高中数学复习学案(第73讲)数学归纳法人教版选修2
人教A版选修2-2 数学归纳法 学案
数学归纳法[学习目标] 1.了解数学归纳法原理.2.掌握数学归纳法的两个步骤，会用数学归纳法证明一些简单的数学命题.知识点一 归纳法及分类由一系列有限的特殊事例得出一般性结论的推理方法，通常叫归纳法，归纳法可以分为完全归纳法和不完全归纳法，完全归纳法所得出的结论是完全可靠的，因为它考察了问题涉及的所有对象；不完全归纳法得出的结论不一定可靠，因为它只考察了某件事情的部分对象，但它是一种重要的思考问题的方法，是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段.用不完全归纳法发现规律，再用完全归纳法证明，是解决问题的一种重要途径.完全归纳法是一种在研究了解事物的所有(有限种)特殊情况后，得出一般结论的推理方法，又叫枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况不多时，采用完全归纳法.思考 下面的各列数都依照一定规律排列，请在括号里填上适当的数. (1)1,5,9,13,17，( )；(2)23，1,1 12，2 14，3 38，( )； (3)34，58，12，922，1132，( )； (4)32,31,16,26，( )，( )，4,16,2,11. 答案 (1)21；(2)8116；(3)1344；(4)8 21.知识点二 数学归纳法 1.数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；②(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立. 2.应用数学归纳法时注意几点：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题. (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可.(3)步骤②的证明必须以“假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立”为条件.思考 (1)对于数列{a n }，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n(n ∈N *)，求出数列前4项，你能得到什么猜想？你的猜想一定是正确的吗？(2)多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件？答案 (1)a 1＝1，a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14.猜想数列的通项公式为a n ＝1n .不能保证猜想一定正确，需要严密的证明.(2)①第一块骨牌倒下；②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.条件②事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K 块倒下，则相邻的第K ＋1块也倒下.题型一 用数学归纳法证明恒成立例1 求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *). 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1＋1＝2，右边＝21×1＝2，左边＝右边，等式成立. (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k ·1·3·…·(2k －1)， 那么，当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2) ＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )·2k ＋12k ＋2k ＋1＝2k ·1·3·…·(2k －1)(2k ＋1)·2＝2k ＋1·1·3·…·(2k －1)·[2(k ＋1)－1]＝右边. ∴当n ＝k ＋1时，等式也成立.由(1)(2)可知，对一切n ∈N *，原等式均成立.反思与感悟 用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式两边会增加多少项，增加怎样的项.跟踪训练1 用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n －1)2＝13n (4n 2－1)(n ∈N *).证明 (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝13×1×(4×12－1)＝1，左边＝右边，等式成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立， 即12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＝13k (4k 2－1)，则当n ＝k ＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＋(2k ＋1)2 ＝13k (4k 2－1)＋(2k ＋1)2 ＝13k (2k ＋1)(2k －1)＋(2k ＋1)2 ＝13(2k ＋1)[k (2k －1)＋3(2k ＋1)] ＝13(2k ＋1)(2k 2＋5k ＋3) ＝13(2k ＋1)(k ＋1)(2k ＋3) ＝13(k ＋1)(4k 2＋8k ＋3) ＝13(k ＋1)[4(k ＋1)2－1]， 即当n ＝k ＋1时，等式成立. 由(1)(2)知，对一切x ∈N *等式成立. 题型二 证明不等式问题例2 已知{a n }为等比数列且a n ＝2n －1，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，用数学归纳法证明对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＞n ＋1成立. 证明 由已知条件可得b n ＝2n (n ∈N *)，∴所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n ＞n ＋1.(1)当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，左边＞右边，∴不等式成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立. 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k＞k ＋1，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋1＞k ＋1·2k ＋32k ＋1＝2k ＋32k ＋1.要证当n ＝k ＋1时，不等式成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥k ＋1k ＋2， 由基本不等式，得2k ＋32＝k ＋1＋k ＋22≥k ＋1k ＋2成立，∴2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立. 由(1)(2)可知，对一切n ∈N *，原不等式均成立.反思与感悟 用数学归纳法证明不等式问题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标，在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都适用.跟踪训练2 用数学归纳法证明对一切n ∈N *,1＋122＋132＋… ＋1n 2≥3n2n ＋1.证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝3×12×1＋1＝1，不等式成立.(2)假设当n ＝k 时，不等式成立， 即1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k 2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，要证1＋122＋132＋…＋1k 2＋1k ＋12≥3k ＋12k ＋1＋1， 只需证3k 2k ＋1＋1k ＋12≥3k ＋12k ＋3. 因为3k ＋12k ＋3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k 2k ＋1＋1k ＋12 ＝34k ＋12－1－1k ＋12＝1－k ＋12k ＋12[4k ＋12－1]＝－k k ＋2k ＋124k 2＋8k ＋3≤0，所以3k 2k ＋1＋1k ＋12≥3k ＋12k ＋3， 即1＋122＋132＋ (1)2＋1k ＋12≥3k ＋12k ＋1＋1， 所以当n ＝k ＋1时不等式成立. 