例说方向导数与连续
2.5方向导数与梯度重要例题
n = (4x , 6y , 2z) P = 2(2 , 3 , 1) 2 3 1 方向余弦为 cosα = , cos β = , cosγ = 14 14 14 ∂u 6x 6 = 而 = 2 2 P ∂x P z 6x + 8y 14
同理得
∴
∂u ∂n
1 11 = (6× 2 + 8×3 −14×1 ) = 14 7 P
r r r xi + y j + zk
1 1 = ±( − ) = ± 3 3
(3)在 M0 的最大方向导数与梯度 在 的最大方向导数与梯度:
∂u Q ∂x
M0
= −1,
∂u ∂y
M0
∂u = 1, ∂z
M0
=1
∴ gard u M 0
r r r = −i + j + k ,
and gard u M 0 = 3 .
例
设点电荷 q 位于坐标原点, 在点 M ( x , y , z ) q 处的电位为 v = , 其中, ε 为介电系数, r 4πε r r r r r r = xi + y j + z k , r = || r || , 求电位 v 的梯度.
x2 + y 2 − 0 ∂z f ( ρ cos α , ρ cos β ) − 0 = lim = lim =1 2 2 x →0 ∂ l x →0 ρ x +y y →0 y →0
此例说明: 1. 方向导数存在时, 偏导数不一定存在. 2.可微是方向导数存在的充分条件, 而不是 必要条件P80-2,7.
解: 向量 l 的方向余弦为
∂u ∂u ∴ ∂l
2 = 2xyz ⋅ 14 P
高等数学8.8 方向导数
f ( x0
x, y0
y)
f ( x0 , y0 )
f x (x0 , y0 )
(2). 沿着 x轴负向、 y 轴负向的方向导数是 f x , f y.
定理 如果函数z f ( x, y)在点 P(x0, y0) 处可微，那末函数在该
点沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
(6
x
2
8
y
2
1
)2
在此处沿方向n的方向导数.
z
解 令 F( x, y, z) 2x2 3 y2 z2 6,
故 nr |(1,1,1) Fx, Fy, Fz |(1,1,1) 4, 6, 2 ,
cos 2 ,
14
cos 3 ,
14
cos 1 .
f lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) lim fx ( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y o( )
l （x0 ,y0）0+
0+
fx ( x0 , y0 )cos f y ( x0 , y0 )cos
y
l
• P
且 P U( p). = | PP | (x)2 (y)2 ,
y
若 lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
P
••
x
0+
o
f
x
则称此极限为 z f ( x, y)在P处沿方向 l 的方向导数, 记为 l （x0 , y0）
l 0
z
方向导数讲解
三■三元函数方向导数的定义
对于三元函数u = f (x, y, z),它在空间一点
-
P (x, y, z )沿着方向 e = (cosa,cos 四cos/)
的方向导数，可定义为
= lim f (x +1 cos a, y +1 cos p, z +1 cos y)f (x，y，z)
所以方向导数是偏导数的推广。
定理 如果函数z = f (旳y)在点P (旳y)是可微分的，
那末对于任意单位向量et = (cosa,cos0),函数 z = f(X,
y)在该点方向l的方向导数都存在，且有 f _切 f
= cos a H--cos p o
dl dx dy
证明 由于函数可微，则增量可表示为
处的偏导数是否存在？方向导数是否存在?
思考题解答
Q
f (Ax ,0) - f (0,0)
z
(o,o)=Axmo—&—
Q
=lim1^1.
x
x Ax—0 A
同理等
（oo）= lim
， 匀项Ay
故两个偏导数均不存在.
