高中数学-直线与平面的夹角、二面角及其度量测试题
高考数学试卷二面角
一、选择题1. 下列关于二面角的叙述中，正确的是（）A. 二面角是由两个平面相交形成的角B. 二面角是由两个平面相交形成的两条线段所夹的角C. 二面角是由两个平面相交形成的两条射线所夹的角D. 二面角是由两个平面相交形成的两条直线所夹的角答案：C2. 在二面角中，一个平面内两条相交直线与另一个平面所成的角分别为α和β，则二面角的度数是（）A. α + βB. α - βC. |α - β|D. 90°答案：C3. 若二面角的平面角为θ，那么这个二面角的度数范围是（）A. 0° < θ < 90°B. 0° ≤ θ ≤ 180°C. 0° < θ ≤ 180°D. 90° < θ ≤ 180°答案：C4. 下列图形中，能表示二面角的是（）A. 一个等腰三角形B. 一个等边三角形C. 一个矩形D. 一个正方形答案：C5. 若二面角的平面角为60°，则其补角的度数是（）A. 60°B. 120°C. 180°D. 240°答案：B二、填空题6. 在二面角中，若一个平面内两条相交直线与另一个平面所成的角分别为α和β，则二面角的平面角为______。
答案：|α - β|7. 若二面角的平面角为θ，那么这个二面角的度数范围是______。
答案：0° < θ ≤ 180°8. 若一个二面角的平面角为45°，则其补角的度数是______。
答案：135°三、解答题9. 已知二面角的平面角为60°，求这个二面角的补角的度数。
解答过程：根据题意，设二面角的平面角为θ，则有：θ = 60°由补角的定义可知，二面角的补角为180° - θ，因此：补角= 180° - 60° = 120°所以，这个二面角的补角的度数是120°。
2018年高考数学(理)总复习达标检测(三十二)空间角3类型——线线角、线面角、二面角含答案
高考达标检测（三十二）空间角3类型——线线角、线面角、二面角1．如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BEC ，BE ⊥EC ，AB ＝BE ＝EC ＝2，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点．(1)求证：GF ∥平面ADE ；(2)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值．解：(1)如图，取AE 的中点H ，连接HG ，HD ，又G 是BE 的中点，所以GH ∥AB ，且GH ＝12AB . 又F 是CD 的中点，所以DF ＝12CD . 由四边形ABCD 是矩形，得AB ∥CD ，AB ＝CD ，所以GH ∥DF ，且GH ＝DF ，从而四边形HGFD 是平行四边形，所以GF ∥DH .又GF ⊄平面ADE ，DH ⊂平面ADE ，所以GF ∥平面ADE .(2)如图，在平面BEC 内，过点B 作BQ ∥EC .因为BE ⊥CE ，所以BQ ⊥BE .又因为AB ⊥平面BEC ，所以AB ⊥BE ，AB ⊥BQ .以B 为原点，分别以BE ―→， BQ ―→， BA ―→的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (0,0,2)，B (0,0,0)，E (2,0,0)，F (2,2,1)．因为AB ⊥平面BEC ，所以BA ―→＝(0,0,2)为平面BEC 的法向量．设n ＝(x ，y ，z )为平面AEF 的法向量．又AE ―→＝(2,0，－2)，AF ―→＝(2,2，－1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE ―→＝0，n ·AF ―→＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －2z ＝0，2x ＋2y －z ＝0.取z ＝2，得n ＝(2，－1,2)．从而cos 〈n ，BA ―→〉 ＝n ·BA ―→|n|·|BA ―→|＝43×2＝23， 所以平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为23.2．(2016·全国丙卷)如图，四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明MN ∥平面PAB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．解：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2. 取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 的中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2. 又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT .因为MN ⊄平面PAB ，AT ⊂平面PAB ，所以MN ∥平面PAB .(2)取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC 得AE ⊥BC ，从而AE ⊥AD ，且AE ＝AB 2－BE 2＝ AB 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝ 5. 以A 为坐标原点，AE ―→的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz .由题意知P (0,0,4)，M (0,2,0)，C (5，2,0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1，2， PM ―→＝(0,2，－4)， PN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1，－2， AN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，1，2.设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·PM ―→＝0，n ·PN ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，可取n ＝(0,2,1)．于是|cos 〈n ，AN ―→〉|＝|n ·AN ―→||n ||AN ―→|＝8525. 所以直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为8525. 3．(2017·潍坊统考)如图，在四棱锥P ABCD 中，AD ∥BC ，平面APD ⊥平面ABCD ，PA ＝PD ，E 在AD 上，且AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EA ＝2.(1)求证：平面PEC ⊥平面PBD ；(2)设直线PB 与平面PEC 所成的角为π6，求平面APB 与平面PEC所成的锐二面角的余弦值．解：(1)证明：连接BE .在△PAD 中，PA ＝PD ，AE ＝ED ，所以PE ⊥AD .又平面APD ⊥平面ABCD ，平面APD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PE ⊥平面ABCD ，故PE ⊥BD .在四边形ABCD 中，BC ∥DE ，且BC ＝DE ，所以四边形BCDE 为平行四边形，又BC ＝CD ，所以四边形BCDE 为菱形，故BD ⊥CE ，又PE ∩EC ＝E ，所以BD ⊥平面PEC ，又BD ⊂平面PBD ，所以平面PEC ⊥平面PBD .(2)取BC 的中点F ，连接EF .由(1)可知，△BCE 是一个正三角形，所以EF ⊥BC ，又BC ∥AD ，所以EF ⊥AD .又PE ⊥平面ABCD ，故以E 为坐标原点，分别以直线EF 、直线ED 、直线EP 为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设PE ＝t (t >0)，则D (0,2,0)，A (0，－2,0)，P (0,0，t )，F (3，0,0)，B (3，－1,0)．因为BD ⊥平面PEC ，所以BD ―→＝(－3，3,0)是平面PEC 的一个法向量，又PB ―→＝(3，－1，－t )，所以cos 〈PB ―→，BD ―→〉＝PB ―→·BD ―→|PB ―→|·|BD ―→|＝－623×4＋t 2＝－34＋t 2. 由已知可得sin π6＝|cos 〈PB ―→，BD ―→〉|＝34＋t2，得t ＝2 2. 故P (0,0,22)，PB ―→＝(3，－1，－22)，AB ―→＝(3，1,0)．设平面APB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧ n ⊥PB ―→，n ⊥AB ―→ 可得⎩⎪⎨⎪⎧ n ·PB ―→＝3x －y －22z ＝0，n ·AB ―→＝3x ＋y ＝0，取y ＝－6，则x ＝2，z ＝3，故n ＝(2，－6，3)为平面APB 的一个法向量，所以cos 〈BD ―→，n 〉＝BD ―→·n | BD ―→|·|n |＝－4623×11＝－22211. 设平面APB 与平面PEC 所成的锐二面角为θ，则cos θ＝|cos 〈BD ―→，n 〉|＝22211. 4．(2017·郑州模拟)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，四边形AA 1C 1C 是边长为2的菱形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，∠A 1AC ＝60°，∠BCA ＝90°.(1)求证：A 1B ⊥AC 1；(2)已知点E 是AB 的中点，BC ＝AC ，求直线EC 1与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值． 解：(1)证明：取AC 的中点O ，连接A 1O ，因为四边形AA1C 1C 是菱形，且∠A 1AC ＝60°，所以△A 1AC 为等边三角形，所以A 1O ⊥AC .又平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ，所以A 1O ⊥平面ABC ，所以A 1O ⊥BC .又BC ⊥AC ，A 1O ∩AC ＝O ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C ，所以AC 1⊥BC .在菱形AA 1C 1C 中，AC 1⊥A 1C ，所以AC 1⊥平面A 1BC ，所以A 1B ⊥AC 1.(2)连接OE ，以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz ，则A (0，－1,0)，B (2,1,0)，C (0,1,0)，C 1(0,2，3)， AB ―→＝(2,2,0)，BB 1―→＝CC 1―→＝(0,1，3)，设m ＝(x ，y ，z )是平面ABB 1A 1的法向量，则m ·AB ―→＝0，m ·BB 1―→＝0，即⎩⎨⎧ 2x ＋2y ＝0，y ＋3z ＝0，取z ＝－1，可得m ＝(－3，3，－1)．又E (1,0,0)， 所以EC 1―→＝(－1,2，3)，设直线EC 1与平面ABB 1A 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈EC 1―→，m 〉|＝|EC 1―→·m ||EC 1―→|·|m |＝4214. 即直线EC 1与平面ABB 1A 1所成角的正弦值为4214.。
人教版高中数学必修第二册 强化训练 直线与平面所成的角、二面角的平面角的常见解法 同步精练(含解析)
