年北京市海淀区高考二模数学试卷分析
北京海淀高三二模数学解析
2020年北京市海淀区高三二模数学考试逐题解析2020.6 本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第I 卷（选择题 共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 若全集,{|1},{|1}U A x x B x x ==<=>−R ,则 （A ）A B ⊆ （B ）B A ⊆ （C ）UB A ⊆（D ）UA B ⊆【答案】D【解析】本题考查集合的运算. 由题意:{|1},{|1}UA x xB x x =≥=>−,不难看出UA B ⊆.故选D.2. 下列函数中,值域为[0,)+∞且为偶函数的是 （A ）2y x = （B ）|1|y x =− （C ）cos y x =（D ）ln y x =【答案】A【解析】本题考查函数值域与奇偶性.A 选项,值域为[0,)+∞,满足()()f x f x −=,是偶函数;B 选项,值域为[0,)+∞,不满足()()f x f x −=,不是偶函数;C 选项,值域为[1,1]−,满足()()f x f x −=,是偶函数;D 选项,值域为R ,不满足()()f x f x −=,不是偶函数. 故选A.3. 若抛物线212y x =的焦点为F ,点P 在此抛物线上且横坐标为3,则||PF 等于 （A ）4 （B ）6 （C ）8（D ）10【答案】B【解析】本题考查抛物线. 因为抛物线的方程为212y x =,所以212p =,准线方程为32px =−=−.根据抛物线的性质:抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离, 所以||3362P pPF x =+=+=. 故选B.4. 已知三条不同的直线,,l m n 和两个不同的平面,αβ,下列四个命题中正确的为 （A ）若//,//m n αα,则//m n （B ）若//,l m m α⊂,则//l α （C ）若//,//l l αβ,则//αβ（D ）若//,l l αβ⊥,则αβ⊥【答案】D【解析】本题考查空间位置关系.A 选项,若//,//m n αα,则m 与n 可相交、平行或异面,故A 选项错误;B 选项,若//,l m m α⊂,则//l α或l α⊂,故B 选项错误;C 选项,若//,//l l αβ,则α与β相交或平行,故C 选项错误;D 选项,若//,l l αβ⊥,则αβ⊥,故D 选项正确. 故选D.5. 在ABC 中,若17,8,cos 7a b B ===−,则A ∠的大小为（A ）π6（B ）π4（C ）π3（D ）π2【答案】C【解析】本题考查解三角形. 方法一:因为1cos 07B =−<,所以π(,π)2B ∈,所以sin 0B >, 即3sin 7B =.由正弦定理sin sin a b A B =,得7sin 437A =,得到3sin 2A =. 又因为π(0,)2A ∈,所以π3A =.故选C. 方法二:根据余弦定理222249641cos 2147a cbc B ac c +−+−===−,解得123,5c c ==−（舍）222649491cos 2482b c a A bc +−+−===.所以π3A =. 故选C.6. 将函数π()sin(2)6f x x =−的图象向左平移π3个单位长度,得到函数()g x 的图象,则()g x =（A ）πsin(2)6x +（B ）2πsin(2)3x +（C ）cos2x （D ）cos2x −【答案】C【解析】本题考查三角函数图象变换.由题可知ππππ()()sin[2()]sin(2)cos23362g x f x x x x =+=+−=+=故选C.7. 某三棱锥的三视图如图所示,如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该三棱锥的体积为（A ）23（B ）43（C ）2（D ）4【答案】A【解析】本题考查三视图.三棱锥的直观图如图所示:由图可知,该三棱锥体积为11122123323ABCV Sh =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=, 故选A.8. 对于非零向量,a b ,“2()2+⋅=a b a a ”是“=a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】本题考查平面向量数量积.充分条件:由2222(22⋅=⇒+⋅=⇒⋅=a +b)a a a a b a a b a2||||cos ||||cos ||⇒⋅⋅〈⋅〉=⇒⋅〈⋅〉=a b a b a b a b a所以充分条件不成立;必要条件:2()()22=⇒⋅=⋅⇒⋅=a b a +b a a +a a a a a 所以必要条件成立; 所以是必要不充分条件. 故选B.9. 如图,正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2,,点O 为底面ABCD 的中心,点P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动.若1D O OP ⊥,则11D C P 面积的最大值为（A ）255（B ）455（C ）5（D ）25【答案】C【解析】本题考查立体几何空间向量.以D 为原点,分别以1,,DA DC DD 为x 轴,y 轴,z 轴,如图建立空间直角坐标系,1(0,0,2)D ,1(0,2,2)C ,(1,1,0)O ,点O 为底面ABCD 中心,设00(,2,)P x z ,所以1(1,1,2)D O =−,00(1,1,)OP x z =−, 因为1D O OP ⊥,所以1000011220D O OP x z x z ⋅=−+−=−=. 所以002x z =.令0,z a =则02(01)x a a =≤≤ 所以(2,2,)P a a , 所以1(2,0,2)C P a a =−,2221216||(2)0(2)5()55C P a a a =++−=−+. 因为01a ≤≤,所以当1a =时,1||C P 取得最大值. 此时1||5C P =1111111||||2522D C PS D C C P =⨯⨯=⨯⨯, 故选C.10. 为了预防新型冠状病毒的传染,人员之间需要保持一米以上的安全距离.某公司会议室共有四行四列座椅,并且相邻两个座椅之间的距离超过一米,为了保证更加安全,公司规定在此会议室开会时,每一行、每一列均不能有连续三人就座.例如下图中第一列所示情况不满足条件（其中“√”表示就座人员）.根据该公司要求,该会议室最多可容纳的就座人数为 （A ）9 （B ）10 （C ）11（D ）12【答案】C【解析】本题考查逻辑推理.如图编号,行为,,,a b c d ,列为1,2,3,4.1 2 3 4 a√ √ √ b√ √ √ c√ √ d√√√尽可能多坐人时,每行最多3人. 坐法1,2,4或1,3,4.①若a 行坐124,,a a a 、且b 坐124,,b b b , 那么c 行只能坐3c ,d 行最多坐124,,d d d , 共计10人.②若a 行坐124,,a a a 、且b 坐134,,b b b , 那么c 行能坐23,c c ,d 行可坐124,,d d d , 共计11人.其它座位分布情况同理,故最多11人. 故选C.第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。
【精品解析】北京市海淀区高三数学5月高考二模试题解析 文 (学生版)
精品解析：北京市海淀区2012届高三5月高考二模数学（文）试题解析（学生版）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）函数21,12y x x =-+-?的值域是（A ）(3,0]- （B ） (3,1]- （C ）[0,1] （D ）[1,5)（2）已知命题p ：1,sin 2x xx $?R . 则p Ø为 （A ）1,sin 2x xx $?R （B ）1,sin 2x x x "?R （C ）1,sin 2x xx $纬R （D ）1,sin 2x x x "纬R （3）22cos 15sin 15-的值为（A ）12 （B （C （D （4）执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为10，则输出的x 值为（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0（5）已知平面,αβ和直线m ，且m Ìα，则“α∥β”是 “m ∥β”的（A ）充要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）为了得到函数21log (1)2y x =-的图象，可将函数2log y x =的图象上所有的点的 （A ）纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 （B ）纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度 （C ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度（D ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度（7）某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（A ）203 （B ）43（C ）6（D ）4（8）点(,)P x y 是曲线1:(0)C y x x=>上的一个动点，曲线C 在点P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，点O 是坐标原点. 给出三个命题：①PA PB =；②OAB ∆的面积为定值；③曲线C 上存在两点,M N ，使得OMN ∆为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（A ）１ （B ）２ （C ）３ （D ）０二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.（9）复数31i i z +=，则z = .（10）已知双曲线22221x y a b-=的渐近线方程是2y x =?，那么此双曲线的离心率为 .（11）在ABC ∆中，若120A ??，6c =，ABC ∆的面积为，则a = .（12）在面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则PAB ∆的面积大于等于14的概率是_________．（13）某同学为研究函数()1)f x x =＃的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP x =，三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ¹，5346S a =+，且139,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列1{}n S 的前n 项和公式.（16）（本小题满分13分）在一次“知识竞赛”活动中，有12,,,A A B C 四道题，其中12,A A 为难度相同的容易题，B 为中档题，C 为较难题. 现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答.（Ⅰ）求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率；（Ⅱ）求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率.(17)（本小题满分14分）在正方体''''ABCD A B C D -中, 棱,','',''AB BB B C C D 的中点分别是,,,E F G H , 如图所示．（Ⅰ）求证：'AD ∥平面EFG ；（Ⅱ）求证：'A C ^平面EFG ；（Ⅲ）判断点,',,A D H F 是否共面? 并说明理由.(18)（本小题满分13分）已知函数22()3x a f x x a +=+（0a ≠，a ∈R ）. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，若对任意12,[3,)x x ∈-+∞，有12()()f x f x m -≤成立，求实数m 的最小值.（19）（本小题满分13分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，且点(-在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知点5(,0)4Q ，动直线l 过点F ，且直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，证明：QA QB ⋅为定值.。
