第三章运输问题
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运筹学--第三章运输问题
并设Xij----第i个盐产地运往第j个盐销地的运量。 目标函数为：
minS=3 x11 3 x12 4 x13 5 x14 6 x21 ...... 2x34
运出量等于产量：
x11＋x12＋x13＋x14＝70 x21＋x22＋x23＋x24＝80 x31＋x32＋x33＋x34＝100
P13 e1 e6 P14 e1 e7 P21 e2 e4 P23 e2 e6 P32 e3 e5 P34 e3 e7
后面 有理 论探 讨。
即不存在一组不全为零的数 k1 , k2 ,..., k6使得：
k1 P13 k2 P14 ... k6 P34 0成立
u1 u2 u3 v1 v2 v3 v4
x11 1
x12 1
x13 1
x14 1
1
0 1
0 1
0
x21 0 1 0 1
x22 0 1 0 0 1
x23 0 1 0 0 1
x24 0 1 0 0
x31 0 0 1 1
x32 0 0 1 0 1
x33 0 0 1 0 0 1
1
1
x34 0 0 1 0 0 0 1
3 2 2
1 4 5
销地 产地 A1 A2 A3 销量
3 4
B1 x11 x21 x31 3
B2 x12 x22 x32 6
B3 x13 x23 x33 5
B4 x14 x24 x34 6
产量 7 4 9 20
回顾
min z cij xij
i 1 j 1
如何求初始可行解？
约束方程 m n 7个， 模型中有变量 m n 12个，
minS=3 x11 3 x12 4 x13 5 x14 6 x21 ...... 2x34
运出量等于产量：
x11＋x12＋x13＋x14＝70 x21＋x22＋x23＋x24＝80 x31＋x32＋x33＋x34＝100
P13 e1 e6 P14 e1 e7 P21 e2 e4 P23 e2 e6 P32 e3 e5 P34 e3 e7
后面 有理 论探 讨。
即不存在一组不全为零的数 k1 , k2 ,..., k6使得：
k1 P13 k2 P14 ... k6 P34 0成立
u1 u2 u3 v1 v2 v3 v4
x11 1
x12 1
x13 1
x14 1
1
0 1
0 1
0
x21 0 1 0 1
x22 0 1 0 0 1
x23 0 1 0 0 1
x24 0 1 0 0
x31 0 0 1 1
x32 0 0 1 0 1
x33 0 0 1 0 0 1
1
1
x34 0 0 1 0 0 0 1
3 2 2
1 4 5
销地 产地 A1 A2 A3 销量
3 4
B1 x11 x21 x31 3
B2 x12 x22 x32 6
B3 x13 x23 x33 5
B4 x14 x24 x34 6
产量 7 4 9 20
回顾
min z cij xij
i 1 j 1
如何求初始可行解？
约束方程 m n 7个， 模型中有变量 m n 12个，
第3章运输问题
13
§2 表上作业法
一、表上作业法迭代步骤 1. 按某种规则找出一个初始基可行解； 2. 对现行解作最优性判断，即求各非基变量的检 验数，判别是否达到最优解，如已是最优解，则 停止计算，如不是最优解，则进行下一步骤； 3. 在表上对初始方案进行改进，找出新的基可行 解，再按第2步进行判别，直至找出最优解。
21
用最小元素法确定例2初始调运方案
调 运 量 产地 销地
A
100
B
90
X12
C
70 100 100
X13
产量
200 100
250 100
甲
X11
80 150 65 100 75
乙
销 量
X21
X22
X23
100
150
200 100
450
22
得到初始调运方案为：
x11=100，x13=100，x22=150，x23=100
B
90
C
产量
甲
X11
70 100 100 -20
X12 X13
200
250
乙
销 量
15
80 150 65 100 75
X22 X23
X21
100
