专题3-平差数学模型与最小二乘原理(实习用—概论与开始统讲)概论
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平差数学模型与最小二乘原理
第二章
平差数学模型与最小二乘原理
§ 1 测量平差概述 § 2 测量平差的数学模型 § 3 函数模型的线性化 § 4 最小二乘原理
§2-1 测量平差概述
在测量工作中，为了确定待定点的高程， 需要建立水准网，为了确定待定点的平面 坐标，需要建立平面控制网（包括测角网、 测边网、边角网），我们常把这些网称为 几何模型。每种几何模型都包含有不同的 几何元素，如水准网中包括点的高程、点 间的高差，平面网中包含角度、边长、边 的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等 元素。这些元素都被称为几何量。
A L~
rn n1
A0
r 1
0 r 1
将 L~ L 代入，并令 W (AL A0 )
则
A W 0
上式即为条件平差的函数模型。以此模型为基础
的平差计算称为条件平差法。
2. 附有参数的条件平差法
在平差问题中，设观测值个数为n，必要 观测个数为t，则可以列出r=n-t个条件方 程，现又增设了u个独立量作为未知参数， 且0 <u<t,每增加一个参数应增加一个条 件方程，因此，共需列出r+u个条件方程， 以含有参数的条件方程为平差函数模型 的平差方法，称为附有参数的条件平差 法。
4. 附有限制条件的间接平差
其函数模型的一般形式为
L~ F (X~)
n1
( X~) 0
S 1
线性形式的函数模型为
测量平差概述
在诸多几何量中，有的可以直接测量，但更多 的是通过测定其它一些量来间接求出。如根据 一点的坐标，通过直接测定的角度和距离求定 另一些点的坐标；根据一点的高程，通过直接 测定的高差求定另一些点的高程等等。这也充 分说明要确定一个几何模型，并不需பைடு நூலகம்知道其 中所有元素的大小，只需知道其中的一部分就 可以了，其它元素可以通过它们之间的函数描 述而确定出来，这种描述所求量与已知量之间 的关系式称为函数模型。
平差数学模型与最小二乘原理
§ 1 测量平差概述 § 2 测量平差的数学模型 § 3 函数模型的线性化 § 4 最小二乘原理
§2-1 测量平差概述
在测量工作中，为了确定待定点的高程， 需要建立水准网，为了确定待定点的平面 坐标，需要建立平面控制网（包括测角网、 测边网、边角网），我们常把这些网称为 几何模型。每种几何模型都包含有不同的 几何元素，如水准网中包括点的高程、点 间的高差，平面网中包含角度、边长、边 的坐标方位角以及点的二维或三维坐标等 元素。这些元素都被称为几何量。
A L~
rn n1
A0
r 1
0 r 1
将 L~ L 代入，并令 W (AL A0 )
则
A W 0
上式即为条件平差的函数模型。以此模型为基础
的平差计算称为条件平差法。
2. 附有参数的条件平差法
在平差问题中，设观测值个数为n，必要 观测个数为t，则可以列出r=n-t个条件方 程，现又增设了u个独立量作为未知参数， 且0 <u<t,每增加一个参数应增加一个条 件方程，因此，共需列出r+u个条件方程， 以含有参数的条件方程为平差函数模型 的平差方法，称为附有参数的条件平差 法。
4. 附有限制条件的间接平差
其函数模型的一般形式为
L~ F (X~)
n1
( X~) 0
S 1
线性形式的函数模型为
测量平差概述
在诸多几何量中，有的可以直接测量，但更多 的是通过测定其它一些量来间接求出。如根据 一点的坐标，通过直接测定的角度和距离求定 另一些点的坐标；根据一点的高程，通过直接 测定的高差求定另一些点的高程等等。这也充 分说明要确定一个几何模型，并不需பைடு நூலகம்知道其 中所有元素的大小，只需知道其中的一部分就 可以了，其它元素可以通过它们之间的函数描 述而确定出来，这种描述所求量与已知量之间 的关系式称为函数模型。
第2章平差数学模型1
述
要确定一个几何模型，并不需要知道其中所有元素的大小，只需知道其中的 一部分就可以了，其它元素可以通过它们之间的函数描述而确定出来，这种 描述所求量与已知量之间的关系式称为函数模型。
