《一元二次方程的根与系数的关系》示范公开课教学PPT课件【北师大版九年级数学上册】
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北师大版初中九年级上册数学课件 《一元二次方程的根与系数的关系》一元二次方程PPT优质课件
第二章 一元二次方程
*2.5 一元二次方程的根与系数的关系
教学目标
1. 了解一元二次方程的根与系数的关系． 2. 利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题．
课前预习
(一)知识探究 那么1x.1＋如x果2＝方－程－baax2＋,bxx1＋x2＝c＝0(aca≠0．)有两个实数根 x1，x2，
2. 利用根与系数的关系，求方程的两根之和、两根之积， 通常是将方程化为 一一般般 形式，计算 b2－4ac 的值并确定方 程有两个实根，再利用根与系数的关系加以计算．
两根之和或积
问题
方法
求方程中字母 根据已知条件并借助根与系数的关系列出关于
系数的值 字母的方程或不等式
求方程
逆用根与系数的关系确定一次项系数及常数项
解：∵x1，x2 是方程 3x2－3x－5＝0 的两个根，∴x1＋x2 ＝1，
x1x2＝－53. x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝12＋2×53＝133.
例2 已知 x1，x2 是方程 3x2－3x－5＝0 的两个根，不解 方程，求下列代数式的值：
(2)x11＋x12.
【思路点拨】根据异分母分式的加法法则进行变形处理， 代入求值．
解：∵x1，x2 是方程 3x2－3x－5＝0 的两个根，∴x1＋x2＝1， x1x2＝－53. x11＋x12＝xx1＋1xx2 2＝－153＝－35.
【归纳总结】 用根与系数的关系解题时常用的一些变形式： ①x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2； ② 1 ＋1 ＝x1＋x2；
x1 x2 x1x2 ③(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； ④xx21＋xx12＝xx21＋1x2x22＝（x1＋xx2）1x22－2x1x1.
*2.5 一元二次方程的根与系数的关系
教学目标
1. 了解一元二次方程的根与系数的关系． 2. 利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题．
课前预习
(一)知识探究 那么1x.1＋如x果2＝方－程－baax2＋,bxx1＋x2＝c＝0(aca≠0．)有两个实数根 x1，x2，
2. 利用根与系数的关系，求方程的两根之和、两根之积， 通常是将方程化为 一一般般 形式，计算 b2－4ac 的值并确定方 程有两个实根，再利用根与系数的关系加以计算．
两根之和或积
问题
方法
求方程中字母 根据已知条件并借助根与系数的关系列出关于
系数的值 字母的方程或不等式
求方程
逆用根与系数的关系确定一次项系数及常数项
解：∵x1，x2 是方程 3x2－3x－5＝0 的两个根，∴x1＋x2 ＝1，
x1x2＝－53. x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝12＋2×53＝133.
例2 已知 x1，x2 是方程 3x2－3x－5＝0 的两个根，不解 方程，求下列代数式的值：
(2)x11＋x12.
【思路点拨】根据异分母分式的加法法则进行变形处理， 代入求值．
解：∵x1，x2 是方程 3x2－3x－5＝0 的两个根，∴x1＋x2＝1， x1x2＝－53. x11＋x12＝xx1＋1xx2 2＝－153＝－35.
【归纳总结】 用根与系数的关系解题时常用的一些变形式： ①x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2； ② 1 ＋1 ＝x1＋x2；
x1 x2 x1x2 ③(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； ④xx21＋xx12＝xx21＋1x2x22＝（x1＋xx2）1x22－2x1x1.
【北师大版】九年级数学上册：2.5《一元二次方程的根与系数的关系》ppt课件
2
������ -1
������ +1
化简得:m2- 10m- 11=0 .解得:m1 =11,m2=- 1. 分以下两种情况:
������ -1 2
2
-4 ×
������ +1 =1, 2
①当 m 1=11 时,x1+x2=
组成方程组
������1 + ������2 = 5, ������ = 3, 解这个方程组,得 1 ������2 = 2. ������1- ������2 = 1, ������1 = 0, ������1 + ������2 = - 1, 解这个方程组,得 ������2 = - 1. ������1- ������2 = 1,
关闭
C
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
2. 已知关于 x 的一元二次方程(a2 -1)x2-(a+1)x+1=0 两根互为倒数,则 a= .
