人教版数学高二学案2.3数学归纳法
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 2.3.1 数学归纳法》0
2.3 数学归纳法(学案）学习目标：1、知识目标：理解数学归纳法原理，掌握用数学归纳法在证明与正整数n 有关的数学命题的方法和步骤。
2、能力目标：培养学生归纳、推理的能力；培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。
3、情感态度价值观：培养学生对于数学内在美的感悟能力和勇于探索的科学精神。
学习重点：了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数有关的数学命题。
学习难点：对数学归纳法原理的理解及在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
学法指导：1.先精读一遍教材，用红色笔进行勾画；再针对预习案二次阅读并回答；2.若预习完可对预习自测部分认真审题，做不完的正课时再做；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。
【探究案】探究一：归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法，这两者如何区分?问题 1:大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？{}?,,,,,1,2432111===++n a a n n a a a a a a a n n 由此归纳通项公式求：已知数列问题完全归纳法：不完全归纳法：探究二：多米诺骨牌游戏跟踪练习1 用数学归纳法证明：.{}都成立。
n 对一切.1)d (n 那么d,为是一个等差数列，公差如 1.N a a a 1n n +∈-+=果证明：2)127531.2n n =-++++（证明：()1114.313.211.21.3++=++++n n n n证明：121.+k A 221.+k B 221121.+++k k C 221121.+-+k k D2.已知f(n)=n 1+ 11+n +21+n +…+21n ，则下列说法正确的是 .①f(n)中共有n 项，当n=2时，f(2)=21+31②f(n)中共有n+1项，当n=2时，f(2)= 21+31+41 ③f(n)中共有n 2-n 项，当n=2时，f(2)=21+31 ④f(n)中共有n 2-n+1项，当n=2时，f(2)=21+31+41，左端增加的项数是到第二步证明从且用数学归纳法证明："1"),1(12131211.3+>∈<-+⋅⋅⋅++++k k n N n n n 12.-k A k B 2. 12.-k C 12.+k D4、用数学归纳法证明：12)12)(12(1751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n 5. 用数学归纳法证明：整除。
最新人教版高中数学选修2.3《数学归纳法》教学设计
教学设计一、教材分析1、教材的地位和作用：数学归纳法是数列知识的深入与拓展，是证明与正整数有关问题的有力工具，是高中数学的一种重要证明方法。
通过学习，能提高学生的抽象思维能力，培养学生科学探索的创新精神。
2、教学目标1）知识与技能：理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学问题；进一步提高学生的猜想归纳能力和创新能力，体会类比、归纳的数学思想。
2）过程与方法：创设积极思考、大胆质疑的课堂情境，提高学生学习兴趣和课堂效率，通过合作探究，体会从猜想到证明的数学方法。
3）情感态度价值观：通过对数学归纳法的学习，感受到数学来源于生活而又高于生活，养成勤于思考、善于观察的学习习惯。
3、教学重难点1）教学重点：对数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法步骤的掌握。
2）教学难点：数学归纳法中对递推思想的理解。
二、学情分析1、学生的知识与能力储备：作为高二的学生已经学习了数列与推理证明，基本掌握了归纳推理，具备了一定的观察、归纳、猜想的能力。
2、学生可能遇到的困难：（1）学生初学时容易忽视归纳奠基的验证。
（2）学生难以理解第二个步骤的作用，尤其是为什么可以根据归纳假设进行证明，以及如何利用归纳假设证明。
三、教法分析：新课程标准指出，高中数学课应倡导自主探索，动手实践，合作交流等学习方式，应该力求通过不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的过程，培养他们的创新意识。
结合本节课的内容，我主要采用小组合作探究的形式，创设各种问题情境，使学生带着问题去主动思考、动手操作、交流合作，帮助学生构建完善的知识结构和正确的解题思路。
四、教学过程1、 创设情境情境一：：数列{}n a ，已知11=a ，n n n a a a +=+11（⋅⋅⋅=3,2,1n ），试求出4,32,,a a a 并求出{}n a 的通项。
生：回答并归纳通项na n 1= 师：根据前四项可以归纳结果，它对后续的项是否成立则需要证明，当n 比较小时可以逐一验证，当n 比较大或者证明n 取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的，我们需要另辟心径，寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n 取所有正整数都成立。
学案10：2.3 数学归纳法
2.3 数学归纳法问题导学一、用数学归纳法证明等式 活动与探究1(1)用数学归纳法证明对任何正整数n 有 13＋115＋135＋163＋…＋14n 2－1＝n 2n ＋1． (2)用数学归纳法证明⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116…⎝⎛⎭⎫1－1n 2＝n ＋12n(n ≥2，n ∈N *)． 迁移与应用1．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N )，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A ．12n ＋1B ．12n ＋2C ．12n ＋1＋12n ＋2D ．12n ＋1－12n ＋22．用数学归纳法证明13＋23＋33＋…＋n 3＝n 2(n ＋1)24(n ∈N *)． 名师点津应用数学归纳法的两个要点：(1)第一步验证是证明的基础，第二步递推是证明的关键，有一无二是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，递推就失去了基础，结论同样不可靠．即二者缺一不可． (2)在推证当n ＝k ＋1时命题也成立时，必须使用n ＝k 时的结论(即归纳假设)，否则就不是数学归纳法．二、用数学归纳法证明不等式 活动与探究2(1)用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋1n ＞n (其中n ∈N *，n ＞1)． (2)若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1＞a24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论． 迁移与应用1．用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ∈N *，且n ＞1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12＜2B ．1＋12＋13＜2C ．1＋12＋13＜3D ．1＋12＋13＋14＜32．用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1n 2＜1－1n (n ≥2，n ∈N *)．名师点津运用数学归纳法证明不等式时，在利用了归纳假设后，要注意根据欲证目标，灵活地运用比较法、放缩法等技巧来进行证明，(1)中在第②步的证明过程中，运用了两种方法，方法1是利用了比较法，而方法2则是利用了放缩法．在实际证明中要结合不等式的具体情况灵活选用．三、用数学归纳法证明整除问题 活动与探究3用数学归纳法证明f (n )＝3×52n ＋1＋23n ＋1(n ∈N *)能被17整除．迁移与应用1．用数学归纳法证明32n ＋2－8n －9(n ∈N *)能被64整除．2．证明：a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除，n ∈N *．名师点津用数学归纳法证明整除性问题时，证明n ＝k ＋1时成立是关键，将n ＝k ＋1时的被除式凑成一部分能利用归纳假设，另一部分能被除式整除的形式．证明整除性问题的关键是“凑项”，常采用的手段有增项、减项、拆项和因式分解等． 四、归纳、猜想、证明 活动与探究4在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ． (1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．迁移与应用1．数列{a n }中，a 1＝1，且S n ，S n ＋1,2S 1成等差数列，写出S 2，S 3，S 4，由此猜想S n ＝__________． 2．已知数列{a n }满足条件(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)(a n －1)，且a 2＝6，设b n ＝a n ＋n (n ∈N *)，求{b n }的通项公式． 名师点津(1)由已知条件首先计算数列{a n }的前几项的值，根据前几项值的特点，猜想出数列{a n }的通项公式或递推公式，利用数学归纳法加以证明是求数列通项的一种常见的方法．(2)在对猜想得到的结论用数学归纳法进行证明时，要注意从归纳的过程中发现证明的方法，例如活动与探究4中求a 2，a 3的过程与方法实际就是证明的第②步中采用的方法． 当堂检测1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋2n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋1)时，在验证n ＝1成立时，左边所得的代数式是( ) A ．1 B ．1＋3 C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋42．满足1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)＝3n 2－3n ＋2的自然数等于( )A．1 B．1或2 C．1,2,3 D．1,2,3,43．已知1111133557(21)(21)nSn n=++++⨯⨯⨯-+，则S1＝__________，S2＝__________，S3＝__________，S4＝__________，猜想S n＝__________．4．用数学归纳法证明1111+2321nn+++<-(n∈N，且n＞1)，第二步证明从“k到k＋1”，左端增加的项数是________．5．平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数(1)()2n nf n-=．参考答案问题导学活动与探究1思路分析：(1)根据数学归纳法证明步骤进行，注意由n＝k到n＝k＋1时的(2)要注意用数学归纳法证明n 的第一个取值不是1，而是2． 证明：(1)①当n ＝1时，左边＝13，右边＝12＋1＝13，∴等式成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即 13＋115＋135＋163＋…＋14k 2－1＝k2k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，13＋115＋135＋163＋…＋14k 2－1＋14(k ＋1)2－1 ＝k 2k ＋1＋14(k ＋1)2－1＝k 2k ＋1＋1(2k ＋3)(2k ＋1)＝2k 2＋3k ＋1(2k ＋3)(2k ＋1) ＝(k ＋1)(2k ＋1)(2k ＋3)(2k ＋1)＝k ＋12(k ＋1)＋1． ∴当n ＝k ＋1时等式也成立．