人教版高中数学必修第二册专题强化训练四直线与平面所成的角、二面角的平面角的常见解法同步精练技巧一、定义法利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法.例：在三棱锥V －ABC 中，VA ＝AB ＝VB ＝AC ＝BC ＝2，VC ＝3，求二面角V －AB －C 的大小.解取AB 的中点D ，连接VD ，CD ，∵△VAB 中，VA ＝VB ＝AB ＝2，∴△VAB 为等边三角形，∴VD ⊥AB 且VD ＝3，同理CD ⊥AB ，CD ＝3，∴∠VDC 为二面角V －AB －C 的平面角，而△VDC 是等边三角形，∠VDC ＝60°，∴二面角V －AB －C 的大小为60°.技巧二、三垂线法是利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法.这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线.此方法是属于较常用的.三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直.例：如图，在三棱锥S －ABC 中，∠SAB ＝∠SAC ＝∠ABC ＝90°，SA ＝AB ，SB ＝BC .求二面角A －SC －B 的平面角的正弦值.解取SB 的中点D ，连接AD ，则AD ⊥SB ，垂足为点D ，由已知平面SBC ⊥平面SAB ，平面SBC ∩平面SAB ＝SB ，AD ⊂平面SAB ，∴AD ⊥平面SBC .作AE ⊥SC ，垂足为点E ，连接DE ，则DE ⊥SC ，则∠AED 为二面角A －SC －B 的平面角.设SA ＝AB ＝2，则SB ＝BC ＝22，AD ＝2，AC ＝23，SC ＝4.由题意得AE ＝3，Rt △ADE 中，sin ∠AED ＝AD AE ＝23＝63，∴二面角A －SC －B 的平面角的正弦值为63.技巧三、垂面法作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角.关键在找与二面角的棱垂直且与二面角两半平面都有交线的平面.例：如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC 且分别交AC ，SC 于点D ，E ，又SA ＝AB ，SB ＝BC ，求二面角E －BD －C 的大小.解∵SB ＝BC 且E 是SC 的中点，∴BE 是等腰三角形SBC 底边SC 的中线，∴SC ⊥BE .又已知SC ⊥DE ，BE ∩DE ＝E ，BE ，DE ⊂平面BDE ，∴SC ⊥平面BDE ，∴SC ⊥BD .又SA ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴SA ⊥BD ，而SC ∩SA ＝S ，SC ，SA ⊂平面SAC ，∴BD ⊥平面SAC .∵平面SAC ∩平面BDE ＝DE ，平面SAC ∩平面BDC ＝DC ，∴BD ⊥DE ，BD ⊥DC ，∴∠EDC 是所求二面角的平面角.∵SA ⊥底面ABC ，∴SA ⊥AB ，SA ⊥AC .设SA ＝2，则AB ＝2，BC ＝SB ＝2 2.∵AB ⊥BC ，∴AC ＝23，∴∠ACS ＝30°.又已知DE ⊥SC ，∴∠EDC ＝60°.即所求的二面角等于60°.强化训练一、单选题1．（2021·全国·高一）在边长为1的正方体1111ABCD A B C D 中，点M ，N 分别为AB ，BC 的中点，则直线MN 与平面1DCA 所成角的大小为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π2．（2021·浙江嘉兴·高一期末）已知正四面体ABCD ，点M 为棱AB 上一个动点，点N 为棱CD 上靠近点C 的三等分点，记直线MN 与BC 所成角为θ，则sin θ的最小值为（）A ．3819B ．319C ．217D ．34173．（2021·山东威海·高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为1DD ，1AA ，AB 的中点，P 为底面ABCD 上一动点，且直线1//D P 平面EFG ，则1D P 与平面ABCD 所成角的正切值的取值范围为（）A ．32,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,2⎡⎤⎣⎦D ．26,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．（2021·江苏·南京师大附中高一期末）在四棱锥P ABCD -中，AD ＝2，1AB BC CD ===，//AD BC ，且PA PC =，PB PD =，则直线PA 与平面PBD 所成角的正弦值的最大值为（）A ．13B ．45C ．23D ．15．（2021·全国·高一）如图，在四面体ABCD 中，1AB =，23AD =，3BC =，2CD =，90ABC DCB ∠=∠=︒，则二面角A BC D --的大小为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°6．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，在ABC 中，,AD BC ABD ⊥的面积是ACD △的面积的2倍，沿AD 将ABC 翻折，使翻折后BC ⊥平面ACD ，此时二面角B AD C --的大小为（）A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．90︒7．（2021·天津南开·高一期末）如图所示，等边三角形ABC 的边长为4，D 为BC 的中点，沿AD 把ADC 折叠到ADC '处，使二面角B AD C '--为60°，则折叠后二面角A BC D '--的正切值为（）．A ．32B ．3C ．2D ．58．（2020·浙江·高一期末）已知二面角l αβ--为60，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，45ACD ∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A ．14B ．24C ．34D ．12二、多选题9．（2021·河北·廊坊市第一中学高一阶段练习）如图，已知正方体1111ABCB A B C D -的棱长为1，E 是棱CD 上的动点，则下列说法正确的有（）A ．11EB AD ⊥B ．1//D E 平面11A B BAC ．二面角11E A B A --的大小为60D ．三棱锥11A B DE -的体积的最大值为1310．（2021·全国·高一课时练习）如图，四棱锥S ABCD -底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中正确的有（）A ．AC SB⊥B ．//AB 平面SCDC ．SA 与平面ABCD 所成的角是SAD∠D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SC 所成的角11．（2021·浙江·台州市路桥区东方理想学校高一阶段练习）如图，三棱柱111ABC A B C -的各棱长均为2，侧棱1BB 与底面ABC 所成的角为60°，11AA B ∠为锐角，且侧面11ABB A ⊥底面ABC ，下列四个结论正确的是（）A ．160ABB ∠=︒B ．1AC BB ⊥C ．直线1AC 与平面11ABB A 所成的角为45°D ．11B C AC ⊥12．（2021·湖北孝感·高一期末）如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB =AA 1=1，P 为线段B 1C 1上的动点，则下列结论中正确的是（）A ．点A 到平面A 1BC 的距离为22B ．平面A 1PC 与底面ABC 的交线平行于A 1PC ．三棱锥P ﹣A 1BC 的体积为定值D ．二面角A 1-BC -A 的大小为4π三、解答题13．（2022·陕西·西安建筑科技大学附属中学高一期末）如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，AB ⊥BC ，2PA AB BC ===，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点.(1)求证：平面BDE ⊥平面PAC ；(2)求二面角P －BC －A 的平面角的大小.14．（2022·湖南·高一课时练习）如图，AB 是O 的直径，点C 为该圆上的一点，120AOC ∠=︒，SA O ⊥所在的平面，SA AB =，求SC 与O 所在的平面所成的角的正切值．15．（2021·浙江温州·高一竞赛）如图，已知三棱锥P ABC -，底面ABC 是等腰三角形，120ABC ∠=︒，PAB △是等边三角形，D 为线段AC 上一点，AC 3AD =，二面角P AB D --的大小为120︒.(1)求证：AB PD ⊥；(2)求直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值.16．（2021·湖北·大冶市第一中学高一阶段练习）在三棱锥P -ABC 中，∠ACB =90°，PA ⊥底面ABC .（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ;（2）若AC =BC =PA ，M 是PB 的中点.①求AM 与平面PBC 所成角的正切值；②求二面角C PB A --的大小.17．（2021·全国·高一课时练习）如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且22PA PD a ==，设,E F 分别为,PC BD 的中点．（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）求证：平面PAB ⊥平面PDC ；（3）求直线EF 与平面ABCD 所成角的大小．18．（2021·广东白云·高一期末）如图，PA 垂直于O 所在的平面，AC 为O 的直径，3AB =，4BC =，32PA =，AE PB ⊥，点F 为线段BC 上一动点.（1）证明：平面AEF 平面PBC；（2）当点F移动到C点时，求PB与平面AEF所成角的正弦值.19．（2021·广东·肇庆市高要区第二中学高一）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA＝PC，AB＝BC，∠APC＝120°，∠ABC ＝90°，AC＝3PB＝2．（1）求证：AC⊥PB；（2）求PB与平面PAC所成的角．20．（2021·福建·闽江学院附中高一阶段练习）如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥平面B CD，E为棱AC上的一点，且BE⊥平面ACD．（1）证明：BC ⊥CD ；（2）设BC ＝CD ＝1，BC 与平面ACD 所成的角为45°，求二面角B －AD －C 的大小．21．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，点D 是AB 的中点．(1)求证：1AC ∥平面1CDB ．(2)若1AA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，11AA =，2AC BC ==，求二面角1B CD B --的平面角的余弦值．22．（2021·广东广州·高一期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上一点．(1)证明：平面AEF ⊥平面PBC ；(2)若F 为BC 的中点，求二面角E AF B --的余弦值．23．（2021·全国·高一课时练习）如图，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，BD DC ⊥，点E 是BC 的中点．将ABD △沿BD 折起，使AB AC ⊥，连接AE 、AC 、DE ，得到三棱锥A BCD -．(1)求证：平面ABD ⊥平面BCD ；(2)若1AD =，二面角B AD E --的大小为60°，求三棱锥A BCD -的体积．24．