高考数学二轮复习 专题限时集训(十五)圆锥曲线的定义、方程与性质配套作业 理(解析版,新课标)
专题 圆锥曲线的定义、方程与性质(课件)2023届高考数学二轮专题复习
√
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解析：由题意可知，抛物线 的标准方程为 , ,设直线 的方程为 , , ,联立得 消去 ,得 , ,则 , . ,所以当 时， 的面积取得最小值，最小值为2，故选D.
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（2）（2022·新高考卷Ⅱ）已知直线 <m></m> 与椭圆 <m></m> 在第一象限交于 <m></m> ， <m></m> 两点， <m></m> 与 <m></m> 轴、 <m></m> 轴分别交于 <m></m> ， <m></m> 两点，且 <m></m> , <m></m> ，则 <m></m> 的方程为__________________．
，所以 ①,又 ②, 得 ,所以四边形 的面积为18.
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考点二 圆锥曲线的几何性质
例2.（1）（2022·陕西西安五校高三联考）已知双曲线 <m></m> 的离心率为2，则双曲线 <m></m> 的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
解析：由题意可知，双曲线的实半轴长的平方 ,虚半轴长的平方 ,所以双曲线的离心率 满足 ,从而 ,所以双曲线的渐近线方程为 ,故选A.
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2. <m></m> ， <m></m> 是椭圆 <m></m> 的两个焦点， <m></m> 是椭圆 <m></m> 上异于顶点的一点， <m></m> 是 <m></m> 的内切圆圆心，若 <m></m> 的面积等于 <m></m> 的面积的3倍，则椭圆 <m></m> 的离心率为_ _.
(完整版)圆锥曲线的定义、方程和性质知识点总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
高考数学《圆锥曲线的概念与性质,与弦有关的计算问题》复习
高考考点
1. 圆锥曲线的定义、标准方程与性质 2. 圆锥曲线中的最值（范围）及与弦有关的问题 3. 直线与圆锥曲线位置关系的判断与证明问题 4. 圆锥曲线中的定点，定值问题
考点解读
1.求圆锥曲线的标准方程、离心率、双曲线的渐近线方程 2.考查圆锥曲线的定义、性质
设 AB 是过抛物线 y2＝2 px p 0 焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2 ) ，
则
①x1x2＝
p2 4
，
y1 y2＝
p2
；
②弦长
AB
＝x1＋x2＋p＝
2 sin
p
2
( 为弦 AB 的倾斜角)；
③ 1 1 2 ；④以弦 AB 为直径的圆与准线相切． | FA | | FB | p
y=
b a
x；
焦点坐标 F1(－c,0)，F2 c,0 ．
②双曲线
y2 a2
x2 b2
=1
(a
0，b
0) 的渐近线方程为
y=
a b
x，
焦点坐标 F1(0，－c)，F2 (0，c) ．
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程
①抛物线 y2＝ 2 px p 0 的焦点坐标为 ( p ,0) ，准线方程为 x＝ p ．
3．与相交有关的向量问题的解决方法 在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时， 一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系， 再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解． 4.圆锥曲线中最值问题：主要是求线段长度的最值、三角形面积的最值等．
5.圆锥曲线中的范围问题：关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系． 该问题主要有以下三种情况： （1）距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解； （2）若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程， 再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标， 这个切点就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上， 则可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解．
（江西专用）高考数学二轮复习 专题限时集训（十五）圆锥曲线的定义、方程与性质（解析版）
专题限时集训十五[第15讲圆锥曲线的定义、方程与性质]时间：45分钟1．若抛物线＝错误!2的焦点与双曲线错误!－2＝1的一个焦点重合，则双曲线错误!－2＝1的离心率为D．22．已知椭圆错误!＋错误!＝1的离心率e＝错误!，则m的值为A．3 或错误!或33．已知双曲线2－错误!＝1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且错误!错误C，使得直线m被截得的弦AB恰好被点N所平分13．已知椭圆错误!＋错误!＝1a>b>0的离心率为错误!，椭圆上任意一点到右焦点F的距离的最大值为错误!＋11求椭圆的方程；2已知点Cm，0是线段OF上一个动点O为坐标原点，是否存在过点F且与轴不垂直的直线与椭圆交于A，B点，使|AC|＝|BC|，并说明理由．14．已知椭圆C：错误!＋错误!＝1a>b>0的焦点为F1，F2，1F＝错误!，解得m＝3；当焦点在轴上时，错误!＝错误!，解得m＝错误!3．B [解析] 方法1：根据已知得点M的轨迹方程为2＋2＝3，与双曲线方程联立消掉得2＝错误!，解得||＝错误!，即为点M到轴的距离．方法2：设|错误!，|错误!得m·n＝4，由S△F1MF2＝错误!m·n＝错误!|F1F2|·d，解得d＝错误!故选B4．D [解析] 设点A1，1，B2，2．因为A，B两点到直线＝－2的距离之和等于5，所以1＋2＋2＋2＝1＋2＝1由抛物线的定义得|AB|＝1＋1＋2＋1＝3而过抛物线焦点弦的最小值当弦AB⊥轴时，是最小焦点弦为4，所以不存在满足条件的直线．【提升训练】5．D [解析] 设2a2a4a2a4a，由错误!得b2＋错误!a22＋错误!ma2＋a2m2－a2b2＝0，据题意可知此方程有两根为c，－c，所以有错误!解得m＝0，且错误!＝－c2，将b2＝a2－c2代入有e＝错误!＝错误![解析] |AF|＋|BF|＝6，由抛物线的定义即|AD|＋|BE|＝6，又线段AB的中点到准线的距离为错误!|AD|＋|BE|＝3，抛物线的准线为＝－错误!，所以线段AB的中点到轴的距离为错误!12．解：1因点的斜率不存在时，不合题意．②当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为－2＝－4，联立方程组错误!消去，得22－82－4＋4＋2－42＝0，*∴1＋2＝错误!＝8，解得＝1此时，方程*为2－8＋4＝0，其判别式大于零，∴存在满足题设的直线m且直线m的方程为：－2＝－4，即－－2＝0方法2：1，1，B2，2，依题意，得错误!易判断直线m不可能垂直于轴，∴设直线m的方程为－4＝a－2，联立方程组错误!消去，得2－4a＋8a－16＝0，∵Δ＝16a－12＋48>0，∴直线与轨迹C必相交．又1＋2＝4a＝4，∴a＝1∴存在满足题设的直线m，且直线m的方程为：－2＝－4，即－－2＝0方法3：1，1，B2，2，依题意，得错误!∵A1，1，B2，2在轨迹C上，∴有错误!将①－②，得错误!－错误!＝41－2．当1＝2时，弦AB的中点不是N，不合题意，∴错误!＝错误!＝1，即直线AB的斜率＝1，注意到点N在曲线C的张口内或：经检验，直线m与轨迹C相交，∴存在满足题设的直线m，且直线m的方程为：－2＝－4，即－－2＝013．解：1因为错误!所以错误!∴b＝1，椭圆方程为：错误!＋2＝12由1得F1，0，所以0≤m≤1，假设存在满足题意的直线，设的方程为＝－1，代入错误!＋2＝1，得22＋12－42＋22－2＝0，设A1，1，B2，2，则1＋2＝错误!，12＝错误!，①∴1＋2＝1＋2－2＝错误!，设AB的中点为M，则M错误!，－错误!，∵|AC|＝|BC|，∴CM⊥AB，即CM·AB＝－1，∴错误!·＝－1⇒1－2m2＝m，∴当0≤m<错误!时，＝±错误!，即存在这样的直线；当错误!≤m≤1，不存在，即不存在这样的直线14．解：1因为以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，所以b＝c，可得a＝错误!c，又因为△PF1F2的周长为4＋2错误!，可得a＋c＝2＋错误!，所以c＝错误!，可得a＝2，b＝错误!，所求椭圆C的方程为错误!＋错误!＝12证明：直线的方程为0＋0＝错误!，且错误!＋错误!＝错误!，记Q1，1，R2，2，联立方程错误!消去得错误!＋2错误!2－错误!0＋错误!－4错误!＝0，∴1＋2＝错误!，12＝错误!，12＝错误!错误!－01错误!－02＝错误!错误!－错误!01＋2＋错误!1错误!＝错误!，从而12＋12＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!＝0，∴∠QOR＝90°为定值．。
2022高考数学文二轮专项限时集训(十五)圆锥曲线的定义、方程与性质
