全微分、方向导数、偏导数与连续四者之间的关系
函数连续,函数可微,函数可导,偏导数存在,偏导数连续之间地关系
1、可导即设y=f(x)是一个单变量函数，如果y在x=x0处存在导数y′=f′(x), 则称y在x=x[0]处可导。
如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。
函数可导定义：（1）设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若[f(x0+a)-f(x0)]/a 的极限存在,则称f(x)在x0处可导。
（2）若对于区间(a,b)上任意一点(m，f(m))均可导，则称f(x)在(a，b)上可导。
连续函数可导条件：函数在该点的左右偏导数都存在且相等。
即就是一个函数在某一点求极限，如果极限存在，则为可导，若所得导数等于函数在该点的函数值，则函数为连续可导函数，否则为不连续可导函数2、连续函数连续必须同时满足三个条件：函数在x0处有定义；x->x0极限limf(x)存在；x->x0时limf(x)=f(x0)定理有：函数可导必然连续；不连续必然不可导。
3、可微定义：设函数y=f(x)，若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx)其中A与Δx无关，则称函数f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分，记作dy，即dy=A×Δx当x=x0时，则记作dy∣x=x0.可微条件：必要条件：若函数在某点可微，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。
充分条件：若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。
4、可积函数定义如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，我们就说f(x)在[a,b]上可积。
即f(x)是[a,b]上的可积函数。
函数可积的充分条件定理1设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
定理3设f(x)在区间[a,b]上单调有界,则f(x)在[a,b]上可积。
可积的必要条件：被积函数在闭区间上有界。
偏导数、全微分、方向导数三者之间的关系
数学学习与研究2014.14【摘要】本文通过定理及反例的形式给出偏导数、全微分、方向导数三者之间的关系,从而使学习者更加认清三者之间的联系.【关键词】偏导数;全微分;方向导数对于偏导数、全微分、方向导数三者之间的内在联系一直是学生难以理解和容易混淆的内容,本文以二元函数为例,通过定理及反例的形式给出偏导数、全微分、方向导数三者之间的关系,以便加深学生对上述内容的理解.一、偏导数存在与全微分存在之间的关系定理一如果函数z =f (x ,y )在点(x ,y )可微分,则该函数在点(x ,y )的偏导数∂z ∂x 、∂z ∂y存在.反之不成立.例1函数f (x ,y )=xy x 2+y2√,x 2+y 2≠0,0,x 2+y 2=0,{在点(0,0)处有f x (0,0)=0,f y (0,0)=0,但是lim ρ(Δx=Δy )→0Δz -(f x (0,0)Δx +f y (0,0)Δy )ρ=limρ(Δx=Δy )→0Δx ·Δx (Δx )2+(Δx )2=12,并不是比ρ高阶的无穷小,因此,该函数在点(0,0)处的全微分不存在.定理二如果函数z =(x ,y )的偏导数∂z ∂x ,∂z ∂y 在点(x ,y )连续,则函数在该点可微分.二、偏导数存在与任意方向的方向导数存在之间的关系首先,函数z =f (x ,y )在点(x ,y )两个偏导数存在,只能说明该函数在点(x ,y )沿=(1,0)(或=(-1,0))及=(0,1)(或=(0,-1)),(x ,y ).例2设函数f (x ,y )=xy x 2+y 2,x 2+y 2≠0,0,x 2+y 2=0,{函数f (x ,y )在(0,0)处有f x (0,0)=0,f y (0,0)=0.设l 是以(0,0)为始点、=cos π4,cosπ4()的一条射线,则limρ→0+f ρcos π4,ρcosπ4()-f (0,0)ρ=lim ρ→0+ρ2cos π4cos π4ρ3=12lim ρ→0+1ρ,此极限显然不存在,所以∂f∂l (0,0)不存在.其次,函数z =f (x ,y )在点(x ,y )沿任意方向的方向导数都存在并不能保证该函数在点(x ,y )偏导数存在.例3设f (x ,y )=x 2+y 2√,则f (x ,y )在点(0,0)沿任意射线l(=(cos α,cos β))的方向导数为:∂f∂l(0,0)=lim ρ→0+f (ρcos α,ρcos β)-f (0,0)ρ=lim ρ→0+(ρcos α)2+(ρcos β)2√ρ=1.但是,f x (0,0),f y (0,0)显然不存在.所以函数z =f (x ,y )在点(x ,y )处沿任意方向的方向导数存在既不是它在点(x ,y )处偏导数存在的充分条件也不是必要条件.三、任意方向的方向导数存在与全微分存在之间的关系定理三如果函数z =f (x ,y )在点(x ,y )全微分存在,则该函数在点(x ,y )沿任意方向的方向导数存在.反之不成立.例4设函数f (x ,y )=xy x 2+y 2√,x 2+y 2≠0,0,x 2+y 2=0,{则f (x ,y )在点(0,0)沿任意方向l(=l =(cos α,cos β))的方向导数为:∂f∂l (0,0)=lim ρ→0+f (ρcos α,ρcos β)-f (0,0)ρ=lim ρ→0+ρ2cos αcos βρ2=cos αcos β.但由例1可知,该函数在点(0,0)处的全微分不存在.上述定理的证明,可参考同济大学数学系编的《高等数学》,在此不再赘述.【参考文献】[1]同济大学数学系编.高等数学[M ].北京:高等教育出版社,2009.[2]刘玉琏,傅沛仁,林玎等.数学分析讲义[M ].北京:高等教育出版社,2010.偏导数、全微分、方向导数三者之间的关系◎徐志敏(大连交通大学116028). All Rights Reserved.。
