高中数学复习：圆锥曲线的方程与性质
高考数学复习考点突破专题讲解12 圆锥曲线的方程与性质
高考数学复习考点突破专题讲解第12讲圆锥曲线的方程与性质一、单项选择题1.(2022·广东惠州一模)若抛物线y2=2px(p>0)上一点P(2,y0)到其焦点的距离为4,则抛物线的标准方程为()A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD.y2=8x2.(2022·山东临沂二模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦距为4,实轴长为4,则C的渐近线方程为()A.y=±2xB.y=±xC.y=±xD.y=±x3.(2022·广东肇庆二模)已知F1,F2分别是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆上一点,O 为坐标原点,若|OA|=|OF1|,直线F2A的斜率为-3,则椭圆C的离心率为()A. B. C. D.4.(2022·河北保定高三期末)为了更好地研究双曲线,某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型.已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)为某双曲线(离心率为2)的一部分,曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为30 cm,点A与点C,点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称,且|AB|=36 cm,则|AD|=()A.12 cmB.6 cmC.38 cmD.6 cm5.(2022·全国甲·文11)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若=-1,则C的方程为()A.=1B.=1C.=1D.+y2=16.(2022·广东执信中学模拟)已知双曲线C的离心率为,F1,F2是C的两个焦点,P为C上一点,|PF1|=3|PF2|,若△PF1F2的面积为,则双曲线C的实轴长为()A.1B.2C.3D.47.(2022·江西宜春期末)已知抛物线E:y2=8x的焦点为F,P是抛物线E上的动点,点Q与点F关于坐标原点对称,当取得最小值时,△PQF的外接圆半径为()A.1B.2C.2D.48.(2022·山东滨州二模)已知椭圆C1和双曲线C2有相同的左、右焦点F1,F2,若C1,C2在第一象限内的交点为P,且满足∠POF2=2∠PF1F2,设e1,e2分别是C1,C2的离心率,则e1,e2的关系是()A.e1e2=2B.=2C.+e1e2+=2D.=2二、多项选择题9.(2022·湖北武昌高三期末)已知双曲线C:=1,下列对双曲线C判断正确的是()A.实轴长是虚轴长的2倍B.焦距为8C.离心率为D.渐近线方程为x±y=010.(2022·新高考Ⅱ·10)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线与C交于A,B两点,点A在第一象限,点M(p,0),若|AF|=|AM|,则()A.直线AB的斜率为2B.|OB|=|OF|C.|AB|>4|OF|D.∠OAM+∠OBM<180°11.(2022·山东临沂三模)2022年4月16日9时56分,神舟十三号返回舱成功着陆,返回舱是宇航员返回地球的座舱,返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”,如图,在平面直角坐标系中,半圆的圆心在坐标原点,半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0,2),椭圆的短轴与半圆的直径重合,下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A,与下半圆交于点B,则()A.椭圆的长轴长为4B.线段AB长度的取值范围是[4,2+2]C.△ABF的面积最小值是4D.△AFG的周长为4+412.(2022·江苏南通高三检测)已知椭圆C1:=1(m>n>0)的上焦点为F1,双曲线C2:=1的左、右焦点分别为F2,F3,直线F1F2与C2的右支相交于点A,若AF3⊥F2F3,则()A.C1的离心率为B.C2的离心率为C.C2的渐近线方程为y=±xD.△AF1F3为等边三角形三、填空题13.(2021·全国乙·理13)已知双曲线C:-y2=1(m>0)的一条渐近线为x+my=0,则C的焦距为.14.(2022·河北保定模拟)已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点在y轴上,F1,F2为C的两个焦点,C的短轴长为4,且C上存在一点P,使得|PF1|=6|PF2|,写出椭圆C的一个标准方程:.15.(2022·山东威海高三期末)已知抛物线C1:y2=8x,圆C2:x2+y2-4x+3=0,点M(1,1),若A,B分别是C1,C2上的动点,则|AM|+|AB|的最小值为.16.(2022·河北石家庄二模)已知椭圆C1和双曲线C2有公共的焦点F1,F2,曲线C1和C2在第一象限内相交于点P,且∠F1PF2=60°.若椭圆C1的离心率的取值范围是,则双曲线C2的离心率的取值范围是.高考数学复习考点突破专题讲解12圆锥曲线的方程与性质1.D解析∵抛物线y2=2px上一点P(2,y0)到其焦点的距离等于到其准线的距离,∴+2=4,解得p=4,∴抛物线的标准方程为y2=8x.2.C解析由已知得,双曲线的焦点在y轴上,双曲线的焦距2c=4,解得c=2,双曲线的实轴长为2a=4,解得a=2,则b=--=4,故双曲线C的渐近线方程为y=±x=±x.3. D解析如图,由|OA|=|OF1|,得|OA|=|OF1|=|OF2|=c,故∠F1AF2=90°.