北京市海淀区2023-2024学年高三下学期期末练习(二模)数学试题(解析版)
海淀区2023—2024学年第二学期期末练习高三数学2024.05本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}1,0,1,2,{3}A B x a x =-=≤<∣.若A B ⊆，则a 的最大值为（）A.2 B.0C.1- D.-2【答案】C 【解析】【分析】根据集合的包含关系可得1a ≤-求解.【详解】由于A B ⊆，所以1a ≤-，故a 的最大值为1-，故选：C2.在52()x x-的展开式中，x 的系数为（）A.40B.10C.40-D.10-【答案】A 【解析】【分析】利用二项式定理的性质.【详解】设52(x x-的通项1k T +，则()5115C 2k k k k T x x --+=-，化简得()5215C 2k kk k T x -+=⋅-⋅，令2k =，则x 的系数为()225C 240-=，即A 正确.故选：A3.函数()3,0,1,03x x x f x x ⎧≤⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩是（）A.偶函数，且没有极值点B.偶函数，且有一个极值点C.奇函数，且没有极值点D.奇函数，且有一个极值点【答案】B 【解析】【分析】根据函数奇偶性定义计算以及极值点定义判断即可.【详解】当0x ≤时，0x ->，则1()(3()3xx f x f x --===，当0x >时，0x -<，则1()3()()3xx f x f x --===，所以函数()f x 是偶函数，由图可知函数()f x 有一个极大值点.故选：B.4.已知抛物线24x y =的焦点为F ，点A 在抛物线上，6AF =，则线段AF 的中点的纵坐标为（）A.52B.72C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线定义求得点A 的纵坐标，再求AF 中点纵坐标即可.【详解】抛物线24x y =的焦点()0,1F ，又16A AF y =+=，解得5A y =，故线段AF 的中点的纵坐标为1532+=.故选：C.5.在ABC 中，34,5,cos 4AB AC C ===，则BC 的长为（）A.6或32B.6C.3+D.3【答案】A 【解析】【分析】根据余弦定理即可求解.【详解】由余弦定理可得222222543cos 2104AC CB ABCB C AC BCBC+-+-===⋅,故22151806CB BC BC -+=⇒=或32，故选：A6.设,R,0a b ab ∈≠，且a b >，则（）A.b a a b< B.2b a a b+>C.()sin a b a b -<- D.32a b>【答案】C 【解析】【分析】举反例即可求解ABD,根据导数求证()sin ,0,x x x <∈+∞即可判断C.【详解】对于A ，取2,1a b ==-，则122b aa b=->=-，故A 错误，对于B ，1,1a b ==-，则2b aa b+=，故B 错误，对于C ，由于()sin 0,cos 10y x x x y x '=->-≤=，故sin y x x =-在()0,∞+单调递减，故sin 0x x -<，因此()sin ,0,x x x <∈+∞，由于a b >，所以0a b ->，故()sin a b a b -<-，C 正确，对于D,3,4a b =-=-,则11322716a b =<=，故D 错误，故选：C7.在ABC 中，π,2C CA CB ∠===，点P 满足()1CP CA CB λλ=+- ，且4CP AB ⋅= ，则λ=（）A.14-B.14C.34-D.34【答案】B 【解析】【分析】用CB ，CA 表示AB ，根据0CA CB ⋅=，结合已知条件，以及数量积的运算律，求解即可.【详解】由题可知，0CA CB ⋅=，故CP AB ⋅()()()()2211881168CA CB CB CA CA CB λλλλλλλ⎡⎤=+-⋅-=-+-=-+-=-+⎣⎦，故1684λ-+=，解得14λ=.故选：B.8.设{}n a 是公比为()1q q ≠-的无穷等比数列，n S 为其前n 项和，10a >.则“0q >”是“n S 存在最小值”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的判定以及等比数列前n 项和公式判断即可【详解】若10a >且公比0q >，则110n n a a q -=>，所以n S 单调递增，n S 存在最小值1S ，故充分条件成立.若10a >且12q =-时，11112211013212n nn a S a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-->⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，当n 为奇数时，121132nn S a ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，n S 单调递减，故最大值为1n =时，11S a =，而123n S a <,当n 为偶数时，121132n n S a ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，n S 单调递增，故最小值为2n =，122aS =，所以n S 的最小值为112a ，即由10a >，n S 存在最小值得不到公比0q >,故必要性不成立.故10a >公比“0q >”是“n S 存在最小值”的充分不必要条件.故选：A9.设函数()f x 的定义域为D ，对于函数()f x 图象上一点()00,x y ，若集合()(){}0,k k x x y f x x D ≤∈-+∀∈R∣只有1个元素，则称函数()f x 具有性质0x P .下列函数中具有性质1P 的是（）A.()1f x x =- B.()lg f x x=C.()3f x x = D.()πsin2f x x =-【答案】D 【解析】【分析】根据性质1P 的定义，结合各个函数的图象，数形结合，即可逐一判断各选择.【详解】根据题意，要满足性质1P ，则()f x 的图象不能在过点()()1,1f 的直线的上方，且这样的直线只有一条；对A ：()1f x x =-的图象，以及过点()1,0的直线，如下所示：数形结合可知，过点()1,0的直线有无数条都满足题意，故A 错误；对B ：()lg f x x =的图象，以及过点()1,0的直线，如下所示：数形结合可知，不存在过点()1,0的直线，使得()f x 的图象都在该直线的上方，故B 错误；对C ：()3f x x =的图象，以及过点()1,1的直线，如下所示：数形结合可知，不存在过点()1,1的直线，使得()f x 的图象都在该直线的上方，故C 错误；对D ：()πsin2f x x =-的图象，以及过点()1,1-的直线，如下所示：数形结合可知，存在唯一的一条过点()1,1-的直线1y =-，即0k =，满足题意，故D 正确.故选：D.10.设数列{}n a 的各项均为非零的整数，其前n 项和为n S .若()*,j i i j -∈N为正偶数，均有2ji aa ≥，且20S =，则10S 的最小值为（）A.0B.22C.26D.31【答案】B 【解析】【分析】因为2120S a a =+=，不妨设120,0a a ><，由题意求出3579,,,a a a a 的最小值，46810,,,a a a a 的最小值，10122S a =，令11a =时，10S 有最小值.【详解】因为2120S a a =+=，所以12,a a 互为相反数，不妨设120,0a a ><，为了10S 取最小值，取奇数项为正值，取偶数项为负值，且各项尽可能小，.由题意知：3a 满足312a a ≥，取3a 的最小值12a ；5a 满足51531224a a a a a ≥⎧⎨≥≥⎩，因为1110,42a a a >>，故取5a 的最小值14a ；7a 满足717317531224248a a a a a a a a a≥⎧⎪≥≥⎨⎪≥≥≥⎩，取7a 的最小值18a ；同理，取9a 的最小值116a ；所以135791111112481631a a a a a a a a a a a ++++=++++=，4a 满足422a a ≥，取4a 的最小值22a ；6a 满足62642224a a a a a ≥⎧⎨≥≥⎩，因为20a <，所以2224a a >，取6a 的最小值12a ；8a 满足828418641224248a a a a a a a a a≥⎧⎪≥≥⎨⎪≥≥≥⎩，因为20a <，所以222482a a a >>，取8a 的最小值12a ；同理，取10a 的最小值12a ；所以24681022222222229a a a a a a a a a a a ++++=++++=，所以101211131931922S a a a a a =+=-=，因为数列{}n a 的各项均为非零的整数，所以当11a =时，10S 有最小值22.故选：B【点睛】关键点点睛：10S 有最小值的条件是确保各项最小，根据递推关系2j i a a ≥分析可得奇数项的最小值与偶数项的最小值，从而可得10S 的最小值.第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.若()2(i)2i R x x +=∈，则x =__________.【答案】1【解析】【分析】利用复数的四则运算，结合复数相等的性质得到关于x 的方程组，解之即可得解.【详解】因为2(i)2i x +=，所以222i i 2i x x ++=，即212i 2i x x -+=，所以21022x x ⎧-=⎨=⎩，解得1x =.故答案为：1.12.已知双曲线22:14x C y -=，则C 的离心率为__________；以C 的一个焦点为圆心，且与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程为__________.（写出一个即可）【答案】①.②.22(1x y ++=或（22(1x y +=）【解析】【分析】根据离心率的定义求解离心率，再计算焦点到渐近线的距离，结合圆的标准方程求解即可.【详解】22:14x C y -==，又渐近线为12y x =，即20x y -=，故焦点)与()到20x y -=1=，则以C 的一个焦点为圆心，且与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程为22(1xy ++=或22(1x y -+=，故答案为：2；22(1xy ++=或（22(1x y +=）13.已知函数()2cos sin f x x a x =+.