机械控制工程基础第二章系统的数学模型
《机械控制工程基础》-2物理系统的数学模型及传递函数解析
称为叠加性或叠加原理。
控制工程基础
2.1.3 非线性系统的线性化
（2）非线性系统 如果系统的数学模型是非线性的，这种 系统称为非线性系统。 工程上常见的非线性特性如下： 饱和非线性 死区非线性 间隙非线性 摩擦非线性……
控制工程基础
2.1.3 非线性系统的线性化
（3）举例 下列微分方程描述的系统为线性系统：
零初始条件： 输入及其各阶导数在t =0-时刻均为0； 输出及其各阶导数在t =0-时刻均为0。 形式上记为：
Y (s) b0 s m b1s m1 bm1s bm G( s ) X (s) a0 s n a1s n1 an1s an
控制工程基础
2.2.2 传递函数的求法
（1）解析法（根据定义求取） 设线性定常系统输入为x(t) ，输出为y(t) ，描 述系统的微分方程的一般形式为 :
dny d n1 y d n2 y dy an n an1 n 1 an 2 n2 a1 a0 y dt dt dt dt
Xi ( s) Ts Xo ( s)
传递函数： G( s)
式中T为微分时间常数。
特点： （1）一般不能单独存在 （2）反映输入的变化趋势 （3）增强系统的阻尼 （4）强化噪声
4.积分环节
1 微分方程： xo (t ) T xi (t )dt
传递函数：
X ( s) 1 G( s) o X i (s) Ts
2 2
下列微分方程描述的系统为非线性系统：
控制工程基础
2.1.3 非线性系统的线性化
（4）系统运动微分方程的建立
电气系统
电阻、电感和电容器是电路中的三个基本元件。通常利用基尔霍夫 定律来建立电气系统的数学模型。 基尔霍夫电流定律：
机械控制工程基础第二章 控制系统的数学基础和数学模型
动态模型反映系统在迅变载荷或在系统不平衡状态下的特性，现时输出还
由受其以前输入的历史的影响，一般以微分方程或差分方程描述。在控制
理论或控制工程中，一般关心的是系统的动态特性，因此，往往需要采用
动态数学模型。
例:
••
•
系统动态模型：m x(t) c x(t) kx(t) F (t)
•
••
当系统运动很慢时，其 x 0, x 0，上式可简
5.初值定理
若L[f(t)]=F(s)，则
f (0 ) lim f (t) lim s F(s)
t 0
s
6.终值定理
若L[f(t)]=F(s)，则有
f () lim f (t) lim s F(s)
t
s0
7.延迟定理
若L[f(t)]=F(s)，对任一正实数a，则有
L f (t a) f (t a)estdt eas F (s) 0
ic
1 C
dui dt
R C uo(t)
例5 写出下图电气系统的微分方程
R1 L1
L2
①
u(t)
i1( t ) C
i2 ( t ) uc( t )
R2
解：
u(t)
i1 R1
L1
di1 (t) dt
uc
(t)
(1)
uc (t)
L2
di2 (t) dt
i2 R2
(2)
uc
(t)
1 C
(i1 - i2 )dt
j0
i0
若系数ai,bi是常数，则方程是线性定常的，相应 的系统也称为线性定常系统，若系数是时间的函数， 则该方程为线性时变的，相应的系统也称为线性时变 系统。（m≥n)
机械工程控制基础_第二章01
fk ff
f
解：根据牛顿第二定律可得：
f i (t ) f dyo ( t ) dt kyo ( t ) M d yo ( t ) dt
2 2
将输出写在等号右边，阶次由高向低排列，得：
M d yo ( t ) dt
2 2
f
dyo ( t ) dt
kyo ( t ) f i ( t )
f (t )
f 1
(2) 机械旋转系统
(t )
m (t )
k J
B
例2-5 J：转子的转动惯量，K：弹性轴的弹性系 数，B：阻尼器的阻尼系数；假设外部施加扭矩 m(t)，使系统产生一个偏离平衡位置的角位移 (t)；现研究外扭矩m(t)和角位移 (t) 的关系。
解：（列系统原始方程）在平衡位置时，外加扭矩m(t)应 与惯性矩mJ(t)、阻尼矩mB(t)、弹性矩mK(t)平衡，即：
非线性系统：①最高次为2；②存 在自变量与因变量的乘积。
6 y 4x
d y dt
2
3
3
5
d y dt
2
2
5
dy dt
线性系统：一次三阶线 性系统
d y dt
2
2
dy 非线性系统：存在因变量一阶导 y x 数的平方。 dt