（2021·全国·高一课时练习）如图所示的几何体由三棱锥P ADQ -和正四棱锥P ABCD -拼接而成，PQ ⊥平面ADQ ，//AB PQ ，1PQ =，2AB =，5AQ =，O 为四边形ABCD 对角线的交点．(1)求证：//OP 平面ADQ ；(2)求二面角O AP D --的正弦值．25．（2021·江苏如皋·高一）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，E ､F 为PD 的两个三等分点.（1）求证：//BE 平面ACF ；（2）若平面PAC ⊥平面PCD ，PC 与平面ABCD 所成角为4π，1PA =，3AD =，求二面角A PD C --的正弦值.26．（2021·江苏如皋·）如图，在等腰三角形ADP 中，90A ∠=︒，4=AD ，B ，C 分别是AP ，DP 上的点，且//BC AD ，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，将PBC 沿着BC 折起，得到四棱锥P ABCD -，连接EF .（1）证明：//EF 平面PAD ；（2）若1AB =，当PA AB ⊥时，求二面角C PD A --的平面角.27．（2021·江苏淮安·高一阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD ==，60BAD ∠=︒.（1）求证：AD PB ⊥；（2）直线PB 与平面ABCD 所成角为45︒时，试求：①求四棱锥P ABCD -的体积；②求二面角P AB C --正切值；③求证：二面角D PC B --是直二面角.28．（2021·湖北·华中师大一附中高一期末）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =.点E 是PD 的中点，作EF PC ⊥，交PC 于点F .（1）设平面PAB 与平面ACE 的交线为l ，试判断直线PB 与直线l 的位置关系，并给出证明；（2）求平面PAB 与平面ACE 所成的较小的二面角的余弦值；（3）求直线PD 与平面AEF 所成角的正切值.29．（2021·湖南·武冈市第二中学高一阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，2AD =，1AB BC CD ===，//BC AD ，90PAD ︒∠=，PBA ∠为锐角，平面PBA ⊥平面PBD .（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）若AD 与平面PBD 所成角的正弦值为24，求二面角P BD C --的余弦值.参考答案：1．A【详解】如图，连接AC ，1AD 交1A D 于O ，连接OC ，∵点M ，N 分别为AB ，BC 的中点，∴MN ∥AC ，由正方体的性质可知CD ⊥平面11ADD A ，∴1CD AD ⊥又11AD A D ⊥，1A DDC D =，∴1AD ⊥平面1DCA ，∴ACO ∠为直线AC 与平面1DCA 所成角，也即为直线MN 与平面1DCA 所成角，在直角三角形ACO 中，2,22AO AC ==∴6ACO π∠=.故选：A 2．A【详解】解：不妨设正四面体ABCD 的棱长为3，则底面三角形的高为333322⨯=，该四面体的高为()22336-=，222212cos 603123172BN AN BC CN BC CN ==+-⋅︒=+-⨯⨯⨯=，要求直线MN 与BC 所成的最小角，即为直线BC 与平面ABN 所成角，记点C 到平面ABN 的距离为h ，由C ABN A BCN V V --=，得11633ABN BCN S h S =，解得33819h =，所以直线BC 与平面ABN 所成角的正弦值为3383819319h BC ==，即sin θ的最小值为3819.故选：A ．3．B【详解】由题意，如上图示，面EFG 在正方体1111ABCD A B C D -上的截面为EFGH 且H 为DC 中点，∵1//D P 平面EFG ，而面11//A BCD 面EFG ，∴1D P ⊂面11A BCD ，又P 为底面ABCD 上一动点，则P 在BC 上，∴1D P 与平面ABCD 所成角为1DPD ∠，当P 与B 重合时，1DPD ∠最小，此时112tan 2DD DBD BD ∠==，当P 与C 重合时，1DPD ∠最大，此时11tan 1DD DCD CD∠==；∴12tan [,1]2DPD ∠∈.故选：B4．C【详解】取AD 中点O ，连接PO 、BO 、CO ，设CO 与BD 交于F ，连接PF ，在等腰梯形ABCD 中，由//AO BC 且BO =BC =CD =OD ，故四边形DOCB 为菱形，所以BD CO ⊥，又PB=PD ，且F 为BD 的中点，所以BD PF ⊥，又PF CO F =，所以BD ⊥平面PCO ，过O 作OH PF ⊥交PF 于H ，由BD ⊥平面PCO ，故BD OH ⊥，又PFBD F =，所以OH ⊥平面PBD ，设PO=t ，1122OF AB ==，故241t OH t =+，又AD =2OD ，故点A 到平面PBD 的距离22241t d OH t ==+，设直线PA 与平面PBD 所成角的大小为θ，则22222222sin 314524145d t PA t t t tθ===≤=++⋅+++当且仅当2214t t =即22t =时取等号，故直线PA 与平面PBD 所成角的正弦值的最大值为23，故选：C 5．B【详解】如图，作//BE CD ，且BE CD =．连接,AE ED ，四边形BCDE 是平行四边形，因为90ABC DCB ∠=∠=︒，则1809090EBC ∠=︒-︒=︒，所以ABE ∠就是二面角A BC D --的平面角，由平行四边形BCDE 得3DE BC ==，2BE CD ==，由90ABC EBC ∠=∠=︒，且AB BE B =，,AB BE ⊂平面ABE ，得BC ⊥平面ABE ，而AE ⊂平面ABE ，所以BC AE ⊥，所以ED AE ⊥，所以221293AE AD ED =-=-=，AED 中，2221431cos 22122AB BE AE ABE AB BE +-+-∠===⋅⨯⨯，所以60ABE ∠=︒，故选：B ．6．C【详解】在ABC 中，因为AD BC ⊥，沿AD 将ABC 翻折，可得,AD BD AD CD ⊥⊥，所以BDC ∠为二面角B AD C --的平面角，又因为BC ⊥平面ACD ，且CD ⊂平面ACD ，所以BC CD ⊥，由ABD △的面积是ACD △的面积的2倍，可得2BD CD =，在直角BCD △中，因为2BD CD =，可得1cos 2CD BDC BD ∠==，又由60BDC ∠=，即二面角B AD C --的大小为60︒.故选：C.7．C【详解】由条件可知'60BDC ∠=，取'BC 的中点E ，连结AE ，DE ，'AE AC =，'DB DC =，'AE BC ∴⊥，'DE BC ⊥，AED ∴∠是二面角A BC D '--的平面角，4AB =Q ，AD 23∴=，'BDC 是等边三角形，332DE BD ==，23tan 23AD AED DE ∠===故选：C8．B【详解】如下图所示：设2CD =，AD l ⊥，2AB =，以CA 、CD 为邻边作平行四边形ACDE ，在平面β内，AD l ⊥，2CD =，45ACD ∠=，则sin 2AD CD ACD =∠=，cos 452AC CD ==，AB l ⊥，AD l ⊥，AB α⊂，AD β⊂，所以，BAD ∠为二面角l αβ--的平面角，即60BAD ∠=，2AB AD ==，ABD ∴为等边三角形，则2BD =，四边形ACDE 为平行四边形，//DE AC ∴，即//DE l ，AD l ⊥，AB l ⊥，DE AB ⊥∴，DE AD ⊥，AB AD A =Q I ，DE ∴⊥平面ABD ，BD ⊂Q 平面ABD ，DE BD ∴⊥，则222BE BD DE =+=，在平行四边形ACDE 中，//AE CD 且2AE CD ==，所以，异面直线AB 与CD 所成角为BAE ∠或其补角，在ABE △中，2AB =，2AE BE ==，由余弦定理可得2222cos 24AB AE BE BAE AB AE +-∠==⋅.因此，异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24.故选：B.9．ABD【详解】对于A ：连接1A D ，1B C ，则11AD A D ⊥，CD ⊥面11ADD A ，1AD ⊂面11ADD A ，所以1CD AD ⊥，因为1CD A D D =，所以1AD ⊥面11A B CD ，因为1EB ⊂面11A B CD ，所以11EB AD ⊥，故选项A 正确；对于B ：因为面11//DCC D 平面11A B BA ，1D E ⊂面11DCC D ，所以1//D E 平面11A B BA ，故选项B 正确；对于C ：二面角11E A B A --即为二面角11C A B A --，因为CB ⊥面11A B BA ，所以1CB B ∠即为所求角，在1Rt CB B 中，145CB B ∠=，故选项C 不正确；对于D ：设11A O AD D =，则111111113A B D E A OB E D OB E OB E V V V S AD ---=+=⋅⋅，因为12AD =,2126122OB ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，当点E 与点C 重合时，点C 到1OB 的距离最大，此时162OC OB ==所以1OB E S 最大为：22162222222⎛⎫⎛⎫⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11A B D E V -最大值为1212323⨯⨯=，故选项D 正确；故选：ABD.10．ABCD【详解】ABCD 是正方形，则AC BD ⊥，又SD ⊥面ABCD ，AC ⊂面ABCD ，所以SD AC ⊥，SD BD D =，,SD BD ⊂平面SBD ，所以AC ⊥平面SBD ，而SB ⊂平面SBD ，所以AC SB ⊥，A 正确；//AB CD ，AB ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD ，所以//AB 平面SCD ，B 正确；SD ⊥底面ABCD ，所以SA 与平面ABCD 所成的角是SAD ∠，C 正确；//AB CD ，AB 与SC 所成的角等于DC 与SC 所成的角，D 正确，故选：ABCD ．11．ACD 【详解】如图，过A 作11AH A B ⊥，H 为垂足，连结1C H ，如图建立空间直角坐标系对于A 选项，侧棱1BB 与底面ABC 所成角为60，11AA B ∠为锐角，且侧面11ABB A ⊥底面ABC ，1160AA B ∴∠=，又三棱柱111ABC A B C -的各棱长相等，可知四边形11AA B B 为菱形，1160A BB A B A ∠==∠︒，故A 选项正确；对于B 选项，易知1(0,0,3),(1,3,3),(2,0,3),(1,00),A C B B ---，11(1,3,0),(1,0310AC BB AC BB =-=-∴⋅=-≠，），，故B 选项不正确；对于C 选项，由题意可知1C AH ∠即为1AC 与平面11AA B B 所成的角，11tan 1C H C AH AH∠==，145C AH ∴∠=，故C 选项正确；对于D 选项，11(0,3,3),(0,3,3)B C AC ==-，110B C AC ∴⋅=因此11B C AC ⊥，故D 选项正确.故选：ACD【点睛】本题考查了空间向量与立体几何综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算能力，属于中档题12．