数学分析17-3173 方向导数与梯度
导数偏导数方向导数梯度及其关系
导数：()()()00'000lim limx x f x x f x yfx x x∆→∆→+∆-∆==∆∆,导数意义为函数变化率。
由定义可知，导数是对应一元函数。
偏导数：()()()0000000,,,limx x f x x y f x y f x y x∆→+∆-=∆()()()0000000,,,limy y f x y y f x y f x y y∆→+∆-=∆.偏导数是对应于多元函数。
其意义是：偏导数反应是函数沿坐标轴方向变化率。
方向导数：设l 为xOy平面上以()000,P x y 为始发点一条射线，()cos ,cos l αβ=e 是与l 同方向单位向量。
则该射线参数方程为：00cos cos x x t y y t αβ=+=+,那么，函数(,)f x y ,在()000,P x y 沿l 方向方向导数为：()()()0000000,cos ,y cos ,lim t x y f x t t f x y f ltαβ+→++-∂=∂。
从方向导数定义可知，方向导数()00,x y f l∂∂就是函数(,)f x y 在点()000,P x y 沿方向l 变化率。
方向导数也是对应于多元函数。
方向导数是一个标量值。
方向导数与偏导数关系：如果函数(,)f x y 在点()000,P x y 可微分，那么函数在改点沿任意方向l方向导数存在，且有()()()000000,,cos ,cos x y x y f f x y f x y lαβ∂=+∂,其中()cos ,cos l e αβ=为方向l 方向余弦。
（若方向()1,0l =e 也就是x 轴方向，则()0000,(,)x x y ff x y l∂=∂，若方向()0,1l =e 也就是y 轴方向，则()0000,(,)y x y f f x y l∂=∂）.梯度：设函数(,)f x y 在平面区域D 内有一阶连续偏导数，则对于每一个点()000,P x y D ∈都可以定出一个向量()()0000,,x y f x y f x y +i j ，这向量称为函数(,)f x y 在点()000,P x y 梯度，即()()()000000 ,,,x y f x y f x y f x y =+grad i j 。
高等数学《方向导数与梯度》
一、问题的提出 二、方向导数的定义 三、梯度的概念
一、问题的提出
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐 标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点 处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上 任意一点处的温度与该点到原点的距离成反 比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿 什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？
问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方 向（即梯度方向）爬行．
二、方向导数的定义
回顾函数 z f ( x, y) 在点 P0( x0 , y0 ) 处关于
x, y 的偏导数定义：
f x ( x0 , y0 )
limx0f (源自x0x, y0 ) xf ( x0 , y0 )
f y ( x0 , y0 )
P0 P
(x
x0
,
y
y0
)
(t
cos
,t
cos
)
te ,
| P0P || te || t |,
t表示点 P 到点 P0 的有向距离.
z f ( x t cos , y t cos ) f ( x, y), 考虑 z ,
t
当 P 沿着 l 趋于P0 时，
lim f ( x t cos , y t cos ) f ( x, y) 是否存在？
t0
t
沿同任理意：方当向函l数的在方此向点导可数微都时存，在那,末且函el 数 (在a,该b,c点), 则有：
f l ( x0 , y0 ,z0 ) f x ( x0 , y0 , z0 ) a f y ( x0 , y0 , z0 ) b fz ( x0 , y0 , z0 ) c.
| grad f ( x, y) | f x2 f y2 .