150
200
450
32
用沃格尔法确定的初始调运方案的检验数
调 运 量 产地 销地
A
50
B
90 150
X12
C
70 65 15 100
产量
200
甲 乙
销 量
为运输问题的一个基可行解。由于基变量 的检验数等于零，故有：
ui1 v j1 ci1 j1 u v c i2 j2 i2 j 2 uis v js cis js
§2 表上作业法
一、表上作业法迭代步骤 1. 按某种规则找出一个初始基可行解； 2. 对现行解作最优性判断，即求各非基变量的检 验数，判别是否达到最优解，如已是最优解，则 停止计算，如不是最优解，则进行下一步骤； 3. 在表上对初始方案进行改进，找出新的基可行 解，再按第2步进行判别，直至找出最优解。
21
用最小元素法确定例2初始调运方案
调 运 量 产地 销地
A
100
B
90
X12
C
70 100 100
X13
产量
200 100
250 100
甲
X11
80 150 65 100 75
乙
销 量
X21
X22
X23
100
150
200 100
450
22
得到初始调运方案为：
x11=100，x13=100，x22=150，x23=100
B
90
C
产量
甲
X11
70 100 100 -20
X12 X13
200
250
乙
销 量
15
80 150 65 100 75
X22 X23
X21
100
150
200
450
32
用沃格尔法确定的初始调运方案的检验数
调 运 量 产地 销地
A
50
B
90 150
X12
C
70 65 15 100
产量
200
甲 乙
销 量
为运输问题的一个基可行解。由于基变量 的检验数等于零，故有：
ui1 v j1 ci1 j1 u v c i2 j2 i2 j 2 uis v js cis js
第三章--运输问题
A1 A2 A3 销量
B1 B2 B3 B4 产量
3 11 3 10
7
1928
4
7 4 10 5
9
3
6
5
6
20
A1 A2 A3 A1 0 1 3 A2 1 0 M A3 3 M 0
B1
B2
B3
B4
B1
0142
B2
1021
B3
4203
B4
2130
A1 A2 A3 T1 T2 T3 T4 B1 B2 B3 B4 T1 2 3 1 0 1 3 2 2 8 4 6 T2 1 5 M 1 0 1 1 4 5 2 7 T3 4 M 2 3 1 0 2 1 8 2 4 T4 3 2 3 2 1 2 0 1 M 2 6
A1 A2 A3 T1 T2 T3 T4 B1 B2 B3 B4 产量 A1 0 1 3 2 1 4 3 3 1 3 10 27
1
A2 1 0 M 3 5 M 2 1 9 2 8 24 A3 3 M 0 1 M 2 3 7 4 10 5 29 T1 2 3 1 0 1 3 2 2 8 4 6 20 T2 1 5 M 1 0 1 1 4 5 2 7 20 T3 4 M 2 3 1 0 2 1 8 2 4 20 T4 3 2 3 2 1 2 0 1 M 2 6 20 B1 3 1 7 2 4 1 1 0 1 4 2 20 B2 11 9 4 8 5 8 M 1 0 2 1 20 B3 3 2 10 4 2 2 2 4 2 0 3 20 B4 10 8 5 6 7 4 6 2 1 3 0 20 销量 20 20 20 20 20 20 20 23 2 25 26
– 产地和销地之间虽有直达路线，但直达运输的费用或 运输距离分别比经过某些中转站还要高或远。
----第三章 运输问题
3
A2
31
B3
B4
产量
43 3
7
12
4
A3
6
39
销量
3
6
5
6
检验数的经济解释：空格（ A1 , B1） + 1 吨，保持产销平衡
(A1 , B3) - 1 吨，
(A2 , B3) + 1 吨，
(A2 , B1) - 1 吨
检验数=调整方案使运费的改变量
15
(+1)3 + (-1) 3 + (+1)2 + (-1) 1 = 1 (元)
14
①、方法一：闭回路法
