第07章 恒定磁场
厦门大学 大学物理B 第07章 恒定磁场(3)
I lj 由 B dl I
i S i
L 0 i
L
d
Bc
⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙
i
得:
a
B
l
b
1 B 0 jS 2
作业：
习题7-5： 如两平行长直导线相距d=40 cm，每根导线载有 电流I1=I2=20 A，电流流向如图所示。求：(1) 两导 线所在平面内与该两导线等距的一点 A 处的磁感应 强度；(2) 通过图中斜线所示面积的磁通量(r1=r3=10 cm， r2=10 cm， l=25 cm)。
0 / 2, d m 0 / 2 , d m 0
• 闭合曲面（外法线方向为面元正方向）：
穿出 : 0 / 2, d m 0 穿入 : / 2 , d m 0
3.磁场的高斯定理
1 n 静电场的高斯定理： SE dS qi内 0 i 1 恒定磁场： B dS ?
S
电流元：毕奥─萨伐尔定律 0 Idl er Biblioteka B 4 r 2d m 0
Idl1 , Idl2 ,... dB1 , dB2 ,...
d m1, d m 2 ,... d m1 d m 2 ... d mN 0
Id l
r
2.1 解题要点
1）分析磁场特点，选择适当的积分回路 2）计算
B dl 3）计算 I
L
i
i
4）由
L
B dl 0 I i 求 B
i
2.2 几种常见电流的磁场 （1）无限长载流圆柱体的磁场 按电流的对称性分析， 磁场也应该有柱对称性！
稳恒磁场)
第7章稳恒磁场我们已经知道,在静止电荷的周围存在着电场.当电荷运动时,在其周围不仅有电场,而且还存在磁场.本章将讨论运动电荷(电流)产生磁场的基本规律以及磁场对运动电荷(电流)的作用.§7.1 磁场磁感应强度一、磁场人们对磁现象的认识与研究有着悠久的历史,早在春秋时期(公元前6世纪),我们的祖先就已有“磁石召铁”的记载；宋朝发明了指南针,且将其用于航海.我国古代对磁学的建立和发展作出了很大的贡献.早期对磁现象的认识局限于磁铁磁极之间的相互作用,当时人们认为磁和电是两类截然分开的现象,直到1819—1820年奥斯特(H.C.Oersted,1777—1851)发现电流的磁效应后,人们才认识到磁与电是不可分割地联系在一起的.1820年安培(A.M.Ampere,1775—1836)相继发现了磁体对电流的作用和电流与电流之间的作用,进一步提出了分子电流假设,即：一切磁现象都起源于电流(运动电荷),一切物质的磁性都起源于构成物质的分子中存在的环形电流.这种环形电流称为分子电流.安培的分子电流假设与近代关于原子和分子结构的认识相吻合.关于物质磁性的量子理论表明,核外电子的运动对物质磁性有一定的贡献,但物质磁性的主要来源是电子的自旋磁矩.与电荷之间的相互作用是靠电场来传递的类似,磁相互作用力是通过磁场来进行的.一切运动电荷(电流)都会在周围空间产生磁场,而这磁场又会对处于其中的运动电荷(电流)产生磁力作用,其关系可表示为电流运动电荷⇔⇔磁场运动电荷()(电流)磁场和电场一样,也是客观存在的,它是一种特殊的物质,磁场的物质性表现在：进入磁场中的运动电荷或载流导线受磁场力的作用；载流导线在磁场中运动时,磁场对载流导线要作功,即磁场具有能量.二、磁感应强度1 磁感应强度为了定量的描述磁场的分布状况,引入磁感应强度.它可根据进入磁场中的运动电荷或载流导线受磁场力的作用来定义,下面就从运动电荷在磁场中的受力入手来讨论. 实验发现,磁场对运动电荷的作用有如下规律：(1) 磁场中任一点都有一确定的方向,它与磁场中转动的小磁针静止时N极的指向一致.我们将这一方向规定为磁感应强度的方向.(2) 运动试探电荷在磁场中任一点的受力方向均垂直于该点的磁场与速度方向所确定的平面,如图7.1所示.受力的大小,不仅与试探电荷的电量0q 、经该点时的速率υ以及该点磁场的强弱有关,还与电荷运动的速度相对于磁场的取向有关,当电荷沿磁感应强度的方向运动时,其受力为零；当沿与磁感应强度垂直的方向运动时,其受力最大,用max F 表示.(3) 不管0q 、υ和电荷运动方向与磁场方向的夹角θ如何不同,对于给定的点,比值υq F max 不变,其值仅由磁场的性质决定.我们将这一比值定义为该点的磁感应强度,以B 表示,即 υ=q F B m ax (7.1)在国际单位制中,磁感应强度的单位为特斯拉（T ）.有时也采用高斯单位制的单位——高斯（G ）1G =1.0×10 -4 T2 磁感应线为了形象的描述磁场中磁感应强度的分布,类比电场中引入电场线的方法引入磁感应线(或叫B 线).磁感应线的画法规定与电场线画法一样.为能用磁感应线描述磁场的强弱分布,规定垂直通过某点附近单位面积的磁感应线数(即磁感应线密度)等于该点B 的大小.实验上可用铁粉来显示磁感应线图形.磁感应线具有如下性质：(1) 磁感应线互不相交,是既无起点又无终点的闭合曲线；(2) 闭合的磁感应线和闭合的电流回路总是互相链环,它们之间的方向关系符合右手螺旋法则.§7.2 毕奥—萨伐尔定律及其应用一、 毕奥—萨伐尔定律在静电学部分,大家已经掌握了求解带电体的电场强度的方法,即把带电体看成是由许多电荷元组成,写出电荷元的场强表达式,然后利用叠加原理求整个带电体的场强.与此类似,载流导线可以看成是由许多电流元组成,如果已知电流元产生的磁感应强度,利用叠加原理便可求出整个电流的磁感应强度.电流元的磁感应强度由毕奥—萨伐尔定律给出,这条定律是拉普拉斯(Laplace)把毕奥(Biot)、萨伐尔(Savart)等人在19世纪20年代的实验资料加以分析和总结后得出的,故称为毕奥—萨伐尔—拉普拉斯定律,简称毕奥—萨伐尔定律,其内容如下：电流元Idl 在真空中某一点P 处产生的磁感应强度dB 的大小与电流元的大小及电流元与它到P 点的位矢 r 之间的夹角θ的正弦乘积成正比,与位矢大小的平方成反比；方向与Id l ×r 的方向相同.（这里用到矢量Id l 与矢量r 的叉乘.