2
d y
线性系统：一次二阶线性 2 y6 3x 2 系统 dt dt dt
x (t) k
其中:
xa ( t ) m
m
d y( t ) dt
2
2
f f fk
f k ky(t )
f y (t)
ff f
图 2-2 机 械 平 移 系 统 2
机械控制工程基础第二章物理系统的数学模型及传递函数
系统的动态特性是系统的固有特性，仅 取决于系统的结构及其参数，与系统的输 入无关。
线性系统与非线性系统 线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的
系数是时间t的函数，则为线性时变系统；
其中：
K1
f x1
,
x1 x10 x2 x20
K f 2
x2
x1 x10 x2 x20
滑动线性化——切线法
线性化增量方程
y=f(x)
为：
y y' =xtg
y0
A
切线法是泰勒级
x
数法的特例。
y y’
0
x0
x
非线性关系线性化
系统线性化微分方程的建立
步骤 确定系统各组成元件在平衡态的工作点； 列出各组成元件在工作点附近的增量方程； 消除中间变量，得到以增量表示的线性化微
y
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0
x0 )
或：y
-
y0
=
y
=
Kx，
其中：K
df (x) dx
x
x0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增
量方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程；
由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，
这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际
意义。
增量方程的数学含义就是将参考坐标的原 点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际 系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起 始点，这时，系统所有的初始条件均为零。
i(t)
R
控制工程基础：第二章 控制系统的数学模型及传递函数
用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。 如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统； 如果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为线性时 变系统。
线性系统的重要性质是可以应用叠加原理:
（1）多个输入同时作用于线性系统的总响应，等于各个输入 单独作用时分别产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出 亦增大同样的倍数。
一、 拉氏变换的定义
§2.2 拉普拉斯积分变换
1. 拉氏变换的定义
如果有一个以时间t为自变量的实函数f (t),
它的定义域是t 0，那么函数f (t)的拉氏变换为：
L[ f (t)] F (s) f (t)est dt 0
复变量：s j
原函数： f (t) 象函数： F (s)
F(s) L[ f (t)]
(6)式即为二阶常系数线性微分方程。
四、小结：
§2.1系统运动微分方程的建立
（1）物理本质不同的系统，可以有相同形式的数学模型。
机械平移动力学系统:
d2 m dt2
xo
(t
)
B
d dt
xo (t) kxo (t)
fi (t)
电网络系统:
LC
d2 dt 2
uo
(t)
RC
d dt
uo
(t)
uo
(t)
L[Ax1(t) Bx2 (t)] AX1(s) BX 2 (s)
2. 微分定理和积分定理
（1）微分定理
在所有初始条件均 为零时
L[ df (t)] sF (s) dt
L[ f (t)] F(s)
L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
L[ d 2 f (t)] s 2 F (s) sf (0) f (0) dt 2
机械工程控制基础课件 第2章： 系统的数学模型
控制系统的状态空间模型