2019/2/12
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第二章 平差数学模型与最小二乘原理
第一节 概 述
⑴如图三角形ABC中，为了确定它的形状，只需要知道其中任意两个内角的大小 就可以了
c n n 1 c u u 1 c 1
~ ~ A L B X A 0 0
1 s uu
~ CX W0
s 1
附有条件的条件平差的基本思想是： 对于一个平差问题，若增选了 u 个 ~ 参数，不论 u<t 、 u=t 或是 u>t ，也 考虑到， L L 则： 不论参数是否独立，每增加一个参 ~ A B X W 0 数则肯定相应地增加 1 个方程，故 c n n 1 c u u 1 c 1 方程的总数为 r+u 个。如果在 u 个参 ~ CX W0 数中有 s 个是不独立的，或者说在 1 s s uu 1 这u 个参数中存在着s 个函数关系式， 则应列出 s 个形如（ 2-2-20 ）的限 这就是附有条件的条件平差的函数模型 制条件方程，除此之外再列出 c=r+u-s
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
第一节 概
1.几何模型 在测量工作中，为了确定待定点的高程，需要建立水准网，为了确定待定点 的平面坐标，需要建立平面控制网（包括测角网、测边网、边角网），我们 常把这些网称为几何模型。 2.几何量 每种几何模型都包含有不同的几何元素，如水准网中包括点的高程、点间的 高差，平面网中包含角度、边长、边的坐标方位角以及点的二维或三维坐标 等元素。这些元素都被称为几何量。 3.函数模型
测量平差 平差数学模型与最小二乘原理PPT课件
间接平差法：
L~ F ( X~)
n1
t1
ntr
第21页/共33页
• 附有参数的条件平差法：
• 附有条件的间接c平F1(差L~法, X：~) 0 n t r c r u 0 u t
nsL~11(uX~1F)
( X~) u1
0
n t r u t s, u t
第22页/共33页
• 若平差的函数是非线性的，平差之前就要进行线性化。 • 线性化的方法是应用台劳级数展开，保留一次项
•
必要元素之间函数独立
• 问题 ：
仅有必要观测能否完成测量工作？观测结果是否可靠？
• 多余观测： r=n-t
n>t
• 条件方程：
•
观测误差存在使得测量平差有必要，多余观测使得测
量平差得以实现
第11页/共33页
几何量符号表 示
•1、必要观测次数 t（个数和类型）
•2 、 实 际 观 测 次 数 n
•3、多余观测次数 r
D(ˆ1 ) D(ˆ2 ) D(ˆ ) min
第29页/共33页
• 一、参数估计及最优性质
•
数理统计理论证明，具有无偏性、最优性的估计量必然是一致性估计量，
所以测量平差中参数的最佳估值要求是最优无偏估计量。由于平差模型是线性的，
最佳估计也称为最优线性无偏估计。
第30页/共33页
•二 、 最 小 二 乘 原 理
• 三、必要观测
• 必要观测/必要元素：唯一确定一个确定几何、物理模型 • 的形状、大小所必须进行的观测称为必要观测，其符号 • 用符号t表示。
• 必要元素的特点： • （1）元素的个数仅与几何模型有关而与实际观测量无关 • （2）必要元素之间函数独立
平差数学模型与最小
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第二章 平差数学模型与最小二乘原理
§2-1 测量平差概述
在测量工作中，为了确定待定点的高程，需要建 立水准网，为了确定待定点的平面坐标，需要建立 平面控制网（包括测角网、测边网、边角网），我 们常把这些网称为几何模型。每种几何模型都包含 有不同的几何元素，如水准网中包括点的高程、点 间的高差，平面网中包含角度、边长、边的坐标方 位角以及点的二维或三维坐标等元素。这些元素都 被称为几何量。
r=n-t
(2-1-1)
式中n是观测值个数，t是必要观测个数，r称为 多余观测个数，表示有r个多余观测值，在统计学 中也叫自由度。
