第三章--运输问题
3运输问题5842228 854
* 位势法的计算过程令u1=0 按ui+vj=cij相继确定其他数字格的ui 和vj 计算空格的检验数。
如λ11=3-(0+2)=1 因为λ11=-1 0,因而该问题至此尚未达到最优解. 销地产地 B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5 ③④①⑥③③ ui vj 0 3 10 -1 -5 2 9 1 2 1 -1 10 12 * 位势法的理论依据（互补松弛定理） * 位势法的理论依据运输问题设B为一可行基，则相应的基可行解的各变量的检验数为运输问题的对偶问题由对偶理论有Y=CBB-1 基变量的检验数等于0 （I：基变量下标集） * 位势法的步骤对于每一个基变量（数字格）都按照公式 ui+vj=cij 列出一个位势方程，形成位势方程组（m+n－1个）；任意决定其中一个位势的数值，然后求出其他位势的数值；按照公式计算非基变量（空格处）的检验数（m×n-(m+n－1)个）。
* 从最小负检验数所对应的空格进行调整例7 对由最小元素法得出的初始解进行调整调整方法： 1）找出负检验数所在空格处的闭回路 2）在闭回<a name=baidusnap0></a>路上</B>找到偶数点所对应的基变量的最小值再按调整后的解由位势法计算空格的检验数四、调整销地产地 B1 B2 B3 B4 A13 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 74 105 ③④①⑥③③ 1 2 1 -1 10 12 ⑤①② x23 x14 x24 x13 3）以此最小值θ为调整量，在奇数格加上该调整量，在偶数格上减去该调整量换入变量：x24 换出变量：x23 * 1.由最小元素法求得初始基可行解五、典型运输问题解题步骤示例销地产地 B1 B2 B3 B4 ai A1 3 11 3 10 7 A2 1 9 2 8 4 A3 7 4 10 5 9 bj 3 6 5 6 20 ③④①⑥③③ * 2.由位势法求检验数令u1=0 按ui+vj=cij相继确定其他数字格的ui和vj 计算空格的检验数因为λ24=-1 0,因而该问题至此尚未达到最优解. 销地产地 B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5 ③④①⑥③③ ui vj 0 3 10 -1 -5 2 9 1 2 1 -1 10 12 如λ11=3-(0+2)=1 * 3.从最小负检验数所对应的空格进行调整调整方法： 1）找出闭回路 2）使最小负检验数所对应的空格达到最大的调整量1 销地产地 B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5 ③④①⑥③③ 1 2 1 -1 10 12 ⑤①② * 令u1=0 按ui+vj=cij相继确定其他数字格的ui和vj 计算空格的检验数。
广工管理运筹学第三章运输问题
闭合回路法的优点是能够找到全局最 优解，适用于大型复杂运输问题。但 该方法的计算复杂度较高，需要较长 的计算时间。
商位法
01
商位法是一种基于商位划分的优化算法，用于解决运输问题。该方法通过将供 应点和需求点划分为不同的商位，并最小化总运输成本。
02
商位法的计算步骤包括：根据地理位置和货物需求量，将供应点和需求点划分 为不同的商位；根据商位的地理位置和货物需求量，计算总运输成本；通过比 较不同商位的总运输成本，确定最优的配送路线。
80%
线性规划法
通过建立线性规划模型，利用数 学软件求解最优解，得到最小化 总成本的运输方案。
100%
启发式算法
采用启发式规则逐步逼近最优解 ，常用的算法包括节约算法、扫 描算法等。
80%
遗传算法
基于生物进化原理的优化算法， 通过模拟自然选择和遗传机制来 寻找最优解。
02
运输问题的数学模型
变量与参数
约束条件
供需平衡
每个供应点的供应量等于对应 需求点的需求量，这是运输问 题的基本约束条件。
非负约束
运输量不能为负数，即每个供 应点对每个需求点的运输量都 应大于等于零。
其他约束条件
根据实际情况，可能还有其他 约束条件，如运输能力的限制 、运输路线的限制等。