每个空格都存在唯一的闭回路---从每一空格出发，用水平 线或垂直线向前划，每碰到一数字格就转 90 度后继续前 进，直到回到起始空格处为止。
例 (A1 , B1) 空格与数字格(A1 , B4) 、 (A2 , B4) 和 (A2 , B1)
表3.12/3.7 B1
B2
A1
ij = cij – ( ui + vj )
18
仍以例3.2所给出的初始基可行解表3.7为例：
第一步：在对应表3.7的数字格处填入单位运价
表3.7/3.14 B1
B2
B3
B4 行位势ui
A1
3
10
0
A2
1
2
-1
A3
4
5
-5
列位势 vj 2
9 3 10
第二步：增加一行和一列，列中填入行位势
ui ，行中填入列位势 vj
存的问题。设 xin+1 是产地 Ai 的贮存量，故有：
n
n1
xij xin1 xij ai (i 1,L , m)
广工管理运筹学第三章运输问题
闭合回路法的优点是能够找到全局最 优解，适用于大型复杂运输问题。但 该方法的计算复杂度较高，需要较长 的计算时间。
商位法
01
商位法是一种基于商位划分的优化算法，用于解决运输问题。该方法通过将供 应点和需求点划分为不同的商位，并最小化总运输成本。
02
商位法的计算步骤包括：根据地理位置和货物需求量，将供应点和需求点划分 为不同的商位；根据商位的地理位置和货物需求量，计算总运输成本；通过比 较不同商位的总运输成本，确定最优的配送路线。
80%
线性规划法
通过建立线性规划模型，利用数 学软件求解最优解，得到最小化 总成本的运输方案。
100%
启发式算法
采用启发式规则逐步逼近最优解 ，常用的算法包括节约算法、扫 描算法等。
80%
遗传算法
基于生物进化原理的优化算法， 通过模拟自然选择和遗传机制来 寻找最优解。
02
运输问题的数学模型
变量与参数
约束条件
供需平衡
每个供应点的供应量等于对应 需求点的需求量，这是运输问 题的基本约束条件。
非负约束
运输量不能为负数，即每个供 应点对每个需求点的运输量都 应大于等于零。
其他约束条件
根据实际情况，可能还有其他 约束条件，如运输能力的限制 、运输路线的限制等。
03
运输问题的求解算法
表上作业法
总结词
直到达到最优解。这两种方法都可以通过构建线性规划模型来求解最优解。
04
运输问题的优化策略
节约法
节约法是一种基于节约里程的优化算法，用于解决 运输问题。该方法通过比较不同配送路线的距离和 货物需求量，以最小化总运输距离为目标，确定最 优的配送路线。
节约法的计算步骤包括：计算各供应点到需求点的 距离，找出最短路径；根据最短路径和货物需求量 ，计算节约里程；按照节约里程排序，确定最优配 送路线。
运筹学-3运输问题
产销平衡问题 产销不平衡问题
产大于销 销大于供
当产销平衡时，其模型如下：
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
xij
0
( ai bj)
当销大于产时，其模型是：
min Z
cij xij
xij ai xij bj
可行解的方法
Review
二、表上作业法的步骤
Step1.找出初始基本可行解（在m*n产销平衡 表上寻找初始调运方案，一般m+n-1个数字 格），用最小元素法、西北角法、伏格尔法；
Step2.求出各非基变量的检验数，判别是否达 到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步， 用闭回路或位势法计算；
Step3.改进当前的基本可行解（确定换入、 换出变量），用闭合回路法调整； Step4.重复2. 3，直到找到最优解为止。
（3）运输问题的解
定义1. 闭回路
x x x x x x 闭回路是能折成 i1 j1, i1 j2 , i2 j2 , i2 j3 ,..., isjs , isj1
形式的变量组集合。其中 i1 , i2 , …， is 互不相同，j1 , j2 , …， js 互不相 同。每个变量称为闭回路的顶点，连接闭回路相邻两顶点的直线段叫做闭
统计学院
运筹学－第三章 运输问题
张红历
本章内容
1.运输问题及其数学模型 2.表上作业法 3.运输问题的进一步讨论