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既然一个几何模型能通过t个必要而独立的量唯一 的确定下来，这就意味着在该模型中，其它的量都可 以由这t个量确定下来，即模型中任何一个其它的量 都是这t个独立量的函数，都与这t个量之间存在有一 定的函数关系式。现在模型中有r个多余观测量，因 此，一定也存在着r个这样的函数关系式。
从上面例子可知，一旦几何模型确定了，就能够 唯一地确定该模型的必要观测元素的个数。我们把 能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，称为 必要观测元素。
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必要观测元素的个数用t表示，称为必要观测个 数。对于上面三种情况，必要观测元素个数分别为 t=2,t=3和t=3。而对于后两种情况，不仅要考虑必 要观测元素的个数，还要考虑到元素的类型，否则 就无法唯一地确定模型。必要观测个数t只与几何模 型有关，与实际观测量无关。
L ~ 1L ~ 2L ~ 31 8 00
(2-1-3)
~~ siSn1L~1 siSn2L~2 0
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第二章 平差数学模型与最小二乘原理
§2-1 测量平差概述
在测量工作中，为了确定待定点的高程，需要建 立水准网，为了确定待定点的平面坐标，需要建立 平面控制网（包括测角网、测边网、边角网），我 们常把这些网称为几何模型。每种几何模型都包含 有不同的几何元素，如水准网中包括点的高程、点 间的高差，平面网中包含角度、边长、边的坐标方 位角以及点的二维或三维坐标等元素。这些元素都 被称为几何量。
r=n-t
(2-1-1)
式中n是观测值个数，t是必要观测个数，r称为 多余观测个数，表示有r个多余观测值，在统计学 中也叫自由度。
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既然一个几何模型能通过t个必要而独立的量唯一 的确定下来，这就意味着在该模型中，其它的量都可 以由这t个量确定下来，即模型中任何一个其它的量 都是这t个独立量的函数，都与这t个量之间存在有一 定的函数关系式。现在模型中有r个多余观测量，因 此，一定也存在着r个这样的函数关系式。
从上面例子可知，一旦几何模型确定了，就能够 唯一地确定该模型的必要观测元素的个数。我们把 能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，称为 必要观测元素。
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必要观测元素的个数用t表示，称为必要观测个 数。对于上面三种情况，必要观测元素个数分别为 t=2,t=3和t=3。而对于后两种情况，不仅要考虑必 要观测元素的个数，还要考虑到元素的类型，否则 就无法唯一地确定模型。必要观测个数t只与几何模 型有关，与实际观测量无关。
L ~ 1L ~ 2L ~ 31 8 00
(2-1-3)
~~ siSn1L~1 siSn2L~2 0
空间误差分析平差数学模型与最小二乘原理PPT课件
• （3）独立量 一个几何模型的必要观测元素之间是不存在任何确定的函数关系的，即其中的任何一个必要观测元 素不可能表达为其余必要观测元素的函数。这些彼此不存在函数关系的量称为函数独立量。
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§4-1 测量平差概述
• 5.多余观测 • 假设对模型中的几何量总共观测 n 个， n < t，无法确定模型； n = t，唯一地确定模型，但无法发现粗差 n > t，可以确定模型，还可以发现粗差
条件平差的自由度为多余观测数r，即条件 方程个数。
第22页/共77页
§4-2 函数模型
• 例1：已知点A、B高程；观测值：h1—h5
× hh~~14
~ h5 ~ h5
~ h2 ~ h3
0 0
H
A
~ h3
~ h4
H
B
0
hh~~14
~ h5 ~ h5