由①②知等式对任何正整数n 都成立．(2)①当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴左边＝右边，∴n ＝2时等式成立． ②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立， 即⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19…⎝⎛⎭⎫1－1k 2＝k ＋12k ，那么n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19…⎝⎛⎭⎫1－1k 2⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)， 即n ＝k ＋1时等式成立．综合①②知，对任意n ≥2，n ∈N *等式恒成立． 迁移与应用 1．【答案】D【解析】 f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2．2．证明：(1)当n ＝1时，左边＝13＝1，右边＝12×224＝1，(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立， 即13＋23＋33＋…＋k 3＝k 2(k ＋1)24， 则当n ＝k ＋1时，13＋23＋33＋…＋k 3＋(k ＋1)3＝k 2(k ＋1)24＋(k ＋1)3＝(k ＋1)2·⎣⎡⎦⎤(k ＋1)＋k 24＝ (k ＋1)2·k 2＋4k ＋44＝(k ＋1)2·(k ＋2)24，∴当n ＝k ＋1时等式也成立． 由(1)(2)知原等式成立．活动与探究2 思路分析：(1)按照数学归纳法证明数学问题的方法与步骤进行证明，在由n ＝k 证n ＝k ＋1成立时，可利用比较法或放缩法证得结论． (2)先从特例入手探求正整数a 的最大值，再用归纳法证明． (1)证明：①当n ＝2时，左边＝1＋12，右边＝2，⎝⎛⎭⎫1＋12－2＝1－22＞0，所以左边＞右边，即不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋1k＞k ，则当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1 ＞k ＋1k ＋1． (方法1)由于⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＋1－k ＋1＝k 2＋k ＋1－(k ＋1)k ＋1＝k 2＋k －k k ＋1＝k k ＋1(k 2＋k ＋k )＞0，所以k ＋1k ＋1＞k ＋1， 即1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞k ＋1． (方法2)由于k ＋1k ＋1＝k 2＋k ＋1k ＋1＞k 2＋1k ＋1＝k ＋1k ＋1＝k ＋1，所以1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞k ＋1． 即当n ＝k ＋1时原不等式也成立， 由①②知原不等式成立．(2)解：取n ＝1，11＋1＋11＋2＋13×1＋1＝2624，令2624＞a24⇒a ＜26，且a ∈N *，所以取a ＝25．下面用数学归纳法证明 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1＞2524． ①n ＝1时，已证结论正确． ②假设n ＝k (k ∈N *)时，1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＞2524， 则当n ＝k ＋1时，有1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13(k ＋1)＋1＝⎝⎛⎭⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋⎝⎛⎭⎫13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1＞2524＋⎣⎡⎦⎤13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)． 因为13k ＋2＋13k ＋4＝6(k ＋1)9k 2＋18k ＋8＞6(k ＋1)9k 2＋18k ＋9＝6(k ＋1)9(k ＋1)2＝23(k ＋1)，所以13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)＞0，所以1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13(k ＋1)＋1＞2524，即n ＝k ＋1时，结论也成立． 由①②可知，对一切n ∈N *，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1＞2524．故a 的最大值为25． 迁移与应用 1．【答案】B2．证明：(1)当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12．∵14＜12，∴不等式成立． (2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时不等式成立， 即122＋132＋142＋…＋1k 2＜1－1k ． 则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＜1－1k ＋1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2＜1－k (k ＋1)k (k ＋1)2＝1－1k ＋1．∴当n ＝k ＋1时不等式也成立．综合(1)(2)知，对任意n ≥2的正整数，不等式均成立．活动与探究3 思路分析：在应用归纳假设时通过添项，减项方法，凑出含有17的因数． 证明：(1)当n ＝1时，f (1)＝3×53＋24＝391＝17×23，所以f (1)能被17整除．(2)假设当n ＝k 时，命题成立， 即f (k )＝3×52k ＋1＋23k＋1能被17整除，则n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝3×52k ＋3＋23k ＋4 ＝52×3×52k ＋1＋52×23k ＋1－52×23k ＋1＋23k ＋4 ＝25f (k )－17×23k ＋1，由假设知，f (k )能被17整除，且17×23k＋1显然可被17整除，故f (k ＋1)能被17整除．由(1)(2)可知，对任意正整数n ，f (n )能被17整除． 迁移与应用1．证明：(1)当n ＝1时，34－8×1－9＝64，能被64整除， ∴当n ＝1时，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，32k ＋2－8k －9能被64整除． 则当n ＝k ＋1时， 32(k＋1)＋2－8(k ＋1)－9＝9·32k ＋2－8k －17＝9(32k ＋2－8k －9)＋72k ＋81－8k －17＝9(32k ＋2－8k －9)＋64k ＋64＝9(32k ＋2－8k －9)＋64(k ＋1)． ∵32k ＋2－8k －9与64(k ＋1)都能被64整除， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N *，原命题都成立．2．证明：(1)当n ＝1时，a 1＋1＋(a ＋1)2×1－1＝a 2＋a ＋1，命题显然成立． (2)假设当n ＝k 时，a k ＋1＋(a ＋1)2k－1能被a 2＋a ＋1整除，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2·(a ＋1)2k －1＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a ＋1)2·(a ＋1)2k －1－a (a ＋1)2k －1＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋ (a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1．由归纳假设，上式中的两项均能被a 2＋a ＋1整除，故n ＝k ＋1时命题也成立． 由(1)(2)知，对任意n ∈N *命题都成立．活动与探究4 思路分析：此题属探索性问题，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论．它的解题思路是：从给出的条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想、探索出结论，然后再对归纳猜想的结论进行证明． 解：(1)由S 1＝a 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1．因为a n ＞0， 所以a 1＝1．S 2＝a 1＋a 2＝12⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2， 得a 22＋2a 2－1＝0，又因为a n ＞0，所以a 2＝2－1． S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝⎛⎭⎫a 3＋1a 3，得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－2． (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *)． 数学归纳法证明如下：①n ＝1时，a 1＝1－0＝1，命题成立．②假设n ＝k (k ∈N *)时，a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k ，即a k ＋1＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1＝12⎝⎛⎭⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ， 所以a 2k ＋1＋2k a k ＋1－1＝0．又因为a n ＞0，所以a k ＋1＝k ＋1－k ， 即n ＝k ＋1时，命题成立．由①②知，对n ∈N *，a n ＝n －n －1． 迁移与应用 1．【答案】2n －12n －1【解析】由已知得2S n ＋1＝S n ＋2S 1， 当n ＝1时，2S 2＝S 1＋2S 1，∴S 2＝32；当n ＝2时，2S 3＝S 2＋2S 1，∴S 3＝74；当n ＝3时，2S 4＝S 3＋2S 1，∴S 4＝158．猜想S n ＝2n －12n －1．2．解：当n ＝1时，由(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)(a n －1)，得a 1＝1． 当n ＝2时，将a 2＝6代入(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)·(a n －1)，得a 3＝15． 同理可得a 4＝28．将a 1＝1，a 2＝6，a 3＝15，a 4＝28分别代入b n ＝a n ＋n ， 得b 1＝2，b 2＝8，b 3＝18，b 4＝32， 由此猜想b n ＝2n 2．要证b n ＝2n 2，可证a n ＝b n －n ＝2n 2－n ． 下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，a 1＝2×12－1＝1，前面已求得a 1＝1， 所以猜想正确．