九年级数学下册专项训练四图形的初步认识与三角形新版新人教版
人教版九年级数学中考总复习 单元检测四 几何初步知识与三角形 含解析及答案
单元检测四几何初步知识与三角形(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题只有一个正确选项,每小题4分,共32分)1.如图,已知AB∥CD,直线AC和BD相交于点E,若∠ABE=70°,∠ACD=40°,则∠AEB等于()A.50°B.60°C.70°D.80°2.如果将长为6 cm,宽为5 cm的长方形纸片折叠一次,那么这条折痕的长不可能是()A.8 cmB.5√2 cmC.5.5 cmD.1 cm3.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”,则图中以BC为公共边的“共边三角形”有()A.2对B.3对C.4对D.6对4.如图所示,在△ABC中,AB=AC,过AC上一点作DE⊥AC,EF⊥BC,若∠BDE=140°,则∠DEF=()A.55°B.60°C.65°D.70°5.如图,等腰三角形ABC的周长为21,底边BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,则△BEC的周长为()A.13B.14C.15D.166.如图,有一底角为35°的等腰三角形纸片,现过底边上一点,沿与底边垂直的方向将其剪开,分成三角形和四边形两部分,则四边形中,最大角的度数是()A.110°B.120°C.125°D.130°7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于点D,AB=13,CD=6,则AC+BC等于()A.5B.5√13C.13√13D.9√58.(2021浙江中考)如图,菱形ABCD中,∠B=60°,点P从点B出发,沿折线BC—CD方向移动,移动到点D停止.在△ABP形状的变化过程中,依次出现的特殊三角形是()A.直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B.直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C.直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D.等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)9.如图,AB∥CD,CE平分∠ACD,若∠1=25°,则∠2的度数是.°10.如图,已知AB=AD,∠BAE=∠DAC,要使△ABC≌△ADE,可补充的条件是.(写出一个即可)或∠C=∠E或∠B=∠D11.如图,将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE,直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF,连接EF.若AB=3,AC=2,且α+β=∠B,则EF=.√1312.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,点E,F是AD的三等分点,若△ABC的面积为12 cm2,则图中阴影部分的面积是cm2.13.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=3.点D是BC边上的一动点(不与点B,C重合),过点D作DE⊥BC交AB于点E,将∠B沿直线DE翻折,点B落在射线BC上的点F处.当△AEF为直角三角形时,BD的长为.或2三、解答题(本大题共4小题,共48分)14.(本小题满分10分)如图,在△ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD与CE相交于点F,试判断△AFC的形状,并说明理由.AFC是等腰三角形.理由如下:在△BAD 与△BCE 中, ∵∠B=∠B ,∠BAD=∠BCE ,BD=BE , ∴△BAD ≌△BCE. ∴BA=BC. ∴∠BAC=∠BCA.∴∠BAC-∠BAD=∠BCA-∠BCE , 即∠FAC=∠FCA. ∴△AFC 是等腰三角形.15.(本小题满分12分)(2021天津中考)如图,一艘货船在灯塔C 的正南方向,距离灯塔257海里的A 处遇险,发出求救信号.一艘救生船位于灯塔C 的南偏东40°方向上,同时位于A 处的北偏东60°方向上的B 处,救生船接到求救信号后,立即前往救援.求AB 的长(结果取整数). 参考数据:tan 40°≈0.84,√3取1.73.,过点B 作BH ⊥CA ,垂足为H.根据题意,∠BAC=60°,∠BCA=40°,CA=257.∵在Rt △BAH 中,tan ∠BAH=BH AH ,cos ∠BAH=AHAB , ∴BH=AH ·tan60°=√3AH ,AB=AHcos60°=2AH. ∵在Rt △BCH 中,tan ∠BCH=BHCH, ∴CH=BHtan40°=√3AH tan40°.又CA=CH+AH ,∴257=√3AHtan40°+AH ,可得AH=√3+tan40°.∴AB=√3+tan40°≈2×257×0.841.73+0.84=168.答:AB 的长约为168海里.16.(本小题满分12分)某货站传送货物的平面示意图如图.为了提高传送过程的安全性,工人师傅欲减小传送带与地面的夹角,使其由45°改为30°.已知原传送带AB 长为4 m .(1)求新传送带AC 的长度;(2)如果需要在货物着地点C 的左侧留出2 m 的通道,试判断距离点B 处 4 m 的货物MNQP 是否需要挪走,并说明理由.(说明:(1),(2)的计算结果精确到0.1 m,参考数据:√2≈1.41,√3≈1.73,√5≈2.24,√6≈2.45)如图,过点A 作AD ⊥BC ,交CB 的延长线于点D.在Rt △ABD 中,AD=AB sin45°=4×√22=2√2(m). 在Rt △ACD 中,∵∠ACD=30°,∴AC=2AD=4√2≈5.6(m),即新传送带AC 的长度约为5.6m . (2)货物MNQP 需要挪走.理由:在Rt △ABD 中,BD=AB cos45°=4×√22=2√2(m),在Rt △ACD 中,CD=AC cos30°=4√2×√32=2√6(m),∴CB=CD-BD=2√6-2√2=2(√6−√2)≈2.1(m).∵PC=PB-CB ≈4-2.1=1.9(m),1.9<2,∴货物MNQP 需要挪走.17.(本小题满分14分)如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=6,D 为BC 中点.(1)若E ,F 分别是AB ,AC 上的点,且AE=CF ,求证:△AED ≌△CFD ;(2)当点F ,E 分别从C ,A 两点同时出发,以1个单位长度/秒的速度沿CA ,AB 运动到点A ,B 时停止,设△DEF 的面积为y ,点F 的运动时间为x ,求y 与x 之间的函数关系式.BAC=90°,AB=AC=6,D 为BC 中点,∴AD=DC ,∠DAE=∠C=45°. 又AE=CF ,∴△AED ≌△CFD.AE=x ,AF=6-x ,∴EF 2=AE 2+AF 2=x 2+(6-x )2=2x 2-12x+36, 由(1)知:△AED ≌△CFD , ∴DE=DF ,∠ADE=∠CDF ,∴∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°,∴△DEF 是等腰直角三角形, ∴DE 2=DF 2=12EF 2,∴S△DEF=12DE·DF=12DE2=14EF2,即y=14(2x2-12x+36)=12x2-3x+9.。
中考数学复习第四单元图形的初步认识与三角形单元测试四图形的初步认识与三角形试题