~ h2 ~ h3
0 0
h~1
~ h2
~ h3
§4-2 函数模型
h1
B X~1
A
h4
h5
h~~1 h2
X~1 X~1
HA X~2
D X~3 h2
~ h3
X~2
H
A
h3
h6
C X~2
t = 3，选3个参数
X~1 X~2
HB HC
X~3
HD
1 0
1 1
0 1
B
0
0
1 0
0 1
L~
~ h1
~ h2
L~ B X~ d
0
~ h2 ~ h5
~ h3 ~ h6
0 0
h1
~ h3
~ h4
~ h6
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§4-1 测量平差概述
• 5.多余观测 • 假设对模型中的几何量总共观测 n 个， n < t，无法确定模型； n = t，唯一地确定模型，但无法发现粗差 n > t，可以确定模型，还可以发现粗差
条件平差的自由度为多余观测数r，即条件 方程个数。
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§4-2 函数模型
• 例1：已知点A、B高程；观测值：h1—h5
× hh~~14
~ h5 ~ h5
~ h2 ~ h3
0 0
H
A
~ h3
~ h4
H
B
0
hh~~14
~ h5 ~ h5
~ h2 ~ h3
0 0
h~1
~ h2
~ h3
§4-2 函数模型
h1
B X~1
A
h4
h5
h~~1 h2
X~1 X~1
HA X~2
D X~3 h2
~ h3
X~2
H
A
h3
h6
C X~2
t = 3，选3个参数
X~1 X~2
HB HC
X~3
HD
1 0
1 1
0 1
B
0
0
1 0
0 1
L~
~ h1
~ h2
L~ B X~ d
0
~ h2 ~ h5
~ h3 ~ h6
0 0
h1
~ h3
~ h4
~ h6
平差数学模型与最小二乘原理
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而无法确定其大小,因此,必要元素不仅要考虑其个数, 而无法确定其大小,因此,必要元素不仅要考虑其个数, 而且要考虑以它的类型.由此可知, 而且要考虑以它的类型.由此可知,当某个几何模型给定 之后,能够唯一确定该模型的必要元素的个数t及其类型, 之后,能够唯一确定该模型的必要元素的个数t及其类型, 只与几何模型有关,与实际观测量无关. t只与几何模型有关,与实际观测量无关. 对于任一几何模型,它的t 对于任一几何模型,它的t个必要元素之间必要不存在函 数关系,亦即其只任一元素不能表达成其余( 数关系,亦即其只任一元素不能表达成其余(t-1)个元素 ~ ~ 的函数.例如,对于( 中的情况, 的函数.例如,对于(1)中的情况,若以L和 L作为必要 2 ~ ~ 1 元素, 元素,则 L1 L2间无函数关系;又如在(2)情况中, 与 间无函数关系;又如在( 情况中, ~ ~ ~ ~ ~ ~ 选 L , , ,则 L+ L L =180 ,三者之间存在函数关系, + 三者之间存在函数关系, L2 L3 3 1 1 2 就不能说t=3 实际必要元素只选了两个,而漏选了一个. t=3, 就不能说t=3,实际必要元素只选了两个,而漏选了一个. 因此必要元素t个量为函数独立量,简称独立量. 因此必要元素t个量为函数独立量,简称独立量. 在一个几何模型中,除了t个独立量以外, 在一个几何模型中,除了t个独立量以外,若再增加一个 则必然产生一个相应的函数关系式.仍以( 量,则必然产生一个相应的函数关系式.仍以(2)情况 ~~ ~ ~ ~ ~ 中,必要量选为 L1 L2 S1 若增加一个量L3,则存在 L+ L2 ,,, 1 ~=180 ,若再增加一个量 ~,则有 + L3 S2 ~ ~ ~ sin L2 S2 = S1 ~ 返回目录 sin L1