BC【解析】【分析】根据点面距、面面平行、线面平行、二面角等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】A 选项，四边形11ABB A 是正方形，所以11AB A B ⊥，所以1112,22AM A B AM AB ⊥==，但AM 与BC 不垂直，所以AM 与平面1A BC 不垂直，所以A 到平面1A BC 的距离不是22，A 选项错误.B 选项，根据三棱柱的性质可知，平面//ABC 平面111A B C ，所以1//A P 平面ABC ，设平面1A PC 与平面ABC 的交线为l ，根据线面平行的性质定理可知1//A P l ，B 选项正确.C 选项，由于1111//,B C BC B C ⊄平面1A BC ,BC ⊂平面1A BC ，所以11//B C 平面1A BC .所以P 到平面1A BC 的距离为定值，所以三棱锥1P A BC -的体积为定值，C 选项正确.D 选项，设Q 是BC 的中点，由于11,AC A B AC AB ==，所以1,A Q BC AQ BC ⊥⊥，所以二面角1A BC A --的平面角为1AQA ∠，由于1AA AQ ≠，所以14A QA π∠≠，D 选项错误.故选：BC13．(1)见解析(2)4π【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得PA ⊥平面ABC ，从而可得PA BD ⊥，证明BD AC ⊥，再根据线面垂直的判定定理可得BD ⊥平面PAC ，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）由线面垂直的性质可得PA BC ⊥，再根据线面垂直的判定定理可得BC ⊥平面PAB ，则有BC PB ⊥，从而可得PBA ∠即为二面角P －BC －A 的平面角，从而可得出答案.(1)证明：因为PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，AB AC A ⋂=，所以PA ⊥平面ABC ，又因BD ⊂平面ABC ，所以PA BD ⊥，因为D 为线段AC 的中点，AB BC =，所以BD AC ⊥，又PA AC A =，所以BD ⊥平面PAC ，又因为BD ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PAC ；(2)解：由（1）得PA ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，因为AB ⊥BC ，PA AB A =，所以BC ⊥平面PAB ，因为PB ⊂平面PAB ，所以BC PB ⊥，所以PBA ∠即为二面角P －BC －A 的平面角，在Rt PAB 中，2PA AB ==，所以tan 1PBA ∠=，所以4PBA π∠=，即二面角P －BC －A 的平面角的大小为4π.14．233【解析】【分析】连结AC ,则SCA ∠为SC 与O e 所在的平面所成的角，设2SA AB ==，求出AC 的长度，即可得出答案.【详解】连结AC ，由SA O ⊥e 所在的平面所以SCA ∠为SC 与O e 所在的平面所成的角设2SA AB ==，则1AO OC ==222cos1203AC AO OC AO OC =+-⋅︒=所以223tan 33AS SCA AC ∠===15．(1)证明见解析(2)31326【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质、余弦定理，结合线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）根据二面角的定义、线面角的定义，结合余弦定理进行求解即可.(1)取AB 中点O ，连接PO ，DO .因为PAB △为等边三角形，所以PO AB ⊥.设1AB =，因为ABC 为等腰三角形，且120ABC ∠=︒，所以111211()32AC =+-⨯⨯⨯-=，33AD =，在ABD △中，30BAC ∠=︒，由余弦定理得：133********BD =+-⨯⨯⨯=，所以DA DB =，故⊥DO AB .因为=PODO O ，,PO DO ⊂平面PDO ，所以AB ⊥平面PDO ，从而AB PD ⊥.(2)在PA 上取点E ，使13AE AP =，连接ED ，则//ED PC ，所以直线PC 与平面PAB 所成角等于直线ED 与平面PAB 所成角，由（1）AB ⊥平面PDO ，得平面PDO ⊥平面PAB ，过D 作DF PO ⊥于F ，则DF ⊥平面PAB ，连接EF ，则DEF ∠为直线ED 与平面PAB 所成的角.又由（1）知二面角P AB D --的平面角为120POD ∠=︒，所以60DOF ∠=︒，设1AB =，则33AD =，13AE =，1326OD AD ==，32PO =，所以在POD 中，余弦定理得:33331392()4362626PD =+-⨯⨯⨯-=，在PAD △中求得，2223cos 28PA AD PD PAD PA AD +-∠==⋅，在ADE 中，余弦定理得：3131313+2993386DE =-⨯⨯⨯=，又1sin 4DF DO DOF =∠=.所以13134sin 26136DF DEF DE ∠===.即直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值为31326.16．（1）证明见解析（2）①2②60︒【解析】【分析】（1）根据题意，得到PA BC ⊥和AC BC ⊥，证得BC ⊥平面PAC ，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面PAC ⊥平面PBC .（2）①取PC 的中点D ，连接AD ，DM ，得出DM 是斜线AM 在平面PBC 上的射影，得到AMD ∠是AM 与平面PBC 所成角，再由tan AD AMD DM∠=，即可求解,②取AB 中点F ,过F 作EF PB ⊥于E ，连接，可证明CEF ∠是二面角C PB A --的平面角，解直角三角形求其大小即可.【详解】（1）由题意，因为PA ⊥面ABC ，BC ⊂面ABC ，PA BC ∴⊥，又90ACB ∠=，即AC BC ⊥，PA AC A =Q I ，BC ∴⊥平面PAC ，BC ⊂平面PBC ，∴平面PAC ⊥平面PBC .（2）①取PC 的中点D ，连接AD ，DM.,AC PA AD PC =∴⊥.由（1）知，BC ⊥平面PAC ，又AD ⊂平面PAC ，BC AD ∴⊥.而PC BC C ⋂=.AD ∴⊥平面PBC ，所以DM 是斜线AM 在平面PBC 上的射影，所以AMD ∠是AM 与平面PBC 所成角，且AD DM ⊥，设2AC BC PA a ===，则由M 是PB 中点得12DM BC a ==，2AD a =，所以tan 2AD AMD DM ∠==，即AM 与平面PBC 所成角的正切值为2.②取AB 中点F ,过F 作EF PB ⊥于E ，连接CE ，由AC BC =可得CF AB ⊥，又PA ⊥面ABC ，PA CF ∴⊥,,,PA CF CF AB PAAB A ⊥⊥=,CF ∴⊥平面PAB ,∴EF 是CE 在平面PAB 上的射影，CE PB ∴⊥,CEF ∴∠是二面角C PB A --的平面角，在RtPBC 中，由PC BC CE PB ⋅=⋅可得22226323PC BC a a CE a PB a⋅⨯===又122222CF AB a a ==⨯=,所以在直角CEF △中23sin 2263CF a CEF CE a ∠===，故60CEF ∠=︒.17．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）45︒．【解析】【分析】（1）连接AC ，可得在CPA 中//EF PA ，由线线平行即可得到线面平行.（2）先由侧面PAD ⊥底面ABCD 得到CD ⊥平面PAD 进而得到,CD PA ⊥，再由三角形三边关系得到,PA PD ⊥即可得到线面垂直，再利用面面垂直的判定定理得证面面垂直.（3）由（1）中结论可将直线EF 与平面ABCD 所成角转化为直线PA 与平面ABCD 所成角PAD ∠,即可直接在PAD △中求解.【详解】（1）因为四边形ABCD 为正方形，连接AC ，则,AC BD F F ⋂=为AC 中点，E 为PC 中点，所以在CPA 中//EF PA ，且PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以//EF 平面PAD ．（2）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，且四边形ABCD 为正方形，所以,CD AD CD ⊥⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ，所以CD PA ⊥，又22PA PD AD ==，所以PAD △是等腰直角三角形，且90APD ∠=︒，即,PA PD CD PD D ⊥⋂=，且,CD PD ⊂平面PDC ，所以PA ⊥平面PDC ，又PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PDC ．（3）因为//EF PA ，所以直线EF 与平面ABCD 所成角的大小等于直线PA 与平面ABCD 所成角的大小，因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，所以PAD ∠就是直线PA 与平面ABCD 所成角，在APD △中，22PA PD AD ==，所以45PAD ∠=︒，所以直线EF 与平面ABCD 所成角的大小为45︒．18．（1）证明见解析；（2）41919.【解析】【分析】(1)利用线面垂直的性质可得PA BC ⊥，结合AB BC ⊥可得BC ⊥平面PAB ，根据面面垂直的判定定理即可证明；(2)由题意可得3BE =，过点E 作//EG PA 交AB 于点G (如图)，得出2EG =，进而ABC S 和AEC S ，结合等体积法即可求出点B 到平面AEC 的距离，从而得出结果.【详解】（1）证明：因为PA 垂直于O 所在的平面，即PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，又AC 为O 的直径，所以AB BC ⊥，因为PA AB A =，所以BC ⊥平面PAB ，又AE ⊂平面PAB ，所以BC AE ⊥，因为AE PB ⊥，BC PB B =，所以AE ⊥平面PBC ，又AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PBC .（2）解：因为3AB =，32PA =，所以2233PB AB PA =+=，又AE PB ⊥，所以6PA AB AE PB⋅==，由2AB BE PB =⋅，可得3BE =，如图，过点E 作//EG PA 交AB 于点G ，则EG BE PA PB=，可得2EG =，又4BC =，所以2219EC BC BE =+=，所以162ABC S AB BC =⋅=△，111422AEC S AE EC =⋅=△，设点B 到平面AEC 的距离为h ，由E ABC B AEC V V --=，可得1133ABC AEC S EG S h ⋅=⋅△△，解得45719h =，所以当点F 移动到C 点时，PB 与平面AEF 所成角的正弦值为41919h BE =.19．（1）证明见解析；（2）3π.【解析】【分析】（1）取AC 的中点为O ，连接BO ，PO ，在PAC 中，由PA ＝PC ，得到PO ⊥AC ，在BAC 中，由BA ＝BC ，得到BO ⊥AC ，再利用线面垂直的判定定理证明；（2）易知PO 2+BO 2＝PB 2，得到PO ⊥BO ，再由BO ⊥AC ，得到B O ⊥平面ABC ，进而得到OPB ∠为PB 与平面PAC 所成的角求解．【详解】（1）如图所示：取AC 的中点为O ，连接BO ，PO ．在PAC 中，∵PA ＝PC ，O 为AC 的中点，∴PO ⊥AC ，在BAC 中，∵BA ＝BC ，O 为AC 的中点，∴BO ⊥AC ，∵OP ∩OB ＝O ，OP ，OB ⊂平面OPB ，∴AC ⊥平面OPB ，∵PB ⊂平面POB ，∴AC ⊥BP（2）在直角三角形ABC 中，由AC ＝2，O 为AC 的中点，得BO ＝1.