高中数学复习：圆锥曲线的方程与性质

高中数学复习：圆锥曲线的方程与性质

1.已知A 为抛物线C ：y 2

＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( ) A.2

B.3

C.6

D.9

解析 设A (x ，y )，由抛物线的定义知，点A 到准线的距离为12，即x ＋p

2＝12.

又因为点A 到y 轴的距离为9，即x ＝9， 所以9＋p

2＝12，解得p ＝6.故选C.

答案 C

2.设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2

＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0

B.⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，0 C.(1，0) D.(2，0)

解析 将x ＝2与抛物线方程y 2

＝2px 联立， 可得y ＝±2p ，

不妨设D (2，2p )，E (2，－2p )，

由OD ⊥OE ，可得OD →·OE →

＝4－4p ＝0，解得p ＝1，

所以抛物线C 的方程为y 2

＝2x .其焦点坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，0.故选B.

答案 B

3.设F 1，F 2是双曲线C ：x 2

－y 2

3

＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |＝2，则△

PF 1F 2的面积为( )

A.72

B.3

C.52

D.2

解析 法一 由题知a ＝1，b ＝3，c ＝2，F 1(－2，0)，F 2(2，0)，

如图，因为|OF 1|＝|OF 2|＝|OP |＝2，所以点P 在以F 1F 2为直径的圆上，故PF 1⊥PF 2，则|PF 1|2

＋|PF 2|2

＝(2c )2

＝16.

由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，所以|PF 1|2

＋|PF 2|2

－2|PF 1||PF 2|＝4，所以|PF 1||PF 2|＝6，

所以△PF 1F 2的面积为1

2

|PF 1||PF 2|＝3.故选B.

法二 由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F 1，F 2在x 轴上，且|F 1F 2|＝21＋3＝4.设点P

的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20－y 2

03＝1，x 20＋y 20

＝2，解得|y 0|＝32.

所以△PF 1F 2的面积为12|F 1F 2|·|y 0|＝12×4×3

2＝3.故选B.

答案 B

4.已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点

重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |＝4

3|AB |.

(1)求C 1的离心率；

(2)设M 是C 1与C 2的公共点.若|MF |＝5，求C 1与C 2的标准方程. 解 (1)由已知可设C 2的方程为y 2

＝4cx ，其中c ＝a 2

－b 2

.

不妨设A ，C 在第一象限，由题设得A ，B 的纵坐标分别为b 2a ，－b 2

a

；C ，D 的纵坐标分别为2c ，

－2c ，故|AB |＝2b

2

a

，|CD |＝4c .

由|CD |＝43|AB |得4c ＝8b 2

3a ，即3×c a ＝2－2⎝ ⎛⎭

⎪⎫c a 2

. 解得c a ＝－2(舍去)或c a ＝1

2

.

所以C 1的离心率为12

.

(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，故C 1：x 24c 2＋y 2

3c 2＝1.

设M (x 0，y 0)，则x 204c 2＋y 203c 2＝1，y 2

0＝4cx 0，

故x 20

4c 2＋4x 03c

＝1.①

因为C 2的准线为x ＝－c ，所以|MF |＝x 0＋c ， 又|MF |＝5，故x 0＝5－c ，

代入①得（5－c ）2

4c 2

＋4（5－c ）

3c ＝1， 即c 2

－2c －3＝0，解得c ＝－1(舍去)或c ＝3. 所以C 1的标准方程为x 236＋y 2

27

＝1，

C 2的标准方程为y 2＝12x .

考点

1.圆锥曲线的定义

(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离).

温馨提醒 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误. 2.圆锥曲线的标准方程

(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在y 轴上)；

(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在y 轴上)；

(3)抛物线：y 2

＝2px ，y 2

＝－2px ，x 2

＝2py ，x 2

＝－2py (p ＞0). 3.圆锥曲线的重要性质

(1)椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系

①在椭圆中：a 2

＝b 2

＋c 2；离心率为e ＝c

a

＝

1－b 2a 2. ②在双曲线中：c 2

＝a 2

＋b 2

；离心率为e ＝c

a

＝

1＋b 2a

2.

(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标

①双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b

a x ；焦点坐标F 1(－c ，0)，F 2(c ，0).

②双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±a

b

x ，焦点坐标F 1(0，－c )，F 2(0，c ).

(3)抛物线的焦点坐标与准线方程

①抛物线y 2

＝2px (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫p 2，0，准线方程x ＝－p 2.

②抛物线x 2

＝2py (p >0)的焦点F ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫

0，p 2，准线方程y ＝－p

2.