由(1)(2)知，不等式对一切n ∈N *都成立. 题型三 用数学归纳法证明整除问题例3 求证n ∈N *时，a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除.证明 (1)当n ＝1时，a 1＋1＋(a ＋1)2×1－1＝a 2＋a ＋1，命题显然成立. (2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，a k ＋1＋(a ＋1)2k －1能被a 2＋a ＋1整除， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2·(a ＋1)2k －1＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1－a (a ＋1)2k －1 ＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1. 由归纳假设，上式中的两项均能被a 2＋a ＋1整除， 故当n ＝k ＋1时命题成立.由(1)(2)知，对任意n ∈N *，命题成立.反思与感悟 用数学归纳法证明数的整除性问题时，关键是从当n ＝k ＋1时的式子中拼凑出当n ＝k 时能被某数整除的式子，并将剩余式子转化为能被该数整除的式子.跟踪训练3 用数学归纳法证明对于任意非负整数n ，A n ＝11n ＋2＋122n ＋1能被133整除. 证明 (1)当n ＝0时，A 0＝112＋12＝133，能被133整除. (2)假设当n ＝k (k ≥0)时，A k ＝11k ＋2＋122k ＋1能被133整除，那么当n ＝k ＋1时，A k ＋1＝11k ＋3＋122k ＋3＝11·11k ＋2＋122·122k ＋1＝11·11k ＋2＋11·122k ＋1＋(122－11)·122k ＋1＝11·(11k ＋2＋122k ＋1)＋133·122k ＋1，能被133整除. 由(1)(2)可知，对于任意非负整数n ，A n 都能被133整除. 题型四 用数学归纳法解决平面几何问题例4 已知n 个平面都过同一点，但其中任何三个平面都不经过同一直线，求证：这n 个平面把空间分成f (n )＝n (n －1)＋2部分.证明 (1)当n ＝1时，1个平面把空间分成2部分，而f (1)＝1×(1－1)＋2＝2(部分)，所以命题正确.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即k 个符合条件的平面把空间分为f (k )＝k (k －1)＋2(部分)，当n ＝k ＋1时，第k ＋1个平面和其他每一个平面相交，使其所分成的空间都增加2部分，所以共增加2k 部分，故f (k ＋1)＝f (k )＋2k ＝k (k －1)＋2＋2k ＝k (k －1＋2)＋2＝(k ＋1)[(k ＋1)－1]＋2(部分)， 即当n ＝k ＋1时，命题也成立.根据(1)(2)，知n 个符合条件的平面把空间分成f (n )＝n (n －1)＋2部分.反思与感悟 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k 增加到k ＋1时，所证的几何量增加多少，同时要善于利用几何图形的直观性，建立k 与k ＋1之间的递推关系.跟踪训练4 平面内有n (n ∈N *，n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证交点的个数f (n )＝n n －12.证明 (1)当n ＝2时，两条直线的交点只有一个，又f (2)＝12×2×(2－1)＝1，∴当n ＝2时，命题成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时命题成立，即平面内满足题设的任何k 条直线的交点个数f (k )＝12k (k －1)，那么，当n ＝k ＋1时，任取一条直线l ，除l 以外其他k 条直线的交点个数为f (k )＝12k (k －1)，l 与其他k 条直线的交点个数为k ，从而k ＋1条直线共有f (k )＋k 个交点，即f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝12k (k －1)＋k ＝12k (k －1＋2)＝12k (k ＋1)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－1]，∴当n ＝k ＋1时，命题成立.由(1)(2)可知，对任意n ∈N *(n ≥2)命题都成立.因弄错从n ＝k 到n ＝k ＋1的增加项致误例5 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n ＞n ＋12(n ∈N *).错解 ①当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝1＋12＝1，显然左边＞右边，即n ＝1时不等式成立.②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋12k ＞k ＋12.那么，当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＞k ＋12＋12k ＋1＞k ＋12＋12＝k ＋1＋12，即n ＝k ＋1时，不等式成立.由①②得1＋12＋13＋…＋12n ＞n ＋12(n ∈N *)成立.错因分析 以上用数学归纳法证明的过程是错误的，因为在从n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的不止一项，应是12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ，共有2k项，并且k ＋12＋12k ＋1＞k ＋12＋12也是错误的.正解 ①当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝1＋12＝1，所以左边＞右边， 即n ＝1时不等式成立.②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋12k ＞k ＋12，那么，当n ＝k ＋1时，有1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k ＋2k＞k＋12＋2111...222222kk k k k k k++++++1444442444443个＝k＋12＋2k2k＋2k＝k＋12＋12＝k＋1＋12.所以n＝k＋1时，不等式成立.由①②可知，n∈N*时1＋12＋13＋…＋12n＞n＋12.防范措施当n＝k＋1时，可以写出相应增加的项，然后再结合数学归纳法证明.1.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋a n＝1－a n＋11－a(a≠1，n∈N*)，在验证当n＝1时，左边计算所得的式子是( )A.1B.1＋aC.1＋a＋a2D.1＋a＋a2＋a4答案 B解析当n＝1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a，左边是1＋a，故选B.2.用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋12n＞1324(n≥2)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式的左边( )A.增加了一项12k＋1B.增加了两项12k＋1，12k＋1C.增加了两项12k＋1，12k＋1，又减少了一项1k＋1D.增加了一项12k＋1，又减少了一项1k＋1答案 C解析 n ＝k 时，左边为1k ＋1＋1k ＋2＋ (12)，① n ＝k ＋1时，左边为1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋1，② 比较①②可知C 正确.3.已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n)>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k )多的项数是______. 答案 2k解析 观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k)＝1＋12＋13＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k.因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k 项.4.用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N *)第一步应验证________. 