方向导数讲解
高等数学8.8 方向导数
f ( x0
x, y0
y)
f ( x0 , y0 )
f x (x0 , y0 )
(2). 沿着 x轴负向、 y 轴负向的方向导数是 f x , f y.
定理 如果函数z f ( x, y)在点 P(x0, y0) 处可微，那末函数在该
点沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
(6
x
2
8
y
2
1
)2
在此处沿方向n的方向导数.
z
解 令 F( x, y, z) 2x2 3 y2 z2 6,
故 nr |(1,1,1) Fx, Fy, Fz |(1,1,1) 4, 6, 2 ,
cos 2 ,
14
cos 3 ,
14
cos 1 .
f lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) lim fx ( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y o( )
l （x0 ,y0）0+
0+
fx ( x0 , y0 )cos f y ( x0 , y0 )cos
y
l
• P
且 P U( p). = | PP | (x)2 (y)2 ,
y
若 lim f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
P
••
x
0+
o
f
x
则称此极限为 z f ( x, y)在P处沿方向 l 的方向导数, 记为 l （x0 , y0）
l 0
z
复变函数第四版-第二章_2.2 数量场的方向导数和梯度
第二章 场论
15
梯度性质：梯度矢量具有下面两个重要性质，参看图(2 − 10)。 1）由前面（2.7）式可知， 方向导数等于梯度在该方向上的投 影，写作
u gradl u. l
2） 数量场u (M) 中每一点M 处的梯度，垂直于过该点的等值面 ，且指向函数u (M) 增大的一方。
在点M( 1, 0, 1 ) 处有
u 1 u u 1 , 0, x z 2 y 2
而l 的方向余弦
1 2 2 cos ,cos ,cos 3 3 3
由公式（2.2）就得到 u 1 1 2 1 2 1 0 l 3 23 23 2
第二章 场论
6
• 定理2.
M0 若在有向曲线C 上取定一点M0作为计算弧长s 的起点，并以 C 之正向取作s 增大的方向； M 为C 上的一点， 在点M 处沿C 之正向作一与C 相切的射线l ， 如图（2 − 9）。则在点M 处， 当函数u 可微、曲线C 光滑时，函数u 沿l 方向的方向导数就等 于函数u 对s 的全导数，即有下式成立
第二章 场 论
2.2 数量场的方向导数和梯度
第二章 场论
2
1. 方向导数
定义1：设 M 0为数量场u = u (M) 中的一点，从点 M 0 出发引一 条射线l，在l 上点M 0 的邻近取一动点M ，记 M 0 M ρ ，如 图（2 − 4）。若当M→ M 0 时，比式
u(M ) u(M 0 ) u lim M M 0 M 0M
由此解得 或 a=3,b=12,c=-4 a=3,b=12,c=-4
这两组数值，依次使点M处的梯度，指向Oz轴之正负向.
第二章 场论
方向导数讲解
三■三元函数方向导数的定义
对于三元函数u = f (x, y, z),它在空间一点
-
P (x, y, z )沿着方向 e = (cosa,cos 四cos/)
的方向导数，可定义为
= lim f (x +1 cos a, y +1 cos p, z +1 cos y)f (x，y，z)
所以方向导数是偏导数的推广。
定理 如果函数z = f (旳y)在点P (旳y)是可微分的，
那末对于任意单位向量et = (cosa,cos0),函数 z = f(X,
y)在该点方向l的方向导数都存在，且有 f _切 f
= cos a H--cos p o
dl dx dy
证明 由于函数可微，则增量可表示为
处的偏导数是否存在？方向导数是否存在?
思考题解答
Q
f (Ax ,0) - f (0,0)
z
(o,o)=Axmo—&—
Q
=lim1^1.
x
x Ax—0 A
同理等
（oo）= lim
， 匀项Ay
故两个偏导数均不存在.
