高二数学(人教B版)选修2-1二面角及其度量
高中数学人教B版选修2-1课件：3.2.3 直线与平面的夹角-3.2.4 二面角及其度量
射影 最小的角
知识点二
二面角及理解
思考
如何找二面角的平面角？ 答案 定义法
由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选
择棱上一个特殊点，求解用到的是解三角形的有关知识.
(2)垂面法
作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就构成了平面角.
(3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作
2.线面角的向量求法：设直线的方向向量为a，平面的法向量为n，直
|a· n| 线与平面所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝ . |a|· |n|
本课结束
仅做学习交流，谢谢！
语文：初一新生使用的是教育部编写 的教材 ，也称 “部编 ”教材 。“部 编本” 是指由 教育部 直接组 织编写 的教材 。“部 编本” 除了语 文，还 有德育 和历史 。现有 的语文 教材， 小学有 12 种版 本，初 中有 种 版本。 这些版 本现在 也都做 了修订 ，和“ 部编本 ”一同 投入使 用。“ 部编本 ”取 代原来 人教版 ，覆盖 面比较 广，小 学约占 50% ，初 中约占 60% 。 今秋， 小学一 年级新 生使用 的是语 文出版 社的修 订版教 材，还 是先学 拼音， 后学识 字。政 治：小 学一年 级学生 使用的 教材有 两个版 本，小 学一年 级和初 一的政 治教材 不再叫 《思想 品德》 ，改名 为《道 德与法 治》。 历史： 初一新 生使用 华师大 版教材 。历史 教材最 大的变 化是不 再按科 技、思 想、文 化等专 题进行 内容设 置，而 是以时 间为主 线，按 照历史 发展的 时间顺 序进行 设置。 关于部 编版， 你知道 多少？ 为什么 要改版 ？跟小 编一起 来了解 下吧！ 一新教 材的五 个变化 一、入 学以后 先学一 部分常 用字， 再开始 学拼音 。汉字 是生活 中经常 碰到的 ，但拼 音作为 一个符 号，在 孩子们 的生活 中接触 、使用 都很少 ，教学 顺序换 一换， 其实是 更关注 孩子们 的需求 了。先 学一部 分常用 常见字 ，就是 把孩子 的生活 、经历 融入到 学习中 。二、 第一册 识字量 减少， 由 400 字减少 到 300 字 。第一 单元先 学 40 个 常用字 ，比如 “地” 字，对 孩子来 说并不 陌生， 在童话 书、绘 本里可 以看到 ，电视 新闻里 也有。 而在以 前，课 文选用 的一些 结构简 单的独 体字， 比如“ 叉”字 ，结构 比较简 单，但 日常生 活中用 得不算 多。新 教材中 ，增大 了常用 常见字 的比重 ，减少 了一些 和孩子 生活联 系不太 紧密的 汉字。 三、新 增“快 乐阅读 吧”栏 目，引 导学生 开展课 外阅读 。教材 第一单 元的入 学教育 中，有 一幅图 是孩子 们一起 讨论《 西游记 》等故 事，看 得出来 ，语文 学习越 来越重 视孩子 的阅读 表达， 通过读 故事、 演故事 、看故 事等， 提升阅 读能力 。入学 教育中 第一次 提出阅 读教育 ，把阅 读习惯 提升到 和识字 、写字 同等重 要的地 位。四 、新增 “和大 人一起 读”栏 目，激 发学生 的阅读 兴趣， 拓展课 外阅读 。有家 长担心 会不会 增加家 长负担 ，其实 这个“ 大人” 包含很 多意思 ，可以 是老师 、爸妈 、爷爷 、奶奶 、外公 、外婆 等，也 可以是 邻居家 的小姐 姐等。 每个人 讲述一 个故事 ，表达 是不一 样的， 有人比 较精炼 ，有人 比较口 语化， 儿童听 到的故 事不同 ，就会 形成不 同的语 文素养 。五、 语文园 地里， 新增一 个“书 写提示 ”的栏 目。写 字是有 规律的 ，一部 语文：初一新生使用的是教育部编写 的教材 ，也称 “部编 ”教材 。“部 编本” 是指由 教育部 直接组 织编写 的教材 。“部 编本” 除了语 文，还 有德育 和历史 。现有 的语文 教材， 小学有 12 种版 本，初 中有 88 种 版本。 这些版 本现在 也都做 了修订 ，和“ 部编本 ”一同 投入使 用。“ 部编本 ”取 代原来 人教版 ，覆盖 面比较 广，小 学约占 50% ，初 中约占 60% 。 今秋， 小学一 年级新 生使用 的是语 文出版 社的修 订版教 材，还 是先学 拼音， 后学识 字。政 治：小 学一年 级学生 使用的 教材有 两个版 本，小 学一年 级和初 一的政 治教材 不再叫 《思想 品德》 ，改名 为《道 德与法 治》。 历史： 初一新 生使用 华师大 版教材 。历史 教材最 大的变 化是不 再按科 技、思 想、文 化等专 题进行 内容设 置，而 是以时 间为主 线，按 照历史 发展的 时间顺 序进行 设置。 关于部 编版， 你知道 多少？ 为什么 要改版 ？跟小 编一起 来了解 下吧！ 一新教 材的五 个变化 一、入 学以后 先学一 部分常 用字， 再开始 学拼音 。汉字 是生活 中经常 碰到的 ，但拼 音作为 一个符 号，在 孩子们 的生活 中接触 、使用 都很少 ，教学 顺序换 一换， 其实是 更关注 孩子们 的需求 了。先 学一部 分常用 常见字 ，就是 把孩子 的生活 、经历 融入到 学习中 。二、 第一册 识字量 减少， 由 400 字减少 到 300 字 。第一 单元先 学 40 个 常用字 ，比如 “地” 字，对 孩子来 说并不 陌生， 在童话 书、绘 本里可 以看到 ，��
2020版高中数学人教B版选修2-1课件：3.2.4 二面角及其度量