答案 n ＝3时是否成立解析 n 的最小值为3，所以第一步验证n ＝3时是否成立.5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *).依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为________. 答案 S n ＝2nn ＋1解析 S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2nn ＋1.1.数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可.有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础. 2.归纳假设的作用.在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证n ＝k ＋1时，必须用上归纳假设. 3.利用归纳假设的技巧.在推证n ＝k ＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设.此时既要看准目标，又要掌握n ＝k 与n ＝k ＋1之间的关系.在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用.4.数学归纳法的适用范围.数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、几何问题、探求数列的通项及前n项和等问题中.一、选择题1.某个与正整数有关的命题：如果当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立.现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得( )A.当n＝4时命题不成立B.当n＝6时命题不成立C.当n＝4时命题成立D.当n＝6时命题成立答案 A解析因为当n＝k(k∈N*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立，所以假设当n＝4时命题成立，那么n＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n＝4时命题不成立.2.满足1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×(n＋1)＝3n2－3n＋2的自然数n等于( )A.1B.1或2C.1,2,3D.1,2,3,4答案 C解析当n＝1,2,3时满足，当n＝4时，左边＝1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝40，右边＝3×42－3×4＋2＝38.所以左边＞右边，即n＝4不满足.3.记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋( )A.π2B.π C.3π2D.2π答案 B解析由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.4.k(k≥3，k∈N*)棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为( )A.f(k)＋k－1B.f(k)＋k＋1C.f(k)＋kD.f(k)＋k－2答案 A解析 三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋(3－1))；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋(4－1))；六棱柱有9个对角面(5＋4＝5＋(5－1))；….猜想：若k 棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱有f (k )＋k －1个对角面.5.用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A.7B.8C.9D.10答案 B解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8. 6.用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从k 到k ＋1左端需要增乘的代数式为( )A.2k ＋1B.2(2k ＋1)C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1答案 B解析 n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)·…·[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )·(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1).二、填空题7.用数学归纳法证明关于n 的恒等式，当n ＝k 时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2，则当n ＝k ＋1时，表达式为_______________________________________. 答案 1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)(3k ＋4)＝(k ＋1)(k ＋2)28.用数学归纳法证明n 3＋5n 能被6整除的过程中，当n ＝k ＋1时，式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为____________.答案 (k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6解析 (k ＋1)3＋5(k ＋1)＝k 3＋1＋3k 2＋3k ＋5k ＋5＝(k 3＋5k )＋3k 2＋3k ＋6＝(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6.∵k (k ＋1)为偶数，∴3k (k ＋1)能被6整除，∴(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6.9.用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程中，第二步假设当n＝k(k ∈N*)时等式成立，则当n＝k＋1时应得到的式子为________.答案1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k解析由n＝k到n＝k＋1等式的左边增加了一项.10.用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立.(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝1－2k＋11－2＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立.由此可知对于任何n∈N*，等式都成立.上述证明的错误是________.答案未用归纳假设解析本题在由n＝k成立，证n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符.三、解答题11.已知f(n)＝(2n＋7)3n＋9，存在自然数m，使得对任意正整数n，f(n)被m整除，猜测出最大的m的值，并用数学归纳法证明你的猜测是正确的.解∵f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，∴f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.证明如下：当n＝1,2时，由上得证.假设当n＝k(k≥2)时，f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)－f(k)＝(2k＋9)·3k＋1－(2k＋7)·3k＝(6k＋27)·3k－(2k＋7)·3k ＝(4k＋20)·3k＝36(k＋5)·3k－2(k≥2)，∴f(k＋1)能被36整除.∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m的值为36.12.设f(x)＝2xx＋2，x1＝1，x n＝f(x n－1)(n≥2，n∈N*).(1)求x2，x3，x4的值；(2)归纳数列{x n}的通项公式，并用数学归纳法证明.解 (1)x 2＝f (x 1)＝23，x 3＝f (x 2)＝2×2323＋2＝12＝24，x 4＝f (x 3)＝2×1212＋2＝25. (2)根据计算结果，可以归纳出x n ＝2n ＋1. 