底面ABC ⊥侧面1AC , 又底面ABC 侧面1AC AC =,且EN ABC ⊂底面, 所以1,EN AC NF ⊥面侧为EF 在侧面1AC 内的射影.（步骤1）在Rt CNE △中，cos60=1CN CE = . 则由114CF CN CC CA ==，得1NF AC ∥,又11,AC AC ⊥故1NF AC ⊥. 由三垂线定理知1.EF AC ⊥（步骤2）(Ⅱ)如图，连结,AF 过N 作NM AF ⊥于M ,连结ME .由（Ⅰ）知EN ⊥侧面1AC ,根据三垂线定理得EM AF ⊥, 所以EMN C AF E ∠--是二面角的平面角，即,EMN θ∠=（步骤3）设,FAC α∠=则045α<….在Rt CNE △中，sin60NE EC = 在Rt AMN △中，sin =3sin MN AN αα= ，故tan =.3sin NE MN θα=又045α< …，0sin 2α∴<…故当sin 2α=即当45α= 时，tan θ达到最小值，tan θ==此时F 与1C 重合.（步骤4） 解法2：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得1(0,0,0),(0,4,0),(0,0,4),(0,4,1),A B C A E F于是1(0,4,4),(,1).CA EF =-=则1(0,4,4)(,1)0440,CA EF =-=-+=故1EF AC ⊥.（步骤5） （Ⅱ）设,(04),CF λλ=<…平面AEF 的一个法向量为(,,),x y z m =则由（Ⅰ）得(0,4,).F λ(0,4,),AE AF λ== 于是由,AE AF ⊥⊥m m 可得00AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m即3040y y z λ+=+=⎪⎩，取,,4).λ=-m 又由直三棱柱的性质可取侧面1AC 的一个法向量为(1,0,0)=n ，（步骤6）于是由θ为锐角可得cos θθ===m nm n所以tan θ=由1104,tan 4λθλ<=得，即剠?. 故当4,λ=即点F 与点1C 重合时，tan θ（步骤7）第18题图2 第18题图3 第19题图419.（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：1(0)a a a =≠，n n rS a =+1(n *∈N ，,1)r r ∈≠-R . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若存在k *∈N ，使得1+k S ，k S ，2+k S 成等差数列，试判断：对于任意的m ∈N *，且2m …，1+m a ，m a ，2+m a 是否成等差数列，并证明你的结论.【测量目标】根据数列的前n 项和写数列的通项公式，等差数列的性质.【考查方式】给出首项、数列前n 和与通项公式的关系式，（1）由此得到数列的递推公式，再分类讨论求出函数的通项公式；（2）利用等差数列的性质求证.【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)由已知1n n a rS +=,可得21,n n a rS ++=两式相减可得2111(),n n n n n a a r S S ra ++++-=-=即21(1),n n a r a ++=+又21a ra ra ==，所以当0r =时，数列{}n a 为：,0,0a …，，…；当0,1r r ≠≠-时，由已知0,a ≠所以0(),n a n *≠∈N于是由21(1),n n a r a ++=+可得211()n n a r n a *++=+∈N 23,,,n a a a ∴…，…成等比数列，22(1).n n n a r r a -∴=+，…综上，数列{}n a 的通项公式为2,1,(1),2n n a n a r r a n -=⎧=⎨+⎩…（步骤1） （Ⅱ）对于任意的,m *∈N 且122,,,m m m m a a a ++…成等差数列，证明如下：当0r =时，由（Ⅰ）知，,10,2,n a n a n =⎧=⎨⎩… ∴对于任意的,m *∈N 且122,,,m m m m a a a ++…成等差数列；（步骤2） 当0,1r r ≠≠-时，21211,,k k k k k k k S S a a S S a +++++=++=+若存在,k *∈N 使得12,,k k k S S S ++成等差数列，则122,k k k S S S +++=12222k k k k S a a S ++∴++=，即212.k k a a ++=-（步骤3）由（Ⅰ）知，23,,,n a a a …，…的公比12,r +=-于是对于任意的,m *∈N 且12,2,m m m a a +=-…从而24,m m a a +=122,m m m a a a ++∴+=即12,,m m m a a a ++成等差数列.综上，对于任意的,m *∈N 且2,m …12,,m m m a a a ++成等差数列.（步骤4）20. （本小题满分14分）平面内与两定点1(,0),A a -，2(,0)(0)A a a >连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线.（Ⅰ）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值的关系；（Ⅱ）当1m =-时，对应的曲线为1C ；对给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞ ，对应的曲线为2C ，设1F 、2F 是2C 的两个焦点.试问：在1C 上，是否存在点N ，使得12F NF △的面积2S m a =.若存在，求12tan F NF 的值；若不存在，请说明理由.【测量目标】圆锥曲线中的探索性问题，直线的斜率，曲线与方程，空间向量的数量积运算.【考查方式】（Ⅰ）给出两点的坐标，两直线斜率公式得出曲线的方程，再根据m 的取值范围分类讨论C 的形状；（Ⅱ）给定m 的值求出1C 曲线方程和2C 的交点坐标，联立1C 和三角形面积方程，从而再利用空间向量的数量积运算求解.【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）设动点为M ，其坐标为(,),x y当x a ≠±时，由条件可得12222,MA MA y y y k k m x a x a x a===-+-即222(),mx y ma x a -=≠± 又1(,0)A a -、2(,0)A a 的坐标满足222mx y ma -=，故依题意，曲线C 的方程为222.mx y ma -=（步骤1）当1m <-时，曲线C 的方程为22221,x y a ma+=-C 是焦点在y 轴上的椭圆； 当1m =-时，曲线C 的方程为222,x y a +=C 是圆心在原点的圆；当10m -<<时，曲线C 的方程为22221,x y a ma+=-C 是焦点在x 轴上的椭圆； 当0m >时，曲线C 的方程为22221,x y a ma -=C 是焦点在x 轴上的双曲线.（步骤2） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1m =-时，1C 的方程为222;x y a +=当(1,0)(0,)m ∈-+∞ 时，2C的两个焦点分别为12((F F -对于给定的(1,0)(0,),m ∈-+∞ 1C 上存在点000(,)(0)N x y y ≠使得2S m a =的充要条件是22200020,0,12.2x y a y m a ⎧+=≠⎪⎨=⎪⎩ ①②由①得00,y a <…由②得0y =当0,a <0,m <或0m <…时， 存在点N ，使2;S m a =,a >即1m -<<或m >时 不存在满足条件的点N .（步骤3）当110,22m ⎡⎫⎛∈⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦ 时，由100(,),NF x y =-- 200(,),NF x y =-可得22221200(1)NF NF x m a y ma =-++=-令112212,,,NF r NF r F NF θ==∠=则由21212cos ,NF NF rr ma θ==- 可得212,cos ma r r θ=- 从而22121sin 1sin tan ,22cos 2ma S r r ma θθθθ==-=-于是由2S m a =， 可得221tan ,2ma m a θ-=即2tan m mθ=-.（步骤4） 综上可得：当m ⎫∈⎪⎪⎣⎭时，在1C 上，存在点N ，使得2S m a =，且12tan 2;F NF =当m ⎛∈ ⎝⎦时，在1C 上，存在点N ,使得2,S m a =且12tan 2;F NF =-当11(1,()22m ∈-+∞ 时，在1C 上，不存在满足条件的点N .（步骤5） 21.