沿任意方向，={x, y, z}的方向导数,
dz
lim f（歐, 颂）一 f
瓦(0,0) （0,0）
A,
f (x + Ax, y + Ay) 一 f (x, y) = ： Ax v'^y + o(p)
ox oy
取Ax = t cos a, Ay = t cos 0,两边同除以t,得到
f (x +1 cos a, y +1 cos 月)一 f (x, y)
方向导数讲解
方向导数一、问题的提出实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．讨论函数在一点P 沿某一方向的变化率问题．),(y x f z =（如图）它的参数方程为⎩⎨⎧+=+=βαcos cos 00t y y t x x +∞<<∞-t 方向向量的有向直线，为且以面上通过点是为一单位向量，设→→→→e y x P xoy l j βi αe ),(cos +cos =00o y xαl Q ∙x ∆y ∆∙∙Pβ二、定义上任意一点，则有是设l y x Q ),(,)cos ,cos (),(00→→==--=e t t t y y x x PQ βα,t PQ =→的有向距离。
到点为点称Q P t ),()(P f Q f z -=∆当沿着趋于时，Q P l ty x f t y t x f t ),()cos ,cos (lim 00000-++→βα,t z Δ考虑是否存在？.),()cos ,cos (lim 00000),(00ty x f t y t x f l ft y x -++=∂∂→βα记为定义 设函数 z=f(x,y) 在点P(00,y x )的某个邻域内有定义，l 是一非零向量，)cos ,(cos βα=→l e 是与l 同方向的单位向量，如果极限 ty x f t y t x f t ),()cos ,cos (lim 00000-++→βα存在，则称此极限为函数),(y x f z =在P 点处沿l 方向的方向导数(directional derivative)，依定义，函数),(y x f 在点P 沿着x 轴正向}0,1{1=e 、y 轴正向}1,0{2=e 的方向导数分别为y x f f ,；沿着x 轴负向、y 轴负向的方向导数是 y x f f --,.所以方向导数是偏导数的推广。
(整理)多元函数微分学
模块十二 多元函数微分学※知识框架一、二重极限及连续 二、偏导数概念 三、可微与全微分 四、相互关系 五、方向导数与梯度※课程脚本：★引入：本章的标题是多元函数微分学，在前面我们介绍过一元函数微分，这里的‘多元’就是自变量为多个，而为了方便，我们一般研究的是二元函数，那么我们首先看看二元函数的概念，一． 二重极限及连续1、 二重极限 ●讲义内容【定义1】：设D 是平面上的一个点集，如果对于任意一点(),x y D ∈，变量z 按照一定的运算法则总有确定的值与之对应，则称z 关于变量,x y 的二元函数，记作(),z f x y =. ★讲解且过渡：给出二元函数定义后，下面不妨我们可以回忆下一元函数微分中的知识点，一块回忆下：一元函数()y f x =中自变量就一个“x ”，而二元函数显然就是自变量为两个，我们一般用,x y 来表示，当然也可以定义三元或者多元的函数，不过对于我们来说研究的对象大多是二元，其定义域也有一元函数时的区间变成了二元函数的平面区域，举个简单的二元函数例子：2z x y =，。
另外在一元函数中我们研究了极限、连续、可导。
可微等，其实这些可以延拓到二元函数中的，下面首先看看二元函数的极限问题，为了显示和一元函数的区别，我们称二元函数的极限为二重极限 ●讲义内容【定义2】：设(),z f x y =是D 上的一个函数，()00,x y D ∈，假设存在实数A ，使得0ε∀>，总0δ∃>，当0δ<时，有()0,f x y A ε<-<.则称当(),x y 趋近于()00,x y 时，函数(),fx y 的二重极限为A .记作()()00(,),lim,x y x y f x y A →=或()00lim ,x x y y f x y A →→=.★讲解且过渡：二重极限是一元函数极限的推广，它的定义要与一元函数的极限对比起来理解.例如，与一元函数一样，(),x y 在趋近于()00,x y 时，也不会等于()00,x y ，只会无限地接近；一元函数极限中x 趋近于0x 仅有两种方式——左或右，所以只要求左右极限存在且相等就能说明极限存在了；而二维平面上(),x y 趋近于()00,x y 的方式可以有无穷多种，另外在一元函数中极限存在的话是左右极限存在且相等，那么在二元函数中关于二重极限存在的内在要求是(),x y 沿任何路径趋近于()00,x y 的极限值都应该存在并且相等，换句话说如果能找到函数按照两种不同的路径逼近某一点的极限不一样，就可以断定函数在该点的极限不存在，其实这也是我们在具体做题的过程中判断极限不存在的思路，那么其他求极限的方法有哪些呢？其实这个时候也可以按照一元函数求极限的方法进行分析，大概有一下几种：1、四则运算。
方向导数的定义
2. 函数
在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是
.