单元测试(四) 图形的初步认识与三角形(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分，在四个选项中)1．下列图形中，∠1与∠2互为补角的是( C )A BC D2．现有两根木棒，长度分别为5 cm和17 cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取( B )A．24 cm的木棒 B．15 cm的木棒C．12 cm的木棒 D．8 cm的木棒3．如图，在A，B 两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC 的距离是( B )A．6千米 B．8千米C．10千米 D．14千米4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB交BC于点E，BE＝4，则AC长为( B )A．1 B．2 C．3 D．45．如图，把一块含45°角的三角板的直角顶点靠在长尺(两边a∥b)的一边b上，若∠1＝30°，则三角板的斜边与长尺的另一边a的夹角∠2的度数为( C )A．35° B．30° C．15° D．10°6．如图，若A、B、C、D、E、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△ABC与△DEF相似，则点F应是甲、乙、丙、丁四点中的( A )A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P 的度数为( D )A ．44°B ．66°C ．88°D ．92°提示：根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，证明△AMK≌△BKN，得到∠AMK＝∠BKN，根据三角形的外角的性质求出∠A＝∠MKN＝44°，根据三角形内角和定理计算即可．8．(2016·淄博)如图，正方形ABCD 的边长为10，AG ＝CH ＝8，BG ＝DH ＝6，连接GH ，则线段GH 的长为( B ) A.835B ．2 2 C.145D ．10－5 2提示：延长BG 交CH 于点E ，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE ＝BE －BG ＝2，HE ＝CH －CE ＝2，∠HEG ＝90°，由勾股定理可得GH 的长． 二、填空题(每小题5分，共20分)9．(2016·雅安)计算：1.45°＝1°27′.10．如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC ＝2，则tanD11．如图，△ABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线，CF ⊥AE 于F ，AB ＝10，AC ＝6，则DF 的长为2．提示：延长CF 交AB 于点G ，∵在△AFG 和△AFC 中，∠GAF ＝∠CAF，AF ＝AF ，∠AFG ＝∠AFC，∴△AFG ≌△AFC(ASA)．∴AC＝AG ，GF ＝CF.又∵点D 是BC 中点，∴DF 是△CBG 的中位线．∴DF＝12BG ＝12(AB －AG)＝12(AB －AC)＝2.12．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，…，∠A n －1BC 的平行线与∠A n －1CD 的平分线交于点A n ，设∠A＝θ，则∠A n ＝θ2n．提示：由三角形的外角性质，得∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A 1CD ＝∠A 1＋∠A 1BC ，∵∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∴∠A 1BC ＝12∠ABC，∠A 1CD ＝12∠ACD.∴∠A 1＋∠A 1BC ＝12(∠A＋∠ABC)＝12∠A＋∠A 1BC.∴∠A 1＝12∠A，同理∠A n ＝θ2n.三、解答题(共48分)。
人教版初中数学几何图形初步专项训练及答案
解：∵ 平分 ，
∴点E到 的两边距离相等，
设点E到 的两边距离位h，
则S△ACE＝ AC·h，S△BCE＝ BC·h，
∴S△ACE：S△BCE＝ AC·h： BC·h＝AC：BC，
又∵S△ACE：S△BCE＝AE：BE，
∴AE：BE＝AC：BC，
∵在 中， ， ，
∴AC：BC＝3:4，
∴AE：BE＝3:4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．
【详解】
①∵EG∥BC，
∴∠CEG=∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；
②∵∠A=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∵∠α和∠β互余，∠α+∠β=90°，∴∠β的补角=180°﹣∠β=2（∠α+∠β）﹣∠β=2∠α+∠β，故③正确；
∵∠α+∠β=90°，∴2∠β+∠α=90°+∠β，不是∠β的补角，故④错误．
故正确的有①②③．
故选B．
【点睛】
本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是掌握互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°．
∴∠EBC＝∠C＝52°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝ ∠BAC＝19°，
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝52°+19°＝71°，
∵BF⊥AD，
∴∠BFD＝90°，
∴∠FBD＝90°﹣∠ADB＝19°，
∴∠EBF＝∠EBC﹣∠FBD＝52°﹣19°＝33°；
中考数学总复习 第四单元 图形的初步认识与三角形单元测试(四)图形的初步认识与三角形试题(2021
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贵港单元测试(四）图形的初步认识与三角形（时间:45分钟满分:100分)一、选择题（每小题3分，共２4分)1.若∠A＝３4°，则∠A的补角为( B )A.56°B.１4６°C.１56°D.１66°2.如图,直线a∥b，直线ｃ与a，ｂ相交，∠1＝70°，则∠2的大小是（ D ）A．20° B.30°Ｃ.50°D．70°３．如果一个三角形的两边长分别为2和４，那么第三边长可能是( B ）Ａ.2 Ｂ.4 C．6 D.8４.下列命题中,是假命题的是（ B )Ａ.对顶角相等B．同旁内角互补C.两点确定一条直线D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等5．如图，在△ABC中,ＣD⊥AB于D,且Ｅ是AC的中点.若AＤ=６，DE=5,则CD的长等于（ D )A.５B.６C.７D．86.如图,在△ABC中，∠C＝90°，∠B=3０°,ＡD是△ABＣ的角平分线，DＥ⊥ＡB，垂足为E,DE=１,则BC=（Ｃ)A。
错误!Ｂ．2 C.3 Ｄ。
人教版九年级数学第四单元《图形的初步认识与三角形》中考知识点梳理
第四单元《图形的初步认识与三角形》中考知识点梳理第14讲平面图形与相交线、平行线一、知识清单梳理第15讲一般三角形及其性质知识点一：三角形的分类及性质关键点拨与对应举例1.三角形的分类（1）按角的关系分类（2）按边的关系分类⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形失分点警示：在运用分类讨论思想计算等腰三角形周长时，必须考虑三角形三边关系.例：等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为15.2.三边关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．3.角的关系（1）内角和定理：①三角形的内角和等180°；②推论：直角三角形的两锐角互余.（2）外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.利用三角形的内、外角的性质求角度时，若所给条件含比例，倍分关系等，列方程求解会更简便.有时也会结合平行、折叠、等腰（边）三角形的性质求解.4.三角形中的重要线段四线性质（1）角平分线、高结合求角度时，注意运用三角形的内角和为180°这一隐含条件.（2）当同一个三角形中出现两条高，求长度时，注意运用面积这个中间量来列方才能够求解. 角平分线（1）角平线上的点到角两边的距离相等（2）三角形的三条角平分线的相交于一点（内心）中线（1）将三角形的面积等分（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半高锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部中位线平行于第三边，且等于第三边的一半5.三角形中内、外角与角平分线的规律总结如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=12∠BAC-∠CAE=12(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=12(∠C-∠B）；如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=12∠A+90°；如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=12∠A，∠O’=12∠O；如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-12∠A.