叉乘Id l ×r 的大小为Idlr sin θ；其方向满足右手螺旋关系,即伸直的右手,四指从Id l 转向r 的方向,那么拇指所指的方向即为Id l ×r 的方向,如图7.2所示）其数学表达式为2rIdl kdB θ=sin (7.2)式中k 为比例系数,在国际单位制中取为 )(在真空中270104--⋅=πμ=AN k (7.3)0μ为真空的磁导率,其值为270104--⋅⨯π=μAN ,所以毕奥—萨伐尔定律在真空中可表示为204rI d l dB θπμ=sin (7.4)其矢量形式为304rrl Id B d⨯πμ= (7.5) 利用叠加原理,则整个载流导线在P 点产生的磁感应强度B 是(7.5)式沿载流导线的积分,即⎰⎰⨯πμ==LLrr l Id B d B 34(7.6)毕奥—萨伐尔定律和磁场叠加原理,是我们计算任意电流分布磁场的基础,(7.6)式是这二者的具体结合.但该式是一个矢量积分公式,在具体计算时,一般用它的分量式.二、 毕奥—萨伐尔定律应用举例1 直线电流的磁场设在真空中有一长为 L 的载流导线MN ,导线中的电流强度为I ,现计算该直电流附近一点P 处的磁感应强度B .如图7.3 所示,设a 为场点P 到导线的距离,θ为电流元Id l 与其到场点P 的矢径的夹角,θ1、θ2分别为M 、N 处的电流元与M 、N 到场点P 的矢径的夹角.按毕奥—萨伐尔定律,电流元Id l 在场点P 产生的磁感应强度d B 的大小为204rIdl dB θπμ=sind B 的方向垂直纸面向里（即Z 轴负向）.导线MN 上的所有电流元在点P 所产生的磁感应强度都具有相同的方向,所以总磁感应强度的大小应为各电流元产生的磁感应强度的代数和,即dl rI dB B LL⎰⎰θπμ==204sin,θ-=β=actg atg l 由图可知，θ=β=θθ=sin /cos /,)/(sin a a r ad dl 2则上积分为 )c o s (c o s s i n 21004421θ-θπμ=θθπμ=⎰θθaI d aI B (7.7)B 的方向垂直于纸面向里.对于无限长载流直导线(π=θ=θ210, ),距离导线为a 处的磁感应强度大小为aI B πμ=20 (7.8)2 圆电流轴线上的磁场在半径为R 的圆形载流线圈中通过的电流为I ,现确定其轴线上任一点P 的磁场.在圆形载流导线上任取一电流元Id l ,点P 相对于电流元Id l 的位置矢量为r ,点P 到圆心O 的距离OP =x ,如图7.4所示.由此可见,对于圆形导线上任一电流元,总有Id l ⊥r ,所以Id l 在点P 产生的磁感应强度的大小为 204rI d l dB πμ=d B 的方向垂直于Id l 和r 所决定的平面.显然圆形载流导线上的各电流元在点P 产生的磁感应强度的方向是不同的,它们分布在以点P 为顶点、以OP 的延长线为轴的圆锥面上.将d B 分解为平行于轴线的分量||dB 和垂直于轴线的分量⊥dB .由轴对称性可知,磁感应强d B 的垂直分量相互抵消.所以磁感应强度B 的大小就等于各电流元在点P 所产生的磁感应强度的轴向分量||dB 的代数和.由图7.4可知 rR rI d l dB dB 204πμ=θ=sin ||所以总磁感应强度的大小为 232220203024/||)(x R IRdl rIR dB B R+μ=πμ==⎰⎰π (7.9)B 的方向沿着轴线,与分量||dB 的方向一致.在圆形电流中心(即x = 0)处,其磁感应强度为 RI B 20μ=(7.10)B 的方向可由右手螺旋定则确定.而且圆形电流的任一电流元在其中心处所产生的磁感应强度的方向都沿轴线且满足右手定则.所以,圆形电流在其中心的磁感应强度是由组成圆形电流的所有电流元在中心产生的磁感应强度的标量和,对圆心角为θ的一段圆弧电流,在其圆心的磁感应强度为 36020θμ=R IB (7.11)可以看出,一个圆形电流产生的磁场的磁感应线是以其轴线为轴对称分布的,这与条形磁铁或磁针的情形颇相似,并且其行为也与条形磁铁或磁针相似.于是我们引入磁矩这一概念来描述圆形电流或载流平面线圈的磁行为,圆电流的磁矩m 定义为nIS m ˆ=(7.12) 式中S 是圆形电流所包围的平面面积,n 是该平面的法向单位矢,其指向与电流的方向满足右手螺旋关系.对于多匝平面线圈,式中的电流 I 应以线圈的总匝数与每匝线圈的电流的乘积代替.利用圆电流在轴线上的磁场公式通过叠加原理可以计算直载流螺线管轴线上的磁感应强度.对于长直密绕载流螺线管,其轴线上的磁感应强度为nI B 0μ=,n 是单位长度的匝数,I 是每匝导线的电流强度.例7.1电流为I 的无限长载流导线 abcde 被弯曲成如图7.5所示的形状.圆弧半径为R ,θ1=450,θ2= 135o .求该电流在O 点处产生的磁感应强度.解：将载流导线分为ab,bc,cd 及de 四段,它们在O 点产生的磁感应强度的矢量和即为整个导线在O 点产生的磁感应强度.由于O 在ab及de 的延长线及反向延长线上,由（7.7）式知 0==de ab B B由图7.5知, bc 弧段对O 的张角为90 o ,由（7.11）式得 RI R I B bc 836090200μ=μ=其方向垂直纸面向里.由（7.7）式得电流cd 段所产生的磁感应强度为)cos (cos 2104θ-θπμ=aI B cdRI R I oo oπμ=-πμ=21354545400)cos (cos sin其方向亦垂直纸面向里.故O 点处的磁感应强度的大小为)(π+μ=4180RI B方向垂直纸面向里. 作业(P172)：7.14，7.18§7.3 运动电荷的磁场由于电流是运动电荷形成的,所以可以从电流元的磁场公式导出匀速运动电荷的磁场公式.根据毕奥—萨伐尔定律,电流元Id l 在空间的一点P 产生的磁感应强度为304rr l Id dB π⨯μ=如图7.6所示,设S 是电流元Id l 的横截面的面积,并设在导体单位体积内有n 个载流子,每个载流子带电量为q,以速度υ沿Id l 的方向匀速运动,形成导体中的电流.