证明：①当n ＝1时，x 1＝21＋1＝1，与归纳相符，归纳出的公式成立. ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，公式成立，即x k ＝2k ＋1， 那么，x k ＋1＝2x k x k ＋2＝2×2k ＋12k ＋1＋2＝42k ＋4＝2k ＋1＋1， 所以当n ＝k ＋1时，公式也成立.由①②知，当n ∈N *时，x n ＝2n ＋1. 13.在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)，求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测数列{a n }，{b n }的通项公式，证明你的结论.解 由题意得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2，n ∈N *.用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，由a 1＝2，b 1＝4可得结论成立.②假设当n ＝k (k ≥2且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]，b k ＋1＝a 2k ＋1b k ＝k ＋12k ＋22k ＋12＝(k ＋2)2＝[(k ＋1)＋1]2. 所以当n ＝k ＋1时，结论也成立.由①②可知，a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切n ∈N *都成立.。
学案7：2.3.1 数学归纳法
2.3.1 数学归纳法课堂导学三点剖析一、证明与自然数n 有关的等式.例1 已知a n =1+21+31+…+n 1(n ∈N *)，是否存在n 的整式q (n )，使得等式a 1+a 2+…+ a n -1=q (n )(a n -1)对于大于1的一切自然数n 都成立?证明你的结论.温馨提示这是一个探索性问题，整式q (n )需要用不完全归纳法来探求和发现，通过观察\，归纳\，猜想的思维途径去概括，然后用数学归纳法给出严密的证明.二、证明与数列有关的问题例2 已知S n =1+21+31+…+n 1(n >1，n ∈N *)， 求证：n S 2>1+2n (n ≥2，n ∈N *).温馨提示此题容易犯两个错误，一是由n =k 到n =k +1项数变化弄错，认为k 21的后一项为121+k ，实际上应为121+k ；二是121+k +221+k +…+121+k 共有多少项，实际上2k +1到2k +1是自然数递增，项数为2k +1-(2k +1)+1=2k .三、综合题型例3 某地区原有森林木材存量为a ，且每年的增长率为25%，因生产建设的需要，每年年底要砍伐的木材量为b ，设a n 表示n 年后该地区森林木材的存量.(1)求a n 的表达式;(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材量应不少于97a ，如果b =7219a ，那么该地区今后会发生水土流失吗?若会，需要经过几年？(取lg2=0.30)各个击破类题演练 1用数学归纳法证明：)1(4)22(21861641421+=+++⨯+⨯+⨯n n n n .变式提升 1 证明12-22+32-42+…+(2n -1)2-(2n )2=-n (2n +1).类题演练2已知数列{a n }的通项公式为a n =2)12(4-n ，数列{b n }的通项满足b n =（1-a 1）(1-a 2)…(1-a n )，用数学归纳法证明b n =nn 2112-+.变式提升2 函数列{f n (x )}满足f 1(x )=21x x -(x >0)，且f n +1(x )=f 1［f n (x )］，求f 2(x )、f 3(x ).类题演练3 平面内有n 个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于同一点，求证：这n 个圆将平面分成n 2-n +2个部分.变式提升3 证明凸n 边形的对角线的条数f (n )=21n (n -3)(n ≥4).参考答案课堂导学例1 解：假设存在q (n )，去探索q (n )等于多少.当n =2时，由a 1=q (2)(a 2-1)，即1=q (2)(1+21-1)，解得q (2)=2. 当n =3时，由a 1+a 2=q (3)(a 3-1)，即1+(1+21)=q (3)(1+21+31-1)，解得q (3)=3. 当n =4时，由a 1+a 2+a 3=q (4)(a 4-1)， 即1+(1+21)+(1+21+31)=q (4)(1+21+31+41-1)， 解得q (4)=4.由此猜想q (n )=n (n ≥2，n ∈N *).下面用数学归纳法证明，当n ≥2，n ∈N *时，等式a 1+a 2+…+a n -1=n (a n -1)成立.①当n =2时，由以上验证可知等式成立.②假设当n =k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立，即a 1+a 2+…+a k -1=k (a k -1)，则当n =k +1时，a 1+a 2+…+a k -1+a k =k (a k -1)+a k =(k +1)a k -k =(k +1)a k -(k +1)+1=(k +1)(a k +11+k -1)=(k +1)(a k +1-1). ∴当n =k +1时，等式亦成立.由①②知，对于大于1的自然数n ，存在整式q (n )=n ，使得等式a 1+a 2+…+a n -1=q (n )(a n -1)总成立.例2 证明：(1)当n =2时，n S 2=1+21+31+41=1225>1+22， 即n =2时命题成立.(2)设n =k 时命题成立，即 k S 2=1+21+31+…+k 21>1+2k ， 当n =k +1时， 12+k S =1+21+31+…+k 21+121+k +…+121+k 211212122221212211212121++=++=+++>+++++++>+k k k k kk k k k k k， 故当n =k +1时，命题成立.由(1)(2)知，对n ∈N *，n ≥2， n S 2>1+2n 不等式都成立. 例3 解：(1)设第一年的森林木材存量为a 1，第n 年后的森林木材存量为a n ，∴a 1=a (1+41)-b =45a -b ， a 2=45a 1-b =v (45a -b )-b =(45)2a -(45+1)b ， a 3=45a 2-b =(45)3a -［(45)2+45+1］b ， 由上面的a 1，a 2，a 3推测a n =(45)n a -［(45)n -1+(45)n -2+…+45+1］b =(45)n a -4［(45)n -1］b (n ∈N *). 证明：①当n =1时，a 1=45a -b ，已证推测成立. ②假设n =k 时，a k =(45)k a -4［(45)k -1］b 成立. 则当n =k +1时，a k +1=45a k -b =45{(45)k a -4［(45)k -1］b }-b =(45)k +1a -4［(45)k +1-1］b . 也就是说当n =k +1时，公式也成立.由①②可知，对n ∈N *公式成立.(2)当b =7219a 时，若该地区今后发生水土流失时，则森林木材存量必须小于97a ， ∴(45)n a -4［(45)n -1］7219a <97a ，即(45)n >5. 两边取对数得n lg 45>lg5，n >2lg 25lg 5lg -=2lg 3112lg 1--≈7.2 ∴经过8年后该地区就开始水土流失.各个击破类题演练 1证明：(1)当n =1时，左边=421⨯=81，右边=81，等式成立. (2)假设当n =k 时， 421⨯+641⨯+861⨯+…+)22(21+k k =)1(4+k k 成立. 当n =k +1时，421⨯+641⨯+861⨯+…+)22(21+k k +)42)(22(1++k k=]1)1[(41)2(41)2)(1(4)1()2)(1(41)2()2)(1(41)1(412+++=++=+++=++++=++++k k k k k k k k k k k k k k ∴n =k +1时，等式成立.由(1)(2)可知对一切正整数n ∈N *，等式成立.变式提升 1 证明：(1)n =1时，左边=12-22=-3，右边=-1×(2×1+1)=-3等式成立. ∴n =1时等式成立.(2)假设当n =k 时，等式成立，就是12-22+32-42+…+(2k -1)2-(2k )2=-k (2k +1)成立.当n =k +1，12-2122+32-42+…+(2k -1)2-(2k )2+(2k +1)2-(2k +2)2 =-k (2k +1)+(2k +1)2-［2(k +1)］2=-k (2k +1)-(4k +3)=-(2k 2+5k +3)=-(k +1)［412(k +1)+1］， 所以n =k +1时等式也成立.