沿任意方向，={x, y, z}的方向导数,
dz
lim f（歐, 颂）一 f
瓦(0,0) （0,0）
A,
f (x + Ax, y + Ay) 一 f (x, y) = ： Ax v'^y + o(p)
ox oy
取Ax = t cos a, Ay = t cos 0,两边同除以t,得到
f (x +1 cos a, y +1 cos 月)一 f (x, y)
什么是全导数、偏导数、方向导数？
什么是全导数、偏导数、方向导数？展开全文全导数是多元函数中的一个概念。
我们知道一元函数的情况下，导数就是函数的变化率，从几何意义上看就是：但是在多元的情况下比一元的复杂，下面我用二元函数来举例子（三元我也画不出来），比如这样一个曲面上的一点：在曲面上可以做无数条过点的曲线（图上随便画了三根）：每根曲线都可能可以（也有作不出来的情况，你想想一元的时候也有作不出切线的情况）作一根切线，比如（随便挑了一根切线来画，都画出来太乱了）：全导数的意义：每一根切线都和一个全导数“相关”，点有无数个全导数。
最精简的回答已经完了，后面我就要讲一些细节了，主要阐述下面两个细节：•方向导数、偏导数是特殊的全导数•每一根切线都和一个全导数“相关”，这个“相关”是什么意思？难道不就是切线的斜率就是全导数吗？顺便说一下，如果所有这些切线共面的话，那么这个平面就是切平面（全微分），可以参考我之前的回答如何直观理解全微分？。
1 参数方程为了继续讲下去，我们需要了解下所需要的技术手段：参数方程。
参数方程的用处很多，下面讲解下我们需要了解的部分。
1.1 通过参数方程来描述所有的曲线要描述所有这些曲线，我们就需要一些数学手段，这就是参数方程。
我们来看一下，随便画一条过点的曲线：这条曲线也是一个关于的函数，因此它与平面上的曲线具有一一对应的关系：因此我们只需要描述上的曲线就可以达到描述曲面的曲线的目的，这时候就很自然的可以使用参数方程了。
举个具体的例子，对于这个二元函数，函数图像是这样的：注意此时的都可以自由改变：但是如果增加参数方程：这有什么意义？此时的的变化就受到的约束：我们来把这根参数方程决定的直线放到三维空间去：根据之前的描述，这根直线可以决定一根曲面上的曲线：这根曲面上的曲线就是刚才说过的：1.2 参数方程可以拍扁三维图像从另外一个角度看，参数方程可以把三维的图像一巴掌拍扁：什么意思，我们来看看，还是这个二元函数：增加参数方程约束：把代入到里面去，可以得到：这就好比把空间的立体图形拍扁到了平面，这个特性在后面会用到，所以在这里先预热下。
方向导数
第八章第七节方向导数与梯度,PlϕP lαT lz =f (x ,y )•Mρ本质上，方向导数计算可归结为一元函数导数计算14 1414)e ()()e (i i f i if l l r rr rr −=−∂∂=∂∂存在，且时，当i l r r =e ;x f i f ∂∂=∂∂时，当i l r r −=e .)(xf i f ∂∂−=−∂∂)e ()()e (i i fi ifl l r r r r −=−∂∂=∂∂存在可微可偏导沿任意方向的方向导数存在处沿任意方向在)0,0(),(22y x y x f +==均不存在，)0,0()0,0(),(在从而y x f 1oα=5π/4的方向导数达沿梯度相反方向，∂f ∂l取得最小值： min (∂f ) = l ∂l− gradf (x, y)≤0f ( x, y)减小最快 .方向：是函数值增加最快的方向 grad f :模 : 等于函数的方向导数最大值2º 梯度的概念可以推广到三元函数 u = f ( x, y, z)grad f (x, y,z) = { ∂f , ∂f , ∂f } ∂x ∂y ∂z类似于二元函数，三元函数的梯度也有上述性质.例5 求函数 u = ln( x2 + y2 + z2 ) 在点 M (1,2, −2)处的梯度。
解grad uM= ⎜⎛ ⎝∂u, ∂u, ∂u ∂x ∂y ∂z⎟⎞ ⎠(1,2,−2)令r=x2 +y2 + z2,则∂u = ∂x1 r2⋅ 2x注意 x , y , z 具有轮换对称性= ⎜⎛ ⎝2 rx2,2 ry2,2z r2⎟⎞ ⎠ (1,2,−2)= 2 (1, 2, − 2) 93. 