（本小题满分14分）（Ⅰ）已知函数()ln 1f x x x =-+，(0,)x ∈+∞，求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）设11,(1,2,,)a b k n =…均为正数，证明：（1）若112212+n n n a b a b a b b b b +++++………，则12121n b b b n a a a ……；（2）若121n b b b ++=…+，则1222212121++n b b b n n b b b b b b n +……剟.【测量目标】利用导数求函数的最值，不等式恒成立问题.【考查方式】（Ⅰ）给出函数，利用导数的运算求出导函数，再利用导函数的单调性得到最值点求解最值；（Ⅱ）利用不等式的基本性质求证.【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,).+∞令1()10,f x x'=-=解得 1.x = 当01x <<时，()0,f x '>()f x 在(0,1)内是增函数；当1x >时，()0,()f x f x '<在(1,)+∞内是减函数；故函数()f x 在1x =处取得最大值(1)0.f =（步骤1）（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知(0,)x ∈+∞时，有()(1)0,f x f =…即ln 1.x x -…0,k k a b > 从而有ln 1,k k a a -…得ln (1,2,).k k k k k b a a b b k n -=…，…求和得111ln .k n n n b kk k k k k k a a b b ===-∑∑∑…（步骤2） 111,ln 0,k n n n b k k k kk k k a b b a ===∴∑∑∑ 剟即1212ln()0,k b b b k a a a ……12121n b b b n a a a ∴…….（步骤3）（2）①先证12121.n b b b n b b b n…… 令1(1,2,),k k a k n nb ==…，则11111,n n n k k k k k k a b b n ======∑∑∑于是 由（1）得1212111nb b b n nb nb nb ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……1，即1212+121,n n b b b b b b n n n b b b ++=……… 12121.n b b b n b b b n ∴……（步骤4）②再证122221112+.n b b b n n b b b b b b ++………记21.nk k S b ==∑令21111(1,2,,),1,n n n k k k k k k k k k b a k n a b b b S S ========∑∑∑… 于是由（1）的12121,n bb b n b b b S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…… 即121212+222121212,.n n nb b b b bb b b b n n n b b b S S b b b b b b ++=∴++…………+剟 综上①②，（2）得证.（步骤5）。
【数学】2011年高考真题湖北卷(理)解析版
2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数 学(理工农医类解析)本试题卷共4页，三大题21小题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。
2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
咎在试题卷、草稿纸上无效。
3填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.1.i 为虚数单位，则=⎪⎭⎫⎝⎛-+201111i iA.i -B.1-C.iD.1【答案】A解析：因为()i i i i i =-+=-+221111，所以i i i i i i -====⎪⎭⎫⎝⎛-++⨯3350242011201111，故选A . 2.已知{}1,log 2>==x x y y U ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>==2,1x x y y P ，则=P C U A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21 B.⎪⎭⎫⎝⎛21,0 C.()+∞,0 D. ()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∞-,210,【答案】A解析：由已知()+∞=,0U .⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,0P ，所以⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞=,21P C U ,故选A .3.已知函数()x x x f cos sin 3-=，R x ∈，若()1≥x f ，则x 的取值范围为 A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,3ππππ B . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,232ππππ C. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,656ππππ D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,65262ππππ 【答案】B解析：由条件1cos sin 3≥-x x 得216sin ≥⎪⎭⎫⎝⎛-πx ，则 652662πππππ+≤-≤+k x k ，解得ππππ+≤≤+k x k 232，Z k ∈，所以选B . 4.将两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n ，则A. 0=n B . 1=n C. 2=n D. 3≥n 【答案】C解析：根据抛物线的对称性，正三角形的两个 顶点一定关于x 轴对称，且过焦点的两条直线 倾斜角分别为030和0150，这时过焦点的直线 与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形 的个数记为n ，2=n ，所以选C.5.已知随机变量ξ服从正态分布()2,2σN ，且()8.04=<ξP ，则()=<<20ξP A. 6.0 B . 4.0 C. 3.0 D. 2.0 【答案】C 解析：如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于 直线2=x 对称，所以()5.02=<ξP ，并且()()4220<<=<<ξξP P则()()()2420<-<=<<ξξξP P P3.05.08.0=-=所以选C.6.已知定义在R 上的奇函数()x f 和偶函数()x g 满足()()2+-=+-xxaa x g x f()1,0≠>a a 且，若()a g =2，则()=2fA. 2 B . 415 C. 417 D. 2a 【答案】B解析：由条件()()22222+-=+-aa g f ，()()22222+-=-+--a a g f ，即()()22222+-=+--a a g f ，由此解得()22=g ，()222--=a a f ，所以2=a ，()41522222=-=-f ，所以选B . 7.如图，用21A A K 、、三类不同的元件连接成一个系统，K 正常工作且21A A 、至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知21A A K 、、正常工作的概率依次为9.0、8.0、8.0，则系统正常工作的概率为A. 960.0 B . 864.0 C. 720.0 D. 576.0 【答案】B解析：21A A 、至少有一个正常工作的概率为()()211A P A P -()()94.004.018.018.011=-=-⨯--=，系统正常工作概率为()()()()864.096.09.0121=⨯=-A P A P K P ，所以选B .8.已知向量a ()3,z x +=，b ()z y -=,2，且a ⊥b .若y x ,满足不等式1≤+y x ，则z 的取值范围为A. []2,2- B . []3,2- C. []2,3- D. []3,3- 【答案】D解析：因为a ⊥b ，()()032=-++z y z x ， 则y x z 32+=，y x ,满足不等式1≤+y x ，则点()y x ,的可行域如图所示,当y x z 32+=经过点()1,0A 时，y x z 32+=当y x z 32+=经过点()1,0-C 时，y x z 32+=取得最小值-3 所以选D .9.若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则称a 与b 互补，记()b a b a b a --+=22,ϕ，那么()0,=b a ϕ是a 与b 互补A . 