圆锥曲线的方程与性质

专题训练五——圆锥曲线的标准方程与几何性质

类型一、椭圆的标准方程与几何性质

例1．（1） 椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，焦距为4，则椭圆的标准方程为________________．

（2）已知焦点在x 轴上，中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6，若该椭圆的离心率为13

，则椭圆的方程是（ ） A. 2

214

x y += B. 22198x y += C. 22143x y += D. 22189x y +=

练习：1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程：

(1)长轴是短轴的3倍且经过点()3,0A ；

(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3；

例2、（1）P 为椭圆19

252

2=+y x 上一点，21,F F 为左右焦点，若 6021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积为 .

（2）已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.

例3、(1)错误！未找到引用源。在椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)上，是椭圆的两个焦点，，且的三条边，，成等差数列，则此椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D.

(2)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是

，弦的中点坐标是，则

椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D.

(3)如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上， 1212,,,A A B B 为椭圆的

顶点， 2F 为右焦点，延长12B F 与12A B 交于点P ，若12B PB ∠为钝角，则

该椭圆的离心率的取值范围是（ ）

A. ⎫⎪⎪⎝⎭

B. ⎛ ⎝⎭

C. ⎛ ⎝⎭

D. ⎫⎪⎪⎝⎭

类型二、双曲线的标准方程与几何性质

例1．（1）已知双曲线两个焦点分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，双曲线上一点P 到F 1，F 2的距离的差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为__________________．

（2）双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，虚轴长为23，则双曲线的方程为________________________．

（3）已知双曲线C ：﹣=1的焦距为10，点P （2，1）在C 的渐近线上，则C 的方程为_______．

（4）已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24

＝1的左、右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为_______．

例2、（1）双曲线

的渐近线方程为（ ） A. B. C. D.

（2）已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32

，则C 2的渐近线方程为( )

A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0

例3、（1）已知双曲线的左、右焦点为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），若直线y=2x 与双曲线的一个交点的横坐标为c ，则双曲线的离心率为 ．

（2）已知12,F F 分别是双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于,A B 两点，若坐标原点O 恰为2ABF ∆的垂心（三角形三条高的交点），则双曲线的离心率为（ ）

A. 3 D. 3

类型三、抛物线的标准方程与几何性质

例1、（1）已知P 是抛物线2y x =上任意一点，则当P 点到直线20x y ++=的距离最小时，P 点与该抛物线的准线的距离是( )

A ．2

B ．1

C ．

21 D ．4

1

（2）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x 2－y 2= 20的两条渐近线围成的三角形的面积等于54，则抛物线的方程为( )

A ．y 2=4x

B ．y 2=8x

C ．x 2=4y

D ．x 2=8y

（3）已知过抛物线C ： 22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若

2BC BF =（其中点B 位于A 、 C 之间），且4AF =，则此抛物线的方程为（ ）． A. 22y x = B. 26y x = C. 24y x = D. 2

8y x =

例2、（1）已已知过抛物线24y x =焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点（点A 在第一象限），若3AF FB =，则直线l 的斜率为（ ）

A. 3

B.

2 C. 12 D. 2

（2）已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为

A ．16

B ．14

C ．12

D ．10

（3）已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为

________．

圆锥曲线的标准方程与几何性质限时训练

1、已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p 的值为 ( ).

A ．

12 B ．1 C ．2 D ．4

2、抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过焦点F 倾斜角为3

π的直线与抛物线相交于两点,A B 两点，若8AB =，则抛物线的方程为 ( )

A. 23y x =

B. 24y x =

C. 26y x =

D. 2

8y x = 3、已知椭圆： 22

2

1(02)4x y b b +=<<，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若22BF AF +的最大值为5，则b 的值是 （ ）

32 4、已知椭圆22

221x y a b

+=的左、右焦点分别为12,F F ，且122F F c =，点A 在椭圆上， 1120AF F F ⋅=， 212AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率e = （ ）

A. 3

B. 12

C. 12

D. 2

5、已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 24＋y 2

12

＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．

6、设P 是椭圆22

1255

x y +=上一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，120,PF PF ⋅=12F PF ∆则面积是________．

7、与双曲线-=22

1916

x y 有共同的渐近线，并且过点A(6,82)的双曲线的标准方程为__________．

8、双曲线的焦点为()()60,6,0-,且经过点()6,5-A ,则其标准方程为_______．