关闭
±2
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
3.已知关于 x 的方程 x -3mx+2(m-1)=0 的两根为 x1, x2,且 + =- , 则 m= .
2
1 ������1
1 ������2
3 4
关闭
1 3
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
4. 一个一元二次方程的两个根是 2+ 6和 2- 6, 那么这个一元二次方 程为 .
关闭
x2 -4x-2=0
答案
轻尝试应用 1 2 3 4 5 6
5. 已知 x1, x2 是方程 2x -3x-1=0 的两个根, 利用根与系数的关系, 求 3 ������ 3 1 x2 +x1 ������ 2 的值.
������ -1
������ +1
化简得:m2- 10m- 11=0 .解得:m1 =11,m2=- 1. 分以下两种情况:
������ -1 2
2
-4 ×
������ +1 =1, 2
①当 m 1=11 时,x1+x2=
组成方程组
������1 + ������2 = 5, ������ = 3, 解这个方程组,得 1 ������2 = 2. ������1- ������2 = 1, ������1 = 0, ������1 + ������2 = - 1, 解这个方程组,得 ������2 = - 1. ������1- ������2 = 1,
关闭
C
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
2. 已知关于 x 的一元二次方程(a2 -1)x2-(a+1)x+1=0 两根互为倒数,则 a= .
关闭
±2
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
3.已知关于 x 的方程 x -3mx+2(m-1)=0 的两根为 x1, x2,且 + =- , 则 m= .
2
1 ������1
1 ������2
3 4
关闭
1 3
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
4. 一个一元二次方程的两个根是 2+ 6和 2- 6, 那么这个一元二次方 程为 .
关闭
x2 -4x-2=0
答案
轻尝试应用 1 2 3 4 5 6
5. 已知 x1, x2 是方程 2x -3x-1=0 的两个根, 利用根与系数的关系, 求 3 ������ 3 1 x2 +x1 ������ 2 的值.
【北师大版】九年级数学上册：2.5《一元二次方程的根与系数的关系》ppt课件
2
1 ������1
1 ������2
3 4
关闭
1 3
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
4. 一个一元二次方程的两个根是 2+ 6和 2- 6, 那么这个一元二次方 程为 .
关闭
x2 -4x-2=0
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
5. 已知 x1, x2 是方程 2x -3x-1=0 的两个根, 利用根与系数的关系, 求 3 ������ 3 1 x2 +x1 ������ 2 的值.
关闭
C
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
2. 已知关于 x 的一元二次方程(a2 -1)x2-(a+1)x+1=0 两根互为倒数,则 a=试应用 1 2 3 4 5 6
3.已知关于 x 的方程 x -3mx+2(m-1)=0 的两根为 x1, x2,且 + =- , 则 m= .
*5.一元二次方程的根与系数的关系
快乐预习感知
2 如果方程 ax +bx+c=0(a≠0)有两个实数根 x1, x2, 那么 ������ ������ x1 +x2= ������ , x1 x2 = ������ .
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
1. 已知 m, n 是关于 x 的一元二次方程 x2-3x+a=0 的两个解, 若 (m-1)(n-1)=-6, 则 a 的值为( ) A.-10 B. 4 C.-4 D. 10
×
3 2
2
+ 2×
1 2
=- .
13 8
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
北师大版数学九年级上册：一元二次方程的根与系数的关系课件
∴符合条件的m的值为 3 ．
2
6.已知在关于x的分式方程 k 1 =2①和一元二次方程
x 1
（2-k）x2+3mx+（3-k）n=0②中，k、m、n均为实数， 方程①的根为非负数． （1）求k的取值范围； （2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且 k=m+2，n=1时，求方程②的整数根； （3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1-k） +x2（x2-k）=（x1-k）（x2-k），且k为负整数时，试 判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
x1
x2
1. 2
1∵ x1 x2 2 x12 2x1x2 x22,
x12 x22 x1 x2 2 2x1x2
3 2
2
2
1 2
13 4
;
2
1 x1
1 x2
x1 x2 x1 x2
3 2
1 2
3.