(2)假设当n ＝k 时，a k ＝2k 2－k (k ∈N *)成立， 由已知(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)(a n －1)，得(k －1)a k ＋1＝(k ＋1)(a k －1)，所以当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝k ＋1k －1(a k －1)＝k ＋1k －1(2k 2－k －1)＝k ＋1k －1(2k ＋1)(k －1)＝(k ＋1)(2k ＋1)＝2(k ＋1)2－(k ＋1)， 所以当n ＝k ＋1时，a n ＝2n 2－n 成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N *，a n ＝2n 2－n 都成立． 所以{b n }的通项公式为b n ＝2n 2． 当堂检测 1．【答案】C 2．【答案】C【解析】逐个代入验证． 3．【答案】13 25 37 49 21nn + 【解析】分别将1,2,3,4代入观察猜想S n ＝21nn +． 4．【答案】2k【解析】当n ＝k 时左端为1111+2321k+++-， 当n ＝k ＋1时左端为11111111+232122121k k k k ++++++++-+-，故增加的项数为2k项．5．证明：(1)当n ＝2时，两条直线的交点只有一个． 又f (2)＝12×2×(2－1)＝1， ∴当n ＝2时，命题成立．(2)假设n ＝k (k ＞2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k 条直线交点个数f (k )＝12k (k －1)，那么，当n ＝k ＋1时，任取一条直线l ，除l 以外其他k 条直线交点个数为f (k )＝12k (k －1)， l 与其他k 条直线交点个数为k ， 从而k ＋1条直线共有f (k )＋k 个交点， 即f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝12k (k －1)＋k ＝12k (k －1＋2)＝12k (k ＋1)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，对n∈N*(n≥2)命题都成立．。
高中数学教案选修2-2《2.3数学归纳法》
教课目的：1．理解数学概括法的观点 ,掌握数学概括法的证明步骤．2．经过数学概括法的学习 ,领会用不完好概括法发现规律 ,用数学概括法证明规律的门路．教课要点：1．能用数学概括法证明一些简单的数学命题．2．难点：概括 →猜想 →证明．教课过程：一、预习1．思虑并证明：平面内有 n(n ≥2)条直线 ,此中任何两条不平行 ,任何三条可是同一点 ,证明交点的个数为 f(n)＝ n(n －1)．22．小结：数学概括法是一种证明与正整数相关的数学命题的重要方法．主要有两个步骤、一个结论：（ 1）证明当 n 取第一个值 n 0（如 n 0＝1 或 2 等）时结论正确．（ 2）假定 n ＝k 时,结论正确 ,证明 n ＝ k ＋ 1 时结论也正确（用上假定 ,递推才真）．（ 3）由（ 1）,（2）得出结论（结论写明 ,才算完好）．此中第一步是递推的基础 ,解决了特别性；第二步是递推的依照 ,解决了从有限到无穷的过渡．这两步缺一不行．只有第一步 ,属不完好概括法；只有第二步 ,假定就失掉了基础．二、讲堂训练例 1 设 n ∈ N *,F(n)＝5n＋2×3n ＿ 1＋1,（ 1）当 n ＝1,2,3,4 时 ,计算 f(n)的值．（ 2）你对 f(n)的值有何猜想？用数学概括法证明你的猜想．例 2 在平面上画 n 条直线 ,且任何两条直线都订交 ,此中任何三条直线不共点．问：这 n 条直线将平面分红多少个部分？1．用数学法明： 1＋2＋22＋⋯＋ 2n＿1＝ 2n－1 (n∈N* )．2．下边是某同学用数学法明命 1 ＋ 1＋＋1＝n的12 23n( n＋1)n＋1程,上 ,原命建立．3．求： (n＋ 1)(n＋2)⋯ (n＋n)＝2n·1·3·⋯·（2n－ 1）（ n∈N*）．四、堂小① 法：由特别到一般,是数学的重要方法；②数学法的科学性：基正确；可；③数学法程序化步：两个步,一个；④数学法点：战胜了完好法的繁、不行行的弊端,又战胜了不完全法不行靠的不足,是一种科学方法 ,使我到事情由到繁、由特别到一般、由有限到无．五、作本 P94 第 6,7,8 ．。
人教版高中数学选修2-2教学案2.3数学归纳法(学生版)
人教版高中数学选修2-2教学案2.3数学归纳法（学生版）数学归纳法____________________________________________ __________________________________________________________________________________ ______________________________________1、数学归纳法的原理及应用.2、数学归纳法的思想实质及在归纳推理中发现具体问题的递推关系.一、数学归纳法：数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一。
近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能例1、例1数学归纳法证明13＋23＋33＋…＋n 3=41 n2（n ＋1）2题型二、用数学归纳法证明不等式例2、归纳法证明++++++312111n n n …n 31＞109 （n ＞1，且N ∈n ）．题型三、用数学归纳法证明几何问题例4．平面内有n )(*N n ∈个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成22+n个部分.-n题型四、用数学归纳法证明整除问题例4、用数学归纳法证明32n＋2－8 n－9()N∈n能被64整除．题型五归纳、猜想、证明例8：是否存在常数a，b，c使等式对一切自然数n 都成立，并证明你的结论。
一、选择题1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2B ．1＋12＋13＜2C ．1＋12＋13＜3D ．1＋12＋13＋14＜32．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－a n ＋21－a (n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1时，左边所得的项为( )A ．1B ．1＋a ＋a 2C ．1＋aD ．1＋a ＋a 2＋a 33．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A.12n ＋1 B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋24．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝6时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是()A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为()A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－27．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证() A．n＝1时命题成立B．n＝1，n＝2时命题成立C．n＝3时命题成立D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立8．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m 的值为()A．30B．26C．36D．69．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2a n(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想a n＝()A.2(n＋1)2B.2n(n＋1)C.22n－1D.22n－110．对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即k2＋k <k＋1，则n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k ＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法() A．过程全都正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确二、填空题11．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为________．12．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n(n＋1)，通过计算得S1＝12，S2＝23，S3＝34，由此可猜测S n＝________.13．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.14．用数学归纳法证明命题：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2.(1)当n0＝________时，左边＝____________，右边＝______________________；当n＝k时，等式左边共有________________项，第(k－1)项是__________________．(2)假设n＝k时命题成立，即_____________________________________成立．(3)当n＝k＋1时，命题的形式是______________________________________；此时，左边增加的项为______________________．三、解答题15．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．16．求证：12＋13＋14＋…＋12n－1>n－22(n≥2)．17．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．求证：这n条直线将它们所在的平面分成n2＋n＋22个区域．18．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．[分析]由题目可获取以下主要信息：①此题选用特殊值来找到2n＋2与n2的大小关系；②利用数学归纳法证明猜想的结论． 解答本题的关键是先利用特殊值猜想．_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2B ．1＋12＋13＜2C ．1＋12＋13＜3D ．1＋12＋13＋14＜32． 用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－a n＋21－a(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为()A．1 B．1＋a＋a2C．1＋a D．1＋a＋a2＋a33．设f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于()A．12n＋1B．12n＋2C．12n＋1＋12n＋2D．12n＋1－12n＋24．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得()A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是()A．