2022高考数学文二轮专项限时集训(十五)圆锥曲线的定义、方程与性质[第15讲 圆锥曲线的定义、方程与性质](时刻：10分钟＋35分钟)4．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF →＝FB →，BA →·BC →＝12，则p 的值为________．1．椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在椭圆上，MF 1→·MF 2→＝0，则M 到y 轴的距离为( )A.233B.263C.33 D. 32．已知定点A (1,0)和定直线l ：x ＝－1，在l 上有两动点E ，F 且满足AE →⊥AF →，另有动点P ，满足EP →∥OA →，FO →∥OP →(O 为坐标原点)，则动点P 的轨迹方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝4x (x ≠0)C ．y 2＝－4xD ．y 2＝－4x (x ≠0)3．设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝( )A ．2 2 B.10 C ．4 2 D ．2104．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)，A 是椭圆长轴的一个端点，B 是椭圆短轴的一个端点，F 为椭圆的一个焦点．若AB ⊥BF ，则该椭圆的离心率为( )A.5＋12B.5－12C.5＋14D.5－145．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132 B ．a 2＝13C ．b 2＝12 D ．b 2＝26．如图15－1，抛物线C 1：y 2＝2px 和圆C 2：⎝⎛⎭⎫x －p 22＋y 2＝p 24，其中p >0，直线l 通过抛物线C 1的焦点，依次交抛物线C 1D 四点，则AB →·CD →的值为( )A.p 24B.p 23 C.p 22 D ．p 27．已知双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，则b ＝________.8．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为T ，且TF 与x 轴垂直，则椭圆的离心率为________．9．点P 是椭圆x 225＋y 216＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且△PF 1F 2的内切圆半径为1，当P 在第一象限时，P 点的纵坐标为________．10．已知两点A ，B 分别在直线y ＝x 和y ＝－x 上运动，且|AB |＝455，动点P 满足2OP →＝OA →＋OB →(O 为坐标原点)，点P 的轨迹记为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过曲线C 上任意一点作它的切线l ，与椭圆x 24＋y 2＝1交于M ，N 两点，求证：OM →·ON →为定值．11．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1、F 2，且|F 1F 2|＝2，点⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且△AF 2B 的面积为1227，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．专题限时集训(十五)【基础演练】1．B 【解析】 由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，又∵其准线方程为x ＝－p2＝－2，∴p ＝4，所求抛物线方程为y 2＝8x .2．D 【解析】 由题意a ＝4，c 2＝8，∴c ＝22，因此离心率为e ＝c a ＝224＝22.3．C 【解析】 双曲线方程可化为x 24－y 28＝1，因此a 2＝4，得a ＝2，因此2a ＝4.故实轴长为4.4．1 【解析】 设A ⎝⎛⎭⎫t 22p ，t ，B ⎝⎛⎭⎫－p 2，y B ，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，由AF →＝FB →得，⎝⎛⎭⎫p 2－t 22p ，－t ＝(－p ，y B )，由此得t 2＝3p 2，y B ＝－t .设C ⎝⎛⎭⎫－p 2，t ，则BA →＝⎝⎛⎭⎫t 22p ＋p 2，2t ，BC →＝(0,2t )，因此BA →·BC→＝12得4t 2＝12，故p ＝1.【提升训练】1．B 【解析】 椭圆的焦点坐标是(±3，0)，点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，该圆的方程是x 2＋y 2＝3，即y 2＝3－x 2，代入椭圆方程得x 24＋3－x 2＝1，解得x 2＝83，即|x |＝263，即点M 到y 轴的距离．2．B 【解析】 设P (x ，y )，E (－1，y 1)，F (－1，y 2)(y 1，y 2均不为0)，由EP →∥OA →⇒y 1＝y ，即E (－1，y )．由FO →∥OP →⇒y 2＝－y x .由AE →⊥AF →⇒y 2＝4x (x ≠0)．故选B.3．D 【解析】 依照已知△PF 1F 2是直角三角形，向量PF 1→＋PF 2→＝2PO →，依照直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出.PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝2|PO →|＝|F 1F 2→|＝210.4．B 【解析】 因为AB ⊥BF ，因此k AB ·k BF ＝－1，即b a ·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1，即b 2＝ac ，因此a 2－c 2＝ac ，两边同除以a 2，得e 2＋e －1＝0，因此e ＝－1±52(舍负)，故选B.5．C 【解析】 由双曲线x 2－y 24＝1知渐近线方程为y ＝±2x ，又∵椭圆与双曲线有公共焦点，∴椭圆方程可化为b 2x 2＋(b 2＋5)y 2＝(b 2＋5)b 2，联立直线与椭圆方程消y 得，x 2＝(b 2＋5)b 25b 2＋20.又∵C 1将线段AB 三等分， ∴1＋22×2(b 2＋5)b 25b 2＋20＝2a 3，解之得b 2＝12.6．A 【解析】 当l 斜率存在时，设l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立消去y 得k 2x 2－(pk 2＋2p )x ＋p 2k 24＝0，设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，抛物线的焦点为F ，则|AB |＝|AF |－|BF |＝x 1＋p 2－p 2＝x 1，同理|CD |＝x 2，∴AB →·CD →＝|AB ||CD |＝x 1x 2＝p 24；当l ⊥x 轴时，易得|AB |＝|CD |＝p 2，∴AB →·CD →＝p24，故选A. 7．2 【解析】 易知y ＝bx ＝2x ，故b ＝2.8.2－1 【解析】 依题意c ＝p 2，b 2a ＝p ，∴b 2＝2ac ，∴c 2＋2ac －a 2＝0，∴e 2＋2e －1＝0，解得e ＝2－1.9.83 【解析】 |PF 1|＋|PF 2|＝10，|F 1F 2|＝6，S △PF 1F 2＝12(|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|)·1＝8＝12|F 1F 2|·y P ＝3y P .因此y P ＝83.10．【解答】 (1)解法一：设P (x ，y )，A (x 1，x 1)，B (x 2，－x 2)．∵2OP →＝OA →＋OB →，∴P 是线段AB 的中点，∴⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝x 1－x 22.∵|AB |＝455，∴(x 1－x 2)2＋(x 1＋x 2)2＝165，∴(2y )2＋(2x )2＝165.∴化简得点P 的轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝45.解法二：∵2OP →＝OA →＋OB →，∴P 为线段AB 的中点． ∵A ，B 分别在直线y ＝x 和y ＝－x 上，∴∠AOB ＝90°. 又|AB |＝455，∴|OP |＝255，∴点P 在以原点为圆心，255为半径的圆上． ∴点P 的轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝45.(2)证明：当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝kx ＋m ，∵l 与C 相切，∴|m |1＋k 2＝255，∴m 2＝45(1＋k 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－4＝0，(1＋4k 2)y 2－2my ＋m 2－4k 2＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2，y 1y 2＝m 2－4k 21＋4k 2. ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝5m 2－4k 2－41＋4k 2. 又m 2＝45(1＋k 2)，∴OM →·ON →＝0， 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝±255，代入椭圆方程得M ⎝⎛⎭⎫255，255，N ⎝⎛⎭⎫255，－255或M ⎝⎛⎭⎫－255，255，N ⎝⎛⎭⎫－255，－255，现在，OM →·ON →＝45－45＝0. 综上所述，OM →·ON →为定值0. 11．【解答】 (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意可得椭圆C 两焦点坐标分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．∴2a ＝(1＋1)2＋⎝⎛⎭⎫322＋(1－1)2＋⎝⎛⎭⎫322＝52＋32＝4.∴a ＝2，又c ＝1，∴b 2＝4－1＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)解法一：当直线l ⊥x 轴时，运算得到：A ⎝⎛⎭⎫－1，－32，B ⎝⎛⎭⎫－1，32，S △AF 2B ＝12·|AB |·|F 1F 2|＝12×3×2＝3，不符合题意．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，消去y得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.明显Δ>0成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2. 