在等腰三角形APC 中，由∠APC ＝120°，得PO ＝33，又∵PB ＝233，∴PO 2+BO 2＝PB 2，即PO ⊥BO ，又BO ⊥AC ，AC ∩OP ＝O ，∴BO ⊥平面ABC ，即OPB ∠为PB 与平面PAC 所成的角．在Rt POB 中，1cos 2OP OPB PB ==∠，因为0,2OPB π⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，所以3OPB π∠=，所以PB 与平面PAC 所成的角大小为3π.20．（1）证明见解析（2）60°【解析】【分析】（1）推导出BE ⊥CD ，AB ⊥CD ，从而CD ⊥平面ABE ，由此能证明BC ⊥CD ．（2）由BE ⊥平面ACD ，∠BCE 即为BC 与平面ACD 所成角，得到∠BCE ＝∠BCA ＝45°，BC ＝AB ＝1，过点B 作BF ⊥AD ，交AD 于F ，连结EF ，推导出AD ⊥平面BEF ，AD ⊥EF ，从而∠BFE 是二面角B ﹣AD ﹣C 的平面角，由此能求出二面角B ﹣AD ﹣C 的大小．【详解】（1）证明：∵BE ⊥平面ACD ，CD ⊂平面ACD ，∴BE ⊥CD ，∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD ，∵AB ∩BE ＝B ，∴CD ⊥平面ABE ，∵BC ⊂平面ABE ，∴BC ⊥CD ．（2）∵BE ⊥平面ACD ，∠BCE 即为BC 与平面ACD 所成角，∵BC ＝CD ＝1，BC 与平面ACD 所成的角为45°，∴∠BCE ＝∠BCA ＝45°，BC ＝AB ＝1，过点B 作BF ⊥AD ，交AD 于F ，连结EF ，∵BF ⊥AD ，BE ⊥AD ，BE ∩BF ＝B ，∴AD ⊥平面BEF ，∵EF ⊂平面BEF ，∴AD ⊥EF ，∴∠BFE 是二面角B ﹣AD ﹣C 的平面角，∵BE ＝22，BF ＝AB BD AD ⋅＝63，∴sin ∠BFE ＝BE BF ＝32，由题图知，二面角B ﹣AD ﹣C 的平面角为锐角，∴二面角B ﹣AD ﹣C 的大小为60°．21．(1)证明见解析．(2)22．【解析】【分析】（1）连接1BC 交1B C 于点M ，连接MD ，由中位线定理得1//DM AC ，从而可得线面平行；（2）证明CD ⊥平面11ABB A ，得1B DB ∠是二面角1B CD B --的平面角，然后在三角形中求得其余弦值．(1)连接1BC 交1B C 于点M ，连接MD ，如图，则M 是1BC 中点，又D 是AB 中点，所以1//DM AC ，MD ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，所以1//AC 平面1CDB ；(2)1AA ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以1AA CD ⊥，又AC BC =，D 是AB 中点，所以CD AB ⊥，1AB AA A ⋂=，1,AB AA ⊂平面11ABB A ，所以CD ⊥平面11ABB A ，1B D ⊂平面11ABB A ，所以1CD B D ⊥，所以1B DB ∠是二面角1B CD B --的平面角，由AC BC ⊥，11AA =，2AC BC ==，得2AB =，1BD =，11BB =，所以12B D =，12cos 2B DB ∠=．22．(1)证明见解析(2)66【解析】【分析】（1）证明出AB ⊥平面PBC ，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）设2PA AB ==，取AB 的中点G ，连接EG ，过点G 在平面ABCD 内作GM AF ⊥，垂足为点M ，连接EM ，分析可知二面角E AF B --的平面角为EMG ∠，计算出EMG 三边边长，由此可求得EMG ∠的余弦值，即可得解.(1)证明：PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，BC PA ∴⊥，四边形ABCD 为正方形，则BC AB ⊥，PAAB A =，BC ∴⊥平面PAB ，AE ⊂平面PAB ，AE BC ∴⊥，PA AB =，E 为PB 的中点，则AE PB ⊥，PBBC B =，AE ∴⊥平面PBC ，AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PBC .(2)解：设2PA AB ==，取AB 的中点G ，连接EG ，过点G 在平面ABCD 内作GM AF ⊥，垂足为点M ，连接EM ，E 、G 分别为PB 、AB 的中点，则//EG PA 且112EG PA ==，PA ⊥平面ABCD ，EG ∴⊥平面ABCD ，AF ⊂平面ABCD ，EG AF ∴⊥，GM AF ⊥，EG GM G =，AF ∴⊥平面EMG ，EM ⊂平面EMG ，EM AF ∴⊥，所以，二面角E AF B --的平面角为EMG ∠，在Rt ABF 中，2AB =，1BF =，225AF AB BF =+=，所以，5sin 5BF BAF AF ∠==，则5sin 5MG AG BAF =∠=，所以，22305EM EG MG =+=，故6cos 6MG EMG EM ∠==，因此，二面角E AF B --的余弦值为66.23．(1)证明见解析(2)33【解析】【分析】（1）证明AB ⊥平面ACD ，得到AB CD ⊥，再证明CD ⊥平面ABD ，得到证明.（2）,F G 分别为,BD AD 的中点，证明EGF ∠为二面角B AD E --的平面角，设FG a =，根据等面积法得到22a =，计算体积得到答案.(1)AB AC ⊥，AB AD ⊥，ACAD A =，故AB ⊥平面ACD ，CD ⊂平面ACD ，故AB CD ⊥，BD DC ⊥，ABBD B =，故CD ⊥平面ABD ，CD ⊂平面BCD ，故平面ABD ⊥平面BCD .(2)如图所示：,F G 分别为,BD AD 的中点，连接,,EF FG GE ，,E F 分别为,BC BD 中点，故EF CD ∥，CD ⊥平面ABD ，故EF ⊥平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，故AD EF ⊥.,G F 分别为,AD BD 中点，故FG AB P ，AB AD ⊥，故FG AD ⊥，EF FG E ⋂=，故AD ⊥平面EFG ，故EGF ∠为二面角B AD E --的平面角，即60EGF ∠=︒，设FG a =，则2AB a =，3EF a =，2GE a =，23CD a =，241BD a =+，2161BC a =+，根据BCD △的等面积法：2223412161a a a a ⨯+=⨯+，解得22a =.11132163263A BCD V AB AD CD -⎛⎫=⨯⨯⋅⋅=⨯⨯⨯=⎪⎝⎭.24．(1)证明见解析(2)155【解析】【分析】(1)取AD 中点M ，连QM ，OM ，证得PO //QM 即可得解.(2)在正四棱锥P ABCD -中作出二面角O AP D --的平面角，借助直角三角形计算即可.(1)取AD 中点M ，连QM ，OM ，如图，因O 是正四棱锥P ABCD -底面中心，即O 是BD 中点，则OM //AB //PQ ，112OM AB PQ ===，于是得PQMO 是平行四边形，PO //QM ，而PO ⊄平面ADQ ，DM ⊂平面ADQ ，所以PO //平面ADQ .(2)在正四棱锥P ABCD -中，DO ⊥AO ，PO ⊥平面ABCD ，DO ⊂平面ABCD ，则PO ⊥DO ，而PO AO O ⋂=，,PO AO ⊂平面POA ，因此，DO ⊥平面POA ，而PA ⊂平面POA ，则DO ⊥PA ，过O 作OE ⊥PA 于E ，连DE ，如图，DO OE O ⋂=，,DO OE ⊂平面DOE ，则有PA ⊥平面DOE ，即PA ⊥DE ，从而得DEO ∠是二面角O AP D --的平面角，因PQ ⊥平面ADQ ，则PQ ⊥AQ ，226AP PQ AQ =+=，而122AO AC ==，则PO =2，233PO AO OE PA ⋅==，Rt DOE 中，22302,3DO DE DO OE ==+=，于是得15sin 5DO DEO DE ∠==，所以二面角O AP D --的正弦值155.25．（1）证明见解析；（2）63.【解析】【分析】(1)连接BD 、OF ，BD 交AC 于点O ，可得OF BE ∥，结合线面平行的判定定理即可；(2)过A 作AH PC ⊥于H ，由题意和面面垂直的性质可得AH ⊥平面PCD ，进而有AH PD ⊥，过A 作AM PD ⊥可得PD ⊥平面AHM ，进而有PD HM ⊥，可得AMH ∠为所求二面角的平面角，结合题意解三角形即可.【详解】(1)连接BD ，交AC 于点O ，由底面ABCD 是平行四边形得：点O 是线段BD 的中点，在BDE 中，F 为线段DE 的中点，点O 是线段BD 的中点OF BE ∴∥，又OF ⊂平面ACF ，BE ⊄平面ACF//BE ∴平面ACF（2）PA ⊥平面ABCD ，∴PC 与平面ABCD 所成角即为4PCA π∠=由PA ⊥平面ABCD 可知：PAC △､PAD △都为直角三角形1AC ∴=，2PD =在平面PAC 中，过点A 作AH PC ⊥，垂足为H ，且22AH =平面PAD 中，过点A 作AM PD ⊥，垂足为M ，连接HM ，且23AM =平面PAC ⊥平面PCD ､平面PAC平面PCD PC =､AH PC ⊥，AH ⊂平面PACAH ∴⊥平面PCD ，又PD ⊂平面PCD AH PD ∴⊥，AM PD ⊥，AM AH A ⋂=PD ∴⊥平面AHM ，HM ⊂平面AHM PD HM ∴⊥，AM PD⊥AMH ∴∠即为所求二面角的平面角在Rt AHM 中，90AHM ∠=︒，23AM =，22AH =12HM ∴=6sin 3AMH ∴∠=∴二面角A PD C --的正弦值63.26．（1）证明见解析；（2）3π.【解析】【分析】（1）要证线面平行，只要证平面外这条直线平行于平面内的一条直线即可得解；（2）先用几何法确定二面角的位置，在平面ABCD 内，作CM AD ⊥，垂足为M ，在平面PAD 内，作MN PD ⊥，垂足为N ，连结CN ，CNM ∠是二面角C PD A --的平面角，解三角形CNM 即可得解.【详解】（1）取CD 的中点G ，连接FG ，EG 在PCD 中，PF FC =，CG GD =所以FG PDP 因为PD ⊂平面PAD ，FG ⊂/平面PAD ，所以FG ∥平面PAD 因为BC AD ∥，所以四边形ABCD 是梯形，因为AE EB =，DG GC =，所以EGAD因为AD ⊂平面PAD ，EG ⊂/平面PAD ，所以EG ∥平面PAD 由于FGEG G =，FG ，EG ⊂平面EFG所以平面EFG ∥平面PAD 因为EF ⊂平面EFG 所以EF ∥平面PAD（2）在平面ABCD 内，作CM AD ⊥，垂足为M ，在平面PAD 内，作MN PD ⊥，垂足为N ，连结CN .在四边形ABCD 中，BA AD ⊥，CM AD ⊥，所以AB CM ∥因为PA AB ⊥，所以CM PA⊥因为CM AD ⊥，PA AD A ⋂=，PA ，AD ⊂平面PAD 所以CM ⊥平面PAD因为PD ⊂平面PAD ，所以PD CM⊥又PD MN ⊥，CM MN M ⋂=，CM ，MN ⊂平面CMN 所以PD ⊥平面CMN因为CN ⊂平面CMN ，所以PD CN ⊥CNM ∠是二面角C PD A --的平面角在等腰三角形PAD 中，BC AD ∥，AD AP ⊥，所以BC PA ⊥所以在四棱锥中，BC AB ⊥，BC PB ⊥所以AD PB ⊥，AD AB⊥因为PB AB B ⋂=，PB ，AB Ì平面PAB 所以AD ⊥平面PAB因为PA ⊂平面PAB ，所以PA AD⊥直角三角形PAB 中，1AB =，3PB =，所以22PA =直角三角形PAD 中，MN DM PA DP =，即12226MN =，所以33MN =又1CM AB ==所以tan 3CMCNM MN∠==由图可知二面角C PD A --是锐二面角所以3CNM π∠=，即二面角C PD A --的平面角是3π.27．（1）证明见解析；（2）①2；②2；③证明见解析.