根据(1)和(2)可知，等式对任何n ∈N *都成立.类题演练2证明：（1）当n =1时，a 1=4，b 1=1-a 1=1-4=-3，b 1=2×1+11-2=-3成立.（2）假设当n =k 时等式成立，即b K =2k +11-2k ，那么b K +1=(1-a 1)(1-a 2)…（1-a K ）(1-a K +1)=b K (1-a K +1)=2k +11-2k ［1-4（2k +1）2］=2(k +1)+11-2(k +1).这就是说，当n =k +1时，等式也成立.由（1）（2）可以断定，对任何正整数n ，b n =2n +11-2n 都成立.变式提升2解：f 1(x )=21x x+f 2(x )= 222221111x x x x x x+=+++ f 3(x )= 222222312121121x x x x x x xx x+=++=+++.类题演练3证明：(1)n =1时，1个圆将平面分成2部分，显然命题成立.(2)假设n =k 时，k 个圆将平面分成k 2-k +2个部分.当n =k +1时，第k +1个圆C K +1交前面k 个圆于2k 个点，这2k 个点将圆C K +1分成2k 段，每段将各自所在区域一分为二，于是增加了2k 个区域，所以这k +1个圆将平面分成k 2-k +2+2k 个部分，即(k +1)2-(k +1)+2个部分.故n =k +1时，命题成立.由(1)(2)可知，对n ∈N *命题成立.变式提升3 证明：(1)n =4时，f (4)=21×4×(4-3)=2， 四边形有两条对角线，命题成立.(2)假设n =k 时命题成立，即凸k 边形的对角线的条数f (k )=21k (k -3)(k ≥4) 当n =k +1时，凸k +1边形是在k 边形基础上增加了一边，增加了一个顶点A K +1，增加的对角线条数是顶点A K +1与不相邻顶点连线再加上原k 边形的一边A 1A K ，共增加了对角线条数(k +1-3)+1=k -1.f (k +1)=21k (k -3)+k -1=21(k 2-k -2)=21(k +1)(k -2) =21(k +1)［(k +1)-3］， 故n =k +1时，命题成立.由(1)(2)可知，对于n ≥4，n ∈N *命题成立.。
数学归纳法教案含答案金锄头文库
数学归纳法教案含答案金锄头文库一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学选修22》的第三章“数学归纳法”。
具体内容包括数学归纳法的概念、原理和应用。
详细内容如下：1. 数学归纳法的概念：介绍数学归纳法的基本思想和步骤。
2. 数学归纳法的原理：阐述数学归纳法的基本原理，包括基础步骤和归纳步骤。
3. 数学归纳法的应用：通过实例讲解数学归纳法在数学问题解决中的应用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的基本步骤。
2. 能够运用数学归纳法解决简单的数学问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：数学归纳法的基本原理和证明方法。
2. 教学重点：数学归纳法的概念、步骤和应用。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：教材、《数学归纳法学习指导》。
五、教学过程1. 引入：通过一个实践情景（如：数列求和问题）引入数学归纳法的概念。
2. 新课导入：（1）介绍数学归纳法的概念和基本思想。
（2）讲解数学归纳法的基础步骤和归纳步骤。
3. 例题讲解：（1）讲解数学归纳法在数列求和中的应用。
（2）分析归纳假设在解题中的作用。
4. 随堂练习：（1）让学生独立完成数学归纳法的证明题。
（2）针对学生的解答进行点评，指出错误和不足。
六、板书设计1. 数学归纳法2. 内容：（1）数学归纳法的概念与步骤（2）数学归纳法的原理（3）数学归纳法的应用实例七、作业设计1. 作业题目：（1）证明：1+2+3++n = n(n+1)/2（2）证明：对于任意正整数n，都有2^n > n。
2. 答案：（1）证明：① 当n=1时，1=1(1+1)/2，等式成立。
② 假设当n=k时，1+2+3++k = k(k+1)/2，等式成立。
则当n=k+1时，1+2+3++k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2，等式也成立。
（2）证明：① 当n=1时，2^1 > 1，不等式成立。
高二新课程数学《2.3.1数学归纳法》教案2(新人教A版)选修2-2
数学归纳法一、教学目标：1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。
2．掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题3．能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。
二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
难点：归纳→猜想→证明。
三、教学过程：【创设情境】问题1：数学归纳法的基本思想？以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳（完全归纳）的过程，转化为一个有限步骤的演绎过程。
（递推关系）问题2：数学归纳法证明命题的步骤？（1）递推奠基：当n取第一个值n0结论正确；（2）递推归纳：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）证明当n=k+1时结论也正确。
（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。
数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列的通项及前n项和等问题。
【探索研究】问题：用数学归纳法证明：能被9整除。
法一：配凑递推假设：法二：计算f(k+1)-f(k)，避免配凑。
说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造条件，是解题的关键。
②注意从“n=k到n=k+1”时项的变化。
【例题评析】例1：求证:能被整除（n∈N+）。
例2：数列{a n}中，,a1=1且（1）求的值；（2）猜想{a n}的通项公式，并证明你的猜想。
说明：用数学归纳法证明问题的常用方法：归纳→猜想→证明变题：（2002全国理科）设数列{a n}满足，n∈N+,(1)当a1=2时，求，并猜想{a n}的一个通项公式；（2）当a1≥3时，证明对所有的n≥1,有①a n≥n+2 ②例3：平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条直线不共点，问：这n条直线将平面分成多少部分？变题：平面内有n个圆，其中每两个圆都相交与两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n2+n+2个部分。
高中数学 归纳法教案 新人教A版选修2
分析数学归纳法的实质。
教学难点
数学归纳法中递推思想的正确理解和把握。
教学方法
引导发现法，讲练结合法
教学手段
多媒体课件
教学内容
教师活动
学生活动
设计意图
引入新课
情境一：
1财主儿子学写字的笑话。
2“小明弟兄三个，大哥叫大毛……〞的脑筋急转弯等。
情境二:等差数列 通项公式推导过程。
思考不完全归纳法产生的问题如何解决
学生思考，形成结论
培养生理论联系实际的能力。
学生练习
多媒体出示练习
1.用数学归纳法证明等式1+2+3+…(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，
当n＝1时，左边所得项是；
当n＝2时，左边所得项是；
2、用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋〔2n－1〕＝ ．
学生思考，独立完成
通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况．
这里通过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习．
数学
归纳法
引导学生概括, 形成科学方法
证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：
(1)〔归纳奠基〕证明当n取第一个值 时命题成立；
(2)〔归纳递推〕假设当n＝k(k∈ ，k≥ )时命题成立那么当n=k+1时命题也成立
从而由〔1〕,(2)得出结论
课题
2.3 数学归纳法
教学目标
知识目标：使学生理解数学归纳的原理与实质．掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法〞证明简单的与正整数有关的命题