第三章 空间向量与立体几何3.2.4 二面角及其度量高中数学选修2-1·精品课件引入课题1.在平面几何中"角"是怎样定义的？平面中的角刻画了两直线的相对倾斜程度.2.“线面角”是怎样定义的？“线面角”刻画了两直线的相对倾斜程度.3.如何刻画两平面的相对倾斜程度？知识点一：二面角的定义及表示一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面.这条直线叫做二面角的棱.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这两个半平面叫做二面角的面.βαlAB PQ βα--l 二面角βα--AB 二面角Q l P --二面角QAB P --二面角知识点二：二面角的度量二面角的大小用它的平面角来度量以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.lαβA BOO 1A 1B 1二面角的大小的范围:[0°，180°]二面角的平面角必须满足：(3)角的边都要垂直于二面角的棱.(1)角的顶点在棱上;(2)角的两边分别在两个面内;知识点三：向量法求二面角的平面角如何用向量表示平面与平面所成的角？向量的夹角就是平面与平面所成的角吗？αβ两法向量所成的角与二面角的平面角相等或者互补：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角.典例分析例1 如图，ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角A－VB－C余弦值的大小．解：取VB的中点为E，连接AE，CE.∵VA＝AB＝BC＝VC，∴AE⊥VB，CE⊥VB.∴∠AEC是二面角A－VB－C的平面角．VEDCBAVEDC AB跟踪训练1.在本例中，若点E 为VB 的中点，求二面角E －AC －B 的大小．V E D CB AF因为EA ＝EC ，BA ＝BC ，如图所示，取BC 中点O ，连结AO .因为△ABC 是正三角形，所以AO ⊥BC ，因为在正三棱柱ABC — A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，例2 如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点，求二面角A A 1D B 的余弦值．C 1C A B A 1B 1O zyx解：典例分析C AB Pzy x归纳小结用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”.(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.（回到图形问题）。
辽宁省本溪满族自治县高级中学高二数学人教B版选修2-13-2-4二面角及其度量学案 精品
3.2.4二面角及其度量学习目标：1．掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角．2．掌握求二面角的基本方法、步骤．学习重点：求二面角的大小。
学习难点：找二面角的平面角知识点1、二面角的定义平面内的一条直线将平面分成两部分，其中每一部分叫做。
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做，这条直线叫做，每个半平面叫做。
棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记为________．2、二面角的平面角在二面角α—l—β的棱上任取一点O，在两个半平面内分别作射线OA⊥l、OB⊥l，则________叫做二面角α—l—β的平面角．3、直二面角平面角是________的二面角叫做直二面角，相交成直二面角的两个平面就是的平面．注意：二面角的大小可以用它的来度量。
4．如图，在正方体ABCD—A'B'C'D'中，(1) 平面ABC'D'与底面ABCD所成二面角的棱是，平面角是，大小是；(2) 平面ABC'D'与后面DCC'D'所成二面角的棱是，平面角是，大小是(3) 平面ABC'D'与侧面B'BCC'所成二面角的棱是，平面角是，大小是；(4)二面角C'-BD-C的棱是，平面角是，二面角的正切值 .方法一：（1）向量法求二面角分别在二面角α-l-β的面α，β内，作向量n1⊥l，n2⊥l，则可用度量这个二面角.（2）法向量法设m1⊥α，m2⊥β，则〈m1，m2〉与该二面角．注意：此方法的运用适宜于：①在空间直角坐标系下，平面α，β的法向量便于确定．②二面角的大小便于定性(锐角、钝角)．从图中便于直观获得二面角为锐角或钝角．方法二：射影面积法求二面角），在α面内有△ABC,它在β内的射影为已知二面角α-l-β的度数为θ（0≤θ≤2△A’B’C’,且它们的面积分别为S、S’则有即cosθ= 例1、一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为（0,1,2）和（1,2,2），则这个锐二面角的余弦值为．例2、已知两平面的法向量分别为m=（0,1,0），n=（0,1,1），且两平面所成的二面角为钝角，则两平面所成的二面角为．例3、在正方体AC1中，E、F分别是B1C1、C1D1的中点，若截面EFDB与侧面BCC1B1所成的锐二面角为θ，则cosθ＝________.例4、二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝2，AC＝3，BD＝3，CD＝13，求该二面角的大小当堂检测1、如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD.底面ABCD为边长是1的正方形，PA＝1，求平面PCD与平面PAB夹角的大小．2、△ABC是边长为1的正三角形，CD⊥平面ABC，且CD=1，求二面角B-AD-C的大小。
3.2.4二面角及其度量 课件(人教B版选修2-1)
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
说明：这个平面角与点O在l上的位置无关，因为， 在l上异于O的一点O′，O′A′⊥l，O′B′⊥l，则∠AOB 与∠A′O′B′都是平面角，它们的对应边平行且方向相 同，因此∠AOB＝∠A′O′B′，这两个角都是二面角 的平面角． (1)二面角θ的范围为θ∈[0，π]． (2)二面角的向量求法：
规律方法 利用几何法求二面角的过程要体现一作、 二证、三计算．即首先作出二面角的平面角，然后证明 (或说明)所作角为什么是二面角的平面角，最后再计算 出二面角平面角的大小
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式1】 如图：ABCD是正方形，V是平面 ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求 二面角A－VB－C的所成角的余弦值． 解 取VB的中点为E，连接AE，CE. ∵VA＝AB＝BC＝VC， ∴AE⊥VB.∴CE⊥VB. ∴∠AEC是二面角A－VB－C的平面角． 设AB＝a，连接AC，在△AEC中，