而无法确定其大小,因此,必要元素不仅要考虑其个数, 而无法确定其大小,因此,必要元素不仅要考虑其个数, 而且要考虑以它的类型.由此可知, 而且要考虑以它的类型.由此可知,当某个几何模型给定 之后,能够唯一确定该模型的必要元素的个数t及其类型, 之后,能够唯一确定该模型的必要元素的个数t及其类型, 只与几何模型有关,与实际观测量无关. t只与几何模型有关,与实际观测量无关. 对于任一几何模型,它的t 对于任一几何模型,它的t个必要元素之间必要不存在函 数关系,亦即其只任一元素不能表达成其余( 数关系,亦即其只任一元素不能表达成其余(t-1)个元素 ~ ~ 的函数.例如,对于( 中的情况, 的函数.例如,对于(1)中的情况,若以L和 L作为必要 2 ~ ~ 1 元素, 元素,则 L1 L2间无函数关系;又如在(2)情况中, 与 间无函数关系;又如在( 情况中, ~ ~ ~ ~ ~ ~ 选 L , , ,则 L+ L L =180 ,三者之间存在函数关系, + 三者之间存在函数关系, L2 L3 3 1 1 2 就不能说t=3 实际必要元素只选了两个,而漏选了一个. t=3, 就不能说t=3,实际必要元素只选了两个,而漏选了一个. 因此必要元素t个量为函数独立量,简称独立量. 因此必要元素t个量为函数独立量,简称独立量. 在一个几何模型中,除了t个独立量以外, 在一个几何模型中,除了t个独立量以外,若再增加一个 则必然产生一个相应的函数关系式.仍以( 量,则必然产生一个相应的函数关系式.仍以(2)情况 ~~ ~ ~ ~ ~ 中,必要量选为 L1 L2 S1 若增加一个量L3,则存在 L+ L2 ,,, 1 ~=180 ,若再增加一个量 ~,则有 + L3 S2 ~ ~ ~ sin L2 S2 = S1 ~ 返回目录 sin L1
1.2教案《误差理论与测量平差》第二章 平差数学模型与最小二乘原理
授课题目：第二章 平差数学模型与最小二乘原理教学方法：理论讲授 教学手段：多媒体课件教学；以电子课件为主，投影及板书相结合为辅，使学生能够充分利用课堂有效的时间了解尽可能多的相关知识。
本章教学时数：4学时内容提要：主要介绍必要观测、多余观测、不符值、独立参数概念；测量平差的函数模型及两种平差的基本方程：条件方程和误差方程式；其它函数模型：附有参数的条件平差、附有限制条件的间接平差，以及平差的随机模型的概念及形态；平差基本方程的线性化，最小二乘原理。
教学要求：理解必要观测、多余观测、不符值、独立参数概念，掌握条件方程和误差方程式含义和最小二乘原理，会进行平差基本方程--条件方程和误差方程式的线性化。
本章重点：重点掌握测量平差数学模型的类型、建立方法，平差随机模型的意义和形态，以及最小二乘原理在测量平差中的应用。
教学难点：教学难点是对平差函数与随机模型含义与建立方法的理解。
本章教学总的思路：地理空间几何图形内部存在着严格的数学关系，测绘获得的是地理空间几何图形的基本元素，如角度（或方向值）、边长、高差的最佳估值，必须满足地理空间几何图形的基本数学关系，这是建立测量平差基本方程--条件方程和误差方程式的基础，在讲清楚这一点的基础上讲解基础方程的建立，进而推开讲解附有参数的条件方程、附有限制条件误差方程模型，并说明平差的随机模型的概念。
为解算的需要必须线性化条件方程式和误差方程式，其基本方法是利用泰勒级数展开基本方程并取其至一次项，从而完成线性化；在解释天然的平差模型为什么没有唯一解的原因基础上，讲解最小二乘原理，并举例验证，以此突破本课程难点内容的教学。
最后对教学重点内容作概括性总结，使学生加深理解与认知的程度。
§1测量平差概述本节教学时数：0.5学时本节重点：（1）测量元素-—角度（方向）、长度、高差、几何图的数学关系（2）观测值个数、必要观测数、多余观测数及其作用；（3）观测值、改正数、最优改正数、最优估值，平差的概念本节教学思路：以日常生活中最常见到的简单几何图三角形为例，说明测量观测值、平差值、几何图数学关系，平差模型与平差的概念，为下一节的讲讲解作好知识铺垫。
第二章-平差数学模型与最小二乘原理2009
ˆ ⎞ d lg sin L i ⎟ ˆ = lg sin( L + v ) = lg sin L + ⎛ ⎜ vi lg sin L i i i i ⎟ ⎜ dL ˆ ˆ =L i ⎠L ⎝ i i ˆ ⎞ ⎛ d lg sin L vi′′ i ⎟ = lg sin Li + ⎜ ⎟ ⎜ dL ˆ ρ ′′ ˆ =L i ⎠L ⎝ i i
