基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题(附答案)

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2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则答案

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)1．求下列函数的导数：(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3； (5)y ＝log 3x .2．求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝(21)x ；(3)y ＝x ；(4)y ＝log x .3．判断下列计算是否正确. 求y ＝cos x 在x ＝π3处的导数，过程如下： y ′|3π=x ＝⎝⎛⎭⎫cos π3′＝－sin π3＝－32. 解 (1)y ′＝0；(2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5；(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3′＝(x －3)′＝－3x －4；解 (1)y ′＝8x 7；(2)y ′＝(12)x ln 12＝－(12)x ln 2；(3)∵y ＝x x ＝23x ，∴y ′＝3221x ；(4)y ′＝1x ln 13＝－1x ln 3.4．求函数f (x )＝13x 在x ＝1处的导数.5．已知直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试在抛物线的弧AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大.解设P (x 0，y 0)，过点P 与AB 平行的直线为l ，如图.由于直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A 、B 两点，所以|AB |为定值，要使△ABP 的面积最大，只要P 到AB 的距离最大，而P 点是抛物线的弧AOB 上的一点，因此点P 是抛物线上平行于直线AB 的切线的切点，由图知点P 在x 轴上方，y ＝x ，y ′＝12x ，由题意知k AB ＝12.∴k l ＝12x 0＝12，即x 0＝1，∴y 0＝1.∴P (1,1).6．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离.解根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图.则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即0x x y ='＝1.∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1).利用点到直线的距离公式得距离为22. 7．给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4； ②若y ＝3x ，则y ′＝133x ； ③若y ＝1x2，则y ′＝－2x －3；④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3. 其中正确的个数是 ( )A.1B.2C.3D.4∴①③④正确.解 f ′(x )＝(13x )′＝(x 31-)′＝－13x 131--，＝－13x 34-＝－133x 4， ∴f ′(1)＝－1331＝－13，。

函数求导练习题(含解析)

一．解答题（共15小题）1．请默写基础初等函数的导数公式：（1）（C）′＝，C为常数；（2）（xα）′＝，α为常数；（3）（a x）′＝，a为常数，a＞0且a≠1；（4）（log a x）′＝，a为常数，a＞0且a≠1；（5）（sin x）′＝；（6）（cos x）′＝．2．求下列函数的导数（1）y＝x2﹣7x+6；（2）y＝x+2sin x，x∈（0，2π）．3．求下列函数的导数：（1）f（x）＝3x4+sin x；（2）．4．求下列函数的导数：（1）y＝ln（2x+1）；（2）．5．求下列函数的导数：（1）；（2）g（x）＝（8﹣3x）7；（3）p（x）＝5cos（2x﹣3）；（4）w（x）＝ln（5x+6）2．6．求下列函数的导数．（Ⅰ）；（Ⅱ）．7．求下列函数的导数．（1）f（x）＝sin x cos x；（2）y＝．8．求下列函数的导数．（1）y＝；（2）y＝（2x2+3）（3x﹣2）．9．求下列函数的导数：（1）；（2）．10．求下列函数的导数：（1）S（t）＝；（2）h（x）＝（2x2+3）（3x﹣2）．11．求下列函数的导数．（1）；（2）．12．求下列函数的导数：（1）y＝；（2）y＝．13．求下列函数的导数：（1）y＝sin x+lnx；（2）y＝cos x+x；（3）y＝x sin x；（4）；（5）y＝3x2+x cos x；（6）．14．求下列函数的导数．（1）y＝x3﹣2x+3；（2）y＝x sin（2x+5）．15．求下列函数的导数：（1）y＝（x2+3x+3）e x+1；（2）解析一．解答题（共15小题）1．请默写基础初等函数的导数公式：（1）（C）′＝0，C为常数；（2）（xα）′＝αxα﹣1，α为常数；（3）（a x）′＝a x lna，a为常数，a＞0且a≠1；（4）（log a x）′＝，a为常数，a＞0且a≠1；（5）（sin x）′＝cos x；（6）（cos x）′＝﹣sin x．分析：根据初等函数的导数公式，直接求解即可．解答：解：（1）（C）′＝0，（2）（xα）′＝αxα﹣1，（3）（a x）′＝a x lna，（4）（log a x）′＝，（5）（sin x）′＝cos x，（6）（cos x）′＝﹣sin x．故答案为：（1）0；（2）αxα﹣1；（3）a x lna；（4）；（5）cos x；（6）﹣sin x．点评：本题主要考查初等函数的导数公式，比较基础．2．求下列函数的导数（1）y＝x2﹣7x+6；（2）y＝x+2sin x，x∈（0，2π）．分析：利用导数的运算性质逐个化简即可求解．解答：解：（1）由已知可得y′＝2x﹣7；（2）由已知可得y′＝1+2cos x．点评：本题考查了导数的运算性质，属于基础题．3．求下列函数的导数：（1）f（x）＝3x4+sin x；（2）．分析：（1）（2）由基本初等函数的导数公式及导数加减、乘法法则求导函数即可．解答：解：（1）f（x）＝3x4+sin x则f′（x）＝12x3+cos x；（2），则f′（x）＝+﹣2e2x﹣1．点评：本题主要考查导数的基本运算，比较基础．4．求下列函数的导数：（1）y＝ln（2x+1）；（2）．分析：根据导数的公式即可得到结论．解答：解：（1）∵y＝ln（2x+1），∴y′＝×2＝，（2）∵，∴y′＝﹣sin（﹣2x）×（﹣2）＝2sin（﹣2x）＝﹣2sin（2x﹣）．点评：本题主要考查导数的基本运算，比较基础．5．求下列函数的导数：（1）；（2）g（x）＝（8﹣3x）7；（3）p（x）＝5cos（2x﹣3）；（4）w（x）＝ln（5x+6）2．分析：根据复合函数的求导法则、基本初等函数的求导公式求导计算即可．解答：解：（1）∵，∴．（2）∵g（x）＝（8﹣3x）7，∴g'（x）＝7（8﹣3x）6⋅（8﹣3x）'＝﹣21（8﹣3x）6．（3）∵p（x）＝5cos（2x﹣3），∴p'（x）＝﹣5sin（2x﹣3）⋅（2x﹣3）'＝﹣10sin（2x﹣3）．（4）∵w（x）＝ln（5x+6）2，∴点评：本题考查导数的计算，注意复合函数的导数计算，属于基础题．（Ⅰ）；（Ⅱ）．分析：根据导数的公式即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）＝．（Ⅱ）．点评：本题主要考查导数的基本运算，比较基础．7．求下列函数的导数．（1）f（x）＝sin x cos x；（2）y＝．分析：利用导数的运算性质化简即可求解．解答：解：（1）因为f（x）＝sin x cos x＝sin2x，所以f′（x）＝cos2x×＝cos2x，（2）∵y＝，∴y′＝＝．点评：本题考查了导数的运算性质，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．8．求下列函数的导数．（1）y＝；（2）y＝（2x2+3）（3x﹣2）．分析：根据导数的公式，即可依次求解．解答：解：（1）y'＝＝．（2）因为y＝（2x2+3）（3x﹣2）＝6x3﹣4x2+9x﹣6，所以y′＝18x2﹣8x+9．点评：本题主要考查导数的运算，属于基础题．（1）；（2）．分析：（1）先展开f（x），然后求导即可；（2）根据基本初等函数和商的导数的求导公式求导即可．解答：解：（1），；（2）．点评：本题考查了基本初等函数和商的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．10．求下列函数的导数：（1）S（t）＝；（2）h（x）＝（2x2+3）（3x﹣2）．分析：结合基本初等函数的求导公式及求导法则求解即可．解答：解：（1）S（t）＝＝t+，所以S′（t）＝1﹣；（2）h（x）＝（2x2+3）（3x﹣2），所以h′（x）＝4x（3x﹣2）+3（2x2+3）＝18x2﹣8x+9．点评：本题主要考查了基本初等函数的求导公式及求导法则，属于基础题．11．求下列函数的导数．（1）；（2）．分析：利用复合函数的导函数的求法，结合导数的运算求解即可．解答：解：（1），所以；（2）所以．点评：本题考查了导函数的求法，重点考查了导数的运算，属基础题．12．求下列函数的导数：（1）y＝；（2）y＝．分析：直接利用基本初等函数的导数公式，复合函数的导数公式以及导数的四则运算求解即可．解答：解：（1）令t＝1﹣2x2，则，所以；（2）．点评：本题考查了导数的运算，解题的关键是掌握基本初等函数的导数公式，复合函数的导数公式以及导数的四则运算，考查了运算能力，属于基础题．13．求下列函数的导数：（1）y＝sin x+lnx；（2）y＝cos x+x；（3）y＝x sin x；（4）；（5）y＝3x2+x cos x；（6）．分析：由已知结合函数的求导公式即可求解．解答：解：（1）y′＝cos x+；（2）y′＝﹣sin x+1；（3）y′＝sin x+x cos x；（4）y′＝＝；（5）y′＝6x+cos x﹣x sin x；（6）y′＝＝﹣．点评：本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．14．求下列函数的导数．（1）y＝x3﹣2x+3；（2）y＝x sin（2x+5）．分析：根据基本初等函数和复合函数的求导公式求导即可．解答：解：（1）y′＝3x2﹣2；（2）y′＝sin（2x+5）+2x cos（2x+5）．点评：本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．15．求下列函数的导数：（1）y＝（x2+3x+3）e x+1；（2）．分析：利用导数的运算法则以及常见函数的导数进行求解即可．解答：解：（1）因为y＝（x2+3x+3）e x+1，所以y'＝[（x2+3x+3）e x+1]'＝（x2+3x+3+2x+3）e x+1＝（x2+5x+6）e x+1＝（x+2）（x+3）e x+1；（2）因为，所以．点评：本题考查了导数的运算，主要考查了导数的运算法则以及常见函数的导数公式，考查了化简运算能力，属于基础题．。

