矩估计
第44讲 矩估计
k1 k ˆ k m. n ˆ m n k1
类似方法可以估计池塘里鱼的数目, 森林里某动物的数目等.
10
1 0 x 1; x 例3:设总体X的密度为:f x; 其他. 0 0未知,X1,, X n为样本，求的矩估计量.
若已获得 n 10的样本值如下， 0.43 0.14 0.01 0.99 0.30 0.18 0.04 0.98 0.54 0.02
2
,
2
(2) 求参数关于矩的反函数 a 1 3 2 , b 1 3 2
(3)以样本矩 A1 X 代替总体矩 1 , B2 1 ( X i X ) 2代替 2， n i 1 得参数 a和 b的矩估计量： ˆ X 3B . ˆ X 3 B2 , b a 2
i E ( X i ) hi ( 1 , , k ),
i 1, , k .
(2)求各参数关于 k阶矩的反函数, i g i ( 1 , , k ), i 1, , k
6
(3)以样本各阶矩 A1 , , Ak 代替总体 X 各阶矩
1 , , k，得 各参数的矩估计 ˆi g i ( A1 , , Ak )， i 1, , k .
ˆ ˆ( X , 点估计：构造合适的统计量 1 ,X n ) ˆ称为参数的点估计量. 用来估计未知参数，
ˆ( x , 当给定样本观察值x1, ,xn时， 1 ,xn )称为参 数的点估计值。
常用的点估计方法： 矩估计法、极大似然估计法.
3
例1：某大学新生有4千人参加第一学期末的 《微积分》考试.现随机选出100名学生,计算得 他们的平均成绩为72.3分,标准差为15.8分.试 估计全部学生的平均成绩. 记总体（4000个学生成绩）的均值为μ， 则μ的估计值为72.3分. μ：总体一阶矩，72.3分:样本一阶矩的 观测值 用样本矩作为总体矩的估计即为矩估计
第一节矩估计
1 2 Xi n i 1
2 2
概率统计
解之得:
1 n Xi n i 1
从而得
, 2 的矩估计量为：
n
1 n ˆ 2 X i 2 ( )2 ˆ n i 1
1 n 1 n 1 n ˆ 2 X i 2 ( X i )2 ( X i X )2 n i 1 n i 1 n i 1
概率统计
参数估计问题的一般提法 设有一个总体 X ，总体的分布函数为 F ( x ; ) 其中 为未知参数 ( 可以是向量 ) 。现从该 总体抽样，得样本： X1, X2, …, Xn 所研究的问题是：要依据该样本对参数 估计，或估计 的某个已知的函数 g ( ) 这类问题称为参数估计.
第七章
总体 随机抽样 样本 描述 统计量
参数估计
作出推断
研究统计量的性质和评价一个统计推断的 优良性，完全取决于其抽样分布的性质.
概率统计
参数估计问题:
利用从总体抽样得到的信息来 估计总体的某些参数或者参数 的某些函数.
Hale Waihona Puke 例如： 估计新生儿的体重： 估计废品率： 估计降雨量 在参数估计问题中，假定总体分布形式 已知，未知的仅仅是一个或几个参数. 估计湖中鱼数 ……
概率统计
如果 X1 , X 2 , X n 的一组样本值为：x1 , x2 xn
ˆ ˆ 则 ( x1 , x2 , xn ) 为 的估计值
二. 矩估计法 矩估计法是由统计学家卡. 皮尔逊（K. Pearson） 在19世纪末引入的。 矩是描写随机变量最简单的数字特征，由大数定律 可知，在一定条件下可以用样本的矩作为总体矩的 估计，从而得矩估计法的基本思想为： 用样本的各阶矩来估计总体的各阶矩
矩估计法的特点和不足
矩估计法的特点和不足
矩估计法是一种常用的参数估计方法，其特点和不足如下：
特点：
1. 简单易用：矩估计法的计算相对简单，不需要求解复杂的方程或进行迭代计算。
2. 无偏性：在满足一些条件的情况下，矩估计法得到的估计量是无偏的，即估计量的期望等于真实参数的值。
3. 一致性：在样本容量趋于无穷的情况下，矩估计法得到的估计量会以概率1收敛于真实参数的值。
4. 有效性：在满足一些条件的情况下，矩估计法可以得到效率较高的估计量，即方差较小。
不足：
1. 依赖矩条件：矩估计法依赖于矩条件的满足，如果矩条件不能满足或者估计参数与矩条件的联合分布存在依赖，则估计结果可能不准确。
2. 有界的参数空间：矩估计法对参数空间的要求较高，只适用于参数空间有界的情况，否则可能无法得到有效的估计结果。
3. 高阶矩的忽略：矩估计法只使用了前几阶的矩，忽略了高阶矩的信息，可能导致估计结果的偏差。
4. 效率低下：在一些情况下，矩估计法可能无法得到效率较高的估计量，此时可以考虑其他更优的估计方法。
07-第三十二讲 矩估计
该参数未知时，从总体中抽取一个样本, 用某种方法对该未知参数进行估计，这就
是参数估计.