那么单位时间内通过横截面S 的电量为S qn υ,亦即电流强度为S qn I υ=,则Sdl qn Idl υ=,如果将q 视为代数量,Id l的方向就是υq 的方向,因此可以把d l 中的矢量符号加在速度υ 上,即υ= qnSdl l Id .将Id l这一表达式代入毕奥——萨伐尔定律中就可得dN rr q r r qnSdl B d 303044⨯υπμ=π⨯υμ= 其中dN = nSdl 代表此电流元内的总载流子个数,即这磁感应强度是由dN = nSdl 个载流子产生的,那么每一个电量为q ,以速度为υ运动的点电荷所产生的磁感应强度B 为304rrq B ⨯υπμ= (7.13) B 的方向垂直于υ和r 所组成的平面,其指向亦符合右手螺旋法则.值得注意,对于高速运动电荷,上结果不再适用.需要考虑相对论效应,其结果见§14.5节.§7.4 磁场的高斯定理和安培环路定理稳恒磁场与库仑电场有着不同的基本性质,库仑电场的基本性质可以通过库仑场的高斯定理和环路定理来描述；稳恒磁场的基本性质也可以用关于磁场的这两个定理来描述.本节就来介绍稳恒磁场的高斯定理和安培环路定理. 一、磁场的高斯定理1 磁通量在说明磁场的规律时,类比电通量,也可引入磁通量的概念.通过某一面积S 的磁通量的定义是 ⎰⎰⋅=ΦSe Sd B (7.14)即等于通过该面积的磁感应线的总条数.在国际单位制中,磁通量的单位为韦伯(Wb).1Wb=1T ·m 2 .据此,磁感应强度的单位T 也常写作Wb/m 2 .2 磁场的高斯定理对于闭合曲面,若规定曲面各处的外法向为该处面元矢量的正方向,则对闭面上一面元的磁通量为正就表示磁感应线穿出闭面,磁通量为负表示磁感应线穿入闭面.对任一闭合曲面S,由于磁感应线是无头无尾的闭合曲线,不难想象,凡是从S 某处穿入的磁感应线,必定从S 的另一处穿出,即穿入和穿出闭合曲面S 的净条数必定等于零.所以通过任意闭合曲面S 的磁通量为零,即0=⋅⎰⎰SS d B(7.15)这是恒定磁场的一个普遍性质,称为磁场的高斯定理.二、安培环路定理由毕奥——萨伐尔定律表示的电流和它的磁场的关系,可以导出稳恒磁场的一条基本规律——安培环路定理.其内容为：在稳恒电流的磁场中,磁感应强度B 沿任何闭合路径 L 的线积分(即B 对闭合路径 L 的环量)等于路径L 所包围的电流强度的代数和的0μ倍,它的数学表达式为I I l d B L00μ=μ=⋅∑⎰i n t(7.16)下面以长直稳恒电流的磁场为例简单说明安培环路定理.根据(7.8)式知,距电流强度为I 的无限长电流的距离为r 处的磁感应强度为 rI B πμ=20B 线为在垂直于直导线的平面内围绕该导线的同心圆,其绕向与电流方向成右手螺旋关系.1）在上述平面内围绕导线作一任意形状的闭合路径L(如图7.7所示),沿L 计算B 的环量.在路径L 上任一点P 处,d l 与B 的夹角为θ,它对电流通过点所张之角为αd .由于B 垂直于矢径r ,因而dl cos θ就是d l 在垂直于r 方向上的投影,它就等于αd 所对的以 r 为半径的圆弧长,由于此弧长等于r αd ,所以I rd r IBrd l d B Brd l d B LLLL 002μ=απμ=α=⋅−−−→−α=⋅⎰⎰⎰ 上的环量(7.17)此式说明,当闭合路径L 包围电流I 时,这个电流对该环路上B 的环路积分为I 0μ.2）如果电流的方向相反,仍按图7.7所示的路径L 的方向进行积分时,由于B 的方向与图示方向相反,所以应该得I l d B L0μ-=⋅⎰可见积分的结果与电流的方向有关.如果对电流的正负作如下规定,即电流的方向与L 的绕行方向符合右手螺旋关系时,此电流为正,否则为负,则B 的环路积分的值可以统一用式(7.17)表示.3）如果闭合路径不包围电流,如图7.8所示,L 为在垂直于载流导线平面内的任一不围绕电流的闭合路径.过电流通过点作L 的两条切线,将L 分为21L L 和两部分,沿图示方向计算B 的环量为⎰⎰⎰⋅+⋅=⋅21L L Ll d B l d B l d B)(⎰⎰α+απμ=2120L L d d I020=α-+απμ=)]([I可见,闭合路径L 不包围电流时,该电流对沿这一闭合路径的B 的环路积分无贡献.上面的讨论只涉及在垂直于长直电流的平面内的闭合路径.易证在长直电流的情况下,对非平面闭合路径,上述讨论也适用.还可进一步证明,对于任意的闭合稳恒电流,上述B 的环路积分和电流的关系仍然成立.这样,再根据磁场的叠加原理可得到,当有若干个闭合稳恒电流存在时,沿任一闭合路径L,合磁场的环路积分为∑⎰μ=⋅int I l d B L式中∑int I 是环路L 所包围的电流的代数和.上式就是我们要证明的安培环路定理式.值得指出,闭合路径L 包围的电流的含义是指与L 所链环的电流,对闭合稳恒电流的一部分（即一段稳恒电流）安培环路定理不成立；另外,在安培环路定理表达式中的电流∑int I 是闭合路径L 所包围的电流的代数和,但定理式左边的磁感应强度B ,却代表空间所有电流产生的磁感应强度的矢量和.三、安培环路定理的应用1 载流长直螺线管内的磁场设有一长直螺线管,长为L ,共有N 匝线圈,通有电流I ,由于螺线管很长,则管内中央部分的磁场是均匀的,并可证明,方向与螺线管的轴线平行.管的外侧,磁场很弱,可以忽略不计.为了计算螺线管中央部分某点P 的磁感应强度.可通过P 点作一矩形闭合线 abcda 如图7.9所示.在如图的绕行方向下,B 矢量的线积分为⎰⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+⋅+⋅=⋅add ccbbaLl d B l d B l d B l d B l d B由于磁场方向与螺线管的轴线平行,故bc ,da 段上B 与d l 处处垂直,所以=⋅=⋅⎰⎰adcb l d B l d B ,又 cd 在螺线管外侧附近,其上磁感应强度为零,所以ab B l d B l d B badc=⋅=⋅⎰⎰而0,于是有nI B I ab n ab B ab B l d B L00μ=→μ=−−−→−=⋅⎰环路定理 (7.18)由于P 点是长直螺线管内的中央部分任一点,所以上式就是螺线管中央部分的磁场分布,它是一匀强磁场.2 环形螺线管内的磁场如图7.10是环形空心螺线管的示意图.