4.应用问题举例
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的提出
例：某运输问题的资料如下：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
产大于销 销大于供
当产销平衡时，其模型如下：
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
xij
0
( ai bj)
当销大于产时，其模型是：
min Z
cij xij
xij ai xij bj
可行解的方法
Review
二、表上作业法的步骤
Step1.找出初始基本可行解（在m*n产销平衡 表上寻找初始调运方案，一般m+n-1个数字 格），用最小元素法、西北角法、伏格尔法；
Step2.求出各非基变量的检验数，判别是否达 到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步， 用闭回路或位势法计算；
Step3.改进当前的基本可行解（确定换入、 换出变量），用闭合回路法调整； Step4.重复2. 3，直到找到最优解为止。
（3）运输问题的解
定义1. 闭回路
x x x x x x 闭回路是能折成 i1 j1, i1 j2 , i2 j2 , i2 j3 ,..., isjs , isj1
形式的变量组集合。其中 i1 , i2 , …， is 互不相同，j1 , j2 , …， js 互不相 同。每个变量称为闭回路的顶点，连接闭回路相邻两顶点的直线段叫做闭
统计学院
运筹学－第三章 运输问题
张红历
本章内容
1.运输问题及其数学模型 2.表上作业法 3.运输问题的进一步讨论
4.应用问题举例
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的提出
例：某运输问题的资料如下：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
运筹学第三章 运输问题
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 3
3 1
4
4
2
A3
销量 2
4 7
1 3
4
4 6
3
7 5
3
5
6
8
4 3 13
σ11=-3, σ12=-2,σ23=-4, σ31=-1,σ33=1, σ34=-1
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 0
3 4
4
4
2
A3
销量 2
4 7
4
4 6
3
4 3
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x11检验数为 6-4+8-6+4-4=4
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6 4 2 4
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x12检验数为 5-4+8-6=3
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
2、位势法 当运输问题变量的格数较多时，用闭 回路法计算检验数比较麻烦，而位势法比 较简便。 对于运输问题 minf=CX AX=b X≥0 设B为其一个可行基，则xij的检验数为 σ ij=CBB-1Pij-Cij
运筹学 第3章运输问题
检 验 数 表
最 优 方 案 判 别 准 则
B1 3 A1 A2 7 A3 vj
B2 11
B3 3 2
B4 10 8
ui
1
1Байду номын сангаас
2
9
0
1
4 10
-1
5
-1 -5
10
2 9
12
3 10
24=-1＜0，当前方案 不是最优方案。
26
2.3
闭回路调整法改进方案
min ij 0 pq
xpq 为换入变量
min
z cij xij
i 1 j 1
s.t.