必要而不充分条件B . 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件 【答案】C解析：若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则a 与b 至少有一个为0，不妨设0=b ，K A 1A 2则()0,2=-=-=a a a a b a ϕ；反之，若()0,22=--+=b a b a b a ϕ，022≥+=+b a b a两边平方得ab b a b a 22222++=+0=⇔ab ，则a 与b 互补，故选C.10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：()3002tM t M -=，其中0M 为0=t 时铯137的含量，已知30=t 时，铯137的含量的变化率．．．是2ln 10-（太贝克/年），则()=60M A . 5太贝克 B . 2ln 75太贝克 C . 2ln 150太贝克 D . 150太贝克【答案】D解析：因为()300/22ln 301tM t M -⨯-=，则()2ln 1022ln 3013030300/-=⨯-=-M M ，解得6000=M ，所以()302600tt M -⨯=，那么()150416002600603060=⨯=⨯=-M （太贝克），所以选D .二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11.在1831⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中含15x 的项的系数为 .（结果用数值表示） 【答案】17【解析】二项式展开式的通项公式为rr r r x x C T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+3118181rr r r x C ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--31211818，令2152118=⇒=--r r r ，含15x 的项的系数为17312218=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C ，故填17.12.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为 .（结果用最简分数表示） 【答案】14528 解析：从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，从这30瓶饮料中任取2瓶，没有取到1瓶已过了保质期饮料为事件B ，则A 与B 是对立事件，因为()291513272302527⨯⨯==C C B P ，所以()()145282915132711=⨯⨯-=-=B P A P ，所以填14528. 12.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升.【答案】6667 解析：设该数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意⎩⎨⎧=++=+++439874321a a a a a a a ，即⎩⎨⎧=+=+421336411d a d a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+6673471d d a ， 则d d a d a a 374115-+=+=6667662134=-=，所以应该填6667. 14.如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系//Oy x （其中/y 轴与y 轴重合）所在的平面为β，0/45=∠xOx . （Ⅰ）已知平面β内有一点()2,22/P ，则点/P 在平面α内的射影P 的坐标为 ； （Ⅱ）已知平面β内的曲线/C 的方程是()02222/2/=-+-y x，则曲线/C 在平面α内的射影C 的方程是 . 【答案】()2,2,()1122=+-y x解析：（Ⅰ）设点/P 在平面α内的射影P 的坐标为()y x ,，则点P 的纵坐标和()2,22/P 纵坐标相同，所以2=y ，过点/P 作Oy H P ⊥/，垂足为H ，连结PH ，则0/45=∠HP P ，P 横坐标0/45cos H P PH x ==2222245cos 0/=⨯==x ， 所以点/P 在平面α内的射影P 的坐标为()2,2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得2245cos /0/⨯==x x x ，y y =/，所以⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x //2代入曲线/C 的方程()02222/2/=-+-y x，得()⇒=-+-0222222y x ()1122=+-y x ，所以射影C 的方程填()1122=+-y x .15.给n 个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当4≤n 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如下图所示：由此推断，当6=n 时，黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有 种.（结果用数值表示） 【答案】43,21解析：设n 个正方形时黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案数为n a ，由图可知， 21=a ，32=a ，213325a a a +=+==， 324538a a a +=+==，由此推断1365435=+=+=a a a ，21138546=+=+=a a a ，故黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种；由于给6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有6422222226==⨯⨯⨯⨯⨯种方法，由于黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种，所以至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有432164=-种着色方案，故分别填43,21.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分10分） 设ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，41cos =C . （Ⅰ）求ABC ∆的周长； （Ⅱ）求()C A -cos 的值.n=1 n=2n=3n=4本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力 解析：（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=c∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a .（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===cC a A ∵c a <，∴C A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A ∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. 17．（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力. 解析：（Ⅰ）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得⎩⎨⎧=+=+60200200b a b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=320031b a故函数()x v 的表达式为()x v =()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x x x当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=⨯；当20020≤≤x 时，()()()310000220031200312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=x x x x x f ， 当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立．所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值310000． 