高等数学第17章第3节方向导数与梯度
§3 方向导数与梯度在许多问题中，不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率（即偏导数），而且还要设法求得函数在其他特定方向上的变化率.这就是本节所要讨论的方向导数． 定义1 设三元函数f 在点),,(0000z y x P 的某邻域30)(R P ⊂ 内有定义，l 为从点0P 出发的射线，),,(z y x P 为l 上且含于 )(0P 内的任一点，以ρ表示P 与0P 两点间的距离。
若极限ρρρρf P f P f l ∆=-++→→000lim )()(lim存在，则称此极限为函数f 在点0P 沿方向l 的方向导数，记作)(,00P f l f l P ∂∂或).,,(000z y x f l 容易看到，若f 在点0P 存在关于x 的偏导数，则f 在点0P 沿轴正向的方向导数恰为 .00P P x f lf∂∂=∂∂ 当l 的方向为x 轴的负方向时，则有 .00P P x f l f∂∂-=∂∂ 沿任一方向的方向导数与偏导数的关系由下述定理给出．定理17.6 若函数f 在点),,(0000z y x P 可微，则f 在点0P 处沿任一方向l 的方向导数都存在，且,cos )(cos )(cos )()(0000γβαP f P f P f P f z y x ++= )1( 其中γβαcos ,cos ,cos 为方向l 的方向余弦．证 设),,(z y x P 为l 上任一点，于是（见图17－5）⎪⎭⎪⎬⎫=∆=-=∆=-=∆=-.cos ,cos ,cos 000γρβραρz z z y y y x x x ()2由假设f 在点0P 可微，则有 ()()=-0p f p f ()ρo z P f y P f x P f z y x .).()()(000+∆+∆+∆上式左、右两边皆除以ρ，并根据（2）式可得()ρρρρρρo z P f y P f x P f P f P f z y x +∆+∆+∆=-)()()()()(0000 ()ρργβαo P f P f P f z y x +++=cos )(cos )(cos )(000. 因为当0→ρ时，上式右边末项,0)(→ρρo ，于是左边极限存在且有()ρρ)()(lim 000P f P f P f l -=+→ .cos )(cos )(cos )(000γβαP f P f P f z y x ++= □对于二元函数),(y x f 来说，相应于)1(的结果是 (),cos ),(cos ),(00000βαy x f y x f P f y x l += 其中βα,是平面向量l 的方向角．例1 设,),,(32z y x z y x f ++=求f 在点0P )1,1,1(沿方向)1,2,2(:-l 的方向导数． 解 易见f 在点0P 可微.故由3)(,2)(,1)(000===P f P f P f z y x 及方向l 的方向余弦,321)2(22cos ,321)2(22cos 222222-=+-+-==+-+=βα grad ),3,3,1()(0--=P f g ra d .19)3()3(1222=-+-+=f □作业布置：Ｐ１２７ １；３．。
线代方向导数与梯度
依定义， 依定义，函数 f ( x, y)在点P沿着x轴正向e1 = {1, 0}、
y轴正向 e2 = {0, 1} 的方向导数分别为 f x , f y ；
轴负向、 沿着x轴负向、y轴负向的 方向 数 − f x , − f y. 导 是
θ 其中 = ( grad f ( x, y), e )
∂f 有最大值. 当 cos(grad f ( x, y), e ) = 1 时， 有最大值. ∂l
结论
函数在某点的梯度是这样一个向量， 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方 向与取得最大方向导数的方向一致, 向与取得最大方向导数的方向一致,而它的 模为方向导数的最大值． 模为方向导数的最大值．梯度的模为
上的单位向量， 设e = cosϕi + sinϕ j 是方向 l 上的单位向量，
由方向导数公式知
∂f ∂f ∂f ∂f ∂f cosϕ + sinϕ = { , }⋅ {cosϕ,sinϕ} = ∂l ∂x ∂y ∂x ∂y
= grad f ( x, y) ⋅ e = | grad f ( x, y) | cosθ ,
解
这里方向l 即为PQ = {1, − 1},
故x轴到方向l 的转角ϕ = − π . 4
z = 1; 由 ∂ = e2y (1,0) ∂x (1,0)
∂z 2xe2 y = 2, = (1,0) ∂y (1,0)
y
o
P
ϕ x
Q
方向导数 ∂z = 1⋅ cos(− π ) + 2⋅ sin(− π ) = − 2 . ∂l 4 4 2
定义 设函数z = f ( x, y)在平面区域 D 内具有 一阶 连续偏导数， 则对于每一点P( x, y) ∈ D，都 连续偏导数， ∂f ∂f j， 向 称 函 可定出 一个向 量 i + 这 量 为 ∂x ∂y 梯度， 数z = f ( x, y)在点P( x, y)的梯度，记为
数学分析-方向导数与梯度
3 1 在 P0 ( , ,0)处梯度为 0. 2 2
三、小结
1、方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）
2、梯度的概念
（注意梯度是一个向量）
3、方向导数与梯度的关系
梯度的方向就是函数 f ( x , y ) 在这点增长 最快的方向 .
