应力张量应变张量与应力应变关系
2 第二章 应力和应变
第二章应力和应变地震波传播的任何定量的描述，都要求其能表述固体介质的内力和变形的特征。
现在我们对后面几章所需要的应力、应变理论的有关部分作简要的复习。
虽然我们把这章作为独立的分析，但不对许多方程进行推导，读者想进一步了解其细节，可查阅连续介质力学的教科书。
三维介质的变形称为应变，介质不同部分之间的内力称为应力。
应力和应变不是独立存在的，它们通过描述弹性固体性质的本构关系相联系。
2.1 应力的表述——应力张量2.1.1应力表示考虑一个在静力平衡状态下，均匀弹性介质里一个任意取向的无限小平面。
平面的取向可以用这个平面的单位法向矢量nˆ来规定。
在nˆ方向的一侧施加在此面单位面积上的力叫做牵引力，用矢量),,()ˆ(zyxtttnt=表示。
在nˆ相反方向的另一侧施加在此面上的力与其大小相等，方向相反，即)ˆ()ˆ(ntnt-=-。
t在垂直于平面方向的分量叫做法应力，平行于平面方向的分量叫做剪应力。
在流体的情况下，没有剪应力，nptˆ-=，这里P 是压强。
上面的表示这是一个平面上的应力状况，为表示固体内部任意平面上的应力状态，应力张量τ在笛卡尔坐标系（图 2.1）里可以用作用于xyxzyz,,平面的牵引力来定义(：ˆˆˆ()()()ˆˆˆ()()()ˆˆˆ()()()xx xy xzx x xy y y yx yy yzz z z zx zy zzt x t y t zt x t y t zt x t y t zττττττττττ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2.1）在右式的表示中，第一个下角标表示面的法线方向，第二个下角标表示该面上应力在该坐标轴上的投影。
图2.1 在笛卡尔坐标系里描述作用在无限小立方体面上的力的牵引力矢量)ˆ(),ˆ(),ˆ(z t y t xt 。
应力分量的符号规定如下：对于正应力，我们规定拉应力为正，压应力为负。
对于剪应力，如果截面的外法线方向与坐标轴一致，则沿着坐标轴的正方向为正，反之为负；如果截面方向与外法线方向相反，则沿着坐标轴反方向为正。
流体力学中应力应变关系
流体力学中应力应变关系
流体力学是研究流体运动和变形的学科，应力和应变是流体力学中关键的概念。
应力是流体内部各点受到的力，应变是流体形变程度的度量。
在流体力学中，应力和应变之间存在一定的关系，通常用应力张量和应变张量来描述。
应力张量包含了流体各点在各个方向上受到的应力大小和方向信息，应变张量则包含了流体在各个方向上的形变程度。
在牛顿流体中，应力张量和应变张量之间的关系是线性的，即应力与应变成比例关系，比例系数被称为粘度。
而在非牛顿流体中，应力与应变的关系则更加复杂。
流体力学中的应力应变关系是研究流体运动和变形的基础，对于工程应用和科学研究都具有重要意义。
在许多工程领域，如航空、水利、化工等，流体力学的应用广泛，深入研究应力应变关系可以为工程设计和实际应用提供更加准确和可靠的理论基础。
- 1 -。
应力张量应变张量与应力应变关系
xy Te2 ijnjei e2
2i 1j i j2j 1i ji 1i 2j ij
xz Te3 ijnjei e3
3i 1j i j3j 1i ji
1i3jij
三个式子合起来，可简写为：
1j 1i jj ij
（2）
同理，取微斜面abc分别垂直于 y 、z cosr
xy xr yr r x ay xr y r x yr r
cos
s in r
(sin ) cos
cos2 r
(
s
in
)
s
inr
sin cos ( r ) (cos2 sin2 ) r
§5-2 主应力 应力张量不变量
考察物体内任一点o。设oxyz为旧坐标系下o点处
的局部标架（图5-1（a）），单位基矢量为