综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值3333310000≈， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． 18．（本小题满分12分） 如图，已知正三棱柱111C B A ABC -的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合．（Ⅰ）当1=CF 时，求证C A EF 1⊥；（Ⅱ）设二面角E AF C --的大小为θ，θtan 的最小值． 本题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础 知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解 能力. 解析：ABCEA 1C 1B 119.（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：1a a =(0)a ≠，n n rS a =+1 (n ∈N *，,1)r R r ∈≠-.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若存在k ∈ N *，使得1+k S ，k S ，2+k S 成等差数列，试判断：对于任意的m ∈N *，且2m ≥，1+m a ，m a ，2+m a 是否成等差数列，并证明你的结论.20. （本小题满分14分）平面内与两定点1(,0)A a -，2(,0)A a (0)a >连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线. （Ⅰ）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值得关系；（Ⅱ）当1m =-时，对应的曲线为1C ；对给定的(1,0)(0,)m U ∈-+∞，对应的曲线为2C ，设1F 、2F 是2C 的两个焦点。
2011湖北高考数学试题及答案(理科)
试卷类型：A2010年普通咼等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试卷共4页，三大题21小题，全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1 •答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡 上。
并将准考证号条形码横贴在答题卡的指定位置。
在用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2 •选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项 的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试 题卷、草稿纸上无效。
3. 填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接在答题卡上对应的答 题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。
A.- iB.-1C. iD.12.已知 U = ： y | y = log 2 x, x 1,P= y|y= —, x 2 ,则C U P = L x J3.已知函数f （x ）z ；3s in r-cosf,x ・R ，若f （x ）_1，则x 的取值范围为{ Tl l JI lA. x|k 二 _x _k 「？,k ZB. x 12 k 二 _ x _ 2k 二：k ZI3J I 3Ji5 ii5 iC. {x|kx_k ,k = Z} D. {x|2k x_2k ,k ^ Z}6 6 6 61. i 为虚数单位，贝U(-二 A.［丄，：：） B.2 C. 0, ：：D.1 ,0][^^::)11-14.将两个顶点在抛物线y2=2px(p . 0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则A. n=0B. n=1C. n=2D. n _3试卷类型：A5 •已知随机变量■服从正态分布N 2, a2，且P( <4)= 0.8，则P( 0 V < 2)=A .0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.26. 已知定义在R上的奇函数fx和偶函数g x满足f xg x =a2 - a22( a >0,且a = 0).若g 2 = a，则f 2 =A. 2B. 15C. 17D. a24 47. 如图，用K、A“ A2三类不同的元件连接成一个系统。
2011年湖北高考数学试题及答案(理科)
一、第一天：指定时间地点集合.乘火车赴广州开始轻松愉快的香港.澳门之旅不含餐.住火车上第二天：早上抵达广州，汽车赴深圳：团友在领队的带领下从皇岗进入香港，前往维多利亚两岸游览：参观会展中心，金紫荆广场（游览30分钟）。
赴香港海洋公园（游览3小时），后乘室外观光电梯前往大树湾参观古建筑群“集古村”等，前往香港的风水宝地----浅水湾，祈求正财神保佑，游览完毕后乘车登太平山，俯瞰“东方之珠”---香港的美丽夜景，乘船游览维多利亚港观两岸夜景（游览约45分钟）；在此可近距离观赏九龙及香港岛幻美的灯光.（含中晚餐）住：香港第三天：早餐后，游览香港神庙----黄大仙庙（游览30分钟），随后参观珠宝展示中心（90分钟）、百货商场（90分钟），欣赏不同款式的珠宝钻石的制作过程，更可随心购买心爱的首饰及纪念品，参观香港的免税商店，体验香港购物天堂的乐趣，后参观尖沙咀落成在海滨长廊上的“星光大道”，以香港电影业发展史及旨在表扬幕前巨星和幕后电影工作者成就为主题的星光大道设于尖沙咀海滨长廊。
后前往国际著名DFS免税店。
香港市区酒楼用晚餐；（含早中晚餐）住：香港第四天：早餐后，前往码头乘船前往澳门（乘船约50分钟），游览澳门标志性建筑物圣保罗教堂遗迹大三巴牌坊、异国情调的澳督府，参观澳门起源及最古老庙宇妈祖庙，后车游望海观音，澳门大桥，观澳门九九回归广场标志莲花台，珠宝店，手信店，可自费前往著名的威尼斯人度假酒店游览观光（门票160元/人自理，）晚上10:30分经拱北关口抵珠海；（含早中晚餐）住：珠海第五天：早餐后，外观九州城，百货店（45分钟），珠宝店(60分钟)游情侣路（车游），珠海标志----渔女像（车游），中餐后乘车返回广州，晚上乘火车返程。
（含早中餐）住火车上第六天：上午抵达，结束愉快的行程回到温暧的家。
二、接待标准1、交通：，株州至广州往返为非空调硬卧，景区间空调旅游汽车，香港至澳门海上飞船2、住宿、珠海，二星酒店，香港三星酒店双标间（有彩电、空调、独卫；产生单男单女的情况下，由我社安排三人间，如果客人不愿意住三人间，则由客人自行补足房差）3、用餐：全程含3早7正（内地段正餐10人一桌，8菜1汤；港澳段正餐10人一桌，7菜1汤，均不含酒水。
2011年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析
【考点】二项式定理．菁优网版权所有 【专题】计算题． 【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为15，求出
展开式中含x15的项的系数．
【解答】解：二项展开式的通项为
令
得r=2
所以展开式中含x15的项的系数为
故答案为17 【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项 问题． 12．（5分）（2011•湖北）在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这 30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期的概率为
故选：B 【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求法﹣﹣方程组法，函数奇 偶性的性质，其中利用奇偶性的性质，求出f（x），g（x）的解析式， 再根据g（a）=a求出a值，是解答本题的关键．
7．（5分）（2011•湖北）如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成 一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常 工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正
=i，再根据in的周期性，我们易得到（
）2011的结果．
【解答】解：∵
=i ∴（
）2011=i2011=i3=﹣i
故选A 【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的混合运算，其中根据复数
单调幂的周期性，将i2011转化为i3是解答本题的关键．
2．（5分）（2011•湖北）已知U={y|y=log2x，x＞1}，P={y|y=