又|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2 ＝1＋k 2·64k 4(3＋4k 2)2－4(4k 2－12)3＋4k 2 ＝1＋k 2·12k 2＋13＋4k 2＝12(k 2＋1)3＋4k 2，圆F 2的半径r ＝|k ×1－0＋k |1＋k 2＝2|k |1＋k 2，因此S △AF 2B ＝12|AB |·r ＝12·12(k 2＋1)3＋4k 2·2|k |1＋k 2＝12|k |1＋k 23＋4k 2＝1227， 化简，得17k 4＋k 2－18＝0，即(k 2－1)(17k 2＋18)＝0，解得k ＝±1.因此r ＝2|k |1＋k 2＝ 2. 故圆F 2的方程为(x －1)2＋y 2＝2.解法二：设直线l 的方程为x ＝ty －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －1，x 24＋y 23＝1，消去x 得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，Δ>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1·y 2＝－94＋3t 2.因此|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1·y 2＝36t 2(4＋3t 2)2＋364＋3t 2＝12t 2＋14＋3t 2， 又圆F 2的半径为r ＝|1－t ×0＋1|1＋t 2＝21＋t 2， 因此S △AF 2B ＝12·|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|＝12t 2＋14＋3t 2＝1227，解得t 2＝1， 因此r ＝21＋t 2＝ 2.故圆F 2的方程为(x －1)2＋y 2＝2.。
(统考版)2023高考数学二轮专题复习：圆锥曲线的定义、方程与性质课件
3 6
4
答案：
x2
(2)[2022·新高考Ⅱ卷]已知直线l与椭圆6 Nhomakorabeay2
+ ＝1在第一象限交于A，
3
B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2 3，
x＋ 2y－2 2＝0
则l的方程为______________．
归纳总结
直线与圆锥曲线关系的求解技巧
18
16
2
x
y2
C． + ＝1
3
2
答案：B
x2
y2
B． + ＝1
9
8
2
x
D． ＋y2＝1
2
(2)[2022·贵州毕节模拟预测]如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西
安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作
的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作．该杯主体部分的轴截面可
以近似看作双曲线C的一部分，若C的中心在原点，焦点在x轴上，离
(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在
使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，
要检验直线与圆锥曲线是否相交．
(2)椭圆
x2
a2
y2
+ 2
b
＝1(a>b>0)截直线所得的弦的中点是P(x0，y0)(y0≠0)，
b2 x0
则直线的斜率为－ 2 .
a y0
x2
c
a
2c
2a
＝ 7m，所以C的离心率e＝ ＝ ＝
F1 F2
PF1 − PF2
＝
7m
7
圆锥曲线的定义、方程与性质(题型归纳)
圆锥曲线的定义、方程与性质【考情分析】1.考查特点:(1)圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点,多以选择题、填空题或解答题第(1)问的形式命题,难度中等;(2)直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点,尤其是有关弦长计算及存在性问题,运算量大,能力要求高,突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.2.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力以及创新能力.3.学科素养:逻辑推理、直观想象、数学运算.【题型一】圆锥曲线的定义及标准方程【典例分析】1（2021·山东省实验中学高三模拟）已知双曲线22525x y -=上一点P 到其左焦点F 的距离为8，则PF 的中点M 到坐标原点O 的距离为（）A ．9B ．6C ．5D ．4【答案】A【解析】由22525x y -=，得221255x y -=，则2225,5a b ==，所以230c =，所以5,a b c ===，设双曲线的右焦点为1F ，因为P 到其左焦点F 的距离为85a c <+=+P 在双曲线的左支上，所以1210PF PF a -==，所以118PF =，因为M 为PF 的中点，O 为1FF 的中点，所以1192OM PF ==，故选：A 2．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，若点A 在l 上，点B 在抛物线上，l 与x 轴的交点为C ，ABF是正三角形，且四边形ABFC 的面积是，则p =（）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】由抛物线的定义及ABF 为正三角形，可知//AB x 轴，所以60AFC ︒∠=，从而可知2AB p =，AC =，又因为四边形ABFC 的面积是，所以有22p p+=2p =.故选：C.【提分秘籍】【变式演练】1．（2021·江苏金陵中学高三模拟）以椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形，且椭圆C 上的点到左焦点的最大距离为6，则椭圆C 的标准方程为（）A ．22143x y +=B ．22184x y +=C ．2211612x y +=D ．2216448x y +=【答案】C【解析】由题意知：短轴端点与焦点形成等边三角形，则2a c =，椭圆上的点到左焦点最大距离为6，即6a c +=，则4a =，2c =，23b =则椭圆的标准方程为：2211612x y +=.故选：C.2．【多选】（2021·福建福州市·高三二模）在ABC 中，4AB =，M 为AB 的中点，且CA CB CM -=，则下列说法中正确的是（）A ．动点C 的轨迹是双曲线B ．动点C 的轨迹关于点M 对称C ．ABC 是钝角三角形D ．ABC面积的最大值为【答案】BD【解析】以M 为原点，AB 为x 轴建立直角坐标系．设CM =r ，此时C 点在以M 为圆心，r为半径的动圆上．由CA CB r -=，知C 点在以AB 为焦点，2r a =的双曲线22221x y a b -=上且22242AB a b ⎛⎫+== ⎪⎝⎭．对点(),C x y 有222x y r +=，22221444x y r r-=-，从而2223(16)64y r r =-，当28r =时，2y最大，故yABC S ，故D 正确；2r =时，得到另一个C 点'C ，此时ABC 为直角三角形，故C 错误；∵CA CB -非定值，∴C 不以双曲线为轨迹，故A 错误；∵CM CA CB -=，∴一定有C 关于M 的对称点关于原点对称，故B 正确．故选：BD ．3.已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，M 是抛物线C 上一点，若FM 的延长线交x 轴的正半轴于点N ，交抛物线C 的准线l 于点T ，且FM →＝MN →，则|NT |＝________.【答案】3【解析】由x 2＝4y ，知F (0，1)，准线l ：y ＝－1.设点M (x0，y 0)，且x 0>0，y 0>0.由FM →＝MN →，知点M 是线段FN 的中点，N 是FT 中点，利用抛物线定义，|MF |＝|MM ′|＝y 0＋1，且|FF ′|＝2|NN ′|＝2.又2(y 0＋1)＝|FF ′|＋|NN ′|＝3，知y 0＝12.∴|MF |＝12＋1＝32，从而|NT |＝|FN |＝2|MF |＝3.【题型二】圆锥曲线的几何性质【典例分析】1．已知1F ，2F 分别为椭圆E ：()222210y x a b a b +=>>的两个焦点，P 是椭圆E 上的点，12PF PF ⊥，且2112sin 3sin PF F PF F ∠=∠，则椭圆E 的离心率为（）A ．102B ．4C D ．54【答案】B【解析】1F ，2F 分别为椭圆E ：()222210y x a b a b+=>>的两个焦点，P 是椭圆E 上的点，12PF PF ⊥，且2112sin 3sin PF F PF F Ð=Ð，由正弦定理可得213PF PF =，令1233PF PF n ==，则32n n a +=，22294n n c +=，可得22542a c =，所以椭圆的离心率为：104c e a===.故选：B ．2．（2021·天津南开中学高三模拟）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的中心为O ，左焦点为F ，左顶点为A ，点P 为双曲线右支上一点，直线OP 交双曲线于另一点Q ，若直线AQ 恰好平分线段PF ，则该双曲线的离心率为__________．【答案】3【解析】设PF 的中点为M ，连接OM ，O 、M 分别为PQ 、PF 的中点，则//OM FQ 且12OM FQ =，所以，12OA OM AF FQ ==，即12a c a =-，3c a =∴，因此，该双曲线的离心率为3ce a ==.故答案为：3.【提分秘籍】【变式演练】1．（2021湖南长沙长郡中学高三模拟）已知抛物线28y x =的焦点为F ，经过点P (1，1)的直线l 与该曲线交于A ､B 两点，且点P 恰好为AB 的中点，则||||+=AF BF （）A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】B【解析】抛物线28y x =中，4p =，其焦点()2,0F ，准线方程2x =-，如图过点,,A B P 作准线的垂线，垂足为,,M N R ，由抛物线定义可知，||||AF BF AM BN +=+，而P 恰好为AB 的中点，故PR 是梯形ABNM 的中位线，故2AM BN PR +=，又P (1，1)，故132pPR =+=，所以||||236AF BF +=⨯=.