2017中国数学国家队选拔试题
2017年全国数学竞赛真题AB卷
2017年全国数学竞赛真题AB卷2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(x f x f .又当70x 时，)9(log )(2x x f ，则)100(f 的值为__________. 2.若实数y x,满足1cos 22y x ，则y x cos 的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥ABC P中，1AB ，2AP ，过AB 的平面将其体积平分，则棱PC 与平面所成角的余弦值为__________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集1,0,1,),(y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________. 7.在ABC 中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3A ，ABC 的面积为3，则AN AM 的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列n n b a ,满足：20171010b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a 12，n n b b 21，则11b a 的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k,为实数，不等式12m kx x 对所有b a x ,成立.证明：22ab .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x 的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1z ，0)Re(2z ，且2)R e()R e(2221z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）.（1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z 的最小值. 2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC 中，AC AB ，I 为ABC 的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1，以I 为圆心，IB 为半径作圆2，过点I B,的圆3与1,2分别交于点Q P,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CRBR 二.设数列n a 定义为11a ，,2,1,,,,1n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173r a r 的正整数r 的个数. 三.将3333方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值. 四.设n m,均是大于1的整数，n m，n a a a ,,,21是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ，使得x m m x a i )1(2，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A 卷一试答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分. 1.在等比数列{}n a 中，22a ，333a ，则1201172017a a a a 的值为.2.设复数z 满足91022z z i ，则||z 的值为. 3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x 是奇函数，()2x f x 是偶函数，则(1)f 的值为. 4.在ABC 中，若sin 2sin A C ，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为. 5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE ，4EF ，且EF 与平面BCD 平行，则DEF 的面积为. 6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为. 7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2220x ay a 的焦距为4，则a 的值为. 8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ，则数组(,,)a bc 的个数为.二、解答题（本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa 对所有[1,2]x 成立，求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212nn n n b a a a ，1,2,n . （1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ，并且存在正整数,s t ，使得s t a b 是整数，求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x ，曲线222:(4)8C x y ，经过1C 上一点P作一条倾斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR 的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ，令max{,,}d a b c ，证明：2(1)(1)(1)1a b c d 二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集N 分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A ，每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同），满足ab cd m .三、（本题满分50分）如图，点D 是锐角ABC 的外接圆上弧BC 的中点，直线DA 与圆过点,B C 的切线分别相交于点,P Q ，BQ 与AC 的交点为X ，CP 与AB 的交点为Y ，BQ 与CP 的交点为T ，求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ，1220,,,{1,2,,10}b b b ，集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b ，求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89解：数列{}n a 的公比为33232a qa ，故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q . 