一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则（ ） A．n=0 B．n=1 C．n=2 D．n≥3 【考点】抛物线的简单性质．菁优网版权所有 【专题】计算题． 【分析】根据题意和抛物线以及正三角形的对称性，可推断出两个边的
2011年湖北省 高考理科数学试题(真题与答案解析)
2011年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2011•湖北）i为虚数单位，则（）2011=（）2．（5分）（2011•湖北）已知U={y|y=log2x，x＞1}，P={y|y=，x＞2}，则C u P=（），，（+++，+，4．（5分）（2011•湖北）将两个顶点在抛物线y2=2px（p＞0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为26．（5分）（2011•湖北）已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2（a＞0，C D7．（5分）（2011•湖北）如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）8．（5分）（2011•湖北）已知向量∵=（x+z，3），=（2，y﹣z），且⊥，若x，y满足不等式|x|+|y|≤1，则z的取9．（5分）（2011•湖北）若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补，记φ（a，b）=﹣a﹣b10．（5分）（2011•湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=M0，其中M0为t=0时铯137的含量．已知t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2011•湖北）（x﹣）18的展开式中含x15的项的系数为_________．（结果用数值表示）12．（5分）（2011•湖北）在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期的概率为_________．（结果用最简分数表示）13．（5分）（2011•湖北）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_________升．14．（5分）（2011•湖北）如图，直角坐标系xOy所在平面为α，直角坐标系x′Oy′（其中y′与y轴重合）所在的平面为β，∠xOx′=45°．（Ⅰ）已知平面β内有一点P′（2，2），则点P′在平面α内的射影P的坐标为_________；（Ⅱ）已知平面β内的曲线C′的方程是（x′﹣）2+2y2﹣2=0，则曲线C′在平面α内的射影C的方程是_________．15．（5分）（2011•湖北）给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有_________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有_________种，（结果用数值表示）三、解答题（共6小题，满分75分）16．（10分）（2011•湖北）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（I）求△ABC的周长；（II）求cos（A﹣C）的值．17．（12分）（2011•湖北）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（I）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．18．（12分）（2011•湖北）如图，已知正三棱柱ABC=A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．（Ⅰ）当CF=1时，求证：EF⊥A1C；（Ⅱ）设二面角C﹣AF﹣E的大小为θ，求tanθ的最小值．19．（13分）（2011•湖北）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a1=a（a≠0），a n+1=rS n（n∈N*，r∈R，r≠﹣1）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若存在k∈N*，使得S k+1，S k，S k+2成等差数列，试判断：对于任意的m∈N*，且m≥2，a m+1，a m，a m+2是否成等差数列，并证明你的结论．20．（14分）（2011•湖北）平面内与两定点A1（﹣a，0），A2（a，0）（a＞0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线．（Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；（Ⅱ）当m=﹣1时，对应的曲线为C1；对给定的m∈（﹣1，0）∪（0，+∞），对应的曲线为C2，设F1、F2是C2的两个焦点．试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面积S=|m|a2．若存在，求tanF1NF2的值；若不存在，请说明理由．21．（14分）（2011•湖北）（Ⅰ）已知函数f（x）=lnx﹣x+1，x∈（0，+∞），求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设a1，b1（k=1，2…，n）均为正数，证明：（1）若a1b1+a2b2+...a n b n≤b1+b2+...b n，则 (1)（2）若b1+b2+…b n=1，则≤…≤b12+b22+…+b n2．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2011•湖北）i为虚数单位，则（）2011=（）由复数的运算公式，我们易得的周期性，我们易得到（解：∵=i（2．（5分）（2011•湖北）已知U={y|y=log2x，x＞1}，P={y|y=，x＞2}，则C u P=（），，（）P=[，+++，+，=sinx）﹣≤4．（5分）（2011•湖北）将两个顶点在抛物线y2=2px（p＞0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为，±，其方程为：±）2=6．（5分）（2011•湖北）已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2（a＞0，C D7．（5分）（2011•湖北）如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（））（8．（5分）（2011•湖北）已知向量∵=（x+z，3），=（2，y﹣z），且⊥，若x，y满足不等式|x|+|y|≤1，则z的取=⊥解：∵==又∵⊥9．（5分）（2011•湖北）若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补，记φ（a，b）=﹣a﹣b﹣=﹣10．（5分）（2011•湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=M0，其中M0为t=0时铯137的含量．已知t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/×××，×∴二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2011•湖北）（x﹣）18的展开式中含x15的项的系数为17．（结果用数值表示）的项的系数为12．（5分）（2011•湖北）在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期的概率为．（结果用最简分数表示）﹣=，故答案为：13．（5分）（2011•湖北）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．由题设知，∴．故答案为：14．（5分）（2011•湖北）如图，直角坐标系xOy所在平面为α，直角坐标系x′Oy′（其中y′与y轴重合）所在的平面为β，∠xOx′=45°．（Ⅰ）已知平面β内有一点P′（2，2），则点P′在平面α内的射影P的坐标为（2，2）；（Ⅱ）已知平面β内的曲线C′的方程是（x′﹣）2+2y2﹣2=0，则曲线C′在平面α内的射影C的方程是（x﹣1）2+y2=1．2）x=∵∴15．（5分）（2011•湖北）给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有21种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有43种，（结果用数值表示）三、解答题（共6小题，满分75分）16．（10分）（2011•湖北）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（I）求△ABC的周长；（II）求cos（A﹣C）的值．