e1、e2、e3 ，相应的应力分量为:
x xy xz
ij
yx zx
y zy
yz z
设 oxyz为新坐标系下o点处的局部标架，单位 基矢量为 e1、e2、e3 ，相应的应力分量:
x xy xz
Cauchy公式（2-4）给出了过一点任意斜截面上
的应力矢量的计算关系，写成矢量的形式有
TTiei ijnjei
（5-4）
斜面上的应力矢量不仅与该点的应力状态有关，而
且与斜面的方向有关。
T 为该截面的正应力 ( ) ，而剪应力为零。
这个问题的数学描述是，求某个法线方向
ν (l,m,n) ，使满足方程：
转动张量 §5-6 应变的坐标变换 应变张量
§5-7 主应变 应变张量不变量 §5-8 广义Hooke定律的一般形式 §5-9 弹性体变形过程中的能量 §5-10 应变能和应变余能 §5-11 各向异性弹性体的应力-应变关系 §5-12 各向同性弹性体应力-应变关系 §5-13 各向同性弹性体各弹性常数间的
应力张量和应变张量的关系
应力张量和应变张量的关系在物理和工程的世界里，有两个小伙伴总是形影不离，那就是应力张量和应变张量。
就像老鼠和米饭，或者说是鱼和水，这俩家伙其实是相辅相成的，缺一不可。
今天咱们就来聊聊这两位的关系，顺便让这话题变得轻松有趣，让大家听了觉得“这还真有意思！”1. 应力张量——你能忍受多少压力？1.1 什么是应力张量？应力张量嘛，可以简单理解为“压力的图谱”。
想象一下，你在参加一场拔河比赛，另一边的人使劲拉，你的手臂就会感受到拉力。
这个拉力就是应力。
如果我们把这个感觉用一个数学对象来表示，那就是应力张量。
它可以告诉我们在一个物体内部，各个方向上受到了多大的压力。
1.2 应力的分类应力可不是单一的，它分成好几种，像是“拉应力”、“压应力”和“剪应力”。
拉应力就像你拉一根橡皮筋，越拉越长；压应力则像是在面团上用力按，面团就变扁了。
至于剪应力嘛，想象一下你在切水果，刀子刮过的地方就是受到剪应力的地方。
通过这些应力，我们就能感受到物体内部的变化和状态。
2. 应变张量——变形的小精灵2.1 应变张量的概念说到应变张量，它就像是应力张量的反应者，专门负责记录物体是如何变形的。
用个简单的比喻来说，假如应力是拉面师傅的力量，那么应变就是拉出来的面条。
面条在拉伸的过程中，变长了，变细了，这就是应变在作怪。
2.2 应变的种类应变同样有多种形式，比如“拉伸应变”、“压缩应变”和“剪切应变”。
拉伸应变就像你把橡皮筋拉得细细的，压缩应变就像把一个泡沫压扁，而剪切应变就像你用力划过一块巧克力，让它变得不平整。
这些变形的形式让我们对材料的性能有了更深的理解。
3. 应力与应变——亲密无间的关系3.1 他们是好朋友说到应力和应变的关系，其实就是一个因果关系。
就像是“打虎亲兄弟，上阵父子兵”，应力会导致应变的发生。
你想啊，当一个物体受到外力作用时，它肯定会有所反应，这个反应就是应变。
这就像你被朋友拉着走，脚步肯定要跟着他的节奏走，这样才能保持平衡。
张量与连续介质力学基本公式总结
张量与连续介质力学基本公式总结在连续介质力学中，有一些基本的公式被广泛应用于系统建模和问题求解。
这些公式包括牛顿第二定律、应力应变关系、连续性方程和能量守恒等。
1.牛顿第二定律连续介质力学的基础是牛顿第二定律，它描述了质点的运动情况。
对于一个连续介质，牛顿第二定律可以推广为控制体中动量的变化率等于力的和，即∂(ρv)/∂t=∇•σ+ρg其中，ρ是介质的密度，v是介质的速度矢量，t是时间，σ是应力张量，g是重力矢量。
这个方程可以用来描述介质的运动。
2.应力应变关系应力应变关系描述了介质中力与变形之间的关系。
在连续介质力学中，通常假设介质是线性弹性的，即应力张量与应变张量之间存在线性关系。
在各向同性的介质中，应力张量与应变张量之间的关系可以用胡克定律表示，即σ=λ(∇•v)I+2μE其中，λ和μ是介质的弹性常数，I是单位张量，E是应变张量。