2.答案：5解：设,,z a bi a b R ，由条件得(9)10(1022)a bi a b i ，比较两边实虚部可得9101022a ab b ，解得：1,2a b ，故12z i ，进而||5z . 3.答案：74解：由条件知，2(1)1((1)(1))(1)1f f f ，1(1)2(1)2f f ，两式相加消去(1)f ，可知：12(1)32f ，即7(1)4f . 4.答案：24解：由正弦定理知，sin 2sin aA cC ，又2b ac ，于是::2:2:1a b c ，从而由余弦定理得：222222(2)122cos 24221b c aA bc . 5.答案：233解：由条件知，EF 平行于BC ，因为正四面体ABCD 的各个面是全等的正三角形，故4AE AF EF ，7AD AB AE BE .由余弦定理得，222cos60DE AD AE AD AE 49162837，同理有37DF . 作等腰DEF 底边EF 上的高DH ，则122EH EF ，故2233DH DE EH ，于是12332DEF S EF DH .6.答案：514解：注意K 中共有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式数为3984C 种，当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况：（1）三点在一横线或一纵线上，有6种情况，（2）三点是边长为1,1,2的等腰直角三角形的顶点，有4416种情况，（3）三点是边长为2,2,2的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0,0)的有4个，直角顶点位于(1,0)，(0,1)的各有一个，共有8种情况.综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为616830，进而所求概率为3058414.7.答案：1172解：二次曲线方程可写成2221xy a a ，显然必须0a ，故二次曲线为双曲线，其标准方程为22221()()yx a a ，则2222()()c a a a a ，注意到焦距24c ，可知24a a ，又0a ，所以1172a .8.答案：574解：由条件知2017[]21000c ，当1c 时，有1020b ，对于每个这样的正整数b ，由10201b a 知，相应的a 的个数为20210b ，从而这样的正整数组的个数为2010(1022)11(20210)5722b b ，当2c时，由201720[]100b ，知，20b ，进而2017200[]20110a ，故200,201a ，此时共有2组(,,)a b c .综上所述，满足条件的正整数组的个数为5722574.9.解：设2x t ，则[2,4]t ，于是|||5|t a t 对所有[2,4]t 成立，由于22|||5|()(5)t a t t a t ，(25)(5)0t a a ，对给定实数a ，设()(25)(5)f t t a a ，则()f t 是关于t 的一次函数或常值函数，注意[2,4]t ，因此()0f t 等价于(2)(1)(5)0(4)(3)(5)0f a a f a a ，解得35a 所以实数a 的取值范围是35a .10.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则22123112()()n n n n n n n n b b a a a a a a 23111()()()n nn n n n n a a a a a a a 212()n n n a d a a d 221(2)3n n n a a a d d 所以数列{}n b 也是等差数列.（2）由已知条件及（1）的结果知：23d d ，因为0d，故13d ，这样2212()(2)n n nn n n n b a a a a d a d a 22329n nda d a 若正整数,s t 满足st a b Z ，则1122(1)(1)99s t s t a b a b a s d a t d 122239s t a Z . 记122239s t l a ，则l Z ，且1183(31)1a l s t 是一个非零的整数，故1|18|1a ，从而11||18a . 又当1118a 时，有1311711818a b Z ，综上所述，1||a 的最小值为118.11.解：设2(,2)P t t ，则直线l 的方程为22yx t t ，代入曲线2C 的方程得，222(4)(2)8x x t t ，化简可得：222222(24)(2)80x t t x t t ①，由于l 与2C 交于两个不同的点，故关于x 的方程①的判别式为正，计算得，222222222(24)2((2)8)(2)8(2)162(2)164t t t t t t t t t t。
2017年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题详解
B
2 3 ，∴ S2 7 4 3 ． 2
（4）设 n abc 是一个三位数，其中以 a, b, c 为边可构成一个等腰三角形， 则这样的三位数有
_______________________________________________
个．
解析：当 a b c 时，有 9 种情形； 不是等边的等腰三角形情形，不妨设 a b ， 当 a b 5 时， c 有 8 种情形，共有 40 种情形； 当 a b 4 时， c 有 6 种情形； 当 a b 3 时， c 有 4 种情形； 当 a b 2 时， c 有 2 种情形； 综上，共有 40 6 4 2 3 9 165 种情形． （5）已知非负实数 a, b, c 满足 a b c 8, ab bc ca 16 ， 若 m min ab, bc, ca ，则 m 的最大值是
i 1 i 1
2n 1
n
（3）在棱长为 1 的正方体 C 内，作一个内切大球 O1 ，再作一个小球 O2 ，使它与球 O1 外 切，且与正方体的三个面相切，则球 O2 的表面积为 解析：作对角截面图得到矩形 BB1D1D ， 依题意知 O1 、 O2 都在线段 BD1 上，且 O1 是 BD1 的中点， 设球 O1 、 O2 的半径分别为 r1 , r2 ， 则 r1 ．
A I
1 SA B C ， 3 111
B B1
C C1
1 1 1 SA1B1C1 , SIBC SA1B1C1 , SICA SA1B1C1 ， 36 60 45 1 1 1 : : 3: 4 : 5 ， 60 45 36