题型一 几何法求二面角
【例1】 自二面角α－l－β的棱上一点A在平面β内引一条射
线AC，它与棱l成45°角，和平面α成30°角，求二面角α
－l－β的大小．
[思路探索] 当二面角的平面角容易小．
解 如图所示，在射线AC上取一点
C，作CD⊥平面α，在α内作DB⊥AB，
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
AE＝EC＝ 23a，AC＝ 2a，由余弦定理可知：
（ cos∠AEC＝
23a）2＋（ 23a）2－（
2×
23a×
3 2a
2a）2＝－1， 3
∴所求二面角 A－VB－C 的所成角的余弦值为－13.
课前探究学习
人教版数学高二B版选修2-1学业测评 4 直线与平面的夹角, 二面角及其度量
学业分层测评(建议用时：45分钟)一、选择题1．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( )A ．120°B ．60°C ．30°D ．以上均错【解析】 设直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 120°|＝12. 又∵0<θ≤90°，∴θ＝30°. 【答案】 C2．若直线l 与平面α所成角为π3，直线a 在平面α内，且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2【解析】 由最小角定理知直线l 与直线a 所成的最小角为π3，又l ，a 为异面直线，则所成角的最大值为π2.【答案】 D3．正方形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，若PA ＝AB ，则平面PAB 与平面PCD 的夹角为( )【导学号：15460079】A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，设PA ＝AB ＝1.则A (0,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)．于是AD→＝(0,1,0)．取PD 中点为E ， 则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12， 易知AD →是平面PAB 的法向量，AE →是平面PCD 的法向量，∴cos<AD →，AE →>＝22，∴平面PAB 与平面PCD 的夹角为45°. 【答案】 B4．如图3-2-31，在空间直角坐标系Dxyz 中，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1为长方体，AA 1＝AB ＝2AD ，点E ，F 分别为C 1D 1，A 1B 的中点，则二面角B 1-A 1B -E 的余弦值为( )图3-2-31A ．－33B ．－32 C.33D ．32【解析】 设AD ＝1，则A 1(1,0,2)，B (1,2,0)，因为E ，F 分别为C 1D 1，A 1B的中点，所以E (0,1,2)，F (1,1,1)，所以A 1E →＝(－1,1,0)，A 1B →＝(0,2，－2)，设m ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的法向量，则⎩⎨⎧A1E →·m ＝0，A1B →·m ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，2y －2z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝z ，取x ＝1，则y ＝z ＝1，所以平面A 1BE 的一个法向量为m ＝(1,1,1)，又DA ⊥平面A 1B 1B ，所以DA →＝(1,0,0)是平面A 1B 1B 的一个法向量，所以cos 〈m ，DA →〉＝m ·DA →|m ||DA →|＝13＝33，又二面角B 1-A 1B -E 为锐二面角，所以二面角B 1-A 1B -E 的余弦值为33，故选C.【答案】 C5．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，C 1D 1的中点，则A 1B 1与平面A 1EF 夹角的正弦值为( )A.62 B ．63 C.64D ． 2【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1， 则A 1(1,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，B 1(1,1,1)． A 1B 1→＝(0,1,0)，设平面A 1EF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·A 1E →＝0，n ·A 1F →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12y －z ＝0，－x ＋y2＝0.令y ＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，z ＝1，∴n ＝(1,2,1)，cos 〈n ，A 1B 1→〉＝26＝63， 即线面角的正弦值为63. 【答案】 B 二、填空题6．等腰Rt △ABC 的斜边AB 在平面α内，若AC 与α成30°角，则斜边上的中线CM 与平面α所成的角为________．【解析】 作CO ⊥α，O 为垂足，连接AO ，MO ，则∠CAO ＝30°，∠CMO 为CM 与α所成的角．在Rt △AOC 中，设CO ＝1，则AC ＝2.在等腰Rt △ABC 中，由AC ＝2得CM ＝ 2.在Rt △CMO 中，sin ∠CMO ＝CO CM ＝12＝22，所以∠CMO ＝45°. 【答案】 45°7．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (1，－2,0)，B (2,1，6)，则向量AB →与平面xOz 的法向量的夹角的正弦值为________．【解析】 设平面xOz 的法向量为n ＝(0，t,0)(t ≠0)，AB →＝(1,3, 6)，所以cos 〈n ，AB →〉＝n ·AB →|n |·|AB→|＝3t 4|t |，因为〈n ，AB→〉∈，所以sin 〈n ，AB →〉＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 4|t |2＝74.