梯度的几何意义(1) 等高线z对函数 z = f ( x, y),曲线⎧ ⎨ ⎩z z= =f c(x,y)xoyL*在xOy面上的投影 L* : f ( x, y) = c称为函数 z = f (x, y)的等高(值)线 .z z =2−(x2+y2)z =c2ygrad f ( x, y)o xz =c1yf (x, y) =c1 f (x, y) =c2o x(c1 < c2 )(2) 等高线 f (x, y) = c 的法向量等高线 L∗：f ( x, y) = c⎩⎨⎧x y= =x y(x)L∗在点 P ( x, y)处的切向量：r T={1,d y } = {1, −fx }dxfy=1 fy{fy,−fx}( fy ≠ 0)L∗在点 P ( x , y )处的法向量：nr = ± { f x , f y }(nr ⋅r T=0)(3) 等高线上的法向量与梯度的关系L∗在点 P ( x, y)处的法向量为 nr, 则① nr // grad f ( x, y)②∂f=gradf ( x, y) cos(gradf(x,y)∧,nr)∂n = ± grad f ( x, y)= 0或π当 nr 与 grad f ( x, y)同方向时，∂f ∂n=gradf(x,y)=maxl∂f ∂l当 nr 与 grad f ( x, y )同方向时，∂f = ∂ngradf(x,y)=maxl∂f ∂l≥0沿梯度方向， f ( x, y)的值增加最快.故 z = f (x, y) 在点 P( x, y )的梯度恰为等高线 f (x, y) = c 在这点的一个法向量，其指向为：从数值较低的等高线到数值较高的等高线，而梯度的模等于函数沿这个法线方向的方向导数．梯度为等高线上yf ( x, y) = c2 grad f ( x, y) 的一个法向量，P其指向为：从数值较低的等高线f ( x, y) = c1到数值较高的等ox高线.(c1 < c2 )f (x, y) = c等高线同样, 对应三元函数 u = f ( x, y, z), 有等值面(等量面)f (x, y,z) = c, 当各偏导数不同时为零时, 等值面上 点P处的法向量为 grad f P . 函数在一点的梯度垂直于该点等值面,指向函数 增大的方向.类似地,设曲面c z y x f =),,(为函数),,(z y x f u = 的等量面，此函数在点),,(z y x P 的梯度的方向与 过点P 的等量面c z y x f =),,(在这点的法线的一 个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较 高的等量面，而梯度的模等于函数沿这个法线方 向的方向导数.4. 梯度的基本运算公式grad (1)r=C u C u C grad )(grad (2)=v u v u grad grad )(grad (3)±=±u v v u v u grad grad )(grad (4)+=uu f u f grad )()(grad (5)′=5. 梯度的应用梯度的应用非常广泛，如：(1) 计算方法中求解非线性方程组的最速下降法；(2) 在热力学中，引出热流向量：U k q grad −=r(其中U (P )为温度函数)表示物体中各点处热流动的方向和强度；(3) 在电磁场学中的电位u 与电场强度有关系：E ruE grad −=r这说明场强:垂直于等位面,且指向电位减少的方向.),z y 沿方向l (γzfβcos cos ∂∂+)沿方向l (方向角为可微时方可用。
方向导数
x = x0 处求导数。因此，求二元函数的偏导数就变成了
求一元函数的导数。
●同理可叙述
f ( x, y )在 P0 ( x0 , y 0 )处关于y的偏导数
∆y → 0
′ ( x 0 , y 0 ) = lim f ( x0 , y0 + ∆y ) − f ( x0 , y0 ) fy
∆y
●可推广至n元函数在某一点的偏导数问题 ●若函数z
f ( x, y ) 就变成了变量t的一元函数g (t ) = f ( x0 + tv1 , y 0 + tv 2 )
且g (0) = f ( x0 , y0 )
若
dg dt
t =0
f ( x0 + tv1 , y 0 + tv 2 ) − f ( x0 , y 0 ) g (t ) − g (0) = lim = lim t →0 t →0 t t
在点(2,1)处的全微分
∂z yexy , = ∂x ∂z 2 =e , ) ∂x (2,1
∂z xexy = ∂y ∂z 2 = 2e ) ∂y (2,1
例2. 计算函数 解: du=
1 cos y + (2 2
的全微分
yz ) d y ze
内容小结
1. 微分定义:
∆z =
+o(ρ) ρ = (∆x)2 + (∆y)2
解:
=0 =0
在之前已说明过 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续! !