提示:
则
(96考研)
z = f (x,y)
N
y l
例1. 求函数
在点 P0 (1, 1, 1) 沿方向
l : (2, -1, 3 ) 的方向导数 .
解:
向量 l 的方向余弦为
下面计算函数的偏导数：
P0 (1, 1, 1)
二、梯度的概念
grad f 的长度（或模）为 下面考察梯度与方向导数之间的关系.
方向导数公式 令向量
梯度的基本运算公式
内容小结
1. 方向导数 • 三元函数
在点 的方向导数为
沿方向 l (方向角
• 二元函数
在点
的方向导数为
沿方向 l (方向角为
2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为ຫໍສະໝຸດ • 二元函数3. 关系 • 可微 •
在点
处的梯度为
方向导数存在
偏导数存在
梯度在方向 l 上的投影.
作业:
P.127 1，2，3
• 当 l 与 x 轴反向
y
l
P0
O
x
方向导数的几何意义
z
z
lim
l P0 0
z
M
lim f (P) f (P0 )
0
Q
lim f ( x x , y y) f ( x , y )
z
z
方向导数
l
是曲面在
P0
点P0 处沿方向l 的变化率，
即半切线 MN 的斜率.
0
x
y
P0
多元函数微分学的应用
多元函数微分学的应用引言多元函数微分学是微积分的一个重要分支，通过研究多元函数的极限、连续性、可微性、偏导数、全微分以及二阶偏导数等概念和性质，为解决实际问题提供了强大的工具和方法。
本文将介绍多元函数微分学在实际应用中的一些案例和方法。
1. 函数的极限多元函数的极限是多元函数微分学的基础，它描述了函数在某一点处的趋近性。
在实际应用中，我们常常需要确定一个多元函数在某一点的极限，以便对问题进行分析和计算。
对于给定的多元函数f(x,y)，如果当点(x,y)趋近于某一点(a,b)时，f(x,y)趋近于一个常数L，则称f(x,y)在点(a,b)处有极限，记为$\\lim_{(x, y) \\to (a, b)} f(x, y) = L$。
2. 函数的连续性函数的连续性是多元函数微分学的另一个重要概念。
一个多元函数f(x,y)在某一点(a,b)处连续，意味着在点(a,b)的任意一个邻域内，函数值和点(a,b)的距离趋近于零。
连续函数在实际应用中具有重要的意义，因为它们能够准确地描述函数的行为和性质。
3. 偏导数与全微分在实际问题中，我们常常需要计算多元函数的偏导数和全微分，以便分析函数的变化率和方向导数。
对于一个多元函数f(x,y)，它的偏导数$\\frac{\\partialf}{\\partial x}$和$\\frac{\\partial f}{\\partial y}$分别表示函数在x方向和y方向上的变化率。
全微分df表示函数的微小变化量，它可以用偏导数表示为$df =\\frac{\\partial f}{\\partial x}dx + \\frac{\\partial f}{\\partial y}dy$。
4. 高阶偏导数在多元函数微分学中，我们还可以计算多元函数的高阶偏导数。
高阶偏导数描述了函数的高阶变化率和曲率性质。
例如，一个二阶偏导数$\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}$表示函数在x方向上的曲率，而一个二阶偏导数$\\frac{\\partial^2 f}{\\partial x \\partial y}$表示函数在x和y方向上的变化率的关系。
例说方向导数与连续
$ # ’ ’ （#， ， 不趋于! （ ， ） ， 故知! （#， 在原点不连续。 时， " # ( * ! ! " ! ! $） $( $） # 让我们再来审视一下多元函数的连续性。由于多元函数的连续性对函数本身有较强的要求：
通常我们在求函数条件极值问题时,原则上将条件极值问题转化成无条件极值问题来进行求解,本文介绍了利用拉格朗日乘数法和方向导 数法来解决条件极值问题,并将这两种方法进行了比较.