【答案】 748．已知点E ，F 分别在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的正切值等于________．【解析】 如图，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，平面ABC 的法向量为n 1＝(0,0,1)，平面AEF 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )．所以A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，13，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，23，所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，13，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，13， 则⎩⎨⎧n 2·AE →＝0，n 2·EF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋13z ＝0，－x ＋13z ＝0.取x ＝1，则y ＝－1，z ＝3.故n 2＝(1，－1,3)． 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝31111.所以平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的平面角α满足cos α＝31111，sin α＝2211，所以tan α＝23.【答案】 23三、解答题9.如图3-2-32所示，在四面体ABCD 中，O ，E 分别是BD ，BC 的中点，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝ 2.图3-2-32(1)求证：AO ⊥平面BCD ；(2)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值． 【解】 (1)证明：连接OC ， 由题意知BO ＝DO ，AB ＝AD ，∴AO ⊥BD .又BO ＝DO ，BC ＝CD ，∴CO ⊥BD .在△AOC 中，由已知可得AO ＝1，CO ＝3， 又AC ＝2，∴AO 2＋CO 2＝AC 2， ∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC . ∵BD ∩OC ＝O ，∴AO ⊥平面BCD . (2)以O 为坐标原点建立空间直角坐标系， 则B (1,0,0)，D (－1,0,0)，C (0, 3，0)，A (0,0,1)， E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0， ∴BA→＝(－1,0,1)，CD →＝(－1，－3，0)， ∴cos 〈BA →，CD →〉＝BA →·CD →|BA →|·|CD→|＝24.∴异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24.10．四棱锥P -ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上． (1)求证：平面AEC ⊥平面PDB ；(2)当PD ＝2AB 且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小． 【解】 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz ，设AB ＝a ，PD ＝h ，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，D (0,0,0)，P (0,0，h )，(1)∵AC→＝(－a ，a,0)，DP →＝(0,0，h )，DB →＝(a ，a,0)，∴AC →·DP →＝0，AC →·DB→＝0， ∴AC ⊥DP ，AC ⊥DB ，又DP ∩DB ＝D ， ∴AC ⊥平面PDB ，又AC ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面PDB .(2)当PD ＝2AB 且E 为PB 的中点时，P (0,0，2a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，12a ，22a ，设AC ∩BD ＝O ，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0，连接OE ，由(1)知AC ⊥平面PDB 于O ，∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所成的角，∵EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，－12a ，－22a ，EO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，－22a ， ∴cos ∠AEO ＝EA →·EO →|EA →|·|EO→|＝22，∴∠AEO ＝45°，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45°.1．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，E 是侧棱BB 1的中点，则直线AE 与平面A 1ED 1所成角的大小为( )A ．60°B ．90°C ．45°D ．以上都不对【解析】 以点D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图．由题意知，A 1(1,0,2)，E (1,1,1)，D 1(0,0,2)，A (1,0,0)，所以A 1E →＝(0,1，－1)，D 1E →＝(1,1，－1)，EA →＝(0，－1，－1)．设平面A 1ED 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·A 1E →＝0，n ·D 1E →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，x ＋y －z ＝0.