因为直线F2A的斜率为-3,所以tan∠F1F2A=3,所以|AF1|=3|AF2|.又|AF1|+|AF2|=2a,所以|AF1|=,|AF2|=.又|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,即a2+a2=4c2,得,所以.4. D解析以双曲线的对称中心为坐标原点,建立平面直角坐标系xOy,因为双曲线的离心率为2,所以可设双曲线的标准方程为=1(a>0),依题意可得2a=30,则a=15,即双曲线的标准方程为=1.因为|AB|=36cm,所以点A的纵坐标为18.由=1,得|x|=3,故|AD|=6cm.5.B解析由题意知,A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),则=(-a,-b)·(a,-b)=-a2+b2=-1,①由e=,得e2=-=1-,即b2=a2.②联立①②,解得a2=9,b2=8.故选B.6.B解析根据双曲线的定义,可得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=3|PF2|,解得|PF1|=3a,|PF2|=a.因为双曲线C的离心率为,所以c= a.在△PF1F2中,由余弦定理,可得cos∠F1PF2=-=-,则sin∠F1PF2=.由△PF1F2的面积为,可得|PF1||PF2|sin∠F1PF2=a2=,解得a=1.故双曲线C的实轴长为2.7. C解析过点P作准线的垂线,垂足为M,由抛物线的定义知|PF|=|PM|,所以=cos∠QPM=cos∠PQF,要使取得最小值,则cos∠PQF取得最小值,即tan∠PQF取得最大值0<∠PQF<,此时直线PQ与抛物线相切.设直线PQ的方程为y=k(x+2),由得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,所以Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)=0,即k2=1,解得k=±1,不妨取k=1,此时直线PQ的倾斜角∠PQF=,且有x2-4x+4=0,所以x=2,所以P(2,4),所以|PF|=4.设△PQF的外接圆半径为R,在△PQF中,由正弦定理知,2R==4.所以此时△PQF的外接圆半径R=2.8. D解析因为∠POF2=∠PF1F2+∠F1PO,∠POF2=2∠PF1F2,所以∠PF1F2=∠F1PO,所以|OF1|=|OP|=|OF2|=c,所以PF1⊥PF2.记椭圆长半轴长为a1,双曲线实半轴长为a2,椭圆和双曲线的半焦距为c,|PF1|=m,|PF2|=n,则由椭圆和双曲线定义可得,m+n=2a1,①m-n=2a2,②①2+②2可得2(m2+n2)=4().由勾股定理知,m2+n2=4c2,代入上式可得2c2=,整理得=2,即=2,所以=2.9.BD解析由双曲线C:=1,可得a2=12,b2=4,则c2=a2+b2=16,所以a=2,b=2,c=4,故A不正确,B正确;e=,故C不正确;易知渐近线方程为y=±x,即x±y=0,故D正确.10.ACD解析选项A,由题意知,点A为FM的中点,设A(x A,y A),则x A=p,所以=2px A=2p·p=p2(y A>0).=2,故选项A正确;所以y A=p,故k AB=-选项B,由斜率为2可得直线AB的方程为x=y+,联立抛物线方程得y2-py-p2=0,设B(x B,y B),则p+y B=p,则y B=-,代入抛物线方程得-=2p·x B,解得x B=.∴|OB|=,故选项B错误;选项C,|AB|=p++p=p>2p=4|OF|,故选项C正确;选项D,由选项A,B知,A p,p,B,-p,所以=p,p·,-p=-p2=-p2<0,所以∠AOB为钝角.又=-p·-,-p=-p2=-p2<0,所以∠AMB为钝角.所以∠OAM+∠OBM<180°.故选项D正确.故选ACD.11. ABD解析由题知,椭圆中b=c=2,则a=2,则2a=4,故A正确;|AB|=|OB|+|OA|=2+|OA|,由椭圆性质可知2≤|OA|≤2,所以4≤|AB|≤2+2,故B正确;若A,B,F能构成三角形,则AB不与y轴重合,此时2≤|OA|<2,记∠AOF=θ,则S△ABF=S△AOF+S△OBF=|OA||OF|sinθ+OB·OF sin(π-θ)=|OA|·sinθ+2sinθ=(|OA|+2)sinθ,取θ=,则S△ABF=1+|OA|<1+×2<4,故C错误;由椭圆定义知,|AF|+|AG|=2a=4,所以△AFG的周长L=|FG|+4=4+4,故D正确.12. ACD解析易知F1(0,-),F2(-,0),F3(,0),将x=代入双曲线C2的方程得=1,可得y2=,则点A.因为O为F2F3的中点,且OF1∥AF3,所以OF1为△F2AF3的中位线,所以-,整理可得m4=4m2n2-4n4,即m2=2n2.椭圆C1的离心率为e1=-,故A正确;双曲线C2的离心率为e2=,故B错误;双曲线C2的渐近线方程为y=±x=±x,故C正确;易知点A(n,2n),F2(-n,0),则,则∠AF2F3=30°,故∠F2AF3=60°.因为|AF3|=2n,|AF1|=|AF2|=(|AF3|+2n)=2n,所以△AF1F3为等边三角形,故D正确.13.4解析由双曲线方程可知其渐近线方程为±y=0,即y=±x,得-=-,解得m=3.可得C 的焦距为2=4.14.=1(答案不唯一)解析因为|PF1|=6|PF2|,所以|PF1|+|PF2|=7|PF2|=2a,则|PF2|=.又因为a-c≤|PF2|≤a+c,所以≥a-c,即.根据题意可设C的标准方程为=1(a>b>0),因为椭圆C的短轴长为4,所以2b=4,b=2.又由,可得--,解得a2≥,所以椭圆C的一个标准方程为=1.15. 