03
运输问题的求解算法
表上作业法
总结词
直到达到最优解。这两种方法都可以通过构建线性规划模型来求解最优解。
04
运输问题的优化策略
节约法
节约法是一种基于节约里程的优化算法，用于解决 运输问题。该方法通过比较不同配送路线的距离和 货物需求量，以最小化总运输距离为目标，确定最 优的配送路线。
节约法的计算步骤包括：计算各供应点到需求点的 距离，找出最短路径；根据最短路径和货物需求量 ，计算节约里程；按照节约里程排序，确定最优配 送路线。
运筹学-3运输问题
产大于销 销大于供
当产销平衡时，其模型如下：
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
xij
0
( ai bj)
当销大于产时，其模型是：
min Z
cij xij
xij ai xij bj
可行解的方法
Review
二、表上作业法的步骤
Step1.找出初始基本可行解（在m*n产销平衡 表上寻找初始调运方案，一般m+n-1个数字 格），用最小元素法、西北角法、伏格尔法；
Step2.求出各非基变量的检验数，判别是否达 到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步， 用闭回路或位势法计算；
Step3.改进当前的基本可行解（确定换入、 换出变量），用闭合回路法调整； Step4.重复2. 3，直到找到最优解为止。
（3）运输问题的解
定义1. 闭回路
x x x x x x 闭回路是能折成 i1 j1, i1 j2 , i2 j2 , i2 j3 ,..., isjs , isj1
形式的变量组集合。其中 i1 , i2 , …， is 互不相同，j1 , j2 , …， js 互不相 同。每个变量称为闭回路的顶点，连接闭回路相邻两顶点的直线段叫做闭
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运筹学－第三章 运输问题
张红历
本章内容
1.运输问题及其数学模型 2.表上作业法 3.运输问题的进一步讨论
4.应用问题举例
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的提出
例：某运输问题的资料如下：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
表上作业法
第三章 运输问题主要内容 运输问题的模型、算法 讲授重点 运输问题的模型、算法 讲授方式讲授式、启发式第一节 运输问题及其数学模型一、运输问题的数学模型设某种物品有m 个产地A 1,A 2,…,A m ，各产地的产量分别是a 1,a 2,…,a m ；有n 个销地B l ,B 2,…,B n ,各销地的销量分别为b l ,b 2,…,b n 。
假定从产地A i (i ＝1,2,…,m)向销地B j (j ＝1,2,…,n)运输单位物品的运价是c ij ，问怎样调运这些物品才能使总运费最小?这是由多个产地供应多个销地的单品种物品运输问题。
为直观清楚起见，可列出该出该问题的运输表，如表3-1所示。
设ij表示从A i 运往B j 的物品数量，ij表示从A i 运往B j 的单位物品的运价。
则对于平衡运输问题（∑∑===nj jm i i ba 11），其数学模型的一般形式可表示为：∑∑===n j mi ijij x c s 11min()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==≥====∑∑==n j m i x n j b x m i a x ij j m i ij inj ij ,2,1;,2,10,,2,1,,2,111 (3.1)二、运输问题数学模型的特点对于平衡运输问题(∑∑===nj jm i iba 11)，可以证明其有如下两个特点： (1)矩阵A 的秩R(A)＝m+n-1。
(2)问题必有最优解，而且当ji b a ,皆为整数时，其最优解必为整数最优解。