设线圈匝数为N ,电流为I ,方向如图所示.如果导线绕的很密,则全部磁场都集中在管内,磁感应线是一系列圆环,圆心都在螺线管的对称轴上.由对称性可知,在同一磁感应线上的各点,磁感应强度B 的大小相等,B 的方向为沿磁感应线的切线方向,为计算管内某一点P 的磁感应强度B ,选通过该点的一条磁感应线为闭合路径（如图是半径为 r 的圆周）,应用安培环路定理得r NI B NI r B l d B Lπμ=→μ=π=⋅⎰2200 (7.19a) 可见,环形螺线管内的磁感应强度B 的大小与r 成正比.若环形螺线管的内外半径之差比r 小得多,则可认为环内各点的B 值近似相等,其大小为 nI RNI B 002μ=πμ=(7.19b)其中,R 是环形螺线管的平均半径, n=N/2πR 为平均周长上单位长度的匝数.作业(P173)：7.20，7.22§7.5 磁场对载流导线的作用一、安培定律磁场的基本属性就是对处于其中的运动电荷有力的作用,前面我们根据这一属性定义了磁感应强度.而大量电荷作定向运动形成电流.载流导线处于磁场中,由于作定向运动的自由电子所受的磁力,传递给金属晶格,宏观上就表现为磁场对载流导线的作用.关于磁场对载流导线的作用力,安培从许多实验结果的分析中总结出关于载流导线上一段电流元受力的基本定律,即安培定律,其内容如下：磁场对电流元Id l 的作用力d F 与电流元的大小Idl 、电流元所在处的磁感应强度B 的大小,以及B 与Id l 之间的夹角θ的正弦成正比,其方向垂直于Id l 和B 决定的平面,指向遵守右手螺旋法则,即Id l ×B 的方向(如图7.11所示).其数学表达式为B l Id F d⨯=(7.20)任何形状的载流导线在外磁场中所受的磁场力(即安培力),应该等于各段电流元所受磁力的矢量和,即⎰⨯=LB l Id F(7.21)这是一个矢量积分,一般情况下应化为分量式求解.但若各电流元的受力都沿同一方向,矢量积分就自然化为标量积分.例题7.2半径为R,电流为I 的半圆形载流导线置于磁感应强度为B 的均匀磁场中,B 和I 的方向如图7.12所示.求半圆形载流导线受到的安培力.解：建立如图7.12所示的直角坐标系XOY .在半圆环上任取一电流元Id l ,它受到的安培力的大小为B I d l B I d l dF =π=2/sin方向沿电流元的位矢方向.由图可知,dF 沿X 轴的投影α=α=co s c o s B I d l dF dF x 在Y 轴上的投影α=α=si n s i n B I d l dF dF y dl = - Rd α,故000=αα-=α==⎰⎰⎰πd B I R B I d l dF F l x x cos cosBRId BIR BIdldFF lyy 20=αα-=α==⎰⎰⎰πsin sin即半圆形载流导线受到的安培力为F=2BIR ,方向沿Y 轴正向.二、两平行长直电流之间的相互作用电流能够产生磁场,磁场又会对处于其中的电流施加作用力.因此,一电流与另一电流的作用就是一电流的磁场对另一电流的作用,这作用力可利用毕奥—萨伐尔定律和安培定律通过矢量积分获得,在一般情况下计算比较困难.下面讨论一种简单情形,即两平行长直电流之间的相互作用.如图7.13所示,两条相互平行的长直载流导线,相距为 a ,分别载有同向电流21I I ,. 1I 在导线2中各点所产生的磁感应强度的大小为 aI B πμ=21012方向如图,它对导线2中的任一电流元22l d I的作用力可由安培定律得122212B l d I F d⨯=其方向如图在两平行导线所在平面内,垂直指向导线1.其大小为 adl I I B dl I dF πμ==22210122212那么载流导线2中每单位长度所受载流导线1的作用力大小为aI I dl F f πμ==221021212 (7.22)用同样的方法可以求得导线1中单位长度所受载流导线2的作用力大小为 aI I f πμ=221021 (7.23)21f 与12f 大小相等、方向相反,体现为引力；若两平行导线中的电流方向相反,则彼此间的相互作用为斥力.在国际单位制中,电流强度被作为基本物理量,它的单位安培(A)作为基本单位.这一基本单位就是利用两条相互平行的长直载流导线间的相互作用力来定义的：真空中两条载有等量电流,且相距为1米的长直导线,当每米长度上的相互作用力为2×10-7N 时,导线中的电流大小定义为1安培. 据此定义及式(7.22)可得2AN m1A A mN---⋅⨯π=μ→⋅πμ=⨯70071041121102可见真空的磁导率0μ是一个具有单位的导出量.三、磁场对载流线圈的作用利用安培定律可以分析匀强磁场对载流线圈的作用.图7.14表示了一个矩形平面线圈ABCD ,其中边长21l DA BC l CD AB ====,，线圈内通有电流I ,我们规定线圈平面法线n 的正方向与线圈中的电流方向满足右手螺旋关系.将这个线圈放在磁感应强度为B 的匀强磁场中,并设线圈的法线方向与磁场方向成α角.根据安培定律,AD 边和BC 边所受磁场力始终处于线圈平面内,并且大小相等,方向相反,作用在同一条直线上,因而相互抵消.而AB 边和CD 边,由于电流的方向始终与磁场垂直,它们所受磁力CD AB f f 和的大小相等为 1B I l f f CD AB ==它们的方向相反,但不在同一直线上,因而构成力偶,为线圈提供了力矩,如图7.14(b)所示.此力矩的大小为α=α=α+α=sin sin sin sin mB BIS l f l f M CDAB222121(7.24)nIS m ˆ=磁矩 B m M⨯=矢量式(7.26)可见,当2/π=α (即线圈平面与磁场方向平行)时,线圈所受力矩最大.