思考题
1. 讨论函数 z f ( x , y ) x y 在( 0,0) 点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？
2 2
2. 考虑下面各项之间的关系
f 可微
f 连续
f x , f y , f z 存在
故沿任意方向的方向导数均存在且相等.
p
x
y
x
为 l 上的另一点且 P U ( p). （如图）
考虑
z
, 如当 P 沿着 l 趋于 P时，
0
lim
f ( x x, y y ) f ( x, y )
存在, 称此极限为函数在点 p 沿方向 l
的方向导数.
记为
f f ( x x , y y ) f ( x , y ) lim . l 0
类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值.
例2
求函数 u x 2 2 y 2 3 z 2 3 x 2 y 在点 (1,1,2)处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？
解 由梯度计算公式得
u u u gradu( x , y , z ) i j k x y z
方向导数和梯度
2
n f f max || g || x l i 1 i
2 ，
1
这里的 n 维向量 g 实际上就是下面要讨论的梯度。
定义 7.5.2 量
设 f 是 R n 中区域 D 上的数量场，如果 f 在 P0 D 处可微，称向
f f f x , x ,, x 2 n 1
f ( P) f ( P0 ) || P0 P ||
f x1
f lim ||P0 P||0 x 1
x1
P0
|| P0 P ||
f xn
xn
P0
|| P0 P ||
o(|| P0 P ||) || P0 P ||
cos 1
最大值，此最大值即梯度的范数 || gradf || 。这就是说，沿梯度方向，函数值增加 最快。同样可知，方向导数的最小值在梯度的相反方向取得，此最小值即
|| gradf || ，从而沿梯度相反方向函数值的减少最快。
例 7.5.2
设在空间直角坐标系的原点处有一个点电荷 q ，由此产生一个静
电场，在点 ( x, y, z) 处的电位是
f 在 (0,0) 点沿方向 l || l || (cos , sin )（ 为 l 与 x 轴正向的夹角）的方向导数为
f (0 t || l || cos , 0 t || l || sin ) f (0, 0) f lim l t 0 || tl || 2 cos sin 2 lim 2 cos sin 2 。 t 0 cos 2 sin 2
f g g gradf f gradg ，其中 g 0 ； g2
方向导数与梯度的关系
方向导数与梯度的关系方向导数和梯度是微积分中非常重要的概念，它们在多元函数中描述了函数在某一点的变化率和方向。
方向导数是指函数在某一点沿着某一给定方向上的变化率，而梯度则是函数在某一点上的方向导数取得最大值的方向。
本文将从理论和实际应用两个方面介绍方向导数与梯度的关系。
我们来看方向导数的定义。
对于函数f(x, y)在点P(x0, y0)处，沿着单位向量u=(a, b)的方向，其方向导数定义为：Duf(x0, y0) = lim(h->0) [f(x0+ah, y0+bh) - f(x0, y0)]/h其中lim表示极限，h表示一个接近于0的数。
方向导数Duf(x0, y0)表示函数f(x, y)在点P(x0, y0)沿着方向u的变化率。
接下来，我们来看梯度的定义。
对于函数f(x, y)在点P(x0, y0)处，梯度定义为：∇f(x0, y0) = (∂f/∂x, ∂f/∂y)其中∂f/∂x和∂f/∂y分别表示函数f(x, y)对x和y的偏导数。
梯度∇f(x0, y0)是一个向量，它的方向指向函数在点P(x0, y0)处变化最快的方向，其模表示函数在该点的最大变化率。
那么，方向导数与梯度之间有什么关系呢？我们可以发现，当方向向量u与梯度向量∇f(x0, y0)的方向相同时，方向导数Duf(x0, y0)取得最大值。
换句话说，梯度的方向就是函数在某一点上方向导数取得最大值的方向。
为了更好地理解这一关系，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设有一个二元函数f(x, y) = x^2 + y^2，我们要求在点P(1, 1)处沿着方向u=(1, 1)的方向导数。