（i ）若0a =，则函数()f x 的最小正周期为__________.（ii ）若函数()f x 在区间()0,π上的最小值为2-，则实数=a __________.【答案】①.π②.2-【解析】【分析】根据二倍角公式即可结合周期公式求解，利用二次函数的性质即可求解最值.【详解】当0a =时，()2cos 21cos 2x f x x +==,所以最小正周期为2ππ2T ==，()2222cos sin sin sin 1sin 124a a f x x a x x a x x ⎛⎫=+=-++=--++⎪⎝⎭，当()0,πx ∈时，(]sin 0,1x ∈，且二次函数开口向下，要使得()f x 在区间()0,π上的最小值为2-，则需要1022a a-≥-，且当sin 1x =时取最小值，故112a -++=-，解得2a =-，故答案为：π，2-14.二维码是一种利用黑､白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由()2*nn ∈N 个黑白方块构成的n n ⨯二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成162个不重复的二维码，为确保一个n n ⨯二维码在1分钟内被破译的概率不高于1512，则n 的最小值为__________.【答案】7【解析】【分析】根据题意可得21615260122n⨯≤，即可由不等式求解.【详解】由题意可知n n ⨯的二维码共有22n 个，由21615260122n⨯≤可得2216153126022602n n -⨯⨯≤⇒≤，故2231637n n -≥⇒≥，由于*n ∈N ，所以7n ≥，故答案为：715.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱AB 上的动点，DQ ⊥平面1,D PC Q 为垂足.给出下列四个结论：①1D Q CQ =；②线段DQ 的长随线段AP 的长增大而增大；③存在点P ，使得AQ BQ ⊥；④存在点P ，使得PQ //平面1D DA .其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②④【解析】【分析】根据给定条件，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，求出平面1D PC 的法向量坐标，进而求出点Q 的坐标，再逐一计算判断各个命题即得答案.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，令1AB =，以点D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设(01)AP t t =≤≤，则1(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,,0)D C D P t ，1(0,1,1),(1,1,0)CD CP t =-=-，令平面1D PC 的法向量(,,)n x y z = ，则10(1)0n CD y z n CP x t y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1y =，得(1,1,1)n t =- ，由DQ ⊥平面1D PC 于Q ，得((1),,)DQ n t λλλλ==-，即((1),,)Q t λλλ-，((1),1,)CQ t λλλ=-- ，显然2(1)10CQ n t λλλ⋅=-+-+=，解得21(1)2t λ=-+，于是222111(,,)(1)2(1)2(1)2t Q t t t --+-+-+，对于①，222222221||(1)(1)(1)(1)||D Q t t CQ λλλλλλ=-++--+-+，①正确；对于②，2221||(1)11(1)2(1)2DQ t t t =-++-+-+在[0,1]上单调递增，②正确；对于③，而(1,0,0),(1,1,0)A B ，((1)1,,),((1)1,1,)AQ t BQ t λλλλλλ=--=---，若2222[(1)1](1)(23)(32)10AQ BQ t t t t λλλλλλ⋅=--+-+=-+--+=，显然22(32)4(23)430t t t t ∆=---+=--<，即不存在[0,1]t ∈，使得0AQ BQ ⋅=，③错误；对于④，平面1D DA 的一个法向量(0,1,0)DC =，而((1)1,,)PQ t t λλλ=--- ，由0PQ DC t λ⋅=-=，得t λ=，即21(1)2t t =-+，整理得322310t t t -+-=，令32()231,[0,1]f t t t t t =-+-∈，显然函数()f t 在[0,1]上的图象连续不断，而(0)10,(1)10f f =-<=>，因此存在(0,1)t ∈，使得()0f t =，此时PQ ⊄平面1D DA ，因此存在点P ，使得//PQ 平面1D DA ，④正确.所以所有正确结论的序号是①②④.故答案为：①②④【点睛】思路点睛：涉及探求几何体中点的位置问题，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量证明空间位置关系的方法解决.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数2()2cos(0)2xf x x ωωω=+>，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在且唯一确定.（1）求ω的值；（2）若不等式()2f x <在区间()0,m 内有解，求m 的取值范围.条件①：(2π)3f =；条件②：()y f x =的图象可由2cos2y x =的图象平移得到；条件③：()f x 在区间ππ(,36-内无极值点，且ππ()2(263f f -=-+.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）条件选择见解析，2ω=；（2）π(,)3+∞.【解析】【分析】（1）选条件①，由ππ1cos()332ω-=的解不唯一，此条件不符合题意；选条件②，由周期求出ω；选条件③，由给定等式确定最大最小值条件，求出周期范围，由给定区间内无极值点求出周期即可.（2）由（1）求出函数()f x 的解析式，再借助不等式有解列式求解即得.【小问1详解】依题意，π()cos 12cos()13f x x x x ωωω=++=-+，选条件①，由(2π)3f =，得ππ2cos()1233ω-+=，即ππ1cos()332ω-=，于是πππ2π,N 333k k ω-=+∈或πππ2π,N 333k k ω*-=-+∈，显然ω的值不唯一，因此函数()f x 不唯一，不符合题意.选条件②，()y f x =的图象可由2cos2y x =的图象平移得到，因此()y f x =的最小正周期为函数2cos2y x =的最小正周期π，而0ω>，则2ππω=，所以2ω=.选条件③，()f x 在区间ππ(,36-内无极值点，且ππ()2(263f f -=-+，则ππ(()463f f --=，即函数()f x 分别在ππ,63x x ==-时取得最大值､最小值，于是()f x 的最小正周期ππ2[(π63T ≤⨯--=，由()f x 在区间ππ(,36-内无极值点，得()f x 的最小正周期ππ2[()]π63T ≥⨯--=，因此πT =，而0ω>，所以2π2Tω==.【小问2详解】由（1）知π()2cos(213f x x =-+，由(0,)x m ∈，得πππ2(,2)333x m -∈--，由不等式()2f x <在区间(0,)m 内有解，即π1cos(2)32x -<在区间(0,)m 内有解，则有ππ233m ->，解得π3m >，所以m 的取值范围是π(,)3+∞.17.在三棱锥-P ABC 中，2,AB PB M ==为AP 的中点.（1）如图1，若N 为棱PC 上一点，且MN AP ⊥，求证：平面BMN ⊥平面PAC ；（2）如图2，若O 为CA 延长线上一点，且PO ⊥平面,2ABC AC ==，直线PB 与平面ABC 所成角为π6，求直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）根据BM AP ⊥和,MN AP ⊥可证线面垂直，即可求证面面垂直，（2）根据线面角的几何法可得π6PBO ∠=，建立空间直角坐标系，利用法向量与方向向量的夹角即可求解.【小问1详解】连接,,BM MN BN.因为,AB PB M =为AP 的中点，所以BM AP ⊥.又,MN AP ⊥,,MN BM M MN BM ⋂=⊂平面BMN ,所以AP ⊥平面BMN .因为AP ⊂平面,PAC 所以平面BMN ⊥平面PAC .【小问2详解】因为PO ⊥平面,ABC OB ⊂平面,ABC OC ⊂平面ABC ，所以,,PO OB PO OC PBO ∠⊥⊥为直线PB 与平面ABC 所成的角.因为直线PB 与平面ABC 所成角为π6，所以π6PBO ∠=.因为2PB =，所以1,PO OB ==.2=，所以1OA =.又2AB =，故222AB OB OA =+.所以OB OA ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -.则())0,1,0,A B，()()0,3,0,0,0,1C P ，110,,22M ⎛⎫⎪⎝⎭.所以()0,3,1PC =-，()BC = ，510,,22MC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n PC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30,330.y z x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1y =，则)3,1,3n = .设CM 与平面PBC 所成角为θ，则2sin cos ,132511344MC n MC n MC nθ⋅====⋅+⋅.所以直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值为213.18.图象识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人.工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了200张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）：识别结果真实性别男女无法识别男902010女106010假设用频率估计概率，且该程序对每张照片的识别都是独立的.（1）从这200张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果为女性，求识别正确的概率；（2）在新一轮测试中，小组同学对3张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识别正确或3张照片全部测试完毕，则停止测试.设X 表示测试的次数，估计X 的分布列和数学期望EX ；（3）为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为50%，判定为女性的概率为50%).现从若干张不同的人脸照片（其中男性､女性照片的数量之比为1:1）中随机抽取一张，分别用方案一､方案二､方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为123,,p p p .试比较123,,p p p 的大小.