在此力矩作用下,线圈将绕其中心并平行于AB 边的轴转动.随着线圈的转动,α角逐渐减小,当α= 0 (即线圈平面与磁场方向垂直)时,力矩等于零,线圈达到稳定平衡状态.当α=π时,力矩也等于零,也是线圈的平衡位置,但这个位置不是线圈的稳定平衡位置,稍受扰动就会立即转到α= 0的位置上去.以上结论是通过对均匀磁场中的矩形载流线圈的讨论得到的,但可证明对均匀磁场中的任意形状的载流平面线圈,上结果均适用.可见,对均匀磁场中的任意平面刚性线圈,线圈所受磁力为零而不发生平动,但在不为零的磁力矩作用下将发生转动.如果线圈处于非均匀磁场中,线圈除受力矩的作用外,还要受合力的作用,这样线圈除转动外,还要发生平动.例题7.3如图7.15所示,在通有电流1I 的长直导线旁有一平面圆形线圈,线圈半径为R ,线圈中心到导线的距离为l ,线圈通有电流2I ,线圈与直导线电流在同一平面内,求线圈所受到的磁场力.解：如图7.15所示,由式(7.9)可得1I 在线圈上任一电流元处的磁感应强度大小为)cos (θ+πμ=R l I B 12方向垂直于纸面向内.据安培定律,电流元l d I2受到的磁场力大小为 θ==Rd BI dl BI df 22 方向沿半径向外,垂直于l d I2.由对称性可知上半球所受的力与下半球所受的力在竖直方向上的分量互相抵消,即 020==⎰πy y df f所以整个线圈所受的力为⎰⎰⎰πππθθ+θπμ=θ===0210020222d R l R I I df df f f x x cos cos cos)(222101Rl l I I --μ=方向沿X 轴正向. 作业(P174)：7.24§6.6 洛仑兹力一、洛仑兹力实验表明,运动电荷在磁场中会受磁力作用,这种力称为洛仑兹力.本章第一节正是用这一力定义了磁感应强度.前已述及,磁场对电流元的作用是磁场对运动电荷作用的整体体现 ,即安培力起源于洛仑兹力.下面利用安培定律推出洛仑兹力公式.设电流元Id l 的横截面积为S ,如果载流子的电量为q,都以速度υ作定向运动而提供电流I .设导体单位体积内的载流子数为 n ,则 υ=q n S I电流元Id l 的方向就是正载流子作定向运动的方向,即υq 的方向,于是安培定律可化为 B Nq B nqSdl B l Id F d⨯υ=⨯υ=⨯=式中N 是电流元所包含的载流子总数.则单个载流子所受的力为B q dNF d f⨯υ== (7.27)这就是电量为q ,以速度为υ运动的带电粒子在磁感应强度为B 的磁场中运动时所受的洛仑兹力.电量q 是代数量,当 q >0 时,f的方向与B⨯υ的方向相同；当 q< 0 时, f的方向与B⨯υ的方向相反.由于洛仑兹力的方向垂直于粒子运动的方向,所以洛仑兹力不做功.例题7.4如图7.16是速度选择器的原理图.它是由均匀磁场(方向垂直纸面向外,设B=1.0×10-3T)中两块金属板21P P 、构成.其中1P 板带正电, 2P 板带负电,于是两板间产生一匀强电场(设E=300V ·m -1 ),电场的方向垂直于磁场.试求当速度υ不同的正离子沿图示方向进入速度选择器时,离子受到的电场力e f 的方向和洛仑兹力mf 的方向.速度为多大的正离子才能沿原来的方向直线前进,并穿过速度选择器？解：对于正离子q > 0 ,则离子受的电场力 ,E q f e=其方向与板面垂直向右.设离子运动的速度为υ,则离子所受的磁场力。
《恒定磁场》PPT课件
任何物质的分子都存在着圆形电流，称为分子电流。
nˆ
每个分子电流都相当于一个基本磁元体。
各基本磁元体的磁效应相叠加
永磁体
IN e
v
S
基本磁元体受磁场力作用而转向 2、磁场
磁化
图 4－ 4 分 子 电 流
运动的电荷在其周围空间激励出了磁场这种特殊的物质。
磁作用力都是通过磁场来传递的。
3、磁单极子 ①理论上预言存在，但是没有在实验中发现 ②即使存在也是极少的，不会影响现有的一般工程应用。
③洛仑兹力方程
Fq(EvB )
B 的单位： 在SI单位制中，为特斯拉（T） 高斯单位制中，为高斯（Gs )
1 特斯拉 ＝1 (牛顿·秒)/(库仑·米) 1 T＝104 Gs
5、磁感应线 ①磁感应线上任一点的切线方向为该点磁感应强度 B 的方向； ②通过垂直于的单位面积上的磁感应线的条数正比于该点 B 值的大小。
2、安培磁力定律符合牛顿第三定律
F21F12
二、毕奥----沙伐定律
1、电流回路的 B
将安培磁力定律改写为
写成微分形式
F21
l2I2dl240
l1
I1dl1R21
R231
dF21I2dl24 0
l1
I1dl1R21
R231
只与回路 l1 有关
而电流回路所受磁力可以归结为回路中运动电荷受力的结果
B
A
A
q
F
B
图4－11 磁聚焦
图4－12 磁镜
图4－13 磁瓶
三. 回旋加速器
回旋加速器的优点在于以不很高的振 荡电压对粒子不断加速而使其获极高 的动能。
设D形盒的半径为R0，则离子所能
大学物理恒定磁场知识点及试题带答案
恒定磁场一、基本要求1、了解电流密度的概念。
2、掌握磁感应强度的概念及毕奥—萨伐尔定律，能利用叠加原理结合对称性分析，计算一些简单问题中的磁感应强度。
3、理解稳恒磁场的两个基本规律：磁高斯定理和安培环路定理。
掌握应用安培环路定理计算磁感应强度的条件和方法，并能熟练应用。
4、掌握洛伦兹力公式，能分析运动电荷在磁场中的受力和运动。
掌握安培力公式，理解磁矩的概念，能计算简单几何形状的载流导线和载流平面线圈在均匀磁场中或在无限长直载流导线产生的非均匀磁场中所受的力和力矩。
二、主要内容 1、稳恒电流电流：电荷的定向运动。
电流强度：单位时间通过导体某一横截面的电量，即dtdq I =。
电流密度)(δ：通过与该点的电荷移动方向相垂直的单位面积的电流强度，方向与该点的正电荷移动方向一致。
电流密度是描述电流分布细节的物理量，单位是2/m A 。
电流强度⎰⋅=SS d Iδ。