∴ a : b : c SIBC : SICA : SIAB ∴ a 2 b2 c 2 ，∴ C
2017年全国初中数学竞赛试题参考答案(word版)
2017年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0（C ）12（D ）1【答案】A【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++． 2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）． （A ）2222(2)0c x b ac x a +-+= （B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--= （D ）2222(2)0c x b ac x a ---=【答案】B【解答】由于20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则0a ≠．因为12bx x a+=-，12c x x a =，且120x x ≠，所以0c ≠，且 221212222221212()2112x x x x b ac x x x x c +--+==，22221211a x x c⋅=， 于是根据方程根与系数的关系，以211x ，221x 为两个实根的一元二次方程是222220b ac a x x c c--+=，即2222(2)0c x b ac x a --+=． 3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）．（A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC（第3题）【答案】D【解答】因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数．由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC =，·DC DODE OC =都是有理数，而AC ＝·AD AB 不一定是有理数． 4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8【答案】C【解答】因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC ． 连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6．5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****的值为（ ）． （A ）607967（B ）1821967（C ）5463967（D ）16389967【答案】C【解答】设201320124m ***=，则()20132012433m ****=*32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．（第3题答题）（第4题答题）（第4题）二、填空题6．设33a =，b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ． 【答案】9【解答】由于2123a a <<<<，故32292b a =-=-，因此333(2)(9)9b +==． 7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．【答案】20413【解答】如图，连接AF ，则有：45=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，354AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，解得10813AEF S ∆=，9613AFD S ∆=． 所以，四边形AEFD 的面积是20413． 8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．【答案】2013【解答】由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．（第7题答题）（第7题）9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．【答案】(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数）【解答】由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b由上式，可知b a c d =--=． 若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d，进而2b d a c ==--=-． 若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件．10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2017元．则他至少卖出了 支圆珠笔．【答案】207【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y所以201371(5032)44y y x y -+==-+， 于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+， 所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．三、解答题11．如图，抛物线y =23ax bx +-，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB ＝OC ＝3OA ．直线113y x =-+与y 轴交于点D ．求∠DBC ∠CBE ．【解答】将0x =分别代入y =113x -+，23y ax bx =+-知，D (0，1)，C (0，3-)，所以B (3，0)，A (1-，0)．直线y =113x -+过点B ．将点C (0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．抛物线223y x x =--的顶点为E (1，4-)．于是由勾股定理得BC ＝32，CE ＝2，BE ＝25．因为BC 2＋CE 2＝BE 2，所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=︒．因此tan CBE ∠=CE CB =13．又tan ∠DBO =13OD OB =，则∠DBO ＝CBE ∠．所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=︒．（第11题答题）（第11题）12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．【解答】分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形．因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．（ii ）若△ABC 为钝角三角形．当90A ∠>︒时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒。