（结论不要求证明）【答案】（1）34（2）分布列见解析；()2116E X =（3）231p p p >>【解析】【分析】（1）利用用频率估计概率计算即可（2）由题意知X 的所有可能取值为1,2,3，分别求出相应的概率，然后根据期望公式求出即可（3）分别求出方案一､方案二､方案三进行识别正确的概率，然后比较大小可得【小问1详解】根据题中数据，共有206080+=张照片被识别为女性，其中确为女性的照片有60张，所以该照片确为女性的概率为603804=.【小问2详解】设事件:A 输入男性照片且识别正确.根据题中数据，()P A 可估计为9031204=.由题意知X 的所有可能取值为1,2,3.()()()31331111,2,3444164416P X P X P X ====⨯===⨯=.所以X 的分布列为X123P34316116所以()331211234161616E X =⨯+⨯+⨯=.【小问3详解】231p p p >>.19.已知椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在坐标原点.以E 的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为（1）求栯圆E 的方程；（2）设过点()2,0M 的直线l （不与坐标轴垂直）与椭圆E 交于不同的两点,A C ，与直线16x =交于点P .点B 在y 轴上，D 为坐标平面内的一点，四边形ABCD 是菱形.求证：直线PD 过定点.【答案】（1）22186x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据焦点三角形的周长以及等边三角形的性质可得22a c +=且12c a =，即可求解,,a b c 得解，（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，进而根据中点坐标公式可得2286,3434t N t t ⎛⎫-⎪++⎝⎭，进而根据菱形的性质可得BD 的方程为22683434t y t x t t ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，即可求解220,34t B t ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，221614,3434t D t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.进而根据点斜式求解直线PD 方程，即可求解.【小问1详解】由题意可设椭圆E 的方程为22222221(0),x y a b c a b a b+=>>=-.因为以E 的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为所以22a c +=且12c a =，所以a c ==.所以26b =.所以椭圆E 的方程为22186x y +=.【小问2详解】设直线l 的方程为()20x ty t =+≠，令16x =，得14y t =，即1416,P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由223424,2x y x ty ⎧+=⎨=+⎩得()223412120t y ty ++-=.设()()1122,,,A x y C x y ，则1212221212,3434t y y y y t t +=-=-++.设AC 的中点为()33,N x y ，则12326234y y ty t +==-+.所以3328234x ty t =+=+.因为四边形ABCD 为菱形，所以N 为BD 的中点，AC BD ⊥.所以直线BD 的斜率为t -.所以直线BD 的方程为22683434t y t x t t ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭.令0x =得222862343434t t t y t t t =-=+++.所以220,34t B t ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.设点D 的坐标为()44,x y ，则4343222162142,2343434t t x x y y t t t ===-=-+++，即221614,3434t D t t ⎛⎫-⎪++⎝⎭.所以直线PD 的方程为()221414143416161634tt t y x t t ++-=--+，即()746y x t =-.所以直线PD 过定点()4,0.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法：（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.20.已知函数()()ln 0)f x x a a =-+>.（1）若1a =，①求曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程；②求证：函数()f x 恰有一个零点；（2）若()ln 2f x a a ≤+对(),3x a a ∈恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）①2y =；②证明见解析（2）[)1,+∞【解析】【分析】（1）①求导，即可求解斜率，进而可求直线方程，②根据函数的单调性，结合零点存在性定理即可，（2）求导后构造函数()()(),,3g x x a x a a =-∈，利用导数判断单调性，可得()f x 的最大值为()()()000ln 2f x x a x a =-+-，对a 分类讨论即可求解.【小问1详解】当1a =时，()()ln 1f x x =-+.①()11f x x =--'.所以()()22,20f f =='.所以曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为2y =.②由①知()()(]()1ln 11,3,1f x x x f x x =-=-'+∈，且()20f '=.当()1,2x ∈时，因为111x >>-()0f x ¢>；当()2,3x ∈时，因为111x <<-，所以()0f x '<.所以()f x 在区间()1,2上单调递增，在区间()2,3上单调递减.因为()()()322,3ln20,1e 330f f f -==>+=-+<-+<.所以函数()f x 恰有一个零点.【小问2详解】由()()ln f x x a =-+得()f x -='.设()()(),,3g x x a x a a =-∈，则()10g x '=-<.所以()g x 是(),3a a 上的减函数.因为()()0,320g a g a a =>=-<，所以存在唯一()()()000,3,0x a a g x x a ∈=-=.所以()f x '与()f x 的情况如下：x()0,a x 0x ()0,3x a ()f x '+-()f x极大所以()f x 在区间(),3a a 上的最大值是()()()()0000ln ln 2f x x a x a x a =-+=-+-.当1a ≥时，因为()20g a a =-≤，所以02x a ≤.所以()()()0ln 222ln 2f x a a a a a a ≤-+-=+.所以()()0ln 2f x f x a a ≤≤+，符合题意.当01a <<时，因为()20g a a =>，所以02x a >.所以()()()0ln 222ln 2f x a a a a a a >-+-=+，不合题意.综上所述，a 的取值范围是[)1,+∞.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．21.设正整数2n ≥，*,i i a d ∈N ，(){}1,1,2,i i i A x x a k d k ==+-= ，这里1,2,,i n = .若*12n A A A ⋃⋃⋃=N ，且()1i j A A i j n ⋂=∅≤<≤，则称12,,,n A A A 具有性质P .（1）当3n =时，若123,,A A A 具有性质P ，且11a =，22a =，33a =，令123m d d d =，写出m 的所有可能值；（2）若12,,,n A A A 具有性质P ：①求证：()1,2,,i i a d i n ≤= ；②求1nii ia d =∑的值.【答案】（1）27或32（2）①证明见解析②12n +【解析】【分析】（1）对题目中所给的12,,,n A A A ，我们先通过分析集合中的元素，证明()1,2,,i i a d i n ≤= ，111ni i d ==∑，以及112ni i i a n d =+=∑，然后通过分类讨论的方法得到小问1的结果；（2）直接使用（1）中的这些结论解决小问2即可.【小问1详解】对集合S ，记其元素个数为S .先证明2个引理.引理1：若12,,,n A A A 具有性质P ，则()1,2,,i i a d i n ≤= .引理1的证明：假设结论()1,2,,i i a d i n ≤= 不成立.不妨设11a d >，则正整数111a d A -∉，但*12n A A A ⋃⋃⋃=N ，故11a d -一定属于某个()2i A i n ≤≤，不妨设为2A .则由112a d A -∈知存在正整数k ，使得()11221a d a k d -=+-.这意味着对正整数1112c a d d d =-+，有()111212111c a d d d a d d A =-+=+-∈，()()11122212212211c a d d d a k d d d a k d d A =-+=+-+=++-∈，但12A A =∅ ，矛盾.所以假设不成立，从而一定有()1,2,,i i a d i n ≤= ，从而引理1获证.引理2：若12,,,n A A A 具有性质P ，则111ni i d ==∑，且112ni i ia n d =+=∑.证明：取集合{}121,2,...,...n T d d d =.注意到关于正整数k 的不等式()1201...i i n a k d d d d <+-≤等价于12...11i i n i i ia a d d dk d d d -<≤-+，而由引理1有i i a d ≤，即011iia d ≤-<.结合12...n i d d d d 是正整数，知对于正整数k ，12...11i i n i i i a a d d d k d d d -<≤-+当且仅当12...n i iT d d dk d d ≤=，这意味着数列()()11,2,...k i i x a k d k =+-=恰有iT d 项落入集合T ，即i iT T A d ⋂=.而12,,,n A A A 两两之间没有公共元素，且并集为全体正整数，故T 中的元素属于且仅属于某一个()1i A i n ≤≤，故12...n T A T A T A T ⋂+⋂++⋂=.所以1212......n nT T T T A T A T A T d d d +++=⋂+⋂++⋂=，从而12111...1nd d d +++=，这就证明了引理2的第一个结论；再考虑集合T 中全体元素的和.一方面，直接由{}121,2,...,...n T d d d =知T 中全体元素的和为()1212 (12)n n d d d d d d +，即()12T T +.另一方面，i T A ⋂的全部iT d 个元素可以排成一个首项为i a ，公差为i d 的等差数列.所以i T A ⋂的所有元素之和为11122i i i i i i i iTT TT T a a d T d d d d d ⎛⎫⎛⎫⋅+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.最后，再将这n 个集合()1,2,...,i T A i n ⋂=的全部元素之和相加，得到T 中全体元素的和为112ni i i i T Ta T d d =⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑.这就得到()11122ni i i i T T T Ta T d d =⎛⎫+⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，所以有()221111111222222nnn ni i i i i i i i i iiiT T T TTn TTn T a a a T TT d d d d d ====⎛⎫+⎛⎫=+-=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑.即1122ni i iT T na d =+-=+∑，从而112ni i i a n d =+=∑，这就证明了引理2的第二个结论.综上，引理2获证.回到原题.将123,,d d d 从小到大排列为123r r r ≤≤，则123123m d d d r r r ==，由引理2的第一个结论，有1231231111111r r r d d d ++=++=.若13r ≥，则1231111111111311r r r r r r r =++≤++=≤，所以每个不等号都取等，从而1233r r r ===，故12327m r r r ==；情况1：若11r =，则23111110r r r +=-=，矛盾；情况2：若12r =，则231111112r r r +=-=，所以232221111122r r r r r =+≤+=，得24r ≤.此时如果22r =，则3211102r r =-=，矛盾；如果24r =，则32111124r r =-=，从而34r =，故12332m r r r ==；如果23r =，由于12r =，设()()123123,,,,i i i r r r d d d =，{}{}123,,1,2,3i i i =，则12i d =，23i d =.故对于正整数对()()2121212112331212211i i i i i i i i k a a a a k a a a a ⎧=+--+--⎪⎨=+--+--⎪⎩，有2112231i i k k a a -=--，从而12121223i i i i a k a k A A +=+∈⋂，这与12i i A A ⋂=∅矛盾.综上，m 的取值只可能是27或32.当()()123,,3,3,3d d d =时，27m =；当()()123,,4,2,4d d d =时，32m =.所以123m d d d =的所有可能取值是27和32.【小问2详解】①由引理1的结论，即知()1,2,,i i a d i n ≤= ；②由引理2的第二个结论，即知112nii ia n d=+=∑.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，我们通过两个方面计算了一个集合的各个元素之和，从而得到了一个等式，这种方法俗称“算二次”法或富比尼定理.。
北京市海淀区2022届高三下学期二模数学试题 (解析版)
北京市海淀区2022届高三下学期二模数学试题一、单选题1．已知集合{}01A x x x =或，则A =R ð（ ）A ．{}01x x <<B ．{}01x x ≤<C ．{}01x x <≤D ．{}01x x ≤≤2．在()312x -的展开式中，x 的系数为（ ）A ．2-B ．2C ．6-D ．6【答案】C【分析】直接由二项展开式求含x 的项即可求解.【详解】由题意知：含x 的项为()13C 26x x ⋅-=-，故x 的系数为6-.故选：C.3．已知双曲线2222:1x y C a b -=的渐近线经过点()1,2，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2D4．已知,x y ∈R ，且0x y +>，则（ ）A ．11x y +>B ．330x y +>C ．lg()0x y +>D ．sin()0x y +>5．若(),01,0x a x f x bx x +<⎧=⎨->⎩是奇函数，则（ ）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b =-=C ．1,1a b ==D ．1,1a b =-=-6．已知F 为抛物线24y x =的焦点，点()(),1,2,3n n n P x y n =L ，在抛物线上.若11n n P F P F +-=，则（ ）A ．{}n x 是等差数列B ．{}n x 是等比数列C ．{}n y 是等差数列D ．{}n y 是等比数列【答案】A【分析】根据抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即可求解.【详解】由题可知，抛物线的焦点为(1,0)F ，准线为=1x -，点()(),1,2,3n n n P x y n =L ，在抛物线上，由抛物线的定义可知，，7．已知向量(1,0)a =r ，(b =-.若,,c a c b =，则c r可能是（ ）A ．2a b -r rB ．a b+rrC ．2a b+r r D b+r8．设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由()f x 是R 上的增函数得()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之若对任意0a >，()()f x a f x +<，满足()()y f x a f x =+-无零点，但不满足()f x 是R 上的增函数，不满足必要性，即可判断.【详解】若()f x 是R 上的增函数，则对任意0a >，显然x a x +>，故()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之，若对任意0a >，()()f x a fx +<，即()()0f x a f x +<-，满足()()y f x a f x =+-无零点，但()f x 是R 上的减函数，不满足必要性，故“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的充分而不必要条件.故选：A.9．从物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位移y 与时间t （单位：s ）的关系符合函数()()sin 100y A t ωϕω=+<.从某一时刻开始，用相机的连拍功能给弹簧振子连拍了20张照片.已知连拍的间隔为0.01s ，将照片按拍照的时间先后顺序编号，发现仅有第5张、第13张、第17张照片与第1张照片是完全一样的，请写出小球正好处于平衡位置的所有照片的编号为（ ）A ．9、15B ．6、18C ．4、11、18D ．6、12、1810．在正方体ABCD A B C D -''''中，E 为棱DC 上的动点，F 为线段B E '的中点.给出下列四个①B E AD ''⊥；②直线D F '与平面ABB A ''所成角不变；③点F 到直线AB 的距离不变；④点F 到,,A D D A '',四点的距离相等.其中，所有正确结论的序号为（ ）A ．②③B ．③④C ．①③④D ．①②④【答案】C【点睛】(1)判定和动点相关的问题时，只要找出动点的轨迹，行判断；(2)判定与动直线相关的位置关系问题时，可找出动直线所在的平面进行判定；(3)根据定义作出线面角可用来解决运动型的问题二、填空题11．已知,a b 均为实数.若()i i i b a +=+，则a b +=_________．【答案】0【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可.【详解】()i i i i 1b a a ==++-，故1,1a b ==-，0a b +=.故答案为：0.12．不等式112x⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为_________．13．在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列{}n a ，{}n b 分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型：11(2,21,2)n n n n n n a a b b a b n ++=+=+=L ，描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足11a b >，则在该模型中，关于两组信息，给出如下结论：①*,n n n a b ∀∈>N ；②*11,,n n n n n a a b b ++∀∈>>N ；③*k ∃∈N ，使得当n k >时，总有10110nna b --<④*k ∃∈N ，使得当n k >时，总有101210n na a -+-<．其中，所有正确结论的序号是_________三、解答题14．如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，点E 是PC 的中点.(1)求证：//DC 面ABE ；(2)求DC 到平面ABE 的距离.由（1）知//DC 面ABE ，故DC 到平面连接,AE AC ，取AC 中点F ，连接BF 易得EF PA ∥且1=12EF PA =，则EF 2,23AC BD ==，故12ABC ABCD S S =V 又113,122BF BD AF AC ====，故15．在ABC V 中，76cos a b B =．(1)若3sin 7A =，求B ∠；(2)若8c =，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使ABC V 存在.求ABC V 的面积条件①：sin 47A =； 条件②：sin B16．PMI值是国际上通行的宏观经济监测指标之一，能够反映经济的变化趋势.下图是国家统计局发布的某年12个月的制造业和非制造业PMI值趋势图.将每连续3个月的PMI值做为一个观测组，对国家经济活动进行监测和预测(1)现从制造业的10个观测组中任取一组，（ⅰ）求组内三个PMI 值至少有一个低于50．0的概率；（ii ）若当月的PMI 值大于上一个月的PMI 值，则称该月的经济向好.设X 表示抽取的观测组中经济向好的月份的个数（由已有数据知1月份的PMI 值低于去年12月份的PMI 值），求X 的分布列与数学期望；(2)用1,2)1(2j b j =L ，，表示第j 月非制造业所对应的PMI 值，b 表示非制造业12个月PMI 值的平均数，请直接写出j b b -取得最大值所对应的月份．所以随机变量X 的数学期望()121301225105E X =⨯+⨯+⨯=.（2）8月份，理由如下由某年12个月的非制造业PMI 值趋势图中的数据，得52.451.456.354.955.253.553.347.553.252.452.352.752.912b +++++++++++=≈根据某年12个月的非制造业PMI 值趋势图，可知当8j =时，j b b -取得最大值为847.552.9 5.4b b -=-=.17．椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的左顶点为()2,0A -(1)求椭圆M 的方程；(2)已知经过点⎛ ⎝的直线l 交椭圆M 于,B C 两点，D 是直线4x =-上一点.若四边形ABCD 为平行四边形，求直线l 的方程.2a ）11224,),(,),(,)t B x y C x y -，又(2,0)A -，故AD k =-18．已知函数1()ln 2x af x x -=+．(1)当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程；(2)当12a =-时，求函数()f x 的单调区间；(3)当0x <时，()12f x ≥恒成立，求a 的取值范围.19．已知有限数列{}n a 共M 项(4)M ≥，其任意连续三项均为某等腰三角形的三边长，且这些等腰三角形两两均不全等.