注意事项：
●对于一元函数来说
∂z 也可理解为“微商” ； 但对于二元函数而言， 或 ∂x ∂z 则只能看成整体记号，不能理解为商。 ∂y
●一元函数中，可导必定连续；但是对于二元函数
方向导数的定义
2. 函数
在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是
.
提示:
则
(96考研)
z = f (x,y)
N
y l
例1. 求函数
在点 P0 (1, 1, 1) 沿方向
l : (2, -1, 3 ) 的方向导数 .
解:
向量 l 的方向余弦为
下面计算函数的偏导数：
P0 (1, 1, 1)
二、梯度的概念
grad f 的长度（或模）为 下面考察梯度与方向导数之间的关系.
方向导数公式 令向量
梯度的基本运算公式
内容小结
1. 方向导数 • 三元函数
在点 的方向导数为
沿方向 l (方向角
• 二元函数
在点
的方向导数为
沿方向 l (方向角为
2. 梯度 • 三元函数
在点
处的梯度为ຫໍສະໝຸດ • 二元函数3. 关系 • 可微 •
在点
处的梯度为
方向导数存在
偏导数存在
梯度在方向 l 上的投影.
作业:
P.127 1，2，3
• 当 l 与 x 轴反向
y
l
P0
O
x
方向导数的几何意义
z
z
lim
l P0 0
z
M
lim f (P) f (P0 )
0
Q
lim f ( x x , y y) f ( x , y )
z
z
方向导数
l
是曲面在
P0
点P0 处沿方向l 的变化率，
即半切线 MN 的斜率.
0
x
y
P0
方向导数,梯度
方向导数,梯度方向导数和梯度是数学中两个重要的概念，它们在各个领域都有着广泛应用。
本文将对这两个概念进行介绍和解释。
方向导数是向量值函数在某一点沿着某一方向的导数。
简单来说，方向导数描述了函数在某一点上沿着某一方向变化的速率。
在三维空间中，方向导数可以用以下公式进行表示：$$D_{\vec{u}}f=\lim_{h\to0}\frac{f(\vec{P}+h\vec{u})-f(\vec{P})}{h}$$其中，$\vec{P}$表示函数在某一点的位置，$\vec{u}$表示某一方向，$f(\vec{P}+h\vec{u})$表示函数在点$\vec{P}+h\vec{u}$处的取值。
方向导数可以看作是梯度沿着某一方向的投影，可以用以下公式计算：方向导数在物理学、工程学、经济学等各个领域都有着广泛应用。
例如，在物理学中，方向导数可以用来描述电场、热场等物理量的变化规律。
二、梯度$$\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{k}$$其中，$\vec{i}$、$\vec{j}$、$\vec{k}$分别表示$x$、$y$、$z$方向的单位向量。
梯度向量的模长表示函数在该点上的变化率最大值，方向与梯度向量相同的方向是函数在该点上变化率最快的方向。
在物理学、计算机图形学、优化等领域中，梯度都有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，梯度可以用来计算图像的边缘和纹理，从而实现图像的特征提取和识别。
总结：方向导数和梯度都是向量值函数中非常重要的概念。
方向导数描述了函数沿着某一方向变化的快慢，可以用来描述物理量的变化规律；梯度表示函数变化最快的方向和速率，可以用来计算图像的特征和优化问题的解。
掌握方向导数和梯度的概念和计算方法，可以为各个领域的学习和应用提供重要的数学工具。
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方向导数
一、问题的提出
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐
标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原
点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板
上任意一点处的温度与该点到原点的距离成
反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应
沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？
问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方
向（即梯度方向）爬行．
讨论函数在一点P 沿某一方向的变化率问题．),(y x f z =（如图）
它的参数方程为⎩⎨⎧+=+=βαcos cos 00t y y t x x +∞<<∞-t 方向向量的有向直线，