基本初等函数的导数公式及导数运算法则练习

word 格式-可编辑-感谢下载支持基本初等函数的导数公式及导数运算法则练习姓名班级 1．曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－73处切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．135° D ．60° 2．设f (x )＝13x 2－1x x，则f ′(1)等于( )A ．－16B.56 C ．－76 D.763．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝04．已知f (x )＝ax 3＋9x 2＋6x －7，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( )A.193B.163C.103D.1335．已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ．0秒、2秒或4秒B ．0秒、2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．0秒、4秒或8秒6．(2010·新课标全国卷文，4)曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( )A ．y ＝x －1B ．y ＝－x －1C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x －27．若函数f (x )＝e xsin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A.π2B ．0C ．钝角D ．锐角8．曲线y ＝x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为 ( )A.π22B ．π2C ．2π2 D.12(2＋π)29．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2011(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x10．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )－g (x )为常数C ．f (x )＝g (x )＝0D ．f (x )＋g (x )为常数11．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( )A ．1B ．2C ．3D ．412．若对任意x ∈R ，f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则f (x )＝( )word 格式-可编辑-感谢下载支持A ．x 4B ．x 4－2 C ．4x 3－5D ．x 4＋213．设函数f (x )＝x m＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.nn ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n14．二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．函数y ＝(2＋x 3)2的导数为( )A ．6x 5＋12x 2B ．4＋2x 3C ．2(2＋x 3)2D ．2(2＋x 3)·3x16．(2010·江西文，4)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )A ．－1B ．－2C ．2D ．017．设函数f (x )＝(1－2x 3)10，则f ′(1)＝( )A ．0B ．－1C ．－60D ．6018．函数y ＝sin2x －cos2x 的导数是( )A ．22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4B ．cos2x －sin2xC ．sin2x ＋cos2xD ．22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π419．(2010·高二潍坊)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.1220．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为( )A ．－15B ．0 C.15D ．521．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝12，则a ＝________，b ＝________.22．设f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1，则不等式f ′(x )＜0的解集为________． 23．曲线y ＝cos x 在点P ⎝⎛⎭⎪⎫π3，12处的切线的斜率为______．24．已知函数f (x )＝ax ＋b e x图象上在点P (－1,2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，则函数f (x )的解析式是____________．25．若f (x )＝x ，φ(x )＝1＋sin2x ，则f [φ(x )]＝_______，φ[f (x )]＝________. 26．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0＜φ＜π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________. 27．函数y ＝(1＋2x 2)8的导数为________． 28．函数y ＝x 1＋x 2的导数为________．三、解答题29．求下列函数的导数：(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)；(3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x .30．求下列函数的导数：(1)y ＝x sin 2x ； (2)y ＝ln(x ＋1＋x 2)； (3)y ＝e x＋1e x －1； (4)y ＝x ＋cos xx ＋sin x..31．求下列函数的导数：(1)y ＝cos 2(x 2－x )； (2)y ＝cos x ·sin3x ； (3)y ＝x log a (x 2＋x －1)； (4)y ＝log 2x －1x ＋1.32．设f (x )＝2sin x 1＋x 2，如果f ′(x )＝2(1＋x 2)2·g (x )，求g (x )．33．求下列函数的导数：(其中f (x )是可导函数)(1)y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x；(2)y ＝f (x 2＋1)．34．已知两条曲线y＝sin x、y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．17．已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－(x－2)2.直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程．18．求满足下列条件的函数f(x)：(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；(2)f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.基本初等函数的导数公式及导数运算法则答案一、选择题1．曲线y ＝13x 3－2在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－73处切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．135°D ．60°[答案] B[解析] y ′|x ＝－1＝1，∴倾斜角为45°. 2．设f (x )＝13x 2－1x x，则f ′(1)等于( )A ．－16B.56 C ．－76D.76[答案] B3．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0[答案] A[解析] ∵直线l 的斜率为4，而y ′＝4x 3，由y ′＝4得x ＝1而x ＝1时，y ＝x 4＝1，故直线l 的方程为：y －1＝4(x －1)即4x －y －3＝0.4．已知f (x )＝ax 3＋9x 2＋6x －7，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( ) A.193 B.163 C.103D.133[答案] B[解析] ∵f ′(x )＝3ax 2＋18x ＋6，∴由f ′(－1)＝4得，3a －18＋6＝4，即a ＝163.∴选B.5．已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ．0秒、2秒或4秒B ．0秒、2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．0秒、4秒或8秒[答案] D[解析] 显然瞬时速度v ＝s ′＝t 3－12t 2＋32t ＝t (t 2－12t ＋32)，令v ＝0可得t ＝0,4,8.故选D. 6．(2010·新课标全国卷文，4)曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1B ．y ＝－x －1C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x －2[答案] A[解析] 本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．由题可知，点(1,0)在曲线y ＝x 3－2x ＋1上，求导可得y ′＝3x 2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y ＝x 3－2x ＋1的切线方程为y ＝x －1，故选A.7．若函数f (x )＝e xsin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2 B ．0C ．钝角D ．锐角[答案] C[解析] y ′|x ＝4＝(e xsin x ＋e xcos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C.8．曲线y ＝x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为 ( )A.π22 B ．π2C ．2π2D.12(2＋π)2[答案] A[解析] 曲线y ＝x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2处的切线方程为y ＝－x ，所围成的三角形的面积为π22. 9．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2011(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x[答案] D[解析] f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ，f2(x)＝f1′(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝(－cos x)′＝sin x，∴4为最小正周期，∴f2011(x)＝f3(x)＝－cos x.故选D.10．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)、g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足( )A．f(x)＝g(x) B．f(x)－g(x)为常数C．f(x)＝g(x)＝0 D．f(x)＋g(x)为常数[答案] B[解析] 令F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝0，∴F(x)为常数．11．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] D[解析] y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.12．若对任意x∈R，f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则f(x)＝( )A．x4B．x4－2C．4x3－5 D．x4＋2[答案] B[解析] ∵f′(x)＝4x3.∴f(x)＝x4＋c，又f(1)＝－1∴1＋c＝－1，∴c＝－2，∴f(x)＝x4－2.13．设函数f(x)＝x m＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列{1f(n)}(n∈N*)的前n项和是( )A.nn＋1B.n＋2n＋1C.nn－1D.n＋1n[答案] A[解析] ∵f(x)＝x m＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，即f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，∴数列{1f(n)}(n∈N*)的前n项和为：S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝nn ＋1，故选A.14．二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] 由题意可设f (x )＝ax 2＋bx ，f ′(x )＝2ax ＋b ，由于f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a >0，b >0，则f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2－b 24a，顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b2a，－b 24a 在第三象限，故选C.15．函数y ＝(2＋x 3)2的导数为( ) A ．6x 5＋12x 2B ．4＋2x 3C ．2(2＋x 3)2D ．2(2＋x 3)·3x[答案] A[解析] ∵y ＝(2＋x 3)2＝4＋4x 3＋x 6， ∴y ′＝6x 5＋12x 2.16．