9.期刊论文 刘树利.LIU Shu-li Rn中柯西中值定理的ξ的渐近性 -潍坊学院学报2006,6(4)
本文利用方向导数对Rn中柯西中值定理的ξ的渐近性进行了研究,得到了一元函数类似的结论.
1 #
高等数学研究 2 3 4 5 6 7 2 6 89 % : : 7 ; 7< = 3 > 7 < = 3 6 9 2
， ? @ A ! 8 @ A & ， < + B A & # # 1
例说方向导数与连续
潘智民
摘要 关键词 （西安建筑科技大学
!
西安 ! ） " # # $ $
构造了一个例子说明多元函数沿任何方向的方向导数存在时仍不连续。 多元函数； 方向导数； 连续 中图分类号 % " ! &
多元函数的教学是高等数学教学中的一个难点.本文指出了多元函数教学中应注意的几个问题.
6.期刊论文 石艳霞.陶玉敏.SHI Yan-xia.TAO Yu-min 多元函数微分法的一点注记 -鞍山钢铁学院学报 1999,22(6)
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7.期刊论文 沈永红.高忠社 多元函数微分学中几个基本概念之间的关系 -高等数学研究2009,12(2)
针对多元函数微分学中用以刻画函数局部性态的基本概念,给出连续、偏导数、可微、方向导数之间的关系图,采用证明和举反例的方式 ,深入分析这些概念之间的关系.
8.期刊论文 张秀芳.Zhang Xiu-ying 多元函数条件极值的解法探讨 -安徽电子信息职业技术学院学报 2009,8(3)
10.期刊论文 宋虎森 关于非光滑函数凸性的研究 -华北工学院学报2002,23(6)
目的解决多元函数的方向导数问题. 方法借助于一元函数将多元函数的问题简化. 结果由一元函数左、右导数的定义及其性质, 将多元 函数的方向导数转为一元函数左、右导数, 从而解决了微积分学习和研究中的一个难点. 结论学习和研究微积分的过程中, 可以利用已学过 的较简单的知识, 处理和简化较难的问题.
函数! （#， 在一点 ’ （ !， ） 连续， 要求点 ’ （#， 以任何方式趋于 ’ 时， 都有 ! （#， "! $） $ $） $） !# ! ! （# ，!） 。在上叙反例中， 点 （#， 沿各条射线趋于原点， 都有! （#， （ ， ） “快慢” " ! ! )但收敛的 $） $） ! !$ 很不相同， 在越接近铅直的母线上， （#， 趋于 ! （ ， ） 越 “艰难” 。由此我们想到， 若对收敛 ("! ! ! $） “快慢” 有所限定， 则只需点 （#， 沿各射线这一种方式趋于 （# ，!） 时， 有! （#， 收敛于 ! （# ， $） $） !$ ! ） ， 即可保证! （#， 在 （# ，!） 处的连续性。 $ $） ! !$ 由连续及二重极限定义， 即可得出结论： 函数! （#， 在’ 其充分必要条件是对 ) "% $） ! 连续， ， ， 不论 ’ 沿任何方向 只要 就有 （#， （# ! * #% ! " 趋于’ $ ’ ’ $ + #， $ & $ + " 成立。 ! $） ! $ !， ! !， !） 这一结论表明， （#， 在一点 ’ 连续， 不仅要求沿各方向都有! （#， 收敛于 ! （# ，!） ， 同 ! $） $） ! !$ 时还需存在一个只与" 相关， 对所有方向都适用的# 使不等式成立。多元函数与一元函数在连续 这一概念上的本质性区别与联系恰好在此！ 参考文献
本文用方向导数法考虑多元函数条件极值问题,并且在理论上揭示了这种方法与拉格朗日乘子法之间的内在联系.