对于解答选择、填空题，可以直接通过结论解题，会起到事半功倍的效果.知识点二 ：三角形全等的性质与判定6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等．(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． (3)全等三角形的周长等、面积等． 失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.7.三角形全等的判定一般三角形全等 SSS （三边对应相等）SAS （两边和它们的夹角对应相等）ASA （两角和它们的夹角对应相等）AAS （两角和其中一个角的对边对应相等）失分点警示如图，SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等（HL ）(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA 和AAS.8.全等三角形的运用（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件. （2）全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS 可得△ACD ≌△EBD ，则AC=BE.在△ABE 中，AB+BE ＞AE ，即AB+AC ＞2AD. ③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.例：如图，在△ABC 中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=3.第16讲 等腰、等边及直角三角形三、 知识清单梳理知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB ＝AC ∠B ＝∠C ；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高 互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD 是对称轴. （2）判定（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 如：如左图，已知AD ⊥BC,D 为BC 的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC 的一个内角为①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形. 30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.2.等边三角形（1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为9.知识点二：角平分线和垂直平分线3.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．知识点三：直角三角形的判定与性质5.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝12AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝12AB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2 .（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.6.直角三角形的判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.21P COBAPCO BADABC abcDABC abc第17讲 相似三角形知识点一：比例线段关键点拨与对应举例1. 比例线段在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱. 2.比例的基本性质(1)基本性质：a cb d =⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）(2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c dd ±；（b 、d ≠0）(3)等比性质：a c b d =＝…＝mn ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔......a c mb d n++++++＝k .（b 、d 、···、n ≠0）已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k ,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b 代入求解. 例：若35a b =，则a b b +=85. 3.平行线分线段成比例定理（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=. 利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解. 例：如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE=2，CE=3，要使DE ∥AB ，那么BC ：CD 应等于53.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OBOD OC=. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.4.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACAB ＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．例：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm ．知识点二 ：相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF.判定三角形相似的思路：①条件中若有平行 线，可用平行线找出相等的角而判定；②条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中 若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证 明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有 等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例.(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，AC AB DF DE=，则△ABC ∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC ∽△DEF. F E D CB A l 5l 4l 3l 2l 1ODCBAED CBAFEDC B AFEDC BAFE DC BA6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为9：4.(2) 如图，DE∥BC，AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2.7.相似三角形的基本模型（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.第18讲解直角三角形五、知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA122232 cosA322212 tanA331 3知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.例：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sin A＝=cosB=ac，cos A＝sinB=bc，tan A＝ab.知识点三：解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.6.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．。