令z ＝1，得y ＝1，x ＝0，所以n ＝(0,1,1)， cos 〈n ，EA →〉＝n ·EA →|n ||EA →|＝－22·2＝－1.所以〈n ，EA →〉＝180°.所以直线AE 与平面A 1ED 1所成的角为90°. 【答案】 B2.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )图3-2-33A.55 B ．53 C.255D ．35【解析】 不妨设CA ＝CC 1＝2CB ＝2， 则AB 1→＝(－2,2,1)，C 1B →＝(0，－2,1)， 所以cos 〈AB 1→，C 1B →〉＝AB 1→·C 1B →|AB 1→||C 1B →|＝(－2)×0＋2×(－2)＋1×19×5＝－55.因为直线BC 1与直线AB 1的夹角为锐角，所以所求角的余弦值为55. 【答案】 A3．在空间中，已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z 轴上一点(0,0，a )(a ＞0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，则a ＝________.【导学号：15460080】【解析】 平面xOy 的法向量为n ＝(0,0,1)，设平面α的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋az ＝0，即3x ＝4y ＝az ，取z ＝1，则u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 4，1.而cos 〈n ，u 〉＝1a 29＋a 216＋1＝22，又∵a ＞0，∴a ＝125. 【答案】 1254.如图3-2-34，在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．图3-2-34(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值； (2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值． 【解】(1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，所以A 1B →＝(2,0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4).因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD →＝(1,1,0)，AC 1→＝(0,2,4)，所以n 1·AD →＝0，n 1·AC 1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝29×1＝23， 得sin θ＝53.因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53.。
高二数学选修2-1(B版)_《二面角及其度量》拔高练习
3.2.4二面角及其度量一、选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1．自二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是( )A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．既不相等也不互补2．如图所示，P A ＝PB ＝PC ，且它们所成的角均为60°，则二面角B －P A －C 的余弦值是( )A ．21B ．31C ．33D ．233．在正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B －AD －C 后，AB BC 21，这时二面角B －AD －C 的大小为( )A ．60°B ．45°C ．90°D ．120°(二)填空题4．若P 是△ABC 所在平面外一点，而△PBC 和△ABC 都是边长为2的正三角形，P A ＝6，则二面角P －BC －A 的大小是______．5．已知二面角E －AB －F 是直二面角，P 是棱AB 上一点，PE 、PF 分别在面PEA, PF A内，∠EPB ＝∠FPB ＝45°，那么∠EPF 的大小是______． 6．给出下列四个命题：(1)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直；(2)过平面外一定直线有且只有一个平面与已知平面垂直；(3)垂直于同一平面的两个平面可能相互平行，也可能相互垂直；(4)如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面．那么这两个二面角的平面角相等或互补．其中正确的命题的序号是______．7．已知P A 垂直于矩形ABCD 所在的平面，P A ＝3，AB ＝2，3=BC ，则二面角P －BD －A 的正切值为______．(三)解答题8．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝1，AD ＝DC ＝3，在线段A 1C 1上有一点Q ，且11131A C Q C =，求平面QDC 与平面A 1DC 所成锐二面角的大小．9．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABC ，P A ＝4，AD ＝2，AB ＝32，BC ＝6，求二面角A －PC －D 的余弦值．*10．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动．AE 等于何值时，二面角D 1－EC －D 的大小为4π．参考答案1．C 2．B 3．A4．90° 5．60° 6．(3) 7．2218．解：建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，)1,3,0(),1,0,3(),0,3.0(11C A C ．)1,332,33(,31111Q A C Q C ∴=． 