×，∴==．sinA==．cosA=，=cosAcosC+sinAsinC=×+×=．17．（12分）（2011•湖北）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（I）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．再由已知得，解得时，上取得最大值．上取得最大值为）的表达式18．（12分）（2011•湖北）如图，已知正三棱柱ABC=A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．（Ⅰ）当CF=1时，求证：EF⊥A1C；（Ⅱ）设二面角C﹣AF﹣E的大小为θ，求tanθ的最小值．，得=，得，在直角三角形，又，此时19．（13分）（2011•湖北）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a1=a（a≠0），a n+1=rS n（n∈N*，r∈R，r≠﹣1）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若存在k∈N*，使得S k+1，S k，S k+2成等差数列，试判断：对于任意的m∈N*，且m≥2，a m+1，a m，a m+2是否成等差数列，并证明你的结论．的通项公式为）知，20．（14分）（2011•湖北）平面内与两定点A1（﹣a，0），A2（a，0）（a＞0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线．（Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；（Ⅱ）当m=﹣1时，对应的曲线为C1；对给定的m∈（﹣1，0）∪（0，+∞），对应的曲线为C2，设F1、F2是C2的两个焦点．试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面积S=|m|a2．若存在，求tanF1NF2的值；若不存在，请说明理由．a a，，求出点N的坐标，利用数量积和三角形面积公式可以求得tanF1NF2的值．时，由条件可得的方程为的方程为，的方程为a a，≤，或，或[=a﹣a=r|=r，r=，于是由=|m|a[]21．（14分）（2011•湖北）（Ⅰ）已知函数f（x）=lnx﹣x+1，x∈（0，+∞），求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设a1，b1（k=1，2…，n）均为正数，证明：（1）若a1b1+a2b2+...a n b n≤b1+b2+...b n，则 (1)（2）若b1+b2+…b n=1，则≤…≤b12+b22+…+b n2．要证≤ln要证…（，再利用分数指数幂的运算法则即可证得结论；要证…（﹣∴ln≤∴…≤）先证≤…，≤，即∴…，再证…（≤…≤∴…≤。
2011年高考湖北省数学试卷-理科(含详细答案)
试卷类型：A2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数 学(理工农医类解析)本试题卷共4页，三大题21小题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。
2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
咎在试题卷、草稿纸上无效。
3填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.1.i 为虚数单位，则=⎪⎭⎫⎝⎛-+201111i iA.i -B.1-C.iD.1【答案】A解析：因为()i i i i i =-+=-+221111，所以i i i i i i -====⎪⎭⎫⎝⎛-++⨯3350242011201111，故选A .2.已知{}1,log 2>==x x y y U ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>==2,1x x y y P ，则=P C U A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21 B.⎪⎭⎫⎝⎛21,0 C.()+∞,0 D. ()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∞-,210,【答案】A解析：由已知()+∞=,0U .⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,0P ，所以⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞=,21P C U ,故选A .3.已知函数()x x x f cos sin 3-=，R x ∈，若()1≥x f ，则x 的取值范围为A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,3ππππ B . ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,232ππππC. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,656ππππ D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,65262ππππ 【答案】B解析：由条件1cos sin 3≥-x x 得216sin ≥⎪⎭⎫⎝⎛-πx ，则 652662πππππ+≤-≤+k x k ，解得ππππ+≤≤+k x k 232，Z k ∈，所以选B . 4.将两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n ，则A. 0=n B . 1=n C. 2=n D. 3≥n 【答案】C解析：根据抛物线的对称性，正三角形的两个 顶点一定关于x 轴对称，且过焦点的两条直线 倾斜角分别为030和0150，这时过焦点的直线 与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形 的个数记为n ，2=n ，所以选C.5.已知随机变量ξ服从正态分布()2,2σN ，且()8.04=<ξP ，则()=<<20ξPA. 6.0 B . 4.0 C. 3.0 D. 2.0 【答案】C 解析：如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于 直线2=x 对称，所以()5.02=<ξP ，并且()()4220<<=<<ξξP P则()()()2420<-<=<<ξξξP P P3.05.08.0=-=所以选C.6.已知定义在R 上的奇函数()x f 和偶函数()x g 满足()()2+-=+-xxaa x g x f()1,0≠>a a 且，若()a g =2，则()=2fA. 2 B . 415 C. 417 D. 2a 【答案】B解析：由条件()()22222+-=+-aa g f ，()()22222+-=-+--a a g f ，即()()22222+-=+--a a g f ，由此解得()22=g ，()222--=a a f ，所以2=a ，()41522222=-=-f ，所以选B . 7.如图，用21A A K 、、三类不同的元件连接成一个系统，K 正常工作且21A A 、至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知21A A K 、、正常工作的概率依次为9.0、8.0、8.0，则系统正常工作的概率为A. 960.0 B . 864.0 C. 720.0 D. 576.0 【答案】B解析：21A A 、至少有一个正常工作的概率为()()211A P A P -()()94.004.018.018.011=-=-⨯--=，系统正常工作概率为()()()()864.096.09.0121=⨯=-A P A P K P ，所以选B .8.已知向量a ()3,z x +=，b ()z y -=,2，且a ⊥b .若y x ,满足不等式1≤+y x ，则z 的取值范围为A. []2,2- B . []3,2- C. []2,3- D. []3,3- 【答案】D解析：因为a ⊥b ，()()032=-++z y z x ， 则y x z 32+=，y x ,满足不等式1≤+y x ，则点()y x ,的可行域如图所示,当y x z 32+=经过点()1,0A 时，y x z 32+=当y x z 32+=经过点()1,0-C 时，y x z 32+=取得最小值-3 所以选D .9.若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则称a 与b 互补，记()b a b a b a --+=22,ϕ，那么()0,=b a ϕ是a 与b 互补A . 必要而不充分条件B . 