故选：B.2．已知1F ，2F 分别为双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过点2F 作圆222x y a +=的切线交双曲线左支于点M ，且1260F MF ∠︒＝，则该双曲线的渐近线方程为__________．【答案】313y x ⎛⎫=±+⎪ ⎪⎝⎭．【解析】设切点为A ，过1F 作21F B MF ⊥，垂足为B ，由题意可得OA a =，2OF c =，222AF c a b =-=，由OA 为12BF F △的中位线，可得12BF a =，22BF b =，又1260F MF ∠=︒，可得114sin 603BF a MF ==︒，23aMB =，22223aMF MB BF b =+=+，又21242233a a MF MF b a -=+-=，所以313b a ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以双曲线的渐近线方程为313y x ⎛⎫=±+ ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：313y x ⎛⎫=±+ ⎪ ⎪⎝⎭．3.已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________.【答案】3－1.【解析】设椭圆的右焦点为F (c ，0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知A )23,2(c c，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，则4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，e 4－8e 2＋4＝0，∴e 2＝4＋23(舍)，e 2＝4－2 3.由0<e <1，得e ＝3－1.【题型三】直线与圆锥曲线【典例分析】1．（2021·浙江镇海中学高三模拟）已知直线1y x =-与抛物线24y x =交于A ，B 两点.若点(1,)C m -满足90ACB ∠= ，则m =（）A ．1-B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】直线1y x =-与抛物线24y x =联立得：2216104y x x x y x=-⎧⇒-+=⎨=⎩，设1122(,),(,)A x y B x y ，所以12126,1x x x x +==，点(1,)C m -满足90ACB ∠= ，所以有：21121121212120(1,)(1,)01()0,CA CB x y m x y m x x x x y y m y y m ⋅=⇒+-+-=⇒++++-++=121212121212,24,(1)(1)()14y y x x y y x x x x x x +=+-==--=-++=-，所以2161440,m m ++--+=解得2m =，故选：C2．已知椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点为F ，离心率为2，过点F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点为()1,1，则直线l 的斜率为（）A ．14-B ．34-C ．12-D ．1【答案】A【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，由题意可得122x x +=，122y y +=，将A ，B 的坐标的代入椭圆的方程：22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差可得22221212220x x y y a b--+=，所以221212221212y y x x b b x x a y y a-+=-⋅=--+，又因为离心率2c e a ==，222c a b =-，所以22234a b a -=，所以2214b a -=-，即直线AB 的斜率为14-，故选：A.【提分秘籍】1.求解弦长的4种方法(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.(2)联立直线与圆锥曲线方程,解方程组求出两个交点坐标,代入两点间的距离公式求解.(3)联立直线与圆锥曲线方程,消元得到关于x 或y 的一元二次方程,利用根与系数的关系得到(x 1-x 2)2或(y 1-y 2)2,代入两点间的距离公式求解.(4)当弦过焦点时,可结合焦半径公式求解弦长.[提醒]利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形,若k 不存在,可直接求交点坐标再求弦长.涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用.2.处理中点弦问题常用的2种方法(1)点差法:设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x 1+x 2,y 1+y 2,2121x x y y --三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系:联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.[提醒]中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端:根与系数的关系在解题过程中易产生漏解,需关注直线的斜率问题;点差法在确定范围方面略显不足.【变式演练】1．（2021·陕西高三模拟）已知抛物线22(0)x py p =>焦点为,F O 为坐标原点，直线l 过点F 与抛物线交于,A B 两点，与x 轴交于()2,0C p ，若17AB =，则OCF △的面积为___________.【答案】32【解析】抛物线22(0)x py p =>焦点(0,)2p F ，而直线l 过点(2,0)C p ，则直线l 的斜率为14k =-，其方程为124p y x -=-，即42x y p =-+，由2422x y px py=-+⎧⎨=⎩消去x 得228920y py p -+=，显然0∆>，设1122(,),(,)A x y B x y ，则1298py y +=，而17AB =，由抛物线定义知，1217||||()()17228p p p AB AF BF y y =+=+++==，解得8p =，即(0,4)F ，()16,0C ，而90FOC ∠= ，于是得1||||322OCF S OC OF =⋅⋅= ，所以OCF △的面积为32.故答案为：322．（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）已知椭圆C ：2214x y +=.（1）椭圆C 是否存在以点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦？若存在，求出弦所在的直线l 的方程，若不存在，请说明理由；（2）已知椭圆C 的左､右顶点分别为A ，B ，点P 是椭圆C 上的点，若直线AP ，BP 分别与直线3y =交于G ，H 两点，求线段GH 的长度取得最小值时直线GP 的斜率.【解析】（1）因为22(1)111422-⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，所以点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 的内部，则椭圆C 存在以点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦.设弦所在的直线l 与椭圆C 相交于()11,M x y ，()22,N x y ，则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，得22222121044x x y y -+-=，即()()()()2121212104x x x x y y y y -++-+=.又122x x +=-，121y y +=，()()2121(2)104x x y y --∴+-⨯=，整理得212112y y x x -=-.所以直线l 的方程为11(1)22y x =+-，即220x y -+=.（2）因为A ，P ，G 三点共线所以可知当线段GH 的长度取得最小值时，直线AP 的斜率k 显然存在，且0k >，()2,0A -，设直线AP 的方程为(2)y k x =+，从而点32,3G k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.联立22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 整理得()222214161640k x k x k +++-=，0∆>设点()00,P x y ，则202164(2)14k x k--⋅=+.所以2022814k x k -=+，从而02414k y k =+，所以222284,1414k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.又点()2,0B ，则直线PB 的斜率为14k-.由1(2)43y x k y ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，得1223x k y =-+⎧⎨=⎩，所以(122,3)H k -+.故332122124GH k k k k=-+-=+-.又0k >，则31212k k +≥=，当且仅当312k k =，即12k =时等号成立所以当12k =时，线段GH 的长度取得最小值.所以此时直线GP 的斜率为12.1．（2021山师大附中高三模拟）“1n >”是“方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0n <时，方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的双曲线；当0n >时，221x ny +=可化为2211y x n+=，因为椭圆的焦点在x 轴上，所以11n>即1n >，故方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线时，0n <或1n >，故“1n >”是“方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线”的充分不必要条件，故选：A.2．