为
且以面上通过点是为一单位向量，
设→→→→e y x P xoy l j βi αe ),(cos +cos =00o y x
αl Q ∙x ∆y ∆∙∙P
β
二、定义
上任意一点，则有
是设l y x Q ),(,)cos ,cos (),(00→
→==--=e t t t y y x x PQ βα,t PQ =→
的有向距离。
到点为点称Q P t ),()(P f Q f z -=∆当沿着趋于时，
Q P l t
y x f t y t x f t ),()cos ,cos (lim 00000-++→βα,t z Δ考虑是否存在？
.),()cos ,cos (lim 00000),(00t
y x f t y t x f l f
t y x -++=∂∂→βα记为
定义 设函数 z=f(x,y) 在点P(00,y x )的某个邻域内有
定义，l 是一非零向量，)cos ,(cos βα=→
l e 是与l 同方
向的单位向量，如果极限 t
y x f t y t x f t ),()cos ,cos (lim 00000-++→βα存在，则称此极限为函数),(y x f z =在P 点处沿l 方向
的方向导数(directional derivative)，
依定义，函数),(y x f 在点P 沿着x 轴正向}0,1{1=e 、y 轴正向}1,0{2=e 的方向导数分别为y x f f ,；
沿着x 轴负向、y 轴负向的方向导数是 y x f f --,.
所以方向导数是偏导数的推广。
定理 如果函数),(y x f z =在点),(y x P 是可微分的，
那末对于任意单位向量)cos ,(cos βα=→
l e ，函数
),(y x f z =在该点方向l 的方向导数都存在，且有 βαcos cos y
f x f l f ∂∂+∂∂=∂∂。
证明由于函数可微，则增量可表示为
)(),(),(ρo y y
f x x f y x f y y x x f +∆∂∂+∆∂∂=-∆+∆+两边同除以,t 得到
取,cos ,cos βαt y t x =∆=∆
t
t o y f x f t
y x f t y t x f )(cos cos )
,()cos ,cos (+⋅∂∂+⋅∂∂=-++βαβα故有方向导数
t y x f t y t x f t ),()cos ,cos (lim 0-++→βα.cos cos βαy
f x f ∂∂+∂∂==∂∂l
f
例1 求函数y
xe z 2=在点)0,1(P 处沿从点)0,1(P 到点)1,2(-Q 的方向的方向导数.
例2 求函数22),(y xy x y x f +-=在点（1，1）沿与x 轴方向夹角为α的方向射线l 的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导 数有
（1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？
对于三元函数),,(z y x f u =，它在空间一点
),,(z y x P 沿着方向)cos ,cos ,(cos γβα=→l e
的方向导数 ，可定义为
=l f ∂∂三、三元函数方向导数的定义
t
z y x f γt z βt y αt x f t ),,()cos +,cos +,cos +(lim 0→
同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向L 的方向导数都存在，且有 .cos cos cos γβαz
f y f x f l f ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂
四、小结
方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）
方向导数的计算
（1.计算偏导数；2.计算单位向量的坐标）
（用定义计算）
讨论函数2
2),(y x y x f z +==在)0,0(点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？思考题
x
f x f x z
x ∆-∆=∂∂→∆)0,0()0,(lim 0)0,0(.||lim 0x
x x ∆∆=→∆ 同理：)0,0(y z ∂∂y
y y ∆∆=→∆||lim 0故两个偏导数均不存在.
思考题解答
沿任意方向},,{z y x l = 的方向导数,ρ
ρ)0,0(),(lim 0)0,0(f y x f l z
-∆∆=∂∂→1)()()()(lim 2
2220=∆+∆∆+∆=→y x y x ρ故沿任意方向的方向导数均存在且相等.。