要点一
总结词
控制系统的状态空间模型
要点二
详细描述
状态空间模型是一种描述控制系统动态行为的数学模型， 它通过建立系统的状态方程和输出方程来描述系统的动态 特性。在状态空间模型中，系统的状态变量、输入变量和 输出变量都被表示为矩阵和向量的形式，从而能够方便地 描述系统的动态行为。状态空间模型具有直观、易于分析 和设计等优点，因此在控制工程中得到了广泛应用。
传递函数模型的求解
通过求解传递函数模型中的代数方程或超 越方程，得到系统在给定输入下的输出响 应。
04
控制系统的数学模型
控制系统的定义与分类
总结词
控制系统的定义与分类
详细描述
控制系统的定义是：控制系统是一种能够实现自动控制和调节的装置或系统，它能够根 据输入信号的变化，自动调节输出信号，以实现某种特定的控制目标。控制系统可以分 为开环控制系统和闭环控制系统两类。开环控制系统是指系统中没有反馈环节的控制系
状态空间模型的求解
通过数值计算方法求解状态空间模型中的微分方程或差分方程，得到 系统状态变量的时间响应。
非线性系统的传递函数模型
总结词
传递函数模型的建立、性质和求解
传递函数模型的性质
传递函数模型是非线性的，具有频率响应 特性，可以描述系统在不同频率下的行为
特性。
传递函数模型的建立
通过拉普拉斯变换将非线性系统的微分方 程或差分方程转换为传递函数的形式，从 而建立非线性系统的传递函数模型。
03
非线性系统的数学模型
非线性系统的定义与性质
总结词
非线性系统的定义、性质和特点
非线性系统的定义
机械工程控制基础 华中科大第7版 第2章系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
三、非线性微分方程的线性化
1. 非线性方程线性化的条件 1) 非线性函数是连续函数（即非线性不是本质非线性） 2) 系统在预定工作点附近作小偏差运动，即变量的变化
范围很小。 2. 非线性方程线性化的方法 1) 确定预定工作点； 2) 在工作点附近将非线性方程展开成泰勒级数形式； 3) 忽略高于一阶项； 4) 表示成增量方程的形式。
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
二、系统微分方程的列写
1. 机械系统
F ma
F ma 0
遵循的定律：牛顿第二定律或达朗贝尔原理
(1)直线运动
元素：质量m、弹簧k、粘性阻尼器c
质量元件：
F ma mx
阻尼元件： c Fc cv cx，c—粘性阻尼系数
4. 整理所得到的微分方程，将与输出有关的项放在方程
的左侧，与输入有关的项放在方程的右侧，各阶导数项
按降幂方式排列。 如： an x0(n) (t) an1x0(n1) (t) a1x0 (t) a0 x0 (t)
bm xi(m) (t) bm1x0(m1) (t) b1xi (t) b0 xi (t)
L
R
解：根据克希荷夫电压定律，得
u
i
C
u(t)
L
di(t dt
)
Ri
(t
)
1 C
i(t)dt
∵ i(t) dq(t)
dt
消去中间变量i(t)，并整理得，
LCq(t) RCq(t) q(t) Cu(t)
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
机械控制工程基础(第二章)ppt课件
a0x0t
bm
dmxi t
dtm
bm1
dm1xi t
d tm1
b1
d xi t
dt
b0xi
t
在初始条件为零时，对上式进行拉氏变换
ansnan 1sn 1 a 1sa0X 0s b m smb m 1sm 1 b 1sb 0X i s
故得系统（或环节）的传递函数为
G sX X 0 is sb a m n s sm n a b n m 精 1 1 选s sn Pm P 1 T1 课 件 a b 1 1 s s a b 0 0
x0(t)Txi(t)
精选PPT课件
16
例 下图是简化了的直流发电机组。激磁电压 v恒i 定，磁通不变。
此时电枢电压 与转v速0 成正比•。若 为输入，输出是电压 ，
试v求0此系统的传递函数。
R
•
解：v 0 T
vi i
LM
式中 T——常数
v0 VsT s s 0
GsV 0ssTs
即直流发电机作为测速发电机时，可认为是微分环节。
2
x0
0
精选PPT课件
xi
3
x• 0
0
精选PPT课件
xi
4பைடு நூலகம்
F
0
x?
F
0
x?