这个方程可以用来计算各向同性介质中的应力分布。
3.连续性方程连续性方程描述了质点数密度的守恒。
在连续介质力学中，这个方程被推广为质量守恒方程，即∂ρ/∂t+∇•(ρv)=0这个方程说明了质点的数密度随时间和空间的变化率。
它告诉我们质点不会凭空消失或产生，而是通过流体的运动来重新分布。
4.能量守恒能量守恒方程描述了介质中能量的转化和分布。
在连续介质力学中，可将能量守恒方程表示为∂(ρe)/∂t + ∇•(ρve + q) = ρg•v + ∇•σ•v其中，e是单位质量的内能，v是速度矢量，q是热通量矢量。
这个方程考虑了能量的传输、转化和产生与消耗。
它可以用来分析介质中的热传导、热膨胀和内部能量变化等现象。
这些公式构成了连续介质力学的基本框架，可以用来描述各种各样的物理现象，如流体力学、固体力学、热力学等。
通过结合实际问题和适当的边界条件，这些公式可以用于求解各种与连续介质力学相关的工程和科学问题。
总之，张量与连续介质力学基本公式是研究介质在连续性假设下力学行为的关键工具。
dft计算合金应力应变曲线
dft计算合金应力应变曲线
DFT（密度泛函理论）是一种计算材料性质的量子化学方法，可以用于计算合金的应力应变曲线。
要计算合金的应力应变曲线，首先需要构建一个包含合金的模型。
这个模型可以包含原子的位置和类型，晶格常数以及合金组成等信息。
然后，使用DFT方法计算模型中原子的总能量。
这可以通过
求解含有电子波函数的Kohn-Sham方程来实现。
得到的总能
量可以用来计算各个应变情况下的力学性质，如弹性常数和体模量。
接下来，可以使用应力应变关系来计算应力应变曲线。
应力应变关系描述了应变量和内部应力（也称为应力张量）之间的关系。
例如，哈密顿公式可以用来计算应力应变曲线，其中应力张量和应变张量之间的关系是线性的：
σ = C ε
在这里，σ是应力张量，C是弹性常数矩阵，ε是应变张量。
通过施加不同的应变，可以计算得到不同应变下的应力，从而得到应力应变曲线。
需要注意的是， DFT方法可以计算材料的力学性质，但对于
合金而言，原子间相互作用的选择对计算结果会有影响。
因此，选择适当的交换相关泛函和做适当的校正是很重要的。
总之，使用DFT方法可以计算合金的应力应变曲线，需要构建合金模型，计算总能量，并利用应力应变关系得到应力应变曲线。
我所认识的应力与应变的关系
我所认识的应力与应变的关系机械与动力工程学院我所认识的本构关系可以从三个不同的受力条件下进行分析，第一是在弹性变形下的应力与应变的关系，第二是在屈服条件下的应力与应变的关系，第三是在塑性条件下的应力与应变的关系，而对应力与应变的关系的研究也可以归结为对本构关系的研究。
首先，弹塑性力学分别从静力学和几何学的角度出发，导出了平衡方程的和几何方程，这些方程均与物体的材料性质（物理性质）无关，因而适用于任何连续介质。
但仅仅依靠平衡方程和几何方程来解决实际中的工程问题是不够的。
由于平衡方程仅建立了力学参数（应力分量与外力分量）之间的联系，而几何方程也仅建立了运动学参数（位移分量与应变分量）之间的关系，所以平衡方程与几何方程式两类完全相互独立的方程，他们之间还缺乏必要的联系。
对于所求解的问题来讲，因为您未知量的数目多于任何一类方程的个数，所以无法利用这两类方程求的全部未知量。
平衡方程：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂222222000t w Z z y x t v Y z y x t u X z y x z zy zx yz y yx xz xy x ρσττρτστρττσ （1） 几何方程：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=x w z u z w z v y w y v y u x v x u zx z yz y xy x γεγεγε （2） 为了求解具体的力学问题，还必须引进一些关系式，这些关系式即所谓的本构关系。