（2021·浙江镇海中学高三模拟）已知抛物线2y =的准线与双曲线()22210x y a a-=>相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若FAB 为直角三角形，则实数a 的值为（）A ．19B ．29C ．13D．3【答案】D【解析】2y =的准线x =，焦点)，不妨设A点坐标2a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，FAB 为直角三角形，∠AFB ＝90°，由对称性可知，FAB 为等腰直角三角形，由直角三角形的性质得a a=，解得23a =.故选：D 3．已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，1F 、2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，若15PF =，则2PF =（）A ．1B ．1或9C ．3或9D ．9【答案】D【解析】由题意知42a=，所以2a =，所以c ==，所以152PF a c =<+=+，所以点P 在双曲线C 的左支上，所以214PF PF -=，所以29PF =，故选：D.4．（2021·山东省淄博市实验中学高三模拟）2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 2>a 1c 2.④1212c c a a <其中正确式子的序号是（）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④【答案】B【解析】由图可得1212,a a c c >>，所以1122a c a c +>+，即①错误；因为1122,a c PF a c PF -=-=，所以1122a c a c -=-，即②正确，由1122a c a c -=-，得1221a c a c +=+，即22221212212122a c a c a c a c ++=++，即22221112222122a c a c a c a c -+=-+,即221221122()0b b a c a c -=->，可得2112a c a c >，即③正确，由2112a c a c >，可得1212c c a a >，即④错误；综上所述选项B 正确.故选:B.5．（2021·湖南长沙雅礼中学高三模拟）P 为双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）上一点，1F ，2F 分别为其左、右焦点，O 为坐标原点.若OP b =，且2112sin 3sin PF F PF F ∠∠＝，则C 的离心率为（）ABC ．2D【答案】B【解析】由2112sin 3sin PF F PF F ∠∠＝，以及正弦定理可得213PF PF =，因为122PF PF a -=，所以13PF a =，2PF a =，因为2OF c =，OP b =，所以22OPF π∠=，所以2cos a OF P cÐ=，在12F F P 中，()()22212223cos cos 22a c a a F F P OF P a cc+-Ð==Ð=×.化简可得c =，所以C的离心率==ce a.故选：B 6．设1F ，2F 为椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，1F ，2F 分别为左､右焦点，1C 与2C 在第一象限的交点为M .若12MF F △是以线段1MF 为底边的等腰三角形，且双曲线2C 的离心率72,2e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则椭圆1C 离心率的取值范围是（）A ．45,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．70,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．27,516⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】设椭圆长轴长为2a ，双曲线实轴长为2a '，焦点为2c ，2122MF F F c ==，则1MF =2222a c a c '+=-，又c e a ='，所以c a e '=，即242c c a e +=，又7[2,2e ∈，所以椭圆的离心率为127,15162c e a e⎡⎤'==∈⎢⎥⎣⎦+．故选：C ．7．（2021·重庆南开中学高三模拟）已知曲线C 的方程为()22113x y m R m m+=∈+-，则（）A ．当1m =时，曲线C 为圆B ．当5m =时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为33y x =±C ．当1m >时，曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆D ．存在实数m 使得曲线C【答案】AB【解析】对于A 选项：m =1时，方程为22122x y +=，即222x y +=，曲线C 是圆，A 正确；对于B 选项：m =5时，方程为22162x y -=，曲线C为双曲线，其渐近线方程为3y x =±，B 正确；对于C 选项：m >1时，不妨令m =5，由选项B 知，曲线C 为双曲线，C 不正确；对于D 选项：要曲线C 为双曲线，必有(1)(3)0m m +-<，即m <-1或m >3，m <-1时，曲线C ：2213(1)y x m m -=--+，m >3时，曲线C ：22113x y m m -=+-，时，它实半轴长与虚半轴长相等，而-(m +1)≠3-m ，m +1≠m -3，D 不正确.故选：AB11．（2021·湖南雅礼中学高三模拟）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，O 为坐标原点，过F 的直线与C 分别交于()1122(),,A x y B x y ，两点，则（）A ．12y y 为定值B ．AOB ∠可能为直角C ．以BF 为直径的圆与y 轴有两个交点D ．对于确定的直线AB ，在C 的准线上存在三个不同的点P ，使得ABP △为直角三角形【答案】AD【解析】设:1AB l x ty =+，与24y x =联立可得：2124404y ty y y --==-，，故A 对；因为221212116y y x x ==，所以12121OA OBy y k k x x ⋅=≠-，∴2AOB π∠≠，故B 错；设BF 的中点11111,,2222BF x y x M ++⎛⎫=⎪⎝⎭，则以BF 为直径的圆与y 轴相切，故C 错；设AB 的中点1212,22x x y y N ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，N 到C 准线的距离为当1212x x ++，因为12122AB x x +=+故有以AB 为直径的圆与C 的准线相切，对于确定的直线AB ，当P ∠为直角，此时P 为切点；当A ∠或B Ð为直角，此时P 为过A （或B ）的AB 的垂线与准线的交点，故D 正确．故选：AD12．已知双曲线22:139x y C -=的左､右顶点分别为A ，B ，点P 是C 上的任意一点，则（）A ．双曲线C 的离心率为233B ．焦点到渐近线的距离为3C ．点P 到两条渐近线的距离之积为94D ．当P 与A ､B 不重合时，直线PA ，PB 的斜率之积为3【答案】BCD【解析】对于A ，,3a b c ===2e ==，故A 错误；对于B ，双曲线的右焦点2F 到渐近线y x ==的距离为3d ==，故B 正确；对于C ，设()00,P x y ，满足2200139x y -=，即220039x y -=，则点P到两条渐近线的距离之积为2200123944x y d d -⋅==，故C 正确；对于D ，设()00,P x y ，由C 得2239x y -=，PAPB k k ==2200220039333PA PB y x k k x x -⋅===--，故D 正确；故选：BCD13．（2021·湖北襄阳五中高三模拟）已知椭圆G：2221(06x y b b+=<<的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+，当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②OP 的最小值为2；③存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个，其中，所有正确命题的序号是__________．【答案】①②【解析】椭圆(222:106x y G b b+=<<的两个焦点分别为)1F和()2F ，短轴的两个端点分别为()10,B b -和()20,B b ，设(),P x y ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+，由椭圆定义可得，1222PB PB a b +==，即有P 在椭圆222166y x b+=-上，对于①，将x 换为x -方程不变，则点P 的轨迹关于y 轴对称，故①正确.；对于②，由图象可得，当P 满足22x y =，即有226b b -=，即b =时，OP 取得最小值，可得222x y ==时，即有2OP ==取得最小值为2，故②正确；对于③，由图象可得轨迹关于,x y 轴对称，且0b <<，则椭圆G 上满足条件的点P 有4个，不存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 有2个，故③不正确.，故答案为①②.14．（2021·山东滕州一中高三模拟）某中学张燕同学不仅学习认真，而且酷爱体育运动，经过艰苦的训练，终于在校运会的投铅球比赛中创造佳绩．已知张燕所投铅球的轨迹是一段抛物线（人的身高不计，铅球看成一个质点），如图所示，设初速度为定值0v ，且与水平方向所成角为变量θ，已知张燕投铅球的最远距离为10m ．当她投得最远距离时，铅球轨迹抛物线的焦点到准线的距离为____m ．（空气阻力不计，重力加速度为210m /s ）【答案】5【解析】设铅球运动时间为0t ，t 时刻的水平方向位移为x ，则0cos x v t θ=．