练习
1．设一元二次方程x2－6x＋4＝0的两实根分别为x1和 x2，则(x1＋x2)－x1· x2 ＝( C )
(二)合作探究
1．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，视察表中 x1＋x2，x1·x2的值，它们与对应的一元二次方程的各项系数 之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
一元二次
方程
x1
x2
x1＋x2
x1·x2
x2＋3x－4＝0
1
－4
－3
－4
x2－2x－5＝0 1＋ 6 1－ 6
2
－5
2x2－3x＋1＝0 1
解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2.
Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0,
2
6.已知在关于x的分式方程 k 1 =2①和一元二次方程
x 1
（2-k）x2+3mx+（3-k）n=0②中，k、m、n均为实数， 方程①的根为非负数． （1）求k的取值范围； （2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且 k=m+2，n=1时，求方程②的整数根； （3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1-k） +x2（x2-k）=（x1-k）（x2-k），且k为负整数时，试 判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
x1
x2
1. 2
1∵ x1 x2 2 x12 2x1x2 x22,
x12 x22 x1 x2 2 2x1x2
3 2
2
2
1 2
13 4
;
2
1 x1
1 x2
x1 x2 x1 x2
3 2
1 2
3.
练习
1．设一元二次方程x2－6x＋4＝0的两实根分别为x1和 x2，则(x1＋x2)－x1· x2 ＝( C )
(二)合作探究
1．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，视察表中 x1＋x2，x1·x2的值，它们与对应的一元二次方程的各项系数 之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
一元二次
方程
x1
x2
x1＋x2
x1·x2
x2＋3x－4＝0
1
－4
－3
－4
x2－2x－5＝0 1＋ 6 1－ 6
2
－5
2x2－3x＋1＝0 1
解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2.
Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0,
北师大版九年级上册2.5一元二次方程根与系数的关系课件(共25张PPT)
x m2 n n 0
一、复习回顾
练习：解下列方程：
(3)2x2 3x 1 0.
公式法 x b b2 4ac 2a
解：a 2,b 3, c 1. b2 4ac 3 2 4 2 1 1 0，
x3 1 22
即 x1 1, x2
3 1， 4
1. 2
=b2 4ac
0
有两个不相等实数根
0
有两个相等实数根
0
没有实数根
一、复习回顾
配方法
x m2 n n 0
解一元二次方程： ax2 bx c 0 a 0
公式法 x
因式分解法
一元二次方程的根 与系数之间还有什 么形式的关系呢？
b b2 4ac 2a
提公因式法 公式法
十字相乘法
=b2 4ac
二、探究新知
x2 2x 1 0; x1 x2 1.
x2 2 3x 1 0; x1 3 2, x2 3 2.
,
x1x2
c. a
23
1
3
1
2
2
二、探究新知
猜想 对于任何一个一元一次方程，这种关系都成立吗？
验证 一元二次方程：ax2 bx c 0 a 0 ，b2 4ac≥0.
x1
b
b2 2a
4ac ，x2
b b2 4ac . 2a
x1 x2
b b2 4ac 2a
b b2 4ac 2b
2a
2a
b. a
二、探究新知
配方，得： x2 4x 22 8 22
即：
x 2 2 12
开方，得：
x 2 23
所以， x1 2 2 3, x2 2 2 3.
四、随堂练习
新北师大版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》优质课课件(15张)
m＋1 2
，x1·x2＝ －m2
．
6．已知x1，x2是一元二次方程2x2－5x－1＝0的两根，则x1－1＋x2 －1＝_－__5_．
7．方程x2－2x－3＝0，两根分别为3，－1，记为[3，－1]，请写
出 一 个 根 为 [ － 2 ， 3] 的 一 元 二 次 方
程 x2－x－6＝0(答案不唯一)
10．利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和，两根之 积．
(1)x2＋4x＝0 解：x1＋x2＝－4 x1x2＝0
(2)2x2－3x＝5 解：x1＋x2＝32 x1x2＝－52
11．已知关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2， m，求m，n的值．
解：由根与系数的关系可得：m＋(－2)＝－1，∴m ＝1.又∵－2m＝n，∴n＝－2
则a的值是( D )
A．－1或5 B．1 C．5 D．－1
16．(2014·莱芜)若关于x的方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两根互 为倒数，则k＝_－__1_．
17．(2014·扬州)已知a，b是方程x2－x－3＝0的两个根，则 代数式5a2＋b2－5a－b＋5的值为__2_3_．
18．关于 x 的方程 2x2－(a2－4)x－a＋1＝0. (1)a 为何值时，方程的一根为 0? (2)a 为何值时，两根互为相反数？
2.5 一元二次方程的根与系数的关系
如果方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根 x1，x2，那么 x1
＋x2＝ －ba
c
，x1x2＝ a
．
知识点：一元二次方程的根与系数的关系
1．下列一元二次方程两实数根之和为－4的是( D )
A．x2＋2x－4＝0
B．x2－4x＋4＝0
C．x2＋4x＋9＝0 D．x2＋4x－1＝0
【北师大版】九年级数学上册：2.5《一元二次方程的根与系数的关系》ppt课件
������1 ������2
= =
3, 2.