2、磁场在运动的电荷（电流）周围，除了形成电场外，还形成磁场。
磁场的基本性质之一是它对置于其中的运动电荷或电流有作用力。
和电场一样，磁场也是一种物质。
3、磁感应强度磁感应强度B是描述磁场性质的物理量。
当电荷在磁场中沿不同方向运动时，磁场对它的作用力不同，沿某方向运动时不受力，与该方向垂直运动时受力最大，定义B 的方向与该方向平行，由v q F⨯max 决定。
B 的大小定义为qvF B max=。
如右图所示。
B 的单位为T （特斯拉）。
4、毕奥—萨伐尔定律电流元：电流元l Id是矢量，其大小等于电流I 与导线元长度dl 的乘机，方向沿电流方向。
毕奥—萨伐尔定律：电流元l Id 在P 点产生的磁感应强度为 30r rl Id B d⨯=μ式中0μ为真空磁导率，A m T /10470⋅⨯=-πμ，r由电流元所在处到P 点的矢量。
运动电荷的磁场：304rrqv B πμ ⨯= 本章判断磁场方向的方法与高中所学方法相同。
几种特殊形状载流导线的磁场()012 cos cos 4I B aμθθπ=- a I B πμ20= a I B πμ40= )1(cos 40+=θπμa IB0=B5、磁场的高斯定理磁感应线：磁感应线为一些有向曲线，其上各店的切线方向为该点的磁感应强度方向，磁感应线是闭合曲线。
07磁场毕萨定理
单位：特斯拉(T)
B B
三者符合右手螺旋关系 F q v B
q B
v
(q带上符号) 洛伦兹力
5
四、磁场的叠加原理
i
7-4 毕--萨定律
毕--萨定律
大小：Idl 电流元 Idl
Idl
I
dB
0 Idl sin 0 Idl er 大小：dB dB 2 方向： er 2 Idl 4 r 4 r
0 I
2a
y o
I
B0
0 I
2R
2
x
I
(c)
3 0 I 0I 0I B i j k 8R 4 R 4 R
20
P
a
10
课堂练习1: 两根长直通 电导线如图 放置，求P点 磁感应强度 课堂练习2: d
I1
提示：
BP
B
0 I
2a
2d
P I2
0 I1
2 d
0 I 2
2 2d
方向向内
dB 0 4 Idl er r
2
求:载流导线延长线上任一点的磁场
Idl // r , Idl er 0 B 0
2R
圆心角为的载流圆弧在圆心处的B：
dB0
0 I dl
4 R
2
BO
0 I dl
4 R
2
0 I
B0
dB
0
R
2 R 2
BO
I
0
恒定磁场ppt
恒定磁场研究的前沿进展
01
恒定磁场作为一种独特的物理场，具有无辐射、无污染、易于调控等优势，在 基础科学、应用科学和工程技术等领域具有广泛的应用前景。
02
近年来，研究者们在恒定磁场相关的物理、材料、生物医学等领域取得了许多 前沿进展，如在磁性材料研究方面，发现了多种新型磁性材料，提高了磁性材 料的性能和稳定性。
光学性质
恒定磁场可以影响物质的光学性质，如折射率、吸收光谱等。
恒定磁场对物质化学性质的影响
电子结构
恒定磁场可以影响物质的电子结构，从而影响化学键的形成 和断裂。
反应速率
恒定磁场可以影响化学反应速率，从而影响化学反应的能量 转换和物质转化。
04
恒定磁场的应用实例
恒定磁场在医学领域的应用
核磁共振成像（MRI）
恒定磁场的基本特征
恒定磁场是一种非均匀场，其 强度和方向随空间位置的变化
而变化。
恒定磁场具有旋度，因此不会 产生电场。
恒定磁场与电场不同，其强度 不与电流密度成正比，而是与 电流密度和磁导率成正比。
恒定磁场的应用场景
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ磁性材料制备
磁记录
利用恒定磁场可以控制磁性材料的磁性能参 数，如磁化强度、磁晶各向异性等，从而制 备高性能的磁性材料。
利用恒定磁场将人体中的氢原子磁化，通过检测这些原子核产生的信号，生 成人体内部的高分辨率图像。
磁分离技术
恒定磁场可用于分离血液中的肿瘤细胞、细菌等有害物质，提高疾病诊断和 治疗的准确性。
恒定磁场在材料科学领域的应用
磁性材料制造
恒定磁场可以用于制造高性能的磁性材料，如稀土永磁材料、铁氧体材料等。
磁记录
未来，恒定磁场的研究和应用将会有更多的创新和发 展，为人类的生产和生活带来更多的便利和效益。
第07章 恒定磁场磁场强度
电流
磁场
电流
磁场是一种物质， 其物质性体现在：
1）磁场对磁铁、对电流、对运动电荷均有磁作用力； 2）载流导体在磁场中移动时，磁场的作用力对它作功。
磁场是一种客观存在，是物质存在的一种形式。
恒定磁场—在空间的分布不随时间变化的磁场。 注意：无论电荷是运动还是静止，它们之间都存在着库 仑相互作用，但只有运动着的电荷才存在着磁相互作用。
B1
0
2
NI R
B2
0 NI R2
2( R 2
x2
3
)2
R
O1
O2
(1)电流方向相同：
x
B
B1
B2
0 NI
2R
[1
(R2
R3 x2)32
]
8.51105
T
(2)电流方向相反：
B
B1
B2
0 NI
2R
[1
(R2
R3 x
2
)
3 2
]
4.06
105
T
18
例7：一根无限长导线通有电流I，中部弯成圆弧形， 如图所示。求圆心o点的磁感应强度B。
整个物体的磁效应就是所有分子电流对外界磁效应 的总和。磁性物质的本质在于其分子电流的有序排列 。
总结：一切磁现象都可以归结为运动电荷（即电流）之
间的相互作用。磁场力是电荷之间的另一种力。
4
二、磁场
磁铁和运动电荷（电流）会在周围空间激发场---磁场 磁铁与磁铁，磁铁与电流，电流与电流之间都是
通过磁场相互作用的。 磁场的基本性质：对运动电荷（电流）有力的作用。
r
dB 的方向垂直于Idl和r 所形
成的平面。
大学物理第七章恒定磁场
在均匀磁场中，有一段长度为l的导线，导线的一端固定在x=0处，另一端在x=l处自由悬 挂。当导线受到外力作用而摆动时，求摆动的周期T是多少？
问题三