设平面A 1CD ，平面QCD 的一个法向量分别为),,(111z y x n =，),,(222z y x m =由⎩⎨⎧=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⋅⋅03,00,01111z x y DA n DC n令x 1＝1，∴z 1＝.3-∴).3,0,1(-=n由⎪⎩⎪⎨⎧=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⋅⋅033,0,0,0222z x y DQ m DC m令x 2＝1，∴z 1＝33-． ∴)33,0,1(-=m 6π,2332211||||,cos >=∴<=⨯+=>=<⋅⋅m n m n m n m n ．即平面QDC 与平面A 1DC 所成锐二面角为6π．9．解：如图，建立坐标系，则A (0，0，0)，B (32，0，0)，C (32，6，0)，D (0，2，0)，P (0，0，4)， 所以)4,2,0(),0,4,32(-=--=PD CD ，)0,6,32(),4,0,0(=-=AC PA设平面PCD 的法向量为)1,,(y x n =， 则0,0==⋅⋅n PD n CD∴⎩⎨⎧=-=--.042,0432y y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2,334y x ∴).1,2,334(-=n 同理可求得平面P AC 的法向量为)0,2,32(-=m 所以31933||||cos ,=⋅>=<n m n m n m ∴二面角A －PC －D 的余弦值为31933．10．解：以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AE ＝x ，则A 1(1，0，1)，D 1(0，0，1)，E (1，x ，0)，A (1，0，0)，C (0，2，0)．)1,0,0(),1,2,0().0,2,1(11=-=-=DD C D x CE ． 设平面D 1EC 的法向量),,(c b a n =，由⎩⎨⎧=-+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⋅⋅.0)2(02,0,01x b a c b CE n C D n 令b ＝1，∴c ＝2，a ＝2－x ． ∴n ＝(2－x ，1，2)．依题意225)2(222||||4πcos211=+-⇒==⋅x DD n ．∴321+=x (舍去)，.322-=x∴32-=AE 时，二面角D 1－EC －D 的大小为4π．。
人教版B版高中数学选修2-1(B版)二面角及其度量
研一研·问题探究、课堂更高效
设 SA＝a，则 SB＝ 2a， 又∵AB⊥BC，由三垂线定理，SB⊥BC。 ∴在 Rt△SBC 中，SC＝2a。 在 Rt△SAC 中，∵SA＝a，SC＝2a，∴∠SCA＝30°。 故∠EDC＝60°，即二面角 E—BD—C 的大小为 60°。 小结 利用定义法求二面角的过程要体现一作、二证、三计 算。即首先作出二面角的平面角，然后证明(或说明)所作角 为什么是二面角的平面角，最后再计算出二面角的平面角的 大小。
∴二面角的大小为 60°。
答案 60°
研一研·问题探究、课堂更高效
小结 若 AB，CD 分别是二面角 α—l—β 的两个面 内与棱 l 垂直的异面直线，则二面角的平面角就是 向量A→C与B→D的夹角(如图所示)。
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练 2 如图所示，在 120°的二面角 α—AB—β 中 ， AC ⊂ α ， BD ⊂ β ， 且
填一填·知识要点、记下疑难点
(3)二面角的平面角：在二面角 α—l—β 的棱上任取一点 O， 在两半平面内分别作射线 OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB 叫做二 面角 α—l—β 的平面角，如图所示，由等角定理知，这个平 面角与点 O 在 l 上的位置无关。 (4)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。 (5)二面角的范围是[0°，180°]。 2．用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法 (1)如图，分别在二面角 α—l—β 的面 α、β 内， 并沿 α、β 延伸的方向，作向量 n1⊥l，n2⊥l， 则〈n1，n2〉等于该二面角的平面角。 (2)如图，设 m1⊥α，m2⊥β，则〈m1，m2〉与 该二面角相等或互补。
3.2.4二面角及其度量学案(人教(B)版选修2-1))
3.2.4二面角及其度量目标：掌握二面角及二面角的平面角的定义及灵活求二面角的大小。
重难点：利用空间向量求二面角。
教学过程： 一、课前延伸 1.知识梳理 （1）半平面平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做__________。
（2）二面角及相关概念从一条直线出发的两个__________所组成的图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的____，每个半平面叫做二面角的____。
棱为l ，两个面分别为α，β的二面角，记作______. （3）二面角的平面角在二面角l αβ--的棱上任取一点O ，在两半平面内分别作射线OA l ⊥，OB l ⊥，则_______叫做二面角l αβ--的平面角。
平面角是_______的二面角叫做直二面角。
（4）二面角α的范围是________. 2.思考问题（1）二面角两半平面的法向量的夹角与二面角的大小有何关系？（2）求二面角大小的方法有哪些？3.基础自测1.已知两平面的法向量分别为(0,1,0)m =，(0,1,1)n =，则两平面所成的二面角为（ ） A.45° B.135° C.45°或135° D.90°2.若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是（ ）D.133.已知正方体1111A B C DA B C D-中，平面11AB D 与平面1A B D 所成的角为θ(090θ︒≤≤︒)，则cos θ=____________.4.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2BA BC ==，0BA BC ⋅=，异面直线1A B 与AC 成60︒角，点O 、E 分别是棱AC 和1BB 的中点，点F 是棱11B C 上的动点。