第32讲矩估计
例如，假设总体x〜脚,殆,若参数〃与 。2未知. 先从该总体中抽样得到样本X1，X” , xn 然后构造样本函数，求出未知参数卩与&的 估
算得：「二 0.5 0 5 9 2 7 5, s 0.2 5 7 3
计算得到a b的矩估计值 a 二 r-③二 0.0602,
A
b 二如③= 0.9516
矩估计法小结
1） 原理直观； 2） 只用到总体矩，方法简单，若总体 矩 不存在，则无法使用矩估计法； 3） 矩估计基于大数定律，所以通常在 大 样本情况下，才有较好的效果.
— 11
11
0 二y 二—"H2 二—1(爪-x)2写2
na
A~
nn
第32讲矩估计
例设Xi，X2, ... , Xn是来自总体X〜B(m,p) 的一
个样本，求未知参数p的矩估计量.
因为总体X〜B(m, p)的一阶矩:
E( X) = mp
令
m p二X
求得p的矩估计量：P=-X
m
问题 若m, p都未知，如何求m, p的矩估计?
第32讲矩估计
例如X〜B(l,p), p为未知参数，则参
数空间为：
0 ={ p | 0 <p < 1). 又如X〜NS a2),卩,^2为未知参数,
则参数空间为： 0 = {(的 a2) | _8 < 卩 <8, a2 > 0)
第32讲矩估计
点估计的思想 X1，月，…，亳是来自总体X〜F(x; 01, ...Mm )
矩估计
的矩估计量.
1
解 总体一阶原点矩 样本一阶原点矩
EX EX m p
A1
n
1
n
1 Xi X
i1
用样本一阶原点矩 估计总体一阶原点矩，令
ˆ X m p,
解得
ˆ p
1 m
X
是p 的矩估计量.
例 已知总体X 服从二项分布 B ( m , p )，其中m已知, p未知， (1)求 p 的矩估计量；
EX )
k
Байду номын сангаасEX
k
EX
也存在.
k
为随机变量 X 的
k
阶中心矩.
k 2 时,2阶中心矩 E ( X E X ) 2 D X 当
设总体X，X 1 , X 2 , ..., X n 是来自 X 的一个样本.
样本k阶原点矩
Ak
n n
1
n i1
1
n
Xi , Xi X
1
2
1
2
用样本二阶中心矩 估计总体二阶中心矩， 即令
B2
X n
1
i 1
n
i
X S0
2
2
1 ˆ
2
解得
ˆ
1 B2
也是λ的矩估计量.
x f ( x )d x
2
样本一阶原点矩:
ˆ
2
A1 X
用样本一阶原点矩 估计总体一阶原点矩，令
X
,
解得
ˆ 2 X
n
2
n
Xi
是θ的矩估计量.
i1
其原理 矩法是K.Pearson在十九世纪提出的， 可由格列汶科定理得到： 样本各阶矩 当n很大时， 与总体各阶矩很靠近. 不需要 矩法的优点是简便易行， 在使用矩法时， 事先知道总体的分布类型. 它的缺点是： 在总体的分布类型已知的情况下， 没有充分利用分布提供的信息. 一般情况下，矩估计量不具唯一性.