(2010·江西文，4)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0[答案] B[解析] 本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(－1)＝－4a －2b ＝－(4a ＋2b )，f ′(1)＝4a ＋2b ，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2要善于观察，故选B.17．设函数f (x )＝(1－2x 3)10，则f ′(1)＝( ) A ．0B ．－1C ．－60D ．60[答案] D[解析] ∵f ′(x )＝10(1－2x 3)9(1－2x 3)′＝10(1－2x 3)9·(－6x 2)＝－60x 2(1－2x 3)9，∴f ′(1)＝60.18．函数y ＝sin2x －cos2x 的导数是( )A ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4B ．cos2x －sin2xC ．sin2x ＋cos2xD ．22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4[答案] A[解析] y ′＝(sin2x －cos2x )′＝(sin2x )′－(cos2x )′ ＝2cos2x ＋2sin2x ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4.19．(2010·高二潍坊检测)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.12[答案] A[解析] 由f ′(x )＝x 2－3x ＝12得x ＝3.20．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为( ) A ．－15B ．0 C.15D ．5[答案] B[解析] 由题设可知f (x ＋5)＝f (x ) ∴f ′(x ＋5)＝f ′(x )，∴f ′(5)＝f ′(0) 又f (－x )＝f (x )，∴f ′(－x )(－1)＝f ′(x ) 即f ′(－x )＝－f ′(x )，∴f ′(0)＝0 故f ′(5)＝f ′(0)＝0.故应选B. 二、填空题21．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝12，则a ＝________，b ＝________.[答案] 0 －1[解析] f ′(x )＝2ax －b cos x ，由条件知 ⎩⎪⎨⎪⎧－b cos0＝12π3a －b cos π3＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1a ＝0.22．设f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1，则不等式f ′(x )＜0的解集为________． [答案] (－1,3)[解析] f ′(x )＝3x 2－6x －9，由f ′(x )＜0得3x 2－6x －9＜0，∴x 2－2x －3＜0，∴－1＜x ＜3.23．曲线y ＝cos x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12处的切线的斜率为______．[答案] －32[解析] ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ， ∴切线斜率k ＝y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32.24．已知函数f (x )＝ax ＋b e x图象上在点P (－1,2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，则函数f (x )的解析式是____________．[答案] f (x )＝－52x －12e x ＋1[解析] 由题意可知，f ′(x )|x ＝－1＝－3， ∴a ＋b e －1＝－3，又f (－1)＝2，∴－a ＋b e －1＝2，解之得a ＝－52，b ＝－12e ，故f (x )＝－52x －12e x ＋1.25．若f (x )＝x ，φ(x )＝1＋sin2x ，则f [φ(x )]＝_______，φ[f (x )]＝________. [答案]2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，1＋sin2x[解析] f [φ(x )]＝1＋sin2x ＝(sin x ＋cos x )2＝|sin x ＋cos x |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.φ[f (x )]＝1＋sin2x .26．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0＜φ＜π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________. [答案]π6[解析] f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)，f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋5π6. 若f (x )＋f ′(x )为奇函数，则f (0)＋f ′(0)＝0，即0＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋5π6，∴φ＋5π6＝k π(k ∈Z )．又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π6.27．函数y ＝(1＋2x 2)8的导数为________．word 格式-可编辑-感谢下载支持 [答案] 32x (1＋2x 2)7[解析] 令u ＝1＋2x 2，则y ＝u 8，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝8u 7·4x ＝8(1＋2x 2)7·4x＝32x (1＋2x 2)7.28．函数y ＝x 1＋x 2的导数为________． [答案] (1＋2x 2)1＋x 21＋x 2 [解析] y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x2.三、解答题29．求下列函数的导数：(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)；(3)y ＝sin 4x4＋cos 4x4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x1＋x .[解析] (1)∵y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3；(3)∵y ＝sin 4x 4＋cos 4x4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x4＝1－12sin 2x2＝1－12·1－cos x2＝34＋14cos x ，∴y ′＝－14sin x ；(4)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x＝2＋2x1－x ＝41－x －2，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.word 格式-可编辑-感谢下载支持30．求下列函数的导数：(1)y ＝x sin 2x ； (2)y ＝ln(x ＋1＋x 2)；(3)y ＝e x ＋1e x －1； (4)y ＝x ＋cos x x ＋sin x. [解析] (1)y ′＝(x )′sin 2x ＋x (sin 2x )′＝sin 2x ＋x ·2sin x ·(sin x )′＝sin 2x ＋x sin2x .(2)y ′＝1x ＋1＋x 2·(x ＋1＋x 2)′ ＝1x ＋1＋x 2(1＋x 1＋x 2)＝11＋x 2 . (3)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝－2e x (e x －1)2 . (4)y ′＝(x ＋cos x )′(x ＋sin x )－(x ＋cos x )(x ＋sin x )′(x ＋sin x )2 ＝(1－sin x )(x ＋sin x )－(x ＋cos x )(1＋cos x )(x ＋sin x )2 ＝－x cos x －x sin x ＋sin x －cos x －1(x ＋sin x )2. 31．求下列函数的导数：(1)y ＝cos 2(x 2－x )； (2)y ＝cos x ·sin3x ；(3)y ＝x log a (x 2＋x －1)； (4)y ＝log 2x －1x ＋1. [解析] (1)y ′＝[cos 2(x 2－x )]′＝2cos(x 2－x )[cos(x 2－x )]′＝2cos(x 2－x )[－sin(x 2－x )](x 2－x )′＝2cos(x 2－x )[－sin(x 2－x )](2x －1)＝(1－2x )sin2(x 2－x )．(2)y ′＝(cos x ·sin3x )′＝(cos x )′sin3x ＋cos x (sin3x )′＝－sin x sin3x ＋3cos x cos3x ＝3cos x cos3x －sin x sin3x .(3)y ′＝log a (x 2＋x －1)＋x ·1x 2＋x －1log a e(x 2＋x －1)′＝log a (x 2＋x －1)＋2x 2＋x x 2＋x －1log a e. (4)y ′＝x ＋1x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′log 2e ＝x ＋1x －1log 2e x ＋1－x ＋1(x ＋1)2 ＝2log 2e x 2－1. 32．设f (x )＝2sin x 1＋x 2，如果f ′(x )＝2(1＋x 2)2·g (x )，求g (x )．word 格式-可编辑-感谢下载支持[解析] ∵f ′(x )＝2cos x (1＋x 2)－2sin x ·2x (1＋x 2)2 ＝2(1＋x 2)2[(1＋x 2)cos x －2x ·sin x ]，又f ′(x )＝2(1＋x 2)2·g (x )． ∴g (x )＝(1＋x 2)cos x －2x sin x .33．求下列函数的导数：(其中f (x )是可导函数) (1)y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ；(2)y ＝f (x 2＋1)． [解析] (1)解法1：设y ＝f (u )，u ＝1x ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝f ′(u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＝－1x 2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1x . 解法2：y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1x . (2)解法1：设y ＝f (u )，u ＝v ，v ＝x 2＋1，34．已知两条曲线y ＝sin x 、y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．[解析] 由于y ＝sin x 、y ＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)，∴两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为若使两条切线互相垂直，必须cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin2x 0＝2，这是不可能的，∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．17．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2.直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程．[解析] 设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 21.① 对于C 2：y ′＝－2(x －2)，与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.② ∵两切线重合，∴2x 1＝－2(x 2－2)且－x 21＝x 22－4，解得x 1＝0，x 2＝2或x 1＝2，x 2＝0.∴直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.18．求满足下列条件的函数f (x )：(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0；(2)f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1.[解析] (1)设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c由f (0)＝3，可知d ＝3，由f ′(0)＝0可知c ＝0，由f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0可建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3a ＋2b ＝－3f ′(2)＝12a ＋4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3，所以f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由f ′(x )是一次函数可知f (x )是二次函数，则可设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) f ′(x )＝2ax ＋b ，把f (x )和f ′(x )代入方程，得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1整理得(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c ＝1若想对任意x 方程都成立，则需 ⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝0b －2c ＝0c ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝2c ＝1，所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.。