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件 【答案】C解析：若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则a 与b 至少有一个为0，不妨设0=b ，则K A 1A 2()0,2=-=-=a a a a b a ϕ；反之，若()0,22=--+=b a b a b a ϕ，022≥+=+b a b a两边平方得ab b a b a 22222++=+0=⇔ab ，则a 与b 互补，故选C.10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：()3002t M t M -=，其中0M 为0=t 时铯137的含量，已知30=t 时，铯137的含量的变化率．．．是2ln 10-（太贝克/年），则()=60M A . 5太贝克 B . 2ln 75太贝克 C . 2ln 150太贝克 D . 150太贝克 【答案】D解析：因为()300/22ln 301tM t M -⨯-=，则()2ln 1022ln 3013030300/-=⨯-=-M M ，解得6000=M ，所以()302600tt M -⨯=，那么()150416002600603060=⨯=⨯=-M （太贝克），所以选D .二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11.在1831⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中含15x 的项的系数为 .（结果用数值表示）【答案】17【解析】二项式展开式的通项公式为rr r r x x C T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+3118181rr r r x C ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--31211818，令2152118=⇒=--r r r ，含15x 的项的系数为17312218=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C ，故填17.12.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为 .（结果用最简分数表示） 【答案】14528 解析：从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，从这30瓶饮料中任取2瓶，没有取到1瓶已过了保质期饮料为事件B ，则A 与B 是对立事件，因为()291513272302527⨯⨯==C C B P ，所以()()145282915132711=⨯⨯-=-=B P A P ，所以填14528. 12.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升. 【答案】6667解析：设该数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意⎩⎨⎧=++=+++439874321a a a a a a a ，即⎩⎨⎧=+=+421336411d a d a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+6673471d d a ， 则d d a d a a 374115-+=+=6667662134=-=，所以应该填6667. 14.如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系//Oy x （其中/y 轴与y 轴重合）所在的平面为β，0/45=∠xOx .（Ⅰ）已知平面β内有一点()2,22/P ，则点/P 在平面α内的射影P 的坐标为 ； （Ⅱ）已知平面β内的曲线/C 的方程是()02222/2/=-+-y x，则曲线/C 在平面α内的射影C 的方程是 .【答案】()2,2,()1122=+-y x解析：（Ⅰ）设点/P 在平面α内的射影P 的坐标为()y x ,，则点P 的纵坐标和()2,22/P 纵坐标相同，所以2=y ，过点/P 作Oy H P ⊥/，垂足为H ，连结PH ，则0/45=∠HP P ，P 横坐标0/45cos H P PH x ==2222245cos 0/=⨯==x ， 所以点/P 在平面α内的射影P 的坐标为()2,2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得2245cos //⨯==x x x ，y y =/，所以⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x //2代入曲线/C 的方程()02222/2/=-+-y x，得()⇒=-+-0222222y x ()1122=+-y x ，所以射影C 的方程填()1122=+-y x .15.给n 个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当4≤n 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如下图所示：由此推断，当6=n 时，黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有 种.（结果用数值表示） 【答案】43,21解析：设n 个正方形时黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案数为n a ，由图可知， 21=a ，32=a ， 213325a a a +=+==， 324538a a a +=+==，由此推断1365435=+=+=a a a ，21138546=+=+=a a a ，故黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种；由于给6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有6422222226==⨯⨯⨯⨯⨯种方法，由于黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种，所以至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有432164=-种着色方案，故分别填43,21. 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分10分） 设ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，41cos =C . （Ⅰ）求ABC ∆的周长； （Ⅱ）求()C A -cos 的值.本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力 解析：（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=cn=1 n=2n=3n=4∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a .（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===cCa A ∵c a <，∴C A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A ∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. 17．（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.解析：（Ⅰ）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得⎩⎨⎧=+=+60200200b a b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=320031b a故函数()x v 的表达式为()x v =()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x x x当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=⨯；当20020≤≤x 时，()()()310000220031200312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=x x x x x f ， 当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立．所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值310000． 综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值3333310000≈，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． 