（1）求证：1A E OF ⊥；（2）求二面角111B AC C --的大小。
二、课堂探究,1,1,,2.ABCD ABC A ABCD SA AB BC AD SCD SBA ∠︒⊥====如图所示，是一直角梯形，=90S 平面求面与面所成二面角的余弦值例1.例 2.如图，已知四棱锥P ABCD -，底面A B C D 为菱形，PA ⊥平面A B C D ，60ABC ∠=︒，E 、F 分别是BC 、PC 的中点。
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3.2.4二面角及其度量一、选择题1．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( )A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．不能确定[答案] C[解析] 二面角的两个面对应平行，当方向相同时，两个二面角大小相等，当方向不同时，两个二面角大小互补．2．已知平面α内有一个以AB 为直径的圆，P A ⊥α，点C 在圆周上(异于点A ，B )，点D 、E 分别是点A 在PC 、PB 上的射影，则( )A ．∠ADE 是二面角A —PC —B 的平面角 B ．∠AED 是二面角A —PB —C 的平面角 C ．∠DAE 是二面角B —P A —C 的平面角D ．∠ACB 是二面角A —PC —B 的平面角 [答案] B[解析] 由二面角定义及三垂线定理知选B.3．如图所示，M ，N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB于E ，现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A —DE —B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M ，N 的连线与AE 所成的角的大小为( )A ．45°B ．90°C ．135°D ．180° [答案] B[解析] 建系如图所示，由题意知△ABE 为等腰直角三角形，设CD ＝1，则BE ＝1，AB ＝1，AE ＝2，设BC ＝DE ＝2a ，则E (0,0,0)，A (1,0,1)，N (1，a,0)，D (0,2a,0)，M (12，a ，12)，所以MN →＝(12，0，－12)，AE →＝(－1,0，－1)，所以MN →·AE →＝(12，0，－12)·(－1,0，－1)＝0.故AE→⊥MN →，从而MN 与AE 所成的角为90°.4．如图所示，在边长为a 的正△ABC 中，AD ⊥BC ，沿AD 将△ABC 折起，若折起后B 、C 两点间距离为12a ，则二面角B －AD －C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] C5．将正方形ABCD 沿对角线折成直二面角，则二面角A —BC —D 的平面角的余弦值是( )A.12B.22C.33D.55[答案] C6．正四棱锥P —ABCD 的两相对侧面P AB 与PCD 互相垂直，则相邻两个侧面所成二面角的大小为( )A.π4B.π3C.π2D.2π3[答案] D7．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝435，那么二面角A —BD —P的度数是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°[答案] A8．如图所示，已知点P 为菱形ABCD 外一点，且P A ⊥面ABCD ，P A ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则二面角C —BF —D 的正切值为( )A.36 B.34C.33D.233[答案] D[解析] 如右图所示，连接AC ，AC ∩BD ＝O ，连接OF ，以O 为原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O —xyz ，设P A ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3，∴B ⎝⎛⎭⎫32，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，0，12，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，D (－32，0,0)，结合图形可知，OC →＝⎝⎛⎭⎫0，12，0且OC →为面BOF 的一个法向量，由BC →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0，FB →＝(32，0，－12)，可求得面BCF的一个法向量n ＝(1，3，3)．∴cos 〈n ，OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →〉＝277，∴tan 〈n ，OC →〉＝233.9．已知ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，将△DAE 和△CBE 分别沿DE 、CE 折起，使AE 与BE 重合，A 、B 两点重合后记为点P ，那么二面角P －CD －E 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] A[解析] 取CD 中点F ，由二面角定义知∠PFE 为其平面角，设PE ＝a ，则EF ＝2a ，∴sin θ＝a 2a ＝12， ∴二面角P —CD —E 为30°.10．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120° [答案] C[解析] 由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0， CD →＝CA →＋AB →＋BD →.∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD → ＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉 ＝(217)2，∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12，即〈CA →，BD →〉＝120°， ∴二面角的大小为60°，故选C. 