2解析由抛物线C1:y2=8x得焦点F(2,0),准线方程为x=-2.由圆C2:x2+y2-4x+3=0,得(x-2)2+y2=1,所以圆C2是以F(2,0)为圆心,以r=1为半径的圆.所以|AM|+|AB|≥|AM|+|AF|-1,所以当|AM|+|AF|取得最小值时,|AM|+|AB|取得最小值.又根据抛物线的定义得|AF|等于点A到准线的距离,所以过点M作准线的垂线,垂足为N,且与抛物线C1:y2=8x相交,当点A为此交点时,|AM|+|AF|取得最小值,最小值为|1-(-2)|=3.所以此时|AM|+|AB|≥|AM|+|AF|-1≥3-1=2,所以|AM|+|AB|的最小值为2.16.解析设椭圆C1:=1(a>b>0),双曲线C2:=1,椭圆与双曲线的半焦距为c,椭圆的离心率e=,双曲线的离心率e1=,|PF1|=s,|PF2|=t,如图,由椭圆的定义可得s+t=2a,由双曲线定义可得s-t=2a1,联立可得s=a1+a,t=a-a1.由余弦定理可得4c2=s2+t2-2st cos∠F1PF2=(a+a1)2+(a-a1)2-2(a+a1)(a-a1)cos60°=a2+3,即4=,解得.-因为e∈,所以≤e2≤,2≤≤3,可得≤3,故≤e1≤.。
高考数学二轮复习圆锥曲线的定义方程及性质复习题及答案解析
专题限时集训(十) 圆锥曲线的定义、方程及性质[专题通关练] (建议用时：30分钟)1．(2019·贵阳一模)抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 到准线l 的距离为2，则C 的焦点坐标为( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(1,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 C [因为抛物线焦点到准线的距离为2，所以p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，抛物线的焦点坐标为(1,0)，选C.]2．(2019·沈阳一模)若点(3，0)到双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为( )A. 3B.62C.3或62D.33A [双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，即ay ±bx ＝0，由题知(3，0)到渐近线的距离为2，即|3b |a 2＋b2＝2，由a 2＋b 2＝c 2得3b ＝2c,3(c 2－a 2)＝2c 2，即c 2＝3a 2，得e ＝c a＝3，故选A.]3．若中心在坐标原点的椭圆的长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(215，0)，则椭圆的标准方程为( )A.x 230＋y 220＝1B.x 240＋y 220＝1C.x 275＋y 215＝1 D.x 280＋y 220＝1 D [设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，依题意得，2a 2b ＝ab ＝2⇒a ＝2b ，∵c ＝215，c 2＝a 2－b 2，∴(215)2＝(2b )2－b 2⇒b 2＝20，得a 2＝4b 2＝80，故所求椭圆的标准方程为x 280＋y 220＝1.]4.如图，椭圆x 2a 2＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，∠F 1PF 2＝120°，则a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5B [因为b 2＝2，c ＝a 2－2，所以|F 1F 2|＝2a 2－2.又|PF 1|＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 2|＝2a －4，由余弦定理得 cos 120°＝42＋2a －42－2a 2－222×4×2a －4＝－12，解得a ＝3.]5．过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线相交于点M ，若|MN |＝|AB |，则直线l 的倾斜角为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°B [分别过A ，B ，N 作抛物线准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，N ′(图略)，由抛物线的定义知|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|NN ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12|AB |，因为|MN |＝|AB |，所以|NN ′|＝12|MN |，所以∠MNN ′＝60°，即直线MN 的倾斜角为120°，又直线MN与直线l 垂直且直线l 的倾斜角为锐角，所以直线l 的倾斜角为30°，故选B.]6．[易错题]若方程x 22＋m －y 2m ＋1＝1表示椭圆，则实数m 的取值范围是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1 [由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2＋m ＞0，m ＋1＜0，2＋m ≠－m ＋1.解得－2＜m ＜－1且m ≠－32.]7．若三个点(－2,1)，(－2,3)，(2，－1)中恰有两个点在双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a ＞0)上，则双曲线C 的渐近线方程为________．