精选PPT课件
5
线性化方法：
利用台劳公式 f(x)k n 1 0f(k k )!(a)(xa)kR n(x)
f(a)k n 1 1f(k k )!(a)(x a)kR n(x)
f( x ) f( x 0 ) f( x 0 )x ( x 0 )
物理系统的数学模型
及传递函数
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基本要求、重点和难点一、基本要求（1）了解数学模型的基本概念。
能够运用动力学、电学及专业知识，列写机械系统、电子网络的微分方程。
（2）掌握传递函数的概念、特点，会求传递函数的零点、极点及放大系数。
（3）能够用分析法求系统的传递函数。
（4）掌握各个典型环节的特点，传递函数的基本形式及相关参数的物理意义。
（5）了解传递函数方框图的组成及意义；能够根据系统微分方程，绘制系统传递函数方框图，并实现简化，从而求出系统传递函数。
（6）掌握闭环系统中前向通道传递函数、开环传递函数、闭环传递函数的定义及求法。
掌握干扰作用下，系统的输出及传递函数的求法和特点。
（7）了解相似原理的概念。
（8）了解系统的状态空间表示法，了解MATLAB中，数学模型的几种表示法。
二、本章重点（1）系统微分方程的列写。
（2）传递函数的概念、特点及求法；典型环节的传递函数。
（3）传递函数方框图的绘制及简化。
三、本章难点（1）系统微分方程的列写。
（2）传递函数方框图的绘制及简化。
概述系统按其微分方程是否线性这一特性，可以分为线性系统和非线性系统。
如果系统的运动状态能用线性微分方程表示，则此系统为线性系统。
线性系统的一个最重要的特性就是满足叠加原理。
线性系统又可分为线性定常系统和线性时变系统。
系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。
对于同一系统，数学模型可以有多种形式，如微分方程、传递函数、单位脉冲响应函数及频率特性等等。
但系统是否线性这一特性，不会随模型形式的不同而改变。
线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。
系统建模是经典控制理论和现代控制理论的基础。
建立系统数学模型的方法有分析法和实验辨识法两种。
前者主要用于对系统结构及参数的认识都比较清楚的简单系统，而后者通常用于对系统结构和参数有所了解，而需进一步精化系统模型的情况。
对于复杂系统的建模往往是一个分析法与实验辨识法相结合的多次反复的过程。
在建模的过程中还要正确处理模型简化和模型精度的辨证关系，以建立简单且能满足要求的数学模型。
第一节系统的微分方程列写系统或元件微分方程的一般步骤为：（1）确定系统或元件的输入量和输出量；（2）按照信号的传递顺序，从系统的输入端出发，根据有关定律，列写出各个环节的动态微分方程；（3）消除上述各方程式中的中间变量，最后得到只包含输入量与输出量的方程式；（4）将与输入有关的项写在微分方程的右边，与输出有关的项写在微分方程的左边，并且各阶导数项按降幂排列。
在列写微分方程的各步中，关键在于掌握组成系统的各个元件或环节所遵循的有关定律。
对于机械类的读者，往往需要列写机械系统和电网络系统的微分方程，因此，有必要掌握如表2.1.1所示的常见元件的物理定律。
表2.1.1 常见元件的物理定律m可将其进行线性化。
非线性系统线性化的方法是将变量的非线性函数在系统某一工作点（或称平衡点）附近展开成泰勒级数，分解成这些变量在该工作点附近的微增量表达式，然后略去高于一阶增量的项，并将其写成增量坐标表示的微分方程。
第二节系统的传递函数一、传递函数对于线性定常系统，传递函数是一种常用的数学模型。
其定义为：在零初始条件下，系统输出的Laplace变换与引起该输出的输入量的Laplace变换之比。