由001sin 02v gt θ-=知002sin v t g θ=20sin 2v x g θ∴=故当4x π=时，20max 10v x g==，210m /s g =∴解得：0t =，010m /sv =201 2.5m22t h g ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭如图建立平面直角坐标系，(5, 2.5)P --，设抛物线方程为22x py=-则抛物线的焦点到准线的距离22(5)5m 22 2.5x p y -===-⨯故答案为：515．（2021·山东枣庄一中高三模拟）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，O为坐标原点，P 是双曲线上在第一象限内的点，直线PO 、2PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点M 、N ，213PF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的离心率为________；渐近线方程为________.【答案】22y x =±【解析】由213PF PF =，122PF PF a -=，解得13PF a =，2PF a =，由题意可得四边形12PF MF 为平行四边形，又260MF N ∠=︒，可得1260F PF ∠=︒，在12PF F △中，可得()22224323cos 607c a a a a a =+-⋅⋅⋅︒=，即有2c a =，则2c e a ==，所以2b a ===，则渐近线方程为2y x =±.故答案为：72；32y x =±.16.（2021•南充模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1(2,0)F -，2(2,0)F ，点15(1,)3P --在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在斜率为一1的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，使得11||||F M F N =？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【解析】（1）由题意得，2c =，2211519a b +=，222a b c =+，解得：26a =，22b =，所以椭圆的标准方程：22162x y +=；（2）假设存在满足条件的直线l ，设直线l 的方程：y x t =-+，设(,)M x y ，(,)N x y ''与椭圆联立整理：2246360x tx t -+-=，△223644(36)0t t =-->，t -<<，32t x x '+=，2364t xx -'=，由于11||||F M F N =，设线段MN 的中点为E ，则1F E MN ⊥，所以111F E MN k k =-=又3(4t E ，)3t ，所以141324F E tk t ==+，解得4t =-，当4t =-时，不满足t -<<，所以不存在满足条件的直线l ．17．（2021·湖南高三模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为72，双曲线上的点到焦点的最小距离为2.（1）求双曲线C 的方程；（2）四边形MNPQ 的四个顶点均在双曲线C 上，且//MQ NP ，MQ x ⊥轴，若直线MN 和直线QP 交于点()4,0S ，四边形MNPQ 的对角线交于点D ，求点D 到双曲线C 的渐近线的距离之和.【解析】（1）由题意，22222c a c a a b c ⎧-=⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，23b =，所以双曲线C 的方程为22143x y -=；（2）由MQ x ⊥轴，//MQ NP ，可知四边形MNPQ 为等腰梯形，且关于x 轴对称，故四边形MNPQ 的对角线的交点D 在x轴上，如图所示：设点(,0)D t ，则对角线MP 的方程为(0)x my t m =+≠，设1122(,),(,)M x y P x y ，由对称性知1122(,),(,)Q x y N x y --，联立22143x y x my t ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得222(34)63120m y mty t -++-=，所以22222(6)4(34)(312)48(34)0mt m t m t ∆=---=-+>，即2234m t +>，由韦达定理得21212226312,3434mt t y y y y m m --+==--，由,,M N S 三点共线知MS NS k k =，即121244y y x x -=--，所以1221(4)(4)0y my t y my t +-++-=，整理得12122(4)()0my y t y y +-+=，所以222(312)(4)(6)034m t t mt m -+--=-，所以224(1)034m t m -=-，即24(1)0,1m t t -==，所以直线MP 过定点()1,0，即D ()1,0，因为双曲线C 20y ±=20y -=时，由点到直线距离公式得217d ==，由对称性知点D 到双曲线C 的渐近线的距离之和为2217.。
高考数学总复习 模块五 解析几何 限时集训(十五)圆锥曲线的方程与性质 理-人教版高三全册数学试题
限时集训（十五）圆锥曲线的方程与性质基础过关1.已知抛物线C 的开口向下,其焦点是双曲线y 23-x 2=1的一个焦点,则抛物线C 的方程为 ()A .y 2=8x B .x 2=-8y C .y 2=√2x D .x 2=-√2y2.已知F 1(-1,0),F 2(1,0)是椭圆C 的焦点,过点F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ,B 两点,且|AB|=3,则椭圆C 的方程为 () A .y 22+y 2=1B .y 23+y 22=1 C .y 24+y 23=1D .y 25+y 24=13.若双曲线x 2+my 2=m (m ∈R)的焦距为4,则该双曲线的渐近线方程为 () A .y=±√5x B .y=±√3x C .y=±√1515x D .y=±√33x 4.已知直线√3x-y=0与抛物线y 2=12x 相交于点A (不与原点重合),则点A 到抛物线焦点的距离为()A .6B .7C .9D .125.在平面直角坐标系中,经过点P (2√2,-√2)且离心率为√3的双曲线的标准方程为 () A .y 24-y 22=1B .y 27-y 214=1C .y 23-y 26=1或y 214-y 27=1D .y 27-y 214=1或y 214-y 27=16.已知椭圆C :y 22+y2=1的离心率与双曲线E :y 2y 2-y 2y 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率相等,则双曲线E 的离心率为 ()A .√2B .√3C .√52D .√627.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为K ,抛物线上有一点P ,若|PF|=5,则△PKF 的面积为()A .4B .5C .8D .108.设A ,B 分别是椭圆C :y 212+y 22=1的左、右焦点,点P 是椭圆C 与圆M :x 2+y 2=10的一个交点,则||PA|-|PB||=() A .2√2B .4√3 C .4√2D .6√29.椭圆C :y 2y 2+y 2y 2=1(a>b>0)的右焦点为F ,存在直线y=t 与椭圆C 交于A ,B 两点,使得△ABF 为等腰直角三角形,则椭圆C 的离心率e= () A .√22B .√2-1C .√5-1D .1210.已知双曲线y 2y 2-y 2y 2=1(a>0,b>0)的离心率为√2,其一条渐近线被圆(x-m )2+y 2=4(m>0)截得的线段长为2√2,则实数m 的值为 ()A .3B .1C .√2D .211.若过抛物线y=14x 2的焦点的直线与抛物线交于A ,B 两点,则yy ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·yy ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)的值是 ()A .34B .-34 C .3D .-312.设椭圆C :y 24+y 2=1的左焦点为F ,直线l :y=kx (k ≠0)与椭圆C 交于A ,B 两点,则△AFB 的周长的取值X 围是.13.抛物线y 2=8x 的焦点为F ,点A (6,3),P 为抛物线上一点,且P 不在直线AF 上,则△PAF 的周长的最小值为. 能力提升14.已知抛物线C :y 2=2x ,直线l :y=-12x+b 与抛物线C 交于A ,B 两点,若以AB 为直径的圆与x轴相切,则b 的值是 () A .-15B .-25C .-45D .-8515.已知椭圆y 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 2且垂直于长轴的直线交椭圆于A ,B 两点,则△ABF 1的内切圆的半径为 () A .43B .1C .45D .3416.已知椭圆y 2y 2+y 2y 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,若在直线x=2a 上存在点P 使线段PF 1的中垂线过点F 2,则椭圆的离心率的取值X 围是 ()A .(0,23]B .[23,1)C .(0,12]D .[12,1) 17.已知双曲线y 23-y 2=1的右焦点是抛物线y 2=2px (p>0)的焦点,直线y=kx+m 与抛物线相交于A ,B 两个不同的点,点M (2,2)是线段AB 的中点,则△AOB (O 为坐标原点)的面积是.18.抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F ,A ,B 为抛物线上的两点,以AB 为直径的圆过点F ,过AB 的中点M 作抛物线的准线的垂线MN ,垂足为N ,则|yy ||yy |的最大值为.