3.期刊论文 唐军强.杨庆玺.马小霞.耿世佼 用方向导数法求解多元函数条件极值 -科技创新导报 2008,""(15)
本文用方向导数法考虑多元函数条件极值问题,并且在理论上揭示了这种方法与拉格朗日乘子法之间的内在联系.
4.期刊论文 朱章 关于多元函数极值存在的必要条件的研究 -黄石高等专科学校学报2002,18(2)
运用一元函数极值的概念和有关知识,并联系方向导数的概念,得出了多元函数极值存在的几种必要条件.
5.期刊论文 陈定元.王业庆 多元函数教学中应注意的几个问题 -安庆师范学院学报（自然科学版） 2005,11(2)
# ／ ’ ’ # 且 满足# ， ， 则当 #"! 时， 故必存在点 （# ， !） 满足 # ( #% ! $ "’ ， $%! $" ’， $ #" (+， !$ ’ ’ #， ／ !&’， 且# 故 # $ $ !# !( !" # ’ $ # ! ’ ’ ’ （# ，!） （ ， ） ・ $ & ! ! $ " # # " * ’ "。 ! ! $ !$ !( !& # # ’ ! （#， 在原点不连续。 所以! $）
［ ］同济大学)高等数学)下册)高等教育出版社， * * , , ) * ’ ) ［ ］吉林大学)数学分析)下册)人民教育出版社， ’ * , . , ) * ’ ) ［ ］陈纪修等)数学分析)下册)高等教育出版社， / ’ ! ! ! ) 0 )
简讯
“深化数学基础课程教学改革研讨会” 召开
由全国高校教学研究中心、 教育部非数学类专业数学基础课程教指委、 高教出版社和上海交大国家工科数学教学基地联合举 办的 “深化大学非数学专业类数学基础课程教学改革” 研讨会， 于’ ! ! /年 * !月 * 1 日 !’ ! 日在上海交大举行 ) 来自全国 2 ! 余所 学校近* “应对小康社会， 建设高等教育强国” 的报告， 他从规 ! !名代表参加了会议)中国高教学会周远请会长在会上做了题为 模、 质量、 结构、 效益和思想等方面详细阐述了对建设高等教育强国的思考)上海交大叶取源副校长就 “一流的理科， 强大的工科” 办学理念和该校数学系的发展， 在开幕式上讲了话。 武汉大学齐民友、 清华大学萧树铁、 冯克勤、 西安交大马知恩、 中国科大李尚志、 北京师大严士健、 上海交大乐经良等教授分别 作了报告， 围绕会议主题从不同角度对深化教改进行了探讨)高教社理工分社徐刚副社长介绍了该社在数学教材和教学资源建 设的情况和发展计划)会议还以三个半天分两个会场进行了分组报告和讨论交流 ) 代表们一致认为， 努力提高教学质量是当前 教学改革的主要任务)数学教改应在不断总结、 调整和完善中持续推向新的阶段； 改革会有不同看法， 会有阻力、 有差异， 不能追 （赵弛） 求一律； 改革需要思想的交流和碰撞， 需要实践和修正， 也需要探索和反思； 提高质量应注重提高学生的数学素质)
第.卷第’期
潘智民： 例说方向导数与连续
0 *
（ ， ） （#， （ ， ） ! ! ! & ! ! ! & ! ! ! $） ! " # $ % " # $ % " ! ’ ’ ! !$ ! " $ $" !" $ # #( $ 所以! （#， 在原点弱可微。 $） 取" ， 对原点的任一邻域 % （ ， 不管# 多么小， 在% （ 中取动点 （#， ， ’ )证明不连续： * #） #） $） !"