2017年世界青少年奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛五年级数学决赛试卷
第1页 共四页 第2页 共四页秘密★启用前世界青少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛全国总决赛试卷注意事项： 1、考生按要求用黑色、蓝色圆珠笔或钢笔在密封线内填好考生的相关信息。
2、考试时间120分钟。
3、本试卷共4页，满分100分。
4、不得在答卷或答题卡上做任何标记。
5、考生超出答题区域答题将不得分。
6、考生在考试期间不得作弊，否则试卷记零分处理。
小学五年级试题一、计算题（每题3分，共12分） 1. 7.1×35+39×3.5-352. （5.6×4.5×8.1）÷（2.8×1.5×2.7）3. 0.7777×0.7＋0.1111×2.14. 987654321×123456789-987654320×123456788二、填空题（每空3分，共24分）1. 把一根木头锯成4段需要12分钟，如果锯成8段需要（ ）分钟。
2. 有三个好朋友，他们的年龄一个比一个大3岁，他们3人年龄数的乘积是3240。
其中最小的年龄是（ ）岁。
3. 三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数中最大的是（ ）。
4. 一本书的中间被撕掉了一张，余下的页码数之和正好是907，这本书有（ ）页。
5. 下列格点中,相邻两个点之间的距离是1cm ，图中三角形的面积是（ ）平方厘米。
6. 一个最简分数，若分母加上1，分数值是21，若分子加上1，分数值是32，这个分数是（ ）。
7. 数列1,1,2,3,5,8,13，21…的排列规律是：从第三个数开始，每一个数都是它前面两个数的和，这样的数列叫做斐波拉契数列。
斐波拉契数列的前2017个数中，有（ ）个偶数。
8. 2008个2008相乘的末位数字是（ ）。
三、解决问题（每题8分，共64分）1. 图中三角形ABC 的面积是52平方厘米，三角形ABD 与三角形ADC 的面积相等。
数学人教版高中三年级上册 2017年全国高中数学联赛江西省师大附中预赛试题及参考答案 (1)
2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案一、填空题1、化简++++++344312332112211…=++20162017201720161.201711-解：由111)1(1)1).(1(1)1(11+-=+-+=+++=+++k k k k k k k k k k k k k k 可得.2、若sinx+cosx=22,825cos sin 33=+x x . 解:4121)cos (sin cos sin 2-=-+=x x x x ,82582342)cos (sin cos sin 3)cos (sin cos sin 333=+=+-+=+x x x x x x x x 3、体积为1的正四面体被放置于一个正方体中，则此正方体体积的最小值是 3 ．解：反向考虑，边长为a 的正方体（体积为a 3）,其最大内接正四面体顶点，由互不共棱的正方体顶点组成，其体积为.3a 13,3333==，则令a a 4、若椭圆的一个顶点关于它的一个焦点的对称点恰好在其准线上，则椭圆的离心率=e 2221或． 解：建立坐标系，设椭圆的方程为),0,(),0,(),0(12,12,12222b B a A b a by a x ±=±=>>=+则顶点焦点)0,(2,1c F ±=，准线方程为,,2222,1b a c ca l -=±=其中据对称性，只要考虑两种情况：（1）、上，的对称点在右准线关于c a x c F a A 221)0,()0,(=-由21,22===+-a c e c c a a 得；（2）、上，的对称点在右准线关于c a x c F B 221)0,()b ,0(=由横坐标.22,202===+a c e c c a 得 5、函数14342++-=x x y 的最小值是5．解：首先，.06414342≥+-=++->x x x x y 又由),14(9)4(22+=+x x y 即0)9(8064,0)9(8202222≥--=∆=-+-y y y xy x 据判别式，即,52≥y 因y>0,则,5≥y 此值在求解）（也可以令时取得θtan 21.51==x x . 6、设+++=++22102)1(x a x a a x x n…nn x a 22+，则+++642a a a …=+na 2213-n ． 解：令x=0，得a 0=1,再令x=1，得a 0+ a 1+ a 2+…+ a 2n =n3,又令x=-1，得a 0- a 1+ a 2+…+ a 2n =1，所以2132642-=++++n na a a a .7、将全体真分数排成这样的一个数列}{n a ：,43,42,41,32,31,21…，排序方法是：自左至右，先将分母按自小到大排列，对于分母相同的分数，再按分子自小到大排列，则其第2017项=2017a 651． 解：按分母分段，分母为k+1的分数有k 个，因208026564,201626463=⨯=⨯，因2017属于第64段，则2017a 应是分母为65的第一数，即651. 8、将各位数字和为10的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列}{n a ，若2017=n a ，则n=120.解：数字和为10的两位数ab 有9个；数字和为10的三位数abc ：首位数字a 可取1，2，…，9中任意一个值，当a 取定后，b 可取0，1，…，10-a 这11-a 个数字的任意一个值，而在a,b 确定后，c 的值就唯一确定，因此三位数的个数是54)11(91=-∑=a a ；数字和为10的四位数abc 1：a+b+c=9的非负整数解（a,b,c ）的个数是55211=C ，数字和为10的四位数abc 2共有2个即2008和2017，故在1，2，…，2017中，满足条件的数有9+54+55+2=120个. 二、解答题（共70分）9、（本题满分15分）数列}{n a ，}{n b 满足：111==b a ，n n n b a a 21+=+，)1(1≥+=+n b a b n n n ．证明：（1）、21212<--n n b a ，222>n n b a ；（2）、2211-<-++nn n n b ab a ． 