矩估计的定义
矩估计的定义嘿，朋友们！今天咱来聊聊矩估计呀。
你说矩估计像啥呢？就好比你要去了解一个陌生人，你得从他的各种表现、行为来猜一猜他大概是个啥样的人。
咱先说说啥是矩估计哈。
简单来说，就是通过一些样本数据的特征，来估计总体的参数。
这就好像你看了几部电影，就能大概猜到这个导演的风格一样。
比如说，咱知道了一些样本的均值，就能试着去估摸总体的均值大概是多少。
你想想看啊，在生活中咱们不也经常这么干吗？你看到一个人经常笑眯眯的，是不是就觉得他可能是个性格开朗的人呀？这其实就是一种类似矩估计的思维呢。
再比如说，咱去买水果。
你挑了几个苹果，发现都挺甜的，那你是不是就会觉得这一批苹果应该都挺甜的呀？这就是根据局部来推测整体嘛。
矩估计也是这样，通过对样本的观察和分析，来试着了解那个神秘的总体。
那为啥要搞矩估计呢？这还用问吗？要是咱能把总体的情况都搞清楚，那做很多事情不就容易多啦？比如生产产品的时候，知道了总体的参数，就能更好地控制质量呀。
就像你知道自己的饭量大概有多少，那去打饭的时候就心里有数啦，不会打多了浪费，也不会打少了饿着自己。
而且矩估计可实用啦！在很多领域都能派上用场呢。
比如统计学啦、经济学啦，甚至在日常生活中也能时不时看到它的影子。
咱再举个例子哈，假如你想知道一个班级里学生的平均身高。
你不可能去量每个人的身高吧，那多麻烦呀！这时候你就可以随机选几个同学，量一量他们的身高，然后通过矩估计的方法来估摸一下全班的平均身高大概是多少。
是不是很方便呀？总之呢，矩估计就像是我们探索未知世界的一把小钥匙，能帮我们打开一些神秘大门的缝隙，让我们对那个隐藏在背后的总体有个大概的了解。
它虽然不是万能的，但在很多时候真的很管用呢！难道不是吗？所以呀，大家可别小看了矩估计哦，它可是有着大用处的呢！。
矩估计法的公式范文
矩估计法的公式范文矩估计法是一种常用的参数估计方法，通过观测随机变量的矩来估计未知参数。
矩估计法的本质是将观测样本的经验矩与总体的理论矩相等，从而得到参数的估计值。
矩估计法的公式可以用以下方式表示：假设总体的概率密度函数为f(x;θ)，其中θ为待估计的参数。
设X1，X2，...，Xn是总体的一个样本。
则第k阶矩定义为E(X^k)，其中E为期望运算符。
样本的k阶矩定义为Mk=1/n*ΣXi^k，其中Σ为求和运算符。
1.确定要估计的参数个数，记为d。
2.根据样本数据计算出前d个样本矩（M1，M2，...，Md）。
3.将理论矩与样本矩相等，得到一组方程。
4.解方程组，得到参数的估计值。
具体而言，设总体的期望为μ，方差为σ^2，M1和M2分别为样本的平均值和方差。
则将样本的平均值M1与总体的期望μ相等，有M1=μ，解得参数的估计值为μ的估计值为M1同样地，将样本的方差M2与总体的方差σ^2相等，有M2=σ^2，解得参数的估计值为σ^2的估计值为M2对于更高阶的矩估计法，需要根据总体的分布特点确定要估计的参数个数，并利用样本的高阶矩与总体的高阶矩相等来求解参数的估计值。
矩估计法是一种经典的参数估计方法，其优点是计算简单、直观，适用于各种分布形态的总体。
但是矩估计法也有局限性，例如当总体的矩不完全存在或者计算繁琐时，矩估计法可能无法得到有效的估计结果。
总之，矩估计法是一种常用的参数估计方法，其公式可以通过将样本的经验矩与总体的理论矩相等来求解参数的估计值。
矩估计法具有简单直观、适用性广泛的特点，对于各种分布形态的总体都可以使用。
但是矩估计法也有一定的局限性，需要注意总体的矩是否完全存在以及计算的复杂度等问题。
矩估计值的求解步骤
矩估计值的求解步骤
矩估计是一种常用的参数估计方法，其求解步骤如下：
1. 确定所要估计的参数：
首先确定要估计的参数，假设为θ。
2. 写出样本的矩估计方程：
根据样本的矩估计原理，我们可以根据样本各阶矩的统计量来估计参数θ。
写出样本各阶矩的统计量方程，假设为ψ(θ)。
3. 解方程：
对步骤2中的方程进行求解，得到关于参数θ的估计值，假设为θ_hat。
4. 检验估计结果：
检验估计值的合理性，可以通过计算标准误差、置信区间等指标来判断估计结果的可靠性。
需要注意的是，矩估计虽然简单直观，但在某些情况下可能存在多解或无解的问题，此时可能需要考虑其他的估计方法。
此外，矩估计也有其局限性，例如对于小样本或存在较大的数据离群点的情况，可能会导致估计结果不准确。
因此，在进行矩估计时应结合具体问题和数据情况来选择合适的估计方法。
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3.矩估计法
矩估计法是求估计量的最古老的也是最直观的方法.它的基本思想就是用样本的平均值去估计总体的数学期望E(X),用样本的统计量
去估计总体的方差D(X), 如下图所示：
构成矩估计法
样本(X 1, X2,…, X n)
（统计量：样本均值（总体数学期望的估计
量）构成矩估计法
样本(X 1, X2,…, X n)
（统计量：样本方差）（总体方差的估计量）例3.7.1根据抽样调查,以下是某班10名同学”高等数学”考试成绩,试用矩估计法估计总体的均值和标准差.