限时集训(十五)基础过关1.B[解析] 双曲线y 23-x 2=1的一个焦点为(0,-2),所以抛物线的焦点坐标也是(0,-2),故抛物线C 的方程为x 2=-8y.2.C[解析] 设椭圆C 的方程为y 2y 2+y 2y 2=1(a>b>0),则|AB|=3=2y 2y,根据a 2-b 2=c 2可得a 2-32a-1=0,得a=2,所以b 2=3,所以椭圆C 的方程为y 24+y 23=1.3.D[解析] 双曲线的标准方程为y 2-y 2-y =1,∵双曲线的焦距为4, ∴√1+(−y )=2,即m=-3, ∴双曲线的标准方程为y 2-y 23=1, ∴双曲线的渐近线的方程为y=±√33x.4.B[解析] 联立{√3y -y =0,y 2=12y ,得到3x 2=12x ,∴x=4或0(舍),∴A (4,4√3),又焦点F (3,0),∴|AF|=√(4-3)2+(4√3-0)2=7.5.B[解析] 由e=y y =√3,得yy =√2.当焦点在x 轴上时,设双曲线方程为y 2y 2-y 2y 2=1(a>0,b>0),代入P (2√2,-√2),得8y 2-2y 2=1,解得a 2=7,b 2=14;当焦点在y 轴上时,设双曲线方程为y 2y 2-y 2y 2=1(a>0,b>0),代入P (2√2,-√2),得2y 2-8y 2=1,无解.综上,双曲线的标准方程为y 27-y 214=1,故选B .6.D[解析] 易知椭圆C :y 22+y 2=1的离心率为√22,由题可知y y =√22,又因为c 2=a 2+b 2,所以双曲线的离心率e=y y =√62.7.A[解析] 由抛物线的方程y 2=4x ,可得F (1,0),K (-1,0), 设P (x 0,y 0),则|PF|=x 0+1=5,即x 0=4, 不妨设P (x 0,y 0)在第一象限,则P (4,4),所以S △PKF =12·|FK||y 0|=12×2×4=4,故选A .8.C[解析] 由题易知线段AB 是圆M 的一条直径,则有|PA|+|PB|=2a=4√3,|PA|2+|PB|2=(2c )2=40,∴(|PA|+|PB|)2=|PA|2+|PB|2+2|PA||PB|,得2|PA||PB|=8,∴(|PA|-|PB|)2=|PA|2+|PB|2-2|PA||PB|=32,则||PA|-|PB||=4√2,故选C . 9.B[解析] 由题知,当BF ⊥AB 时,△ABF为等腰直角三角形,∴|FB|=|AB|,即y 2y =2c ,即b 2=2ac ,∴a 2-c 2=2ac ,∴1-e 2=2e ,∴e 2+2e-1=0,解得e=±√2-1,由于椭圆的离心率e ∈(0,1),∴e=√2-1,故选B .10.D[解析] 双曲线y 2y 2-y 2y 2=1(a>0,b>0)的离心率为√2,则yy =√2,∴c 2=2a 2,∴a 2+b 2=2a 2,∴a=b ,则双曲线的一条渐近线方程为x-y=0,圆(x-m )2+y 2=4(m>0)的圆心坐标为(m ,0),半径为2,则圆心到渐近线的距离d=√y 2-(√2)2=√2,解得m=2.11.D[解析] 抛物线为x 2=4y ,焦点为F (0,1),设直线AB 的方程为y=kx+1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立方程{y 2=4y ,y =yy +1,得x 2-4kx-4=0,所以x 1x 2=-4,y 1y 2=116(x 1x 2)2=1,故yy ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·yy ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=-3,故选D .12.(6,8)[解析] 根据椭圆的对称性得△AFB 的周长等于|AF|+|BF|+|AB|=2a+|AB|=4+|AB|,而A ,B 为直线y=kx (k ≠0)与椭圆的交点,所以2b<|AB|<2a ,即2<|AB|<4,所以△AFB 的周长的取值X 围为(6,8).13.13[解析] 由抛物线定义知,抛物线上的点P 到焦点的距离|PF|等于点P 到准线的距离d ,即|FP|=d.所以△PAF 的周长l=|PF|+|PA|+|AF|=d+|PA|+√(6-2)2+(3−0)2≥6+2+5=13. 能力提升14.C[解析] 由题意,可设A ,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),联立直线与抛物线方程{y 2=2y ,y =−12y +y ,消去y 得14x 2-(b+2)x+b 2=0,则x 1+x 2=4(b+2),x 1x 2=4b 2,y 1+y 2=-4.由题知12|AB|=|y 1+y 22|,即12√1+(12)2√[4(y +2)]2-4·4y 2=2,解得b=-45.故选C .15.D[解析] 由题不妨设点A 在第一象限.由y 24+y 23=1得a=2,b=√3,易知A ,B 的纵坐标y A ,y B分别为32,-32.根据椭圆的定义可知△ABF 1的周长为4a=8,设△ABF 1的内切圆半径为r ,△ABF 1的面积为12|F 1F 2|·|y A -y B |=12×2×3=3=12×8·r ,解得r=34,故选D .16.B[解析] 根据中垂线的性质可得,|PF 2|=|F 1F 2|=2c ,又∵|PF 2|≥2a-c ,∴2a ≤3c ,即e ≥23,又∵e<1,∴椭圆的离心率的取值X 围是[23,1),故选B .17.2√3[解析] 由题意得,抛物线的焦点坐标为(2,0),则y 2=8x , 联立{y 2=8y ,y =yy +y ,得y 2-8y y+8y y =0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=8y ,y 1y 2=8y y ,又因为点M (2,2)是线段AB 的中点,所以y 1+y 2=8y=4,解得k=2,m=-2,则|AB|=√1+1y 2|y 1-y 2|=√52×4√1−y =2√15,点O 到直线AB 的距离d=√=√5, 所以△AOB 的面积S=12|AB|·d=2√3.18.√2[解析] 过A ,B 分别向准线作垂线交准线于A',B',由抛物线定义得|AA'|=|AF|,|BB'|=|BF|,所以|MN|=12(|AF|+|BF|)=12(|AA'|+|BB'|),易知AF ⊥BF ,|MF|=12|AB|,所以|yy ||yy |=|yy |+|yy |2√|yy |+|yy |≤√|yy |2+|yy |22√|yy |+|yy |=√22,当且仅当|AF|=|BF|时,等号成立,则|yy ||yy |的最大值为√22,所以|yy ||yy |的最大值为√2.。
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[第15讲 圆锥曲线的定义、方程与性质](时间：45分钟)1．已知双曲线x 2m 2－y 25＝1(m >0)的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点相同，则此双曲线的离心率为( )A ．6 B.322 C.32 D.342．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值为( )A ．3 B.5153或15C. 5D.253或33．已知双曲线x 2－y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x轴的距离为( )A. 3B.233C.43D.534．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们到直线x ＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在5．已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点，椭圆C 上异于A 1，A 2的点P 恒满足kPA 1·kPA 2＝－49，则椭圆C 的离心率为( )A.49B.23C.59D.536．已知P 点是以F 1，F 2为焦点的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上的一点，若PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝2，则此双曲线的离心率等于( )A. 5 B ．5 C ．2 5 D ．37．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过F 1的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |的长为( )A.23 B ．1 C.43 D.538．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝13B ．a 2＝132C ．b 2＝2D ．b 2＝129．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则该双曲线的离心率为________．10．短轴长为5，离心率e ＝23的椭圆的两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为________．11．F 是抛物线x 2＝2y 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝6，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．12．已知点F (1，0)，直线l ：x ＝－1，动点P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离． (1)试判断点P 的轨迹C 的形状，并写出其方程；(2)是否存在过N (4，2)的直线m ，使得直线m 被截得的弦AB 恰好被点N 所平分？13．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆上任意一点到右焦点F 的距离的最大值为2＋1.(1)求椭圆的方程；(2)已知点C (m ，0)是线段OF 上一个动点(O 为坐标原点)，是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 点，使|AC |＝|BC |，并说明理由．14．如图15－1，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ，B ，已知点B 在直线l ：y＝－1上，且椭圆的离心率e ＝32. (1)求椭圆的标准方程；(2)设P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 的中点，直线AM 交直线l 于点C ，N 为线段BC图15－1专题限时集训(十五)【基础演练】1．