二、填空题11．如图所示，将边长为a 的正三角形ABC ，沿BC 边上的高线AD 将△ABC 折起，若折起后B 、C 间距离为a2，则二面角B —AD —C 的大小为________．[答案] 60°12．若P 是△ABC 所在平面外一点，且△PBC 和△ABC 都是边长为2的正三角形，P A ＝6，那么二面角P —BC —A 的大小为________．[答案] 90°13．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 和截面C 1BD 所成的二面角大小的余弦值为________．[答案] 1314．在正方体AC 1中，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，若截面EFDB 与侧面BCC 1B 1所成的锐二面角为θ，则cos θ＝________.[答案] 23三、解答题15．如图，四棱锥P —ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，CD ⊥PD ，底面ABCD为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝AD ＝PB ＝3.点E 在棱P A 上，且PE ＝2EA .求二面角A —BE —D 的大小．[解析] 以B 为原点，以BC 、BA 、BP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设平面EBD 的一个法向量为n 1＝(x ，y,1)， 因为BE →＝(0,2,1)，BD →＝(3,3,0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·BE →＝0n 1·BD →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋1＝0，3x ＋3y ＝0.所以⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－12.于是n 1＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1.又因为平面ABE 的一个法向量为n 2＝(1,0,0)， 所以，cos 〈n 1，n 2〉＝16＝66. 所以，二面角A —BE —D 的大小为arccos66. 16．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是棱CC 1上的一点，CP ＝m ，试确定m ，使直线AP 与平面BDD 1B 1所成角的正弦值为33819.[解析] 如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D —xyz ，则A (1,0,0)，P (0,1，m )，C (0,1,0)，D (0,0,0)．∴AP →＝(－1,1，m )，AC →＝(－1,1,0)，又AC →·BD →＝0，AC →·BB 1→＝0， ∴AC →是平面BDD 1B 1的一个法向量． 设AP 与平面BDD 1B 1所成的角为θ， 则sin θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝|AP →·AC →||AP →||AC →|＝22×2＋m 2＝33819，∴m ＝13. 17．(2009·上海)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝BC ＝AB ＝2，AB ⊥BC ，求二面角B 1－A 1C －C 1的大小．[解析] 如图，建立空间直角坐标系．则A (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(2,0,2)，B 1(0,0,2)，C 1(0,2,2)，设AC 的中点为M ，∵BM ⊥AC ，BM ⊥CC 1，∴BM ⊥平面A 1C 1C ，即BM →＝(1,1,0)是平面A 1C 1C 的一个法向量． 设平面A 1B 1C 的一个法向量是n ＝(x ，y ，z )，A 1C →＝(－2,2，－2)，A 1B 1→＝(－2,0,0)，∴n ·A 1B 1→＝－2x ＝0，n ·A 1C →＝－2x ＋2y －2z ＝0，令z ＝1，解得x ＝0，y ＝1. ∴n ＝(0,1,1)，设法向量n 与BM →的夹角为φ，二面角B 1－A 1C －C 1的大小为θ，显然θ为锐角． ∵cos θ＝|cos φ|＝|n ·BM →||n |·|BM →|＝12，解得θ＝π3，∴二面角B 1－A 1C －C 1的大小为π3.18．(2007·陕西)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P —ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝4，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.(1)求证：BD ⊥平面P AC ； (2)求二面角A —PC —D 的大小．[解析] (1)如图，建立坐标系，则A (0,0,0)，B (23，0,0)，C (23，6,0)，D (0,2,0)，P (0,0,4)，∴AP →＝(0,0,4)，AC →＝(23，6,0)，BD →＝(－23，2,0)， ∴BD →·AP →＝0，BD →·AC →＝0. ∴BD ⊥AP ，BD ⊥AC ， 又P A ∩AC ＝A ， ∴BD ⊥平面P AC .(2)设平面PCD 的法向量为 n ＝(x ，y,1)，则CD →·n ＝0，PD →·n ＝0，又CD →＝(－23，－4,0)，PD →＝(0,2，－4)，∴⎩⎨⎧－23x －4y ＝0，2y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－433，y ＝2，∴n ＝⎝⎛⎭⎫－433，2，1 平面P AC 的法向量取为m ＝BD →＝(－23，2,0)， 则cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝39331. ∴二面角A —PC —D 的大小为arccos 39331.。