本构关系反映可变形体材料的固有特此那个，故也称为物理关系，它实际上是一组联系力学参数和运动学参数的方程式，即所谓的本构方程。
本构方程实际上就是一组反映可变形体材料应力和应变之间关系的方程。
在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系极其简单。
我所认识的应力应变关系
我所认识的应力应变关系应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。
物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。
则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。
一 应力-应变关系影响本构关系的因素有很多，例如材料、环境、加载类型（载荷、温度）、加载速度（动载荷、静载荷）等，当然，本构关系有很多类型，包括弹性、塑性、粘弹性、粘塑性、各向同性、各向异性本构关系，那么首先来叙述一下简单情况本构关系，所谓简单情况就是六个应力分量x y xy yz zx σσστττ、、z 、、、只有一个不为零，六个应变分量x y xy yz zx εεεγγγ、、z 、、、只有一个自由变化，应力应变关系图1-1。
图1-1 应力应变关系图图中OA 为线弹性阶段，AB 为非线弹性阶段，故OB 为初始弹性阶段，C 点位初始屈服点，()s σ+为初始屈服应力，CBA 为弹性阶段卸载，这一阶段中E σε=，初始弹性阶段结束之后，应力继续增大，进入塑性阶段，CDE 为强化阶段，应变强化硬化，EF 为颈缩阶段，应变弱化软化。
如果在进入塑性阶段卸载后再加载，例如在D 点卸载至零，应力应变关系自D 点沿'DO 到达'O 点，且'DO ∥OA ，其中'O O 为塑性应变p ε，DG 为弹性应变e ε，总应变为它们之和。
此后再继续加载，应力应变关系沿ODEF 变化，D 点为后继屈服点，OD 为后继弹性阶段，()'s σ+为后继屈服应力，值得一提的是初始屈服点只有一个，而后继屈服点有无数个（由加载历史决定）。
若在卸除全部载荷后反向加载，弹性阶段'COC ，()()s s σσ+-=，而在强化阶段'DOD ，()()s s σσ+->，称为Bauschinger 效应。
从上述分析得出材料弹塑性行为有一定的特殊性，主要表现在：弹性应力应变关系是线性，且是单值对应关系，而塑性应力应变关系是非线性的非单值对应。
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Cauchy公式（2-4）给出了过一点任意斜截面上
的应力矢量的计算关系，写成矢量的形式有
TTiei ijnjei
（5-4）
斜面上的应力矢量不仅与该点的应力状态有关，而
且与斜面的方向有关。
T 为该截面的正应力 ( ) ，而剪应力为零。
这个问题的数学描述是，求某个法线方向
ν (l,m,n) ，使满足方程：
sin2 r cos2 2sin cosr
xy xr yr r x ay xr y r x yr r
cos sinr
(sin ) cos
cos2 r
(
s
in
)
s
inr
sin cos ( r ) (cos2 sin2 ) r
§5-2 主应力 应力张量不变量
1 和 2 的方向可取与 ν (3) 垂直平面上的任
意方向。即与ν (3) 垂直的方向都是主方向。
如果 123，则 ν (1)ν (2)、ν (2)ν (3)、
ν (3)ν (1)三者可以是零，也可以不是零，这