第二节 表上作业法求解运输问题一、给出运输问题的初始可行解（初始调运方案） 1、最小元素法 解题步骤：⑴在运价表中找到最小运价c 1k ； ⑵将的A L 产品给B k ；①若a L>b k，则将a L改写为a L-b k，划掉b k，同时将运价表中K列的运价划掉；②若a L<b k，则将a L改写为b k-a L，划掉a L，同时将运价表中L列的运价划掉。
运筹与优化--运输问题
14 8
9
13
10
6
6
u2=-2
6
v3=4
13
v4=0
u3=6
u2+v2=c22
v2=6
位势法(6)
1 6 1 8 2 5 3 v1=10 v2=6 7 2 5 3 3 u1 4 2 7 4
14 8
9
13
10
6
6
u2=-2
6
v3=4
13
v4=0
u3=6
u2+v1=c21
v1=10
位势法(7)
1 6 1 8 2 5 3 v1=10 v2=6 7 2 5 3 3 u1=-4 4 2 7 4
初始基础可行解—最小元素法（1）
1 6 1 8 2 5 3 22 13 12 0 13 9 10 4 2 7 7 2 5 3 3 14 4
12
6
27
15
19
最小元素法（2）
1 6 1 8 2 5 3 22 13 12 0 13 0 9 10 4 2 7 7 2 5 3 3 4 14 1
13 12
13 13
9 10
2 19
13 0
12
6
27
0
19 12 0 13 0
0
此方案费用为232
例1初始方案——初始基可行解
中心数字为分配的运输量 产量 14 27 19
A1 A2 A3
B1 1 2 19
B2 13 13
B3 12 12
B4 13
销量 22
13
调运方案中填有运输量的格叫数格，其它叫空格。
用vogel法给出初始基可行解： 若不能按最小运费就近供应，就考虑各行 各列的最小运费与次小运费的差额(行差、列差). 在差额最大处采用最小运费调运。
3.3产销不平衡的运输问题
销地 产地 A1 A2 A3 vj B1 B2 B3 B4 ui
左表中所有检验数均非负。所 以已是最优解。最小总运费： 5×1+6×2+4×2+3×8+1×0 =49
（8） 5（6）（7） 0 （4） 0 6 （2） 5 4 3（1） 1 7 -5 1 -3 -7
（2） 用位势法计算检验数 如黄表所示：
（4）再用位势法计算检验数 如下表所示：
销地 产地 A1 A2 A3 vj B1 B2 B3 B4 ui 销地 产地 A1 A2 A3 销量 B1 B2 B3 B4 3 4 2 4 1 3 6 2 8 5 8 6 0 0 0 1 产 量 5 6 8
（8） 4（1） 1 0 （9） （5） 6 0 0 （-4）（-7） 7 4 4 -5 1 2 0
销量 4 8 6
m
n
销地 产地 A1 A2 A3 销量
B1 B2 B3 3 4 2 4 1 3 6 2 8 5 8 6
B4 0 0 0 1
产 量 5 6 8
销地 产地 A1 A2 A3 vj
B1 B2
B3
B4
ui
（8） 4（10） 1 0 0 （-4） 6 （-9） 9 4 4 （5）（-7） 7 -5 1 -7 0
∑ ∑ 2.供不应求的情况，即 i=1 ai ＜ j=1 bj 与产大于销类似，当销大于产时，可以在产销平衡表中虚设一个产 n m 地Am+1 ，该产地的产量为 am + 1 = ∑bj − ∑ai j=1 i=1 再令虚设产地Am+1到各销地的单位运价Cm+1,j=0,j=1,2…n，则问题 可以转化为一个产销平衡的运输问题。在最优解中，虚设产地Am+1 到销地Bj的运量实际上就是最后分配方案中销地Bj的缺货量。 在产销不平衡问题中，如果某产地不允许将多余物资就地贮存， 或不允许缺货，则要令相应运价Ci,n+1或Cm+1,j=M（M是相当大正数） 例2 设有A1、A2、A3三个产地生产某种物资，其产量分别为5，6， 2 A A A 5 6 8 吨，B1、B2、B3三个销地需要该物资，销量分别为4，8，6 吨， 又已知各产销地之间的单位运价如下表所列，试确定总运费最少的 调运方案。 解：产地总产量为19 吨， 销地 销地总销量为18 吨，产 产量 B1 B2 B3 产地 大于销。故虚设销地B4， A1 3 1 3 5 令其销量b4=1 吨，运价 A2 4 6 2 6 Ci4=0，i=1,2,3,则问题变 A3 2 8 5 8 成如下运输问题：