人教版初中数学几何图形初步专项训练及解析答案
人教版初中数学几何图形初步专项训练及解析答案一、选择题1．如图将两块三角板的直角顶点重叠在一起，DOB ∠与DOA ∠的比是2:11，则BOC ∠的度数为（ ）A ．45︒B ．60︒C ．70︒D ．40︒【答案】C【解析】【分析】 设∠DOB=2x ，则∠DOA=11x ，可推导得到∠AOB=9x=90°，从而得到角度大小【详解】∵∠DOB 与∠DOA 的比是2:11∴设∠DOB=2x ，则∠DOA=11x∴∠AOB=9x∵∠AOB=90°∴x=10°∴∠BOD=20°∴∠COB=70°故选：C【点睛】本题考查角度的推导，解题关键是引入方程思想，将角度推导转化为计算的过程，以便简化推导2．将如图所示的Rt △ACB 绕直角边AC 旋转一周，所得几何体的主视图（正视图）是（ ）A ．B ．C ．D．【答案】D【解析】解：Rt△ACB绕直角边AC旋转一周，所得几何体是圆锥，主视图是等腰三角形．故选D．首先判断直角三角形ACB绕直角边AC旋转一周所得到的几何体是圆锥，再找出圆锥的主视图即可．3．下面四个图形中,是三棱柱的平面展开图的是()A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据三棱柱的展开图的特点作答．【详解】A、是三棱锥的展开图，故不是；B、两底在同一侧，也不符合题意；C、是三棱柱的平面展开图；D、是四棱锥的展开图，故不是.故选C．【点睛】本题考查的知识点是三棱柱的展开图，解题关键是熟练掌握常见立体图形的平面展开图的特征．4．下列立体图形中，侧面展开图是扇形的是()A．B．C ．D ．【答案】B【解析】根据圆锥的特征可知，侧面展开图是扇形的是圆锥．故选B ．5．在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 、E 分别是BC ，AC 的中点，点P 是线段AD 上的一个动点，当PCE ∆的周长最小时，P 点的位置在ABC ∆的（ ）A ．重心B ．内心C ．外心D ．不能确定【答案】A【解析】【分析】 连接BP ，根据等边三角形的性质得到AD 是BC 的垂直平分线，根据三角形的周长公式、两点之间线段最短解答即可.【详解】连接BP 、BE ，∵AB=AC ，BD=BC ，∴AD ⊥BC ，∴PB=PC ，∴PC+PE=PB+PE ，+≥,∵PB PE BE∴当B、P、E共线时，PC+PE的值最小，此时BE是△ABC的中线，∵AD也是中线,∴点P是△ABC的重心，故选：A.【点睛】此题考查等腰三角形的性质，轴对称图形中最短路径问题，三角形的重心定义.⊥，从A地测得B地在A地的北偏东43︒6．如图，有A，B，C三个地点，且AB BC的方向上，那么从B地测得C地在B地的（）A．北偏西43︒B．北偏西90︒C．北偏东47︒D．北偏西47︒【答案】D【解析】【分析】根据方向角的概念和平行线的性质求解.【详解】如图，过点B作BF∥AE，则∠DBF=∠DAE=43︒,∴∠CBF=∠DBC-∠DBF=90°-43°=47°，∴从B地测得C地在B地的北偏西47°方向上，故选：D.【点睛】此题考查方位角，平行线的性质，正确理解角度间的关系求出能表示点位置的方位角是解题的关键.7．如图，已知圆柱底面的周长为4 dm,圆柱的高为2 dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长的最小值为（）A．45 dm B．22 dm C．25 dm D．42 dm【答案】D【解析】【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，∴AB=2dm，BC=BC′=2dm，∴AC2=22+22=4+4=8，∴2dm，∴这圈金属丝的周长最小为2dm．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．8．如图，是一个正方体的表面展开图，将其折成正方体后，则“扫”的对面是（ ）A ．黑B ．除C ．恶D ．☆【答案】B【解析】【分析】 正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．【详解】解：将其折成正方体后，则“扫”的对面是除．故选B ．【点睛】本题考查了正方体的相对面的问题．能够根据正方体及其表面展开图的特点，找到相对的面是解题的关键．9．如图，一个正六棱柱的表面展开后恰好放入一个矩形内，把其中一部分图形挪动了位置，发现矩形的长留出5cm ，宽留出1,cm 则该六棱柱的侧面积是（ ）A ．210824(3) cm -B ．(2108123cm -C ．(254243cm -D ．(254123cm -【答案】A【分析】设正六棱柱的底面边长为acm ，高为hcm ，分别表示出挪动前后所在矩形的长与宽，由题意列出方程求出a ＝2，h ＝9−23，再根据六棱柱的侧面积是6ah 求解． 【详解】 解：设正六棱柱的底面边长为acm ，高为hcm ，如图，正六边形边长AB ＝acm 时，由正六边形的性质可知∠BAD ＝30°，∴BD ＝12a cm ，AD ＝32a cm ， ∴AC ＝2AD ＝3a cm ，∴挪动前所在矩形的长为（2h ＋23a ）cm ，宽为（4a ＋12a ）cm ， 挪动后所在矩形的长为（h ＋2a ＋3a ）cm ，宽为4acm ， 由题意得：（2h ＋23a ）−（h ＋2a ＋3a ）＝5，（4a ＋12a ）−4a ＝1， ∴a ＝2，h ＝9−23，∴该六棱柱的侧面积是6ah ＝6×2×（9−23）＝210824(3) cm -；故选：A ．【点睛】本题考查了几何体的展开图，正六棱柱的性质，含30度角的直角三角形的性质；能够求出正六棱柱的高与底面边长是解题的关键．10．如图，已知ABC ∆的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ^于D ，且4OD =，则ABC ∆的面积是（ ）A ．25米B ．84米C ．42米D ．21米【答案】C【解析】【分析】 根据角平分线的性质可得点O 到AB 、AC 、BC 的距离为4，再根据三角形面积公式求解即可．【详解】连接OA∵OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ^于D ，且4OD =∴点O 到AB 、AC 、BC 的距离为4∴ABC AOC OBC ABO S S S S =++△△△△()142AB BC AC =⨯⨯++ 14212=⨯⨯ 42=（米）故答案为：C ．【点睛】本题考查了三角形的面积问题，掌握角平分线的性质、三角形面积公式是解题的关键．11．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（ ）A ．厉B ．害C ．了D ．我 【答案】D【解析】 分析：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 详解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“的”与“害”是相对面，“了”与“厉”是相对面，“我”与“国”是相对面．故选：D ．点睛：本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．12．木杆AB 斜靠在墙壁上，当木杆的上端A 沿墙壁NO 竖直下滑时，木杆的底端B 也随之沿着射线OM 方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P 随之下落的路线，其中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】解：如右图，连接OP ，由于OP 是Rt △AOB 斜边上的中线，所以OP=12AB ，不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是OP 是一个定值，点P 就在以O 为圆心的圆弧上，那么中点P 下落的路线是一段弧线．故选D ．13．如图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=︒，3tan 4B =，CD 为AB 边上的中线，CE 平分ACB ∠，则AE AD的值（ ）A ．35B ．34C ．45D ．67【答案】D【解析】【分析】根据角平分线定理可得AE ：BE ＝AC ：BC ＝3:4，进而求得AE ＝37AB ，再由点D 为AB 中点得AD ＝12AB ，进而可求得AE AD的值． 