数学分析方向导数和梯度共21页
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数学分析-方向导数与梯度
(2 x 3)i (4 y 2) j 6zk , 故 gradu(1,1,2) 5i 2 j 12k .
3 1 在 P0 ( , ,0)处梯度为 0. 2 2
三、小结
1、方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）
2、梯度的概念
（注意梯度是一个向量）
3、方向导数与梯度的关系
梯度的方向就是函数 f ( x , y ) 在这点增长 最快的方向 .
思考题
1. 讨论函数 z f ( x , y ) x y 在( 0,0) 点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？
2 2
2. 考虑下面各项之间的关系
f 可微
f 连续
f x , f y , f z 存在
故沿任意方向的方向导数均存在且相等.
p
x
y
x
为 l 上的另一点且 P U ( p). （如图）
考虑
z
, 如当 P 沿着 l 趋于 P时，
0
lim
f ( x x, y y ) f ( x, y )
存在, 称此极限为函数在点 p 沿方向 l
的方向导数.
记为
f f ( x x , y y ) f ( x , y ) lim . l 0
类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值.
例2
求函数 u x 2 2 y 2 3 z 2 3 x 2 y 在点 (1,1,2)处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？
解 由梯度计算公式得
u u u gradu( x , y , z ) i j k x y z
3 1 在 P0 ( , ,0)处梯度为 0. 2 2
三、小结
1、方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）
2、梯度的概念
（注意梯度是一个向量）
3、方向导数与梯度的关系
梯度的方向就是函数 f ( x , y ) 在这点增长 最快的方向 .
思考题
1. 讨论函数 z f ( x , y ) x y 在( 0,0) 点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？
2 2
2. 考虑下面各项之间的关系
f 可微
f 连续
f x , f y , f z 存在
故沿任意方向的方向导数均存在且相等.
p
x
y
x
为 l 上的另一点且 P U ( p). （如图）
考虑
z
, 如当 P 沿着 l 趋于 P时，
0
lim
f ( x x, y y ) f ( x, y )
存在, 称此极限为函数在点 p 沿方向 l
的方向导数.
记为
f f ( x x , y y ) f ( x , y ) lim . l 0
类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值.
例2
求函数 u x 2 2 y 2 3 z 2 3 x 2 y 在点 (1,1,2)处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？
解 由梯度计算公式得
u u u gradu( x , y , z ) i j k x y z
高等数学方向导数与梯度
且 f f cos f cos f cos
l P0 x P0
y
P0
z P0
其中 cos ,cos ,cos 为l 的 方 向 余 弦.
7
例 设 n是曲面2x2 3y2 z2 6在点P(1,1,1)
处指向外侧的法向量, 求函数 u 6x2 8 y2
偏导数 f lim f ( x x, y) f ( x, y)
x x0
x
f
f ( x, y y) f ( x, y)
lim
y y0
y
分别是函数在某点沿平行于坐标轴的直线
的变化率. Δx、Δy可正可负！
3
定理9.12 如果z f ( x, y)在点P0( x0 , y0 )处可微,
t
f ( x0 , y0 )
O
P0
x
1
存在, 则称此极限为函数z = f (x, y)在点P0(x0, y0)
处沿方向 l 的方向导数,
记为 f l
,或
P0
f ( x0 , y0 ) . l
注: 方向导数是函数沿半直线方向的变化率.
如果函数 f (x, y)在区域D内任何一点(x, y)处沿方向
.
定义9.6
G
f x
,
f y
为函数
z
f (x,
y)
在点P( x, y)处的梯度, 记作 gradf ( x, y).
即
gradf
( x,
y)
f x
,
f y
f x
i
f y
2.1方向导数与梯度ppt课件
证明:i). fx(0,0,0)
条件 , 但不必要 .
limf( x,0,0)f(0,0,0)
x 0
x
lim x , x0 x
fx(0 ,0 ,0 )不 存 在 ;同 理 , fy ( 0 ,0 ,0 ) ,fz ( 0 ,0 ,0 ) 不 存 在 .