能力目标：培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想．
【教案】人教版高中《数学》选修2-2《数学归纳法》教学设计
人教版高中《数学》选修2-2§2.3 数学归纳法（第一课时）一、教学目标：1、了解数学归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握归纳法证明的两个步骤；2、会证明简单的与正整数有关的命题。
二、教学重点、难点：1、重点：借助具体实例，了解数学归纳法的基本思想，掌握基本步骤，会用它证明一些与正整数n 有关的命题；2、难点：（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二步的作用，不易根据归纳假设作出证明；（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
三、教学手段：借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素材辅助课堂教学；四、教学过程：（一）创设情境，引入课题师：前面我们学习推理，并且知道由推理得到的结论是否正确，需要我们进一步验证。
我们来看这样的一道题目：已知数列{}n a 中，*111,()1n n na a a n N a +==∈+，试猜想数列的通项公式n a = 生：分别求出12341111,,,234a a a a ====，从而猜测1n a n=。
师：那么这个猜想是否正确？我们又该如何证明这个猜想？生：方法1：从n=5逐个验证？（由于n 为正整数，为无限个，所以可行性不高）方法2：通过构造新数列{}n b ，其中1n nb a =，先求出数列{}n b 的通项公式，从而得到{}n a 的通项公式；（技巧性较高，且有时新数列{}n b 不易构造）方法3：能否通过有限个步骤的推理，证明n 取所有正整数时，通项公式都成立？ 师：带着这个问题，我们来观察一个关于多米诺骨牌游戏的视频。
（二）观看视频，动手实验观看多米诺骨牌游戏视频后，由学生来展示骨牌游戏：实验步骤：1、摆好骨牌，并由教师动手轻轻碰了第一块（并未推倒），发现实验不成功；2、由学生自己动手推倒骨牌，实验成功；3、再次摆好骨牌，教师调整最后3块的距离，发现并未全部倒下，实验失败。
师：我们一起来总结3次实验，那么要使游戏成功，所需条件有哪些？生：（1）第一块骨牌要倒下；（2）相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块也倒下；师：若将每一块骨牌相应的看成数列的1234,,,a a a a ，那么这两个条件分别相当于：（1）首项1a 要符合n a 的通项公式；（2）假设n=k 时猜想成立，则必将导致n=k+1时猜想也成立；这样一来，就可以发现由n=1成立，就有n=2成立；n=2成立，就有n=3成立；n=3成立，就有n=4成立；n=4成立，就有n=5也成立……，所以对任意的正整数n ，猜想都成立。
数学人教版高中二年级选修2 《数学归纳法》教学设计
《数学归纳法》教学设计人民教育出版社A版教科书数学选修2-2第二章第三节【教材分析】1、教学内容：数学归纳法是人教社全日制普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第3节的内容，根据课标要求，本书该节共2课时，这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。
2、地位作用：在已经学习了不完全归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于关于正整数命题的直接证法。
教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。
【教学目标】1、知识与技能：（1）了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。
（2）会用数学归纳法证明简单的与正整数有关的命题。
2、过程与方法：努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，积极参与，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。
3、情感、态度与价值观：通过本节课的教学，使学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点，激发学生学习热情，提高学生数学学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，以及发现问题、提出问题的意见和数学交流能力。
【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。
【教学难点】（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明。
（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
【教学方法】运用类比启发探究的数学方法进行教学；【教学手段】借助多媒体播放人的多米诺骨牌视频；学生动手参与多米诺骨牌游戏等生活素材辅助课堂教学；【教学程序】第一阶段：回顾复习，课前准备复习1：类比推理及其一般步骤1、类比推理是由特殊到特殊的推理。
2、类比推理一般步骤：（1）观察、比较（2）联想、类推（3）猜想新结论复习2：归纳推理归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．（回顾复习类比推理和归纳推理目的是为数学归纳法推理的奠定基础。
高中数学 2.3 3数学归纳法教案 新人教A版选修2-2
2013年高中数学 2.3 3数学归纳法教案新人教A版选修2-2 教学目标：1．了解数学推理的常用方法：演绎法与归纳法；2．理解数学归纳法原理的科学性；3．初步掌握数学归纳法的适用范围及证明步骤；4．体会归纳演绎推理的思想；5．感受归纳法在实际生活中的应用，渗透辩证的思想方法。
教学重点和难点：1.数学归纳法原理的理解和基本步骤；2.数学归纳法原理的理解。
教学背景分析：数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法。
它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用。
但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重。
为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可。
你怎么知道n=k时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受。
学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题等等。
为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来。
这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机。
教学过程：一、引入：（介绍归纳法，引出课题）【教学过程】教师提出问题：1.观察：6＝3＋3，8＝5＋3，10＝3＋7，12＝5＋7，14＝3＋11，16＝5＋11，……78＝67＋11，……我们能得出什么结论（教师启发、引导，注意捕捉学生的议论）？这就是由1742年德国数学家哥德巴赫提出的著明的“哥德巴赫猜想”：任何一个大于等于6的偶数，都可以表示成两个奇质数之和。
2.教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及格”。
以上两个案例中的猜想问题有什么不同？学生讨论后回答：这两种下结论的方法都是由特殊到一般，这种推理方法叫归纳法。