将数列{}n a 的各项和记为S ．(1)若{1,2}(1,2,,)n a n M ∈=L ，直接写出,M S 的值；(2)若{}1,2,3,2,()1,n a n M ∈=L ，求M 的最大值；(3)若*(1,2,,),16n a n M M ∈==N L ，求S 的最小值【答案】(1)4,7M S ==；(2)8；(3)50【分析】（1）直接列举出数列{}n a ，即可求得,M S ；（2）先构造数列使8M =，再说明不同的等腰三角形只有6个，故628M ≤+=，即可求得M 的最大值；（3）先构造数列使50S =，再设T 为数列的每一组连续三项的和的和，得116215322S T a a a a =++++，列举出不同的等腰三角形，使T 和11621522a a a a +++最小，进而得到50S ≥，即可求解.【详解】（1）边长为1或2的等腰三角形只有1，1，1；1，2，2；2，2，2；若前三项为1，1，1，则该数列只有3项，不合题意；所以50S ≥.⑤由①④，S 的最小值为50.【点睛】本题关键点在于设T 为数列的每一组连续三项的和的和，得116215322S T a a a a =++++，将S 最小，转化为T 和11621522a a a a +++最小，列举出不同的等腰三角形，使T 和11621522a a a a +++最小，进而得到50S ≥，再构造数列使50S =即可求解.四、双空题20．已知圆22:20C x y x ++=，则圆C 的半径为_________；若直线y kx =被圆C 截得的弦长为1，则k =_________．21．已知()sin cos f x x x =+的图象向右平移()0a a >个单位后得到()g x 的图象，则函数()g x 的最大值为_________；若()()f x g x +的值域为{}0，则a 的最小值为_________．。
海淀二模数学试题分析与复习建议
海淀“二模”数学试题分析与复习建议唐大昌一、命题意图：1、 对备考学生将近一年的数学总复习效果做一个较全面的检测，同时要鼓励学生再接再厉迎接高考。
在难度的控制上，力求比“一模”稍易一点，希望全区平均分达到82分左右。
我们设想，其中“一模”115分---130分的考生这次提高10—15分应是正常的，“一模”80分左右的考生应提高5分左右，而对“一模”数学50—60分的考生如果还是50—60分，其实也有所提高了。
2、 坚持重点内容重点考查。
3、 与海淀区“一模”数学试题一起，共同形成对数学知识、技能、方法作一次覆盖。
比如“一模”第（16）题试是从函数的角度考查三角有关知识的题目，而“二模”（14）题则是在三角形中考查三角的有关知识，情境、知识与方法都有所不同，又比如对立体几何的考查，在“一模”试题（17）题中是以“折叠问题”出现的，而在“二模”的（17）题中则是放在棱柱中考查线面位置关系，再比如对应用问题的考角度和方法两次试题也是不同的，请考生注意。
4、 解答题的赋分值多少可能会与高考不一致，这里也提请考生注意，比如立体几何“一模”、“二模”都是16分，但高考可能是14或15分。
二、试题分析：1、 选择题：本题考查基本知识和基本运算。
每小题5分，满分60分。
（1） 考查复数的基本概念和基本运算，选D; 提示：i i i AB 323212321-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----=−→− （2） 理科：考查反三角函数的基本概念和半角的正切公式，选A ；文科：考查函数的基本概念，选A;（3） 考查数列的基本概念，选D; 提示：⎩⎨⎧=+=+91312111q a q a q a a 两式相除，可得 3,3,92-===q q q ；（4） 考查函数图像平移、奇函数的性质、应用。
选B; 提示：由)()(;)1(3)(x f x f a x x f -=-++=，列方程，可解出a = - 1（5） 理科：考查极坐标的基本概念；选A ；提示：可考虑数形结合；文科:：选A ；提示：直线应过圆心。
北京海淀区高三二模数学 文科 试卷及答案解析
又因为 BC AD ， BC CE 1， AD=3 所以四边形 BCEF 为正方形， AF FE ED 1 ，得 AE 2 所以 BC AE， BC= 1 AE
2 在图 2 中设点 M 为线段 D1E 的中点，连结 MG, MC ， 因为点 G 是 AD1 的中点， 所以 GM AE， GM = 1 AE
2 所以 GM BC，GM =BC ，所以四边形 MGBC 为平行四边形 所以 BG CM 又因为 CM 平面 D1EC ， BG 平面 D1EC 所以 BG 平面 D1EC （Ⅱ） 因为平面 D1EC 平面 ABCE ，
平面 D1EC 平面 ABCE EC , D1E EC, D1E 平面 D1EC ， 所以 D1E 平面 ABCE 又因为 AB 平面 ABCE 所以 D1E AB 又 AB 2, BE 2, AE 2 ，满足 AE2 AB2 BE2 ， 所以 BE AB 又 BE D1E E 所以 AB 平面 D1EB （Ⅲ） CE D1E,CE AE ， AE D1E E
又因为 BF EC ， EC 平面 D1EC ， BF 平面 D1EC 所以 BF 平面 D1EC
又因为 GF BF F 所以平面 BFG 平面 D1EC 又因为 BG 面GFB ，所以 BG 平面 D1EC 方法 3： 在图 1 的等腰梯形 ABCD 内，过 B作 AE 的垂线，垂足为 F ， 因为 CE AD ，所以 BF EC
an1 an2 2 3n2 an2 an3 2 3n3
2 / 13
a3 a2 2 32
a2 a1 2 31 把上面 n 1 个等式叠加，得到
海淀区高考二模试卷讲评课件
要点二
详细描述
考生在材料分析部分普遍能够提取有效信息，但在分析深 度和答案组织上存在一定问题。部分考生在分析材料时缺 乏深度，不能全面把握问题的本质和要点；同时，部分考 生的答案组织不够合理，条理不够清晰，导致失分。因此， 考生需要加强对材料的分析和解读能力，提高答案组织的 规范性和条理性。
合理规划时间
制定复习计划
根据自身情况和科目难易程度， 制定合理的复习计划。
科学分配时间
对每个科目和知识点进行科学的时 间分配，确保复习进度和质量。
适时调整计划
根据复习进度和自身情况，适时调 整复习计划，以达到最佳效果。
THANKS
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试卷结构
试卷由10个单选题（每题2分）、5个 多选题（每题3分）、3个简答题（每 题10分）和2个综合题（每题20分） 组成。
试卷难度分析
总体难度
本次试卷难度较为适中，考查内容均为学科核心知识点，但部分题目涉及较为 灵活的应用和综合分析能力，需要学生具备较高的思维能力和解决问题的能力。
各题型难度
单选题难度较低，多选题难度适中，简答题难度较高，综合题难度最高。其中， 简答题和综合题需要学生具备较高的知识整合能力和应用能力，是本次考试的 难点。
详细描述：阅读部分整体难度适中，但时间控制较为关键， 部分同学因阅读速度慢导致时间分配不合理，失分较多。
总结词：注重细节
详细描述：部分题目细节性较强，需要仔细阅读并理解文 意才能作答，部分同学在这一点上存在不足。
总结词：全文理解
详细描述：部分同学在理解全文大意的题型上存在困难， 容易因为对文章的整体把握不足而失分。
填空题部分
2020年北京市海淀区高考数学二模试卷(理科)含答案解析
2020年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知全集U=R，M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，则∁U（M∪P）=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|x≥1} C．{x|x≤2} D．{x|x≤1或x≥2}2．数列{a n}的首项a1=2，且（n+1）a n=na n+1，则a3的值为（）A．5 B．6 C．7 D．83．若点P（2，4）在直线l：（t为参数）上，则a的值为（）A．3 B．2 C．1 D．﹣14．在△ABC中，cosA=，cosB=，则sin（A﹣B）=（）A．﹣B．C．﹣D．5．在（x+a）5（其中a≠0）的展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．26．函数f（x）=lnx﹣x+1的零点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=8，BC=4，CD=4，点P在线段AD上运动，则|+|的取值范围是（）A．[6，4+4]B．[4，8]C．[4，8]D．[6，12]8．直线l：ax+y﹣1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D，给出下面三个结论：①∀a≥1，S△AOB=；②∃a≥1，|AB|＜|CD|；③∃a≥1，S△COD＜．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知=1﹣i，其中i为虚数单位，a∈R，则a=．10．某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的实践，绘成的频率分布直方图如图所示，这100名学生中参加实践活动时间在6﹣10小时内的人数为．11．如图，A，B，C是⊙O上的三点，点D是劣弧的中点，过点B的切线交弦CD的延长线于点E．若∠BAC=80°，则∠BED=．12．若点P（a，b）在不等式组所表示的平面区域内，则原点O到直线ax+by﹣1=0的距离的取值范围是．13．已知点A（，），B（，1），C（，0），若这三个点中有且仅有两个点在函数f（x）=sinωx的图象上，则正数ω的最小值为．14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点，以△PQR为底面作正三棱柱．若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高h=．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．（1）比较f（），f（）的大小；（2）求函数f（x）的最大值．16．某空调专卖店试销A、B、C三种新型空调，销售情况如表所示：第一周第二周第三周第四周第五周A型数量（台）11 10 15 A4A5B型数量（台）10 12 13 B4B5C型数量（台）15 8 12 C4C5（1）求A型空调前三周的平均周销售量；（2）根据C型空调前三周的销售情况，预估C型空调五周的平均周销售量为10台，当C 型空调周销售量的方差最小时，求C4，C5的值；（注：方差s2= [x1﹣）2+（x）2+…+（x n﹣）2]，其中为x1，x2，…，x n的平均数）（3）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中A型空调台数X的分布列及数学期望．17．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2．将△AED和△BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥M﹣CDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF的中点．（1）求证：GH∥平面DEM；（2）求证：EM⊥CN；（3）求直线GH与平面NFC所成角的大小．18．已知函数f（x）=e x（x2+ax+a）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤e a在[a，+∞）上有解，求实数a的取值范围；（3）若曲线y=f（x）存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围．