高中数学导数的计算精选题目(附答案)

高中数学导数的计算精选题目（附答案）(1)基本初等函数的导数公式(2)导数运算法则①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；当g (x )＝c 时，[cf (x )]′＝cf ′(x )．③⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．（3）复合导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1．求下列函数的导数： (1)y ＝10x ； (2)y ＝lg x ； (3)y ＝log 12x ；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1.2．求下列函数的导数： (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ；(3)y ＝lg 5； (4)y ＝3lg 3x ； (5)y ＝2co S 2x2－1. 3.(1)y ＝x 3·e x ； (2)y ＝x －S i n x 2co S x2； (3)y ＝x 2＋log 3x; (4)y ＝e x ＋1e x －1.4．求下列函数的导数： (1)y ＝cos x x ； (2)y ＝xS i n x ＋x ； (3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x1＋x； (4)y ＝lg x －1x 2.5．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离． 6．求过曲线y ＝co S x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在这点处的切线垂直的直线方程．7．求下列函数的导数． (1)y ＝1－2x 2； (2)y ＝e S i n x ；(3)y ＝S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1) 8．求下列函数的导数． (1)f (x )＝(－2x ＋1)2； (2)f (x )＝l n (4x －1)； (3)f (x )＝23x ＋2； (4)f (x )＝5x ＋4； (5)f (x )＝S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6；(6)f (x )＝co S 2x .9．求下列函数的导数． (1)y ＝x 1＋x 2；(2)y ＝x co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2.10．求下列函数的导数． (1)y ＝S i n 2x3； (2)y ＝S i n 3x ＋S i n x 3； (3)y ＝11－x 2； (4)y ＝x l n (1＋x )．11. 设f (x )＝l n (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切．求a ，b 的值．12．曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23 D ．1参考答案：1.解： (1)y ′＝(10x )′＝10x l n 10. (2)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.(3)y ′＝(log 12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2.(4)y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x.(5)∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2＋cos x 22－1＝S i n 2x2＋2S i n x 2co S x 2＋co S 2x 2－1 ＝S i n x ，∴y ′＝(S i n x )′＝co S x .2.解：(1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x l n 1e ＝－1e x ＝－e －x .(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x l n 110＝－ln 1010x＝－10－x l n 10.(3)∵y ＝lg 5是常数函数，∴y ′＝(lg 5)′＝0. (4)∵y ＝3 lg 3x ＝lg x ，∴y ′＝(lg x )′＝1x ln 10.(5)∵y ＝2co S 2x2－1＝co S x ，∴y ′＝(co S x )′＝－S i n x . 3.解： (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x . (2)∵y ＝x －12S i n x ，∴y ′＝x ′－12(S i n x )′＝1－12co S x . (3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (4)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.4.解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos xx 2.(2)y ′＝(xS i n x )′＋(x )′＝S i n x ＋x co S x ＋12x.(3)∵y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝1x ln 10＋2x 3. 5.解：如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为22.6.解：∵y ＝co S x ，∴y ′＝(co S x )′＝－S i n x ，∴曲线在点P π3，12处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝π3＝－S i n π3＝－32，∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为233，∴满足题意的直线方程为y －12＝233⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，即233x －y ＋12－239π＝0. 7.解： (1)设y ＝u 12，u ＝1－2x 2，则y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫u 12′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u －12·(－4x ) ＝12(1－2x 2)－12(－4x )＝－2x 1－2x 2 .(2)设y ＝e u ，u ＝S i n x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·co S x ＝e S i n x co S x . (3)设y ＝S i n u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝co S u ·2＝2co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝5(log 2u )′(2x ＋1)′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.8.解：(1)设y ＝u 2，u ＝－2x ＋1，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－2)＝－4(－2x ＋1)＝8x －4. (2)设y ＝l n u ，u ＝4x －1，则y ′＝y u ′·u x ′＝1u ·4＝44x －1.(3)设y ＝2u ，u ＝3x ＋2，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u l n 2·3＝3l n 2·23x ＋2. (4)设y ＝u ，u ＝5x ＋4，则y ′＝y u ′·u x ′＝12u·5＝525x ＋4.(5)设y ＝S i n u ，u ＝3x ＋π6，则y ′＝y u ′·u x ′＝co S u ·3＝3co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6.(6)法一：设y ＝u 2，u ＝co S x ，则y ′＝y u ′·u x ′＝2u ·(－S i n x ) ＝－2co S x ·S i n x ＝－S i n 2x ；法二：∵f (x )＝co S 2x ＝1＋cos 2x 2＝12＋12co S 2x ，所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12cos 2x ′＝0＋12·(－S i n 2x )·2＝－S i n 2x . 9.解： (1)y ′＝(x 1＋x 2)′ ＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′ ＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x 2.(2)∵y ＝x co S ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2S i n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝x (－S i n 2x )co S 2x ＝－12xS i n 4x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x sin 4x ′＝－12S i n 4x －x2co S 4x ·4 ＝－12S i n 4x －2x co S 4x .10.解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x 3′＝2S i n x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 3′ ＝2S i n x 3·co S x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3′＝13S i n 2x3.(2)y ′＝(S i n 3x ＋S i n x 3)′＝(S i n 3x )′＋(S i n x 3)′ ＝3S i n 2x co Sx ＋co S x 3·3x 2＝3S i n 2x co S x ＋3x 2co S x 3. (3)y ′＝0－(1－x 2)′1－x 2＝－12(1－x 2)－12(1－x 2)′1－x 2＝x (1－x 2)－121－x 2＝x(1－x 2) 1－x 2.(4)y ′＝x ′l n (1＋x )＋x []ln (1＋x )′ ＝l n (1＋x )＋x 1＋x. 11.解：由曲线y ＝f (x )过(0,0)点，可得l n 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1.由f (x )＝l n (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，此即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得32＋a ＝32，故a ＝0.12.解析：选A 依题意得y ′＝e －2x ·(－2)＝－2e －2x ，y ′|x ＝0＝－2e－2×0＝－2.曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y －2＝－2x ，即y ＝－2x ＋2.在坐标系中作出直线y ＝－2x ＋2、y ＝0与y ＝x 的图象，因为直线y ＝－2x ＋2与y ＝x的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，直线y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标是(1,0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于12×1×23＝13.。