【解析】【分析】（1）证得AD ⊥平面PMB ，结合线面垂直的性质即可证出结论；（2）设底面边长为2a ，由题意可得234a a =-，解方程求出a 的值，进而可相应的边长，①由13P ABCD ABCD V PM S -=⨯⨯即可求出结果；②证得PNM ∠为二面角P AB C --的平面角，在Rt PMN 中，由tan PMPNM MN∠=可求出结果；③证得DH ⊥平面PBC ，结合面面垂直的判定定理可得平面PDC ⊥平面PBC ，进而可得结论.【详解】（1）取AD 的中点M ,连接,,PM BM BD ，因为底面ABCD 为菱形，且60BAD ∠=︒，所以ABD △为等边三角形，所以BM AD ⊥，又因为2PA PD ==，所以PM AD ⊥，且PM BM M ⋂=，则AD ⊥平面PMB ，又因为BP ⊂平面PMB ，因此AD BP ⊥,（2）平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =，且PM AD ⊥，所以PM ⊥平面ABCD ，设底面边长为2a ，则3BM a =，24PM a =-，因为直线PB 与平面ABCD 所成角为45︒时，即45PBM ∠=，所以=BM PM ，故234a a =-，解得1a =，①112323233P ABCD ABCD V PM S -=⨯⨯==⨯⨯⨯=;②过点M 作MN AB ⊥于N ，连接PN ，因为PM ⊥平面ABCD ，且AB Ì平面ABCD ，所以PM AB ⊥，又因为PM MN M ⋂=,故AB ⊥平面PMN ，又因为PN ⊂平面PMN ，所以AB PN ⊥，则PNM ∠为二面角P AB C --的平面角，因为1122AB MN AM BM ×=×，因此32MN =，在Rt PMN 中，3tan 232PMPNM MN ∠===，因此二面角P AB C --的正切值为2,③取,PC PB 的中点,G H ,连接,,GH DH MG ，所以//GH BC ，且12GH BC =，又因为//AD BC ，且12DM AD =，所以//DM GH 且DM GH =，所以四边形DMGH 为平行四边形，又因为AD ⊥平面PMB ，又因为MG ⊂平面PMB ，所以AD MG ⊥，所以四边形DMGH 为矩形，因此DH GH ⊥，又因为PD DC =，所以DH PC ⊥，且GHPC H =，所以DH ⊥平面PBC ，又因为DH ⊂平面DPC ，故平面PDC ⊥平面PBC ，所以二面角D PC B --是直二面角.28．（1）//PB l ，证明见解析；（2）33；（3）2.【解析】【分析】（1）根据线面平行的性质定理进行证明即可.（2）先找出二面角的平面角，然后进行求解即可，（3）根据线面角的定义进行求解即可，【详解】（1）证明：连结BD 交AC 交于G ，∵ABCD 是正方形，∴G 为BD 的中点，又∵E 是PD 的中点，∴//EG PB ，又∵PB ⊄平面ACE ，EG ⊂平面ACE ，∴//PB 平面ACE ，又PB ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面ACE l =，∴//PB l .。
人教版数学高二B版选修2-1学业测评 4 直线与平面的夹角, 二面角及其度量
学业分层测评(建议用时：45分钟)一、选择题1．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( )A ．120°B ．60°C ．30°D ．以上均错【解析】 设直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 120°|＝12. 又∵0<θ≤90°，∴θ＝30°. 【答案】 C2．若直线l 与平面α所成角为π3，直线a 在平面α内，且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2【解析】 由最小角定理知直线l 与直线a 所成的最小角为π3，又l ，a 为异面直线，则所成角的最大值为π2.【答案】 D3．正方形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，若PA ＝AB ，则平面PAB 与平面PCD 的夹角为( )【导学号：15460079】A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，设PA ＝AB ＝1.则A (0,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)．于是AD→＝(0,1,0)．取PD 中点为E ， 则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12， 易知AD →是平面PAB 的法向量，AE →是平面PCD 的法向量，∴cos<AD →，AE →>＝22，∴平面PAB 与平面PCD 的夹角为45°. 【答案】 B4．如图3-2-31，在空间直角坐标系Dxyz 中，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1为长方体，AA 1＝AB ＝2AD ，点E ，F 分别为C 1D 1，A 1B 的中点，则二面角B 1-A 1B -E 的余弦值为( )图3-2-31A ．－33B ．－32 C.33D ．32【解析】 设AD ＝1，则A 1(1,0,2)，B (1,2,0)，因为E ，F 分别为C 1D 1，A 1B的中点，所以E (0,1,2)，F (1,1,1)，所以A 1E →＝(－1,1,0)，A 1B →＝(0,2，－2)，设m ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的法向量，则⎩⎨⎧A1E →·m ＝0，A1B →·m ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，2y －2z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝z ，取x ＝1，则y ＝z ＝1，所以平面A 1BE 的一个法向量为m ＝(1,1,1)，又DA ⊥平面A 1B 1B ，所以DA →＝(1,0,0)是平面A 1B 1B 的一个法向量，所以cos 〈m ，DA →〉＝m ·DA →|m ||DA →|＝13＝33，又二面角B 1-A 1B -E 为锐二面角，所以二面角B 1-A 1B -E 的余弦值为33，故选C.【答案】 C5．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，C 1D 1的中点，则A 1B 1与平面A 1EF 夹角的正弦值为( )A.62 B ．63 C.64D ． 2【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1， 则A 1(1,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，B 1(1,1,1)． A 1B 1→＝(0,1,0)，设平面A 1EF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·A 1E →＝0，n ·A 1F →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12y －z ＝0，－x ＋y2＝0.令y ＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，z ＝1，∴n ＝(1,2,1)，cos 〈n ，A 1B 1→〉＝26＝63， 即线面角的正弦值为63. 【答案】 B 二、填空题6．等腰Rt △ABC 的斜边AB 在平面α内，若AC 与α成30°角，则斜边上的中线CM 与平面α所成的角为________．【解析】 作CO ⊥α，O 为垂足，连接AO ，MO ，则∠CAO ＝30°，∠CMO 为CM 与α所成的角．在Rt △AOC 中，设CO ＝1，则AC ＝2.在等腰Rt △ABC 中，由AC ＝2得CM ＝ 2.在Rt △CMO 中，sin ∠CMO ＝CO CM ＝12＝22，所以∠CMO ＝45°. 【答案】 45°7．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (1，－2,0)，B (2,1，6)，则向量AB →与平面xOz 的法向量的夹角的正弦值为________．【解析】 设平面xOz 的法向量为n ＝(0，t,0)(t ≠0)，AB →＝(1,3, 6)，所以cos 〈n ，AB →〉＝n ·AB →|n |·|AB→|＝3t 4|t |，因为〈n ，AB→〉∈，所以sin 〈n ，AB →〉＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 4|t |2＝74.【答案】 748．已知点E ，F 分别在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的正切值等于________．【解析】 如图，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，平面ABC 的法向量为n 1＝(0,0,1)，平面AEF 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )．所以A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，13，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，23，所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，13，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，13， 则⎩⎨⎧n 2·AE →＝0，n 2·EF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋13z ＝0，－x ＋13z ＝0.取x ＝1，则y ＝－1，z ＝3.故n 2＝(1，－1,3)． 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝31111.所以平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的平面角α满足cos α＝31111，sin α＝2211，所以tan α＝23.【答案】 23三、解答题9.如图3-2-32所示，在四面体ABCD 中，O ，E 分别是BD ，BC 的中点，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝ 2.图3-2-32(1)求证：AO ⊥平面BCD ；(2)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值． 【解】 (1)证明：连接OC ， 由题意知BO ＝DO ，AB ＝AD ，∴AO ⊥BD .又BO ＝DO ，BC ＝CD ，∴CO ⊥BD .在△AOC 中，由已知可得AO ＝1，CO ＝3， 又AC ＝2，∴AO 2＋CO 2＝AC 2， ∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC . ∵BD ∩OC ＝O ，∴AO ⊥平面BCD . (2)以O 为坐标原点建立空间直角坐标系， 则B (1,0,0)，D (－1,0,0)，C (0, 3，0)，A (0,0,1)， E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0， ∴BA→＝(－1,0,1)，CD →＝(－1，－3，0)， ∴cos 〈BA →，CD →〉＝BA →·CD →|BA →|·|CD→|＝24.∴异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为24.10．