偏导数全微分
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由微分定义, 有 lim ∆z = lim[ ( A∆x + B∆y ) + o(ρ ) ] = 0
∆x→0 ∆y→0
ρ→0
得
lim f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) = f (x0 , y0 ) ∆x→0
2 2
∆ z −[ f x ( 0, 0)∆x + f y ( 0, 0)∆y] =
∆x∆y x∆ (∆x)2 + (∆y)2
∆x ∆y = (∆x)2 + (∆y)2
0
≠ o(ρ ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
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定理12.1.2 (充分条件)若函数 定理
在 (x, y) 连 , 则函数在该点可微. 点 续 证：∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y)
= f x (x, y)∆x + f y (x, y)∆y+α ∆x + β ∆y
lim α = 0, lim β = 0 ∆x→0 ∆x→0 ∆y→0 ∆y→0
α ∆x + β ∆y ≤ α + β , 故有 注意到 ρ
∆z = f x (x, y)∆x + f y (x, y)∆y + o(ρ )
du =
记作
∂u + dz ∂z
dz u
dx u , d y u , dz u称为偏微分 故有下述叠加原理 偏微分. 偏微分 d u = d x u + d y u + dz u
偏导数与全导数-偏微分与全微分的关联
1。
偏导数代数意义偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数对x求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率对y求偏导的话x就看作一个数，描述的是y方向上的变化率几何意义对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线这里在补充点。
就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况，但是我们要了解各个方向上的情况，所以后面有方向导数的概念。
2。
微分偏增量：x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y)偏微分：在detax趋进于0时偏增量的线性主要部分detaz=fx（x,y）detax+o(detax)右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在（x，y）点对x的偏微分这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分全增量：x,y都增加时f(x,y)的增量全微分：根号(detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系dz=Adx+Bdy 其中A就是对x求偏导，B就是对y求偏导希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。
概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式，公式同时也指明了求微分的方法。
3.全导数全导数是在复合函数中的概念，和上面的概念不是一个系统，要分开。
u=a(t),v=b(t)z=f[a(t),b(t)]dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。
dz/dt=(偏z/偏u)(du/dt)+(偏z/偏v)(dv/dt)建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。
1.中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。
2.中间变量有多元，只能求偏导 3.中间变两有一元也有多元，还是求偏导。
对于你的题能求对x的偏导数，对y的偏导数，z的全微分，不能求全导数如果z=f(x^2,2^x) 只有这种情况下dz/dx才是全导数！偏导数就是在一个范围里导数，如在（x0,y0)处导数。
全微分、方向导数、偏导数与连续四者之间的关系