同步练习】基本初等函数的导数公式及运算法则基础练习题及答案

同步练习】基本初等函数的导数公式及运算法则基础练习题及答案1.函数$y=x^2$在点$x=1$处的导数是2.2.函数$f(x)=(2x+1)^2(4x-2x+1)$的导数是$24x^2-1$。

3.函数$f(x)=(x+2a)(x-a)^2$的导数为$f'(x)=2(x^2-a^2)+2(x-a)\cdot 2x=2(3x^2-2ax-a^2)$。

4.函数$f(x)=1+\sin x$，其导函数为$f'(x)=\cos x$，则$f'(\pi/3)=1/2$。

5.已知函数$f(x)=3x^2$，则$f'(3)=18$。

6.函数$f(x)=(2e^x)+\sin x$的导数是$f'(x)=2e^x+\cos x$。

7.已知$f(x)=\sin x+\cos x+\pi/2$，则$f'(\pi/2)=-1$。

8.已知函数$f(x)=2\sin x+\cos x$，则$f'(\pi)=-2$。

9.已知函数$f(x)=\frac{1}{2}x^2$，则$f(x)=\frac{1}{2}x^2+C$，其中$C$为常数。

10.某物体的瞬时速度为0时，$t=2$。

11.已知函数$f(x)=ax^2+b$的图像开口向下，$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}=4$，则$a=-2$。

12.已知函数$f(x)=x^4+ax^2-bx$，且$f'(-1)=-13$，$f'(-1)=-27$，则$a+b=-18$。

13.已知函数$f(x)=x\sin x+\cos x$，则$f'(\frac{\pi}{2})=-1$。

14.函数$f(x)=x\mathrm{e}^x$的导函数为$f'(x)=(x+1)\mathrm{e}^x$，所以$f'(x)>0$的解集为$(0,+\infty)$。