y ＝±22x [由于双曲线的图象关于原点对称，故(－2,1)，(2，－1)在双曲线上，代入方程解得a ＝2，又因为b ＝1，所以渐近线方程为y ＝±22x .] 8．[易错题]若椭圆的对称轴是坐标轴，且短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到同侧顶点的距离为3，则椭圆的方程为________．x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 [由题意，得⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，所以⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.所以b 2＝a 2－c 2＝9.所以当椭圆焦点在x 轴上时，椭圆的方程为x 212＋y 29＝1；当椭圆焦点在y 轴上时，椭圆的方程为x 29＋y 212＝1.故椭圆的方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.][能力提升练] (建议用时：20分钟)9．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( )A ．2sin 40°B ．2cos 40° C.1sin 50°D.1cos 50°D [由题意可得－b a＝tan 130°， 所以e ＝1＋b 2a2＝1＋tan 2130°＝1＋sin 2130°cos 2130°＝1|cos 130°|＝1cos 50°.故选D.]10．(2019·珠海质检)过点M (1,1)作斜率为－13的直线l 与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0) 相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为________．63[设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意得， ⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 21＋a 2y 21＝a 2b 2，b 2x 22＋a 2y 22＝a 2b 2，∴b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∴2b 2(x 1－x 2)＋2a 2(y 1－y 2)＝0， ∴b 2(x 1－x 2)＝－a 2(y 1－y 2)．∴b 2a 2＝－y 1－y 2x 1－x 2＝13，∴a 2＝3b 2. ∴a 2＝3(a 2－c 2)，∴2a 2＝3c 2，∴e ＝63.] [点评] 点差法适用范围：与弦的中点轨迹有关、与弦所在直线斜率有关. 11．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA →＋FB →＋FC →＝0，则1k AB ＋1k AC ＋1k BC＝________.0 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由FA →＋FB →＝－FC →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2，y 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－p 2，y 3，y 1＋y 2＋y 3＝0.因为k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2p y 1＋y 2，k AC ＝y 3－y 1x 3－x 1＝2p y 1＋y 3，kBC＝y 3－y 2x 3－x 2＝2p y 2＋y 3，所以1k AB ＋1k AC ＋1k BC ＝y 1＋y 22p ＋y 3＋y 12p ＋y 2＋y 32p ＝y 1＋y 2＋y 3p ＝0.] 12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在该椭圆上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为627，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程．[解](1)由题意可得e ＝c a ＝12，又a 2＝b 2＋c 2， 所以b 2＝34a 2.因为椭圆C 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， 所以1a 2＋9434a 2＝1，解得a 2＝4，所以b 2＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －1，x 24＋y23＝1，消去x ，得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，显然Δ＞0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t2， 所以|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝36t 24＋3t22＋364＋3t 2＝12t 2＋14＋3t2， 所以S △AOB ＝12·|F 1O |·|y 1－y 2|＝6t 2＋14＋3t 2＝627， 化简得18t 4－t 2－17＝0， 即(18t 2＋17)(t 2－1)＝0， 解得t 21＝1，t 22＝－1718(舍去)．