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题目第一章概率与统计数学归纳法人教版选修2高考要求1掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明过程2对数学归纳法的认识不断深化3掌握数学归纳法的应用：①证恒等式；②整除性的证明；③探求平面几何中的问题；④探求数列的通项；⑤不等式的证明知识点归纳1归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法特点：特殊→一般2不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法3完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法4数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法5数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立6用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题: 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉题型讲解例1 比较2n与n2的大小（n∈N *）分析：比较两数（或式）大小的常用方法本题不适用，故考虑用归纳法推测大小关系，再用数学归纳法证明解：当n=1时，21＞12，当n=2时，22=22，当n=3时，23＜32，当n=4时，24=42，当n=5时，25＞52，猜想：当n≥5时，2n＞n2下面用数学归纳法证明：（1）当n=5时，25＞52成立（2）假设n=k（k∈N *，k≥5）时2k＞k2，那么2k+1=2·2k=2k+2k＞k2+（1+1）k＞k2+C0k +C1k+C1-kk=k2+2k+1=（k+1）2∴当n=k+1时，2n＞n2由（1）（2）可知，对n≥5的一切自然数2n＞n2都成立综上，得当n =1或n ≥5时，2n ＞n 2；当n =2，4时，2n =n 2；当n =3时，2n ＜n 2点评：用数学归纳法证不等式时，要恰当地凑出目标和凑出归纳假设，凑目标时可适当放缩另法：当n ≥5时，要证2n ＞n 2，也可直接用二项式定理证：2n =（1+1）n =C 0n +C 1n +C 2n +…+C 2-n n +C 1-n n +C nn＞1+n +2)1(-n n +2)1(-n n =1+n +n 2－n ＞n 2 例2 是否存在常数a 、b 、c 使等式1·（n 2－12）+2（n 2－22）+…+n （n 2－n 2）=an 4+bn 2+c 对一切正整数n 成立?证明你的结论分析：先取n =1，2，3探求a 、b 、c 的值，然后用数学归纳法证明对一切n ∈N *，a 、b 、c 所确定的等式都成立解：分别用n =1，2，3代入解方程组1,4011643,4819180.a abc a b c b a b c c ⎧=⎪++=⎧⎪⎪⎪++=⇒=-⎨⎨⎪⎪++=⎩=⎪⎪⎩下面用数学归纳法证明（1）当n =1时，由上可知等式成立; （2）假设当n =k +1时，等式成立， 则当n =k +1时， 左边=1·［（k +1）2－12］+2［（k +1）2－22］+…+k ［（k +1）2－k 2］ +（k +1）［（k +1）2－（k +1）2］=1·（k 2－12）+2（k 2－22）+…+k （k 2－k 2）+1·（2k +1）+2（2k +1）+…+k （2k +1）=41k 4+（－41）k 2+（2k +1）+2（2k +1）+…+k （2k +1） =41（k +1）4－41（k +1）2 ∴当n =k +1时，等式成立 由（1）（2）得等式对一切的n ∈N *均成立点评：本题是探索性命题，它通过观察——归纳——猜想——证明这一完整的思路过程去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力例3 设a 0为常数，且a n =3n －1－2a n －1（n ∈N *）证明：n ≥1时，a n =51[3n +（－1）n －1·2n ］+（－1）n ·2n ·a 0 分析：给出了递推公式，证通项公式，可用数学归纳法证 证明：（1）当n =1时，51［3+2］－2a 0=1－2a 0，而a 1=30－2a 0=1－2a 0 ∴当n =1时，通项公式正确（2）假设n =k （k ∈N *）时正确， 即a k =51［3k +（－1）k －1·2k ］+（－1）k ·2k ·a 0， 那么a k +1=3k －2a k =3k －52×3k +52（－1）k ·2k +（－1）k +1·2k +1a 0 =53·3k +51（－1）k ·2k +1+（－1）k +1·2k +1·a 0 =51［3k +1+（－1）k ·2k +1］+（－1）k +1·2k +1·a 0 ∴当n =k +1时，通项公式正确由（1）（2）可知，对n ∈N *，a n =51［3n +（－1）n －1·2n ］+（－1）n ·2n ·a 0 点评：由n =k 正确⇒n =k +1时也正确是证明的关键 另法：也可用构造数列的方法求a n 解：∵a 0为常数，∴a 1=3－2a 0由a n =3n －1－2a n －1， 得n n a 33=－1132--n n a +1，即n n a 3=－32·113--n n a 31 ∴n n a 3－51=－32（113--n n a －51） ∴{nn a 3－51}是公比为－32，首项为513230--a 的等比数列 ∴n na 3－51=（54－32a 0）·（－32）n －1 ∴a n =（54－32a 0）·（－2）n －1×3+51×3n=51［3n +（－1）n －1·2n ］+（－1）n ·2n ·a 0 点评：关键是转化成a n +1=ca n +d 型例4 是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n +7）·3n +9对任意自然数n 都能被m 整除?若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由解：由f （n ）=（2n +7）·3n +9，得f （1）=36， f （2）=3×36， f （3）=10×36， f （4）=34×36， 由此猜想m =36下面用数学归纳法证明： （1）当n =1时，显然成立（2）假设n =k 时， f （k ）能被36整除， 即f （k ）=（2k +7）·3k +9能被36整除;当n =k +1时，［2（k +1）+7］·3k +1+9=3［（2k +7）·3k +9］+18（3k －1－1），由于3k －1－1是2的倍数，故18（3k －1－1）能被36整除 这就是说，当n =k +1时，f （n ）也能被36整除由（1）（2）可知对一切正整数n 都有f （n ）=（2n +7）·3n +9能被36整除，m 的最大值为36例5 如下图，设P 1，P 2，P 3，…，P n ，…是曲线y =x 上的点列，Q 1，Q 2，Q 3， …，Q n ，…是x 轴正半轴上的点列，且△OQ 1P 1，△Q 1Q 2P 2，…，△Q n －1Q n P n ，…都是正三角形，设它们的边长为a 1，a 2，…，a n ，…，求证：a 1+a 2+…+a n =31n （n +1） 证明：（1）当n =1时，点P 1是直线y =3x 与曲线y =x的交点，∴可求出P 1（31，33）∴a 1=|OP 12而31×1×2=32，命题成立（2）假设n =k （k ∈N *）时命题成立，即a 1+a 2+…+a k =31k （k +1）， 则点Q k 的坐标为（31k （k +1），0）， ∴直线Q k P k +1的方程为y =3[x －31k （k +1）]代入y =x ，解得P k +1点的坐标为)).1(33,3)1((2++k k ∴a k +1=|Q k P k +1|=33（k +1）·32=32（k +1） ∴a 1+a 2+…+a k +a k +1=31k （k +1）+32（k +1）=31（k +1）（k +2） ∴当n =k +1时，命题成立 由（1）（2）可知，命题对所有正整数都成立点评：本题的关键是求出P k +1的纵坐标，再根据正三角形高与边的关系求出|Q k P k +1| 小结：1．用数学归纳法证明问题应注意：（1）第一步验证n =n 0时，n 0并不一定是1．