②当 m 2=-1 时,x1+x2=������2-1=-1,x1-x2=1,
组 成 方程组
������1 + ������2 = -1,解这个方程组,得 ������1-������2 = 1,
������1 ������2
= 0, = -1.
关闭
答答案案
1
2
3
4
5
6
6.已知关于 x 的方程 2x2-(m-1)x+m+1=0 的两根满足关系式 x1-x2=1, 求 m 的值及方程的两个根.
解 :∵x1,x2 是方程的两个根,
∴x1+x2=������2-1,x1·x2=������2+1. ∵x1-x2=1,∴(x1-x2)2=1.
2
∴(x1+x2)2-4x1·x2=1,∴
关闭
解:∵x1,x2 是方程 2x2-3x-1=0 的两个根,
∴x1+x2=32,x1·x2=-12. ∴������13 x2+x1������23 =x1x2(������12 + ������22 )=x1x2[(x1+x2)2-2x1x2]=-12 ×
3 2
2
+2×源自1 2=-183.
答案
轻松尝试应用
*5.一元二次方程的根与系数的关系
快乐预习感知
如果方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根
x1+x2= -������������
,x1x2=
������ ������
.
x1,x2,那么
轻松尝试应用
北师大版数学九年级上册一元二次方程的根与系数的关系课件
数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．
讲授新课
利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
(1)x2＋7x＋6＝0；
(2)2x2－3x－2＝0.
解：(1)这里a＝1，b＝7，c＝6.
Δ＝b2－4ac＝72－4×1×6＝49－24＝25>0.
∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根是x1，x2，那么
1
x2
2. x12 x22
x1
3.
x2
4.( x1
5. x1
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 ;
2
1
x2
x1
x
( x1 x2 )2 2 x1 x2
;
x1 x2
2
2
x
x1 x2
1)( x2
x2
1)
( x1 x2 )2
x1 x2 ( x1
( x1
x2 ) 1;
x2 ) 2
4 x1 x2 .
讲授新课
x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
讲授新课
思考2
一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二
次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数
又有怎样的关系呢？
讲授新课
归 纳
方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反
反应了根与系数之间的联系，一元二次方程根与系数
之间的联系还有其他表现方式吗？
讲授新课
思考1
从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0
(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为
讲授新课
利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
(1)x2＋7x＋6＝0；
(2)2x2－3x－2＝0.
解：(1)这里a＝1，b＝7，c＝6.
Δ＝b2－4ac＝72－4×1×6＝49－24＝25>0.
∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根是x1，x2，那么
1
x2
2. x12 x22
x1
3.
x2
4.( x1
5. x1
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 ;
2
1
x2
x1
x
( x1 x2 )2 2 x1 x2
;
x1 x2
2
2
x
x1 x2
1)( x2
x2
1)
( x1 x2 )2
x1 x2 ( x1
( x1
x2 ) 1;
x2 ) 2
4 x1 x2 .