产销不平衡的运输问题
贮存问题。将各产地的仓库设成一个假想销地Bn+1，该地总需 求量为
m
n
bn
1
i1
i a
j1bj
再令运价表中各地到虚设销地Bn+1的单位运价Ci,n+1 =0,i=1,2…m， 则该问题就转化成一个产销平衡问题，可以用表上作业法求解 了。在最优解中，产地Ai到虚设销地Bn+1的运量实际上就是产 地Ai就地贮存的多余物资数量。
3 13 0 5 4 62 0 6 2 85 0 8
4 86 1
（B1 B2 B3
B4
产 量
A1 A2 A3 销量
4
15
0
6
6
44
8
4 86 1
（2） 用位势法计算检验数 如黄表所示：
销地 产地
B1 B2
B3
B4
ui
A1 （8） 4（10） 1 0
A2 A3
A2 （9）（5） 6 0 0
A3
4 4（-4）（-7） 7
vj
-5 1 2 0
销地 产地
产 B1 B2 B3 B4 量
A1 A2 A3 销量
3 13 0 5 4 62 0 6 2 85 0 8
4 86 1
（5）第二次调整量θ=1，调 整后的方案如下表所示：
销地 产地
产 B1 B2 B3 B4 量
A1 A2 A3 销量
调运方案。
解：产地总产量为19 吨，
销地 产地
A1 A2 A3
B1 B2 B3
3 13 4 62 2 85
产量
销地总销量为18 吨，产
大于销。故虚设销地B4，
5
令其销量b4=1 吨，运价
运筹学习题解答(chap3 运输问题)
第三章运输问题一、建立下列问题的数学模型1、P119, 3.6某厂按照合同规定须于当年每季度末分别提供10，15，25，20台同一规格的柴油机。
已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如表所示。
又如果生产出来的柴油机当季不交货，每台每积压一个季度，存储维护费用0.15万元。
要求在完成合同的情况下，使得全年生产（存储）费用最小的决策。
将此问题归结为运输问题，试建立该问题的产销平衡及单位运价表。
解：以四个季度为产地和销地，建立产销平衡运输表如下：2、P119, 3.7上题中若允许某些季度末交货时发生短缺，但全部合同必须于Ⅳ季度末完成。
又缺货时，每台每晚交一个季度，罚款0.1万元。
为使总的生产、存储和缺货罚款损失费用最小，重新列出用运输问题求解时的产销平衡和单位运价表。
解：以四个季度为产地和销地，建立产销平衡运输表如下：3、P119, 3.8某造船厂在某年算起的连续三年的年末各提供三条规格相同的货轮，已知该厂今后三年的的生产能力及生产成本如下表所示。
已知加班生产时每条货轮成本比正常生产时高70万元，又知造出的货轮如当年不交货，每条每积压一年增加维护费用40万元。
在签订合同时，已有以前积压的两条，该厂希望在第三年末交货后多留一条备用。
问该厂应如何安排生产计划，满足上述要求，并使得总费用最小。
请列出产销平衡表和单位运价表。
解4、P120, 3.9为确保飞行的安全，飞机上的发动机每半年必须强迫更换进行大修。
某维修厂估计某种型号的战斗机从下一个半年起的今后三年内每半年需更换的发动机数量分别为：100,70,80,120,150,140（台）。
更换发动机时，可以换上新的，也可以用经过大修的旧的发动机。
已知每台新发动机的购置费是10万元，而旧发动机的维修方式有两种：快修，每台2万元，半年交货（本期拆下，下期即可用上，半年为一期）；慢修，每台1万元，一年才能交货（本期拆下，下下期可用上）。
该厂新接手该项发动机的更换维修任务，又知三年后这种战斗机将退役，退役后这种发动机将报废。
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A1 A2 A3 销量
B1 B2 B3 B4 产量
3 11 3 10
7
1928
4
7 4 10 5
9
3
6
5
6
20
A1 A2 A3 A1 0 1 3 A2 1 0 M A3 3 M 0
B1
B2
B3
B4
B1
0142
B2
1021
B3
4203
B4
2130
A1 A2 A3 T1 T2 T3 T4 B1 B2 B3 B4 T1 2 3 1 0 1 3 2 2 8 4 6 T2 1 5 M 1 0 1 1 4 5 2 7 T3 4 M 2 3 1 0 2 1 8 2 4 T4 3 2 3 2 1 2 0 1 M 2 6