在均匀磁场中，有一段长度为l的导线，导线的一端固定在x=0处，另一端在x=l处自由悬 挂。当导线受到外力作用而摆动时，求摆动的振幅A是多少？
THANK YOU
04
磁场中的电流
电流产生的磁场
安培环路定律
描述电流产生的磁场，即磁场与电流 成正比，并与电流的环绕方向有关。
毕奥-萨伐尔定律
描述电流在其周围空间产生的磁场， 与电流的大小和距离有关。
磁场对电流的作用
洛伦兹力
描述带电粒子在磁场中受到的力，该 力垂直于粒子的运动方向和磁场方向。
霍尔效应
当电流垂直于磁场通过导体时，会在 导体两侧产生电势差，这种现象称为 霍尔效应。
在磁场中画出一系列从N极指向S 极的曲线，表示磁力作用的路径 。
磁感应强度和磁场强度
磁感应强度
描述磁场对放入其中的导体的作用力，用B表示。
磁场强度
描述磁场本身的强弱，用H表示。
恒定磁场与变化磁场
恒定磁场
磁场强度不随时间变化的磁场。
变化磁场
磁场强度随时间变化的磁场。
03
磁场中的物质
物质的磁性分类
磁化现象
当物质处于磁场中时，物质内部会产生感应磁场，感应磁场 与外磁场相互作用，使物质表现出磁性。这种现象被称为磁 化现象。
磁滞效应
当外磁场变化时，物质的磁化强度不仅与外磁场有关，还与 外磁场的历史状态有关。这种现象被称为磁滞效应。磁滞效 应是磁性材料中常见的一种现象，也是制造电磁铁和电机的 重要原理。
磁场中的能量
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一、概念选择题：1.下列哪位科学家首先发现了电流对小磁针有力的作用：（ D ）（A）麦克斯韦（B）牛顿（C）库仑（D）奥斯特2.磁场对运动电荷或载流导线有力的作用，下列说法中不正确的是：（ B ）（A）磁场对运动粒子的作用不能增大粒子的动能（B）在磁场方向和电流方向一定的情况下，导体所受安培力的方向与载流子种类有关（C）在磁场方向和电流方向一定的情况下，霍尔电压的正负与载流子的种类有关（D）磁场对运动电荷的作用力称做洛仑兹力，它与运动电荷的正负、速率以及速度与磁场的方向有关。
3.运动电荷之间的相互作用是通过什么来实现的：（ B ）（A）静电场（B）磁场（C）引力场（D）库仑力4.在均匀磁场中，放置一个正方形的载流线圈，使其每边受到的磁力的大小都相同的方法有：（ B ）（A）无论怎么放都可以（B）使线圈的法线与磁场平行（C）使线圈的法线与磁场垂直（D）（B）和（C）两种方法都可以5．电流之间的相互作用是通过什么来实现的：（B ）（A）静电场（B）磁场（C）引力场（D）库仑力6．一平面载流线圈置于均匀磁场中，下列说法正确的是：（D ）（A）只有正方形的平面载流线圈，外磁场的合力才为零（B）只有圆形的平面载流线圈，外磁场的合力才为零（C）任意形状的平面载流线圈，外磁场的合力和力矩一定为零（D）任意形状的平面载流线圈，外磁场的合力一定为零，但力矩不一定零7．下列说法不正确的是：（A ）（A）静止电荷在磁场中受到力的作用（B）静止电荷在电场中受到力的作用（C）电流在磁场中受到力的作用（D ）运动电荷在磁场中受到力的作用8．一根长为L ，载流I 的直导线置于均匀磁场B 中，计算安培力大小的公式是sin F IBL θ=,这个公式中的θ代表：（ B ） （A ）直导线L 和磁场B 的夹角 （B ）直导线中电流方向和磁场B 的夹角 （C ）直导线L 的法线和磁场B 的夹角（D ）因为是直导线和均匀磁场，则可令090θ=9．磁感强度的单位是：（ D ）（A ）韦伯 （B ）亨利 （C ）牛顿/库伦 （D ）特斯拉10．在静止电子附近放置一条载流直导线，则电子在直导线产生的磁场中的运动状态是（ D ）（A ）向靠近导线方向运动 （B ）向远离导线方向运动 （C ）沿导线方向运动 （D ）静止11．下列说法正确的是：（ B ）（A ）磁场中各点的磁感强度不随时间变化，称为均匀磁场 （B ）磁场中各点的磁感强度大小和方向都相同，称为均匀磁场 （C ）磁场中各点的磁感强度大小和方向都相同，称为稳恒磁场 （D ）稳恒磁场中，各点的磁感强度大小一定都相同12．洛仑兹力可以：（ B ）（A ）改变运动带电粒子的速率 （B ）改变带电运动粒子的动量 （C ）对带电运动粒子作功 （D ）增加带电运动粒子的动能13．下列公式不正确的是：（ D ） （A ）03d 4πI l rdB rμ⨯＝ （B ）02d 4πrI l e dB rμ⨯＝ （C ）02d sin 4πI l dB r μθ＝（D ）02d sin 4πI l dB r μθ＝14．关于带电粒子在磁场中的运动，说法正确的是：（ C ）（A ）带电粒子在磁场中运动的回旋半径与粒子速度无关（B ）带电粒子在磁场中运动的回旋周期与粒子速度有关（C ）带电粒子在磁场中的运动有广泛的应用，例如：磁聚焦、磁瓶、磁镜等等（D ）带电粒子在磁场中运动时，受到的力为安培力15．在非均匀磁场B 中，有一电荷为q （0q <）的运动电荷。
当电荷运动至某点时，其速度为v ，它所受的磁力为f ，磁力f 沿什么方向：（ D ） （A ）υ （B ）B （C ）B υ⨯ （D ）B υ-⨯16．如图，在一圆形电流I 所在的平面内，选取一个同心圆形闭合回路L ，则由安培环路定理可知：（ C ）（A ） 0=⋅⎰Ll d B，且环路上任意一点B=0（B ） 0≠⋅⎰Ll d B，且环路上任意一点B≠0（C ） 0=⋅⎰Ll d B，且环路上任意一点B≠0（D ） 0≠⋅⎰Ll d B，且环路上任意一点B=017．描述电流元与它所激发的磁感强度之间关系的是：（ B ）（A ）安培环路定理 （B ）毕奥-萨伐尔定律 （C ）高斯定理 （D ）库仑定律18．若空间存在两根无限长载流直导线，空间的磁场分布就不具有简单的对称性，则该磁场分布：（ D ）（A ）不能用安培环路定理来计算 （B ）可以直接用安培环路定理求出 （C ）只能用毕奥-萨伐尔定律求出（D ）可以用安培环路定理和磁感强度的叠加原理求出19．一载流圆线圈面积为S ，通入电流为I ，则n m ISe =中m 表示：（ C ） （A ）力矩 （B ）电偶极矩 （C ）磁矩 （D ）磁力矩20．下列可用安培环路定理求磁感强度的是：（ D ） （A ）有限长载流直导体 （B （C ）有限长载流螺线管 （D ）无限长螺线管21．下列关于磁感线的说法中错误的是：( D )(A) 曲线上任意一点的切线方向就是该点磁感强度的方向 (B) 磁感线密的地方磁场就强(C) 载流导线周围的磁感线都是围绕电流的闭合曲线(D) 磁场中某点处单位面积上通过的磁感线数目就等于该点磁感强度的大小22．取一闭合积分回路L ，使三根载流导线穿过它所围成的面。