导数公式的练习题及答案

导数公式的练习题及答案1. 导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数y?f在x?x0处的瞬时变化率是?x?0limf?f，?x我们称它为函数y?f在x?x0处的导数，记作f?或y?|x?x0，即f?=lim?x?0f?f?x2. 导数的几何意义: 当点Pn趋近于P时，函数y?f 在x?x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k?lim3. 导函数二．导数的计算1. 基本初等函数的导数公式. 导数的运算法则. 复合函数求导?x?0f?f?f?xn?x0y?f和u?g,称则y可以表示成为x的函数,即y?f)为一个复合函数 y??f?)?g?三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数:.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数y?f的极值的方法是:如果在x0附近的左侧f??0,右侧f??0,那么f是极大值; 如果在x0附近的左侧f??0,右侧f??0,那么f是极小值;.函数的最大值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数y?f在[a,b]上的最大值与最小值的步骤求函数y?f在内的极值；将函数y?f的各极值与端点处的函数值f，f比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.四.生活中的优化问题1、已知函数f?2x?1的图象上一点及邻近一点，则2?y等于?xA．4B．4?xC．4?2?xD．4?2?x2、如果质点M按规律S?3?t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度为A．4B．4.1C．0.41D．33、如果质点A按规律S?2t3运动，则在t?3秒的瞬时速度为A．B．18C．54D．8111在点处的切线斜率为_________，切线方程为__________________． x225、已知函数f?ax?2，若f??1，则a?__________．4、曲线y??6、计算：f?5x?7，求f?；f?y?221x?2，求f?；21，求y?|x?0 x?17、在自行车比赛中，运动员的位移与比赛时间t存在函数关系S?10t?5t2，t?20,?t?0.1时的求t?20的速度． 1、函数y??S； ?t的导数是1?4?141323A．xB．xC．x5D．?x55555112、曲线y?x2在点处切线的倾斜角为225???A．1B．?C．D．4443、已知曲线y?x?2x?2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是A．B． C．D．2x在点处的切线方程为____________________．x?135、曲线y?x在点处的切线与x轴、直线x?2所围成的三角形面积为__________．4、曲线y?6、求下列函数的导数：y?x?log3x；y??2x?1．13?；y?cos2x．sinx?cosx求f在点处的切线方程；求过点的切线方程．、函数y?的导数是A．6x5?12x B．4?2x C．2 D．2?3x、已知y?333321sin2x?sinx，那么y?是A．仅有最小值的奇函数B．既有最大值又有最小值的偶函数 C．仅有最大值的偶函数D．非奇非偶函数 10、曲线y?e1x2在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为2C．2e D．e22211、已知f?ln，若f??1，则实数a的值为__________． A．e2B．4e12、y?sin3x在处的切线斜率为__________________．1?x，?1?x?1． 1?x13、求下列函数的导数：f?f?e?x2?2x?3；y?lncos2x??14、已知f? ，求f．1?sin2x41、函数f?e的单调递增区间是A． B．C． D．2、设函数y?f在定义域内可导，y?f的图象如图1所示，则导函数y?f?可能为A2xB C D3、若函数f?x?ax?x?6在内单调递减，则实数a的取值范围是A．a?1B．a?13C．a?1D．0?a?14、函数f?ax?x在R上为减函数，则实数a的取值范围是______________．、求函数f?2x?lnx的单调区间．、设函数f?xe．kx2求曲线y?f在点)处的切线方程；求函数f的单调区间；若函数f在区间内单调递增，求k的取值范围．、函数y?4x2?1的单调递增区间是 x11A． B． C．D．8、若函数y?x3?x2?mx?1是R上的单调函数，则实数m 的取值范围是A． B．D．．函数f?lnx?1313131312x的图象大致是10、如果函数y?f的导函数的图象如下图所示，给出下列判断：①函数y?f在区间内单调递增；②函数y?f在区间内单调递减；③函数y?f在区间内单调递增；④当x?2时，函数y?f有极小值；⑤当x??12121时，函数y?f有极大值.32则上述判断中正确的是____________．11、已知函数f?x?ax?bx?c，g?12x?4，若f?0，且f 的图象在点)处的切线方程为y?g．求实数a，b，c的值；求函数h?f?g的单调区间 12、已知函数f?13、已知函数f?12x?lnx?x在上是增函数，求实数a的取值范围．x?1?alnx，f的单调区间．1．C ．B3．C4．4；y?4x?4．?7．210.5；2101?1?381x111．C．C ．B4．y??x?2．6．；?；ln?233xln3?sinx?cosx7．y?4x?3；y?e；1?x814．?9111．D．D ．A4．a?0．增区间，减区间22116．y?x；k?0时，增区间，减区间kk11k?0时，增区间，减区间；[?1,0)?和，减区间12．a?213．a?0时，增区间为a?0时，在基本初等函数的导数公式及导数运算法则练习姓名班级713?1．曲线y＝x－2在点?－1，－处切线的倾斜角为?3?A．30°B．45° C．135°D．60°．设f＝31A641－1x2xf′等于57B.C．－667D.63．若曲线y＝x的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为A．4x－y－3＝032B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝04．已知f＝ax＋9x＋6x－7，若f′＝4，则a的值等于A.193B.16101 D.3314325．已知物体的运动方程是st－4t＋16t，则瞬时速度为0的时刻是A．0秒、2秒或4秒B．0秒、2秒或16秒C．2秒、8秒或16秒 D．0秒、4秒或8秒6．曲线y＝x－2x＋1在点处的切线方程为A．y＝x－1B．y＝－x－1 D．y＝－2x－23C．y＝2x－2x7．若函数f＝esinx，则此函数图象在点)处的切线的倾斜角为A.π2B．0C．钝角D．锐角?ππ8．曲线y＝xsinx在点?－，处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为 ?22?πA.21222B．π C．2πD.＋π)29．设f0＝sinx，f1＝f0′，f2＝f1′，…，fn＋1＝fn′，n∈N，则f2011等于A．sinxB．－sinx C．cosxD．－cosx10．f与g是定义在R上的两个可导函数，若f、g满足f′＝g′，则f与g满足A．f＝g B．f－g为常数C．f＝g＝0 11．函数y＝在x＝1处的导数等于A．1 B．2C．D．412．若对任意x∈R，f′＝4x，f＝－1，则f＝第 - 1 - 页共 1页32D．f＋g为常数A．x34mB．x－D．x＋21*}的前n项和是 f44C．4x－513．设函数f＝x＋ax的导数为f′＝2x＋1，则数列{ A.n＋2nn＋1B. C.D.n＋1n＋1n－1nn14．二次函数y＝f的图象过原点，且它的导函数y＝f′的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f的图象的顶点在A．第一象限32B．第二象限C．第三象限D．第四象限15．函数y＝的导数为A．6x＋12xB．4＋2xC．24252332D．2·3x316．若函数f＝ax＋bx＋c满足f′＝2，则f′＝A．－1B．－ C．2D．031017．设函数f＝，则f′＝A．0B．－1 C．－60D．6018．函数y＝sin2x－cos2x的导数是π??A．2cos?2x－?4??π??B．cos2x－sin2xC．sin2x＋cos2x D．22cos?2x ＋?4??119．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为42A．3B． C．11D.x220．设函数f是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f在x＝5处的切线的斜率为1A51B．5D．5?π1221．设f＝ax－bsinx，且f′＝1，f′?＝a＝________，b＝________.?3?222．设f＝x－3x－9x＋1，则不等式f′＜0的解集为________．3．曲线y＝cosx在点P?32?π，1处的切线的斜率为______．?32?x24．已知函数f＝ax＋be图象上在点P处的切线与直线y＝－3x平行，则函数f的解析式是____________．25．若f＝x，φ＝1＋sin2x，则f[φ]＝_______，φ[f]＝________.6．设函数f＝cos，若f＋f′是奇函数，则φ＝________.7．函数y＝的导数为________．8．函数y＝x1＋x的导数为________．三、解答题第 - - 页共 1页22829．求下列函数的导数：1111＋x1x24x4xy＝x；y＝；y＝sin＋cosy＝xx44x1－x1x30．求下列函数的导数：e＋1x＋cosxy＝xsinx； y＝ln；yx y＝.e－1x＋sinx22x.31．求下列函数的导数：y＝cos；y＝cosx·sin3x； y＝xloga； y＝log2 2sinx232．设f＝f′＝·g，求g．1＋x33．求下列函数的导数：是可导函数)第 - - 页共 1页222x－1. x＋1?1?2y＝f??；y＝fx＋1)．?x?34．已知两条曲线y＝sinx、y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．17．已知曲线C1：y＝x与C2：y＝－.直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程．18．求满足下列条件的函数f：f是三次函数，且f＝3，f′＝0，f′＝－3，f′＝0；f′是一次函数，xf′－f＝1.222第 - - 页共 1页基本初等函数的导数公式及导数运算法则答案一、选择题7?13?1．曲线yx－2在点?－1，－?处切线的倾斜角为?3?A．30° C．135° [答案] B[解析] y′|x＝－1＝1，∴倾斜角为45°.．设f31A67C6[答案] B1－1B．45° D．60°x2xx，则f′等于5B.67D.63．若曲线y＝x的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为 A．4x－y－3＝0C．4x－y＋3＝0[答案] A [解析] ∵直线l的斜率为4，而y′＝4x，由y′＝4得x＝1而x＝1时，y＝x＝1，故直线l的方程为：y－1＝4即4x－y－3＝0.4．已知f＝ax＋9x＋6x－7，若f′＝4，则a的值等于 A.C.193103B.D.16313332344B．x＋4y－5＝0 D．x＋4y＋3＝0[答案] B[解析] ∵f′＝3ax＋18x＋6，16∴由f′＝4得，3a－18＋6＝4，即a＝.3∴选B.第 - - 页共 1页2基本初等函数的导数公式及导数运算法则1．y?x31导数为 x22．y＝xsin2x导数为3．y?x2lnx导数为ex4．y?导数为 x5．函数y＝2在x＝1处的导数等于6．函数y＝2的导数为7．设函数f＝10，则f′＝8．函数y＝sin2x－cos2x的导数是9．函数y＝1＋x的导数为________．10．若对任意x∈R，f′＝4x3，f＝－1，则f＝11．江西)若函数f＝ax4＋bx2＋c满足f′＝2，则f′＝基本初等函数的导数公式及导数运算法则1．y?x31导数为 x22．y＝xsin2x导数为3．y?xlnx导数为ex4．y?导数为 x5．函数y＝2在x＝1处的导数等于6．函数y＝2的导数为7．设函数f＝10，则f′＝8．函数y＝sin2x－cos2x的导数是9．函数y＝1＋x的导数为________．10．若对任意x∈R，f′＝4x3，f＝－1，则f＝11．江西)若函数f＝ax4＋bx2＋c满足f′＝2，则f′＝。