说明三个主方向可以相互垂直，也可以不垂 直，也就是说，任何方向都是主方向。
（3）主应力的极值性 命题1：最大（或最小）主应力是相应点处任 意截面上正应力的最大（或最小）值。
（3）
1 2 l 2 2 2 m 2 3 2 n 2 (1 l 2 2 m 2 3 n 2 )
利用几何关系：
l2m2n21
（4）
得
2 ( 1 m 2 n 2 )1 2 m 22 2 n 23 2
[1 (m 2 n 2 )1 m 22 n 23 ]2
（5）
同理
r ri rj ij
rx rx x ry ry y rx rx y yry ry x
xc2 o sysi2n 2 s ic n oxs y
xco 2s ysi2n xy si2 n
ijij
xsi2n yco 2s xy si2 n r r i jij
(y x)s ic n o s x(yc 2 o ss2 in )
转动张量 §5-6 应变的坐标变换 应变张量
§5-7 主应变 应变张量不变量 §5-8 广义Hooke定律的一般形式 §5-9 弹性体变形过程中的能量 §5-10 应变能和应变余能 §5-11 各向异性弹性体的应力-应变关系 §5-12 各向同性弹性体应力-应变关系 §5-13 各向同性弹性体各弹性常数间的
(2)
13
2
（3）三个主应力相等，即 123
过该点的任何微分面上都没有剪应力，即任一
平面都是主平面，与§5-2的结论也是一致的。
z
45 45
y
x
图5-6
§5-4 笛卡尔张量基础
1. 坐标变换
考察平面内矢量 a的坐标变换关系。新、旧坐
标系的方向余弦为
x
y
x 11cos1 12cos1
y
2 1cos2 22cos2
将旧系下的矢量分量 a1、a2 向新系坐标 x
投影可得矢量 a在新坐标系下的分量
a1 a1cos1a2cos1 a2 a1cos2 a2cos2
进一步可表为
a1 11a1 12a2
a2 21a1 22a2
令 i, j 1,2则式（5-12）可简记为
（5-12）
ai ijaj
（5-12）
这就是矢量的坐标变换公式。此式在三维空间中
2
取极值的点也使 ，将（4）式代入方程
2 /m0
2 /n0
得
m n ( (3 2 2 2 1 1 2 2 ) ) 2 2 m n ( (3 2 1 1 ) )m m [ 2 [ 2 ( (2 2 1 1 ) ) n n 2 2 ( (3 3 1 1 ) ) 1 1 ] ] 0 0
n [(31 ) 2 n 2 (31 ) ]0
由此可解得
n0 n1/ 2
第一个解 n0表示平面通过oz轴，将
n0 及 1 2 代入（5）式得 0
即过oz轴的平面都是主平面。
第二个解 n1/ 2 ，将其代入（4）式得
l2 m2 1 2
它表示了任一个与圆锥面（图5-6）相切的微分面。
对应平面上的最大剪应力
T ν
（5-5）
将（5-4）式代入（5-5）式得：
ijnjei niei
故
ijnj ni
整理合并后得
(ijij)nj 0
z
T
y
x 图5-3
将上式展开
(x
)l
xym
xzn
0
yxl (y )m yzn 0
zxl zym(z )n 0
（5-6）
我们把只有正应力，而没有剪应力的平面称为 主平面；主平面上的正应力称为主应力；主平 面的法线方向，即主应力方向称为主方向。
§5-3 最大剪应力
现在我们来考察物体内一点P的最大剪应力及其
作用面。取应力主轴为参考轴（图5-4）。斜面
上应力矢量 T的分量及斜面上的正应力分别为：
T1 1l T2 2m T3 3n
1l22m 23n2
z
1
2
y
x
3
图5-4
将（1）、（2）式代入斜面上的剪应力公式（2-7）
得
2 |T|2 2
y
l 2 2 1 m2 22
s in cos
与前面推导类似
ij
ii jj ij
指标的取值为 i, j 1, 2