现改变三根导线之间的相互间隔，但不越出积分回路，则：( B )(A) 回路L 内的I ∑不变，L 上各点的B不变(B) 回路L 内的I ∑不变，L 上各点的B改变 (C) 回路L 内的I ∑改变，L 上各点的B不变 (D) 回路L 内的I ∑改变，L 上各点的B改变23．磁场中的高斯定理为⎰=⋅Ss d B 0，以下说法正确的是：( D )(A) 高斯定理只适用于封闭曲面中没有永磁体和电流的情况 (B) 高斯定理只适用于封闭曲面中没有电流的情况 (C) 高斯定理说明磁场是有源场 (D) 高斯定理说明磁场是无源场24．下列结论中你认为正确的是：( C )(A) 一根给定磁感应线上各点的磁感强度B的量值相同 (B) 用安培环路定理可以求出有限长一段直线电流周围的磁场(C) 运动电荷所受磁力最小时，电荷的运动方向和B 的方向平行； (D) 一个不为零的电流元在它的周围空间中任一点产生的磁感强度均不为零二、判断题：1．单位正电荷绕闭合回路一周，非静电力所作的功为电源的电动势。
（ √ ） 2.一条载流长直导线，在导线上的任何一点，由导线上的电流所产生的磁场强度为零。
（ √ ）3．一段电流元Idl 所产生的磁场的方向并不总是与Idl 垂直。
( × )4．电源电动势是将负电荷从电源负极通过电源内部移到电源正极时，非静电力作的功。
( × )5．载流导线所产生的磁场与地球磁场之间，由于性质不同，不可以进行磁场的叠加。
( × )6. 当需要对一个在地球上、暴露在空气中的点的磁场进行精确测量时，如果磁场比较弱，需要考虑地球磁场的影响。
（ × ）7. 电荷运动方向与磁场方向一致时，电荷所受的磁场作用力为零。
（ √ ） 8．通过磁场的高斯定理可以说明，磁感应线是无头无尾，恒是闭合的。
（ √ ） 9．可用安培环路定律推导出毕奥-萨伐尔定律。
（ × ）10. 在一均匀磁场中，若带电粒子的速度v 与磁感应强度B 斜交成θ角,2πθ≠，则带电粒子的运动轨道是一螺旋线。
（ √ ） 11. 电动势用正、负来表示方向，它是矢量。
（ × ）12. 如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转，则这个区域一定没有磁场。
( × )13. 两个平行放置的同轴圆环形导体，若通以电流后，它们彼此排斥，则两环中电流流动的方向相同。
( × )三、计算选择题：1．123,,I I I 分别表示垂直纸面向外的电流，12,L L 是两个闭合回路，以321B B B、、分别表示三个电流激发的磁场，如图所示，则下列各式错误的是：（ B ）（A ）⎰=⋅1101L I μl d B （B ）⎰+=⋅1)(2101L I I μl d B（C ）⎰+=⋅+1)()(21021L I I μl d B B （D ）⎰+=⋅++1)()(210321L I I μl d B B B2．如图所示，在磁感强度为B 的匀强磁场中，有一半径为R 的半球面，B 与半球面的轴线夹角为α，则通过半球面的磁通量为多少：（ A ）（A ）2cos R B πα （B ）2/cos R B πα （C ）24R B π （D ）2R B π3．长直导线通以电流I 弯成如图形状，则圆心O 点的磁感强度大小为 ：( B ) （A ）0024I I R R μμπ+（B ）0048I IR R μμπ+ （C ）0028I I R R μμπ+ （D ）0044I IR Rμμπ+4．如图所示的正方形线圈ABCD ，每边长为a ，通有电流I ，则正方形中心O 处的磁感强度的大小是：( C ) （A）0I a π （B）02I a π （C）0I a π （D ）02Iaμπ5．通有电流I 的正方形线圈,边长为a ，如图放置在均匀磁场中，已知磁感强度B 沿Z 轴方向，则线圈所受的磁力矩M 为：（ D ） (A ) 2Ia B ， 沿z 方向(B ) 212Ia B ， 沿z 方向(C ) 2Ia B ， 沿y 方向(D ) 212Ia B ， 沿y 方向6．一电子以速度υ垂直进入磁感强度为B 的均匀磁场中，此电子在磁场中运动轨道所围面积内的磁通量将：（ B ）（A ）正比于B ，反比于2υ （B ）反比于B ，正比于2υ （C ）正比于B ，反比于υ （D ）反比于B ，反比于υ7．一边长为2l m =的立方体，它的三条边分别沿直角坐标x 、y 、z 三个坐标轴正方向放置，立方体的一个顶点与坐标系的原点重合。
有一均匀磁场(1063)B i j k =++特斯拉，通过立方体所在区域，则通过立方体的总磁通量为：（ A ）（A ）0 （B ）40 Wb （C ）24 Wb （D ）12 Wb8．如图所示，流出纸面的电流为2I ，流进纸面的电流为I ，则下述式中哪一个是正确的（ D ）（A ） ⎰=⋅102L I μl d B（B ） ⎰=⋅20L I μl d B（C ） ⎰-=⋅30L I μl d B（D ）⎰-=⋅40L I μl d B9．载有电流I 的导线分别均匀密绕在半径为R 和r 的长直圆筒上形成两个螺线管（R =2r ），两螺线管单位长度上的匝数相等，两螺线管中的磁感强度大小B R 和B r 应满足：（ B ）（A ）B R =2B r （B ）B R =B r （C ）2B R =B r （D ）B R =4B r10．无限长直圆柱体，半径为R ，沿轴向均匀流有电流。