讲授新课
x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
讲授新课
思考2
一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二
次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数
又有怎样的关系呢？
讲授新课
归 纳
方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反
反应了根与系数之间的联系，一元二次方程根与系数
之间的联系还有其他表现方式吗？
讲授新课
思考1
从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0
(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为
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5 ．已知方程x2-5x-6=0的根是x1和x2，求下列式子的值
（1）x12 x22 x1x2
；（2） x1 x2
x2 x1
．
五、课堂练习
解：由一元二次方程根与系数的关系知： x1+x2=5，x1x2 = - 6．
（1）原式= x12 x22 2x1x2 x1x2 (x1 x2 )2 x1x2 52 (6) 31；
北师大版·统编教材九年级数学上册
第二章 一元二次方程
2.5 一元二次方程的根与系数 的关系
一、学习目标
1．了解一元二次方程根与系数的关系． 2．利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题．
二、复习引入
我们前面学过了用公式法解一元二次方程，请同学们回忆一下 一元二次方程的求根公式是什么？
答：一元二次方程的求根公式是 x b b2 4ac (b2-4ac≥0)． 2a
两根之积等于常数项除以二次项系数．
三、探究新知
猜想：对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立．
证明：∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)当b2-4ac≥0时有两根：
x1 b
b2 4ac 2a
，
b x2
b2 4ac ． 2a
∴两根之和
x1+x2=b b2 4ac b b2 4ac 2b b ；
每个方程的两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？ 对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？你能证明 你的猜想吗？
三、探究新知
（1） x2-2x+1=0 解：原方程可化为(x-1)2=0． 解得x1=x2=1． ∴x1+x2=2，x1x2=1．
三、探究新知
（2） x2 2 3x 1 0
三、探究新知
（3）方程两边同除以2，得 x2 3 x 1 0． 22
配方，得
x2
3 2
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 4
2
3 4
2
1 2
0
，即
x
3 4
2
1 ．∴ 16
x
3 4
1 4
．∴x1=1，x2=
1 2
．
∴
3 x1 x2 2
， x1 x2
1 2
．
每个方程的两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，
解：（1）这里a=1，b=7，c=6． Δ=b2-4ac=72-4×1×6=49-24=25＞0，
∴方程有两个实数根． 设方程的两个实数根分别是x1，x2， 那么x1+x2=-7，x1x2=6．
四、典例精析
（2）2x2-3x-2=0． 解：这里a=2，b=-3，c=-2．
Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×(-2)=9+16=25＞0，
解：由原方程可得a=1，b= 2 3，c = -1．
∴b2-4ac= (2 3)2 -4×1×(-1)=12+4=16．
∴x (2 3) 16 2 3 4 ．
21
2
∴x1 3 2 ，x2 3 2 ．
∴x1 x2 3 2 3 2 2 3，
x1x2 ( 3 2)( 3 2) 1．
（2）原式=
x12 x22 x1x2
(x1 x2 )2 2x1x2 x1x2
52 2 (6) 37．
6
6
六、课堂小结
本节课我们学习了一元二次方程根与系数的关系：
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，
那么x1+x2= b a
，x1x2=
c． a
再见
2a
2a
2a a
三、探究新知
两根之积x1·x2=
b
b2 4ac 2a
b
b2 2a
4ac
(b)2
( b2 4a2
4ac )2
b2
b2 4ac 4a2
c．
a
结论：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，
那么x1+x2=
b a
，x1x2=
c． a
四、典例精析
例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）x2+7x+6=0；（2）2x2-3x-2=0．
2
2．已知m，n是方程x2+ 2 2x +1=0的两根，则代数式 m2 n2 3mn
的值为（C ）．
A．9
B．±3
C．3
D．5
五、课堂练习
3．若关于x的一元二次方程x2+(m2-9)x+m-1=0的两个实数根互为 相反数，则m的值是____-3______．
4．设a，b是方程x2+x-2015=0的两个不相等的实数根，则 a2+2a+b的值为____2_0_1_4__．
∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根分别是x1，x2，
那么x1+x2=
3 2
，x1x2=-1．
五、课堂练习
1．已知x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且
x1+x2=3，x1x2=1，则a，b的值分别是（D ）．
A．a=-3，b=1 Ca．= 3 ，b=-1
2
B．a=3，b=1 D．a= 3 ，b=1
二、复习引入
由求根公式我们很容易发现一元二次方程的根完全由它的系数 a，b，c确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式．除此之外， 一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢？
三、探究新知
做一做 解下列方程：
（1）x2-2x+1=0； （2）x2 2 3x 1 0 ；
（3）2x2-3x+1=0．