（2）第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清由k 到k +1时命题的变化． （3）由假设n =k 时命题成立，证n =k +1时命题也成立，要充分利用归纳假设，要恰当地“凑”出目标2归纳、猜想、论证是培养学生观察能力、归纳能力以及推理论证能力的方式之一 3数学归纳法中的归纳思想是比较常见的数学思想，因此要重视 4数学归纳法在考试中时隐时现，且较隐蔽，因此在复习中应引起重视只要与自然数有关，都可考虑数学归纳法，当然主要是恒等式、等式、不等式、整除问题、几何问题、三角问题、数列问题等联系得更多一些5用数学归纳法证明与自然数有关的命题时，要注意初始值，要弄清n=k 和n=k+1时的结论是什么要有目标意识，紧盯n=k+1时的结论，对n=k 时的结论进行一系列的变形，变形的目标就是n=k+1时的结论这就是所谓的“凑假设，凑结论” 学生练习1设f （n ）=11+n +21+n +31+n +…+n21（n ∈N *），那么f （n +1）－f （n ）等于 A 121+n B 221+n C 121+n 221+n D 121+n －221+n 解析：f （n +1）－f （n ）=21+n +31+n +…+n 21 +121+n +221+n －（11+n +21+n +…+n 21）=121+n +221+n －11+n =121+n 1答案：D2若把正整数按下图所示的规律排序，则从2002到2004年的箭头方向依次为A .B .D .C .123456789101112…解析：2002=4×500+2，而a n =4n 是每一个下边不封闭的正方形左、上顶点的数 答案：D3凸n 边形有f （n ）条对角线，则凸n +1边形有对角线条数f （n +1）为 A f （n ）+n +1 B f （n ）+n C f （n ）+n －1 D f （n ）+n －2解析：由n 边形到n +1边形，增加的对角线是增加的一个顶点与原n －2个顶点连成的n －2条对角线，及原先的一条边成了对角线答案：C4用数学归纳法证明“（n +1）（n +2）·…·（n +n ）=2n ·1·3·…·（2n －1）”，从“k 到k +1”左端需增乘的代数式为A 2k +1B 2（2k +1） C112++k k D 132++k k解析：当n =1时，显然成立 当n =k 时，左边=（k +1）（k +2）·…·（k +k ）， 当n =k +1时，左边=（k +1+1）（k +1+2）·…·（k +1+k ）（k +1+k +1） =（k +2）（k +3）·…·（k +k ）（k +1+k ）（k +1+k +1）=（k +1）（k +2）·…·（k+k ）1)22)(12(+++k k k=（k +1）（k +2）·…·（k +k ）2（2k +1） 答案：B5如果命题P （n ）对n =k 成立，则它对n =k +1也成立，现已知P （n ）对n =4不成立，则下列结论正确的是A P （n ）对n ∈N*成立B P （n ）对n ＞4且n ∈N*成立C P （n ）对n ＜4且n ∈N*成立D P （n ）对n ≤4且n ∈N*不成立解析：由题意可知，P （n ）对n =3不成立（否则n =4也成立）同理可推得P （n ）对n =2，n =1也不成立答案：D6用数学归纳法证明“1+21+31+…+121-n ＜n （n ∈N *，n ＞1）”时，由n =k （k ＞1）不等式成立，推证n =k +1时，左边应增加的项数是A 2k －1 B 2k －1 C 2k D 2k +1解析：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为121-n ;由n =k ，末项为121-k 到n =k +1，末项为1211-+k =kk 2121+-，∴应增加的项数为2k答案：C7根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图形中有_______个点解析：观察图形点分布的变化规律，发现第一个图形只有一个中心点;第二个图形中除中心外还有两边，每边一个点;第三个图形中除中心点外还有三个边，每边两个点;…;依次类推，第n 个图形中除中心外有n 条边，每边n －1个点，故第n 个图形中点的个数为n （n －1）+1答案：n 2－n +1 8观察下表： 12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10 ……设第n 行的各数之和为S n ，则∞→n lim2nS n =__________解析：第一行1=12， 第二行2+3+4=9=33，第三行3+4+5+6+7=25=52， 第四行4+5+6+7+8+9+10=49=72归纳：第n 项的各数之和S n =（2n －1）2，∞→n lim2nS n =∞→n lim （nn 12-）2=4 答案：49如图，第n 个图形是由正n +2边形“扩展”而来（n =1，2，3，…），则第n －2个图形中共有____________个顶点解析：观察规律：第一个图形有32+3=（1+2）2+（1+2）;第二个图形有（2+2）2+（2+2）=42+4; 第三个图形有（3+2）2+（3+2）=52+5; …第n －2个图形有（n +2－2）2+（n +2－2）=n 2+n 个顶点 答案：n 2+n10已知y =f （x ）满足f （n －1）=f （n ）－lg a n －1（n ≥2，n ∈N ）且f （1）=－lg a ，是否存在实数α、β使f （n ）=（αn 2+βn －1）lg a 对任何n ∈N *都成立，证明你的结论解：∵f （n ）=f （n －1）+lg a n －1，令n =2，则f （2）=f （1）+f （a ）=－lg a +lg a =0 又f （1）=－lg a ，∴⎩⎨⎧=+=+.1420αββα∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.21,21βα∴f （n ）=（21n 2－21n －1）lg a证明：（1）当n =1时，显然成立（2）假设n =k 时成立，即f （k ）=（21k 2－21k －1）lg a ，则n =k +1时，f （k +1）=f （k ）+lg a k =f （k ）+k lg a=（21k 2－21k －1+k ）lg a =［21（k +1）2－21（k +1）－1］lg a∴当n =k +1时，等式成立综合（1）（2）可知，存在实数α、β且α=21，β=－21，使f （n ）=（αn 2+βn －1）lg a对任意n ∈N *都成立11已知数列｛ｂn ｝是等差数列，ｂ1＝1，ｂ1＋ｂ2＋…＋ｂ10＝100． （1）求数列｛ｂn ｝的通项公式ｂn ；（2）设数列｛a n ｝的通项a n ＝lg （1＋n b 1），记S n 为｛a n ｝的前n 项和，试比较S n 与21lg ｂn ＋1的大小，并证明你的结论．解：（1）容易得ｂn ＝2n －1 （2）由ｂn ＝2n －1，知S n ＝lg （1＋1）＋1g （1＋31）＋…＋lg （１＋121-n ）＝lg （１＋１）（１＋31）·…·（１＋121-n ）又211g b n ＋１＝1g 12+n ， 因此要比较S n 与211g b n ＋１的大小，可先比较（1＋１）（１＋31）·…·（１＋121-n ）与12+n 的大小取n =1，2，3可以发现：前者大于后者，由此推测（1+1）（1+31）· …· （１＋121-n ）＞ ① 下面用数学归纳法证明上面猜想： 当n =1时，不等式①成立假设n =k 时，不等式①成立，即（1＋1）（1＋31）·…·（１＋121-k 那么n =k +1时，（１＋１）（１＋31）·…·（１＋121-k ）（１＋121+k ）＞12+k （１＋121+k 又［1212)1(2+++k k k ］2－（32+k ）2＝121+k ＞０，∴1212)1(2+++k k k ＞32+k =.1)1(2++k∴当n =k +1时①成立综上所述，n ∈N*时①成立．由函数单调性可判定S n ＞211g b n ＋１ 12平面内有n 条直线，其中无任何两条平行，也无任何三条共点，求证：这n 条直线把平面分割成21（n 2+n +2）块 证明：（1）当n =1时，1条直线把平面分成2块，又21（12+1+2）=2，命题成立 （2）假设n =k 时，k ≥1命题成立，即k 条满足题设的直线把平面分成21（k 2+k +2）块，那么当n =k +1时，第k +1条直线被k 条直线分成k +1段，每段把它们所在的平面块又分成了2块，因此，增加了k +1个平面块所以k +1条直线把平面分成了21（k 2+k +2）+k +1= 21［（k +1） 2+（k +1）+2］块，这说明当n =k +1时，命题也成立由（1）（2）知，对一切n ∈N *，命题都成立13设数列{a n }满足a 1=2，a n +1=a n +na 1（n =1，2，…） （1）证明a n ＞12+n 对一切正整数n 都成立； （2）令b n =na n （n =1，2，…），判定b n 与b n +1的大小，并说明理由（1）证法一：当n =1时，a 1=2＞112+⨯，不等式成立假设n =k 时，a k ＞12+k 成立，当n =k +1时，a k +12=a k 2+21ka +2＞2k +3+21ka ＞2（k +1）+1，∴当n =k +1时，a k +1＞1)1(2++k 成立综上，由数学归纳法可知，a n ＞12+n 对一切正整数成立证法二：当n =1时，a 1=2＞3=112+⨯结论成立假设n =k 时结论成立，即a k ＞12+k ， 当n =k +1时，由函数f （x ）=x +x1（x ＞1）的单调递增性和归纳假设有 a k +1=a k +k a 1＞12+k +121+k =12112+++k k =1222++k k =124842+++k k k ＞12)12)(32(+++k k k∴当n =k +1时，结论成立因此，a n ＞12+n 对一切正整数n 均成立（2）解：nn b b 1+=na n a n n 11++=（1+21n a ）1+n n ＜（1+121+n ）1+n n =1)12()1(2+++n n n n =12)1(2++n n n =2141)21(2+-+n n ＜1故b n +1＜b n课前后备注。