n xij ai 1 jm xij b j i 1 xij 0
i 1,, m j 1,, n
4
运输问题的约束方程组系数矩阵及特征
x11 x12 .... x1n 1 1.......1 A 1 1 1 x21 x22 .... x2 n ...... xm1 xm 2 .... xmn 1 1.......1 ......... 1 1.......1 1 1 1 .......... 1 1 1
10
1. 最小元素法 （思想：就近供应） 不 能 同 时 划 去 行 和 列
销 产 A1 1 A2 A3 销量 3 9 B1 3 B2 11 B3 3 B4
表3-4
产量 10 7 8 5
4
2
3
3
7 4
1
10
6
6 5
3
6
保证填 4 有运量 的格子 9 为m+n1
该方案总运费： Z=4×3+3×10+3×1+1×2+6×4+3×5=86
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i, j
a b
i 1 i j 1
m
n
约束方程系数矩阵结构
j
x11 x12 x1n x 21 x 22 x 2 n x m1 x m 2 x mn
x
j 1
n
ij
ai
m行 n行
x
i 1
m
ij
bj
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
┇
A1 A2 Am
┇
x11 x21 xm1 d1
┇
x 12 … x 1n x 22 … x 2n
┇
┇
┇
s1 s2 sm
x m2 … x mn d2 … dn
设 x ij 为从产地 A i 运往销地 B j 的运 输量，根据这个运输问题的要求，可以建立 运输变量表。
销量
运输问题模型及有关概念
于是得到下列一般运输问题的模型：
B1 A1 : Ai : Am b j b’ j=b’ b jj - x ij a’ i= a i- x ij xij ai a’i … … Bj … … Bn
5
2016-9-20
运输问题求解 —表上作业法
初始基本可行解的确定 ①在供需表中任选一个单元 xij，尽量匹配产销，使 一个约束方程得以满足，填入相应位置； ②调整 Ai的拥有量及 Bj的需求量，分别减去 xij ，得 到调整后的拥有量 ai和需求量 bj ； ③若ai=0，则划去对应的行（拥有的量全部运走）， 若bj=0则划去对应的列（需求的量全部运来），且 每次只划去一行或一列（每次只去掉一个约束 ）； ④若平衡表中所有的行或列均被划去，则结束。 否则，在剩下的平衡表中选下一个变量，转 ②
A 的增广矩阵的秩小于 m+n
A 的增广矩阵的秩等于 m+n-1
运输问题基变量
特点
运输问题基变量
闭回路
运输问题的基变量共有 m + n -1 个， A的秩为 m + n -1。 运输问题的 m + n -1 个变量构成基 变量的充分必要条件是不含 闭回路。 重要概念 : 闭回路、闭回路的顶点
xi1 j1 , xi2 j1 , xi2 j2 , xi3 j2 ,, xis js , xi1 js x i1 j1 , x i1 j2 , x i2 j2 , x i2 j3 , , x is js , x is j1
x
i 1 j 1 n m
m
n
ij
ai
i 1 n
m
x b
j 1 i 1 ij j 1
j
m行 n行
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
运输问题模型及有关概念
解： 产销平衡问题： 总产量 = 总销量 设 xij 为从产地 Ai运往销地 Bj 的运输量，得到下列运输量表：
A1 A2 销量 B1 x11 x21 150 B2 x12 x22 150 B3 x13 x23 200 产量 200 300
运输问题模型及有关概念
Min f
= 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23
xij dj
m
j = 1,2,…, n （3）
j=1 m
xij = si xij = dj
xij≥0(i=1,2,…, m;j=1,2,…, n)（4）
在模型（1）—（4）中，式（ 2）为 m 个产地的 产量约束；式（ 3）为 n 个销地的销量约束。
i=1
xij≥0(i=1,2,…, m;j=1,2,…, n)
3
2016-9-20
约束方程系数矩阵结构
m行 n行 0 1 1 1 1 1 1 1 i行 1 1 1 p 1 ij 1 1 0 1 m j行 1 1 1 0 1 1 1
pij ei em j
基变量个数 m+n-1
x11 x12 x1n x21 x22 x2 n xm1 xm 2 xmn b
基变量个数 m+n-1