:
i i ) .记 l 的 方 向 数 为 l 0 l x , l y , l z, 则
l
对 二 元 函 数 f(x,y),
•P
y
定义 定理1
fl(P0)li m 0 f(P)f(P0)
••
P 0 x
o
fx (P 0 )c o s fy (P 0 )c o s
x
其 中 和 是 l的 方 向 角 . :
例 1. 设 f(x,y,z)xy2z3, 求 f在 点 P0(1,1,1)处 沿 l方 向 的 方 向 导 数 . 其 中 i).l为 方 向 (2, 2,1);
i i i ) . g r a d u v u g r a d v v g r a d u ,
iv ). g ra du vug ra d v u 2 vg ra d u,
v ) . g r a d fu f( u ) g r a d u .
:
证明:iv). u v xuvxu 2uxv, u v yuvyu 2uyv
l
0
0
存在 , 则称此极限值为函数 f 在点P0沿l 方向的方向导数。
P P0
o
y
记为 f l
或 fl (P0 )、 fl (x0, y0, z0 ).
P0
:
x
在方向导数定义式 f lim f (P) f (P0) 中，
方向导数和梯度ppt课件.ppt
z cos 2cos 2 .
l
2
例 2 求函数 f ( x, y) x2 xy y2 在点（1，1）
沿与 x轴夹角为 的射线 l 的方向导数.并问在怎
样的方向上此方向导 数有 （1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？
解 由方向导数的计算公式知
f l
(1,1)
fx(1,1)cos
l
y
l
• P
沿什么方向是上坡且坡度最陡？
沿什么方向是下坡且坡度最小？
••
P( x0 , y0 )
o
x
讨论函数 z f ( x, y)在一点P沿某一方向
的变化率问题．
设函数 z f (x, y) 在点
y
l
P(x, y)的某一邻域U(P)
• P
y
内有定义，自点P 引射线 l．
••
设 x 轴与射线l 的夹角
u x2 y2 z2
ngrad2uxi22xiyj22yzjk2z2kx, ,2 y,2z
例如： 函数
u x2 y2 z2
gradu 如图所示.
gradu {2 x,2 y,2z} 梯度方向为向径方向
等 量 面 为 ： x2 y2 z2 c1 , x2 y2 z2 c2, x2 y2 z2 c3, x2 y2 z2 c4 ,
^
此式表明，当方向l和G方向一致时，即cos(G, l ) 1时，
方向导数u 取最大值，其值为: l
u G . l
由此得出，向量G就是函数 f 变化率最大的
方 向 ， 即 方 向 导 数 取 最大 值 的 方 向G，的 模
G 正好就是最大的方向导数值.
定义 设函数 u f ( x, y, z) 在区域 D 内具有一
高等数学 8-7.方向导数与梯度
π 方向导数达到最大值 2 ; 故 1）当α = 时， （ 4 5π π （2）当α = 时， 方向导数达到最小值− 2 ; 4 3π 7π π π （3）当α = 和α = 时，方向导数等于 0. 4 4
推广可得三元函数方向导数的定义
对于三元函数 u = f ( x, y, z )，它在空间一点 P( x0 , y0 , z0 ) 沿着方向 l = (cosα ,cos β ,cos γ ) 的方 向导数 ，可定义为 f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y, z0 + ∆z ) − f ( x0 , y0 , z0 ) ∂f = lim ρ ∂l ρ →0
方向导数仍可理解 为曲线上一点处右 切线在新坐标系下 的斜率. 的斜率
y
t
P = ( x 0 , y0 )
v = (cos α ,sin α )
方向导数的物理意义：
设一质点 P 在三维空间的运动轨迹为 (时间t) 时间
x = x0 + t cos α , y = y0 + t sin α , z = f ( x0 + t cos α , y0 + t sin α )
y
l
• P′
•
•
ϕ
∆x
∆y
x
（如图） 如图）
ρ f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ) 是否存在？ 是否存在？ lim ρ →0 ρ
上述极限若存在, 定义: 上述极限若存在 则称此极限为函数 f 在 P处沿方向 l 的方向导数 记为 方向导数, 处沿方向
∵ | PP ′ |= ρ = ( ∆x )2 + ( ∆y )2 , 且 ∆z = f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ), ∆z 考虑 , 当 P′沿着 l 趋于 P时，
方向导数与梯度
f l
(x0, y0)
=|gradf(x0, y0)|cos(gradf(x0, y0),^el). , .