又圆O 的半径r ＝|0－t ×0＋1|1＋t 2＝11＋t 2， 所以r ＝22， 故圆O 的方程为x 2＋y 2＝12.有________．①该双曲线的离心率为2；②该双曲线的一条渐近线方程为 y －3x ＝0； ③该双曲线的标准方程为x 211－y 2113＝1.①② [设双曲线的渐近线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切可得圆心(0,2)到渐近线的距离等于半径1，由点到直线的距离公式可得|k ×0－2|k 2＋1＝1，解得k ＝±3，即渐近线方程为y ±3x ＝0，故②正确；因为双曲线经过点(2,1)，所以双曲线的焦点在x 轴上，可设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，将点(2,1)代入可得4a 2－1b2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－1b 2＝1，b a ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝113，b 2＝11，故所求双曲线的方程为x 2113－y 211＝1，故③错误，又离心率e ＝b 2a 2＋1＝2，故①正确，综上可知①②正确．] 【押题2】 已知|MN |＝1，MP →＝3MN →，当N ，M 分别在x 轴，y 轴上滑动时，点P 的轨迹记为E .(1)求曲线E 的方程；(2)设斜率为k (k ≠0)的直线MN 与E 交于P ，Q 两点，若|PN |＝|MQ |，求k . [解] (1)设M (0，m ), N (n,0)，P (x ，y )，由|MN |＝1得m 2＋n 2＝1.由MP →＝3MN →，得(x ，y －m )＝3(n ，－m )， 从而x ＝3n ，y －m ＝－3m ， ∴n ＝x 3，m ＝－y2，∴曲线E 的方程为x 29＋y 24＝1.(2)直线MN 为y ＝kx ＋t ，∴n ＝－tk.① 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将MN 的方程代入到E 的方程并整理，可得(4＋9k 2)x 2＋18ktx ＋9t 2－36＝0， ∴x 1＋x 2＝－18kt4＋9k2.∵|PN |＝|MQ |，所以MN 的中点和PQ 的中点重合， ∴－9kt 4＋9k 2＝－t2k，② 联立①②可得k 2＝49，故k ＝±23.[点评] 向量条件转化，一是向坐标转化，建立坐标间关系，二是挖掘向量条件的几何意义如共线、中点、垂直.。
(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学知识点大全—圆锥曲线一、考点（限考）概要：1、椭圆：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。
用集合表示为：；②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心率用集合表示为：；（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
（3）参数方程：（θ为参数）；3、双曲线：（1）轨迹定义：①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。
用集合表示为：②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。
其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。
用集合表示为：（2）标准方程和性质：注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
4、抛物线：（1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。
用集合表示为：（2）标准方程和性质：①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；二、复习点睛：1、平面解析几何的知识结构：2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。
则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。
3、椭圆形状与e的关系：当e→0，c→0，椭圆→圆，直至成为极限位置的圆，则认为圆是椭圆在e=0时的特例。
当e→1，c→a椭圆变扁，直至成为极限位置的线段，此时也可认为是椭圆在e=1时的特例。
2018学高考理科数学通用版练酷专题二轮复习 保分专题(九) 圆锥曲线的方程与性质
[全国卷 3 年考情分析]
年份 卷别 卷Ⅰ 2017 卷Ⅱ 卷Ⅲ 卷Ⅰ 2016 考查内容及考题位置 命题分析 1.圆锥曲线的定 直线与抛物线的位置关系、弦长公 式、基本不等式的应用·T10 义、方程与性质是每年 高考必考的内容．以选 双曲线的几何性质·T15 择、填空题的形式考查， 双曲线的几何性质·T9 常出现在第4～11或 双曲线的渐近线及标准方程·T5 15～16题的位置，着重 考查圆锥曲线的几何性 双曲线的几何性质与标准方程·T5 质与标准方程，难度中 抛物线与圆的综合问题·T10 等． 双曲线的定义、离心率问题·T11 2.圆锥曲线的综 直线与椭圆的位置关系、椭圆的离 合问题多以解答题的形 心率·T11 式考查，常作为压轴题 出现在第20题的位置， 双曲线与向量的交汇·T5 一般难度较大．(见压 双曲线的几何性质·T11 轴专题(二))
圆锥曲线的几何性质
[师生共研·悟通]
1．椭圆、双曲线中，a，b，c及e之间的关系 c (1)在椭圆中：a ＝b ＋c ，离心率为e＝a＝
2 2 2
b 1－a2； b 1＋a2.