证明：)2()(2)2(222222121n n n n n n n n b a b a b a b a --=+-+=-++…①由此递推得n n n n n n n n n n b a b a b a b a b a )1()2()1()2()(2)2(221211212121121122-=--==--=+-+=-------- …② 因此02,022122122222<->---n n n n b a b a 即有,2,2221212><--nn n n b ab a据①得22212122n n n n b a b a -=-++…③，由条件知，{}{},,n n b a 皆为严格递增的正整数数列，,0,011>>>>++n n n n b b a a 所以nn n n b a b a 212111+<+++…④nn b b 111<+…⑤ 将③④⑤相乘得2211-<-++nn n n b ab a 10、（本题满分15分）若小于2017的三个互异正整数a ，b ，c 使得33b a -，33c b -，33a c -均是2017的倍数；证明：222c b a ++必是c b a ++的倍数．证：因）（即2233a )(2017,)(2017b ab b a b a ++--；又由,20170<-<b a 注意2017为质数，则a-b 与2017互质，因此）（ab b ++22a 2017…①同理有）（bc c ++22b 2017…②）（ac c ++22a 2017…③，根据②③，]b a [20172222）（）（bc c ac c ++-++，即）（c b b a ++-a )(2017，从而）（c b ++a 2017，因正整数a,b,c 皆小于2017，得a+b+c<3*2017,因此a+b+c=2017或2*2017.又注意222a a cbc b ++++与同奇偶，故只要证）（222a 2017c b ++，将①改写为）（则知））（ac ac c b --+++22b 2017],b a a [2017…④，同理有）（bc -2a 2017，）（ab -2c 2017…⑤，将①②③④⑤式相加，得）（222a 32017c b ++于是）（222a 2017c b ++，从而）（222a )(c b c b a ++++. 11、（本题满分20分）设P =｛21，22，23，…｝是由全体正整数的平方所构成的集合；如果数n 能够表示为集合P 中若干个（至少一个）互异元素的代数和，则称数n 具有P 结构．证明：每个自然数n 都具有P 结构．证明：首先，我们可以将前十个自然数分别表示为：22222222222222222222239,318,437,4316,21524,213,43212,11,5430=+-=+-=+--=+==+-=+---==+--=再考虑区间(]224,3中的数，其中除了16=42之外，其余的数皆可表示为)61(42≤≤-=k k n 形式；并且注意到，在1，2，3，4，5，6中每个数的ｐ结构表示中，凡是表示式中42参与时，42皆以正项形式出现，于是由)61(42≤≤-=k k n 可知，此时42项便抵消（不会出现242⨯的项）；因此，区间(]224,3中的数皆具有P 结构表示，也就是24≤的每个数都具有P 结构表示，且其中最大项至多为42，而凡是含有42的表示中，42皆以正项形式出现，下面使用归纳法，假若已证得2m ≤的每个数都具有P 结构表示，且其中最大项至多为2m ，而凡是含有2m 表示中，2m 皆以正项形式出现（其中4≥m ），对于区间(]22)1(,+m m 中的数，除了最大数可以直接表示为2)1(+m 之外，其余元素n 皆可表示为：)21()1(2m k k m n ≤≤-+=，由归纳假设，22,4m m m <≥且，并且此k 具有P 结构表示，其中每项皆2m ≤，因此数n 具有P 结构表示，故由归纳法，即知所证的结论成立.12、（本题满分20分）如图，⊙1O ，⊙2O 相交于A ，B 两点，CD 是经过点A 的一条线段，其中，点C ，D 分别在⊙1O 、⊙2O 上，过线段CD 上的任意一点K ，作BD KM //，BC KN //，点M ，N 分别在BC ，BD 上，又向BCD ∆形外方向，作BC ME ⊥，BD BF ⊥，其中E 在⊙1O 上，F 在⊙2O 上；证明：KF KE ⊥．证明：设⊙1O 、⊙2O 的半径分别为21,r r ，由于ABEC 共圆，ABFD 共圆，得,sin 2,221BAD r BD BAC sim r BC ∠=∠= 而,r ,18021r BD BC BAD BAC ==∠+∠︒所以于是 C BO 1∆∽D BO 2∆，根据平行关系得CMK ∆∽KND ∆∽CBD ∆,所以KMBN r BD BC ND NK MK MC 且四边形,r 21===为平行四边形，BN=MK,延长垂线FN 交⊙2O 于1F ,因,r 21r BD BC =则⊙1O 上优弧BEC 与⊙2O 上BD 所对的优弧B DF 1的度数相等，又因M,N 分别是两圆对应弦CB 、BD 上的点，且所以,r 21r BD BC MK CM BN CM ===⊿CME ∽⊿N 1F B, ⊿BME ∽⊿N 1F D,从而⊿BEC ∽⊿D 1F B,由⊿BEM ∽⊿N 1F D ∽FBN ∆,得FN BN BM EM =,注意BM=KN,BN=KM,上式成为FNKMKN EM =,根据⊿CMK ∽⊿KND,得EMK KNF CMK FND EMC KND CMK ∆∴∠=∠︒=∠=∠∠=∠,,90,所以而∽FNK ∆,而,,BD FN BC EM ⊥⊥又据条件.,,,//,//KF KE KM FN KN EM BC KN BD KM ⊥⊥◊由此所以。
2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案
2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案一、填空题1、化简++++++344312332112211…=++20162017201720161.201711-解：由111)1(1)1).(1(1)1(11+-=+-+=+++=+++k kk k k k k k k k kk k k 可得.3、4解：建立坐标系，设椭圆的方程为),0,(),0,(),0(12,12,12222b B a A b a by a x ±=±=>>=+则顶点焦点)0,(2,1c F ±=，准线方程为,,2222,1b a c ca l -=±=其中据对称性，只要考虑两种情况：（1）、上，的对称点在右准线关于c a x c F a A 221)0,()0,(=-由21,22===+-a c e c c a a 得；（2）、上，的对称点在右准线关于ca x c F B 221)0,()b ,0(=由横坐标.22,202===+a c e c c a 得5、函数14342++-=x x y 的最小值是5．解：首先，.06414342≥+-=++->x x x x y 又由),14(9)4(22+=+x x y 即202-x 此6 ，7解：，因8数列}{na ，若2017=na，则n=120.