若线性定常系统输入与输出之间关系的微分方程为（2.2.1）则，系统以为输出、为输入的传递函数可表示成：（2.2.2）系统的零初始条件有两方面的含义，一是指在时输入才开始作用于系统，因此，时，及其各阶导数均为零；二是指在时系统处于相对静止的状态，即系统在工作点上运行，因此时，输出及其各阶导数也均为零。
现实的工程控制系统多属此类情况。
传递函数具有以下特点：（1）传递函数的分母反映了由系统的结构与参数所决定的系统的固有特性，而其分子则反映了系统与外界之间的联系。
（2）当系统在初始状态为零时，对于给定的输入，系统输出的Laplace变换完全取决于其传递函数。
一旦系统的初始状态不为零，则传递函数不能完全反映系统的动态历程。
（3）传递函数分子中s的阶次不会大于分母中s的阶次。
（4）传递函数有无量纲和取何种量纲，取决于系统输出的量纲与输入的量纲。
（5）不同用途、不同物理组成的不同类型系统、环节或元件，可以具有相同形式的传递函数。
（6）传递函数非常适用于对单输入、单输出线性定常系统的动态特性进行描述。
但对于多输入、多输出系统，需要对不同的输入量和输出量分别求传递函数。
另外，系统传递函数只表示系统输入量和输出量的数学关系（描述系统的外部特性），而未表示系统中间变量之间的关系（描述系统的内部特性）。
针对这个局限性，在现代控制理论中，往往采用状态空间描述法对系统的动态特性进行描述。
二、传递函数的零点、极点和放大系数传递函数是一个复变函数，一般具有零点、极点。
根据复变函数知识，凡能使复变函数为0的点均称为零点；凡能使复变函数为趋于∞的点均称为极点。
若将传递函数写成如下的形式：则，为传递函数的零点，为传递函数的极点，而将称为系统的放大系数。
传递函数的零点和极点的分布影响系统的动态性能。
一般极点影响系统的稳定性，零点影响系统的瞬态响应曲线的形状。
系统的放大系数决定了系统的稳态输出值。
因此，对系统的研究可变成对系统传递函数的零点、极点和放大系数的研究。
三、典型环节的传递函数系统是由若干典型环节组成的。
常见典型环节及其传递函数的一般表达式分别为：比例环节一阶惯性环节积分环节微分环节振荡环节（）延时环节以上各式中：为比例系数；为时间常数；为阻尼比；为无阻尼固有频率；为延迟时间。
四、闭环系统的传递函数闭环系统的传递函数方框图如图2.2.1所示。
图2.2.1 闭环系统的结构图图中，前向通道的传递函数为反馈通道的传递函数为开环传递函数为；闭环传递函数为。
若，则此闭环系统为单位反馈系统。
其闭环传递函数为。
请注意，这里所说的开环传递函数、反馈通道的传递函数和前向通道的传递函数都只是一个闭环系统中一部分元件或环节的传递函数，而闭环传递函数才是这个闭环系统的传递函数。
表示闭环系统内各种传递函数的符号只是一个符号而已，读者在遇到相应的问题是，要根据各自的的概念作具体的分析。
第三节系统的传递函数方框图及其简化一、传递函数方框图在系统建模中，对于各个环节，分别用传递函数代表环节，用环节输入、输出的Laplace变换代表其输入和输出，而形成的一种表示系统与外界之间以及系统内部各变量之间的关系的方框图就是传递函数方框图。
与系统方框图相对应，它包含函数方框、相加点和分支点等三种基本要素。
建立系统方框图的步骤如下：（1）建立系统（或元件）的原始微分方程；（2）对这些原始微分方程在初始状态为零的条件下进行Laplace 变换，并根据各个变换式的因果关系分别绘出相应的方框图；（3）从系统的输入量与主反馈信号进行叠加的比较环节开始，沿信号流动的方向，通过传递函数方框将所有的中间变量之间的关系一一画出，直至画出系统的输出量与主反馈信号。
二、传递函数方框图等效的基本规则传递函数方框图等效的基本规则如表2.3.1所示。