18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱111C B A ABC -的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合．（Ⅰ）当1=CF 时，求证C A EF 1⊥；（Ⅱ）设二面角E AF C --的大小为θ，θtan 的最小值． 本题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础 知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解 能力. 解析：ABCEA 1C 1B 119.（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：1a a =(0)a ≠，n n rS a =+1 (n ∈N *，,1)r R r ∈≠-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若存在k ∈ N *，使得1+k S ，k S ，2+k S 成等差数列，试判断：对于任意的m ∈N *，且2m ≥，1+m a ，m a ，2+m a 是否成等差数列，并证明你的结论.20. （本小题满分14分）平面内与两定点1(,0)A a -，2(,0)A a (0)a >连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线. （Ⅰ）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值得关系；（Ⅱ）当1m =-时，对应的曲线为1C ；对给定的(1,0)(0,)m U ∈-+∞，对应的曲线为2C ，设1F 、2F 是2C 的两个焦点。
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2011年湖北省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）（2011•湖北）i为虚数单位，则（
）2011=（ ）
A．﹣i B．﹣1 C．i D．1
2．（5分）（2011•湖北）已知U={y|y=log2x，x＞1}，P={y|y=
，x＞2}，则∁U P=（ ）
A．[
，+∞） B．（0，
） C．（0，+∞） D．（﹣∞，0）∪（
，+∞）
3．（5分）（2011•湖北）已知函数f（x）=
sinx﹣cosx，x∈R，若f（x）≥1，则x的取值范围为（ ）A．{x|kπ+
≤x≤kπ+π，k∈Z} B．{x|2kπ+
≤x≤2kπ+π，k∈Z}
C．{x|kπ+
≤x≤kπ+
，k∈Z} D．{x|2kπ+
≤x≤2kπ+
，k∈Z}
4．（5分）（2011•湖北）将两个顶点在抛物线y2=2px（p＞0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则（ ）
A．n=0 B．n=1 C．n=2 D．n≥3
5．（5分）（2011•湖北）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）=（ ）
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
6．（5分）（2011•湖北）已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数
g（x）满足f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2（a＞0，且a≠0）．若g（a）
=a，则f（a）=（ ）
A．2 B．
C．
D．a2
7．（5分）（2011•湖北）如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（ ）
A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576
8．（5分）（2011•湖北）已知向量
=（x+z，3），
=（2，y﹣z），且
⊥
，若x，y满足不等式|x|+|y|≤1，则z的取值范围为（ ）
A．[﹣2，2] B．[﹣2，3] C．[﹣3，2] D．[﹣3，3]
9．（5分）（2011•湖北）若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补，记φ（a，b）=
﹣a﹣b那么φ（a，b）=0是a与b互补的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要的条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（5分）（2011•湖北）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=M0
，其中M0为t=0时铯137的含量．已知t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），则M（60）=（ ）
A．5太贝克 B．75In2太贝克 C．150In2太贝克 D．150太贝克
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．（5分）（2011•湖北）（x﹣
）18的展开式中含x15的项的系数为 ．（结果用数值表示）
12．（5分）（2011•湖北）在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期的概率
为 ．（结果用最简分数表示）
13．（5分）（2011•湖北）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升．
14．（5分）（2011•湖北）如图，直角坐标系xOy所在平面为α，直角坐标系x′Oy′（其中y′与y轴重合）所在的平面为β，∠xOx′=45°．
（Ⅰ）已知平面β内有一点P′（2
，2），则点P′在平面α内的射影P的坐标为 ；
（Ⅱ）已知平面β内的曲线C′的方程是（x′﹣
）2+2y2﹣2=0，则曲线C′在平面α内的射影C的方程是 ．
15．（5分）（2011•湖北）给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共
有 种，（结果用数值表示）
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（10分）（2011•湖北）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=
（Ⅰ）求△ABC的周长；
（Ⅱ）求cos（A﹣C）的值．
17．（12分）（2011•湖北）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．
18．（12分）（2011•湖北）如图，已知正三棱柱ABC=A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．（Ⅰ）当CF=1时，求证：EF⊥A1C；
（Ⅱ）设二面角C﹣AF﹣E的大小为θ，求tanθ的最小值．
19．（13分）（2011•湖北）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a1=a（a≠0），a n+1=rS n（n∈N*，r∈R，r≠﹣1）．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若存在k∈N*，使得S k+1，S k，S k+2成等差数列，试判断：对于任意的m∈N*，且m≥2，a m+1，a m，a m+2是否成等差数列，并证明你的结论．
20．（14分）（2011•湖北）平面内与两定点A1（﹣a，0），A2（a，0）（a＞0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线．
（Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；
（Ⅱ）当m=﹣1时，对应的曲线为C1；对给定的m∈（﹣1，0）
∪（0，+∞），对应的曲线为C2，设F1、F2是C2的两个焦点．试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面积S=|m|a2．若存在，求tan∠F1NF2的值；若不存在，请说明理由．
21．（14分）（2011•湖北）（Ⅰ）已知函数f（x）=lnx﹣x+1，
x∈（0，+∞），求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）设a1，b1（k=1，2…，n）均为正数，证明：
（1）若a1b1+a2b2+…a n b n≤b1+b2+…b n，则
…
≤1；
（2）若b1+b2+…b n=1，则
≤
…
≤b12+b22+…+b n2．。