§2.1 测量平差的数学模型
在日常生活和科学研究中，时常见到很多模型，一般主要有实物的模拟模型和数学模型。测量 平差的数学模型包括：函数模型和随机模型。一个实际的平差问题，都要建立某种函数模型，函数 模型是描述观测量与未知量之间的数学关系的模型。函数模型分为线性模型和非线性模型两类，测 量平差通常是基于线性模型的，当函数模型为非线性函数时，总是将其用泰勒公式展开，并取其一 次项化为线性形式。
ˆ + l ， l = ( BX 0 + d − L ) V = Bx
其中
⎛ a1 ⎜ B = ⎜ a2 ⎜a ⎝ 3
b1 ⎞ ⎛ S01 − S1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ b2 ⎟ ， l = ⎜ S02 − S2 ⎟ ⎜S −S ⎟ b3 ⎟ ⎝ 03 3 ⎠ ⎠
这样，就把原来非线性的误差方程化为线性式。解答完毕。 在上面所举的例子中，满足条件方程的改正数 V 都有无穷多组。最小二乘条件平差，即依据条 件方程式，按 V PV = min 求出改正数及其平差值。
（2）方位角条件 1 个。 BA 边及 BC 边的方位角及边长为已知，则由 BA 边的方位角加 2 角及 5 角，应等于 BC 边的方位角。即
v 2 + v5 + w3 = 0 ， w3 = TBA + L2 + L5 − TBC
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Lˆ S~11
L 1
S1
, 1
S1
L~ L
, S2~2
2
S2
,
2
L~ 3 S2
L 3
3
因r=n-t=5-3=2，可组成2个条件方程为
(L11) (L2 2 ) (L3 3 ) 180 （2-1-2）
sin(L )
(S ) (S )
2
2
2
S2
1
S1
sin(L )
1
1
（2-1-3）
若用观测值组成上述两个条件方程，则不能成立，即
L1 L2 L3 180 0
S2
S1
sin L2 sin L1
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（2-1-4）
造成条件方程不闭合，或者说存在闭合差，例如 （2-1-4）式中的，就是该三角形角度条件方程的闭合差。
由于观测不可避免地存在偶然误差，当n>t时，几何模型 中应该满足r=n-t个条件方程，实际存在闭俣差而并不满足， 如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使其达 到消除闭合差的目的，这是测量平差的主要任务。 一个测量平差问题，首先要由观测值和待求量间组成数 学模型，然后采用一定的平差原则对待求量进行估计，这 种估计要求是最优的，最后计算和分析成果的精度。
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
本章介绍测量平差的基本概念，简要地给出基本平差
方法的数学模型，为以后各章系统学习各种平差理论打好
基础。最后介绍最小二乘原理，这是测量平差法所遵循的
准则。第一节Fra bibliotek测量平差概述
第二节
测量平差的数学模型
第三节
函数模型的线性化
第四节
参数估计与最小二乘原理
2-1 测量平差概述
量中+ L~，，3=则必18必要0º然量，S~2产选若生为再S~1一L~增ss1、ii个nnL~加2LL~、相~一12S~应1，个返的若量回函目增S~录2数，加关则一系有个式量。L~3，仍则以（存2在）L~情1+况L~2
由此可知，一个几何模型的独立量个数最多为t个，除 此之外，增加一个量必然要产生一个相应的函数关系式， 这种函数关系式，在测量平差中称为条件方程。
在测量工程中，最常见的是要确定某些几何量的大小。 例如，为了求定一些点的高程而建立了水准网，为了求定 某些点的坐标而建立了平面控制网或三维测量网。前者包 含点间的高差、点的高程等元素，后者包含角度、边长、 边的方位角以及点的二维或三维坐标等等元素。这些元素 都是几何量，以下统称这些网为几何模型。
为了确定一个几何模型，并不需要知道该模型中所有元 素的大小，而只需要知道其中部分元素的大小就行了，其 它元素可以通过它们来确定。例如：