c (2)在双曲线中：c ＝a ＋b ，离心率为e＝a＝
2 2 2
x2 y2 b 2．双曲线 2 － 2 ＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±a x.注意 a b 离心率e与渐近线的斜率的关系．
[即学即用·练通]
1．顶点在原点，经过圆C：x2＋y2－2x＋2 2 y＝0的圆心且准线 与x轴垂直的抛物线方程为________．
解析：将圆C的一般方程化为标准方程为(x－1)2＋(y＋ 2 )2 ＝3，圆心为(1，－ 2 )．由题意，知抛物线的顶点在原 2 )．设抛物线的标准
高中数学圆锥曲线知识点总结
高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0。
两条曲线的交点：若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点⇔{),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。
二、圆：1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2 (2)一般方程：①当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(E D--半径是2422FE D -+。
配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E)2=44F-E D 22+②当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E); ③当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.（3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +。
高三数学二轮复习微专题：圆锥曲线的定义、标准方程
x2 y2
例 3．[双曲线的标准方程 ]已知双曲线 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为 4 5，渐近线
a b
方程为 2x±y＝0，则双曲线的方程为(
)
x2 y 2
A． － ＝1
4 16
x2 y 2
B． － ＝1
16 4
x2 y2
C． － ＝1
16 64
x2 y 2
D． － ＝1
64 16
1定型：就是确定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准
方程.
2计算：即利用待定系数法求出方程中的 a2 ，b2 或 p.另外，当焦点位置无
法确定时，抛物线方程常设为 y2＝2ax 或 x2＝2aya≠0，椭圆方程常设为 mx2＋
ny2＝1m＞0，n＞0，且 m≠n，双曲线方程常设为 mx2－ny2＝1mn＞0.
m
－ x
n
圆锥曲线的定义、方程
考点一 圆锥曲线的定义及标准方程——回归定义，巧解方程
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝________(2a>|F1F2|)；
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝________(2a<|F1F2|)；
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于点M.
|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线定义，得|BD|＝a，故∠BCD＝30°
，
在 Rt△ACE 中， ∵|AE|＝|AF|＝3，
|AC|＝3＋3a，∴2|AE|＝|AC|，即 3＋3a＝6，从而得 a＝1，|FC|＝3a＝3.
1
3
∴p＝|FG|＝ |FC|＝ ，因此抛物线方程为 y2＝3x，故选 C.
圆锥曲线复习课课件
将问题转化为函数问题，利用函数的性质和图像，求解相关 问题。
05
圆锥曲线的问题与挑战
圆锥曲线中的难题与挑战
圆锥曲线中的复杂计算
圆锥曲线问题往往涉及大量的计算和复杂的数学公式，需要学生 具备较高的数学计算能力和逻辑思维能力。
圆锥曲线中的抽象概念
圆锥曲线问题常常涉及到抽象的概念和性质，需要学生具备较好的 数学基础和空间想象力。
利用圆锥曲线的参数方程，将问 题转化为参数的取值范围或最值 问题，简化计算。
圆锥曲线的特殊解题方法
焦点三角形法
利用圆锥曲线的焦点三角形，结合正 弦定理、余弦定理等，求解相关问题 。
切线法
通过圆锥曲线的切线性质，结合导数 和切线斜率，求解相关问题。
圆锥曲线的综合解题方法
数形结合法
将几何性质与代数表达式相结合，通过数形结合的方法，直 观地解决问题。
作用。
光线的弯曲程度与圆锥曲线的离 心率有关，离心率越大，光线弯
曲程度越明显。
圆锥曲线的对称性质
圆锥曲线具有对称性，包括中 心对称、轴对称和面对称等。
圆具有中心对称和轴对称，椭 圆和双曲线只有中心对称，抛 物线只有轴对称。
对称性是圆锥曲线的一个重要 性质，在解决几何问题时具有 广泛应用。
03
圆锥曲线的应用
路，提高解题能力。
培养数学思维
学生应注重培养数学思维，提高 逻辑推理能力和空间想象力，以
便更好地解决圆锥曲线问题。
如何进一步深化对圆锥曲线的研究
研究圆锥曲线的性质
01
学生可以进一步研究圆锥曲线的性质和特点，探索其内在规律
和数学之美。
探索圆锥曲线与其他数学领域的联系
02
学生可以探索圆锥曲线与其他数学领域之间的联系，例如与代
高三数学圆锥曲线知识点
高三数学圆锥曲线知识点在高中数学中，圆锥曲线是一个重要的概念。
它由圆、椭圆、双曲线和抛物线四种曲线构成。