假设n＝k(k∈N*)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n ＝k＋1时命题也成立C．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n ＝k＋2时命题也成立D．假设n＝2k＋1(k∈N)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为()A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2二、填空题7．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋18．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n (n ＋1)，通过计算得S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，由此可猜测S n ＝________.9．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，第一步应验证的等式是________．三、解答题10． 数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)． (1)计算a 1、a 2、a 3，并猜想a n 的通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．能力提升一、选择题11．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C ．(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)212．设凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋________.( )A ．2πB ．πC ．π2D ．π313． 用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开()A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)314．观察下列各式：已知a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则归纳猜测a7＋b7＝()A．26 B．27C．28 D．29二、填空题15．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为________．16．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.三、解答题17．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．求证：这n条直线将它们所在的平面分成n2＋n＋22个区域．18．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．课程顾问签字： 教学主管签字：。
人教版高中数学选修2-2学案2.2.3数学归纳法(一)
2.2.3数学归纳法（一）【学习目标】1.了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤;2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;3.理解数学归纳法中递推思想.【新知自学】知识回顾：1.证明方法：（1）直接证明⎩⎨⎧__________________； （2）间接证明：________.新知梳理：1.问题：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?2.数学归纳法两大步：（1）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立;（2）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0， k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.3.数学归纳法是一种完全归纳的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.对点练习：1.若f (n )＝1＋12＋13＋…＋16n －1(n ∈N ＋)，则f (1)为( )A ．1B ．15C ．1＋12＋13＋14＋15D ．非以上答案2.已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋143.用数学归纳法证明:当n 为整数时,2135(21)n n ++++-=.【合作探究】典例精析：例1.用数学归纳法证明2222*(1)(21)123,6n n n n n N ++++++=∈变式练习：2*1427310(31)(1),n n n n n N ⨯+⨯+⨯+++=+∈例 2.用数学归纳法证明:首项是1a ,公差是d 的等差数列的通项公式是1(1)n a a n d =+-,前n项和的公式是1(1)2n n n S na d -=+.变式练习：用数学归纳法证明:首项是1a ,公比是q 的等差数列的通项公式是11n n a a q -=,前n 项和的公式是1(1)1n n a q S q-=-.(1q ≠)规律总结：(1)数学归纳法证题时，第一个值n 0不一定为1，如证明多边形内角和定理(n －2)π时，初始值n 0＝3.(2)数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：①必须利用归纳假设作基础；②证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法；③解题时要搞清从n ＝k 到n ＝k ＋1增加了哪些项或减少了哪些项．2.其中关键：从假设n =k 成立，再证得n =k +1成立时要用上假设.【课堂小结】【当堂达标】1.用数学归纳法证明：22111(1)1n n a a a a a a++-++++=≠-，在验证1n =时，左端计算所得项为A.1B.21a a ++C.1a +D.231a a a +++2.设*111()()122f n n N n n n =+++∈++，那么)()1(n f n f -+等于（ ）A.121+nB.221+nC.221121+++n n D.221121+-+n n3. 已知数列}{n a 的前n 项和)2(2≥=n a n S n n ，而11=a ，通过计算432,,a a a ，猜想=n a .4. 用数学归纳法证明: 1111133557(21)(21)21nn n n ++++=⨯⨯⨯-++【课时作业】1.用数学归纳法证明))(12(312)()3)(2)(1(*N n n n n n n n n ∈-⋅⋅⋅=++++ 时，从n=k 到n=k+1，左端需要增加的代数式为A.2k+1B. 2(2k+1)C.112++k k D.132++k k2.一个关于自然数n 的命题，如果验证当n ＝1时命题成立，并在假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时命题成立的基础上，证明了当n ＝k ＋2时命题成立，那么综合上述，对于( )A ．一切正整数命题成立B ．一切正奇数命题成立C ．一切正偶数命题成立D ．以上都不对3. 已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2⎝⎛⎭⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( ) A ．n ＝k ＋1时等式成立 B ．n ＝k ＋2时等式成立 C ．n ＝2k ＋2时等式成立 D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立4.用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)”的过程中，第二步n ＝k 时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到( )A ．1＋2＋22＋…＋2k -2＋2k -1＝2k +1－1B ．1＋2＋22＋…＋2k ＋2k ＋1＝2k －1 ＋2k +1C ．1＋2＋22＋…＋2k -1＋2k ＋1＝2k +1-1 D ．1＋2＋22＋…＋2k -1＋2k ＝2k +1-15.用数学归纳法证明:当n 为正整数时, 21122221n n -++++=-.6.用数学归纳法证明:112(1)3(2)1(1)(2)6n n n n n n n ∙+∙-+∙-+∙=++。
2020-2021学年高二数学人教A版选修2-2学案：2.3数学归纳法
2.3数学归纳法[目标] 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．[重点] 数学归纳法及其应用．[难点] 对数学归纳法原理的理解．知识点数学归纳法[填一填]1．数学归纳法的证题步骤一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k ＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．2．用框图表示数学归纳法的步骤[答一答]1．在数学归纳法的第一步归纳奠基中，第一个值n0是否一定为1?提示：不一定，n0还可以取其他值，如证明“2n>n2”中，n0＝5，而证明“凸n边形内角和为(n－2)·180°”中，n0＝3.2．所有与正整数有关的命题都可以用数学归纳法证明吗？提示：数学归纳法是证明与正整数有关的命题的有力工具，但并不是所有与正整数n有关的命题都能用数学归纳法证明，一般当从n ＝k过渡到n＝k＋1时，问题中存在可利用的递推关系时才能应用．3．用数学归纳法证明问题时，归纳假设是否一定要用上？提示：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程，必须把归纳假设“n＝k”作为条件来导出“n＝k＋1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次．类型一用数学归纳法证明等式【例1】用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1). 【证明】 (1)当n ＝1时121×3＝1×22×3成立．(2)假设当n ＝k 时等式成立，即有121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)，则当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)， 即当n ＝k ＋1时等式也成立．总之，由(1)(2)可得对于任意的n ∈N *等式都成立．应用数学归纳法时应注意的问题：(1)第一步的验证，对于有些问题验证的并不是n ＝1，有时需验证n ＝2，n ＝3，甚至需要验证n ＝10，如证明：对足够大的正整数n ，有2n >n 3，就需要验证n ＝10时不等式成立.(2)n ＝k ＋1时式子的项数，特别是寻找n ＝k 与n ＝k ＋1的关系时，项数发生什么变化容易被弄错.因此对n ＝k 与n ＝k ＋1这两个关系式的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障.(3)“假设n ＝k (k ≥1)时命题成立，利用这一假设证明n ＝k ＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，因此在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设，否则这样的证明就不再是数学归纳法了.