在测量工程中，为了求得一个几何模型中各量的大小就 必须进行观测。如果总共观测了该模型中n个量的大小， 若观测个数少于必要元素的个数，即n<t，显然它无法确定 该模型，即出现了数据不足的情况；若观测了t个独立量， n=t，则可唯一地确定该模型。由于它们都是独立量，故不 存在任何条件方程，在这种情况下，如果观测结果中含有 粗差甚至错误，都将无法发现，在测量工作中是不允许这 样做的。为了能及时发现粗差和错误，并提高测量成果的 精度，就必须使n>t，若令
的元选就不函素L~1、能数，L~说。则2、t例L~L=~31与3，如，L则，~实2间对L~际1+无于必L函~（+2要L数~13元）=关1素中8系0只的º；选情，又了况三如两，者在个若之（，以间2）而L存~1和情漏在况L~选函2作中了数为，一关必个系要。，
因此必要元素t个量为函数独立量，简称独立量。
在一个几何模型中，除了t个独立量以外，若再增加一个
r=n-t
（2-1-1）
式中n为观测值个数，t称为必要观测数，r称为多余观 测数。多余观测数在测量中又称“自由度”。
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一个几何模型如果有r个多余观测，就产生r个条件方
程。由于观测值不可避免地存在观测误差，由观测值组成
上述条件方程必不能满足，仍以（2）中情况为例，若观
测了角度L1、L2、L3和边长S1、S2，考虑观测误差，有
（1）在图2-1的△ABC中，为了确定它的形状（相似形），只
要Lˆ3等知。道它其们中都任是意同2个一内类角型的的大元小素就（行角了度，）如。L~1, L~2或L~1, L~3或Lˆ2
（2）为了确定ΔABC的形状和大小（全等形），只要知道其
中如任L~1意、的L~2、2S角~1,1S边~1、、S~22、边L~13,角S~或1、3S~边2、的S~3，大小…就，行等了等，。
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（3）在图2-2的水准网中，为 了确定A、B、C、D4点之间高
度个或它的高们h~4、相差是h~对就同5、关行一h~6 或系了类， ， 型h~1、只如的要元h~h~、21、知素h~…h6~道（3、等其高h~等中4 。3
差）。
能够唯一地确定一个几何 模型所必要的元素，简称必要 元素；必要元素的个数用t来表 示。对于上述三种情况，分别 是t=2,t=3和t=3。对于第二种情 况，3个元素中除了角度还至少 要包含一个边长，没有边长仍 然只能确定其形状；
某种特征或内在联系的模型。前者称为模拟模型，后者称 为数学模型。总称为抽象模型。
在测量工程中，涉及的是通过观测量确定某些几何量或 物理量大小等有关的数量问题，因而考虑的模型总是数学 模型。平差的数学模型与一般数学只考虑函数模型不同， 它还要考虑随机模型，因为观测量是一种随机变量。所以 平差的数学模型同时包含函数模型和随机模型两种，在研 究任何平差方法时必须同时予以考虑。
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而无法确定其大小，因此，必要元素不仅要考虑其个数， 而且要考虑以它的类型。由此可知，当某个几何模型给定 之后，能够唯一确定该模型的必要元素的个数t及其类型， t只与几何模型有关，与实际观测量无关。
对于任一几何模型，它的t个必要元素之间必要不存在函 数关系，亦即其只任一元素不能表达成其余（t-1）个元素
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2-2 测量平差的数学模型
一、条件平差法 二、间接平差法 三、附有参数的条件平差法 四、附有限制条件的间接平差法 五、平差的随机模型
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在日常生活和科学技术领域中，时常见到许多模型，一 般可将其分为两大类，一类是将实物尺寸放大或缩小而得 的模型，称为实物模型；另一类是用文字、符号、图表或 者对研究的对象进行抽象概括，用数学关系式来描述它的