掌握圆锥曲线的知识对于解决各种数学问题和应用是至关重要的。
本文将介绍高三数学圆锥曲线的知识点。
一、圆锥曲线的定义和性质圆锥曲线是一个平面上到一个定点和一个定直线的距离之比保持不变的点的轨迹。
圆锥曲线分为四种类型：圆、椭圆、双曲线和抛物线。
1. 圆：圆是所有到一个点的距离相等的点的轨迹。
圆的特点是中心坐标为(h, k)，半径为r。
2. 椭圆：椭圆是所有到两个定点之和的距离之比为定值的点的轨迹。
椭圆的特点是有两个焦点F1和F2，两个焦点之间的距离为2a，离心率为e，长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。
3. 双曲线：双曲线是所有到两个定点之差的距离之差为定值的点的轨迹。
双曲线的特点是有两个焦点F1和F2，两个焦点之间的距离为2a，离心率为e，离心率小于1。
4. 抛物线：抛物线是所有到一个定直线的距离与到一个定点的距离相等的点的轨迹。
抛物线的特点是焦点为F，准线为L，焦距为p，焦点到准线的距离为x，焦点到点P的距离为y。
二、圆锥曲线的方程1. 圆的方程：$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
2. 椭圆的方程：$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$，其中(h, k)为椭圆中心的坐标，a和b分别为椭圆长半轴和短半轴的长度。
3. 双曲线的方程：$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} =1$，其中(h, k)为双曲线中心的坐标，a和b分别为双曲线长半轴和短半轴的长度。
4. 抛物线的方程：$y^2 = 4ax$，其中焦点为原点，准线为x轴，焦距为p。
三、圆锥曲线的性质和应用1. 圆的性质：圆的切线与半径垂直，圆的弦与半径垂直于弦的中点。
2. 椭圆的性质：椭圆的离心率介于0和1之间，焦点和对称轴平行。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学复习：圆锥曲线的方程与性质 1.已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝( ) A.2 B.3 C.6 D.9 解析 设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋p2＝12. 又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9， 所以9＋p2＝12，解得p＝6.故选C. 答案 C 2.设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为( ) A.14，0 B.12，0 C.(1，0) D.(2，0) 解析 将x＝2与抛物线方程y2＝2px联立， 可得y＝±2p， 不妨设D(2，2p)，E(2，－2p)，
由OD⊥OE，可得OD→·OE→＝4－4p＝0，解得p＝1， 所以抛物线C的方程为y2＝2x.其焦点坐标为12，0.故选B. 答案 B 3.设F1，F2是双曲线C：x2－y23＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为( )
A.72 B.3 C.52 D.2 解析 法一 由题知a＝1，b＝3，c＝2，F1(－2，0)，F2(2，0)， 如图，因为|OF1|＝|OF2|＝|OP|＝2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，故PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝16. 由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，所以|PF1||PF2|＝6， 所以△PF1F2的面积为12|PF1||PF2|＝3.故选B. 法二 由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F1，F2在x轴上，且|F1F2|＝21＋3＝4.设点P
的坐标为(x0，y0)，则x20－y203＝1，x20＋y20＝2，解得|y0|＝32. 所以△PF1F2的面积为12|F1F2|·|y0|＝12×4×32＝3.故选B. 答案 B 4.已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝43|AB|. (1)求C1的离心率； (2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程. 解 (1)由已知可设C2的方程为y2＝4cx，其中c＝a2－b2. 不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为b2a，－b2a；C，D的纵坐标分别为2c，－2c，故|AB|＝2b2a，|CD|＝4c.
由|CD|＝43|AB|得4c＝8b23a，即3×ca＝2－2ca2. 解得ca＝－2(舍去)或ca＝12. 所以C1的离心率为12. (2)由(1)知a＝2c，b＝3c，故C1：x24c2＋y23c2＝1. 设M(x0，y0)，则x204c2＋y203c2＝1，y20＝4cx0， 故x204c2＋4x03c＝1.① 因为C2的准线为x＝－c，所以|MF|＝x0＋c， 又|MF|＝5，故x0＝5－c， 代入①得（5－c）24c2＋4（5－c）3c＝1， 即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)或c＝3. 所以C1的标准方程为x236＋y227＝1， C2的标准方程为y2＝12x.