全微分、方向导数、偏导数与连续四者之间的关系关键词 全微分，任意方向上的方向导数，偏导数，连续一、全微分存在和任意方向的方向导数存在之间的关系定理1：函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微分，则在该点处任意方向上的方向导数存在，反之不成立．例1：函数z =在点(0,0)处对,x y 的全微分不存在，但在该点处沿任意方向的方向导数存在． 证明：0(0,0)(,0)(0,0)lim x z z x z x x∆→∂∆-=∂∆ 01,0,lim 1,0,x x x x x ∆→∆>∆⎧==⎨-∆<∆⎩故z =(0,0)处对x 的偏导数不存在，同理z =在点(0,0)处对y 的偏导数不存在，由定理1z =在点(0,0)处对,x y 的全微分不存在．但z =(0,0)处沿任意方向的方向导数为0(0,0)(cos ,sin )(0,0)lim z z z l ρρθρθρ→∂-=∂0lim 1ρρρ→== 即任意方向上的方向导数存在．二、任意方向的方向导数、偏导数和连续之间的关系下面介绍一个更易出错的概念，大多数人以为“若函数在一点处沿任意方向的方向导数存在，则函数在该点处必连续”．这是一个完全错误的概念，如：例2： 2222422,0,0,0,xy x y z x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩它在任意方向上的方向导数为：0(0,0)(cos ,cos )(0,0)lim z z z l ρραρβρ→∂-=∂222240cos ,cos 0,cos cos lim cos cos cos 0,cos 0,ρβααβααρβα→⎧≠⎪==⎨+⎪=⎩ 这一结果表明2222422,00,0xy x y z x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩在点(0,0)处沿任意方向的方向导数都存在．但是222001lim (0,0)2y x x x z z x x ++→→==≠+，即函数在该点不连续． 定理2：函数函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处的偏导数存在，但在该点沿任意方向上的方向导数不一定存在．例3：函数2222222,0,()0,0,xy x y x y z x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0,0)处对,x y 的偏导数存在，但在该点处沿任意方向的方向导数不存在． 证明：0(0,0)(,0)(0,0)lim 0x z z x z x x∆→∂∆-==∂∆ 同理，(0,0)0zy ∂=∂存在但该函数沿任意方向上的方向导数：0(0,0)(cos ,sin )(0,0)lim z z z l ρρθρθρ→∂-=∂ 240cos sin lim ρρθρθρ→=20sin 21lim 2ρθρ→=不存在． 定理3：函数函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处的偏导数不存在，但在该点沿任意方向上的方向导数可能存在．例4：函数z =在点(0,0)处对,x y 的偏导数不存在，但在该点处沿任意方向的方向导数存在．证明：函数z =(0,0)处对,x y 的偏导数为：0(0,0)(,0)(0,0)lim x z z x z x x∆→∂∆-=∂∆01,0,lim 1,0,x x xx x ∆→∆>∆⎧==⎨-∆<∆⎩ 故函数在点(0,0)处对x 的偏导数不存在，同理函数在点(0,0)处对y 的偏导数不存在， 定理4：函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对,x y 的一阶偏导数存在且连续，则在该点处沿任意方向的方向导数必存在．证明：由定理知函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微分．又由定理知函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处沿任意方向的方向导数必存在．参考文献：１．同济大学数学系．高等数学（下册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７． ２．华东师范大学数学系．数学分析（下册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９９． ３．常庚哲，史济怀．数学分析教程［Ｍ］．南京：江苏教育出版社，１９９８．。
全微分与偏导数的关系
全微分与偏导数的关系
全微分与偏导数是微积分中的两个重要概念，它们之间存在着密切的联系。
全微分可以理解为一个函数在某一点处的变化量，而偏导数则是一个函数在某一方向上的变化量。
在一元函数中，全微分等于函数的导数乘以自变量的微小增量。
例如，对于函数f(x)，全微分df在点x处的值等于f'(x)dx。
在多元函数中，全微分可以表示为函数在各个自变量上的偏导数乘以各自的微小增量的和。
例如对于函数f(x,y)，在点(x0,y0)处的全微分df为df=fx(x0,y0)dx + fy(x0,y0)dy。
同时，对于一个函数f(x,y)，其在x方向的偏导数可以表示为
偏微分df/dx，y方向的偏导数可以表示为偏微分df/dy。
因此，全微分与偏导数之间的关系可以表示为：如果一个函数在区域内的偏导数存在且连续，则该函数在该区域内是全微分的。
也即，如果一个函数存在全微分，则其在各个自变量上的偏导数存在且连续。
- 1 -。
考研偏导全微分关系特详细讲解