函数在一点的梯度是这样一个向量, 函数在一点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最 大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值. 大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值.
(x0, y0)
= fx(x0, y0)cosα+ f y(x0, y0)cosβ . >>>
函数f(x, 在点 沿方向l 在点P 的方向导数: 函数 , y)在点 0沿方向 (el=(cosα, cosβ))的方向导数: 的方向导数
f l
(x0, y0)
= fx(x0, y0)cosα+ f y(x0, y0)cosβ .
第六节 方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度 三、总结
一、方向导数
设函数z= , 在点 在点P 的某一邻域U(P0)内有定义, 内有定义, 设函数 =f(x, y)在点 0(x0, y0)的某一邻域 的某一邻域 内有定义 l是xOy平面上以 0(x0, y0)为始点的一条射线, 与l同方向的单 平面上以P 为始点的一条射线, 是 平面上以 为始点的一条射线 同方向的单 位向量为el=(cosα, cosβ). 位向量为 . 方向导数
1 n= ( fx(x0, y0), f y(x0, y0)) . 2 2 fx (x0, y0)+ f y (x0, y0)
提示: 等值线f(x, = 是曲面 是曲面z= , 被平面 所截得的曲线 被平面z= 提示: 等值线 , y)=c是曲面 =f(x, y)被平面 =c所截得的曲线
z = f (x, y) z =c
方向导数与梯度-极值
f f j ，这向量称为函数 都可定出一个向量 i x y z f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的梯度，记为 f f gradf ( x , y ) i j. x y 设 e cos i sin j 是方向 l 上的单位向量，
3 1 在 P0 ( , ,0) 处梯度为 0. 2 2
a b x y 例5 求函数 z 1 ( 2 2 ) 在点 ( , ) 处 2 2 a b 2 2 x y 沿曲线 2 1 的内法线方向的方向导数 a2 b
f f f cos sin ， 存在，且有 l x y x 其中 为 轴到方向 L 的转角．
证明 由于函数可微，则增量可表示为
f f f ( x x , y y ) f ( x , y ) x y o( ) x y
z cos ,
同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点 沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
f f f f cos cos cos . l x y z
2 2 2 例 3 设n 是曲面 2 x 3 y z 6 在点 P (1,1,1) 处的指向外侧的法向量，求函数 1 1 2 2 2 n u (6 x 8 y ) 在此处沿方向 的方向 z
f f cos sin . x y
例 1 求函数 z xe 2 y 在点 P (1,0) 处沿从点
P (1,0) 到点Q ( 2,1) 的方向的方向导数.
解
l 这里方向 即为 PQ {1, 1} , l 故 x 轴到方向 的转角 . 4
z 2 xe 2 y (1, 0 ) 2, y ( 1 , 0 )
高等数学方向导数梯度
2 (1, 2, 2) 9
解答完毕
D8_6几何应用 8_7方向导数
(30,57)--24
2. 函数u ln(x y2 z2 )在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是
1 2
. (考研题)
解答:
则
{cos , cos , cos }
ln(x 1)
l 0 x
y
z
2012.3
证明完毕 D8_6几何应用 8_7方向导数
(30,57)--3
对于二元函数 f (x, y), 在点P(x, y)处沿方向 l (方向角
为, ) 的方向导数为
f lim f (x x, y y) f (x, y)
l 0
y lP
l
fx (x, y) cos f y (x, y) cos
l
P
lim f
0
P(x, y, z)
lim
0
f
(x
x,
y
y, z
z)
f
(x,
y,
z)
记作
f l
则称 f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.
l
2012.3
D8_6几何应用 8_7方向导数
(30,57)--2
定理: 若函数 f (x, y, z) 在点 P(x, y, z) 处可微 ,
,
x2 y2 0
在(0,0)点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？
2012.3
D8_6几何应用 8_7方向导数
(30,57)--17
思考题解答
依定义知在(0,0)
处，
f
x