x11 x12 x1n x21 x31 xm1
m 1行 n行 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a1 a2 am b1 b2 bn
运输问题模型及有关概念
例4.1: 某公司从两个产地 A1、 A2将物品运往三个销地 B1、B2、B3， 各产地的产量、各销地的销量和 各产地运往个销地每件物品的运 费如下表所示，问：应如何调运 可使总运输费用最小？
A1 A2 销量 B1 6 6 150 B2 4 5 150 B3 6 5 200 产量 200 300
2
2016-9-20
运输问题模型及有关概念
在产销平衡问题中，约束条件成 为等式。 在实际问题建模时，还会出现如下变化： （1）有时目标函数求最大，如求利润最 大或营业额最大等； （2）当某些运输线路上的能力有限制时， 模型中可直接加入（等式或不等式）约束；
运输问题模型及有关概念
(3)产销不平衡的情况。当销量 大于产量时可加入一个虚设的产地 去生产不足的物资，这相当于在式 （2）每一式中加上 1 个松弛变量， 共 m 个；当产量大于销量时可加 入一个虚设的销地去消化多余的物 资，这相当于在式（ 3 ）每一式中 加上 1 个松弛变量，共 n 个。
is
e
em js eis em j1
0
若变量组中有一部分构成闭回路，则变量组线性 相关。
基变量的构成
定理：r个变量对应的系数列向量线性 无关的充要条件是变量组不包含闭回 路。 推论：m+n-1个变量构成基变量的充要 条件是不含闭回路。
运输问题求解 —表上作业法
基变量的构成
闭回路
xi1 j1 , xi2 j1 , xi2 j2 , xi3 j2 , xi3 j3 , xi4 j3 , xi4 j4 , xi1 j4 xi1 j1 xi2 j1 xi 4 j 4 xi3 j2 xi1 j4 xi 2 j 2 xi 4 j 3 xi3 j3
闭回路示意图
基变量的构成
其中， i1i2,….,i s互不相同， j1j2,….,j s互不相同） 上述形式的变量的集合称为一个闭回路 其中的变量称为闭回路的顶点 闭回路的特点：封闭、每行每列至多两个顶点
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运输问题基变量
例如， x13, x16, x36, x34, x24, x21 ； x23, x53, x55, x45, x41, x12 ； x11, x14, x34, x31等都是闭回路。 若把闭回路的各变量格看作节点， 在表中可以画出如下形式的闭回路：
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第三章
运输问题
运输问题模型及有关概念
问题的提出 一般的运输问题就是要解决把 某种产品从若干个产地调运到若干个 销地，在每个产地的供应量与每个销 地的需求量已知，并知道各地之间的 运输单价的前提下，如何确定一个使 得总的运输费用最小的方案。
本章内容重点
n 运输问题与有关概念 n 运输问题的求解 —表上作业法 n 运输问题应用 —建模
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运输问题模型及有关概念
模型系数矩阵特征 1. 共有m+n行，分别表示各 产地和销地； m列，分别表示各 变量； 2. 每列只有两个 1，其余 为 0，分别表示只有一个产地和 一个销地被使用。
运输问题模型及有关概念
一般运输问题的线性规划模型及求解思路 一般运输问题的提法： A1, A2,…, Am 表示某物资的 m个产地； B1,B2,…, Bn 表示某物资的 n个销地； si 表示产地 Ai 的产量； dj 表示销地 Bj 的销量； c ij 表示把物资为从产地 Ai 运往销地 Bj 的单位 运价。 如果 s1 + s2 + … + sm = d1 + d2 + … + dn ， 则称该运输问题为产销平衡问题；否则，称产销 不平衡。下面，首先讨论产销平衡问题。
约束方程系数矩阵结构
0 1 i行 pij 0 1 m j行 0 0 0 ei 1 i行 0 0
x11 x12 x1n x 21 x 22 x 2 n x m1 x m 2 x mn
闭回路的一些明显特点： (1) 闭回路均为一封闭折线，它的 每一条边，或为水平的，或为垂直的； (2) 闭回路的每一条边（水平的或 垂直的）均有且仅有两个闭回路的顶 点（变量格）。
基变量的构成
对于闭回路
xi1 j1 , xi1 j2 , xi2 j2 , xi2 j3 ,, xis js , xis j1
其对应的列向量 线性相关
pi1 j1 , pi1 j2 , pi2 j2 , pi2 j3 , , pis js , pis j1