另外在推导过程中要把步骤写完整，注意证明过程中的严谨性、规范性.(1)用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1成立时，左边所得的项为( B )A ．1B ．1＋a ＋a 2C ．1＋aD ．1＋a ＋a 2＋a 3解析：左边应为1＋a ＋a 2.故选B.(2)设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ，则S k ＋1为( B ) A ．S k ＋12k ＋2B ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1C ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2D ．S k ＋12k ＋2－12k ＋1类型二 用数学归纳法证明不等式【例2】 已知{a n }为等比数列且a n ＝2n －1，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N ＋)，用数学归纳法证明对任意的n ∈N ＋，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立． 【证明】 由已知条件可得b n ＝2n (n ∈N ＋)，∴所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n >n ＋1.(1)当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，左边>右边，∴不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立．即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k >k ＋1，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1)>k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1. 要证当n ＝k ＋1时，不等式成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥(k ＋1)(k ＋2)，由基本不等式，得2k ＋32＝(k ＋1)＋(k ＋2)2≥(k ＋1)(k ＋2)成立，∴2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立， ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N ＋，原不等式均成立．运用数学归纳法证明不等式时，在利用了归纳假设后，要注意根据欲证目标，灵活地运用比较法、放缩法等技巧来进行证明，如本例就是利用了比较法.用数学归纳法证明：122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n(n ≥2，n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12，∵14<12，∴不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k ，则当n ＝k ＋1时，即122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<1－1k ＋1(k ＋1)2 ＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<1－k (k ＋1)k (k ＋1)2＝1－1k ＋1， ∴当n ＝k ＋1时不等式也成立．综合(1)(2)得，对任意n ≥2的正整数，不等式均成立．类型三 用数学归纳法证明整除问题【例3】 用数学归纳法证明(3n ＋1)·7n －1(n ∈N *)能被9整除．【思路分析】 按照数学归纳法证明步骤：(1)先证n ＝1时命题成立；(2)假设n ＝k 时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立．【证明】(1)当n＝1时，4×7－1＝27能被9整除，命题成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时命题成立，即(3k＋1)·7k－1能被9整除，那么当n＝k＋1时，[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1＝[(3k＋1)＋3]·7·7k－1＝7·(3k＋1)·7k－1＋21×7k＝[(3k＋1)·7k－1]＋6(3k＋1)·7k＋21×7k＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋27×7k＝[(3k＋1)·7k－1]＋(18k＋27)·7k.由假设知(3k＋1)·7k－1能被9整除，又因为(18k＋27)·7k能被9整除，所以[(3k＋1)·7k－1]＋(18k＋27)·7k能被9整除，即n＝k＋1时命题成立．综上由(1)(2)知，对所有正整数n，命题成立．当n＝1时，原式等于27被9整除，因此要研究(3k＋1)·7k－1与(3k ＋4)·7k＋1－1之间的关系，以便利用归纳假设(3k＋1)·7k－1能被9整除来推证(3k＋4)·7k＋1－1也能被9整除.利用数学归纳法证明：x2n－y2n(n∈N*)能被x＋y整除．证明：(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，能被x＋y整除，所以命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即x 2k －y 2k 能被x ＋y 整除， 那么，当n ＝k ＋1时，x 2k ＋2－y 2k ＋2＝x 2·x 2k －y 2·y 2k －x 2·y 2k ＋x 2·y 2k＝x 2(x 2k －y 2k )＋y 2k (x 2－y 2)，因为x 2k －y 2k 与x 2－y 2都能被x ＋y 整除，所以x 2k ＋2－y 2k ＋2能被x ＋y 整除，即当n ＝k ＋1时命题也成立．根据(1)和(2)，可知命题对任意n ∈N *都成立．数学归纳法证明问题从n ＝k到n ＝k ＋1时弄错增加项【例4】 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n >n ＋12(n ∈N *)．【错解】 ①当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝1＋12＝1，显然左边>右边，即n ＝1时不等式成立．②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k >k ＋12.那么当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1>k ＋12＋12k ＋1>k ＋12＋12＝(k ＋1)＋12，即n ＝k ＋1时，不等式成立． 由①②得1＋12＋13＋…＋12n >n ＋12(n ∈N *)成立．【错因分析】 以上用数学归纳法证明的过程是错误的，因为在从n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的不止一项，应是12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ，共有2k项，并且k ＋12＋12k ＋1>k ＋12＋12也是错误的． 【正解】 ①当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝1＋12＝1，所以左边>右边，即n ＝1时不等式成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k >k ＋12，那么当n ＝k ＋1时，有1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k＝k ＋12＋2k2k ＋2k＝k ＋12＋12＝(k ＋1)＋12. 所以n ＝k ＋1时，不等式成立，由①②可知，n ∈N *时1＋12＋13＋…＋12n >n ＋12.用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n>1124(n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝1时，左边＝12>1124，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，不等式成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1k ＋k>1124， 即当n ＝k ＋1时，1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1.因为12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝2(k ＋1)＋(2k ＋1)－2(2k ＋1)2(k ＋1)(2k ＋1)＝12(k ＋1)(2k ＋1)>0， 所以1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124， 所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，对于任意正整数n ，不等式成立．1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋2n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋1)时，在验证n ＝1成立时，左边所得的代数式是( C )A ．1B ．1＋3C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4 2．满足1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)＝3n 2－3n ＋2的自然数等于( C )A ．1B ．1或2C ．1,2,3D ．1,2,3,4解析：逐个代入验证．3．已知S n ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)，则S 1＝13，S 2＝25，S 3＝37，S 4＝49，猜想S n ＝n 2n ＋1. 解析：分别将1,2,3,4代入观察猜想S n ＝n 2n ＋1. 4．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，且n >1)，第二步证明从“k 到k ＋1”，左端增加的项数是2k .解析：当n ＝k 时左端为1＋12＋13＋…＋12k －1， 当n ＝k ＋1时左端为1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，故增加的项数为2k 项． 5．用数学归纳法证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2 ＝n ＋12n (n ≥2，n ∈N *)．证明：①当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴左边＝右边，∴n ＝2时等式成立．②假设n ＝k (k ≥2，n ∈N *)时等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k ， 那么n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)， 即n ＝k ＋1时等式成立．综合①②知，对任意n ≥2，n ∈N *等式恒成立．。
高中数学选修2-2优质学案：§2.3 数学归纳法