$# & & & ； ( #$ # # $， （#， # ’% " $） ’ ， #’ # # 其图形 （部分） 如图所示 ) 它是将 # % $ 坐标面 沿$ 轴 “ 卷” 成顶点在原点 “剪” 开， “掀” 起使边沿与 ! 轴重合，
的锥面。为保证是单值函数， 我们将$ 轴仍 “留” 在# % $ 面上， 所 “卷” 部分为不含边界的开区域。 沿任何方向" 由图形直观， 我们可知， 在 原 点 %， （#， 的方向导数都存在， 该方向 （射线） （下） 方 & 的上 $） 对应的曲面的直母线& ’对# % $ 面的斜率即方向导数 ) 同时由于有可无限接近于铅直的直母线， 则在原点的任 （#， 都 是 无 界 的， 不能使邻域中所有" 一邻域中 " $） （ 与" （ 能接近到任意预先指定的程度， 故" #， %， %） $） （#， 在原点不连续。严谨的证明如下： $） ， 则$ 记其与# 轴正向的夹角为 ／ 对任一方向&， !。若#$ # # 为常数* !。记 + , " )证明弱可微：
相似文献(10条) 1.期刊论文 汪全珍 多元函数极值判别法的一个简单证明 -高等数学研究2009,12(2)
直接利用一阶偏导数讨论多元函数的极值问题.通过将多元函数方向导数的定义与连续函数的性质相结合,得到多元函数极值存在的一个 充分条件.实例说明此判别法的运用及值得注意的相关必要条件.
2.期刊论文 唐军强.杨庆玺.马小霞.耿世佼 用方向导数法求解多元函数条件极值 -科技创新导报 2008,""(19)
在多元函数的微分学中， 关于函数 !’ （#， 在一点各方向导数存在 （即弱可微） 时， 是否可 " $） 以断定函数在该点连续这一问题， 回答是否定的。而使学生能接受并理解此判定却是一个难点。 事实上， 当两个偏导数存在时， 由于只能保证函数在沿着与坐标轴平行的四个方向上具连续性 （ " （#， （# ，#） ） ， 故不能由此肯定函数在一点的连续性。然而当各方向导数都存在， 则沿所有 " $） " #$ （#， （# ，#） 时， 学生便无法认识或理解函数 " （#， 在该点仍可能不连续的事 方向都有" " $） " $） #$ 实。 在高等数学教材中虽然有一些由弱可微推断连续性的反例， 但因其结构繁杂而不便反映连续 与弱可微两个概念的本质特点。本文构作了如下一结构简洁的二元函数：
1 #
高等数学研究 2 3 4 5 6 7 2 6 89 % : : 7 ; 7< = 3 > 7 < = 3 6 9 2
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例说方向导数与连续
潘智民
摘要 关键词 （西安建筑科技大学
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构造了一个例子说明多元函数沿任何方向的方向导数存在时仍不连续。 多元函数； 方向导数； 连续 中图分类号 % " ! &
’ ’ 也可以这样证明： 当点 （#， 沿此曲线趋于原点 # # & ( $ &#"! 过原点， $） $ 面上的曲线$ #
$ # ’ ’ （#， ， 不趋于! （ ， ） ， 故知! （#， 在原点不连续。 时， " # ( * ! ! " ! ! $） $( $） # 让我们再来审视一下多元函数的连续性。由于多元函数的连续性对函数本身有较强的要求：
本文链接：/Periodical_gdsxyj200402019.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：c20b36aa-e4e0-4af6-bfb8-9dcc00f9cfcf 下载时间：2010年8月8日