pi1 j1 pi1 j2 pi2 j2 pi2 j3 , pis js pis j1
ei1 em j1 ei1 em j2 ei2 em j2 ei2 em j3
运输问题模型及有关概念
系数矩阵 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1
a b
i 1 i j 1
m
n
约束方程系数矩阵结构
j
x11 x12 x1n x 21 x 22 x 2 n x m1 x m 2 x mn
x
j 1
n
ij
ai
m行 n行
x
i 1
m
ij
bj
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
┇
A1 A2 Am
┇
x11 x21 xm1 d1
┇
x 12 … x 1n x 22 … x 2n
┇
┇
┇
s1 s2 sm
x m2 … x mn d2 … dn
设 x ij 为从产地 A i 运往销地 B j 的运 输量，根据这个运输问题的要求，可以建立 运输变量表。
销量
运输问题模型及有关概念
于是得到下列一般运输问题的模型：
B1 A1 : Ai : Am b j b’ j=b’ b jj - x ij a’ i= a i- x ij xij ai a’i … … Bj … … Bn
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运输问题求解 —表上作业法
初始基本可行解的确定 ①在供需表中任选一个单元 xij，尽量匹配产销，使 一个约束方程得以满足，填入相应位置； ②调整 Ai的拥有量及 Bj的需求量，分别减去 xij ，得 到调整后的拥有量 ai和需求量 bj ； ③若ai=0，则划去对应的行（拥有的量全部运走）， 若bj=0则划去对应的列（需求的量全部运来），且 每次只划去一行或一列（每次只去掉一个约束 ）； ④若平衡表中所有的行或列均被划去，则结束。 否则，在剩下的平衡表中选下一个变量，转 ②
A 的增广矩阵的秩小于 m+n
A 的增广矩阵的秩等于 m+n-1
运输问题基变量
特点
运输问题基变量
闭回路
运输问题的基变量共有 m + n -1 个， A的秩为 m + n -1。 运输问题的 m + n -1 个变量构成基 变量的充分必要条件是不含 闭回路。 重要概念 : 闭回路、闭回路的顶点
xi1 j1 , xi2 j1 , xi2 j2 , xi3 j2 ,, xis js , xi1 js x i1 j1 , x i1 j2 , x i2 j2 , x i2 j3 , , x is js , x is j1
x
i 1 j 1 n m
m
n
ij
ai
i 1 n
m
x b
j 1 i 1 ij j 1
j
m行 n行
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
运输问题模型及有关概念
解： 产销平衡问题： 总产量 = 总销量 设 xij 为从产地 Ai运往销地 Bj 的运输量，得到下列运输量表：
A1 A2 销量 B1 x11 x21 150 B2 x12 x22 150 B3 x13 x23 200 产量 200 300
运输问题模型及有关概念
Min f
= 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23
xij dj
m
j = 1,2,…, n （3）
j=1 m
xij = si xij = dj
xij≥0(i=1,2,…, m;j=1,2,…, n)（4）
在模型（1）—（4）中，式（ 2）为 m 个产地的 产量约束；式（ 3）为 n 个销地的销量约束。
i=1
xij≥0(i=1,2,…, m;j=1,2,…, n)
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约束方程系数矩阵结构
m行 n行 0 1 1 1 1 1 1 1 i行 1 1 1 p 1 ij 1 1 0 1 m j行 1 1 1 0 1 1 1
pij ei em j
基变量个数 m+n-1
x11 x12 x1n x21 x22 x2 n xm1 xm 2 xmn b
基变量个数 m+n-1
x11 x12 x1n x21 x31 xm1
m 1行 n行 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a1 a2 am b1 b2 bn
运输问题模型及有关概念
例4.1: 某公司从两个产地 A1、 A2将物品运往三个销地 B1、B2、B3， 各产地的产量、各销地的销量和 各产地运往个销地每件物品的运 费如下表所示，问：应如何调运 可使总运输费用最小？