四棱锥P -ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上． (1)求证：平面AEC ⊥平面PDB ；(2)当PD ＝2AB 且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小． 【解】 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz ，设AB ＝a ，PD ＝h ，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，D (0,0,0)，P (0,0，h )，(1)∵AC→＝(－a ，a,0)，DP →＝(0,0，h )，DB →＝(a ，a,0)，∴AC →·DP →＝0，AC →·DB→＝0， ∴AC ⊥DP ，AC ⊥DB ，又DP ∩DB ＝D ， ∴AC ⊥平面PDB ，又AC ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面PDB .(2)当PD ＝2AB 且E 为PB 的中点时，P (0,0，2a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，12a ，22a ，设AC ∩BD ＝O ，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0，连接OE ，由(1)知AC ⊥平面PDB 于O ，∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所成的角，∵EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，－12a ，－22a ，EO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，－22a ， ∴cos ∠AEO ＝EA →·EO →|EA →|·|EO→|＝22，∴∠AEO ＝45°，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45°.1．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，E 是侧棱BB 1的中点，则直线AE 与平面A 1ED 1所成角的大小为( )A ．60°B ．90°C ．45°D ．以上都不对【解析】 以点D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图．由题意知，A 1(1,0,2)，E (1,1,1)，D 1(0,0,2)，A (1,0,0)，所以A 1E →＝(0,1，－1)，D 1E →＝(1,1，－1)，EA →＝(0，－1，－1)．设平面A 1ED 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·A 1E →＝0，n ·D 1E →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，x ＋y －z ＝0.令z ＝1，得y ＝1，x ＝0，所以n ＝(0,1,1)， cos 〈n ，EA →〉＝n ·EA →|n ||EA →|＝－22·2＝－1.所以〈n ，EA →〉＝180°.所以直线AE 与平面A 1ED 1所成的角为90°. 【答案】 B2.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )图3-2-33A.55 B ．53 C.255D ．35【解析】 不妨设CA ＝CC 1＝2CB ＝2， 则AB 1→＝(－2,2,1)，C 1B →＝(0，－2,1)， 所以cos 〈AB 1→，C 1B →〉＝AB 1→·C 1B →|AB 1→||C 1B →|＝(－2)×0＋2×(－2)＋1×19×5＝－55.因为直线BC 1与直线AB 1的夹角为锐角，所以所求角的余弦值为55. 【答案】 A3．在空间中，已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z 轴上一点(0,0，a )(a ＞0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，则a ＝________.【导学号：15460080】【解析】 平面xOy 的法向量为n ＝(0,0,1)，设平面α的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋az ＝0，即3x ＝4y ＝az ，取z ＝1，则u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 4，1.而cos 〈n ，u 〉＝1a 29＋a 216＋1＝22，又∵a ＞0，∴a ＝125. 【答案】 1254.如图3-2-34，在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．图3-2-34(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值； (2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值． 【解】(1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，所以A 1B →＝(2,0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4).因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为AD →＝(1,1,0)，AC 1→＝(0,2,4)，所以n 1·AD →＝0，n 1·AC 1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，所以n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量．取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝29×1＝23， 得sin θ＝53.因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53.。
高二数学二面角练习题
高二数学二面角练习题一、选择题1. 已知线段a与线段b相交，如图所示，则∠AOB为（）A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 平角2. 已知线段a与线段b垂直，如图所示，则∠AOB为（）A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 平角3. 已知直线l与平面P相交，且∠AOC=90°，如图所示，则∠BOC 为（）A. 钝角B. 直角C. 锐角D. 平角4. 已知∠AOC=63°，∠BOD=127°，则∠BOC为（）A. 54°B. 63°C. 90°D. 117°二、填空题1. 在平面直角坐标系中，点A(-2, 3)与点B(4, -1)确定的直线l的斜率为______。
2. 已知点A(3, 5)，则点A关于x轴的对称点为（）。
3. 已知线段AB的长度为8，线段CD的长度为4，且AB与CD相交于点O，若∠AOC=70°，则∠DOB为______。
三、解答题1. 如图所示，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，已知∠AOB=115°，求∠COD的度数。
2. 已知A、B、C三个点在平面直角坐标系中的坐标分别为A(2, 4)，B(-1, 1)，C(-3, -2)，求∠ABC的度数。
3. 在平面直角坐标系中，点A(5, 3)与点B(-3, 7)确定的直线l与x轴交于点P，求∠APB的度数。
四、综合题如图所示，点O为正方形ABCD中心，点M为边AD上的动点，且∠MOD=60°，连接OM并延长交BC于点N。
1. 证明：三角形OND是等边三角形。
2. 若边AD的长度为2，求三角形MNO的周长。
示意图：```B ________ C| || O || |A ________ D```答案：一、选择题1. C. 钝角2. B. 直角3. B. 直角4. D. 平角二、填空题1. 斜率为-2/3。
2. （3, -5）。
3. 40°。
二面角专项训练(人教A版)(含答案)
二面角专项训练（人教A版）一、单选题(共7道，每道10分)1.等于90°的二面角内有一点P，过P有PA⊥α于点A，PB⊥β于点B，如果PA=PB=a，则P 到交线的距离为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：与二面角有关的点、线、面间的距离计算2.如图，在三棱锥F-ABC中，FC⊥底面ABC，CA=CB=CF，∠ACB=120°，则二面角F-AB-C的正切值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法3.如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是腰长为的等腰三角形，则二面角V-AB-C的平面角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法4.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥AB，PA=AB=2，AC=1，则二面角A-PC-B的正弦值为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法5.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1，∠ACB=90°，D是棱AA1的中点，则二面角B-DC1-C的余弦值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法6.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD，则二面角A1-BD-C1的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法7.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1⊥A1C，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点，则二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值为( )A. B. C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法。
二面角练习题
二面角练习题二面角是几何学中一个重要的概念，它与我们日常生活息息相关。
在几何学中，二面角是指两个平面的交线所形成的角度。
它不仅仅是一个数学概念，更是我们在空间中观察和测量角度的基本工具。
本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和应用二面角的概念。
练习题一：已知一平面上有一条直线AB，另一平面上有一条直线CD，两平面相交于O点，求∠AOC和∠BOD的关系。
解析：根据二面角的定义，我们可以知道∠AOC和∠BOD的和为180度。
这是因为当两个平面相交时，它们所形成的二面角的度数之和为180度。
所以，∠AOC和∠BOD是互补角。
练习题二：在空间直角坐标系中，已知直线l1的方程为x+y+z=1，直线l2的方程为x-y+z=3，求直线l1和直线l2的二面角。
解析：为了求解这个问题，我们需要先找到直线l1和直线l2的方向向量。
直线l1的方向向量可以通过求解方程组x+y+z=1得到，即(1,1,1)。
同样地，直线l2的方向向量可以通过求解方程组x-y+z=3得到，即(1,-1,1)。