高中数学专题1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(2)测试(含解析)新人教A版选修

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基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（2）(时间：25分，满分50分)班级姓名得分1．(5分)设y＝－2e x sin x，则y′等于( ）A．－2e x cos x B．－2e x sin xC．2e x sin x D．－2e x（sin x＋cos x)【答案】D【解析】y′＝－2（e x sin x＋e x cos x）＝－2e x(sin x＋cos x）．2．(5分）已知f(x）＝ax3＋3x2＋2，若f′（－1）＝4,则a的值是( )A.错误!B.错误!C.错误! D。

错误!【答案】D【解析】∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′（－1）＝3a－6＝4,∴a＝错误!.3．（5分）设曲线y＝错误!在点（3，2）处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于( ）A．2 B.错误! C．－错误! D．－2【答案】D4．（5分）设函数f（x）＝g（x）＋x2，曲线y＝g（x）在点（1，g(1)）处的切线方程为y ＝2x＋1,则曲线y＝f(x)在点(1，f（1)）处切线的斜率为( )A．4 B．－错误! C．2 D．－错误!【答案】A【解析】依题意得f′（x）＝g′（x）＋2x，f′(1)＝g′(1）＋2＝4.5。

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)(优秀经典课时训练作业及答案详解)

[A 组学业达标]1．函数y ＝cos x1－x的导数是( ) A.－sin x ＋x sin x (1－x )2B.x sin x －sin x －cos x(1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2D.cos x －sin x ＋x sin x 1－x解析：y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′ ＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2. 答案：C2．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2解析：∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2， ∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.答案：A3．已知函数f(x)＝ax4＋bx2＋c，若f′(1)＝2，则f′(－1)＝() A．－1 B．－2C．2 D．0解析：法一：由f(x)＝ax4＋bx2＋c，得f′(x)＝4ax3＋2bx.因为f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2，即2a＋b＝1.则f′(－1)＝－4a－2b＝－2(2a＋b)＝－2.法二：因为f(x)是偶函数，所以f′(x)是奇函数．所以f′(－1)＝－f′(1)＝－2.答案：B4．函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)在x＝0处的导数值为() A．－6 B．0C．6 D．1解析：∵f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)＋x[(x－1)(x－2)(x－3)]′，∴f′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)＝－6.答案：A5．若函数f(x)＝12f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)的值为()A．0 B．－1 C．1 D．2解析：∵f(x)＝12f′(－1)x2－2x＋3，∴f′(x)＝f′(－1)x－2，∴f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2，∴f′(－1)＝－1.答案：B6．若函数f (x )＝e xx 在x ＝c 处的导数值与函数值互为相反数，则c ＝________. 解析：∵f (x )＝e xx ， ∴f (c )＝e cc .又f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝e x (x －1)x 2， ∴f ′(c )＝e c (c －1)c 2.由题意，知f (c )＋f ′(c )＝0， ∴e c c ＋e c(c －1)c 2＝0， ∴2c －1＝0，解得c ＝12. 答案：127．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标为________．解析：设P (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝ln x 0＋1＝2， ∴x 0＝e ，则y 0＝e ，则P 点坐标为(e ，e)．答案：(e ，e)8．已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．解析：∵f (x )＝ax －ln x ， ∴f (1)＝a ，即切点是(1，a )． ∵f ′(x )＝a －1x ，∴f ′(1)＝a －1，∴切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0，得y ＝1，即l 在y 轴上的截距为1. 答案：19．求下列函数的导数． (1)f (x )＝e －x (sin x ＋cos x )； (2)y ＝e x ＋1e x －1；(3)f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)(x >0)．解析：(1)f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋sin x e x ′ ＝(cos x －sin x )e x －e x (cos x ＋sin x )e 2x＝－2sin xe x ＝－2e －x sin x . (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫e x ＋1e x －1′ ＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x(e x －1)2＝－2e x(e x －1)2. (3)法一：y ′＝[x (x ＋1)(x ＋2)]′＝x ′(x ＋1)(x ＋2)＋x (x ＋1)′(x ＋2)＋x (x ＋1)(x ＋2)′ ＝(x ＋1)(x ＋2)＋x (x ＋2)＋x (x ＋1) ＝3x 2＋6x ＋2.法二：因为y ＝x (x ＋1)(x ＋2)＝(x 2＋x )(x ＋2)＝x 3＋3x 2＋2x ，所以y ′＝(x 3＋3x 2＋2x )′＝3x 2＋6x ＋2.10．求过曲线y ＝sin x 在x ＝π4处的点且与此处切线垂直的直线方程．解析：由于y ′＝(sin x )′＝cos x ，则y ′|x ＝π4＝cos π4＝22，从而与切线垂直的直线的斜率为－2，依点斜式得符合题意的直线方程为y －22＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，即2x ＋y －22－24π＝0.[B 组能力提升]11．曲线y ＝x e x 在点(1，e)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，则ab 的值为( )A ．－12eB ．－2e C.2eD.12e解析：y ′＝e x ＋x e x ，则y ′|x ＝1＝2e.∵曲线在点(1，e)处的切线与直线ax ＋by ＋c ＝0垂直，∴－a b ＝－12e ， ∴a b ＝12e . 答案：D12．若直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则实数b 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．－12D ．1 解析：设切点为(x 0，y 0)．由y ＝－12x ＋ln x ，得y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1x 0＝12，所以x 0＝1，y 0＝－12，代入直线y ＝12x ＋b ，得－12＝12＋b ，解得b ＝－1，故选B. 答案：B13．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为________．解析：y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝11＋sin 2x ，把x ＝π4代入得导数值为12，即为所求切线的斜率．答案：1214．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析：法一：∵y ＝x ＋ln x ， ∴y ′＝1＋1x ，y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)．∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)， ∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋(a ＋2)＝2，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎨⎧x 0＝－12，a ＝8.答案：815．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R.求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．解析：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又f ′(1)＝2a,3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3，令x ＝2得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，又f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.16．已知曲线y ＝f (x )＝x 2a －1(a >0)在x ＝1处的切线为l ，求l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值．解析：由已知，得f ′(x )＝2x a ，切线斜率k ＝f ′(1)＝2a ，所以切线l 的方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝2a (x －1)，即2x －ay －a －1＝0.令y ＝0，得x ＝a ＋12；令x ＝0，得y ＝－a ＋1a . 所以l 与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×a ＋12×a ＋1a ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋12≥14×2a ×1a ＋12＝1，当且仅当a ＝1a ，即a ＝1时取等号，所以S min ＝1.故l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值为1.。