（只需直接写出结果）19．已知点A（x1，y1），D（x2，y2）（其中x1＜x2）是曲线y2=4x（y≥0）上的两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C，且|BC|=2．（Ⅰ）当点B的坐标为（1，0）时，求直线AD的斜率；（Ⅱ）记△OAD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求证：＜．20．已知集合Ωn={X|X=（x1，x2，…，x i，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}，其中n ≥3．∀X={x1，x2，…，x i，…，x n}∈Ωn，称x i为X的第i个坐标分量．若S⊆Ωn，且满足如下两条性质：①S中元素个数不少于4个；②∀X，Y，Z∈S，存在m∈{1，2，…，n}，使得X，Y，Z的第m个坐标分量是1；则称S为Ωn的一个好子集．（1）S={X，Y，Z，W}为Ω3的一个好子集，且X=（1，1，0），Y=（1，0，1），写出Z，W；（2）若S为Ωn的一个好子集，求证：S中元素个数不超过2n﹣1；（3）若S为Ωn的一个好子集，且S中恰有2n﹣1个元素，求证：一定存在唯一一个k∈{1，2，…，n}，使得S中所有元素的第k个坐标分量都是1．2020年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知全集U=R，M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，则∁U（M∪P）=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|x≥1} C．{x|x≤2} D．{x|x≤1或x≥2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出M∪P，从而求出其补集即可．【解答】解：M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，∴M∪P={x|x≤1或x≥2}，∁U（M∪P）={x|1＜x＜2}，故选：A．2．数列{a n}的首项a1=2，且（n+1）a n=na n+1，则a3的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】数列递推式．【分析】由题意可得a n+1=a n，分别代值计算即可．【解答】解：数列{a n}的首项a1=2，且（n+1）a n=na n+1，∴a n+1=a n，∴a2=a1=2×2=4，∴a3=×a2=×4=6，故选：B．3．若点P（2，4）在直线l：（t为参数）上，则a的值为（）A．3 B．2 C．1 D．﹣1【考点】参数方程化成普通方程．【分析】由题意可得：，解得a即可得出．【解答】解：∵，解得a=﹣1．故选：D．4．在△ABC中，cosA=，cosB=，则sin（A﹣B）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据同角三角函数得到sinA，sinB的值；然后将其代入两角和与差的正弦函数中求值即可．【解答】解：∵0＜A＜π，0＜B＜π，cosA=，cosB=，∴sinA=，sinB=，∴sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=×﹣×=．故选：B．5．在（x+a）5（其中a≠0）的展开式中，x2的系数与x3的系数相同，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】二项式系数的性质．【分析】通过二项式定理，写出（x+a）5（其中a≠0）的展开式中通项T k+1=x5﹣k a k，利用x2的系数与x3的系数相同可得到关于a的方程，进而计算可得结论．【解答】解：在（x+a）5（其中a≠0）的展开式中，通项T k+1=x5﹣k a k，∵x2的系数与x3的系数相同，∴a3=a2，又∵a≠0，∴a=1，故选：C．6．函数f（x）=lnx﹣x+1的零点个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数零点的判定定理．【分析】利用导数求出函数的最大值，即可判断出零点的个数．【解答】解：f′（x）=﹣1=，∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，f（1）=0﹣1+1=0，因此函数f（x）有且仅有一个零点1．故选：A．7．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=8，BC=4，CD=4，点P在线段AD上运动，则|+|的取值范围是（）A．[6，4+4]B．[4，8]C．[4，8]D．[6，12]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可过D作AB的垂线，且垂足为E，这样可分别以EB，ED为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件即可求出A，B，D的坐标，从而可以得出直线AD的方程为，从而可设，且﹣2≤x≤0，从而可以求出向量的坐标，从而得出，而配方即可求出函数y=16（x2+2x+4）在[﹣2，0]上的值域，即得出的取值范围，从而得出的取值范围．【解答】解：如图，过D作AB的垂线，垂足为E，分别以EB，ED为x，y轴，建立平面直角坐标系；根据条件可得，AE=2，EB=6，DE=；∴；∴直线AD方程为：；∴设，（﹣2≤x≤0）；∴，；∴；∴=16（x2+2x+4）=16（x+1）2+48；∵﹣2≤x≤0；∴48≤16（x+1）2+48≤64；即；∴；∴的范围为．故选：C．8．直线l：ax+y﹣1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D，给出下面三个结论：①∀a≥1，S△AOB=；②∃a≥1，|AB|＜|CD|；③∃a≥1，S△COD＜．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】直线与圆的位置关系．【分析】①当a≥1时，分别可得直线的截距，由三角形的面积公式易得结论①正确；②当a≥1时，反证法可得结论②错误；③由三角形的面积公式可得S△COD=sin∠AOC≤，可得结论③正确．【解答】解：①当a≥1时，把x=0代入直线方程可得y=a，把y=0代入直线方程可得x=，∴S△AOB=×a×=，故结论①正确；②当a≥1时，|AB|=，故|AB|2=a2+，直线l可化为a2x+y﹣a=0，圆心O到l的距离d===，故|CD|2=4（1﹣d2）=4[1﹣（a2+）]，假设|AB|＜|CD|，则|AB|2＜|CD|2，即a2+＜4（1﹣），整理可得（a2+）2﹣4（a2+）+4＜0，即（a2+﹣2）2＜0，显然矛盾，故结论②错误；S△COD=|OA||OC|sin∠AOC=sin∠AOC≤，故∃a≥1，使得S△COD＜，结论③正确．故选：C．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知=1﹣i，其中i为虚数单位，a∈R，则a=1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的代数运算性质，求出a的值即可．【解答】解：∵=1﹣i，∴a+i=∴a=﹣i=﹣i=1．故答案为：1．10．某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的实践，绘成的频率分布直方图如图所示，这100名学生中参加实践活动时间在6﹣10小时内的人数为58．【考点】频率分布直方图．【分析】利用频率分布直方图中，频率等于纵坐标乘以组距，求出在6﹣10小时外的频率；利用频率和为1，求出在6﹣10小时内的频率；利用频数等于频率乘以样本容量，求出这100名同学中学习时间在6﹣10小时内的同学的人数．【解答】解：由频率分布直方图知：（0.04+0.12+a+b+0.05）×2=1，∴a+b=0.29，∴参加实践活动时间在6﹣10小时内的频率为0.29×2=0.58，∴这100名学生中参加实践活动时间在6﹣10小时内的人数为100×0.58=58．故答案为：5811．如图，A，B，C是⊙O上的三点，点D是劣弧的中点，过点B的切线交弦CD的延长线于点E．若∠BAC=80°，则∠BED=60°．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由弦切角定理可得∠EBC=∠A，再由圆的圆周角定理，可得∠BCE=∠A，在△BCE中，运用三角形的内角和定理，计算即可得到所求值．【解答】解：由BE为圆的切线，由弦切角定理可得∠EBC=∠A=80°，由D是劣弧的中点，可得∠BCE=∠A=40°，在△BCE中，∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠BCE=180°﹣80°﹣40°=60°．故答案为：60°．12．若点P（a，b）在不等式组所表示的平面区域内，则原点O到直线ax+by﹣1=0的距离的取值范围是[，1]．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，由点到直线的距离公式求出原点O到直线ax+by﹣1=0的距离为，结合的几何意义得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，原点O到直线ax+by﹣1=0的距离为，由图可知的最小值为|OA|=1，最大值为|OB|=2，∴原点O到直线ax+by﹣1=0的距离的取值范围是[，1]．故答案为：[，1]．13．已知点A（，），B（，1），C（，0），若这三个点中有且仅有两个点在函数f（x）=sinωx的图象上，则正数ω的最小值为4．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的图象特征，分类讨论，求得每种情况下正数ω的最小值，从而得出结论．【解答】解：①若只有A、B两点在函数f（x）=sinωx的图象上，则有sin（ω•）=，sin（ω•）=1，sinω•≠0，则，即，求得ω无解．②若只有点A（，），C（，0）在函数f（x）=sin（ωx）的图象上，则有sin（ω•）=，sin（ω•）=0，sin（ω•）≠1，故有，即，求得ω的最小值为4．③若只有点B（，1）、C（，0）在函数f（x）=sinωx的图象上，则有sinω•≠，sinω=1，sinω=0，故有，即，求得ω的最小正值为10，综上可得，ω的最小正值为4，故答案为：4．14．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点，以△PQR为底面作正三棱柱．若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高h=．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】分别取过C点的三条面对角线的中点，则此三点为棱柱的另一个底面的三个顶点，利用中位线定理证明．于是三棱柱的高为正方体体对角线的一半．【解答】解：连结A1C，AC，B1C，D1C，分别取AC，B1C，D1C的中点E，F，G，连结EF，EG，FG．由中位线定理可得PE A1C，QF A1C，RG A1C．又A1C⊥平面PQR，∴三棱柱PQR﹣EFG是正三棱柱．∴三棱柱的高h=PE=A1C=．故答案为．三、解答题（共6小题，满分80分）15．已知函数f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．