然后，我们可以通过计算这两个向量的夹角来求解二面角。
使用向量的点积公式可以得到cosθ = (1,1,1)·(1,-1,1) / |(1,1,1)||(1,-1,1)| = 1/√3。
因此，θ = arccos(1/√3)。
这就是直线l1和直线l2的二面角。
练习题三：在平面直角坐标系中，已知直线l的方程为2x+y+z=4，平面P的方程为x-2y+3z=6，求直线l和平面P的二面角。
解析：为了求解这个问题，我们首先需要找到直线l的方向向量。
由于直线l的方程为2x+y+z=4，我们可以得到方向向量为(2,1,1)。
然后，我们可以通过计算这个方向向量与平面P的法向量的夹角来求解二面角。
平面P的法向量可以通过平面的方程x-2y+3z=6得到，即(1,-2,3)。
使用向量的点积公式可以得到cosθ = (2,1,1)·(1,-2,3) / |(2,1,1)||(1,-2,3)| = 9/√30。
线面角、二面角问题 专项练习——2023届高三数学一轮复习
空间向量与立体几何——线面角、二面角问题1. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120ABC ︒∠=，1AB =，4BC =，15PA =，M ，N 分别为BC ，PC 的中点，PD DC ⊥，.PM MD ⊥()Ⅰ证明：AB ⊥平面PDM ；()Ⅱ求直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值．2. 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，PA PD =，//BC AD ，DC DA ⊥，1BC CD ==，2AD =，E ，F 分别为AD ，PC 的中点，.PE CD ⊥(1)证明：PE BD ⊥；(2)若PC 与AB 所成角为45︒，求二面角F BE C --的余弦值.2AD PA =，PA AB BC ==，E 为PD 中点．(1)证明：//CE 平面PAB ；(2)求平面PAB 与平面PCD 的夹角的余弦值．4. 如图，已知多面体111ABC A B C -，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ︒∠=，14A A =，11C C =，1 2.AB BC B B ===(1)证明：1AB ⊥平面111A B C ；(2)求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值．E 为BP 的中点，2AB =， 1.PA AD CD ===(1)证明：//EC 平面PAD ；(2)求平面EAC 与平面PAC 夹角的正弦值．6. 如图，四边形ABCD 是矩形，//AE DF ，90,22.EAB ADF AB AE AD DF ∠=∠=︒===(1)证明：DF ⊥平面.ABCD(2)求直线CE 与平面BEF 所成角的正弦值.7. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点.(1)求证：//MN 平面11BCC B ；(2)若1AB BB ⊥，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值.8. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．(1)求证：1//BC 平面1AD E ；(2)求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值；(3)若正方体的棱长为2，求点C 到平面1AD E 的距离．。
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高中数学-直线与平面的夹角、二面角及其度量测试题自我小测1．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，则直线A 1B 与平面BDE 所成的角为( )A.π6 B.π3 C.π2 D.5π62．已知ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，将△DAE 和△CBE 分别沿DE ，CE 折起，使AE 与BE 重合，A ，B 两点重合后记为点P ，那么二面角P CD E 的大小为( )A ．30° B．45° C．60° D ．90°3．在三棱锥P ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12PA ，点O ，D 分别是AC ，PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A.216 B.833C.21060 D.210304．AB ⊥平面α于B ，BC 为AC 在α内的射影，CD 在α内，若∠ACD ＝60°，∠BCD ＝45°，则AC 和平面α所成的角为( )A ．90°B ．60° C．45° D．30°5．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150° B．45° C．60° D．120°6．AB ∥α，AA ′⊥α， A ′是垂足，BB ′是α的一条斜线段，B ′为斜足，若AA ′＝9，BB ′＝63，则直线BB ′与平面α所成角的大小为__________．7．如图所示，将边长为a 的正三角形ABC 沿BC 边上的高线AD 将△ABC 折起，若折起后B ，C ′间距离为a2，则二面角B AD C ′的大小为__________．8．等腰直角△ABC 的斜边AB 在平面α内，若AC 与α成30°角，则斜边上的中线CM 与平面α所成的角为__________．9．如图所示，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求SC 与平面ABCD 所成的角．10．如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD .(1)证明：PA ⊥BD ；(2)设PD ＝AD ，求二面角A PB C 的余弦值．11．正方体ABCD A ′B ′C ′D ′的棱长等于2，E ，F 分别是B ′D ′，AC 的中点．求：(1)直线AB ′和平面ACD ′所成角的正弦值； (2)二面角B ′CD ′A 的余弦值．参考答案1．解析：以D 为原点建立空间直角坐标系，如图，可得平面BDE 的法向量n ＝(1，－1,2)，而BA 1→＝(0，－1,1)，∴cos 〈BA 1→，n 〉＝1＋223＝32，∴〈BA 1→，n 〉＝30°.∴直线A 1B 与平面BDE 成60°角． 答案：B 2．答案：A3．解析：以O 为原点，射线OA ，OB ，OP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，设AB ＝a ，则OP ＝72a ，OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－24a ，0，144a ，可求得平面PBC 的法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，17， ∴cos 〈OD →，n 〉＝OD →·n |OD →||n |＝21030，设OD →与平面PBC 所成的角为θ， 则sin θ＝21030，故选D. 答案：D4．解析：设AC 和平面α所成的角为θ，则cos 60°＝cos θcos 45°，故cos θ＝22，所以θ＝45°.答案：C5．解析：由条件知，CA→·AB→＝0，AB→·BD→＝0，CD→＝CA→＋AB→＋BD→.∴|CD→|2＝|CA→|2＋|AB→|2＋|BD→|2＋2CA→·AB→＋2AB→·BD→＋2CA→·BD→＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈CA→，BD→〉＝(217)2，∴cos〈CA→，BD→〉＝－12，即〈CA→，BD→〉＝120°，∴二面角的大小为60°，故选C.答案：C6．答案：60°7．答案：60°8．答案：45°9．解：AS→是平面ABCD的法向量，设CS→与AS→的夹角为φ.∵CS→＝CB→＋BA→＋AS→，∴AS→·CS→＝AS→·(CB→＋BA→＋AS→)＝AS→·AS→＝1.|AS→|＝1，|CS→|＝CB→＋BA→＋AS→2＝|CB→|2＋|BA→|2＋|AS→|2＝3，∴cos φ＝AS→·CS→|AS→|·|CS→|＝33.∴φ＝arccos33.从而CS与平面ABCD所成的角为π2－arccos33.10．(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝3AD. 从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD ， 所以BD ⊥平面PAD . 故PA ⊥BD .(2)解：如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz .则A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)，P (0,0,1)．AB →＝(－1，3，0)，PB →＝(0，3，－1)，BC →＝(－1,0,0)．设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，3y －z ＝0，因此可取n ＝(3，1，3)．设平面PBC 的法向量为m ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·PB →＝0，m ·BC →＝0.可取m ＝(0，－1，－3)，cos 〈m ，n 〉＝－427＝－277.故二面角A PB C 的余弦值为－277.11．解：如图建立空间直角坐标系Dxyz ，∵正方体的棱长等于2，E ，F 分别是B ′D ′，AC 的中点，∴A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D ′(0,0,2)，B ′(2,2,2)，E (1,1,2)，F (1,1,0)． (1)AD ′→＝(－2,0,2)，AC →＝(－2,2,0)，AB ′→＝(0,2,2)， 设n ＝(x ′，y ′，z ′)是平面ACD ′的一个法向量，则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD ′→＝0，n ·AC →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′，y ′，z ′·－2，0，2＝0，x ′，y ′，z ′·－2，2，0＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧z ′＝x ′，y ′＝x ′，取x ′＝1，得平面ACD ′的一个法向量n ＝(1,1,1)， 设直线AB ′和平面ACD ′所成角的大小为θ，则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·AB ′→|n |·|AB ′→|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1，1，1·0，2，23×8＝63， ∴直线AB ′和平面ACD ′所成角的正弦值是63. (2)D ′B ′→＝(2,2,0)，D ′C →＝(0,2，－2)， 设m ＝(x 0，y 0，z 0)是平面B ′CD ′的一个法向量， 则由⎩⎪⎨⎪⎧m ·D ′B ′→＝0，m ·D ′C →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－y 0，z 0＝y 0，取y 0＝1得平面B ′CD ′的一个法向量m ＝(－1,1,1)，由cos θ＝n·m |n|·|m|＝1，1，1·－1，1，13×3＝13，故二面角B ′CD ′A 的余弦值是13.。