解：数字和为10的两位数ab 有9个；数字和为10的三位数abc ：首位数字a 可取1，2，…，9中任意一个值，当a 取定后，b 可取0，1，…，10-a 这11-a 个数字的任意一个值，而在a,b 确定后，c 的值就唯一确定，因此三位数的个数是54)11(91=-∑=a a ；数字和为10的四位数abc 1：a+b+c=9的非负整数解（a,b,c ）的个数是55211=C，数字和为10的四位数abc 2共有2个即2008和2017，故在1，2，…，2017中，满足条件的数有9+54+55+2=120个.9、n b 2，1=+b n n a 2…②10、（本题满分15分）若小于2017的三个互异正整数a ，b ，c 使得33b a-，33c b -，33a c -均是2017的倍数；证明：222c b a ++必是cb a ++的倍数．证：因）（即2233a )(2017,)(2017b ab b a b a++--；又由,20170<-<b a 注意2017为质数，则a-b 与2017互质，因此）（ab b ++22a2017…①同理有）（bc c ++22b 2017…②）（ac c ++22a 2017…③，根据②③，]b a [20172222）（）（bc c ac c ++-++，即）（c b b a ++-a )(2017，从而）（c b ++a 2017，因正整数a,b,c 皆小于2017，得a+b+c<3*2017,因此a+b+c=2017或2*2017.又注意222aa cbc b ++++与同奇偶，故只要证）（222a 2017c b ++，将①改写为）（则知））（ac ac c b --+++22b 2017],ba a [2017…④，同理有（2017）22c b ++11、个）n为=n 中每个242⨯的24的每42的表示中，42皆以正项形式出现，下面使用归纳法，假若已证得2m≤的每个数都具有P 结构表示，且其中最大项至多为2m ，而凡是含有2m 表示中，2m 皆以正项形式出现（其中4≥m ），对于区间(]22)1(,+m m中的数，除了最大数可以直接表示为2)1(+m 之外，其余元素n 皆可表示为：)21()1(2m k k m n ≤≤-+=，由归纳假设，22,4m m m <≥且，并且此k具有P 结构表示，其中每项皆2m ≤，因此数n 具有P 结构表示，故由归纳法，即知所证的结论成立.12、（本题满分20分）如图，⊙1O ，⊙2O 相交于A ，B 两点，CD 是经过点A 的一条线段，其中，点C ，D 分别在⊙1O 、⊙2O 上，过线段CD BD 上，又向在⊙2O21,r r 而∆MK MC BEC 与⊙2O 上BD 所对的优弧B DF 1的度数相等，又因M,N 分别是两圆对应弦CB 、BD上的点，且所以,r 21r BD BC MK CM BN CM ===⊿CME ∽⊿N 1F B,⊿BME∽⊿N 1F D,从而⊿BEC ∽⊿D 1F B,由⊿BEM ∽⊿N 1F D ∽FBN ∆,得FNBN BM EM =,注意BM=KN,BN=KM,上式成为FNKM KNEM =,根据⊿CMK ∽⊿KND,得EMK KNF CMK FND EMC KND CMK ∆∴∠=∠︒=∠=∠∠=∠,,90,所以而∽FNK ∆,而,,BD FN BC EM ⊥⊥又据条件.,,,//,//KF KE KM FN KN EM BC KN BD KM ⊥⊥◊由此所以。
2017全国初中数学联赛初二卷及详解Word版
2017年全国初中数学联合竞赛试题 初二卷第一试一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1.已知实数a,b,c 满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则32b ca b++的值为（ ）. A.2 B.1 C.0 D.-1 2.已知实数a,b,c 满足a+b+c=1，1110135a b c ++=+++，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（ ）. A.125 B.120 C.100 D.813.若正整数a,b,c 满足a ≤b ≤c 且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（ ）. A.4 B.3 C.2 D.14.已知正整数a,b,c 满足a 2-6b-3c+9=0，-6a+b 2+c=0，则a 2+b 2+c 2的值为（ ）. A.424 B.430 C.441 D.4605.梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（ ）. A.102 B.103C.32D.33 6.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，点E 在AB 上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE 的值为（ ）.A.56B.58C.60D.62二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.311a a ++=a 的值为________.8.已知△ABC 的三个内角满足A ＜B ＜C ＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A 中的最小者，则θ的最大值为________.9.设a,b 是两个互质的正整数，且38ab p a b=+为质数.则p 的值为________.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________.第二试一、（本题满分20分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2是完全平方数，求A的值.二、（本题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P为AD与EF的交点.证明：EF=2PD.三、（本题满分25分）已知a,b,c 55a bb c++为有理数，求222a b ca b c++++的最小值.2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷参考答案第一试一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则32b ca b++的值为（）.A.2B.1C.0D.-1答案：B对应讲次：所属知识点：方程思路：因为所求分式的特点可以想到把a+2b，3b+c看成一个整体变量求解方程.