微分偏导之间的关系下面举例说明相关关系（对于的我们举反例对于A B 的证明之）。
（1） 首先证明可微则,f fx y∂∂∂∂存在。
即对应上图的全微分 证：由可微的定义有△Z= A ·△x+B ·△y+o(ρ)所以：f(x+△x,y+△y)-f(x,y)= A ·△x+B ·△y+o(ρ) 令：△y=0再对等式两边取极限有：f x ∂∂=0(,)f (,)lim x f x x y x y A x ∆→+∆-=∆ 同理 f y∂∂=B （2）在一点M （x O ,y O 例：22(x y +220x y +≠f(x,y)=0 , 220x y +=在点（0,0）可微 但是偏导并不连续。
由全微分可微的判别式（或称定义）：△Z= A ·△x+B ·△y+o(ρ)求一点的偏导我们用定义（可用偏导数的连续性直接代入该点，但是在此偏导连续性是我们需证明的问题所以在这里我们只能用定义求一点偏导）A=(0,0)x f=00f (,0)(0,0)lim 00x y x f x x →=-===-B=00f (0,)(0,0)(0,0)lim00y x y y f f y y =→-====-△Z=f(△x,△y)-f(0,0)= 22(x y ∆+∆则00limz x yρρ→∆-∙∆-∙∆===所以函数在（0,0）可微。
下面证明在（0，0）偏导不连续。
首先求,f fx y∂∂∂∂(,)(2f x y x x ∂=∂由于x,y 的轮换性（也就是x 与y 可交换，地位相同在此不详述，后面空间积分用它时再详述） 所以（将x 与y 位置调换即可）(,)(2f x y y y ∂=∂再利用二元函数连续定义（在此证明它的不存在故取特殊路径） 取X=0的路径y 0000(x,)limlim(20y x x f y x x →→==∂==∂ 取y=xx 00(x,)limlim{(2x y x y xf y x x →→==∂=∂=00x →-不存在。
二元函数连续偏导数和全微分之间的关系
二元函数连续偏导数和全微分之间的关系1. 引言1.1 二元函数连续性的重要性二元函数的连续性在数学中具有重要意义。
连续性是函数在定义域内连续变化的性质，它保证了函数在某一点附近的变化是平滑的，没有突变或间断。
对于二元函数而言，连续性的重要性更加显著。
二元函数的连续性直接影响到函数在给定点的极限存在性。
如果一个二元函数在某点处不连续，那么在该点处的极限也将不存在。
这将导致在对函数进行分析或求解问题时出现困难，因为在极限点附近的函数值无法确定，使得无法准确描述函数的性质。
连续性也是进行微分和积分运算的前提条件之一。
在实际问题中，我们常常需要对二元函数进行微分或积分来得到某些性质或信息。
如果函数不是连续的，那么在这些点处微分或积分将无法进行，进而影响到对问题的解决。
二元函数的连续性还与函数的可导性有密切关系。
在连续性的基础上，我们可以讨论函数是否可导。
可导性是用来描述函数在某点处的变化率，是求导数和偏导数的基础。
如果一个二元函数不连续，那么在该点处不可能存在偏导数，这将限制我们对函数变化率的研究。
二元函数的连续性是数学分析中的基础性概念，它影响着函数的极限、微分、积分以及可导性等方面。
对于研究二元函数的性质和求解实际问题具有重要作用，因此我们必须重视二元函数连续性的重要性。
1.2 连续偏导数的概念连续偏导数是二元函数中非常重要的概念，它描述了函数在某一点处对不同方向的变化率。
在二元函数中，我们通常会对每个自变量求偏导数，而这些偏导数是否连续就决定了函数在该点是否具有连续性。
具体来讲，如果一个二元函数在某一点处的偏导数存在且连续，那么我们称该函数在该点处具有连续偏导数。
连续偏导数的概念是基于一元函数的连续性延伸而来的，它告诉我们函数在该点附近不仅在某一方向上变化平稳，而且在所有方向上都变化平稳。
连续偏导数的存在意味着函数在该点处是光滑且连续的，而这对于研究函数的性质和行为至关重要。
通过连续偏导数，我们可以更好地理解函数的局部性质，包括强调函数的斜率、曲率以及其他微分性质。
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全微分、方向导数、偏导数与连续四者之间的关系
朱丽娜 郑州工业安全职业学院 451192
摘要 本文结合具体实例分三种情况分别讨论了二元函数的全微分、偏导数和连续之间的关系，全微分存在和任意方向的方向导数存在之间的关系，任意方向的方向导数、偏导数和连续之间的关系，从而得出他们四者之间的所有关系。
关键词 全微分，任意方向上的方向导数，偏导数，连续
对于多元函数的偏导数、方向导数、偏导数和连续等基本概念及其内在联系，既是多元函数微分学中的重难点知识，也是我们教学过程中容易出现的误解和错误盲点．本文就该问题分三种情况、以二元函数为例来加以阐述，以做到加强理解和灵活掌握的目的．
一、全微分、偏导数和连续三者之间的关系
定理１：（必要条件）如果函数(,)z f x y =在点(,)x y 可微分，则该函数在点(,)x y 连续且一阶偏导数存在．
定理２：（充分条件）函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对,x y 的一阶偏导数存在且连续，则在该点处必可微分．
读者还可以从可微的定义看到函数在可微点处必连续，但是在函数的连续点处不一定存
在偏导数，当然更不能保证函数在该点可微．如z =在原点连续，但是在该点处偏导数不存在，也不可微．
偏导数存在，函数却不一定可微，也不一定连续．
二、全微分存在和任意方向的方向导数存在之间的关系