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基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题（附答案）选修2-21.2.2第2课时基本初等函数的导数公式及导数运算法则一、选择题1 .函数y = (x+ 1)2(x—1)在x= 1处的导数等于()A．1B．2C. 3D. 4答案］D解析］y = (x+1)2］'—x1 )+(x+ 1)2(x—1)'=2(x + 1)?(x—1) + (x+ 1)2= 3x2 + 2x—1,y‘ =1= 4.2.若对任意x€ R, f‘ =)4x3, f(1) = —1,则f(x)=()A. x4B. x4— 2C. 4x3—5D. x4+ 2答案］B解析］丁f‘(=4x3.f(x) = x4+c,又f(1) = — 1• • • 1 + c= — 1 ,• • • c= —2,—f(x) = x4 — 2.3 .设函数f(x) = xm + ax 的导数为f‘ =)2x+1,则数列{1f(n)}(n € N*) 的前n 项和是()A.nn+1B.n+2n+1C.nn—1D.n+1n 答案］A解析］T f(x) = xm+ ax 的导数为f‘(x)2x + 1,/. m = 2, a= 1,二f(x) = x2+ x,即f(n) = n2+n=n(n+ 1),二数列{1f(n)}(n € N*)的前n项和为：Sn= 11 X2 12X3 13 x+…+ 1n(n+ 1)=1 —12+ 12—13+…+ 1n —1n + 1=1 —1n+ 1= nn+ 1,故选 A.4.二次函数y = f(x)的图象过原点，且它的导函数y= f‘的)图象是过第一、二、三象限的一条直线，贝卩函数y= f(x)的图象的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案］C解析］由题意可设f(x)= ax2 + bx, f' (=2ax + b,由于f‘(的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0, b>0,则f(x) = ax+ b2a2—b24a, 顶点—b2a,—b24a 在第三象限,故选 C.5 .函数y = (2 + x3)2的导数为()A. 6x5+ 12x2B. 4+ 2x3C. 2(2+ x3)2D. 2(2+ x3)?3x答案］A解析］t y= (2+ x3)2= 4+ 4x3+ x6,/. y = 6x5 + 12x2.6. (2010?江西文，4)若函数f(x) = ax4 + bx2 + c满足f‘ 侍)2,贝卩 f -(1)=()A.- 1B.- 2C. 2D. 0答案］B解析］本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f‘(x)4ax3+ 2bx,f，41)=-4a-2b=- (4a + 2b), f '件)4a + 2b, A「—()= — f‘(4— 2要善于观察,故选 B.7.设函数f(x)= (1 —2x3)10，贝S f ' 4X)A. 0B.- 1C.- 60D. 60答案］D解析］f ' (4)10(1 —2x3)9(1 —2x3) 4 10(1 —2x3)9?(—6x2)= —60x2(1 —2X3)9,A f ' (1)60.8.函数y = sin2x—cos2x的导数是()A. 22cos2x— n 4B cos2x— sin2xC. sin2x+ cos2xD. 22cos2x+ n4答案］A解析］y = (si n2x—cos2x) = (sin 2x) —(cos2x)=2cos2x+ 2sin2x= 22cos2x— n 4.9.(2010?高二潍坊检测)已知曲线y= x24—3lnx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()A. 3B. 2C. 1D.12答案］A解析］由「(対x2 —3x= 12得x= 3.10.设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y= f(x)在x=5 处的切线的斜率为()A.—15B. 0C.15D. 5答案］B解析］由题设可知f(x + 5) = f(x)二f‘ (+5)= f‘ ,)二f‘(®f‘ (0)又f( —x)= f(x),「. fTx)(—1)= f‘ (x)即x)= —f‘ ,)••• f‘ (0)0故f '(另f ' (&)0.故应选B.二、填空题11.________________________________________ 若f(x) = x, © (x 弄 1 + sin2x,则 f © (x并______________________ , © f(x)扫 _______答案］2si nx+ n4 1 + sin2x解析］f © (x)f 1 + sin2x= (sinx+ cosx)2 =|sinx + cosx| = 2sinx+ n 4.© f(x)” 1 + sin2x.12.设函数f(x) = cos(3x+ © )(0C ©< n,若f(x)+ f '是)奇函数，贝S ©=答案］n6解析］f (x)- 3sin(3x+ ©)f(x) + f ' (x)cos(3x+ © ) 3sin(3x+ ©)=2sin3x + ©+ 5 n 6.若f(x) + f‘ 为奇函数，则f(0) + f‘ (=)0,即0= 2sin + 5 n 6 二©+ 5 n 6= k n (l€ Z).又T ©€ (0, n ,二©= n 6.13.函数y= (1+ 2x2)8的导数为_________ .答案］32x(1 + 2x2)7解析］令u= 1 + 2x2,则y= u8,••• y' = y' u?u= 8u7?4x= 8(1 + 2x2)7?4x= 32x(1 + 2x2)7.14.函数y= x1 + x2 的导数为_______ .答案］(1 + 2x2)1 + x21 + x2解析］y = (x1 + x2) = x' + x2+ x(1 + x2) = 1 + x2 + x21 + x2= (1 + 2x2)1 + x21 + x2.三、解答题15.求下列函数的导数：(1)y= xsin2x; (2)y= In(x + 1+ x2);(3)y= ex+ lex—1; (4)y= x+ cosxx+ sinx.解析](1)y =(x) sir+xc(sin2x)'=sin2x+ x?2s in x?(s in x)= §in2x+ xsin 2x.(2)y = 1x+ 1 + x2?(x + 1 + x2)'=1x+ 1 + x2(1 + x1 + x2)= 11 + x2.(3)y = (ex +1) ' (—x1)—(ex + 1)(ex—1) ' (—1)2= —2ex(ex—1)2.(4)y = (x+ cosx) '+(sinx)—(x+ cosx)(x+ sinx)(x+ sinx)2= (1 —sinx)(x+ sinx)—(x+ cosx)(1+ cosx)(x+ sinx)2=—xcosx—xsinx+ sinx—cosx—1(x+ sinx)2.16．求下列函数的导数：(1)y= cos2(x2—x); (2)y= cosx?sin3x;(3)y= xIoga(x2+ x—1); (4)y= Iog2x—1x+ 1.解析](1)y = cos2(x2- x)]=2cos(x2— x)cos(x2— x)]=2cos(x2— x) —sin(x2—x)](x2 —x)'= 2cos(x2—x)—sin(x2—x)](2x—1)= (1 —2x)sin2(x2—x)．(2)y = (cosx?sin3x)= (cosx) ' s+3x)sx(sin3x) '=—sinxsin3x+ 3cosxcos3x= 3cosxcos3x—sinxsin3x.(3)y = Ioga(x2+ x—1)+ x?1x2+ x—1Iogae(x2+ x—1) = Ioga(x2+ x—1)+2x2＋xx2＋x－1logae.(4)y 厶x+ 1x—1x—1x+ 1' Iog2ex + 1x—1log2ex + 1 —x+ 1(x + 1)2=2log2ex2— 1.17.设f(x) = 2sinx1 + x2,如果 f '閑2(1 + x2)2?g(x),求g(x).解析］•/ f'閑2cosx(1+ x2)—2sinx?2x(1 + x2)2=2(1 + x2)2(1 + x2)cosx— 2x?s inx］,又f‘ 閑2(1 + x2)2?g(x).g(x)= (1 + x2)cosx- 2xs in x.18.求下列函数的导数：(其中f(x)是可导函数)(1)y= f1x；(2)y=f(x2 + 1).解析］(1)解法1：设y= f(u), u= 1x,则y‘亲y‘ u?u=f' (u—1x2= —1x2f ' 1x.解法2：y = f1x = f‘ 1x?似-1x2f‘ 1x.(2)解法1:设y= f(u), u = v, v=x2+ 1,。