解析：已知等式可变形为2(a+2b)+3(3b+c)=90，3(a+2b)+(3b+c)=72，解得a+2b=18，3b+c=18，所以312b ca b+=+.2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，111135a b c++=+++，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）.A.125B.120C.100D.81答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：可以想到换元法.解析：设x=a+1，y=b+3，z=c+5，则x+y+z=10，111x y z++=，∴xy+xz+yz=0，由x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+xz+yz)=100.则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2 =100.3. 若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）.A.4B.3C.2D.1答案：B对应讲次：所属知识点：数论思路：先通过a≤b≤c且abc=2(a+b+c)的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法一一验证. 解析：若(a,b,c)为好数组，则abc=2(a+b+c)≤6c，即ab≤6，显然a=1或2.若a=1，则bc=2(1+b+c)，即(b-2)(c-2)=6，可得(a,b,c)=(1,3,8)或(1,4,5)，共2个好数组.若a=2，则b=2或3，可得b=2,c=4；b=3,c=52，不是整数舍去，共1个好数组.共3个好数组(a,b,c)=(1,3,8) (1,4,5) (2,2,4).4. 已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（）.A.424B.430C.441D.460答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：由已知等式消去c整理后，通过a,b是正整数的限制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证，最终确定结果.解析：联立方程可得(a-9)2+3(b-1)2=75，则3(b-1)2≤75，即1≤b≤6.当b=1,2,3,4,5时，均无与之对应的正整数a；当b=6时，a=9，符合要求，此时c=18，代入验证满足原方程.因此，a=9，b=6，c=18，则a2+b2+c2=441.5. 梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）.A.102B.103C.32D.33答案：A对应讲次：所属知识点：平面几何思路：通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.解析：作AE ∥DC ，AH ⊥BC ，则ADCE 是平行四边形，则BE=BC-CE=BC-AD=3=AB ， 则△ABE 是等腰三角形，BE=AB=3，AE=2，经计算可得42AH =. 所以梯形ABCD 的面积为()142102142⨯+⨯=.6. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，点E 在AB 上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE 的值为（ ）.A.56B.58C.60D.62 答案：B 对应讲次：所属知识点：平面几何思路：补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转把边长关系转化到同一个三角形Rt △EAD 中去，利用勾股定理求解.解析：作CF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F ，将△CDF 绕点C 逆时针旋转90°至△CGB ，则ABCF 为正方形，可得△ECG ≌△ECD ，∴EG=ED. 设DE=x ，则DF=BG=x-28，AD=98-x.在Rt △EAD 中，有422+(98-x)2=x 2，解得x=58.二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.311a a ++=a 的值为________. 答案：8 对应讲次： 所属知识点：方程思路：通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用换元法化简等式，最后要验证结果是否满足最初的等式.解析：易得(321a =.令x x ≥0，代入整理可得x(x-3)(x+1)2=0，解得x 1=0, x 2=3, x 3=-1，舍负，即a=-1或8，验证可得a=8.8. 已知△ABC 的三个内角满足A ＜B ＜C ＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A 中的最小者，则θ的最大值为________. 答案：20° 对应讲次： 所属知识点：代数思路：一般来说，求几个中最小者的最大值时，就是考虑这几个都相等的情况. 解析：∵θ≤100°-C ，θ≤C-B ，θ≤B-A ∴θ≤16［3（100°-C ）+2(C-B)+(B-A)］=20°又当A=40°,B=60°,C=80°时，θ=20°可以取到. 则θ的最大值为20°.9. 设a,b 是两个互质的正整数，且38ab p a b=+为质数.则p 的值为________.答案：7 对应讲次： 所属知识点：数论思路：因为p 是质数，只能拆成1和p ，另一方面通过a+b 、a 、b 两两互质来拆分38ab a b+的可能种类，最后分类讨论，要么与条件矛盾，要么得出结果.解析：因为a,b 互质，所以a+b 、a 、b 两两互质，因为38ab a b +质数，所以318ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得a=b=1，p=4，不是质数舍；381ab p a b⎧=⎪⎨=⎪+⎩可得a=7，b=1，p=7，符合题意.则p=7.10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________. 答案：34 对应讲次： 所属知识点：数论思路：考虑1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1满足题设要求，其和为34，接下来只需要考虑该数列是否为和最小的数列.解析：设该正整数列为()20,*n a n n N ≤∈，考虑()16,,,14,*k k k i i i k i ka a a k k N ++==≤∈∑∑，依抽屉原理必然有两项模7的余数相同，则该两项的差是7的倍数，于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的倍数，又不能为7，则最小为14.于是20个数中至少有2组这样的子列其总和不小于28，剩下6个数之和不小于6，于是该数列之和不小于34.