我们计算函数在点P(1, 1)处的梯度。
根据梯度的定义，我们有：∇f(1, 1) = (∂f/∂x, ∂f/∂y) = (2x, 2y) = (2, 2)接下来，我们计算方向向量u=(1, 1)与梯度向量∇f(1, 1)的点积。
根据点积的定义，我们有：u·∇f(1, 1) = (1, 1)·(2, 2) = 1*2 + 1*2 = 4因此，方向导数Duf(1, 1)的最大值为4。
方向导数与梯度的关系与计算公式
方向导数与梯度的关系与计算公式方向导数（Directional Derivative）是多元函数在某个给定点上沿指定方向的变化率。
它在物理学、工程学和优化问题中具有重要的应用。
在求解方向导数时，我们常常会遇到梯度（Gradient）的概念。
本文将介绍方向导数与梯度之间的关系，并探讨它们的计算公式。
一、方向导数的定义在多元函数中，给定一个点P(x₀, y₀, z₀)及一个单位向量u = (a, b, c)，其中a² + b² + c² = 1，方向导数Duf(x₀, y₀, z₀)表示函数f(x, y, z)在P点上沿u方向的变化率。
方向导数用符号∇f(x₀, y₀, z₀)·u表示。
二、梯度的定义梯度是一个向量，它在多元函数的每个点上都有定义。
对于二元函数f(x, y)，梯度∇f(x, y)表示函数f在每个点上的变化率最大的方向。
梯度可以用向量形式表示为∇f(x, y) = (fx, fy)，其中fx和fy分别表示f对x和y的偏导数。
对于三元函数f(x, y, z)，梯度∇f(x, y, z)表示函数f在每个点上的变化率最大的方向。
梯度可以用向量形式表示为∇f(x, y, z) = (fx, fy, fz)，其中fx、fy和fz分别表示f对x、y和z的偏导数。
三、方向导数与梯度的关系在函数f(x, y, z)的某一点P(x₀, y₀, z₀)处，方向导数和梯度的关系可以表示为：Duf(x₀, y₀, z₀) = ∇f(x₀, y₀, z₀)·u即，方向导数等于梯度与单位向量u的内积。
四、方向导数的计算公式在笛卡尔坐标系中，给定一个点P(x₀, y₀, z₀)及一个非零向量u = (a, b, c)，其中a² + b² + c² = 1，方向导数可以通过以下公式计算：Duf(x₀, y₀, z₀) = fx(x₀, y₀, z₀)a + fy(x₀, y₀, z₀)b + fz(x₀, y₀, z₀)c其中fx、fy和fz分别表示f对x、y和z的偏导数。
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以及 l P0P1 (2, 2,1) 的方向余弦
cos
2
2,
22 (2)2 12 3
cos
2
2 ,
22 (2)2 12 3
cos
1
1,
22 (2)2 12 3
按公式 (1) 可求得
f
l
(P0 )
1
2 3
2
2 3
3
1 3
1 3
.
例2 设函数
1, 当 0 y x2, x 时,
给 P( x, y, z) l U(P0 ), 记 | P0P |，若极限
f lim l lim
f (P) f (P0 )
0
0
存在, 则称此极限为函数 f 在点 P0 沿方向 l 的方向
导数, 记作 f l
,
f l
(P0 )
或
f l ( x0 , y0 , z0 ).
P0
不难看出: 若 f 在点 P0 存在对 x 的偏导数，则 f
定理 17.6 若 f ( x, y, z) 在点 P0( x0, y0, z0 ) 可微，则 f
在点 P0 沿任一方向 l 的方向导数都存在, 且
f l (P0 ) fx (P0 )cos f y (P0 )cos fz (P0 )cos , (1)
cos, cos , cos 为 l 的方向余弦．
fz (P0 ) z o( ).
上式左、右两边皆除以 , 并根据 (2) 式可得
f (P) f (P0 )
f x (P0 )
x
f
y
(
P0
)
y
z
fz (P0 )
o()
f x (P0 ) cos
f y (P0 ) cos
fz (P0 ) cos
o
(
)
.
因为
o( )
lim
0
0,
所以上式左边的极限存在:
f
l
(P0 )
lim
0
f (P) f (P0 )
fx (P0 ) cos f y (P0 ) cos fz (P0 ) cos .