【详解】 解：∵CE 平分ACB ∠，∴点E 到ACB ∠的两边距离相等，设点E 到ACB ∠的两边距离位h ，则S △ACE ＝12AC·h ，S △BCE ＝12BC·h ， ∴S △ACE ：S △BCE ＝12AC·h ：12BC·h ＝AC ：BC ， 又∵S △ACE ：S △BCE ＝AE ：BE ，∴AE ：BE ＝AC ：BC ， ∵在Rt ABC V 中，90ACB ∠=︒，3tan 4B =， ∴AC ：BC ＝3:4，∴AE ：BE ＝3:4∴AE ＝37AB ， ∵CD 为AB 边上的中线， ∴AD ＝12AB ， ∴367172AB AE AD AB ==， 故选：D ．【点睛】本题主要考查了角平分线定理的应用及三角函数的应用，通过面积比证得AE ：BE ＝AC ：BC是解决本题的关键．14．如图，AB CD ∥，BF 平分ABE ∠，且BF DE P ，则ABE ∠与D ∠的关系是（ ）A ．2ABE D ∠=∠B ．180ABE D ∠+∠=︒C ．90ABED ∠=∠=︒D ．3ABE D ∠=∠【答案】A【解析】【分析】 延长DE 交AB 的延长线于G ，根据两直线平行，内错角相等可得D G ∠=∠，再根据两直线平行，同位角相等可得G ABF ∠=∠，然后根据角平分线的定义解答．【详解】证明：如图，延长DE 交AB 的延长线于G ，//AB CD Q ，D G ∴∠=∠，//BF DE Q ，G ABF ∴∠=∠，D ABF ∴∠=∠，BF Q 平分ABE ∠，22ABE ABF D ∴∠=∠=∠，即2ABE D ∠=∠．故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并作辅助线是解题的关键．15．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠C ＝52°，BE 为AC 边上的中线，AD 平分∠BAC ，交BC 边于点D ，过点B 作BF ⊥AD ，垂足为F ，则∠EBF 的度数为( )A．19°B．33°C．34°D．43°【答案】B【解析】【分析】根据等边对等角和三角形内角和定理可得∠EBC＝52°，再根据角平分线的性质和垂直的性质可得∠FBD＝19°，最后根据∠EBF＝∠EBC﹣∠FBD求解即可．【详解】解：∵∠ABC＝90°，BE为AC边上的中线，∴∠BAC＝90°﹣∠C＝90°﹣52°＝38°，BE＝12AC＝AE＝CE，∴∠EBC＝∠C＝52°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝12∠BAC＝19°，∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝52°+19°＝71°，∵BF⊥AD，∴∠BFD＝90°，∴∠FBD＝90°﹣∠ADB＝19°，∴∠EBF＝∠EBC﹣∠FBD＝52°﹣19°＝33°；故选：B．【点睛】本题考查了三角形的角度问题，掌握等边对等角、三角形内角和定理、角平分线的性质、垂直的性质是解题的关键．16．如图：点 C 是线段 AB 上的中点，点 D 在线段 CB 上，若AD=8，DB=3AD4，则CD的长为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】【分析】根据线段成比例求出DB的长度，即可得到AB的长度，再根据中点平分线段的长度可得AC的长度，根据CD AD AC=-即可求出CD的长度．【详解】 ∵38,4AD DB AD ==∴6DB =∴14AB AD DB =+=∵点 C 是线段 AB 上的中点∴172AC AB == ∴1CD AD AC =-=故答案为：D ．【点睛】本题考查了线段的长度问题，掌握成比例线段的性质、中点平分线段的长度是解题的关键．17．如图，在ABC V 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，如图：（1）以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ；（2）分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ；（3）连结AP 并延长交BC 于点D ．根据以上作图过程，下列结论中错误的是（ ）A ．AD 是BAC ∠的平分线B ．60ADC ∠=︒ C ．点D 在AB 的中垂线上D ．:1:3DAC ABD S S =△△【答案】D【解析】【分析】 根据作图的过程可以判定AD 是∠BAC 的角平分线；利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC 的度数；利用等角对等边可以证得△ADB 的等腰三角形，由等腰三角形的“三线合一”的性质可以证明点D 在AB 的中垂线上；利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．【详解】解：A 、根据作图方法可得AD 是∠BAC 的平分线，正确；B 、∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAC=∠DAB=30°，∴∠ADC=60°，正确；C、∵∠B=30°，∠DAB=30°，∴AD=DB，∴点D在AB的中垂线上，正确；D、∵∠CAD=30°，∴CD=12 AD，∵AD=DB，∴CD=12 DB，∴CD=13 CB，S△ACD=12CD•AC，S△ACB=12CB•AC，∴S△ACD：S△ACB=1：3，∴S△DAC：S△ABD≠1：3，错误，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图—基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．18．如图，已知点P(0，3) ，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=2，BC边在x轴上滑动时，PA+PB的最小值是（）A102B26C．5 D．6【答案】B【解析】【分析】过点P作PD∥x轴，做点A关于直线PD的对称点A´，延长A´ A交x轴于点E，则当A´、P 、B 三点共线时，PA +PB 的值最小，根据勾股定理求出A B '的长即可.【详解】如图，过点P 作PD ∥x 轴，做点A 关于直线PD 的对称点A´，延长A´A 交x 轴于点E ，则当A´、P 、B 三点共线时，PA +PB 的值最小，∵等腰直角△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，BC =2，∴AE=BE=1，∵P (0，3) ，∴A A´=4， ∴A´E=5， ∴22221526A B BE A E ''=+=+=，故选B.【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是作出点A 关于直线PD 的对称点，找出PA +PB 的值最小时三角形ABC 的位置．19．如图是画有一条对角线的平行四边形纸片ABCD ，用此纸片可以围成一个无上下底面的三棱柱纸筒，则所围成的三棱柱纸筒可能是（ ）A ．B ．C ．D．【答案】C【解析】【分析】由三棱柱侧面展开图示是长方形，但只需将平行四边线变形成一个长方形，再根据长方形围成的三棱柱不能为斜的进行判断即可．【详解】因为三棱柱侧面展开图示是长方形，所以平行四边形要变形成一个长方形，如图所示：又因为长方形围成的三棱柱不是斜的，所以排除A、B、D，只有C符合．故选：C．【点睛】考查了学生空间想象能力和三棱柱的展示图形，解题关键是抓住三棱柱侧面展开图示是长方形和长方形围成的三棱柱不能为斜的．∠=∠的图形的个数是（）20．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中αβA．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】【分析】根据直角三角板可得第一个图形∠β=45°，进而可得∠α=45°；根据余角和补角的性质可得第二个图形、第四个图形中∠α=∠β，第三个图形∠α和∠β互补．【详解】根据角的和差关系可得第一个图形∠α=∠β=45°，根据等角的补角相等可得第二个图形∠α=∠β，第三个图形∠α+∠β=180°，不相等，根据同角的余角相等可得第四个图形∠α=∠β，因此∠α=∠β的图形个数共有3个，故选：C．【点睛】此题主要考查了余角和补角，关键是掌握余角和补角的性质：等角的补角相等．等角的余角相等．。
全国通用中考数学复习第四单元图形的初步认识与三角形方法技巧训练(一)与角平分线有关的基本模型练习(