A1 A2 A3 T1 T2 T3 T4 B1 B2 B3 B4 产量 A1 0 1 3 2 1 4 3 3 1 3 10 27
1
A2 1 0 M 3 5 M 2 1 9 2 8 24 A3 3 M 0 1 M 2 3 7 4 10 5 29 T1 2 3 1 0 1 3 2 2 8 4 6 20 T2 1 5 M 1 0 1 1 4 5 2 7 20 T3 4 M 2 3 1 0 2 1 8 2 4 20 T4 3 2 3 2 1 2 0 1 M 2 6 20 B1 3 1 7 2 4 1 1 0 1 4 2 20 B2 11 9 4 8 5 8 M 1 0 2 1 20 B3 3 2 10 4 2 2 2 4 2 0 3 20 B4 10 8 5 6 7 4 6 2 1 3 0 20 销量 20 20 20 20 20 20 20 23 2 25 26
– 产地和销地之间虽有直达路线，但直达运输的费用或 运输距离分别比经过某些中转站还要高或远。
存在以上情况的运输问题，统称为转运问题。
• 2）解题步骤：解决中转问题的思路是把它化 为无转运的平衡运输问题。
– 首先根据具体问题求出最大可能中转量Q
– 纯中转站可视为输出量和输入量为Q的一个产地和 销地
– 兼中转站的产地可视为一个输入量为Q的销地及一 个产量为a+Q的产地
• 3.方案调整
第三节 产销不平衡运输问题
• 1、直达运输问题
– 求解思路：通过增加虚拟点，使产销不平衡问 题变为产销平衡问题，再进行求解。
2、可中转的运输问题
• 1）问题的提出：
– 产地和销地之间没有直达路线，货物从产地到销地必 须通过某中转站转运
– 某些产地既输出货物，也吸收一部分货物；某销地既 吸收货物，又输出部分货物，即产地和销地可以起中 转站的作用，或者既是产地，又是销地。
A2
1
9
2
8
4
6吨、5吨、6吨，从各工厂到 各销售点的单位产品运价如
A3 7 4 10 5
9
表所示，问该公司应如何调 运产品，才能在满足各销售
销量 3 6 5 6 20
点需求的前提下，使总运费
20
最少？
第二节 表上作业法
• 运输问题的求解方法——表上作业法
• 步骤：
– 1.确定初始调运方案——最小元素法 – 原则：根据运价最低的原则安排运量 – 方法：选择最小运价进行调运，同时划掉被满足的
作业：用表上作业法求解下列运输问题
销地 甲 乙 丙 丁 产量 甲 乙 丙 丁
产地
A
8 4146
B
8 1250
C
4 3751
销量 6 5 6 3 20
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第三章 运输问题
第一节 运输问题及模型
• 一、产销平衡的运输 问题
• （一）数学模型ห้องสมุดไป่ตู้
• 例：某公司有三个加工厂A1、 A2、A3 生产某种产品，每日
销地
产地 B1 B2 B3 B4
产量
的产量分别为7吨、4吨、9吨， 该公司把这些产品分别运往
A1
3 11 3 12
7
四个销地B1、B2、B3、B4， 各销售点每日销量分别为3吨、
行或列，但只能划一次，同时标注剩余运量。 – 检验：有数字格的数量=行数+列数-1=划线数量
• 2.判断方案是否最优——乘数法
– 原则：无数字格的检验数都小于等于0 – 方法：1）对每一行设一个乘数ui，每一列设一
个乘数vj – 2）列出所有数字格的乘数方程ui+vj=cij（运
价），求出ui和 vj – 3）计算空格的检验数
– 兼中转站的销地可视为一个输出量为Q的产地及一 个销量为b+Q的销地
– 在此基础上，列出各产地的输入量。各销地的输 入量及各产销地之间的运价表，最后可用表上作 业法求解。
• 例题：已知某物资的产量和销量及运价， 另外还假定这些物资在三个产地之间可以 互相调运，在四个销地之间可以互相调运， 运价如表所示，另外再假定还有四个纯中 转站，他们到各产地、销地及中转站之间 的运价如表所示，问在考虑到产销地之间 直接运输和非直接转运的各种可能方案的 情况下，怎样将三个产地的物资运往销地 总运费最省。