[学习目标] 1.了解数学归纳法原理.2.掌握数学归纳法的两个步骤，会用数学归纳法证明一些简单的数学命题．知识点一 归纳法及分类由一系列有限的特殊事例得出一般性结论的推理方法，通常叫归纳法，归纳法可以分为__________归纳法和__________归纳法，完全归纳法所得出的结论是完全可靠的，因为它考察了问题涉及的所有对象；不完全归纳法得出的结论不一定可靠，因为它只考察了某件事情的部分对象，但它是一种重要的思考问题的方法，是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段．用不完全归纳法发现规律，再用完全归纳法证明，是解决问题的一种重要途径．完全归纳法是一种在研究了解事物的所有(有限种)特殊情况后，得出一般结论的推理方法，又叫枚举法．与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的．通常在事物包括的特殊情况不多时，采用完全归纳法．思考 下面的各列数都依照一定规律排列，请在括号里填上适当的数． (1)1,5,9,13,17，( )；(2)23，1,1 12，2 14，3 38，( )； (3)34，58，12，922，1132，( )； (4)32,31,16,26，( )，( )，4,16,2,11. 知识点二 数学归纳法 1．数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；②(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 2．应用数学归纳法时注意几点：(1)用数学归纳法证明的对象是与________有关的命题． (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．(3)步骤②的证明必须以“假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立”为条件．思考 (1)对于数列{a n }，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n (n ∈N *)，求出数列前4项，你能得到什么猜想？你的猜想一定是正确的吗？(2)多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件？题型一 用数学归纳法证明恒成立例1 求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)．反思与感悟 用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式两边会增加多少项，增加怎样的项．跟踪训练1 用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n －1)2＝13n (4n 2－1)(n ∈N *)．题型二 证明不等式问题例2 已知{a n }为等比数列且a n ＝2n －1，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，用数学归纳法证明对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＞n ＋1成立．反思与感悟 用数学归纳法证明不等式问题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标，在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都适用．跟踪训练2 用数学归纳法证明对一切n ∈N *,1＋122＋132＋… ＋1n 2≥3n2n ＋1.题型三 用数学归纳法证明整除问题 例3 求证n ∈N *时，a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除．反思与感悟 用数学归纳法证明数的整除性问题时，关键是从当n ＝k ＋1时的式子中拼凑出当n ＝k 时能被某数整除的式子，并将剩余式子转化为能被该数整除的式子． 跟踪训练3 用数学归纳法证明对于任意非负整数n ，A n ＝11n ＋2＋122n ＋1能被133整除．题型四 用数学归纳法解决平面几何问题例4 已知n 个平面都过同一点，但其中任何三个平面都不经过同一直线，求证：这n 个平面把空间分成f (n )＝n (n －1)＋2部分．反思与感悟 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k 增加到k ＋1时，所证的几何量增加多少，同时要善于利用几何图形的直观性，建立k 与k ＋1之间的递推关系．跟踪训练4 平面内有n (n ∈N *，n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证交点的个数f (n )＝n (n －1)2.因弄错从n ＝k 到n ＝k ＋1的增加项致误例5 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n ＞n ＋12(n ∈N *)．错解 ①当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝1＋12＝1，显然左边＞右边，即n ＝1时不等式成立．②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋12k ＞k ＋12.那么，当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＞k ＋12＋12k ＋1＞k ＋12＋12＝(k ＋1)＋12， 即n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②得1＋12＋13＋…＋12n ＞n ＋12(n ∈N *)成立．错因分析 以上用数学归纳法证明的过程是错误的，因为在从n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的不止一项，应是12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ，共有2k项，并且k ＋12＋12k ＋1＞k ＋12＋12也是错误的．正解 ①当n ＝1时， 左边＝1＋12，右边＝1＋12＝1，所以左边＞右边， 即n ＝1时不等式成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k ＞k ＋12，那么，当n ＝k ＋1时，有1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ＞k ＋12＋12k ＋2k ＋12k ＋2k ＋…＋12k ＋2k＝k ＋12＋2k2k ＋2k ＝k ＋12＋12＝(k ＋1)＋12. 所以n ＝k ＋1时，不等式成立． 由①②可知，n ∈N *时1＋12＋13＋…＋12n ＞n ＋12. 防范措施 当n ＝k ＋1时，可以写出相应增加的项，然后再结合数学归纳法证明．1．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＝1－a n ＋11－a (a ≠1，n ∈N *)，在验证当n ＝1时，左边计算所得的式子是( ) A ．1 B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 4 2．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＞1324(n ≥2)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时，不等式的左边( ) A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1，12(k ＋1)C ．增加了两项12k ＋1，12(k ＋1)，又减少了一项1k ＋1D ．增加了一项12(k ＋1)，又减少了一项1k ＋13．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k )多的项数是__________．4．用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N *)第一步应验证______________．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为______________．1.数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可．有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础． 2．归纳假设的作用．在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证n ＝k ＋1时，必须用上归纳假设． 3．利用归纳假设的技巧．在推证n ＝k ＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要掌握n ＝k 与n ＝k ＋1之间的关系．在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用． 4．数学归纳法的适用范围．数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、几何问题、探求数列的通项及前n 项和等问题中．提醒：完成作业 §2.3[答案]精析知识梳理 知识点一 完全 不完全思考 (1)21；(2)8116；(3)1344；(4)8 21.知识点二 2．(1)正整数n思考 (1)a 1＝1，a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14.猜想数列的通项公式为a n ＝1n .不能保证猜想一定正确，需要严密的证明．(2)①第一块骨牌倒下；②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．条件②事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K 块倒下，则相邻的第K ＋1块也倒下． 题型探究例1 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1＋1＝2，右边＝21×1＝2，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k ·1·3·…·(2k －1)， 那么，当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2) ＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )·(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2k ·1·3·…·(2k －1)(2k ＋1)·2＝2k ＋1·1·3·…·(2k －1)·[2(k ＋1)－1]＝右边． ∴当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N *，原等式均成立．跟踪训练1 证明 (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝13×1×(4×12－1)＝1，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立， 即12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＝13k (4k 2－1)，则当n ＝k ＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＋(2k ＋1)2 ＝13k (4k 2－1)＋(2k ＋1)2 ＝13k (2k ＋1)(2k －1)＋(2k ＋1)2 ＝13(2k ＋1)[k (2k －1)＋3(2k ＋1)] ＝13(2k ＋1)(2k 2＋5k ＋3) ＝13(2k ＋1)(k ＋1)(2k ＋3) ＝13(k ＋1)(4k 2＋8k ＋3) ＝13(k ＋1)[4(k ＋1)2－1]， 即当n ＝k ＋1时，等式成立． 