（全国通用版）2019年中考数学复习第四单元图形的初步认识与三角形方法技巧训练（一）与角平分线有关的基本模型练习编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2019年中考数学复习第四单元图形的初步认识与三角形方法技巧训练（一）与角平分线有关的基本模型练习）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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方法技巧训练(一）与角平分线有关的基本模型错误!三角形中角平分线的夹角的计算类型1两个内角平分线的夹角如图1,在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE,CF相交于点G,则∠BGC＝90°＋错误!∠A.图1 图2 图3解题通法：三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的和．类型2一个内角平分线和一个外角平分线的夹角如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB的外角，BP与CP相交于点P，则∠P＝错误!∠A.解题通法：三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三个内角的一半．类型3两外角平分线的夹角如图3，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线,则∠O＝90°－错误!∠A。
解题通法：三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的差．Ｋ1．如图,在△ABC中，∠A＝40°，点D是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，则∠BDC＝110°．【变式1】若点D是∠ABC的平分线与∠ACB外角平分线的交点，则∠D＝20°．第1题图变式1图变式2图变式3图【变式2】若点D是∠ABC外角平分线与∠ACB外角平分线的交点，则∠D＝70°．【变式3】如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的平分线，CA2是∠A1CD的平分线,BA3是∠A2BD的平分线，CA3是∠A2CD的平分线．若∠A1＝α，则∠A2 019＝错误!．错误!与角平分线有关的图形与辅助线1．角平分线＋平行线→等腰三角形如图4，BD是∠ABC的平分线，点O是BD上一点，OE∥BC交AB于点E，则△BOE是等腰三角形．解题通法：遇到角平分线及平行线，除了可以得到角度的关系，还可以得到一个等腰三角形．2．与角平分线有关的辅助线①过角平分线上的点作角两边的垂线如图5,BO是∠ABC的平分线，过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥BC于点F，则OE＝OF，△BEO≌△BFO.图4图5图 6 图7②角平分线的两端过角的顶点取相等的两条线段构造全等三角形如图6，BO是∠ABC的平分线,在BA，BC上取线段BE＝BF，则△BEO≌△BFO。
学年度新人教版初中数学九年级下册中考专项总复习考点-图形的认识和证明及答案-精品试卷
九年级数学总复习第四部分图形的认识和证明Ⅰ、三角形和相似形一、考点分析及难点提示1．熟练掌握线段的垂直平分线和角平分线的性质、判定及作图方法.2．熟练掌握三角形的中位线定理.3．三角形全等的证题思路4．等腰三角形的性质与判定提示：“三线合一”的应用是等腰三角形的重点,在证明过程中，常常要做辅助线�底边上的高,以便使用这个性质证明线段相等、垂直或角相等.5.Rt△知识注意问题(1)勾股定理常要用到：两条直角边的平方和等于斜边的平方.(2)直角三角形中线定理也是常用到的.如图，由∠C=90°，D为AB中点，得 .6.相似三角形三角形相似的判定：两角对应相等；三边对应成比例；两边对应成比例且夹角相等.相似比问题：线段比等于相似比；面积比等于相似比的平方.相似三角形中常见的基本图形如图：注意：在判断相似三角形的有关问题时，不要忽视公共角和对顶角，另外，很多题目的结论是等积式，只要把等积式化成比例式，就能找到解决问题的途径.7．相似三角形的应用（1）位似图形.（2）平行投影在太阳光下同一时刻的物高与影长成比例.即8．黄金分割（1）定义：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫黄金分割点，叫黄金比.（2）比值： .（3）主要是应用于计算和作图（黄金分割点的几种作法，作黄金矩形）.9．几何证明中辅助线的特殊作法1.平移法：平行移动线段到相关位置.2.对称法：利用轴对称和中心对称判断相关线段的关系.3.旋转法：利用旋转作图的性质判断相关线段和角的关系.二、三角形部分典型题1．已知A、B两点，以A、B为其中两个顶点，作等腰直角三角形，一共可作个.2．如图，平面镜A与B之间的夹角为110°，光线经过平面镜A反射到平面镜B上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1的度数为.3．某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转45°.某一指令规定，机器人先向正前方行走1米，再左转45°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，一共走了米.4．如图，OA=OB=OC，∠B=40°，∠C=25°，则∠BOC的度数为5．在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，则∠DBC的度数为.6．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC上的一点，要使△ABD与△ACD全等，只需再添上一个条件，这个条件可以是.7．已知三角形的三边是方程的两根，那么它的周长是8．如图，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加坚固，需要在它的内部添加一些钢管EF、FG、GH……，添加的钢管的长度都与OE相等，那么最多能添加这样的钢管根.9.折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与对角线B 重合，得折痕DG，如图，若AB=2，BC=1,求AG的长.10．如图是一三角形的纸片ABC，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角C沿D 折叠，使点C落在△ABC内，若∠1=20°，求∠2的度数.11．如图，在△ABC中，延长BC到D，延长AC到E，AD与BE相交于F，∠ABC=45°试将下列设定中的两个作为题设，另一个作为结论，组成一个正确命题，并证明这个命题.①AD⊥BD；②AE⊥BF；③AC=BF.12．如图，在3×3方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形.请画出三个面积为3的格点三角形.要求：①与例图不同；②不重复（两个全等图形视为重复）；③在提供的3张图纸上各画一个.三、实战练习（一）填空题1．直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积是_________ 2．如果一个角的余角是35度，那么这个角的补角是_________度.3.如图，D是ΔABC的AB边上的一点，过点D作DE//BC，交AC于E.已知AD∶DB=1∶3，那么SΔADE∶SΔABC=_________.（二）解答题1．如图，F、C是线段BE上的两点，BF=CE，AB=DE，∠B=∠E，QR//BE.求证ΔPQR是等腰三角形.2．已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点，求证：ΔADQ∽ΔQCP.3．已知：如图，正方形DEFG内接于RtΔABC,EF在斜边BC上，EH⊥AB于H.求证：（1）ΔADG∽ΔHED；（2）EF2=BE·FC.四、相似形部分典型题1．如图，把菱形ABCD沿着对角线的AC方向移动到菱形A′B′C′D′的位置若，且，则菱形移动的距离AA′是.2．上午10时，校园内的旗杆影长为15米，与此同时，高为1.5米的测杆影长为2.5米，则旗杆的高是.3．已知，如图，矩形EFGH的顶点在△ABC的三边上，AD⊥BC，若BC=10cm，AP=16cm 矩形的周长为24cm，则△ABC的面积是.4．已知，1，，2三个数，请你再添上一个数，写出一个比例式5．