C [解析] 抛物线的焦点坐标为(3，0)，所以m 2＋5＝9，解得m ＝2，所以双曲线的离心率为32.2．D [解析] 当焦点在x 轴上时，5－m 5＝105，解得m ＝3；当焦点在y 轴上时，m －5m＝105，解得m ＝253. 3．B [解析] 方法1：根据已知得点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3，与双曲线方程联立消掉x 得y 2＝43，解得|y |＝233，即为点M 到x 轴的距离． 方法2：设|MF 1→|＝m ，|MF 2→|＝n ，由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝|F 1F 2|2＝12，|m －n |＝2，得m ·n ＝4，由S △F 1MF 2＝12m ·n ＝12|F 1F 2|·d ，解得d ＝233.故选B.4．D [解析] 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为A ，B 两点到直线x ＝－2的距离之和等于5，所以x 1＋2＋x 2＋2＝5.所以x 1＋x 2＝1.由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋1＋x 2＋1＝3.而过抛物线焦点弦的最小值(当弦AB ⊥x 轴时，是最小焦点弦)为4，所以不存在满足条件的直线．【提升训练】5．D [解析] 设P (x 0，y 0)，则y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝－49，化简得x 20a 2＋y 204a 29＝1，可以判断b 2a 2＝49，e ＝1－b a 2＝1－49＝53. 6．A [解析] 根据PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝2，可得△PF 1F 2为直角三角形且|PF 2|＝2|PF 1|，根据双曲线定义得|PF 2|－|PF 1|＝2a ，由此得|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝4a ，根据勾股定理(2a )2＋(4a )2＝(2c )2，由此得c 2a2＝5，即e ＝ 5.7．C [解析] 根据椭圆定义|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝2，两式相加得|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4，即(|AF 1|＋|BF 1|)＋(|AF 2|＋|BF 2|)＝4，而|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |，|AF 2|＋|BF 2|＝2|AB |，所以3|AB |＝4，即|AB |＝43.8．D [解析] 因为椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，所以c 2＝5，a 2＝b 2＋5；取C 2的一条渐近线l ：y ＝2x ，设l 与C 1的交点为M ，N ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x 2a 2＋y 2b2＝1，得(4a 2＋b 2)x 2－a 2b 2＝0，则|MN |＝1＋22·4a 2b24a 2＋b2， 因为C 1恰好将线段AB 三等分，所以|MN |＝2a 3，所以a 29＝5a 2b 2b 2＋4a 2＝5a 4－25a 25a 2－5，a 2＝112，b 2＝12. 9.17 [解析] 因为焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，所以b ＝4a ，c 2＝17a 2，e ＝17.10．6 [解析] 由题知⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝5，c a ＝23，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝52，a 2－b 2a 2＝49，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝52.由椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ＝4×32＝6.11.52 [解析] |AF |＋|BF |＝6，由抛物线的定义即|AD |＋|BE |＝6，又线段AB 的中点到准线的距离为12(|AD |＋|BE |)＝3，抛物线的准线为y ＝－12，所以线段AB 的中点到y 轴的距离为52.12．解：(1)因点P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离，所以点P 的轨迹C 是以F 为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x .(2)方法1：假设存在满足题设的直线m .设直线m 与轨迹C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.①当直线m 的斜率不存在时，不合题意．②当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y －2＝k (x －4)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k （x －4），y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2－(8k 2－4k ＋4)x ＋(2－4k )2＝0，(*) ∴x 1＋x 2＝8k 2－4k ＋4k2＝8，解得k ＝1. 此时，方程(*)为x 2－8x ＋4＝0，其判别式大于零， ∴存在满足题设的直线m .且直线m 的方程为：y －2＝x －4，即x －y －2＝0.方法2：假设存在满足题设的直线m .设直线m 与轨迹C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，易判断直线m 不可能垂直于y 轴， ∴设直线m 的方程为x －4＝a (y －2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝a （y －2），y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4ay ＋8a －16＝0， ∵Δ＝16(a －1)2＋48>0， ∴直线与轨迹C 必相交． 又y 1＋y 2＝4a ＝4，∴a ＝1. ∴存在满足题设的直线m ，且直线m 的方程为：y －2＝x －4，即x －y －2＝0.方法3：假设存在满足题设的直线m .设直线m 与轨迹C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.∵A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在轨迹C 上，∴有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②将①－②，得y 21－y 22＝4(x 1－x 2)．当x 1＝x 2时，弦AB 的中点不是N ，不合题意， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1，即直线AB 的斜率k ＝1， 注意到点N 在曲线C 的张口内(或：经检验，直线m 与轨迹C 相交)， ∴存在满足题设的直线m ，且直线m 的方程为：y －2＝x －4，即x －y －2＝0. 13．解：(1)因为⎩⎪⎨⎪⎧e ＝ca ＝22，a ＋c ＝2＋1，所以⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1.∴b ＝1，椭圆方程为：x 22＋y 2＝1.(2)由(1)得F (1，0)，所以0≤m ≤1，假设存在满足题意的直线l ，设l 的方程为y ＝k (x －1)，代入x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，①∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k2k 2＋1，设AB 的中点为M ，则M 2k 22k 2＋1，－k2k 2＋1，∵|AC |＝|BC |，∴CM ⊥AB ，即k CM ·k AB ＝－1，∴k2k 2＋1m －2k 22k 2＋1·k ＝－1⇒(1－2m )k 2＝m ， ∴当0≤m <12时，k ＝±m1－2m，即存在这样的直线l ； 当12≤m ≤1，k 不存在，即不存在这样的直线l . 14．解：(1)依题意，得b ＝1.∵e ＝c a ＝32，a 2－c 2＝b 2＝1，∴a 2＝4. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设P (x 0，y 0)，x 0≠0，则Q (0，y 0)，且x 204＋y 20＝1.∵M 为线段PQ 中点，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，y 0.又A (0，1)，∴直线AM 的方程为y ＝2（y 0－1）x 0x ＋1.∵x 0≠0，∴y 0≠1，令y ＝－1，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 01－y 0，－1.又B (0，－1)，N 为线段BC 的中点，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02（1－y 0），－1.∴NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02－x 02（1－y 0），y 0＋1.∴OM →·NM →＝x 02⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02－x 02（1－y 0）＋y 0·(y 0＋1)＝x 204－x 204（1－y 0）＋y 20＋y 0 ＝x 204＋y 2－x 204（1－y 0）＋y 0＝1－(1＋y 0)＋y 0＝0，∴OM ⊥MN .。