（1）比较f（），f（）的大小；（2）求函数f（x）的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）将f（），f（）求出大小后比较即可．（2）将f（x）化简，由此得到最大值．【解答】解：（1）f（）=﹣，f（）=﹣，∵﹣＞﹣，∴f（）＞f（），（2）∵f（x）=﹣2sinx﹣cos2x．=﹣2sinx﹣1+2sin2x，=2（sinx﹣）2﹣，∴函数f（x）的最大值为3．16．某空调专卖店试销A、B、C三种新型空调，销售情况如表所示：第一周第二周第三周第四周第五周A型数量（台）11 10 15 A4A5B型数量（台）10 12 13 B4B5C型数量（台）15 8 12 C4C5（1）求A型空调前三周的平均周销售量；（2）根据C型空调前三周的销售情况，预估C型空调五周的平均周销售量为10台，当C 型空调周销售量的方差最小时，求C4，C5的值；（注：方差s2= [x1﹣）2+（x）2+…+（x n﹣）2]，其中为x1，x2，…，x n的平均数）（3）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中A型空调台数X的分布列及数学期望．【考点】极差、方差与标准差．【分析】（1）根据平均数公式计算即可，（2）根据方差的定义可得S2= [2（c4﹣）+]，根据二次函数性质求出c4=7或c4=8时，S2取得最小值，（3）依题意，随机变量的可能取值为0，1，2，求出P，列出分布表，求出数学期望．【解答】解：（1）A型空调前三周的平均周销售量=（11+10+15）=12台，（2）因为C型空调平均周销量为10台，所以c4+c5=10×15﹣15﹣8﹣12=15，又S2= [（15﹣10）2+（8﹣10）2+（12﹣10）2+（c4﹣10）2+（c5﹣10）2]，化简得到S2= [2（c4﹣）+]，因为c4∈N，所以c4=7或c4=8时，S2取得最小值，此时C5=8或C5=7，（3）依题意，随机变量的可能取值为0，1，2，P（X=0）=×=，P（X=1）=×+×=，P（X=2）=×=，随机变量的X的分布列，X 0 1 2P随机变量的期望E（X）=0×+1×+2×=．17．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，且AE=BF=EF=2，DE=CF=2．将△AED和△BFC分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点M，得到一个四棱锥M﹣CDEF，点G，N，H分别是MC，MD，EF的中点．（1）求证：GH∥平面DEM；（2）求证：EM⊥CN；（3）求直线GH与平面NFC所成角的大小．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结NG，EN，则可证四边形ENGH是平行四边形，于是GH∥EN，于是GH ∥平面DEM；（2）取CD的中点P，连结PH，则可证明PH⊥平面MEF，以H为原点建立坐标系，求出和的坐标，通过计算=0得出EM⊥CN；（3）求出和平面NFC的法向量，则直线GH与平面NFC所成角的正弦值为|cos＜＞|，从而得出所求线面角的大小．【解答】证明：（1）连结NG，EN，∵N，G分别是MD，MC的中点，∴NG∥CD，NG=CD．∵H是EF的中点，EF∥CD，EF=CD，∴EH∥CD，EH=CD，∴NG∥EH，NG=EH，∴四边形ENGH是平行四边形，∴GH∥EN，又GH⊄平面DEM，EN⊂平面DEM，∴GH∥平面DEM．（2）∵ME=EF=MF，∴△MEF是等边三角形，∴MH⊥EF，取CD的中点P，连结PH，则PH∥DE，∵DE⊥ME，DE⊥EF，ME∩EF=E，∴DE⊥平面MEF，∴PH⊥平面MEF．以H为原点，以HM，HF，HP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则E（0，﹣1，0），M（，0，0），C（0，1，2），N（，﹣，1）．∴=（，1，0），=（﹣，，1）．∴=+1×+0×1=0．∴．∴EM⊥NC．（3）F（0，1，0），H（0，0，0），G（，，1），∴=（，，1），=（0，0，2），=（﹣，，1），设平面NFC的法向量为=（x，y，z），则，即．令y=1得=（，1，0），∴cos＜＞==．∴直线GH与平面NFC所成角的正弦值为，∴直线GH与平面NFC所成角为．18．已知函数f（x）=e x（x2+ax+a）．（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤e a在[a，+∞）上有解，求实数a的取值范围；（3）若曲线y=f（x）存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围．（只需直接写出结果）【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）当a=1时，f（x）=e x（x2+x+1），求出其导数，利用导数即可解出单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤e a在[a，+∞）上有解，即x2+ax+a≤e a﹣x，在[a，+∞）上有解，构造两个函数r（x）=x2+ax+a，t（x）=e a﹣x，研究两个函数的在[a，+∞）上的单调性，即可转化出关于a的不等式，从而求得a的范围；（3）由f（x）的导数f′（x）=e x（x+2）（x+a），当a≠﹣2时，函数y=f′（x）的图象与x 轴有两个交点，故f（x）图象上存在两条互相垂直的切线．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=e x（x2+x+1），则f′（x）=e x（x2+3x+2），令f′（x）＞0得x＞﹣1或x＜﹣2；令f′（x）＜0得﹣2＜x＜﹣1．∴函数f（x）的单调增区间（﹣∞，﹣2）与（﹣1，+∞），单调递减区间是（﹣2，﹣1）；（2）f（x）≤e a，即e x（x2+ax+a）≤e a，可变为x2+ax+a≤e a﹣x，令r（x）=x2+ax+a，t（x）=e a﹣x，当a＞0时，在[a，+∞）上，由于r（x）的对称轴为负，故r（x）在[a，+∞）上增，t（x）在[a，+∞）上减，欲使x2+ax+a≤e a﹣x有解，则只须r（a）≤t（a），即2a2+a≤1，解得﹣1≤a≤，故0＜a≤；当a≤0时，在[a，+∞）上，由于r（x）的对称轴为正，故r（x）在[a，+∞）上先减后增，t（x）在[a，+∞）上减，欲使x2+ax+a≤e a﹣x有解，只须r（﹣）≤t（﹣），即﹣+a≤e，当a≤0时，﹣+a≤e显然成立．综上知，a≤即为符合条件的实数a的取值范围；（3）a的取值范围是{a|a≠2，a∈R}．19．已知点A（x1，y1），D（x2，y2）（其中x1＜x2）是曲线y2=4x（y≥0）上的两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C，且|BC|=2．（Ⅰ）当点B的坐标为（1，0）时，求直线AD的斜率；（Ⅱ）记△OAD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求证：＜．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）由B的坐标，可得A的坐标，又|BC|=2，可得D的坐标（3，2），运用直线的斜率公式，即可得到所求值；（Ⅱ）法一：设直线AD的方程为y=kx+m．M（0，m），运用三角形的面积公式可得S1=|m|，将直线方程和抛物线的方程联立，运用判别式大于0和韦达定理，以及梯形的面积公式可得S2，进而得到所求范围；法二：设直线AD的方程为y=kx+m，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式可得三角形的面积S1=|m|，梯形的面积公式可得S2，进而得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由B（1，0），可得A（1，y1），代入y2=4x，得到y1=2，又|BC|=2，则x2﹣x1=2，可得x2=3，代入y2=4x，得到y2=2，则；（Ⅱ）证法一：设直线AD的方程为y=kx+m．M（0，m），则．由，得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，所以，又，又注意到，所以k＞0，m＞0，所以==，因为△=16﹣16km＞0，所以0＜km＜1，所以．证法二：设直线AD的方程为y=kx+m．由，得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，所以，，点O到直线AD的距离为，所以，又，又注意到，所以k＞0，m＞0，所以，因为△=16﹣16km＞0，所以0＜km＜1，所以．20．已知集合Ωn={X|X=（x1，x2，…，x i，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}，其中n ≥3．∀X={x1，x2，…，x i，…，x n}∈Ωn，称x i为X的第i个坐标分量．若S⊆Ωn，且满足如下两条性质：①S中元素个数不少于4个；②∀X，Y，Z∈S，存在m∈{1，2，…，n}，使得X，Y，Z的第m个坐标分量是1；则称S为Ωn的一个好子集．（1）S={X，Y，Z，W}为Ω3的一个好子集，且X=（1，1，0），Y=（1，0，1），写出Z，W；（2）若S为Ωn的一个好子集，求证：S中元素个数不超过2n﹣1；（3）若S为Ωn的一个好子集，且S中恰有2n﹣1个元素，求证：一定存在唯一一个k∈{1，2，…，n}，使得S中所有元素的第k个坐标分量都是1．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）根据好子集的定义直接写出Z，W，（2）若S为Ωn的一个好子集，考虑元素X′=（1﹣x1，1﹣x2，…，1﹣x i，…，1﹣x n），进行判断证明即可．（3）根据好子集的定义，证明存在性和唯一性即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）Z=（1，0，0），W=（1，1，1），…2分（Ⅱ）对于X⊆Ω，考虑元素X′=（1﹣x1，1﹣x2，…，1﹣x i，…，1﹣x n），显然X′∈Ωn，∀X，Y，X′，对于任意的i∈{1，2，…，n}，x i，y i，1﹣x i不可能都为1，可得X，X′不可能都在好子集S中…4分又因为取定X，则X′一定存在且唯一，而且X≠X′，且由X的定义知道，∀X，Y∈Ω，X′=Y′⇔X=Y…6分这样，集合S中元素的个数一定小于或等于集合Ωn中元素个数的一半，而集合Ωn中元素个数为2n，所以S中元素个数不超过2n﹣1；…8分（Ⅲ）∀X={x1，x2，…，x i，…，x n}，．∀Y={y1，y2，…，y i，…，y n}∈Ωn，定义元素X，Y的乘积为：XY={x1y1，x2y2，…，x i y i，…，x n y n}，显然XY∈Ωn，．我们证明：“对任意的X={x1，x2，…，x i，…，x n}∈S，都有XY∈S．”假设存在X，Y∈S，使得XY∉S，则由（Ⅱ）知，（XY）′={1﹣x1y1，1﹣x2y2，…，1﹣x i y i，…1﹣x n﹣1y n﹣1，1﹣x n y n}∈S，此时，对于任意的k∈{1，2，…n}，x k，y k，1﹣x k y k不可能同时为1，矛盾，所以XS∈S．因为S中只有2n﹣1个元素，我们记Z={z1，z2，…，z i，…，z n}为S中所有元素的乘积，根据上面的结论，我们知道={z1，z2，…，z i，…，z n}∈S，显然这个元素的坐标分量不能都为0，不妨设z k=1，根据Z的定义，可以知道S中所有元素的k坐标分量都为1 …11分下面再证明k的唯一性：若还有z t=1，即S中所有元素的t坐标分量都为1，所以此时集合S中元素个数至多为2n﹣2个，矛盾．所以结论成立…13分2020年9月3日。