A1 A2 销量 B1 6 6 150 B2 4 5 150 B3 6 5 200 产量 200 300
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运输问题模型及有关概念
在产销平衡问题中，约束条件成 为等式。 在实际问题建模时，还会出现如下变化： （1）有时目标函数求最大，如求利润最 大或营业额最大等； （2）当某些运输线路上的能力有限制时， 模型中可直接加入（等式或不等式）约束；
运输问题模型及有关概念
(3)产销不平衡的情况。当销量 大于产量时可加入一个虚设的产地 去生产不足的物资，这相当于在式 （2）每一式中加上 1 个松弛变量， 共 m 个；当产量大于销量时可加 入一个虚设的销地去消化多余的物 资，这相当于在式（ 3 ）每一式中 加上 1 个松弛变量，共 n 个。
is
e
em js eis em j1
0
若变量组中有一部分构成闭回路，则变量组线性 相关。
基变量的构成
定理：r个变量对应的系数列向量线性 无关的充要条件是变量组不包含闭回 路。 推论：m+n-1个变量构成基变量的充要 条件是不含闭回路。
运输问题求解 —表上作业法
基变量的构成
闭回路
xi1 j1 , xi2 j1 , xi2 j2 , xi3 j2 , xi3 j3 , xi4 j3 , xi4 j4 , xi1 j4 xi1 j1 xi2 j1 xi 4 j 4 xi3 j2 xi1 j4 xi 2 j 2 xi 4 j 3 xi3 j3
闭回路示意图
基变量的构成
其中， i1i2,….,i s互不相同， j1j2,….,j s互不相同） 上述形式的变量的集合称为一个闭回路 其中的变量称为闭回路的顶点 闭回路的特点：封闭、每行每列至多两个顶点
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运输问题基变量
例如， x13, x16, x36, x34, x24, x21 ； x23, x53, x55, x45, x41, x12 ； x11, x14, x34, x31等都是闭回路。 若把闭回路的各变量格看作节点， 在表中可以画出如下形式的闭回路：
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第三章
运输问题
运输问题模型及有关概念
问题的提出 一般的运输问题就是要解决把 某种产品从若干个产地调运到若干个 销地，在每个产地的供应量与每个销 地的需求量已知，并知道各地之间的 运输单价的前提下，如何确定一个使 得总的运输费用最小的方案。
本章内容重点
n 运输问题与有关概念 n 运输问题的求解 —表上作业法 n 运输问题应用 —建模
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运输问题模型及有关概念
模型系数矩阵特征 1. 共有m+n行，分别表示各 产地和销地； m列，分别表示各 变量； 2. 每列只有两个 1，其余 为 0，分别表示只有一个产地和 一个销地被使用。
运输问题模型及有关概念
一般运输问题的线性规划模型及求解思路 一般运输问题的提法： A1, A2,…, Am 表示某物资的 m个产地； B1,B2,…, Bn 表示某物资的 n个销地； si 表示产地 Ai 的产量； dj 表示销地 Bj 的销量； c ij 表示把物资为从产地 Ai 运往销地 Bj 的单位 运价。 如果 s1 + s2 + … + sm = d1 + d2 + … + dn ， 则称该运输问题为产销平衡问题；否则，称产销 不平衡。下面，首先讨论产销平衡问题。
约束方程系数矩阵结构
0 1 i行 pij 0 1 m j行 0 0 0 ei 1 i行 0 0
x11 x12 x1n x 21 x 22 x 2 n x m1 x m 2 x mn
闭回路的一些明显特点： (1) 闭回路均为一封闭折线，它的 每一条边，或为水平的，或为垂直的； (2) 闭回路的每一条边（水平的或 垂直的）均有且仅有两个闭回路的顶 点（变量格）。
基变量的构成
对于闭回路
xi1 j1 , xi1 j2 , xi2 j2 , xi2 j3 ,, xis js , xis j1
其对应的列向量 线性相关
pi1 j1 , pi1 j2 , pi2 j2 , pi2 j3 , , pis js , pis j1
pi1 j1 pi1 j2 pi2 j2 pi2 j3 , pis js pis j1
ei1 em j1 ei1 em j2 ei2 em j2 ei2 em j3
运输问题模型及有关概念
系数矩阵 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1