三、传递函数方框图简化的一般步骤（1）确定系统的输入量和输出量，如果作用在系统的输入量有多个，则必须分别对每一个输入量，逐个进行方框图的简化，求得各自的传递函数。
对于具有多个输出量的情况，也要分别进行变换，求取各自的传递函数。
（2）若方框图中仅有多个无交叉回路，则按照先里后外的原则，逐个简化，直至简化成一个方框的形式。
若方框图中有交叉的连接，用如下的方法。
方法一：若系统的传递函数方框图同时满足以下两个条件条件1，整个系统方框图中只有一条前向通道；条件2，各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框。
则可以直接用下列公式求解：（2.3.1）括号内每一项的符号是这样决定的：在相加点处，对反馈信号为相加时取负号，对反馈信号为相减时取正号。
方法二：若系统的传递函数方框图不同时满足以上两个条件，则可通过相加点、分支点的前后移动等法则，将系统传递函数方框图化为同时满足以上两个条件的形式，然后应用公式（2.3.1）即可。
方法三：若系统的传递函数方框图不同时满足以上两个条件，可通过相加点、分支点的前后移动等法则，将交叉消除，简化成无交叉的多回路形式。
然后由里到外进行变换直至变换成一个单一回路或一个方框的形式，最后写出系统的传递函数。
在进行相加点或分支点前后移动时，应避免将相加点跨越分支点或分支点跨越相加点，或将相加点和分支点的位置进行相互交换，否则，方框图将更加复杂。
表2.3.1 常用传递函数方框图的等效变换法则第四节反馈控制系统的传递函数设闭环系统在干扰作用下的方框图如图2.4.1。
图2.4.1 闭环系统在干扰作用下的方框图根据线性系统的叠加原理，系统输入与系统的干扰相互独立地对系统起作用。
设输入引起的输出为，干扰引起的输出为。
令干扰为零，则可得系统在输入作用下的传递函数为（2.4.1）令输入为零，则可得系统在干扰作用下的传递函数为（2.4.2）在上式中，若取，且，则干扰所引起的输出趋于0。
因此，尽管系统在运行的过程中，干扰是不可避免的，而对于反馈控制系统，只要系统参数选择适当，就可以使系统具有很强的抗干扰能力。
从式（2.4.1）和式（2.4.2）可知，对于同一个闭环系统，当输入的取法不同时，前向通道的传递函数不同，反馈回路的传递函数不同，系统传递函数也不同，但传递函数的分母不变。
这说明了系统传递函数的分母确实反映了系统本身的固有特性，这个特性与外界无关。
而这一结论对开环系统并不适用。
相似系统（环节）：能用形式相同的数学模型来描述的物理系统（环节）称为相似系统（环节）。
相似量：对于相似系统而言，在数学模型中占有相同位置的物理量称为相似量。
系统传递函数或微分方程等数学模型表示的是系统的动态特性，而与系统具体的物理构成无关。
不同物理构成的相似系统可以用相同形式的数学模型进行表示，它们具有相似的动态特性。
系统的相似性是进行系统模拟或系统仿真的基础。
例题例2.1 设有一个倒摆装在只能沿方向移动的小车上，如图（例2.1）所示。
图中为小车质量，为摆的质量，为摆长。
当小车受到外力作用，并假设摆的角位移较小时，试求以为输出、为输入的系统动力学方程。
图（例2.1）解：当小车在外力作用下产生位移时，摆的角位移为，则摆心的位置是。
以整个系统为研究对象，根据牛顿第二定律，在水平方向上的动力学方程为：同样，以摆为研究对象，摆在垂直于摆杆方向上的动力学方程为即：这是一个非线性微分方程组。
当较小时，取，并略去的高次项，得如下线性运动微分方程组联立求解得：例2.2 设无源网络如图（例2.2）所示。
设该网络的初始条件为零，试求其传递函数，并说明该网络是否等效于和两个网络的串联。
图（例2.2）解：（1）如图（例2.2），由节点电流和回路电压定律可知接下来有两种解法。