对于二元函数 f ( x, y) 来说, 相应于 (1) 的结果为
f l
( x0, y0 )
fx ( x0, y0 )cos
f y ( x0, y0 )cos ,
就是梯度的模; 而当 l 与梯度向量反方向 ( )
时，方向导数取得最小值 | grad f (P0 ) | ． 例 3 设 f ( x, y, z) xy2 yz3, 试求 f 在点 P0(2,1,1) 处的梯度及它的模. 解 易得 fx (P0 ) 1, f y (P0 ) 3, fz (P0 ) 3, 所以
则方向导数计算公式 (1) 又可写成
f l
(P0 ) grad
f (P0 ) l 0
| grad
f (P0) | cos .
这里 是梯度向量 grad f (P0 ) 与 l 0 的夹角．因此，
当
0 时， f l
(P0 ) 取得最大值 | grad
f (P0 ) |.
这就
是说，当 f 在点 P0 可微时, f 在点 P0 的梯度方向 是 f 的值增长最快的方向，且沿这一方向的变化率
grad f (P0 ) ( fx (P0 ), f y (P0 ), fz (P0 ) ).
grad f (P0 ) 的长度 (或模) 为
| grad f (P0 ) | f x (P0 )2 f y (P0 )2 fz (P0 )2 .
在定理17.6 的条件下, 若记 l 方向上的单位向量为 l 0 ( cos ,cos ,cos ) ,
z
l
z P
P0
O
x y
y
x
图 17 – 5
证 设 P( x, y, z) 为l 上任一点，于是有 (参见图17 – 5 )
x x x0 cos ,
y y y0 cos ,
(2)
z
z z0
cos .
由假设 f 在点 P0 可微，则有
f (P) f (P0 ) fx (P0 ) x f y(P0 ) y
§3 方向导数与梯度
在许多问题中, 不仅要知道函数在坐 标轴方向上的变化率 (即偏导数), 而且 还要知道在其他特定方向上的变化率, 这就是本节所要讨论的方向导数.
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※ 方向导数的概念
定义1 设函数 f ( x, y, z) 在点 P0( x0, y0, z0 ) 的某邻域
U(P0 ) R3 内有定义，l 为从点 P0 出发的射线. 任
grad f (P0 ) (1,3,3),
| grad f (P0 ) | 12 (3)2 (3)2 19 .
复习思考题
1. 设函数
f
(x,y)xy , x2 y2 0,
x2 y2 0, x2 y2 0.
由§1 例6 已知 fx (0,0) f y (0,0) 0 , 于是按方向
(2)
其中 , 是 R2 中向量 l 的方向角．
例 1 设 f ( x, y, z) x y2 z3, 求 f 在点 P0(1,1,1) 处
沿着指向点 P1(3, 1,2) 方向的方向导数.
解 易见 f 在点 P0 可微. 故由
fx (P0 ) 1, f y (P0 ) 2, fz (P0 ) 3 ,
在点
P0
沿
x
轴正方向的方向导数恰为
f l
(P0 )
f x (P0 )
(
l
Ox
);
当 l 的方向为 x 轴的负方向时，则有
f l
(P0 ) f x (P0 )
(
l
Ox
);
对于 f y 与 fz 也有相应的结论．
对二元函数 z f (x, y) 可仿此定义方向导数
※ 方向导数与偏导数之间的一般关系
f (x, y) 0,
其余部分.
此函数示于图 16 – 15, 已知它在原点不连续 (当然
也就不可微)．但在始于原点的任何射线上, 都存在
包含原点的充分小的一段，在这一段上 f 的函数值
恒为零. 于是由方向导数定义, 在原点处沿任何方
向
l
都有
f (0,0) 0. l
说明 (i) 函数在一点可微是方向导数存在的充分条 件而不是必要条件； (ii) 函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要 条件, 当然也不是充分条件 ( 对此读者应能举出反 例 )． ※ 梯度的概念 定义 2 若 f ( x, y, z) 在点 P0( x0, y0, z0 ) 存在对所有自 变量的偏导数, 则称向量 ( fx (P0 ), f y (P0 ), fz (P0)) 为 函数 f 在点 P0 的梯度, 记作