由(1)(2)知，对一切x ∈N *等式成立．例2 证明 由已知条件可得b n ＝2n (n ∈N *)， ∴所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n ＞n ＋1.(1)当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，左边＞右边，∴不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立． 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k＞k ＋1，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1)＞k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1.要证当n ＝k ＋1时，不等式成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥(k ＋1)(k ＋2)，由基本不等式，得2k ＋32＝(k ＋1)＋(k ＋2)2≥(k ＋1)(k ＋2)成立，∴2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N *，原不等式均成立．跟踪训练2 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝3×12×1＋1＝1，不等式成立．(2)假设当n ＝k 时，不等式成立， 即1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k 2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，要证1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1，只需证3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2k ＋3.因为3(k ＋1)2k ＋3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2＝34(k ＋1)2－1－1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2(k ＋1)2[4(k ＋1)2－1]＝－k (k ＋2)(k ＋1)2(4k 2＋8k ＋3)≤0，所以3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2k ＋3，即1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时不等式成立．由(1)(2)知，不等式对一切n ∈N *都成立． 例3 证明 (1)当n ＝1时，a 1＋1＋(a ＋1)2×1－1＝a 2＋a ＋1，命题显然成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，a k ＋1＋(a ＋1)2k －1能被a 2＋a ＋1整除， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2·(a ＋1)2k －1 ＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1－a (a ＋1)2k －1 ＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1. 由归纳假设，上式中的两项均能被a 2＋a ＋1整除， 故当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n ∈N *，命题成立．跟踪训练3 证明 (1)当n ＝0时，A 0＝112＋12＝133，能被133整除． (2)假设当n ＝k (k ≥0)时，A k ＝11k ＋2＋122k ＋1能被133整除，那么当n ＝k ＋1时，A k ＋1＝11k ＋3＋122k ＋3＝11·11k ＋2＋122·122k ＋1＝11·11k ＋2＋11·122k ＋1＋(122－11)·122k ＋1＝11·(11k ＋2＋122k ＋1)＋133·122k ＋1，能被133整除． 由(1)(2)可知，对于任意非负整数n ，A n 都能被133整除．例4 证明 (1)当n ＝1时，1个平面把空间分成2部分，而f (1)＝1×(1－1)＋2＝2(部分)，所以命题正确．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即k 个符合条件的平面把空间分为f (k )＝k (k －1)＋2(部分)，当n ＝k ＋1时，第k ＋1个平面和其他每一个平面相交，使其所分成的空间都增加2部分，所以共增加2k 部分，故f (k ＋1)＝f (k )＋2k ＝k (k －1)＋2＋2k ＝k (k －1＋2)＋2＝(k ＋1)[(k ＋1)－1]＋2(部分)， 即当n ＝k ＋1时，命题也成立．根据(1)(2)，知n 个符合条件的平面把空间分成f (n )＝n (n －1)＋2部分．跟踪训练4 证明 (1)当n ＝2时，两条直线的交点只有一个，又f (2)＝12×2×(2－1)＝1， ∴当n ＝2时，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时命题成立，即平面内满足题设的任何k 条直线的交点个数f (k )＝12k (k －1)， 那么，当n ＝k ＋1时，任取一条直线l ，除l 以外其他k 条直线的交点个数为f (k )＝12k (k －1)， l 与其他k 条直线的交点个数为k ，从而k ＋1条直线共有f (k )＋k 个交点，即f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝12k (k －1)＋k ＝12k (k －1＋2)＝12k (k ＋1)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N *(n ≥2)命题都成立．当堂检测1．B [当n ＝1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a ，左边是1＋a ，故选B.]2．C [n ＝k 时，左边为1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，① n ＝k ＋1时，左边为1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12(k ＋1)，② 比较①②可知C 正确．]3．2k[解析] 观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k )＝1＋12＋13＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k . 因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k 项．4．n ＝3时是否成立[解析] n 的最小值为3，所以第一步验证n ＝3时是否成立．5．S n ＝2n n ＋1[解析] S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2n n ＋1.。
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学习目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．知识点数学归纳法对于一个与正整数有关的等式n(n－1)(n－2)…(n－50)＝0.思考1验证当n＝1，n＝2，…，n＝50时等式成立吗？思考2能否通过以上等式归纳出当n＝51时等式也成立？为什么？梳理(1)数学归纳法的定义一般地，证明一个与__________n有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当__________时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．(2)数学归纳法的框图表示类型一 用数学归纳法证明等式例1 (1)用数学归纳法证明(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)，“从k 到k ＋1”左端增乘的代数式为________．(2)用数学归纳法证明当n ∈N *时，1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .反思与感悟 数学归纳法证题的三个关键点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k ”到“k ＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项．(3)利用假设是核心：在第二步证明n ＝k ＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n ＝k 时命题成立”作为条件来导出“n ＝k ＋1”，在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k )中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．跟踪训练1 用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n －3)＋(2n －1)＋(2n －3)＋…＋5＋3＋1＝2n 2－2n ＋1.类型二 利用数学归纳法证明不等式例2 求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N *)．引申探究把本例改为求证：1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n >1124(n ∈N *)．反思与感悟 用数学归纳法证明不等式的四个关键：(1)验证第一个n 的值时，要注意n 0不一定为1，若n >k (k 为正整数)，则n 0＝k ＋1.(2)证明不等式的第二步中，从n ＝k 到n ＝k ＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．(3)用数学归纳法证明与n 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n 取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n 值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 时成立得n ＝k ＋1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．跟踪训练2 用数学归纳法证明对一切n ∈N *,1＋122＋132＋…＋1n 2≥3n2n ＋1.类型三 归纳—猜想—证明例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ＝S n n (2n －1)，且a 1＝13.(1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并证明．