i, j1, 2
当取新系为正交曲线坐标系，其中转换系数 i 'i
j ' j 为点o处坐标曲线切线方向单位基矢量在旧
系下的方向余弦。
取 x r 方向
y 方向
yxx
xyyzyy
yzzzxx
xz z
I 3 xyz 2 xyz xxy 2 z yz 2 xzx 2
x xy xz yx y yz
zx zy z
可以证明方程（5-7）有3个实根，它们对应
该点的3个主应力，分别用 1、2、3表示。
l2m2n21
（5-9）
将（5-9）式与方程组（5-6）中的任意两式联
同样成立，这时取 i, j1,2, 3
2. 笛卡尔张量 上面证明了，同一矢量，当坐标旋转时，其分量
xy Te2 ijnjei e2
2i 1j i j2j 1i ji 1i 2j ij
xz Te3 ijnjei e3
3i 1j i j3j 1i ji
1i3 jij
三个式子合起来，可简写为：
1j 1i jj ij
（2）
同理，取微斜面abc分别垂直于 y 、z ，可以得
考察物体内任一点o。设oxyz为旧坐标系下o点处
的局部标架（图5-1（a）），单位基矢量为
e1、e2、e3 ，相应的应力分量为:
x xy xz
ij
yx zx
y zy
yz z
设 oxyz为新坐标系下o点处的局部标架，单位 基矢量为 e1、e2、e3 ，相应的应力分量:
x xy xz
在式（5-1）中作指标置换，并利用 ij 的对
称性得
jiji ij ijij ji ji
ii jj ij
ij
应力张量在经坐标变换后，其对称性仍然保持不变。
在平面问题中，建立二维的新、旧坐标系如图5-2， 新、旧坐标轴的方向余弦为
x
y
x
l1 11
m1 12
cos
sin
代数上，（5-6）式是关于主方向 (l,m,n)
的线性齐次代数方程，它有非零解的条件是， 其系数行列式为零，即
x yx zx
xy y
zy
xz yz 0 （5-7） z
展开后得到关于主应力的三次代数方程（5-7），
称为应力张量的特征方程：
3I12I2I30
I1xy z
I2xyyzz xx 2 yy 2 z z 2x
1 2 3 12 23
31
I3 123
对于一个给定的应力状态，其主应力的大小和方向
都是确定的，它不随坐标系的变换而变化，故
I1、I2、I3 也不会因坐标系的变换而改变。这种不 因坐标系变换而改变的量，称为不变量.
I1、I2、I3分别称为应力张量的第一、第二、 第三不变量。 主应力的几个重要性质： （1）主应力为实数 （2）主方向的正交性
r r
这就是极坐标下的应力分量与直角坐标下应力 分量的转换公式。
反过来，取直角坐标系为新坐标系，极坐标系 旧坐标系，根据（5-2）式，用极坐标应力分量 表示直角坐标应力分量的关系为：
x xr xr r x x 2 xr x r
cos2 r sin2 2sin cosr
y yr yr r y y 2 yr y r
方程（7）有三组解：
第一组是 m0, n0
第二组是 m0, n1/ 2
第三组是 m1/ 2, n0
有了m、n就可以从（4）中求得相应的l，并运用
（5）式得到相应的极值剪应力 ，由（2）式
得到极值剪应力面上的正应力 。 同理可从（3）和（4）中分别消去m和n，按上述 方法又可以得到六组解，但其中三组是重复的， 独立的解答一共六组，如表5-1所示。 表中前三组解答对应于主平面，其上剪应力为零； 而后三组解答对应于经过主轴之一而平分其他两 主轴夹角的平面，如图5-5示，其上剪应力为
立，即可求出与给定主应力 i 对应的主方向。
1、2、3是方程（5-7）的三个根，所
以，也可以将特征方程写成
( 1 ) ( 2 )( 3 ) 0
展开后有 3 ( 1 2 3 ) 2 ( 1 2 2 3 3 1 ) 1 2 3 0
与式（5-7）比较，得
I1 I2