考点 1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)； (2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)； (3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离). 温馨提醒 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误. 2.圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)(焦点在x轴上)或y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)(焦点在y轴上)； (2)双曲线：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在x轴上)或y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在y轴上)； (3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0). 3.圆锥曲线的重要性质 (1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝ca＝1－b2a2. ②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝ca＝1＋b2a2. (2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标 ①双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±bax；焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0). ②双曲线y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±abx，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c). (3)抛物线的焦点坐标与准线方程 ①抛物线y2＝2px(p>0)的焦点Fp2，0，准线方程x＝－p2. ②抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F0，p2，准线方程y＝－p2. 4.弦长问题 (1)直线与圆锥曲线相交的弦 设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2＝1＋
1
k2
（y1＋y2）2－4y1y2. (2)过抛物线焦点的弦
抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝p24，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.
热点一 圆锥曲线的定义及标准方程 【例1】 (1)已知点O(0，0)，A(－2，0)，B(2，0).设点P满足|PA|－|PB|＝2，且P为函数y＝34－x2图象上的点，则|OP|＝( )
A.222 B.4105 C.7 D.10 (2)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( ) A.x22＋y2＝1 B.x23＋y22＝1 C.x24＋y23＝1 D.x25＋y24＝1 解析 (1)由|PA|－|PB|＝2＜|AB|＝4，得点P的轨迹是双曲线的右支.又a＝1，c＝2，知b2＝c2－a2＝3.故点P的轨迹方程为x2－y23＝1(x≥1)①，由于y＝34－x2②，联立①②，得x2＝134，y2＝274，故|OP|＝x2＋y2＝10. (2)设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0).连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m. 由椭圆定义，4m＝2a，得m＝a2， 故|F2A|＝|F1A|＝a，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点. 如图，不妨设A(0，－b)，依题意，AF2→＝2F2B→，得B32，b2. 由点B在椭圆上，得94a2＋b24b2＝1， 得a2＝3，b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为x23＋y22＝1. 答案 (1)D (2)B 探究提高 1.两题求解的关键在于准确把握圆锥曲线的定义和标准方程，另外注意焦点在不同的坐标轴上，椭圆、双曲线、抛物线方程各有不同的表示形式. 2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程. 【训练1】 (1)设双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为
( ) A.x24－y24＝1 B.x2－y24＝1 C.x24－y2＝1 D.x2－y2＝1 (2)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M(x0，66)x0＞p2是抛物线上一点，以M为圆心的圆与直线x＝p2交于A，B两点(A在B的上方)，若sin∠MFA＝57，则此抛物线的方程为________. 解析 (1)由y2＝4x，知焦点坐标为(1，0)，则过点(1，0)和点(0，b)的直线方程为x＋yb＝1. 易知x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为xa＋yb＝0和xa－yb＝0. 由l与一条渐近线平行，与一条渐近线垂直，得a＝1，b＝1.故双曲线C的方程为x2－y2＝1. (2)如图所示，过M点作CM⊥AF，垂足为C，交准线于D， ∴sin∠MFA＝57＝|MC||MF|. 由抛物线定义|MF|＝|MD|＝x0＋p2，
∴|MC||MF|＝x0－p2x0＋p2＝57， 得x0＝3p. ∵点M(x0，66)x0＞p2是抛物线上一点， ∴(66)2＝2px0，36×6＝6p2，∴p＝6，∴y2＝12x. 答案 (1)D (2)y2＝12x 热点二 圆锥曲线的几何性质 【例2】 (1)已知F为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为________. (2)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条
渐近线分别交于A，B两点.若F1A→＝AB→，F1B→·F2B→＝0，则C的离心率为________. 解析 (1)设B(c，yB)，因为B为双曲线C：x2a2－y2b2＝1上的点，所以c2a2－y2Bb2＝1，所以y2B＝b4a2，则yB＝b2a. 因为AB的斜率为3，
所以b2ac－a＝3，则b2＝3ac－3a2. 所以c2－a2＝3ac－3a2，所以c2－3ac＋2a2＝0，解得c＝a(舍去)或c＝2a. 所以C的离心率e＝ca＝2.