某学生想利用树影测量校园内的树高，他在某一时刻测得小树高为1.5米时其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因为大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上，经过测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高为米.6．在矩形ABCD中，DH⊥AC于点H，若AH=6，CH=2，则S矩形ABCD=7．已知：如图，正方形ABCD中，DC=12，E是CD上的一点，DE=5，AE的中垂线分别交AD、BC于M、N，垂足为P，则PM：PN= .8．在梯形ABCD中，AD∥BC，两条对角线相交于点O，若AD：BC=2：3，那么S△AO S△ACD= .9．已知△ABC、△DEF均为正三角形，D、E分别在AB、BC上，请你找出一个与△DEF相似的三角形，并加以证明.10．一块直角三角形木板的一条直角边长AB为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙二位同学的加工方法如图，请你用学过的知识，说明谁的加工方法符合要求.11．如图，ABCD是平行四边形，P是BD上的任意一点，过P的直线分别交AB DC于E、F，交DA、BC的延长线于G、H.求证：（1）PE·PG=PF·PH；（2）当过P点的直线绕点P旋转到F、H、C重合时，请判断PE、PC、PG的关系，并给出证明.12．点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形.（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数.13．已知直线L是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P为L上的一个动点（点P与D不重合），连结AP、BP，作AE⊥BP于点E，交L于点C，连结BC.试问当点P在L上运动且与点D的距离变大时，S△PAB·S△CAB的值变小、变大、还是不变？提出你的猜想并加以证明.14．点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE.（1）求证：BE·AD=CD·AE；（2）根据图形的特点，猜想可能等于哪两条线段的比（只需写出图中已有的线段中的一组即可），并证明你的猜想.Ⅰ、三角形与相似形参考答案二、三角形部分典型题1．6 2．35°3．8 4．130°5．15°6．略7．5 8．7 9．10.40°11.略12.略三、实战练习（一）1．30cm22．125 3．1：16（二）1．证△ABC≌△DEF2．略3．略.证△CFG≌△BED四、相似形部分典型题1．2．9m 3．100cm24．略5．9.4 6．7．5：19 8．2：59.△GAD；△ECH；△GFH；证明略10. ；11.略.PC2=12.CD2=AC·DB；120°13，不变.证△ACD≌△PAD；14，证△ABE∽△ACD；Ⅱ、四边形一、考点分析四边形一部分，是三角形内容的应用和深化.这部分中考试题所考查的知识点主要有：1.根据多边形的内、外角和公式确定多边形的边数.2.会借助平行四边形的性质定理解决线段、角相等和求值等问题.3.能借助定义及判定定理判断四边形中的特殊四边形.4.会根据平行四边形的性质定理确定特殊四边形具有的性质，并结合其定义和判定定理判断与四边形有关的真假命题.5. 明确轴对称图形、中心对称图形的特性及其规律，并能结合实际图形予以辨认.6. 利用特殊四边形的面积公式（菱形、梯形面积等）解决与面积有关的几何问题（包括应用问题），并会解答折痕问题.二、难点提示1．四边形一章是平行线和三角形知识的应用和深化，因此通常需要添加辅助线把四边形转化为三角形，把梯形转化成平行四边形和三角形，把多边形转化为三角形或特殊四边形.2．矩形、菱形、正方形的性质都是在平行四边形的基础上扩展的，而平行四边形的有关性质和定理通常是证明线段相等，两个角相等，两条直线平行或垂直的依据.3．连接平行四边形和特殊平行四边形的对角线是常添辅助线，它可将四边形问题转化为三角形问题解决.4．另一个容易出问题的地方，是梯形辅助线的作法，常见的辅助线总结如下（1）过上底一端点，作一腰的平行线，如图（1）.（2）过上底两端点，作下底的垂线，如图（2）.（3）过上底的一端点作一对角线的平行线如图（3）.（4）连结上底一端点和一腰中点的直线与下底延长线相交，通过构造全等三角形进行证明和计算如图（4）.（5）延长梯形的两腰，如图（5）.（6）作梯形的中位线，如图（6）.5.菱形的面积公式(a, b为菱形对角线的长度).S菱形=ch (c, h分别为菱形边长和边上的高) .6．折痕问题的关键（1）解决折痕问题的基本原理是轴对称性质.（2）解决折痕问题的基本途径是借助勾股定理构建方程.三、四边形部分典型题1.在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=8,对角线AC=6,BD=8,则面积是.2.已知菱形的两条对角线长分别是4cm和10cm,则它的边长是3.已知：平行四边形ABCD中,M是对角线AC上的一点,连结BM、DM,则图中面积相等的三角形有对.4.在下列图形中,沿着虚线将长方形剪成两部分,那么由这两部分既能拼成平行四边形,又能拼成三角形和梯形的是( )5.在平行四边形ABCD中,AB=6，AD=8，∠B是锐角,将△ACD沿对角线AC折叠点D落在△ABC所在平面内的点E处,如果AE过BC的中点,那么平行四边形ABCD的面积是.6.一幅美丽的图案,在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成,其中三个分别是三角形,正四边形, 正六边形,那么另外一个是正形.7.如图,在菱形ABCD中, ∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F,E 为垂足,连结DF,则∠CDF等于.8.A、B、C、D在同一平面内,从⑴AB∥CD；⑵AB=CD；⑶BC∥AD；⑷BC=AD这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD是平行四边形的选法有种.9.如图,把一个正方形三次对折后,沿虚线剪下,则所得的图形是( )10.有一腰长为5cm,底为4cm的等腰三角形纸片,沿着底边上的中线将纸片剪开,得到两个全等的直角三角形,用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有个不同的四边形.11.把一块正六边形硬纸片作成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒,需在每一个顶点处剪去一个四边形，那么剪去的四边形中最小的角是度.12.一个画家把12个边长是1cm的正方体在地面上摆成三层,最上层一块,第二层四块,然后,他把露出的表面都涂上颜色,那么被涂上颜色的总面积是.13.若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形的形状,使其面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角是度.14.在矩形ABCD中,AB=3，BC=2，E为BC的中点,F在AB上,且BF=2AF,则四边形AFEC的面积为.15.如图，用一条宽相等的足够长的纸带,打一个结,然后轻轻拉紧,压平,就可以得到一个正五边形ABCDE,其中∠BAC=度.16. 如图，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他的判断方法是.17．如图，正方形硬纸片的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿虚线剪开，拼成的图中的阴影部分面积是.18．如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据图形，添加一个条件，使四边形AECF是菱形，则添加的一个条件可能是.19．如图，边长是3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转300后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是.20．等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，DE⊥BC于E，AE=BE，BF⊥AE于F，线段BF与图中的哪一条线段相等？先写出你的猜想，再加以证明.21．