63 82 94 71 63 73 92 79 84 85
解.设全班的”高等数学”的成绩为X，则其平均成绩为E(X),标准差为.
由矩估计法公式有
=(63+82+94+71+63+73+92+79+84+85)/10=78.6,
,
.
例3.7.2设总体X在[μ-ρ, μ+ρ]上服从均匀分布, μ、ρ未知, （X1,X2,…,X n）是一个样本,试估计参数μ和ρ.
解.因为总体X服从[μ-ρ, μ+ρ]上的均匀分布, 而均匀分布的数学期望
E(X)=(μ+ρ+μ-ρ)/2=μ ,
方差D(X)=( μ+ρ-μ+ρ)2/12=ρ2/3.
由上述公式估计:
4.极大似然估计法
在讲解极大似然估计法之前，我们从一个例子入手，了解极大似然估计法的直观想法:设甲箱中有99个白球，1个黑球；乙箱中有1个白球，99个黑球．现随机取出一箱，再从中随机取出一球，结果是黑球，这时我们自然更多地相信这个黑球是取自乙箱的．因此极大似然估计法就是要选取这样的数值作为参数的估计值，使所选取的样本在被选的总体中出现的可能性为最大.
定义.若总体X的密度函数为p(x; θ1, θ2,…, θk)，其中θ1, θ2,…,θk是未知参数，(X1, X2,…, X n)是来自总体X的样本，称
为θ1,θ2,…,θk的似然函数．其中x1,x2,…,x n为样本观测值．
若有使得
成立, 则称为θj极大似然估计值(j=1,2,…,k).
特别地,当k=1时,似然函数为:
根据微积分中函数极值的原理，要求使得上式成立，只要令
其中L(θ)=L(x1,x2,…,x n;θ).
解之，所得解为极大似然估计，上式称为似然方程.
又由于与的极值点相同,所以根据情况,也可以求出
的解作为极大似然估计.
若总体X为离散型随机变量，其概率分布为:
P(X=x)=p(x; θ1, θ2,…,θk)
其中θ1, θ2,…, θk为未知参数，同样可以写出似然函数及似然方程.
例3.7.3已知总体X服从泊松分布
(λ>0, x=0,1,…)
(x1,x2,…,x n)是从总体X中抽取的一个样本的观测值，试求参数λ的极大似然估计.
解．参数λ的似然函数为
两边取对数:
上式对λ求导,并令其为0,即
从而得
即样本均值是参数λ的极大似然估计.
例3.7.4设总体X服从正态分布N(μ, σ2)，试求μ及σ2的极大似然估计.
解．μ,σ的似然函数为
似然方程组为
解之得: ,
.
因此及分别是μ及σ2的极大似然估计.
上面我们介绍了两种求估计量的方法：矩估计法和极大似然估计法.从矩估计法公式我们得到,对正态总体N(μ,σ2)，未知参数μ的矩估计为,σ2的矩估计为；而由例3.7.4, μ, σ2的极大似然估计也分别是与.一般地，在相当多的情况下，矩估计与极大似然估计是一致的，但也确有许多情形，矩估计法和极大似然估计法给出的估计是不同的.谁优谁劣?我们可以用估计量的优劣标准进行评价．除此之外，亦可以根据问题的实际意义进行判定.。