反思与感悟 (1)“归纳—猜想—证明”的解题步骤(2)归纳法的作用归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法．归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想．“观察—猜想—证明”是解答与自然数有关命题的有效途径． 跟踪训练3 设a >0，f (x )＝axa ＋x，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *. (1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论．1．用数学归纳法证明1＋122＋132＋…＋1(2n －1)2<2－12n －1(n ≥2，n ∈N *)的第一步需证明( ) A ．1<2－12－1B ．1＋122<2－122－1C ．1＋122＋132<2－122－1D ．1＋122＋132＋142<2－122－12．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a(a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( ) A ．1＋a B ．1＋a ＋a 2 C ．1＋a ＋a 2＋a 3D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 43．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下： (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立．上述证明，错误是______________________________．4．请观察以下三个式子： (1)1×3＝1×2×96；(2)1×3＋2×4＝2×3×116；(3)1×3＋2×4＋3×5＝3×4×136，归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明该结论．在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时，式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．答案精析问题导学 思考1 成立．思考2 不能，上面的等式只对n 取1至50的正整数成立． 梳理 (1)正整数 ②n ＝k ＋1(2)n ＝n 0 n ＝k n ＝k ＋1 从n 0开始所有的正整数n 题型探究 例1 (1)2(2k ＋1) (2)证明 ①当n ＝1时， 左边＝1－12＝12，右边＝12.左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时， 等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋(1k ＋1－12k ＋2) ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2 ＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋12(k ＋1).∴当n ＝k ＋1时，等式成立．由①②可知，对一切n ∈N *等式成立．跟踪训练1 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2×12－2×1＋1＝1， 等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k －3)＋(2k －1)＋(2k －3)＋…＋5＋3＋1＝2k 2－2k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，左边＝1＋3＋5＋…＋(2k －3)＋(2k －1)＋(2k ＋1)＋(2k －1)＋(2k －3)＋…＋5＋3＋1 ＝2k 2－2k ＋1＋(2k －1)＋(2k ＋1) ＝2k 2＋2k ＋1＝2(k ＋1)2－2(k ＋1)＋1. 即当n ＝k ＋1时，等式成立．由(1)(2)知，对任意n ∈N *，等式都成立．例2 证明 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＝5760，故左边>右边，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，命题成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56，则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)>56＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)．(*)方法一 (分析法) 下面证(*)式≥56，即13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1≥0， 只需证(3k ＋2)(3k ＋3)＋(3k ＋1)(3k ＋3)＋(3k ＋1)(3k ＋2)－3(3k ＋1)(3k ＋2)≥0，只需证(9k 2＋15k ＋6)＋(9k 2＋12k ＋3)＋(9k 2＋9k ＋2)－(27k 2＋27k ＋6)≥0， 只需证9k ＋5≥0，显然成立． 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 方法二 (放缩法)(*)式>(3×13k ＋3－1k ＋1)＋56＝56，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立． 引申探究证明 (1)当n ＝1时，左边＝12>1124，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，不等式成立， 即1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1k ＋k >1124， 则当n ＝k ＋1时，1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1， ∵12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1 ＝2(k ＋1)＋(2k ＋1)－2(2k ＋1)2(k ＋1)(2k ＋1)＝12(k ＋1)(2k ＋1)>0，∴1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1>1124，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)知对于任意正整数n ，不等式成立．跟踪训练2 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝3×12×1＋1＝1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式成立， 即1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k 2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，要证1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1，只需证3k2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1.因为3(k ＋1)2k ＋3－[3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2]＝34(k ＋1)2－1－1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2(k ＋1)2[4(k ＋1)2－1]＝－k (k ＋2)(k ＋1)2(4k 2＋8k ＋3)≤0，所以3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1，即1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1， 所以当n ＝k ＋1时，不等式成立． 由(1)(2)知，不等式对一切n ∈N *都成立． 例3 解 (1)a 2＝S 22(2×2－1)＝a 1＋a 26，a 1＝13，则a 2＝115，同理求得a 3＝135.(2)由a 1＝11×3，a 2＝13×5，a 3＝15×7，…，猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).证明：①当n ＝1时，a 1＝13，等式显然成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立，即a k ＝1(2k －1)(2k ＋1)，那么当n ＝k ＋1时， 由题设a n ＝S nn (2n －1)，得a k ＝S kk (2k －1)，a k ＋1＝S k ＋1(k ＋1)(2k ＋1)，所以S k ＝k (2k －1)a k＝k (2k －1)1(2k －1)(2k ＋1)＝k2k ＋1.S k ＋1＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1， a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1－k2k ＋1， 因此，k (2k ＋3)a k ＋1＝k2k ＋1，所以a k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋3)＝1[2(k ＋1)－1][2(k ＋1)＋1].所以当n ＝k ＋1时，命题成立． 由①②可知，命题对任何n ∈N *都成立． 跟踪训练3 解 (1)因为a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )， 所以a 2＝f (a 1)＝f (1)＝aa ＋1，a 3＝f (a 2)＝f (a a ＋1)＝a ·a a ＋1a ＋a a ＋1＝a a ＋2， a 4＝f (a 3)＝f (a a ＋2) ＝a ·a a ＋2a ＋a a ＋2＝a a ＋3， 猜想a n ＝a a ＋(n －1)(n ∈N *)． (2)①易知当n ＝1时，结论成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，猜想成立，即a k ＝aa ＋(k －1). 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝f (a k )＝a ×a a ＋(k －1)a ＋a a ＋(k －1)＝a a ＋(k －1)＋1＝a a ＋k＝a a ＋[(k ＋1)－1]， 即当n ＝k ＋1时，猜想也成立．由①②知，对一切n ∈N *，都有a n ＝a a ＋(n －1). 当堂训练1．C 2.C 3.未用归纳假设4．解 结论：1×3＋2×4＋3×5＋…＋n (n ＋2)＝n (n ＋1)(2n ＋7)6.证明：①当n＝1时，左边＝3，右边＝3，所以命题成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，即1×3＋2×4＋3×5＋…＋k(k＋2)＝k(k＋1)(2k＋7)6，则当n＝k＋1时，1×3＋2×4＋…＋k(k＋2)＋(k＋1)(k＋3)＝k(k＋1)(2k＋7)6＋(k＋1)(k＋3)＝k＋16(2k2＋7k＋6k＋18)＝k＋16(2k2＋13k＋18)＝(k＋1)(k＋2)(2k＋9)6＝(k＋1)[(k＋1)＋1][2(k＋1)＋7]6，所以当n＝k＋1时，命题成立．由①②知，命题成立．。