定理3：函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微分，则在该点处任意方向上的方向导数存在，反之不成立．
例1
：函数z =在点(0,0)处对,x y 的全微分不存在，但在该点处沿任意方向的方向导数存在． 证明：0(0,0)(,0)(0,0)lim x z z x z x x
∆→∂∆-=∂∆ 0
1,0,lim 1,0,x x x x x ∆→∆>∆⎧==⎨-∆<∆⎩
故z =
(0,0)处对x 的偏导数不存在，
同理z =在点(0,0)处对y 的偏导数不存在，
由定理1
z =
在点(0,0)处对,x y 的全微分不存在．
但z =(0,0)处沿任意方向的方向导数为
0(0,0)(cos ,sin )(0,0)lim z z z l ρρθρθρ
→∂-=∂0lim 1ρρρ→==
即任意方向上的方向导数存在．
三、任意方向的方向导数、偏导数和连续之间的关系
咱们下面介绍一个更易出错的概念，大多数人以为“若函数在一点处沿任意方向的方向导数存在，则函数在该点处必连续”．这是一个完全错误的概念，如：
例2： 2
222422,0,0,0,xy x y z x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩
它在任意方向上的方向导数为：
0(0,0)(cos ,cos )(0,0)lim z z z l ρραρβρ
→∂-=∂
222240cos ,cos 0,cos cos lim cos cos cos 0,cos 0,ρβααβααρβα→⎧≠⎪==⎨+⎪=⎩ 这一结果表明2
222422,00,0xy x y z x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩
在点(0,0)处沿任意方向的方向导数都存在．
但是222001lim (0,0)2
y x x x z z x x ++
→→==≠+，即函数在该点不连续． 定理4：函数(,)z f x y =在点00(,)x y 沿任意方向上的方向导数存在，则在该点处偏导数必存在．
证明：函数在点00(,)x y 的任意方向的方向导数为： 000
0000(,)(,)(,)lim x y z x x y y z x y z l ρρ
→+∆+∆-∂=∂ 当0y ∆=时，该方向导数即为函数在点00(,)x y 的偏导数，即偏导数存在且为：
000000000(,)(,)
(,)(,)lim x x y x y z x x y z x y z z x l ρ∆→+∆-∂∂==∂∂ 同理0000(,)
(,)x y x y z z y l ∂∂=∂∂存在． 该定理还有两个结论：
结论１：函数函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处的偏导数存在，但在该点沿任意方向上的方向导数不一定存在．
例3：函数2222222,0,()0,0,xy x y x y z x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩
在点(0,0)处对,x y 的偏导数存在，但在该点处沿
任意方向的方向导数不存在． 证明：0(0,0)(,0)(0,0)lim 0x z z x z x x
∆→∂∆-==∂∆ 同理，
(0,0)0z
y ∂=∂存在
但该函数沿任意方向上的方向导数：
0(0,0)(cos ,sin )(0,0)lim z z z l ρρθρθρ
→∂-=∂ 240cos sin lim ρρθρθρ
→=20sin 21lim 2ρθρ→=不存在． 结论２：函数函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处的偏导数不存在，但在该点沿任意方向上的方向导数可能存在．
例4
：函数z =在点(0,0)处对,x y 的偏导数不存在，但在该点处沿任意方向的方向导数存在．
证明：函数z =(0,0)处对,x y 的偏导数为：
0(0,0)(,0)(0,0)lim x z z x z x x
∆→∂∆-=∂∆ 01,0,lim 1,0,x x x
x x ∆→∆>∆⎧==⎨-∆<∆⎩ 故函数在点(0,0)处对x 的偏导数不存在，同理函数在点(0,0)处对y 的偏导数不存在， 由上面的例2知道函数在点(0,0)处沿任意方向的方向导数存在．
定理5：函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对,x y 的一阶偏导数存在且连续，则在该点处沿任意方向的方向导数必存在．
证明：由定理知函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微分．又由定理知函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处沿任意方向的方向导数必存在．
综合以上分析知，上述研究问题的手段即是我们今后教学中研究多元(2)n ≥函数性
质值得借鉴的基本方法，更为广大同学的学习提供了一种讨论类似数学问题的基本思路．参考文献：
１．同济大学数学系．高等数学（下册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７．２．华东师范大学数学系．数学分析（下册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９９．３．常庚哲，史济怀．数学分析教程［Ｍ］．南京：江苏教育出版社，１９９８．。