由1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在数列和为34的情况.第二试一、（本题满分 20 分）设A,B 是两个不同的两位数，且B 是由A 交换个位数字和十位数字所得，如果A 2-B 2是完全平方数，求A 的值. 答案：65 对应讲次： 所属知识点：数论思路：对于需要考虑不同位数上数字的情况，可以把一个两位数ab 设为10a+b ，转为为代数问题，再利用完全平方数的质因数分解式也是以完全平方数对的形式出现，综合分析所有限定下可能性，最终确定结果. 解析：设A=10a+b(1≤a,b ≤9,a,b ∈N)，则B=10b+a ，由A,B 不同得a ≠b ，A 2-B 2=（10a+b ）2-(10b+a)2=9×11×（a+b ）(a-b).………5分由A 2-B 2是完全平方数，则a ＞b ，()()11|a b a b +-，可得a+b=11， ………10分 a-b 也是完全平方数，所以a-b=1或4.………15分若a-b=1，则a=6，b=5； 若a-b=4，则没有正整数解. 因此a=6，b=5，A=65.………20分二、（本题满分 25 分）如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，BE ⊥DE ，CF ⊥DF ，P 为AD 与EF 的交点.证明：EF=2PD.对应讲次：所属知识点：平面几何思路：因为EF 、PD 都在△DEF 中，所以想办法推出其性质，比较容易得出∠EDF=90°，此时若能得出EF=PD ，则自然可以得到结论.解析：由DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，可得∠EDF=90°. ………5分 由BE ⊥DE 得BE ∥DF ，则∠EBD=∠FDC.………10分又BD=DC ，∠BED=∠DFC=90°，则△BED ≌△DFC ，BE=DF . ………15分 得四边形BDFE 是平行四边形，∠PED=∠EDB=∠EDP ，EP=PD. ………20分 又△EDF 是直角三角形，∴EF=2PD.………25分三、（本题满分 25 分）已知a,b,c 为有理数，求222a b c a b c ++++的最小值.答案：3 对应讲次： 所属知识点：数论思路：通过a,b,c 是正整数，可以把有理部分和无理部分分离考虑.0c -≠，可以通过分母有理化来实现分离，再利用a,b,c 互不相等，从最小正整数开始讨论即可得出最小值.0c -≠)()22222555bcab bc bac b c b c +--+-==--b 2=ac. …10分()()22222a c ba b c a c b a b c a c b+-++==+-++++.………15分不妨设a ＜c ，若a=1，c=b 2，因为a ≠b ，则a+c-b=1+b(b-1)≥3，取等号当且仅当b=2时. ………20分 若a ≥2，因为c ≠b ≠1，则a+c-b=a+b(b-1)≥a+2≥4＞3.所以222a b c a b c++++的最小值为3，当a=1，b=2，c=4时.………25分。
2017全国初中数学邀请赛
一、选择题（每小题7分，共35分）1.已知m>2，直线l 1：22m y x m-=+，直m 线l 2：y=－x+2m 与y 轴围成的三角形面积为30.则m 的值为（ ）.（A ）6 （B ）12 （C （D ） 2.已知五个互不相同的正整数之和为10001.则这五个正整数的最小公倍数的最小值为（ ）.（A ）2016 （B ）4032 （C ）2130 （D ）43803.记[x]表示不超过实数x 的最大整数设数列{}n a 满足a 1=1，n a = .则a 2017的值为（ ）. （A ）2015 （B ）2016 （C ）2017 （D ）20184.在四边形ABCD 中，AB=2，BC=3，CD=1，∠ABC=75°，∠BCD=120°.则∠CDA=（ ）.（A ）45° （B ）60° （C ）75° （D ）90°5.将1，2，…，9这九个数分别填入3×3的方格表中，使得相邻（具有公共边）两格中的数之差的绝对值之和达到最大.则此最大值为（ ）.（A ）57（B ）58（C ）59（D ）60二、填空题（每小题7分，共35分）6.求所有满足方程组[x 3+9x 2y=10，①1y 3+xy 2=2， ②的实数对（x ，y ）=7.在八进制的十位自然数中能被7整除且各位数字均为0或5的自然数有 个.8.若a 、b 、c 为不同的整数，则3a 2+2b 2+4c 2－ab －3bc －5ca 的最小值为 .9.如图1，在△ABC 中，AB=9，BC=8，CA=7，⊙O 1经过点A ，且与直线BC 切于点B ，⊙O 2经过点A ，且与直线BC 切于点C.设⊙O 1与⊙O 2除点A 之外的另一个交点为D.则AD=10.已知二次三项式ax 2+bx+b 的一个根与二次三项式ax 2+ax+b 的一个根的乘积等于1.则这两个根的平方和为三、解答题（每小题20分，共80分）11.已知二次函数y=x 2+2mx －3m+1，自变量x 及实数p 、q 满足221492,312p q x pq +=+= ，且y 的最小值为1.求m 的值. 12.已知正整数N 恰有九个正约数，其中三个正约数a 、b 、c 满足a+b+c=2017，ac=b2.求N 的值.13.如图2，△ABC的内切圆⊙I与边BC、CA、AB的切点分别为A1、B1、C1，△BC1B1，的外接圆⊙O1，与直线BC交于另一点K，△CB1C1的外接圆⊙O2与直线BC交于另一点L证明：C1L、B1K、A1I三线共点.14.已知半径为1的圆的内部共有130个互不相同的点，任意两点间有直线段联结.证明：这些直线段中至少有20173.如图1，在边长为10的正六边形ABCDEF中，H为边DE的中点，G为边BC上的一点，满足∠AGB=∠CGH.则五边形AFEHG的面积为4.已知甲、乙两个施工队各有若干名工人.若甲队借调给乙队90名工人，则乙队的工人总数将为甲队的2倍；若乙队借调给甲队若干名工人，则甲队的工人总数将为乙队的6倍.甲施工队原来最少有名工人.5.在平面上有200个点，任何三个点均不共线，且每个点均标注了数1、2、3中的一个，将标有不同数的所有点对均用线段联结，每条线段上均标注一个数1、2或3，此数与该线段端点标注的数不同，结果呈现出写在平面上的三个数1、2或3中的每一个均恰有n次.则n的值为二、（15分）能否选出10个连续的偶数，且将其分为五个对子（a k，b k）（k=1，2，…，5），使得方程x2+a k x+b=0（k=1，2，…，5）均具有整数根？若能，试举一例；若不能，请说明理由.三、（15分）如图2，D为锐角△ABC内一点，使得∠ADB=∠ACB+90°，且AC·BD=AD·BC，延长AD、BD、CD，分别与△ABC的外接圆Γ交于点G、E、F.证明：（1）EF=FG；（2）1 EFGSSπ∆ΘΓ=四、（15分）（1）证明：2018可表示为两个正整数的平方和；（2）证明：存在这样的三角形，可把它分割为2018个全等的三角形..。