课时跟踪检测(六) 充分条件与必要条件

课时跟踪检测（六）充分条件与必要条件A级——学考合格性考试达标练1．设x∈R，则“1<x<2”是“1<x<3”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：选B“1<x<2”⇒“1<x<3”，反之不成立．∴“1<x<2”是“1<x<3”的充分不必要条件．故选B.2．(2019·佛山期末)“x＝1是x2－4x＋3＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：选A若x＝1，则x2－4x＋3＝0，是充分条件，若x2－4x＋3＝0，则x＝1或x＝3，不是必要条件．故选A.3．(2019·济宁期末)设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：选B由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C，反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C.∴“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件．故选B.4．已知x∈R，则“x2＝x＋6”是“x＝x＋6”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：选B由于“x2＝x＋6”，则“x＝±x＋6”，故“x2＝x＋6”是“x＝x＋6”的必要不充分条件．故选B.5．下面四个条件中，使a>b成立的充分不必要条件是()A．a≥b＋1 B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3解析：选A由a≥b＋1>b，从而a≥b＋1⇒a>b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4>3.54≥3.5＋1，故a>b a≥b＋1，故A正确．6．“x≠－1”是“x2－1≠0”的________条件．解析：由x2－1≠0，x≠1且x≠－1，因为“x≠－1”是“x≠1且x≠－1”的必要不充分条件，所以“x≠－1”是“x2－1≠0”的必要不充分条件．答案：必要不充分7．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．解析：p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q，但q⇒/ p，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1.答案：{a|a<1}8．(2019·南昌期末)王大妈在地摊上因为贪图便宜买了劣质商品，非常气愤的说了句“真是便宜没好货”，按照王大妈的理解，“好货”是“不便宜”的________________条件．解析：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“好货”是“不便宜”的充分不必要条件．答案：充分不必要9．指出下列各命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．(1)p：x2>0，q：x>0；(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；(3)p：a能被6整除，q：a能被3整除；(4)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等．解：(1)p：x2>0，则x>0，或x<0，q：x>0，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2，则x＋2≠y，且x＋2≠－y，故p是q的必要条件，q 是p的充分条件．(3)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．(4)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这个角一定不都是直角，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．10．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？哪些命题中p 是q的必要条件？(1)若x>2，则|x|>1；(2)若x<3，则x2<4；(3)若x＝1，则x－1＝x－1；(4)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等．解：(1)若x>2，则|x|>1成立，反之当x＝－2时，满足|x|>1但x>2不成立，即p是q 的充分条件．(2)若x<3，则x2<4不一定成立，反之若x2<4，则－2<x<2，则x<3成立，即p是q的必要条件．(3)若x＝1，则x－1＝x－1成立，反之当x＝2时，x－1＝x－1成立，但x＝1不成立，即p 是q 的充分条件．(4)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等不成立，反之也不成立，即p 是q 的既不充分又不必要条件．B 级——面向全国卷高考高分练1．设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为a 2≥0，而(a －b )a 2<0，所以a －b <0，即a <b ；由a <b ，a 2≥0，得到(a －b )a 2≤0，(a －b )a 2可以为0，所以“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的充分不必要条件．2．已知a ，b 为实数，则“a ＋b >4”是“a ，b 中至少有一个大于2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A “a ＋b >4”⇒“a ，b 中至少有一个大于2”，反之不成立．∴“a ＋b >4”是“a ，b 中至少有一个大于2”的充分不必要条件．故选A.3．若a 为实数，则“a <1”是“1a>1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选B 由1a>1得0<a <1， 则“a <1”是“1a>1”的必要不充分条件，故选B. 4．“a <14”是“一元二次方程x 2－x ＋a ＝0有实数解”的( ) A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件 解析：选A 当一元二次方程x 2－x ＋a ＝0有实数解，则Δ≥0，即1－4a ≥0，即a ≤14，又“a <14”能推出“a ≤14”，但“a ≤14”不能推出“a <14”，即“a <14”是“一元二次方程x 2－x ＋a ＝0有实数解”的充分不必要条件，故选A.5．若a ，b 都是实数，试从①ab ＝0；②a ＋b ＝0；③a (a 2＋b 2)＝0；④ab >0中选出适合下列条件的，用序号填空：(1)“使a ，b 都为0”的必要条件是________．(2)“使a ，b 都不为0”的充分条件是________．(3)“使a ，b 至少有一个为0”的充要条件是________．解析：①ab ＝0⇔a ＝0或b ＝0，即a ，b 至少有一个为0；②a ＋b ＝0⇔a ，b 互为相反数，则a ，b 可能均为0，也可能为一正一负；③a (a 2＋b 2)＝0⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0； ④ab >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b <0，则a ，b 都不为0. 答案：(1)①②③ (2)④ (3)①6．若集合A ＝{x |x >－2}，B ＝{x |x ≤b ，b ∈R }，试写出：(1)A ∪B ＝R 的一个充要条件；(2)A ∪B ＝R 的一个必要不充分条件；(3)A ∪B ＝R 的一个充分不必要条件．解：集合A ＝{x |x >－2}，B ＝{x |x ≤b ，b ∈R }，(1)若A ∪B ＝R ，则b ≥－2，故A ∪B ＝R 的一个充要条件是b ≥－2.(2)由(1)知A ∪B ＝R 的充要条件是b ≥－2，∴A ∪B ＝R 的一个必要不充分条件可以是b ≥－3;(3)由(1)知A ∪B ＝R 充要条件是b ≥－2，∴A ∪B ＝R 的一个充分不必要条件b ≥－1.7．设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.证明：必要性：设方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根x 0，则x 20＋2ax 0＋b 2＝0，x 20＋2cx 0－b 2＝0.两式相减，得x 0＝b 2c －a，将此式代入x 20＋2ax 0＋b 2＝0， 可得b 2＋c 2＝a 2，故∠A ＝90°.充分性：∵∠A ＝90°，∴b 2＋c 2＝a 2，b 2＝a 2－c 2.①将①代入方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，可得x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0，即(x ＋a －c )(x ＋a ＋c )＝0.将①代入方程x 2＋2cx －b 2＝0，可得x 2＋2cx ＋c 2－a 2＝0，即(x ＋c －a )(x ＋c ＋a )＝0.故两方程有公共根x ＝－(a ＋c )．∴方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.C 级——拓展探索性题目应用练已知a ，b ，c ∈R ，a ≠0.判断“a －b ＋c ＝0”是“二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为 －1”的什么条件？并说明理由．解：“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．理由如下：当a，b，c∈R，a≠0时，若“a－b＋c＝0”，则－1满足二次方程ax2＋bx＋c＝0，即“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充分条件，若“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，则“a－b＋c＝0”，故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的必要条件，综上所述，“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．。