把两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG（直角边长为4）叠放在一起，且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现在将三角板EFG绕点O顺时针旋转一个锐角，四边形CHGK是旋转过程中两块三角板的重叠部分.（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；（2）连结HK，在上述旋转过程中，设BH=x，△GHK的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.四、实战练习（一）选择题1．在正方形ABCD中，E、F两点分别是BC、CD边上的点，若ΔAEF是边长为的等边三角形，则正方形ABCD的边长为（）A. B. C. D.22．已知下列图形：（1）矩形；（2）菱形；（3）等腰梯形；（4）等腰三角形其中是轴对称图形，而不是中心对称图形的序号是（）A.(1)(2)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(3)(4)3．以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作（）A.4个B.3个C.2个D.1个（二）解答题1．已知：如图，□ABCD中，E是AD的中点，延长CE交BA的延长线于点F.求证：AB=AF.2．如图，将□ABCD沿AC折叠，点B落在B′处，AB′交DC于点M.求证：折叠后重合的部分（即ΔMAC）是等腰三角形.3．已知在梯形ABCD中，AD//BC，AD<BC，且AD=5，AB=DC=2.（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A.①求证：ΔABP∽Δ在DPC；②求AP的长；（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x, CQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数y的取值范围；②当CE=1时，求出AP的长.Ⅱ、四边形参考答案三、四边形部分典型题1．24 2．3．三4．D 5．6．四边7．60°8．四9．C 10四11.60 12.33cm213.30 14.2 15.36 16.略17.4 18.AE=CE 19.20.BF=DE 21.BH=CK；不变；S=4；；0＜x＜4四、实战练习（一）1．A 2．D 3．B（二）1．证△AEF≌△DEC2．证∠BAC=∠MAC=∠ACM3．⑴①略②1、4 ⑵①；1＜x＜4 ②AP=4Ⅲ、解直角三角形一、考点分析及难点提示1．特殊角的三角函数值，可利用特殊的直角三角形三边的比进行记忆2.解直角三角形(1)直角三角形角的关系：∠A+∠B=90°.(2)直角三角形边的关系：a2+b2=c2 .(3)直角三角形的边角关系：, , , .在直角三角形中，除直角外的其余五个元素中，已知其中两个（至少有一个是边），即可求出其余三个.3.应用问题直角三角形边角关系的应用类型主要归结为：求解距离、测量物体高度、度量角度、计算面积等解直角三角形的数学问题.步骤为：画出示意图，把实际问题抽象成数学问题；找出直角三角形或通过作辅助线构造直角三角形；利用直角三角形边角关系求解.(1)仰角、俯角的概念如图1所示，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角，在水平线下方的叫俯角.(2)坡度（坡比）、坡角的概念如图2所示，我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度L的比叫做坡度（或叫坡比），用字母i表示，即.这里，α是坡面与水平面的夹角，这个角叫坡角.（3）方向角如图3所示，视线（视点与目标的连线）与指北（南）线的夹角.（4）直角三角形应用题的常用图形二、解直角三角形部分典型题1．在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°,AC=6,D是AC上一点，,则AD的长是.2．如图，测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿着坡角为30°的山坡前进1000米，到达D处，在D处测得山顶B的仰角为60°，则山高BC大约是（精确到0.01米）.3.升国旗时，某同学站在离旗杆24米处行注目礼，他的视线的仰角是30°，若双眼离地面1.5米，则旗杆的高度是.4．直角三角形的周长是，斜边上的中线是1，则它的面积是5．如图，在高为2米，倾斜角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要米.（精确到0.1米）6．如图，矩形ABCD中，AC和BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若OE:OD=1:2,则DE= cm.7．如图，是一条山坡路的横截面，CM是一段平路，它高出水平地面24米，从A到B，从B到C是两段不同坡角的山坡路，山坡路AB的路面长100米，它的坡角∠BAE=5°，山坡路BC的坡角∠CBH=12°，为了方便交通，政府决定把山坡路BC 的坡角降到与AB的坡角相同，使得∠DBI=5°.（1）求山坡路AB的高度BE；（精确到0.01米）（2）降低坡度后，整个山坡的路面加长了多少米？（精确到0.01米）(参考数据sin5°=0.0872,cos5°=0.9962,sin12°=0.2079,cos12°=0.97818．如图，甲乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼，甲船以每小时千米的速度沿北偏西60°的方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具忘在乙船上，于是甲船快速沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇.（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？（2）甲船追赶乙船的速度是多少？9．如图，某货船以每小时20海里的速度把一批重要物质由A处运往正西方向的B处，经过16小时的航行到达，到达后立即卸货，此时接到气象部门的通知，一台风中心正以每小时40海里的速度由A向北偏西60°的方向移动，距离台风中心200海里的圆形区域（包括边界）都会受到影响.(1) 问B处是否会受到影响？请说明理由；(2) 为了避免受到台风的影响，该货船应在多少小时内卸完货物？10．如图，已知测速站P到公路l的距离PO为40米，一辆汽车在公路l上行驶，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为2秒，并测得∠APO=60°,∠BPO=30°计算此车从A到B的平均速度是多少？（结果保留四个有效数字）并判断此车是否超过了每秒22米的限制速度.11．在一次实践活动中，某课题小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下的方案，①在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE=α；②量出测点到旗杆底部的水平距离AN=m；③量出测倾器的高度AC=h.根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN.如果测量工具不变，请仿照上述过程，设计一个测量某小山高度MN的方案.要求：(1)在图中，画出你测量小山高度的示意图，并标出适当的字母；(2)写出你的设计方案.三、实战练习（一）填空或选择1.在△ABC中，若sinA=1，tanB=，则∠C=度.2.在△ABC中，若∠C=90°，∠A=45°，那么tanA+ sinB= ，△AB 为对称图形（只填轴或中心）.3.在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，sinA+cosB的值等于（）A. B.1 C. D.4.菱形ABCD的边长为5，AC、BD相交于点O，AC=6，若∠ABD=α则下列式子正确的是（）A. B. C. D.5．计算：= .6.计算：= .7. 计算：＝＿＿＿＿＿.（二）证明与解答1.如图，△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，BD=4，AD=BC，.求：（1）DC的长；（2）sinB的值.2.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B = 30°，∠C = 45°，BD=10，求AC.3.如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，∠B =60°。